a ในกราฟของฟังก์ชันคืออะไร ฟังก์ชันเชิงเส้น คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะ หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน คุณสมบัติโดยธรรมชาติ และกราฟที่สอดคล้องกันถือเป็นฟังก์ชันพื้นฐานบางส่วน ความรู้ทางคณิตศาสตร์มีความสำคัญใกล้เคียงกับตารางสูตรคูณ หน้าที่เบื้องต้นเป็นพื้นฐานในการสนับสนุนการศึกษาประเด็นทางทฤษฎีทั้งหมด

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

บทความด้านล่างนี้ให้ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับหัวข้อฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น เราจะแนะนำคำศัพท์และให้คำจำกัดความ มาศึกษาฟังก์ชันพื้นฐานแต่ละประเภทโดยละเอียดและวิเคราะห์คุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านั้น

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

คำจำกัดความ 1

• ฟังก์ชั่นคงที่ (คงที่);
• รากที่ n;
• ฟังก์ชั่นพลังงาน
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
• ฟังก์ชันลอการิทึม
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ;
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติพี่น้อง

ฟังก์ชันคงที่ถูกกำหนดโดยสูตร: y = C (C คือจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง) และยังมีชื่อ: ค่าคงที่อีกด้วย ฟังก์ชันนี้กำหนดความสอดคล้องของค่าจริงใดๆ ของตัวแปรอิสระ x กับค่าเดียวกันของตัวแปร y - ค่าของ C

กราฟของค่าคงที่เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกนแอบซิสซาและผ่านจุดที่มีพิกัด (0, C) เพื่อความชัดเจน เราจะนำเสนอกราฟของฟังก์ชันคงที่ y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (ระบุด้วยสีดำ แดง และน้ำเงินในรูปวาด ตามลำดับ)

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชันพื้นฐานนี้กำหนดโดยสูตร y = xn (n – จำนวนธรรมชาติมากกว่าหนึ่ง)

ลองพิจารณาฟังก์ชันสองรูปแบบ

1. รากที่ n, n – เลขคู่

เพื่อความชัดเจน เราระบุภาพวาดที่แสดงกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว: y = x, y = x 4 และ ย = x8 คุณสมบัติเหล่านี้มีรหัสสี: สีดำ สีแดง และสีน้ำเงินตามลำดับ

กราฟฟังก์ชันจะมีลักษณะคล้ายกัน แม้แต่ปริญญาสำหรับค่าอื่นๆ ของตัวบ่งชี้

คำจำกัดความ 3

คุณสมบัติของฟังก์ชันรากที่ n โดย n เป็นเลขคู่

• โดเมนของคำจำกัดความ - เซตของค่าที่ไม่เป็นลบทั้งหมด ตัวเลขจริง [ 0 , + ∞) ;
• เมื่อ x = 0 ฟังก์ชัน y = xn มีค่าเท่ากับศูนย์
• ที่ให้ไว้ ฟังก์ชั่นฟังก์ชั่น มุมมองทั่วไป(ไม่เป็นคู่หรือคี่);
• พิสัย: [ 0 , + ∞) ;
• ฟังก์ชั่นนี้ y = xn สำหรับเลขชี้กำลังรากคู่จะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
• ฟังก์ชันมีความนูนโดยมีทิศทางขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• ไม่มีเส้นกำกับ
• กราฟของฟังก์ชันสำหรับเลขคู่ n ผ่านจุด (0; 0) และ (1; 1)

1. รูทที่ n, n – เลขคี่

ฟังก์ชันดังกล่าวถูกกำหนดให้กับจำนวนจริงทั้งชุด เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณากราฟของฟังก์ชันต่างๆ y = x 3 , y = x 5 และ เอ็กซ์ 9 . ในรูปวาดจะมีการระบุสี: ดำแดงและ สีฟ้าและเส้นโค้งตามลำดับ

ค่าคี่อื่น ๆ ของเลขชี้กำลังรากของฟังก์ชัน y = x n จะให้กราฟประเภทที่คล้ายกัน

คำจำกัดความที่ 4

คุณสมบัติของฟังก์ชันรากที่ n โดย n เป็นเลขคี่

• ขอบเขตคำจำกัดความ – เซตของจำนวนจริงทั้งหมด
• ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่
• ช่วงของค่า – ชุดของจำนวนจริงทั้งหมด
• ฟังก์ชัน y = x n สำหรับเลขชี้กำลังรูทคี่จะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ
• ฟังก์ชั่นมีความเว้าในช่วงเวลา (- ∞ ; 0 ] และนูนในช่วงเวลา [ 0 , + ∞);
• จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0; 0);
• ไม่มีเส้นกำกับ
• กราฟของฟังก์ชันสำหรับเลขคี่ n ส่งผ่านจุด (- 1 ; - 1), (0 ; 0) และ (1 ; 1)

ฟังก์ชั่นพลังงาน

คำจำกัดความที่ 5

ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตร y = x a

ลักษณะของกราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันจะขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง

