ขั้นแรก ให้ลองค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน:

คุณจัดการหรือไม่? ลองเปรียบเทียบคำตอบ:

ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? ทำได้ดี!

ทีนี้ลองค้นหาช่วงของค่าของฟังก์ชัน:

พบมัน? มาเปรียบเทียบกัน:

เข้าใจแล้ว? ทำได้ดี!

มาทำงานกับกราฟอีกครั้งตอนนี้มันซับซ้อนขึ้นนิดหน่อย - ค้นหาทั้งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันและช่วงของค่าของฟังก์ชัน

วิธีค้นหาทั้งโดเมนและช่วงของฟังก์ชัน (ขั้นสูง)

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

ฉันคิดว่าคุณคงเข้าใจกราฟแล้ว ทีนี้ลองค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันตามสูตร (หากคุณไม่ทราบวิธีการทำเช่นนี้ โปรดอ่านหัวข้อเกี่ยวกับ):

คุณจัดการหรือไม่? มาตรวจสอบกัน คำตอบ:

1. เนื่องจากนิพจน์รากต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
2. เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์และนิพจน์รากไม่สามารถเป็นลบได้
3. เนื่องจากตามลำดับสำหรับทั้งหมด
4. เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

อย่างไรก็ตาม เรายังมีอีกประเด็นหนึ่งที่ยังไม่มีคำตอบ...

ฉันจะย้ำคำจำกัดความอีกครั้งและเน้นย้ำ:

คุณสังเกตเห็นไหม? คำว่า "โสด" เป็นองค์ประกอบที่สำคัญมากในคำจำกัดความของเรา ฉันจะพยายามอธิบายให้คุณฟังด้วยมือของฉัน

สมมติว่าเรามีฟังก์ชันที่กำหนดโดยเส้นตรง - ที่ เราแทนที่ค่านี้เป็น "กฎ" ของเราแล้วได้สิ่งนั้น ค่าหนึ่งสอดคล้องกับค่าเดียว เรายังสามารถสร้างตารางค่าต่างๆ และสร้างกราฟให้กับฟังก์ชันนี้เพื่อดูได้ด้วยตัวเราเอง

"ดู! - คุณพูดว่า "" เกิดขึ้นสองครั้ง!" บางทีพาราโบลาไม่ใช่ฟังก์ชันใช่ไหม? ไม่มันเป็น!

ความจริงที่ว่า “ ” ปรากฏขึ้นสองครั้งไม่ใช่เหตุผลที่จะกล่าวหาพาราโบลาของความคลุมเครือ!

ความจริงก็คือเมื่อคำนวณเราได้รับหนึ่งเกม และเมื่อคำนวณด้วย เราได้รับหนึ่ง igrek ถูกต้อง พาราโบลาก็คือฟังก์ชัน ดูกราฟ:

เข้าใจแล้ว? ถ้าไม่เช่นนั้น นี่คือตัวอย่างชีวิตที่อยู่ห่างไกลจากคณิตศาสตร์มาก!

สมมติว่าเรามีกลุ่มผู้สมัครที่พบกันขณะยื่นเอกสาร ซึ่งแต่ละคนเล่าในการสนทนาว่าเขาอาศัยอยู่ที่ไหน:

เห็นด้วย เป็นไปได้ทีเดียวที่ผู้ชายหลายคนจะอาศัยอยู่ในเมืองเดียว แต่เป็นไปไม่ได้ที่คนๆ เดียวจะอาศัยอยู่ในหลายเมืองพร้อมกัน นี่เป็นเหมือนการนำเสนอเชิงตรรกะของ "พาราโบลา" ของเรา - X ที่แตกต่างกันหลายอันสอดคล้องกับเกมเดียวกัน

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่การพึ่งพาไม่ใช่ฟังก์ชัน สมมติว่าคนกลุ่มเดียวกันนี้บอกเราว่าพวกเขาสมัครอะไรเป็นพิเศษ:

ที่นี่เรามีสถานการณ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: บุคคลหนึ่งสามารถส่งเอกสารสำหรับทิศทางเดียวหรือหลายทิศทางได้อย่างง่ายดาย นั่นก็คือ องค์ประกอบหนึ่งชุดจะถูกใส่ลงในจดหมาย องค์ประกอบหลายประการฝูงชน ตามลำดับ นี่ไม่ใช่ฟังก์ชัน

มาทดสอบความรู้ของคุณในทางปฏิบัติ

พิจารณาจากรูปภาพว่าอะไรคือฟังก์ชันและอะไรไม่ใช่:

เข้าใจแล้ว? และนี่คือ คำตอบ:

• ฟังก์ชันคือ - B, E
• ฟังก์ชั่นนี้ไม่ใช่ - A, B, D, D

คุณถามว่าทำไม? ใช่ นี่คือเหตุผล:

ในทุกภาพยกเว้น. ใน)และ จ)มีหลายอันต่อหนึ่ง!

ฉันแน่ใจว่าตอนนี้คุณสามารถแยกแยะฟังก์ชันออกจากฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย บอกว่าอาร์กิวเมนต์คืออะไรและตัวแปรตามคืออะไร และยังกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของอาร์กิวเมนต์และช่วงคำจำกัดความของฟังก์ชันได้ . เรามาดูส่วนถัดไปกันดีกว่า - จะตั้งค่าฟังก์ชั่นอย่างไร?

วิธีการระบุฟังก์ชัน

คุณคิดว่าคำเหล่านี้หมายถึงอะไร? "ตั้งค่าฟังก์ชั่น"- ถูกต้อง นี่หมายถึงการอธิบายให้ทุกคนฟังว่าฟังก์ชันในกรณีนี้คืออะไร เรากำลังพูดถึง- และอธิบายให้ทุกคนเข้าใจคุณได้อย่างถูกต้อง และกราฟฟังก์ชันที่ผู้คนวาดตามคำอธิบายของคุณก็เหมือนกัน

สิ่งนี้สามารถทำได้อย่างไร? จะตั้งค่าฟังก์ชั่นได้อย่างไร?วิธีที่ง่ายที่สุดซึ่งมีการใช้มากกว่าหนึ่งครั้งในบทความนี้คือ โดยใช้สูตรเราเขียนสูตร และโดยการแทนที่ค่าลงไป เราจะคำนวณค่า และอย่างที่คุณจำได้ สูตรก็คือกฎ ซึ่งเป็นกฎเกณฑ์ที่เราและอีกฝ่ายจะเข้าใจอย่างชัดเจนว่า X กลายเป็น Y ได้อย่างไร

โดยปกติแล้วนี่คือสิ่งที่พวกเขาทำ - ในงานเราเห็นฟังก์ชันสำเร็จรูปที่ระบุโดยสูตรอย่างไรก็ตามมีวิธีอื่นในการตั้งค่าฟังก์ชันที่ทุกคนลืมไปดังนั้นคำถาม "คุณจะตั้งค่าฟังก์ชันได้อย่างไร" แผ่นกั้น ลองคิดตามลำดับแล้วเริ่มด้วยวิธีการวิเคราะห์

วิธีการวิเคราะห์การระบุฟังก์ชัน

วิธีการวิเคราะห์คือการระบุฟังก์ชันโดยใช้สูตร นี่เป็นวิธีการที่เป็นสากล ครอบคลุม และไม่คลุมเครือที่สุด หากคุณมีสูตรคุณก็รู้ทุกอย่างเกี่ยวกับฟังก์ชันอย่างแน่นอน - คุณสามารถสร้างตารางค่าจากนั้นคุณสามารถสร้างกราฟกำหนดตำแหน่งที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและตำแหน่งที่ลดลงโดยทั่วไปศึกษา อย่างเต็มที่

ลองพิจารณาฟังก์ชันดู ความแตกต่างคืออะไร?