• เมื่อฟังก์ชันยกกำลังมีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม a กราฟจะมีลักษณะเช่นนี้ ฟังก์ชั่นพลังงานและคุณสมบัติของมันขึ้นอยู่กับว่าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ รวมถึงเครื่องหมายที่เลขชี้กำลังมี ลองพิจารณากรณีพิเศษทั้งหมดนี้โดยละเอียดด้านล่าง
• เลขชี้กำลังอาจเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล - ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ประเภทของกราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันก็แตกต่างกันไปเช่นกัน เราจะวิเคราะห์กรณีพิเศษโดยการตั้งค่าเงื่อนไขหลายประการ: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• ฟังก์ชันกำลังสามารถมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ได้ เราจะวิเคราะห์กรณีนี้โดยละเอียดด้านล่างด้วย

มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนบวกคี่ เช่น a = 1, 3, 5...

เพื่อความชัดเจน เราระบุกราฟของฟังก์ชันยกกำลังดังกล่าว: y = x (สีกราฟิกสีดำ), y = x 3 (กราฟสีน้ำเงิน) y = x 5 (สีแดงของกราฟ) y = x 7 (สีเขียวกราฟิก) เมื่อ a = 1 เราจะได้ฟังก์ชันเชิงเส้น y = x

คำนิยาม 6

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นค่าบวกคี่

• ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• ฟังก์ชันมีความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] และความเว้าสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞) (ไม่รวมฟังก์ชันเชิงเส้น)
• จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0 ; 0) (ไม่รวมฟังก์ชันเชิงเส้น)
• ไม่มีเส้นกำกับ
• จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนบวกคู่ เช่น a = 2, 4, 6...

เพื่อความชัดเจน เราจะระบุกราฟของฟังก์ชันกำลังดังกล่าว: y = x 2 (สีกราฟิกสีดำ) y = x 4 (กราฟสีน้ำเงิน) y = x 8 (สีแดงของกราฟ) เมื่อ a = 2 เราจะได้ ฟังก์ชันกำลังสองซึ่งกราฟจะเป็นพาราโบลากำลังสอง

คำนิยาม 7

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นบวก:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• ลดลงสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• ไม่มีเส้นกำกับ
• จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างกราฟฟังก์ชันกำลัง y = x a เมื่อ a เป็นเลขคี่ จำนวนลบ: y = x - 9 (กราฟิกสีดำ); y = x - 5 (กราฟสีน้ำเงิน); y = x - 3 (กราฟสีแดง); y = x - 1 (สีเขียวกราฟิก) เมื่อ a = - 1 เราจะได้สัดส่วนผกผัน ซึ่งกราฟจะเป็นไฮเปอร์โบลา

คำจำกัดความ 8

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นลบคี่:

เมื่อ x = 0 เราจะได้ความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง เนื่องจาก lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 xa = + ∞ สำหรับ a = - 1, - 3, - 5, …. ดังนั้น เส้นตรง x = 0 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

• พิสัย: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ฟังก์ชันเป็นเลขคี่เพราะ y (- x) = - y (x);
• ฟังก์ชั่นลดลงสำหรับ x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• ฟังก์ชันมีความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0) และความเว้าสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞) ;
• ไม่มีจุดเปลี่ยน

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 เมื่อ a = - 1, - 3, - 5, - - -

• จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันยกกำลัง y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนลบคู่: y = x - 8 (กราฟิกสีดำ); y = x - 4 (กราฟสีน้ำเงิน); y = x - 2 (สีแดงของกราฟ)

คำนิยาม 9

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นลบ:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

เมื่อ x = 0 เราจะได้ความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง เนื่องจาก lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 xa = + ∞ สำหรับ a = - 2, - 4, - 6, …. ดังนั้น เส้นตรง x = 0 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

• ฟังก์ชันเป็นคู่ เนื่องจาก y(-x) = y(x);
• ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0) และลดลงสำหรับ x ∈ 0; + ;
• ฟังก์ชันมีความเว้าที่ x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0 เพราะ:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 เมื่อ a = - 2 , - 4 , - 6 , . - - -

• จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

จากจุดเริ่มต้น ให้ใส่ใจกับประเด็นต่อไปนี้: ในกรณีที่ a เป็นเศษส่วนบวกที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ผู้เขียนบางคนใช้ช่วงเวลา - ∞ เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันกำลังนี้ + ∞ โดยกำหนดว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ บน ในขณะนี้ผู้เขียนหลายคน สิ่งพิมพ์ทางการศึกษาในพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันยกกำลังโดยที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ นอกจากนี้เราจะปฏิบัติตามตำแหน่งนี้: เราจะรับเซต [ 0 ; + ) . คำแนะนำสำหรับนักเรียน: หาความคิดเห็นของครูในประเด็นนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

มาดูฟังก์ชันกำลังกันดีกว่า y = x a เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ โดยมีเงื่อนไขว่า 0< a < 1 .

ให้เราอธิบายฟังก์ชันกำลังด้วยกราฟ y = x a เมื่อ a = 11 12 (กราฟิกสีดำ); a = 5 7 (สีแดงของกราฟ); a = 1 3 (กราฟสีน้ำเงิน); a = 2 5 (สีเขียวของกราฟ)

ค่าอื่นของเลขชี้กำลัง a (ระบุ 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

คำนิยาม 10

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่ 0< a < 1:

• พิสัย: y ∈ [ 0 ; + ) ;
• ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ) ;
• ฟังก์ชั่นนูนสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞);
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• ไม่มีเส้นกำกับ

มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม โดยมีเงื่อนไขว่า a > 1

ให้เราอธิบายฟังก์ชันกำลังด้วยกราฟ y = x a ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดโดยใช้ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (กราฟสีดำ แดง น้ำเงิน เขียว ตามลำดับ)

ค่าอื่นๆ ของเลขชี้กำลัง a ที่ให้ > 1 จะให้กราฟที่คล้ายกัน

คำนิยาม 11

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสำหรับ a > 1:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ [ 0 ; + ) ;
• พิสัย: y ∈ [ 0 ; + ) ;
• ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นทั้งเลขคี่หรือเลขคู่)
• ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ) ;
• ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞) (เมื่อ 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• ไม่มีเส้นกำกับ
• จุดผ่านของฟังก์ชัน: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

โปรดทราบ! เมื่อ a เป็นเศษส่วนลบที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ในงานของผู้เขียนบางคนมีความเห็นว่าโดเมนของคำจำกัดความในกรณีนี้คือช่วงเวลา - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) โดยมีข้อแม้ว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ ปัจจุบันผู้เขียน สื่อการศึกษาในพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังอยู่ในรูปของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของการโต้แย้งจะไม่ถูกกำหนด นอกจากนี้ เรายังยึดมั่นในมุมมองนี้: เราใช้เซต (0 ; + ∞) เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบแบบเศษส่วน คำแนะนำสำหรับนักเรียน: ชี้แจงวิสัยทัศน์ของครู ณ จุดนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

เรามาต่อในหัวข้อและวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลัง y = x a ที่ให้มา: - 1< a < 0 .

ให้เรานำเสนอภาพวาดกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (สีดำ, สีแดง, สีฟ้า, สีเขียวของ เส้นตามลำดับ)

คำนิยาม 12

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่ - 1< a < 0:

ลิม x → 0 + 0 xa = + ∞ เมื่อ - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• พิสัย: y ∈ 0 ; + ;
• ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นทั้งเลขคี่หรือเลขคู่)
• ไม่มีจุดเปลี่ยน

ภาพวาดด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (เส้นโค้งสีดำ แดง น้ำเงิน เขียว ตามลำดับ)

คำนิยาม 13

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสำหรับ a< - 1:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; + ;

lim x → 0 + 0 xa = + ∞ เมื่อ< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• พิสัย: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นทั้งเลขคี่หรือเลขคู่)
• ฟังก์ชั่นลดลงสำหรับ x ∈ 0; + ;
• ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ 0; + ;
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0;
• จุดผ่านของฟังก์ชัน: (1; 1) .

เมื่อ a = 0 และ x ≠ 0 เราได้รับฟังก์ชัน y = x 0 = 1 ซึ่งกำหนดเส้นที่ไม่รวมจุด (0; 1) (ตกลงกันว่านิพจน์ 0 0 จะไม่ได้รับความหมายใด ๆ ).

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีรูปแบบ y = a x โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1 และกราฟของฟังก์ชันนี้ดูแตกต่างออกไปตามค่าของฐาน a ลองพิจารณากรณีพิเศษ

ก่อนอื่น เรามาดูสถานการณ์ที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 (0< a < 1) . ตัวอย่างที่ดีคือกราฟของฟังก์ชันสำหรับ a = 1 2 (เส้นโค้งสีน้ำเงิน) และ a = 5 6 (เส้นโค้งสีแดง)

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีลักษณะคล้ายกันสำหรับค่าฐานอื่นๆ ภายใต้เงื่อนไข 0< a < 1 .

คำนิยาม 14

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อฐานน้อยกว่าหนึ่ง:

• พิสัย: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นทั้งเลขคี่หรือเลขคู่)
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีฐานน้อยกว่าหนึ่งกำลังลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0 โดยมีตัวแปร x พุ่งไปที่ + ∞;

ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าหนึ่ง (a > 1)

ให้เราอธิบายกรณีพิเศษนี้ด้วยกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = 3 2 x (เส้นโค้งสีน้ำเงิน) และ y = e x (สีแดงของกราฟ)

ค่าฐานอื่นๆ ซึ่งเป็นหน่วยที่ใหญ่กว่าจะทำให้กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะคล้ายกัน

คำนิยาม 15

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง:

• ขอบเขตคำจำกัดความ – ชุดของจำนวนจริงทั้งหมด
• พิสัย: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นทั้งเลขคี่หรือเลขคู่)
• ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีฐานมากกว่า 1 เพิ่มขึ้นเป็น x ∈ - ∞; + ;
• ฟังก์ชั่นมีความเว้าที่ x ∈ - ∞; + ;
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0 โดยมีตัวแปร x พุ่งไปที่ - ∞;
• จุดผ่านของฟังก์ชัน: (0; 1) .