"มันหมายความว่าอะไร?" - คุณถาม ฉันจะอธิบายตอนนี้

ฉันขอเตือนคุณว่าในสัญกรณ์นิพจน์ในวงเล็บเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ และข้อโต้แย้งนี้สามารถเป็นนิพจน์ใดก็ได้ ไม่จำเป็นต้องเรียบง่ายเสมอไป ดังนั้น ไม่ว่าอาร์กิวเมนต์จะเป็นเช่นไร (นิพจน์ในวงเล็บ) เราจะเขียนมันลงในนิพจน์แทน

ในตัวอย่างของเรา มันจะมีลักษณะดังนี้:

ลองพิจารณางานอื่นที่เกี่ยวข้องกับวิธีการวิเคราะห์เพื่อระบุฟังก์ชันที่คุณจะต้องทำในการสอบ

หาค่าของนิพจน์ได้ที่

ฉันแน่ใจว่าในตอนแรกคุณกลัวเมื่อเห็นสีหน้าแบบนั้น แต่ก็ไม่มีอะไรน่ากลัวเลย!

ทุกอย่างเหมือนกับในตัวอย่างก่อนหน้า ไม่ว่าอาร์กิวเมนต์จะเป็นเช่นไร (นิพจน์ในวงเล็บ) เราจะเขียนมันลงในนิพจน์แทน ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน

จะต้องทำอะไรในตัวอย่างของเรา? คุณต้องเขียนแทนและแทน -:

ย่อนิพจน์ผลลัพธ์ให้สั้นลง:

แค่นั้นแหละ!

ทำงานอิสระ

ทีนี้ลองค้นหาความหมายของสำนวนต่อไปนี้ด้วยตัวเอง:

1. , ถ้า
2. , ถ้า

คุณจัดการหรือไม่? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรากัน: เราคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าฟังก์ชันมีรูปแบบ

แม้แต่ในตัวอย่างของเรา เราก็กำหนดฟังก์ชันในลักษณะนี้ทุกประการ แต่ในเชิงวิเคราะห์แล้ว ก็เป็นไปได้ที่จะกำหนดฟังก์ชันในรูปแบบโดยนัย เป็นต้น

ลองสร้างฟังก์ชั่นนี้ด้วยตัวเอง

คุณจัดการหรือไม่?

นี่คือวิธีที่ฉันสร้างมัน

ในที่สุดเราก็ได้สมการอะไรมา?

ขวา! เชิงเส้น ซึ่งหมายความว่ากราฟจะเป็นเส้นตรง มาสร้างตารางเพื่อพิจารณาว่าจุดใดเป็นของเส้นของเรา:

นั่นคือสิ่งที่เรากำลังพูดถึง... สิ่งหนึ่งสอดคล้องกับหลาย ๆ อย่าง

ลองวาดสิ่งที่เกิดขึ้น:

สิ่งที่เราได้ฟังก์ชันคืออะไร?

ถูกต้อง ไม่! ทำไม พยายามตอบคำถามนี้ด้วยความช่วยเหลือของรูปวาด คุณได้อะไร?

“เพราะว่าค่าหนึ่งสอดคล้องกับหลายค่า!”

เราจะได้ข้อสรุปอะไรจากเรื่องนี้?

ถูกต้อง ฟังก์ชันไม่สามารถแสดงออกได้อย่างชัดเจนเสมอไป และสิ่งที่ "ปลอมตัว" เป็นฟังก์ชันก็ไม่ใช่ฟังก์ชันเสมอไป!

วิธีการระบุฟังก์ชันแบบตาราง

ตามชื่อ วิธีนี้เป็นสัญญาณง่ายๆ ใช่ใช่ เช่นเดียวกับที่คุณและฉันได้ทำไปแล้ว ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่คุณสังเกตเห็นรูปแบบทันที - Y มีขนาดใหญ่กว่า X ถึงสามเท่า และตอนนี้งานที่ต้อง "คิดให้รอบคอบ": คุณคิดว่าฟังก์ชันที่กำหนดในรูปแบบของตารางเทียบเท่ากับฟังก์ชันหรือไม่?

ไม่คุยกันนาน แต่มาวาดกันเถอะ!

ดังนั้น. เราวาดฟังก์ชั่นที่ระบุโดยวอลเปเปอร์ด้วยวิธีต่อไปนี้:

คุณเห็นความแตกต่างหรือไม่? มันไม่ได้เกี่ยวกับจุดที่ทำเครื่องหมายไว้เท่านั้น! ลองดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

คุณเคยเห็นมันตอนนี้หรือไม่? เมื่อเรากำหนดฟังก์ชันในลักษณะตาราง เราจะแสดงบนกราฟเฉพาะจุดที่เรามีในตารางและเส้น (เช่นในกรณีของเรา) ผ่านไปเท่านั้น เมื่อเรากำหนดฟังก์ชันในเชิงวิเคราะห์ เราสามารถหาจุดใดก็ได้ และฟังก์ชันของเราไม่ได้จำกัดอยู่เพียงจุดนั้น นี่คือลักษณะเฉพาะ จดจำ!

วิธีการสร้างฟังก์ชันแบบกราฟิก

วิธีการสร้างฟังก์ชันแบบกราฟิกนั้นสะดวกไม่น้อย เราวาดฟังก์ชันของเรา แล้วผู้สนใจอีกคนสามารถหาค่า y เท่ากับค่า x ใดค่าหนึ่งได้ เป็นต้น วิธีการเชิงกราฟิกและการวิเคราะห์เป็นวิธีที่พบได้บ่อยที่สุด

อย่างไรก็ตามที่นี่คุณต้องจำสิ่งที่เราพูดถึงในตอนเริ่มต้น - ไม่ใช่ทุก "squiggle" ที่วาดในระบบพิกัดจะเป็นฟังก์ชัน! คุณจำได้ไหม? ในกรณีนี้ ผมจะคัดลอกคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้มาไว้ที่นี่:

ตามกฎแล้ว ผู้คนมักจะตั้งชื่อสามวิธีในการระบุฟังก์ชันที่เราได้พูดคุยอย่างชัดเจน - เชิงวิเคราะห์ (โดยใช้สูตร) ​​แบบตารางและแบบกราฟิก โดยลืมไปเลยว่าฟังก์ชันสามารถอธิบายได้ด้วยวาจา เป็นยังไงบ้าง? ใช่ ง่ายมาก!

คำอธิบายด้วยวาจาของฟังก์ชัน

จะอธิบายฟังก์ชั่นด้วยวาจาได้อย่างไร? ลองใช้ตัวอย่างล่าสุดของเรา - . ฟังก์ชันนี้สามารถอธิบายได้ว่า “ค่าจริงทุกค่าของ x สอดคล้องกับค่าสามเท่าของมัน” แค่นั้นแหละ. ไม่มีอะไรซับซ้อน แน่นอนว่าคุณจะคัดค้าน -“ มีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนจนไม่สามารถระบุด้วยวาจาได้!” ใช่ มีฟังก์ชันดังกล่าว แต่มีฟังก์ชันที่อธิบายด้วยวาจาได้ง่ายกว่าการกำหนดด้วยสูตร ตัวอย่างเช่น: “ค่าธรรมชาติแต่ละค่าของ x สอดคล้องกับความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขนั้น ในขณะที่ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่ในสัญลักษณ์ของตัวเลขนั้นจะถูกถือเป็นเครื่องหมายลบ” ตอนนี้เรามาดูกันว่าคำอธิบายฟังก์ชั่นด้วยวาจาของเราถูกนำไปใช้ในทางปฏิบัติอย่างไร:

หลักที่ใหญ่ที่สุดในจำนวนที่กำหนดคือเครื่องหมายลบ จากนั้น:

ประเภทของฟังก์ชันหลัก

ตอนนี้เรามาดูส่วนที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - เรามาดูฟังก์ชันประเภทหลักที่คุณเคยทำงาน/กำลังทำงานอยู่และจะทำงานในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนและวิทยาลัยนั่นคือมาทำความรู้จักกับพวกมันกันดีกว่า และให้พวกเขา คำอธิบายสั้น ๆ- อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับแต่ละฟังก์ชันในส่วนที่เกี่ยวข้อง

ฟังก์ชันเชิงเส้น

หน้าที่ของแบบฟอร์ม โดยที่ - ตัวเลขจริง.

กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรง ดังนั้น จึงมีโครงสร้าง ฟังก์ชันเชิงเส้นลงมาเพื่อหาพิกัดของจุดสองจุด

ตำแหน่งของเส้นตรงบนระนาบพิกัดขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

ขอบเขตของฟังก์ชัน (หรือที่เรียกว่าขอบเขตของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้อง) คือ

ช่วงของค่า - .

ฟังก์ชันกำลังสอง

หน้าที่ของแบบฟอร์มอยู่ที่ไหน

กราฟของฟังก์ชันจะเป็นพาราโบลา เมื่อกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง เมื่อกิ่งก้านชี้ขึ้น

คุณสมบัติมากมาย ฟังก์ชันกำลังสองขึ้นอยู่กับมูลค่าของผู้เลือกปฏิบัติ การแบ่งแยกจะคำนวณโดยใช้สูตร

ตำแหน่งของพาราโบลาบนระนาบพิกัดสัมพันธ์กับค่าและสัมประสิทธิ์แสดงในรูป:

โดเมนของคำจำกัดความ

ช่วงของค่าขึ้นอยู่กับส่วนปลายสุดของฟังก์ชันที่กำหนด (จุดยอดของพาราโบลา) และค่าสัมประสิทธิ์ (ทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา)

สัดส่วนผกผัน

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร โดยที่

ตัวเลขนี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนผกผัน กิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาจะอยู่ในสี่เหลี่ยมที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับค่า:

ขอบเขตคำจำกัดความ - .

ช่วงของค่า - .

สรุปและสูตรพื้นฐาน

1. ฟังก์ชันคือกฎเกณฑ์ที่แต่ละองค์ประกอบของเซตเชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียวของเซต

• - นี่คือสูตรที่แสดงถึงฟังก์ชันนั่นคือการพึ่งพาตัวแปรหนึ่งไปยังอีกตัวแปรหนึ่ง
• - ค่าตัวแปรหรืออาร์กิวเมนต์
• - ปริมาณขึ้นอยู่กับ - เปลี่ยนแปลงเมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนแปลงนั่นคือตามสูตรเฉพาะใด ๆ ที่สะท้อนถึงการพึ่งพาปริมาณหนึ่งกับอีกปริมาณหนึ่ง

2. ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องหรือโดเมนของฟังก์ชัน คือสิ่งที่เชื่อมโยงกับความเป็นไปได้ที่ฟังก์ชันนั้นสมเหตุสมผล

3. ช่วงฟังก์ชัน- นี่คือค่าที่ต้องการ โดยพิจารณาจากค่าที่ยอมรับได้

4. การตั้งค่าฟังก์ชั่นมี 4 วิธี:

• วิเคราะห์ (ใช้สูตร);
• ตาราง;
• กราฟิก
• คำอธิบายด้วยวาจา

5. ประเภทฟังก์ชันหลัก:

• : , โดยที่ เป็นจำนวนจริง;
• : , ที่ไหน;
• : , ที่ไหน.

ที่ให้ไว้ วัสดุวิธีการมีไว้เพื่อการอ้างอิงเท่านั้นและใช้กับหัวข้อที่หลากหลาย บทความนี้นำเสนอภาพรวมของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นและข้ออภิปรายต่างๆ คำถามที่สำคัญที่สุด – วิธีสร้างกราฟอย่างถูกต้องและรวดเร็ว- ในรายวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงที่ไม่มีความรู้เรื่องกราฟพื้นฐาน ฟังก์ชั่นเบื้องต้นมันจะยาก ดังนั้น จึงสำคัญมากที่ต้องจำไว้ว่ากราฟของพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ มีลักษณะอย่างไร และจำค่าฟังก์ชันบางค่าด้วย อีกด้วย เราจะคุยกันเกี่ยวกับคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันพื้นฐาน

ฉันไม่ได้อ้างว่าเนื้อหามีความสมบูรณ์และครบถ้วนทางวิทยาศาสตร์ ก่อนอื่นจะเน้นไปที่การปฏิบัติ - สิ่งเหล่านั้นด้วย เราเผชิญหน้าอย่างแท้จริงในทุกขั้นตอนในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง- แผนภูมิสำหรับหุ่น? ใครๆ ก็พูดแบบนั้นได้

เนื่องจากมีการร้องขอจากผู้อ่านเป็นจำนวนมาก สารบัญที่คลิกได้:

นอกจากนี้ยังมีเรื่องย่อที่สั้นเป็นพิเศษในหัวข้อนี้
– ฝึกฝนแผนภูมิ 16 ประเภทโดยศึกษาหกหน้า!

จริงๆ นะ หก แม้แต่ฉันก็แปลกใจด้วยซ้ำ ข้อมูลสรุปนี้มีกราฟิกที่ได้รับการปรับปรุงและพร้อมใช้งานโดยมีค่าธรรมเนียมเล็กน้อย สามารถดูเวอร์ชันสาธิตได้ สะดวกในการพิมพ์ไฟล์เพื่อให้กราฟอยู่ใกล้แค่เอื้อม ขอบคุณสำหรับการสนับสนุนโครงการ!

และเริ่มกันเลย:

จะสร้างแกนพิกัดอย่างถูกต้องได้อย่างไร?

ในทางปฏิบัติ นักเรียนมักจะทำแบบทดสอบในสมุดบันทึกแยกกันโดยเรียงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำไมคุณถึงต้องมีเครื่องหมายตาหมากรุก? โดยหลักการแล้วงานนี้สามารถทำได้บนแผ่น A4 และกรงจำเป็นสำหรับการออกแบบภาพวาดคุณภาพสูงและแม่นยำเท่านั้น

การวาดกราฟฟังก์ชันใดๆ จะเริ่มต้นด้วยแกนพิกัด.

การวาดภาพอาจเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ

ก่อนอื่นมาพิจารณากรณีสองมิติก่อน ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน:

1) วาดแกนพิกัด แกนนั้นเรียกว่า แกน x และแกนก็คือ แกน y - เราพยายามวาดมันอยู่เสมอ เรียบร้อยและไม่คดเคี้ยว- ลูกศรไม่ควรมีลักษณะคล้ายกับเคราของ Papa Carlo

2) ติดป้ายกำกับแกน เป็นตัวพิมพ์ใหญ่"X" และ "Y" อย่าลืมติดป้ายแกนด้วย.

3) ตั้งสเกลตามแกน: วาดศูนย์และสองอัน- เมื่อวาดภาพ สเกลที่สะดวกและใช้บ่อยที่สุดคือ 1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย) - หากเป็นไปได้ ให้ติดไว้ อย่างไรก็ตามในบางครั้งอาจเกิดขึ้นว่าภาพวาดไม่พอดีกับแผ่นสมุดบันทึก - จากนั้นเราจะลดขนาดลง: 1 หน่วย = 1 เซลล์ (รูปวาดทางด้านขวา) เป็นเรื่องยาก แต่บังเอิญว่าขนาดของภาพวาดต้องลดลง (หรือเพิ่มขึ้น) มากยิ่งขึ้น

ไม่จำเป็นต้อง "ปืนกล" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….เพราะระนาบพิกัดไม่ใช่อนุสาวรีย์ของเดส์การตส์ และนักเรียนก็ไม่ใช่นกพิราบ เราใส่ ศูนย์และ สองหน่วยตามแนวแกน- บางครั้ง แทนหน่วย จะสะดวกในการ "ทำเครื่องหมาย" ค่าอื่น ๆ เช่น "สอง" บนแกน Abscissa และ "สาม" บนแกนกำหนด - และระบบนี้ (0, 2 และ 3) จะกำหนดตารางพิกัดโดยไม่ซ้ำกันด้วย

ควรประมาณขนาดโดยประมาณของแบบร่างก่อนสร้างแบบร่าง- ตัวอย่างเช่น หากงานจำเป็นต้องวาดรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด , , แสดงว่ามาตราส่วนยอดนิยมของ 1 หน่วย = 2 เซลล์จะไม่ทำงาน ทำไม ลองดูที่ประเด็น - ที่นี่คุณจะต้องวัดลงไปสิบห้าเซนติเมตรและเห็นได้ชัดว่าภาพวาดจะไม่พอดี (หรือแทบจะไม่พอดี) บนแผ่นสมุดบันทึก ดังนั้นเราจึงเลือกสเกลที่เล็กกว่าทันที: 1 หน่วย = 1 เซลล์