ฟังก์ชันลอการิทึมมีรูปแบบ y = log a (x) โดยที่ a > 0, a ≠ 1

ฟังก์ชั่นดังกล่าวถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์เท่านั้น: สำหรับ x ∈ 0; + .

กำหนดการ ฟังก์ชันลอการิทึมมี ชนิดที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a

ให้เราพิจารณาสถานการณ์ก่อนเมื่อ 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

ค่าฐานอื่นๆ ที่ไม่ใช่หน่วยที่ใหญ่กว่า จะให้กราฟประเภทเดียวกัน

คำนิยาม 16

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเมื่อฐานน้อยกว่าหนึ่ง:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; + . เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางขวา ค่าฟังก์ชันจึงมีแนวโน้มเป็น +∞;
• ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ;
• ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นทั้งเลขคี่หรือเลขคู่)
• ลอการิทึม
• ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ 0; + ;
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• ไม่มีเส้นกำกับ

ตอนนี้เรามาดูกรณีพิเศษเมื่อฐานของฟังก์ชันลอการิทึมมีค่ามากกว่าหนึ่ง: a > 1 . ภาพวาดด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม y = log 3 2 x และ y = ln x (กราฟสีน้ำเงินและสีแดง ตามลำดับ)

ค่าอื่นของฐานที่มากกว่าหนึ่งจะให้กราฟประเภทเดียวกัน

คำนิยาม 17

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเมื่อฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; + . เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางขวา ค่าฟังก์ชันจึงมีแนวโน้มเป็น - ∞ ;
• ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ∞ (จำนวนจริงทั้งชุด);
• ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นทั้งเลขคี่หรือเลขคู่)
• ฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ 0; + ;
• ฟังก์ชั่นนูนออกมาสำหรับ x ∈ 0; + ;
• ไม่มีจุดเปลี่ยน
• ไม่มีเส้นกำกับ
• จุดผ่านของฟังก์ชัน: (1; 0) .

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มาดูคุณสมบัติของแต่ละรายการและกราฟิกที่เกี่ยวข้องกัน

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติของคาบ เช่น เมื่อค่าฟังก์ชันถูกทำซ้ำที่ ความหมายที่แตกต่างกันอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันตามช่วงเวลา f (x + T) = f (x) (T – จุด) ดังนั้นรายการ "คาบบวกที่เล็กที่สุด" จะถูกเพิ่มเข้าไปในรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ นอกจากนี้เราจะระบุค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกลายเป็นศูนย์

1. ฟังก์ชันไซน์: y = บาป(x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าคลื่นไซน์

คำนิยาม 18

คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์:

• โดเมนคำจำกัดความ: จำนวนจริงทั้งชุด x ∈ - ∞ ; + ;
• ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π · k โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
• ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z และลดลงสำหรับ x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• ฟังก์ชันไซน์มีค่าสูงสุดเฉพาะที่จุด π 2 + 2 π · k; 1 และค่าต่ำสุดเฉพาะที่จุด - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• ฟังก์ชันไซน์จะเว้าเมื่อ x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z และนูนเมื่อ x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• ไม่มีเส้นกำกับ

1. ฟังก์ชันโคไซน์: y = คอส(x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าคลื่นโคไซน์

คำนิยาม 19

คุณสมบัติของฟังก์ชันโคไซน์:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; + ;
• ระยะเวลาบวกที่น้อยที่สุด: T = 2 π;
• ช่วงของค่า: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคู่ เนื่องจาก y (- x) = y (x);
• ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z และลดลงสำหรับ x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• ฟังก์ชันโคไซน์มีค่าสูงสุดเฉพาะที่จุด 2 π · k ; 1, k ∈ Z และค่าต่ำสุดเฉพาะที่จุด π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• ฟังก์ชันโคไซน์จะเว้าเมื่อ x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z และนูนเมื่อ x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• ไม่มีเส้นกำกับ

1. ฟังก์ชันแทนเจนต์: y = เสื้อ ก (x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่า แทนเจนต์

คำนิยาม 20

คุณสมบัติของฟังก์ชันแทนเจนต์:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
• พฤติกรรมของฟังก์ชันแทนเจนต์บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . ดังนั้น เส้นตรง x = π 2 + π · k k ∈ Z จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
• ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π · k สำหรับ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
• ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ;
• ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
• ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นเป็น - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• ฟังก์ชันแทนเจนต์จะเว้าสำหรับ x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z และนูนสำหรับ x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด π · k ; 0 , k ∈ Z ;

1. ฟังก์ชันโคแทนเจนต์: y = ค ที ก (x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าโคแทนเจนตอยด์ .

คำนิยาม 21

คุณสมบัติของฟังก์ชันโคแทนเจนต์:

• โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ (π · k ; π + π · k) โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม);

พฤติกรรมของฟังก์ชันโคแทนเจนต์บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . ดังนั้น เส้นตรง x = π · k k ∈ Z จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

• ระยะเวลาบวกที่น้อยที่สุด: T = π;
• ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π 2 + π · k สำหรับ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
• ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ;
• ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
• ฟังก์ชันจะลดลงสำหรับ x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• ฟังก์ชันโคแทนเจนต์จะเว้าสำหรับ x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z และนูนสำหรับ x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
• ไม่มีเส้นกำกับเฉียงหรือแนวนอน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ได้แก่ อาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ บ่อยครั้งเนื่องจากการมีอยู่ของคำนำหน้า "ส่วนโค้ง" ในชื่อ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจึงเรียกว่าฟังก์ชันส่วนโค้ง .

1. ฟังก์ชันอาร์คไซน์: y = a rc sin (x)

คำนิยาม 22

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กไซน์:

• ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
• ฟังก์ชันอาร์กไซน์มีความเว้าสำหรับ x ∈ 0; 1 และความนูนของ x ∈ - 1 ; 0 ;
• จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0; 0) ซึ่งเป็นศูนย์ของฟังก์ชันด้วย
• ไม่มีเส้นกำกับ

1. ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์: y = a rc cos (x)

คำนิยาม 23

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คโคไซน์:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - 1 ; 1 ;
• พิสัย: y ∈ 0 ; พาย;
• ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นคู่หรือคี่)
• ฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
• ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์มีความเว้าที่ x ∈ - 1; 0 และความนูนของ x ∈ 0; 1 ;
• จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด 0; พาย 2;
• ไม่มีเส้นกำกับ

1. ฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์: y = a rc t g (x)

คำนิยาม 24

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; + ;
• ช่วงของค่า: y ∈ - π 2 ; พาย 2;
• ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
• ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
• ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์มีความเว้าสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] และนูนสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞);
• จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0; 0) ซึ่งเป็นศูนย์ของฟังก์ชันด้วย
• เส้นกำกับแนวนอนเป็นเส้นตรง y = - π 2 เป็น x → - ∞ และ y = π 2 เป็น x → + ∞ (ในรูป เส้นกำกับเป็นเส้นสีเขียว)

1. ฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์: y = a rc c t g (x)

คำนิยาม 25

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กโคแทนเจนต์:

• โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; + ;
• พิสัย: y ∈ (0; π) ;
• ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบทั่วไป
• ฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
• ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ส่วนโค้งมีความเว้าสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞) และความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด 0; พาย 2;
• เส้นกำกับแนวนอนคือเส้นตรง y = π ที่ x → - ∞ (เส้นสีเขียวในรูปวาด) และ y = 0 ที่ x → + ∞

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ความรู้ ฟังก์ชันเบื้องต้นเบื้องต้น คุณสมบัติ และกราฟสำคัญไม่น้อยไปกว่าการรู้ตารางสูตรคูณ พวกเขาเป็นเหมือนรากฐาน ทุกสิ่งทุกอย่างขึ้นอยู่กับพวกเขา ทุกสิ่งทุกอย่างถูกสร้างขึ้นจากพวกเขา และทุกสิ่งทุกอย่างก็ขึ้นอยู่กับพวกเขา

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการฟังก์ชันพื้นฐานหลักๆ ทั้งหมด จัดทำกราฟ และให้ข้อมูลโดยไม่มีข้อสรุปหรือข้อพิสูจน์ คุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นตามโครงการ:

• พฤติกรรมของฟังก์ชันที่ขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ เส้นกำกับแนวตั้ง (หากจำเป็น ดูการจำแนกประเภทบทความเกี่ยวกับจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน)
• คู่และคี่;
• ช่วงของความนูน (นูนขึ้น) และความเว้า (นูนลง) จุดเปลี่ยนเว้า (หากจำเป็น ดูบทความเรื่องความนูนของฟังก์ชัน ทิศทางของความนูน จุดเปลี่ยนเว้า เงื่อนไขของความนูนและการเว้า)
• เส้นกำกับเฉียงและแนวนอน
• จุดเอกพจน์ฟังก์ชั่น;
• คุณสมบัติพิเศษของฟังก์ชันบางอย่าง (เช่น คาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ)

หากคุณสนใจหรือไปที่ส่วนต่างๆ ของทฤษฎีเหล่านี้ได้

ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นคือ: ฟังก์ชันคงที่ (ค่าคงที่), รากที่ n, ฟังก์ชันยกกำลัง, เลขชี้กำลัง, ฟังก์ชันลอการิทึม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

การนำทางหน้า

ฟังก์ชั่นถาวร

ฟังก์ชันคงที่ถูกกำหนดให้กับเซตของจำนวนจริงทั้งหมดด้วยสูตร โดยที่ C คือจำนวนจริงบางตัว ฟังก์ชันคงที่เชื่อมโยงค่าจริงแต่ละค่าของตัวแปรอิสระ x กับค่าเดียวกันของตัวแปรตาม y - ค่า C ฟังก์ชันค่าคงที่เรียกอีกอย่างว่าค่าคงที่