โดยวิธีการประมาณเซนติเมตรและเซลล์โน๊ตบุ๊ค จริงหรือไม่ที่เซลล์โน้ตบุ๊ก 30 เซลล์มี 15 เซนติเมตร? เพื่อความสนุกสนาน ใช้ไม้บรรทัดวัดสมุดบันทึกของคุณให้มีความสูง 15 เซนติเมตร ในสหภาพโซเวียตสิ่งนี้อาจเป็นจริง... เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณวัดเซนติเมตรเดียวกันนี้ในแนวนอนและแนวตั้ง ผลลัพธ์ (ในเซลล์) จะแตกต่างออกไป! พูดอย่างเคร่งครัด สมุดบันทึกสมัยใหม่ไม่ได้มีลักษณะเป็นตาหมากรุก แต่เป็นทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า สิ่งนี้อาจดูไร้สาระ แต่การวาดภาพวงกลมที่มีเข็มทิศในสถานการณ์เช่นนี้ไม่สะดวกอย่างยิ่ง พูดตามตรง ในช่วงเวลาดังกล่าวคุณเริ่มคิดถึงความถูกต้องของสหายสตาลินที่ถูกส่งไปยังค่ายเพื่อทำงานแฮ็กในการผลิต ไม่ต้องพูดถึงอุตสาหกรรมรถยนต์ในประเทศ เครื่องบินตก หรือโรงไฟฟ้าระเบิด

พูดถึงคุณภาพหรือคำแนะนำสั้นๆเกี่ยวกับเครื่องเขียน วันนี้โน้ตบุ๊กที่ขายส่วนใหญ่พูดน้อยที่สุดคือไร้สาระ ด้วยเหตุผลที่ทำให้เปียก ไม่ใช่แค่จากปากกาเจลเท่านั้น แต่ยังมาจากปากกาลูกลื่นด้วย! พวกเขาประหยัดเงินบนกระดาษ สำหรับการลงทะเบียน การทดสอบฉันแนะนำให้ใช้สมุดบันทึกจากโรงงานผลิตเยื่อและกระดาษ Arkhangelsk (18 แผ่น, ตาราง) หรือ "Pyaterochka" แม้ว่าจะมีราคาแพงกว่าก็ตาม ขอแนะนำให้เลือกปากกาเจล แม้แต่รีฟิลเจลจีนที่ถูกที่สุดก็ยังดีกว่าปากกาลูกลื่นซึ่งทำให้กระดาษเปื้อนหรือฉีกได้มาก ปากกาลูกลื่น "คู่แข่ง" เพียงหนึ่งเดียวที่ฉันจำได้คือ Erich Krause เธอเขียนได้ชัดเจน สวยงาม และสม่ำเสมอ ไม่ว่าจะเขียนเต็มแกนหรือแทบจะว่างเปล่าก็ตาม

นอกจากนี้: วิสัยทัศน์ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผ่านสายตาของเรขาคณิตวิเคราะห์มีกล่าวถึงในบทความนี้ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์, ข้อมูลรายละเอียดเกี่ยวกับไตรมาสประสานงานสามารถพบได้ในย่อหน้าที่สองของบทเรียน อสมการเชิงเส้น.

เคสสามมิติ

มันเกือบจะเหมือนกันที่นี่

1) วาดแกนพิกัด มาตรฐาน: ใช้แกน – ชี้ขึ้น, แกน – ชี้ไปทางขวา, แกน – ชี้ลงไปทางซ้าย อย่างเคร่งครัดที่มุม 45 องศา

2) ติดป้ายกำกับแกน

3) ตั้งสเกลตามแกน สเกลตามแกนจะเล็กกว่าสเกลตามแกนอื่นๆ สองเท่า- โปรดทราบว่าในภาพวาดที่ถูกต้องฉันใช้ "รอยบาก" ที่ไม่ได้มาตรฐานตามแกน (ความเป็นไปได้นี้ได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว)- จากมุมมองของฉัน สิ่งนี้แม่นยำกว่า เร็วกว่า และสวยงามกว่า - ไม่จำเป็นต้องมองหาจุดกึ่งกลางของเซลล์ใต้กล้องจุลทรรศน์และ "แกะสลัก" หน่วยที่อยู่ใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัด

เมื่อทำการวาดภาพ 3 มิติ ให้ให้ความสำคัญกับขนาดอีกครั้ง
1 หน่วย = 2 เซลล์ (รูปวาดทางด้านซ้าย)

กฎทั้งหมดนี้มีไว้เพื่ออะไร? กฎเกณฑ์มีไว้ให้แหก นั่นคือสิ่งที่ฉันจะทำตอนนี้ ความจริงก็คือฉันจะวาดรูปบทความในภายหลังใน Excel และแกนพิกัดจะดูไม่ถูกต้องจากมุมมองของการออกแบบที่ถูกต้อง ฉันสามารถวาดกราฟทั้งหมดด้วยมือได้ แต่จริงๆ แล้วมันน่ากลัวที่จะวาดกราฟเหล่านี้ เนื่องจาก Excel ไม่เต็มใจที่จะวาดกราฟให้แม่นยำมากขึ้น

กราฟและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคือ โดยตรง- ในการสร้างเส้นตรง การรู้จุดสองจุดก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างที่ 1

สร้างกราฟของฟังก์ชัน มาหาสองประเด็นกัน การเลือกศูนย์เป็นจุดใดจุดหนึ่งจะเป็นประโยชน์

ถ้าอย่างนั้น

ลองพิจารณาอีกประเด็นหนึ่ง เช่น 1

ถ้าอย่างนั้น

เมื่อทำงานเสร็จมักจะสรุปพิกัดของจุดต่างๆ ไว้ในตาราง:

และค่าต่างๆ จะถูกคำนวณด้วยวาจาหรือแบบร่างซึ่งเป็นเครื่องคิดเลข

พบสองจุด มาวาดรูปกัน:

เมื่อเตรียมภาพวาด เราจะเซ็นชื่อกราฟิกเสมอ.

มันจะมีประโยชน์ในการจำกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้น:

สังเกตว่าฉันวางลายเซ็นอย่างไร ลายเซ็นไม่ควรทำให้เกิดความแตกต่างเมื่อศึกษาภาพวาด- ในกรณีนี้ การวางลายเซ็นไว้ข้างจุดตัดของเส้นหรือที่มุมขวาล่างระหว่างกราฟเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนาอย่างยิ่ง

1) ฟังก์ชันเชิงเส้นของรูปแบบ () เรียกว่า สัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างเช่น, . กราฟสัดส่วนตรงจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ ดังนั้นการสร้างเส้นตรงจึงง่ายขึ้น - การหาเพียงจุดเดียวก็เพียงพอแล้ว

2) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันจะถูกสร้างขึ้นทันทีโดยไม่พบจุดใดๆ นั่นคือ ควรเข้าใจรายการดังนี้: “ค่า y จะเท่ากับ –4 เสมอ สำหรับค่า x ใดๆ ก็ตาม”

3) สมการของแบบฟอร์มระบุเส้นตรงขนานกับแกน โดยเฉพาะแกนนั้นได้มาจากสมการ กราฟของฟังก์ชันก็จะถูกพล็อตทันทีเช่นกัน ควรทำความเข้าใจรายการดังนี้: “x เสมอ สำหรับค่า y ใดๆ เท่ากับ 1”

บางคนก็จะถามว่าทำไมถึงจำชั้น ป.6 ได้! มันก็เป็นเช่นนั้น บางทีก็เป็นเช่นนั้น แต่ตลอดหลายปีที่ผ่านมาของการฝึกฝน ฉันได้พบกับนักเรียนดีๆ หลายสิบคนที่รู้สึกงุนงงกับงานสร้างกราฟแบบ or

การสร้างเส้นตรงเป็นการกระทำที่พบบ่อยที่สุดเมื่อวาดภาพ

เส้นตรงจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์ และผู้ที่สนใจสามารถดูบทความได้ สมการของเส้นตรงบนระนาบ.