กราฟของฟังก์ชันคงที่เป็นเส้นตรงขนานกับแกน x และผ่านจุดที่มีพิกัด (0,C) ตามตัวอย่าง เราจะแสดงกราฟของฟังก์ชันคงที่ y=5, y=-2 และซึ่งในรูปด้านล่างสอดคล้องกับเส้นสีดำ สีแดง และสีน้ำเงิน ตามลำดับ

คุณสมบัติของฟังก์ชันคงที่

• โดเมน: เซตของจำนวนจริงทั้งหมด
• ฟังก์ชันคงที่คือเลขคู่
• ช่วงของค่า: ชุดประกอบด้วย เอกพจน์กับ .
• ฟังก์ชันคงที่จะไม่เพิ่มขึ้นและไม่ลดลง (นั่นคือสาเหตุที่ทำให้ค่าคงที่)
• มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงความนูนและความเว้าของค่าคงที่
• ไม่มีเส้นกำกับ
• ฟังก์ชันส่งผ่านจุด (0,C) ของระนาบพิกัด

รากของระดับที่ n

ลองพิจารณาฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน ซึ่งได้จากสูตร โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

รากของดีกรีที่ n, n เป็นเลขคู่

เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันรูทที่ n สำหรับค่าคู่ของเลขชี้กำลังรูต n

ดังตัวอย่าง นี่คือรูปภาพที่มีรูปภาพของกราฟฟังก์ชัน และสอดคล้องกับเส้นสีดำ สีแดง และสีน้ำเงิน

กราฟของฟังก์ชันรูทระดับคู่จะมีลักษณะคล้ายกันกับค่าอื่นของเลขชี้กำลัง

คุณสมบัติของฟังก์ชันรากที่ n สำหรับเลขคู่

รากที่ n คือเลขคี่

ฟังก์ชันรูทที่ n ที่มีเลขชี้กำลังรูตคี่ n ถูกกำหนดไว้บนชุดของจำนวนจริงทั้งชุด ตัวอย่างเช่น นี่คือกราฟฟังก์ชัน และสอดคล้องกับเส้นโค้งสีดำ สีแดง และสีน้ำเงิน

สำหรับค่าคี่อื่นๆ ของเลขชี้กำลังราก กราฟฟังก์ชันจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันรากที่ n สำหรับเลขคี่ n

ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตรของแบบฟอร์ม

ลองพิจารณารูปแบบของกราฟของฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง ขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง

เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม a ในกรณีนี้ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันนั้นขึ้นอยู่กับความสม่ำเสมอหรือความคี่ของเลขชี้กำลังตลอดจนเครื่องหมายของมัน ดังนั้นก่อนอื่นเราจะพิจารณาฟังก์ชันกำลังสำหรับค่าบวกคี่ของเลขชี้กำลัง a จากนั้นสำหรับเลขชี้กำลังบวกคู่จากนั้นสำหรับเลขชี้กำลังลบเลขคี่และสุดท้ายสำหรับค่าลบคู่ a

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนและไม่ลงตัว (รวมถึงประเภทของกราฟของฟังก์ชันกำลังดังกล่าว) ขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง a เราจะพิจารณาพวกมัน ประการแรก สำหรับ a จากศูนย์ถึงหนึ่ง อย่างที่สอง สำหรับค่าที่มากกว่าหนึ่ง ประการที่สาม สำหรับ a จากลบหนึ่งถึงศูนย์ ประการที่สี่ สำหรับค่าน้อยกว่าลบหนึ่ง

ในตอนท้ายของส่วนนี้ เพื่อความสมบูรณ์ เราจะอธิบายฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกเป็นเลขคี่

ลองพิจารณาฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกเป็นคี่ ซึ่งก็คือ โดยมี a = 1,3,5,....

รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง – เส้นสีดำ – เส้นสีน้ำเงิน – เส้นสีแดง – เส้นสีเขียว สำหรับ a=1 เรามี ฟังก์ชันเชิงเส้นย=x

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกเป็นเลขคี่

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกคู่

ลองพิจารณาฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกคู่ นั่นคือ สำหรับ a = 2,4,6,....

ตัวอย่างเช่น เราให้กราฟของฟังก์ชันกำลัง - เส้นสีดำ - เส้นสีน้ำเงิน - เส้นสีแดง สำหรับ a=2 เรามีฟังก์ชันกำลังสอง ซึ่งก็คือกราฟ พาราโบลากำลังสอง.

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกเป็นคู่

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบคี่

ดูกราฟของฟังก์ชันกำลังสำหรับค่าลบคี่ของเลขชี้กำลัง นั่นคือสำหรับ a = -1, -3, -5,....

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันกำลังตามตัวอย่าง - เส้นสีดำ - เส้นสีน้ำเงิน - เส้นสีแดง - เส้นสีเขียว สำหรับ a=-1 เรามี สัดส่วนผกผันซึ่งเป็นกราฟของใคร ไฮเปอร์โบลา.