กราฟของกำลังสอง ฟังก์ชันลูกบาศก์ กราฟของพหุนาม

พาราโบลา กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง () แสดงถึงพาราโบลา พิจารณากรณีที่มีชื่อเสียง:

ลองนึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันกัน

ดังนั้น วิธีแก้สมการของเรา: – ณ จุดนี้เองที่จุดยอดของพาราโบลาอยู่ เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้สามารถพบได้ในบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์และบทเรียนเรื่องสุดขั้วของฟังก์ชัน ในระหว่างนี้ มาคำนวณค่า "Y" ที่เกี่ยวข้องกัน:

ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่จุดนั้น

ตอนนี้เราพบจุดอื่นๆ ในขณะที่ใช้ความสมมาตรของพาราโบลาอย่างโจ่งแจ้ง ควรสังเกตว่าฟังก์ชั่น – ไม่เท่ากันแต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครยกเลิกสมมาตรของพาราโบลาได้

จะหาแต้มที่เหลือจะเป็นอย่างไรผมว่าน่าจะชัดเจนจากตารางสุดท้ายว่า

อัลกอริธึมการก่อสร้างนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นหลักการ "กระสวย" หรือ "ไปมา" โดย Anfisa Chekhova

มาวาดรูปกันเถอะ:

จากกราฟที่ตรวจสอบ คุณลักษณะที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งคือ:

สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง () ต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น.

ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง.

ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับเส้นโค้งหาได้จากบทเรียนไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

ฟังก์ชันกำหนดพาราโบลาลูกบาศก์มาให้ นี่คือภาพวาดที่คุ้นเคยจากโรงเรียน:

ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชัน

มันแสดงถึงกิ่งหนึ่งของพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

ในกรณีนี้แกนคือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของไฮเปอร์โบลาที่

มันจะเป็นความผิดพลาดครั้งใหญ่หากเมื่อคุณวาดรูปวาด คุณปล่อยให้กราฟตัดกับเส้นกำกับอย่างไม่ระมัดระวัง

ลิมิตด้านเดียวบอกเราว่าไฮเปอร์โบลา ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.

ลองตรวจสอบฟังก์ชันที่ระยะอนันต์: นั่นคือถ้าเราเริ่มเคลื่อนที่ไปตามแกนไปทางซ้าย (หรือขวา) ไปจนถึงระยะอนันต์ "เกม" จะเป็นขั้นตอนที่เป็นระเบียบ ปิดอนันต์เข้าใกล้ศูนย์ และกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาก็ตามมาด้วย ปิดอนันต์เข้าใกล้แกน

แกนก็คือ เส้นกำกับแนวนอน สำหรับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า "x" มีแนวโน้มบวกหรือลบอนันต์

ฟังก์ชั่นคือ แปลกดังนั้นไฮเปอร์โบลาจึงมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด ข้อเท็จจริงนี้ชัดเจนจากภาพวาด นอกจากนี้ยังตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ได้อย่างง่ายดาย: .

กราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ () แสดงถึงสองกิ่งของไฮเปอร์โบลา.

ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในพิกัดไตรมาสที่หนึ่งและสาม(ดูภาพด้านบน)

ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในควอเตอร์พิกัดที่สองและสี่.

รูปแบบที่ระบุของที่อยู่อาศัยไฮเปอร์โบลานั้นง่ายต่อการวิเคราะห์จากมุมมองของการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ

ตัวอย่างที่ 3

สร้างกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลา

เราใช้วิธีการก่อสร้างแบบ point-wise และมีข้อดีในการเลือกค่าเพื่อให้สามารถหารทั้งหมดได้:

มาวาดรูปกันเถอะ:

การสร้างกิ่งด้านซ้ายของไฮเปอร์โบลาไม่ใช่เรื่องยาก ความแปลกของฟังก์ชันจะช่วยได้ โดยคร่าวแล้ว ในตารางการสร้างแบบ pointwise เราบวกลบเข้ากับแต่ละตัวเลขในใจ ใส่จุดที่สอดคล้องกันแล้ววาดกิ่งที่สอง

ข้อมูลเรขาคณิตโดยละเอียดเกี่ยวกับเส้นที่พิจารณามีอยู่ในบทความไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในส่วนนี้ ฉันจะพิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังทันที เนื่องจากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงใน 95% ของกรณี มันคือเลขชี้กำลังที่พบ

ฉันขอเตือนคุณว่านี่คือจำนวนอตรรกยะ: สิ่งนี้จะต้องใช้ในการสร้างกราฟซึ่งอันที่จริงฉันจะสร้างโดยไม่มีพิธีการ สามแต้มบางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว:

ปล่อยให้กราฟของฟังก์ชันอยู่คนเดียวก่อน แล้วเราจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

กราฟฟังก์ชัน ฯลฯ โดยพื้นฐานแล้วมีลักษณะเหมือนกัน

ฉันต้องบอกว่ากรณีที่ 2 เกิดขึ้นไม่บ่อยนักในทางปฏิบัติ แต่ก็เกิดขึ้นจริง ดังนั้นฉันจึงถือว่าจำเป็นต้องรวมไว้ในบทความนี้

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

พิจารณาฟังก์ชันที่มีลอการิทึมธรรมชาติ
มาวาดภาพแบบจุดต่อจุดกัน:

หากคุณลืมว่าลอการิทึมคืออะไร โปรดดูหนังสือเรียนในโรงเรียนของคุณ

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

โดเมนของคำจำกัดความ:

ช่วงของค่า: .

ฟังก์ชั่นไม่ได้ถูกจำกัดจากด้านบน: แม้ว่าจะช้า แต่สาขาของลอการิทึมขึ้นไปถึงอนันต์
ให้เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้ศูนย์ทางด้านขวา: - แกนก็คือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของฟังก์ชันที่ "x" มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากด้านขวา

จำเป็นต้องรู้และจดจำค่าทั่วไปของลอการิทึม: .

โดยหลักการแล้ว กราฟของลอการิทึมถึงฐานจะมีลักษณะเหมือนกัน: , , (ลอการิทึมฐานสิบถึงฐาน 10) เป็นต้น ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งฐานมีขนาดใหญ่เท่าใด กราฟก็จะแบนราบมากขึ้นเท่านั้น

เราจะไม่พิจารณาคดีนี้ จำไม่ได้ว่าเมื่อใด ครั้งสุดท้ายฉันสร้างกราฟบนพื้นฐานนี้ และลอการิทึมดูเหมือนจะพบได้น้อยมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง

ในตอนท้ายของย่อหน้านี้ ฉันจะพูดข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม– เหล่านี้เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันสองฟังก์ชัน- หากคุณดูกราฟของลอการิทึมอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่านี่คือเลขชี้กำลังเดียวกัน แต่มีความแตกต่างกันเล็กน้อย

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การทรมานตรีโกณมิติเริ่มต้นที่โรงเรียนที่ไหน? ขวา. จากไซน์

ลองพลอตฟังก์ชันกัน

เส้นนี้เรียกว่า ไซนัสอยด์.