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบคี่

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบคู่

มาดูฟังก์ชันยกกำลังสำหรับ a=-2,-4,-6,….

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง – เส้นสีดำ – เส้นสีน้ำเงิน – เส้นสีแดง

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบคู่

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะหรืออตรรกยะซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์และน้อยกว่า 1

ใส่ใจ!ถ้า a เป็นเศษส่วนบวกที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ผู้เขียนบางคนถือว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังเป็นช่วง มีการกำหนดว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ตอนนี้ผู้เขียนหนังสือเรียนหลายเล่มเกี่ยวกับพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังในรูปแบบของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ เราจะยึดถือมุมมองนี้อย่างแม่นยำ กล่าวคือ เราจะถือว่าเซตนี้เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกแบบเศษส่วน เราขอแนะนำให้นักเรียนค้นหาความคิดเห็นของครูเกี่ยวกับประเด็นที่ละเอียดอ่อนนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

พิจารณาฟังก์ชันกำลังด้วยตรรกยะหรือ ตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวก และ .

ให้เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันยกกำลังสำหรับ a=11/12 (เส้นสีดำ), a=5/7 (เส้นสีแดง), (เส้นสีน้ำเงิน), a=2/5 (เส้นสีเขียว)

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะหรืออตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มมากกว่า 1

ให้เราพิจารณาฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะหรืออตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม a และ

ให้เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันกำลังที่กำหนดโดยสูตร (เส้นสีดำ สีแดง สีน้ำเงิน และสีเขียว ตามลำดับ)

>

สำหรับค่าอื่นของเลขชี้กำลัง a กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงที่มากกว่าลบหนึ่งและน้อยกว่าศูนย์

ใส่ใจ!ถ้า a เป็นเศษส่วนลบที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ผู้เขียนบางคนถือว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังเป็นช่วง - มีการกำหนดว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ตอนนี้ผู้เขียนหนังสือเรียนหลายเล่มเกี่ยวกับพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังในรูปแบบของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ เราจะยึดถือมุมมองนี้อย่างแม่นยำ กล่าวคือ เราจะพิจารณาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบที่เป็นเศษส่วนให้เป็นเซต ตามลำดับ เราขอแนะนำให้นักเรียนค้นหาความคิดเห็นของครูเกี่ยวกับประเด็นที่ละเอียดอ่อนนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

มาดูฟังก์ชันกำลังกันดีกว่า

เพื่อให้มีความคิดที่ดีเกี่ยวกับรูปแบบของกราฟของฟังก์ชันกำลังสำหรับ เราจะยกตัวอย่างกราฟของฟังก์ชัน (เส้นโค้งสีดำ สีแดง สีน้ำเงิน และสีเขียว ตามลำดับ)

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลัง a,

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงที่ไม่ใช่จำนวนเต็มซึ่งมีค่าน้อยกว่าลบหนึ่ง

ให้เรายกตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสำหรับ โดยมีการแสดงด้วยเส้นสีดำ แดง น้ำเงิน และเขียว ตามลำดับ

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบที่ไม่ใช่จำนวนเต็มน้อยกว่าลบหนึ่ง

เมื่อ a = 0 เรามีฟังก์ชัน - นี่คือเส้นตรงที่ไม่รวมจุด (0;1) (มีการตกลงกันว่าจะไม่ให้ความสำคัญใด ๆ กับนิพจน์ 0 0)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันพื้นฐานหลักอย่างหนึ่งคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง โดยที่ และ มีรูปแบบที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a ลองคิดดูสิ

ขั้นแรก พิจารณากรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังรับค่าจากศูนย์ถึงหนึ่ง นั่นคือ

ตามตัวอย่าง เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับ a = 1/2 – เส้นสีน้ำเงิน, a = 5/6 – เส้นสีแดง กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะคล้ายกันสำหรับค่าอื่นของฐานจากช่วงเวลา

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานน้อยกว่าหนึ่ง

ให้เราไปยังกรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าหนึ่งนั่นคือ

เพื่อเป็นตัวอย่าง เราจะนำเสนอกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - เส้นสีน้ำเงินและ - เส้นสีแดง สำหรับค่าอื่นของฐานที่มากกว่าหนึ่ง กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานถัดไปคือฟังก์ชันลอการิทึม โดยที่ , . ฟังก์ชันลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์เท่านั้นนั่นคือสำหรับ

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมมีรูปแบบที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a

มหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติ

ภาควิชาธรณีวิทยาประยุกต์

บทคัดย่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูง

ในหัวข้อ: “ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น

คุณสมบัติและกราฟของพวกเขา"

สมบูรณ์:

ตรวจสอบแล้ว:

ครู

คำนิยาม. ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y=a x (โดยที่ a>0, a≠1) ถูกเรียก ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีฐานก

ให้เรากำหนดคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

1. โดเมนของคำจำกัดความคือเซต (R) ของจำนวนจริงทั้งหมด

2. พิสัย - เซต (R+) ของจำนวนจริงบวกทั้งหมด

3. สำหรับ a > 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามเส้นจำนวนทั้งหมด เวลา 0<а<1 функция убывает.

4. เป็นฟังก์ชันรูปแบบทั่วไป

, ในช่วงเวลา xО [-3;3]
, ในช่วงเวลา xО [-3;3]

ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y(x)=x n โดยที่ n คือตัวเลข ОR เรียกว่าฟังก์ชันยกกำลัง จำนวน n สามารถใช้กับค่าที่แตกต่างกันได้ ทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน ทั้งเลขคู่และคี่ ฟังก์ชันกำลังจะมีรูปแบบที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ลองพิจารณากรณีพิเศษที่เป็นฟังก์ชันกำลังและสะท้อนถึงคุณสมบัติพื้นฐานของเส้นโค้งประเภทนี้ตามลำดับต่อไปนี้: ฟังก์ชันกำลัง y=x² (ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังเลขคู่ - พาราโบลา) ฟังก์ชันกำลัง y=x³ (ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังคี่ - ลูกบาศก์พาราโบลา) และฟังก์ชัน y=√x (x ยกกำลัง ½) (ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน) ฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ (ไฮเปอร์โบลา)

ฟังก์ชั่นพลังงาน ย=x²

1. D(x)=R – ฟังก์ชันถูกกำหนดบนแกนตัวเลขทั้งหมด

2. E(y)= และเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา

ฟังก์ชั่นพลังงาน y=x³

1. กราฟของฟังก์ชัน y=x³ เรียกว่าลูกบาศก์พาราโบลา ฟังก์ชันกำลัง y=x³ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

2. D(x)=R – ฟังก์ชันถูกกำหนดบนแกนตัวเลขทั้งหมด

3. E(y)=(-∞;∞) – ฟังก์ชันรับค่าทั้งหมดในโดเมนของคำจำกัดความ

4. เมื่อ x=0 y=0 – ฟังก์ชันจะผ่านจุดกำเนิดของพิกัด O(0;0)

5. ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ

6. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่ (สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด)

, ในช่วงเวลา xО [-3;3]

ขึ้นอยู่กับปัจจัยตัวเลขที่อยู่ด้านหน้า x³ ฟังก์ชันสามารถชัน/คงที่ และเพิ่ม/ลดได้

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ:

ถ้าเลขชี้กำลัง n เป็นเลขคี่ กราฟของฟังก์ชันยกกำลังจะเรียกว่าไฮเปอร์โบลา ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็มมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) สำหรับ n ใดๆ;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) ถ้า n เป็นเลขคี่ E(y)=(0;∞) ถ้า n เป็นเลขคู่

3. ฟังก์ชันจะลดลงทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ถ้า n เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา (-∞;0) และลดลงในช่วงเวลา (0;∞) ถ้า n เป็นเลขคู่

4. ฟังก์ชันจะเป็นเลขคี่ (สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด) ถ้า n เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันจะเป็นแม้ว่า n จะเป็นเลขคู่ก็ตาม

5. ฟังก์ชันจะส่งผ่านจุด (1;1) และ (-1;-1) ถ้า n เป็นเลขคี่ และผ่านจุด (1;1) และ (-1;1) ถ้า n เป็นเลขคู่

, ในช่วงเวลา xО [-3;3]

ฟังก์ชันยกกำลังพร้อมเลขชี้กำลังเศษส่วน

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน (รูปภาพ) มีกราฟของฟังก์ชันดังแสดงในรูป ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: (รูปภาพ)

1. D(x) ОR ถ้า n เป็นเลขคี่ และ D(x)=
ในช่วงเวลา xO
, ในช่วงเวลา xО [-3;3]

ฟังก์ชันลอการิทึม y = log a x มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. โดเมนของคำจำกัดความ D(x)О (0; + ∞)

2. ช่วงค่า E(y) О (- ∞; + ∞)

3. ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ (ในรูปแบบทั่วไป)

4. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา (0; + ∞) สำหรับ a > 1 ลดลง (0; + ∞) สำหรับ 0< а < 1.

กราฟของฟังก์ชัน y = log a x สามารถหาได้จากกราฟของฟังก์ชัน y = a x โดยใช้การแปลงสมมาตรรอบเส้นตรง y = x รูปที่ 9 แสดงกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับ a > 1 และรูปที่ 10 สำหรับ 0< a < 1.

- ในช่วงเวลาxО
- ในช่วงเวลาxО

ฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x เรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน y = sin x, y = tan x, y = ctg x เป็นเลขคี่ และฟังก์ชัน y = cos x เป็นเลขคู่

ฟังก์ชัน y = บาป(x)

1. โดเมนของคำจำกัดความ D(x) ОR

2. ช่วงของค่า E(y) О [ - 1; 1].

3. ฟังก์ชั่นเป็นระยะ คาบหลักคือ 2π

4. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่

5. ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] และลดลงตามช่วง [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z

กราฟของฟังก์ชัน y = sin (x) แสดงในรูปที่ 11