ฉันขอเตือนคุณว่า "pi" เป็นจำนวนอตรรกยะ และในวิชาตรีโกณมิติ มันทำให้ดวงตาของคุณตาพร่า

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชั่นนี้เป็น เป็นระยะๆด้วยระยะเวลา มันหมายความว่าอะไร? มาดูส่วนกัน ทางด้านซ้ายและขวาของกราฟ ส่วนเดียวกันของกราฟจะถูกทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

โดเมนของคำจำกัดความ: นั่นคือ สำหรับค่าใดๆ ของ “x” จะมีค่าไซน์

ช่วงของค่า: . ฟังก์ชั่นคือ จำกัด: นั่นคือ "เกม" ทั้งหมดจะอยู่ในส่วนนี้อย่างเคร่งครัด
สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้น: หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือมันเกิดขึ้น แต่สมการเหล่านี้ไม่มีคำตอบ

ความยาวของส่วน แกนพิกัดพบได้จากสูตร:

พบความยาวของส่วนบนระนาบพิกัดโดยใช้สูตร:

หากต้องการค้นหาความยาวของส่วนในระบบพิกัดสามมิติ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

พิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน (สำหรับแกนพิกัดจะใช้เฉพาะสูตรแรกเท่านั้นสำหรับระนาบพิกัด - สองสูตรแรกสำหรับระบบพิกัดสามมิติ - ทั้งสามสูตร) ​​คำนวณโดยใช้สูตร:

การทำงาน– นี่คือการโต้ตอบของแบบฟอร์ม ย= ฉ(x) ระหว่างปริมาณแปรผัน เนื่องจากแต่ละค่าพิจารณาค่าของปริมาณแปรผันบางค่า x(อาร์กิวเมนต์หรือตัวแปรอิสระ) สอดคล้องกับค่าหนึ่งของตัวแปรอื่น ย(ตัวแปรตาม บางครั้งค่านี้เรียกง่ายๆ ว่าค่าของฟังก์ชัน) โปรดทราบว่าฟังก์ชันจะถือว่ามีค่าอาร์กิวเมนต์หนึ่งค่า เอ็กซ์ตัวแปรตามสามารถสอดคล้องได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น ที่- แต่มีค่าเท่ากัน ที่สามารถรับได้ต่างกัน เอ็กซ์.

โดเมนฟังก์ชัน– นี่คือค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระ (อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน โดยปกติจะเป็นเช่นนี้ เอ็กซ์) ซึ่งมีการกำหนดฟังก์ชันไว้ เช่น ความหมายของมันมีอยู่จริง มีการระบุพื้นที่คำจำกัดความ ดี(ย- โดยทั่วไปแล้ว คุณคุ้นเคยกับแนวคิดนี้อยู่แล้ว โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเรียกอีกอย่างว่าโดเมนของค่าที่อนุญาตหรือ VA ซึ่งคุณสามารถหาได้มานานแล้ว

ช่วงฟังก์ชันคือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรตามของฟังก์ชันที่กำหนด กำหนด อี(ที่).

ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาที่ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน ฟังก์ชันกำลังลดลงในช่วงเวลาซึ่งค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

ช่วงของสัญญาณคงที่ของฟังก์ชัน- นี่คือช่วงเวลาของตัวแปรอิสระที่ตัวแปรตามคงเครื่องหมายบวกหรือลบไว้

ฟังก์ชันศูนย์– นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่มีค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ ที่จุดเหล่านี้ กราฟฟังก์ชันจะตัดแกนแอบซิสซา (แกน OX) บ่อยครั้ง ความจำเป็นในการค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันหมายถึงความจำเป็นในการแก้สมการ นอกจากนี้ บ่อยครั้งความจำเป็นในการหาช่วงความคงที่ของเครื่องหมายหมายถึงความจำเป็นในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

การทำงาน ย = ฉ(x) ถูกเรียก สม่ำเสมอ เอ็กซ์

ซึ่งหมายความว่าสำหรับสิ่งใดๆ ความหมายตรงกันข้ามอาร์กิวเมนต์ค่าของฟังก์ชันคู่จะเท่ากัน กราฟของฟังก์ชันคู่จะสมมาตรเสมอเมื่อเทียบกับแกนพิกัดของออปแอมป์

การทำงาน ย = ฉ(x) ถูกเรียก แปลกหากถูกกำหนดไว้บนเซตสมมาตรและสำหรับใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความความเท่าเทียมกันจะคงอยู่:

ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่าตรงข้ามของอาร์กิวเมนต์ ค่าของฟังก์ชันคี่ก็จะตรงกันข้ามเช่นกัน กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดเสมอ

ผลรวมของรากของฟังก์ชันคู่และคี่ (จุดตัดของแกน x OX) จะเท่ากับศูนย์เสมอ เพราะ สำหรับทุก ๆ รากที่เป็นบวก เอ็กซ์มีรากเป็นลบ - เอ็กซ์.

สิ่งสำคัญที่ควรทราบ: บางฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นเลขคู่หรือคี่ มีฟังก์ชันมากมายที่ไม่เป็นคู่หรือคี่ ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า ฟังก์ชั่น มุมมองทั่วไป และสำหรับพวกเขาแล้ว ไม่มีความเท่าเทียมกันหรือคุณสมบัติใดๆ ที่ให้ไว้ข้างต้นเป็นที่พอใจ

ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นฟังก์ชันที่สามารถกำหนดได้จากสูตร:

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง และในกรณีทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้ (มีตัวอย่างสำหรับกรณีเมื่อ เค> 0 ในกรณีนี้ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น สำหรับโอกาสนี้ เค < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (พาราโบลา)

กราฟของพาราโบลาถูกกำหนดโดยฟังก์ชันกำลังสอง:

ฟังก์ชันกำลังสองก็เหมือนกับฟังก์ชันอื่นๆ ที่ตัดแกน OX ที่จุดที่เป็นจุดราก: ( x 1 ; 0) และ ( x 2 ; 0) หากไม่มีราก ฟังก์ชันกำลังสองจะไม่ตัดกับแกน OX หากมีเพียงรากเดียว ณ จุดนี้ ( x 0 ; 0) ฟังก์ชันกำลังสองสัมผัสเฉพาะแกน OX แต่ไม่ได้ตัดกัน ฟังก์ชันกำลังสองจะตัดแกน OY ที่จุดที่มีพิกัดเสมอ: (0; ค- กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (พาราโบลา) อาจมีลักษณะเช่นนี้ (รูปแสดงตัวอย่างที่ไม่รวมพาราโบลาที่เป็นไปได้ทุกประเภท):

ในกรณีนี้:

• ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ก> 0 อยู่ในฟังก์ชัน ย = ขวาน 2 + บีเอ็กซ์ + คจากนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น
• ถ้า ก < 0, то ветви параболы направлены вниз.

พิกัดของจุดยอดของพาราโบลาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ เอ็กซ์ ท็อป (พี- ในภาพด้านบน) พาราโบลา (หรือจุดที่ตรีโกณมิติกำลังสองถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด):

ท็อปส์ซูอิเกรก (ถาม- ในรูปด้านบน) พาราโบลาหรือค่าสูงสุดหากกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง ( ก < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ก> 0) ค่า ตรีโกณมิติกำลังสอง:

กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ

ฟังก์ชั่นพลังงาน

นี่คือตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันกำลัง:

สัดส่วนผกผันเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร:

ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของหมายเลข เคกำหนดการกลับ การพึ่งพาอาศัยกันตามสัดส่วนอาจมีสองตัวเลือกพื้นฐาน:

เส้นกำกับเป็นเส้นตรงที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้อนันต์แต่ไม่ได้ตัดกัน เส้นกำกับสำหรับกราฟสัดส่วนผกผันที่แสดงในรูปด้านบนคือแกนพิกัดที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้อย่างไม่สิ้นสุด แต่ไม่ได้ตัดกัน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีฐาน กเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร:

กกำหนดการ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจมีสองตัวเลือกพื้นฐาน (เรายังยกตัวอย่าง ดูด้านล่าง):

ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร:

ขึ้นอยู่กับว่าจำนวนนั้นมากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง กกำหนดการ ฟังก์ชันลอการิทึมอาจมีสองตัวเลือกพื้นฐาน:

กราฟของฟังก์ชัน ย = |x| ดูเหมือนว่านี้:

กราฟของฟังก์ชันคาบ (ตรีโกณมิติ)

การทำงาน ที่ = ฉ(x) เรียกว่า เป็นระยะๆถ้ามีเลขไม่เป็นศูนย์เช่นนั้น ต, อะไร ฉ(x + ต) = ฉ(x) เพื่อใดๆ เอ็กซ์จากโดเมนของฟังก์ชัน ฉ(x- ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) เป็นคาบกับคาบ ตจากนั้นฟังก์ชัน:

ที่ไหน: ก, เค, ขเป็นตัวเลขคงที่ และ เคไม่เท่ากับศูนย์ และมีคาบเป็นงวดด้วย ต 1 ซึ่งถูกกำหนดโดยสูตร:

ตัวอย่างส่วนใหญ่ ฟังก์ชันเป็นระยะสิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันตรีโกณมิติ นี่คือกราฟของหลัก ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- รูปต่อไปนี้แสดงส่วนหนึ่งของกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป x(กราฟทั้งหมดดำเนินต่อไปทางซ้ายและขวาอย่างไม่มีกำหนด) กราฟของฟังก์ชัน ย= บาป xเรียกว่า ไซนัสอยด์:

กราฟของฟังก์ชัน ย=คอส xเรียกว่า โคไซน์- กราฟนี้แสดงในรูปต่อไปนี้ เนื่องจากกราฟไซน์ดำเนินต่อไปเรื่อยๆ ตามแนวแกน OX ไปทางซ้ายและขวา:

กราฟของฟังก์ชัน ย= ทีจี xเรียกว่า แทนเจนตอยด์- กราฟนี้แสดงในรูปต่อไปนี้ เช่นเดียวกับกราฟของฟังก์ชันคาบอื่นๆ กราฟนี้จะวนซ้ำไปเรื่อยๆ ตามแกน OX ไปทางซ้ายและขวา

และสุดท้ายคือกราฟของฟังก์ชัน ย=กะทิ xเรียกว่า โคแทนเจนตอยด์- กราฟนี้แสดงในรูปต่อไปนี้ เช่นเดียวกับกราฟของฟังก์ชันคาบและตรีโกณมิติอื่นๆ กราฟนี้จะวนซ้ำไปเรื่อยๆ ตามแกน OX ไปทางซ้ายและขวา

• กลับ
• ซึ่งไปข้างหน้า

จะเตรียมตัวสอบ CT ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?

เพื่อที่จะเตรียมความพร้อมสำหรับ CT ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ได้สำเร็จ จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขที่สำคัญที่สุดสามประการ:

1. ศึกษาหัวข้อทั้งหมดและทำแบบทดสอบและงานมอบหมายทั้งหมดที่ได้รับในเอกสารการศึกษาบนเว็บไซต์นี้ ในการทำเช่นนี้คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลย กล่าวคือ: ใช้เวลาสามถึงสี่ชั่วโมงทุกวันเพื่อเตรียมตัวสำหรับ CT ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ศึกษาทฤษฎีและการแก้ปัญหา ความจริงก็คือ CT เป็นข้อสอบที่แค่รู้ฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์ยังไม่เพียงพอ คุณต้องสามารถแก้โจทย์ได้อย่างรวดเร็วและไม่มีข้อผิดพลาดด้วย จำนวนมากงานสำหรับ หัวข้อที่แตกต่างกันและความซับซ้อนที่แตกต่างกันไป อย่างหลังสามารถเรียนรู้ได้โดยการแก้ปัญหานับพันเท่านั้น
2. เรียนรู้สูตรและกฎทั้งหมดในฟิสิกส์ และสูตรและวิธีการในวิชาคณิตศาสตร์ อันที่จริง วิธีนี้ทำได้ง่ายมากเช่นกัน มีสูตรฟิสิกส์ที่จำเป็นเพียงประมาณ 200 สูตร และน้อยกว่านั้นอีกเล็กน้อยในวิชาคณิตศาสตร์ แต่ละวิชาเหล่านี้มีวิธีการแก้ปัญหามาตรฐานประมาณสิบวิธี ระดับพื้นฐานความยากลำบากที่สามารถเรียนรู้ได้ ดังนั้น โดยอัตโนมัติโดยสมบูรณ์และปราศจากความยากลำบาก จะช่วยแก้ปัญหา CT ส่วนใหญ่ในเวลาที่เหมาะสม หลังจากนี้คุณจะต้องคิดถึงเฉพาะงานที่ยากที่สุดเท่านั้น
3. เข้าร่วมการทดสอบซ้อมทั้งสามขั้นตอนในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สามารถเยี่ยมชม RT แต่ละรายการได้สองครั้งเพื่อตัดสินใจเลือกทั้งสองตัวเลือก ย้ำอีกครั้งว่า ใน CT นอกจากความสามารถในการแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ รวมถึงความรู้เกี่ยวกับสูตรและวิธีการแล้ว ยังต้องสามารถวางแผนเวลา กระจายกำลังได้อย่างเหมาะสม และที่สำคัญที่สุดคือกรอกแบบฟอร์มคำตอบให้ถูกต้องโดยไม่ต้อง สับสนกับจำนวนคำตอบและปัญหาหรือนามสกุลของคุณเอง นอกจากนี้ ในช่วง RT สิ่งสำคัญคือต้องทำความคุ้นเคยกับรูปแบบการถามคำถามในปัญหา ซึ่งอาจดูเหมือนผิดปกติมากสำหรับผู้ที่ไม่ได้เตรียมตัวที่ DT

การดำเนินการตามสามประเด็นเหล่านี้ที่ประสบความสำเร็จ ขยัน และมีความรับผิดชอบ รวมถึงการศึกษาแบบทดสอบการฝึกอบรมขั้นสุดท้ายอย่างมีความรับผิดชอบ จะช่วยให้คุณแสดงผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมที่ CT ซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดที่คุณสามารถทำได้

พบข้อผิดพลาด?

หากคุณคิดว่าคุณพบข้อผิดพลาดแล้ว สื่อการศึกษาแล้วกรุณาเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ใน อีเมล- ในจดหมาย ให้ระบุหัวเรื่อง (ฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์) ชื่อหรือหมายเลขหัวข้อหรือแบบทดสอบ จำนวนปัญหา หรือสถานที่ในข้อความ (หน้า) ซึ่งในความเห็นของคุณมีข้อผิดพลาด อธิบายด้วยว่าข้อผิดพลาดที่น่าสงสัยคืออะไร จดหมายของคุณจะไม่มีใครสังเกตเห็น ข้อผิดพลาดจะได้รับการแก้ไข หรือคุณจะได้รับการอธิบายว่าทำไมจึงไม่ใช่ข้อผิดพลาด

กราฟฟังก์ชันคือการแสดงพฤติกรรมของฟังก์ชันบนระนาบพิกัดด้วยภาพ กราฟช่วยให้คุณเข้าใจแง่มุมต่างๆ ของฟังก์ชันที่ไม่สามารถระบุได้จากตัวฟังก์ชันเอง คุณสามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันต่างๆ ได้มากมาย และแต่ละฟังก์ชันจะได้รับสูตรเฉพาะ กราฟของฟังก์ชันใดๆ ถูกสร้างขึ้นโดยใช้อัลกอริธึมเฉพาะ (ในกรณีที่คุณลืมขั้นตอนที่แน่นอนในการสร้างกราฟฟังก์ชันเฉพาะ)

ขั้นตอน

การสร้างกราฟฟังก์ชันเชิงเส้น

ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่ฟังก์ชันเชิงเส้นได้มาจากสูตรของแบบฟอร์ม F (x) = k x + b (\รูปแบบการแสดงผล F(x)=kx+b)หรือ y = kx + b (\displaystyle y=kx+b)(เช่น ) และกราฟเป็นเส้นตรง ดังนั้น สูตรจึงประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งตัวและค่าคงที่หนึ่งตัว (ค่าคงที่) โดยไม่มีเลขยกกำลัง เครื่องหมายราก หรือสิ่งที่คล้ายกัน หากมีการกำหนดฟังก์ชันประเภทเดียวกัน การพล็อตกราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจะค่อนข้างง่าย นี่คือตัวอย่างอื่นๆ ของฟังก์ชันเชิงเส้น:

ใช้ค่าคงที่เพื่อทำเครื่องหมายจุดบนแกน Yค่าคงที่ (b) คือพิกัด “y” ของจุดที่กราฟตัดกับแกน Y นั่นคือเป็นจุดที่พิกัด “x” เท่ากับ 0 ดังนั้น หาก x = 0 ถูกแทนที่ด้วยสูตร แล้ว y = b (ค่าคงที่) ในตัวอย่างของเรา y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)ค่าคงที่เท่ากับ 5 นั่นคือจุดตัดกับแกน Y มีพิกัด (0.5) วางจุดนี้ไว้ ประสานงานเครื่องบิน.

หาความชันของเส้นตรง.มันเท่ากับตัวคูณของตัวแปร ในตัวอย่างของเรา y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)ด้วยตัวแปร “x” จะมีตัวประกอบเป็น 2; ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ความชันจะเท่ากับ 2 ค่าสัมประสิทธิ์ความชันจะกำหนดมุมเอียงของเส้นตรงไปยังแกน X กล่าวคือ ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ความชันยิ่งมาก ฟังก์ชันก็จะยิ่งเพิ่มหรือลดลงเร็วขึ้นเท่านั้น

เขียนความชันเป็นเศษส่วน.ปัจจัยความลาดชัน เท่ากับแทนเจนต์มุมเอียงนั่นคืออัตราส่วนของระยะทางแนวตั้ง (ระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรง) กับระยะทางแนวนอน (ระหว่างจุดเดียวกัน) ในตัวอย่างของเรา ความชันคือ 2 ดังนั้นเราจึงระบุได้ว่าระยะในแนวตั้งคือ 2 และระยะแนวนอนคือ 1 เขียนนี่เป็นเศษส่วน: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• หากความชันเป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง

1. จากจุดที่เส้นตรงตัดแกน Y ให้วาดจุดที่สองโดยใช้ระยะห่างในแนวตั้งและแนวนอน

   ฟังก์ชันเชิงเส้นสามารถเขียนกราฟได้โดยใช้จุดสองจุด ในตัวอย่างของเรา จุดตัดกับแกน Y มีพิกัด (0.5) จากจุดนี้ ให้เลื่อนขึ้นไป 2 ช่องแล้วไปทางขวา 1 ช่อง ทำเครื่องหมายจุด; ก็จะมีพิกัด (1,7) ตอนนี้คุณสามารถวาดเส้นตรงได้แล้วใช้ไม้บรรทัดลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุด

   เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ให้ค้นหาจุดที่สาม แต่โดยส่วนใหญ่แล้วกราฟสามารถพล็อตได้โดยใช้จุดสองจุด ดังนั้น คุณได้พลอตฟังก์ชันเชิงเส้นแล้ว

   1. การพล็อตจุดบนระนาบพิกัดกำหนดฟังก์ชัน

      ฟังก์ชันนี้แสดงเป็น f(x) ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร "y" เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน และค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร "x" เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาฟังก์ชัน y = x+2 ซึ่งก็คือ f(x) = x+2วาดเส้นตั้งฉากตัดกันสองเส้น

      เส้นแนวนอนคือแกน X เส้นแนวตั้งคือแกน Yติดป้ายกำกับแกนพิกัด

      แบ่งแต่ละแกนออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน แล้วกำหนดหมายเลข จุดตัดของแกนคือ 0 สำหรับแกน X: ตัวเลขบวกจะถูกพล็อตไปทางขวา (จาก 0) และตัวเลขลบไปทางซ้าย สำหรับแกน Y: ตัวเลขบวกจะถูกพล็อตไว้ด้านบน (ตั้งแต่ 0) และตัวเลขลบจะอยู่ด้านล่างค้นหาค่าของ "y" จากค่าของ "x"

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. ในตัวอย่างของเรา f(x) = x+2 แทนค่า x เฉพาะลงในสูตรนี้เพื่อคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน หากได้รับฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้ลดความซับซ้อนโดยการแยกตัว “y” ออกจากด้านหนึ่งของสมการพล็อตจุดบนระนาบพิกัด

      สำหรับพิกัดแต่ละคู่ ให้ทำดังนี้: ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันบนแกน X และวาดเส้นแนวตั้ง (เส้นประ) ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันบนแกน Y แล้ววาดเส้นแนวนอน (เส้นประ) ทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้นประสองเส้น ดังนั้นคุณได้พล็อตจุดบนกราฟแล้วลบเส้นประ

   ทำสิ่งนี้หลังจากพล็อตจุดทั้งหมดบนกราฟบนระนาบพิกัดแล้ว หมายเหตุ: กราฟของฟังก์ชัน f(x) = x เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางพิกัด [จุดที่มีพิกัด (0,0)] กราฟ f(x) = x + 2 เป็นเส้นขนานกับเส้น f(x) = x แต่เลื่อนขึ้นสองหน่วยจึงผ่านจุดที่มีพิกัด (0,2) (เพราะค่าคงที่คือ 2) .

   การสร้างกราฟฟังก์ชันที่ซับซ้อนค่าศูนย์ของฟังก์ชันคือค่าของตัวแปร x โดยที่ y = 0 นั่นคือจุดที่กราฟตัดกับแกน X โปรดจำไว้ว่าไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะมีศูนย์ แต่เป็นฟังก์ชันแรก ขั้นตอนในกระบวนการสร้างกราฟฟังก์ชันใดๆ หากต้องการค้นหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน ให้จัดให้เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

   ค้นหาและทำเครื่องหมายเส้นกำกับแนวนอนเส้นกำกับคือเส้นตรงที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้แต่ไม่เคยตัดกัน (นั่นคือ ในภูมิภาคนี้ ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ เช่น เมื่อหารด้วย 0) ทำเครื่องหมายเส้นกำกับด้วยเส้นประ หากตัวแปร "x" อยู่ในตัวส่วนของเศษส่วน (เช่น y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))) ตั้งค่าตัวส่วนเป็นศูนย์แล้วหา "x" ในค่าที่ได้รับของตัวแปร “x” ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ (ในตัวอย่างของเรา ให้วาดเส้นประผ่าน x = 2 และ x = -2) เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วย 0 ได้ แต่เส้นกำกับไม่ได้มีเฉพาะในกรณีที่ฟังก์ชันมีนิพจน์เศษส่วนเท่านั้น ดังนั้นจึงแนะนำให้ใช้สามัญสำนึก:

ย (x) = อีเอ็กซ์อนุพันธ์ซึ่งเท่ากับฟังก์ชันนั้นเอง

เลขชี้กำลังจะแสดงเป็น หรือ

หมายเลขจ

พื้นฐานของระดับเลขชี้กำลังคือ หมายเลขจ- นี่คือจำนวนอตรรกยะ ก็ประมาณเท่าๆ กัน
จ ≈ 2,718281828459045...

หมายเลข e ถูกกำหนดผ่านขีดจำกัดของลำดับ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง:
.

ตัวเลข e สามารถแสดงเป็นอนุกรมได้:
.

กราฟเอ็กซ์โปเนนเชียล

กราฟเอ็กซ์โปเนนเชียล y = e x

กราฟแสดงเลขชี้กำลัง จในระดับหนึ่ง เอ็กซ์.
ย (x) = อีเอ็กซ์
กราฟแสดงให้เห็นว่าเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ

สูตร

สูตรพื้นฐานเหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นองศา e

;
;
;

การแสดงออกของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีฐานใดก็ได้ของดีกรี a ถึงเอ็กซ์โพเนนเชียล:
.

ค่านิยมส่วนตัว

ปล่อยให้คุณ (x) = อีเอ็กซ์- แล้ว
.

คุณสมบัติเลขชี้กำลัง

เลขชี้กำลังมีคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังพร้อมฐานกำลัง จ > 1 .

โดเมน ชุดของค่า

เลขยกกำลัง y (x) = อีเอ็กซ์กำหนดไว้สำหรับ x ทั้งหมด
ขอบเขตของคำจำกัดความ:
- ∞ < x + ∞ .
ความหมายมากมายของมัน:
0 < y < + ∞ .

สุดขั้ว, เพิ่มขึ้น, ลดลง

เอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซาก ดังนั้นจึงไม่มีเอ็กซ์ตรีม คุณสมบัติหลักแสดงไว้ในตาราง

ฟังก์ชันผกผัน

ค่าผกผันของเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ
;
.

อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง

อนุพันธ์ จในระดับหนึ่ง เอ็กซ์เท่ากับ จในระดับหนึ่ง เอ็กซ์ :
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
.
การหาสูตร > > >

บูรณาการ

จำนวนเชิงซ้อน

การกระทำด้วย จำนวนเชิงซ้อนดำเนินการโดยใช้ สูตรของออยเลอร์:
,
หน่วยจินตภาพอยู่ที่ไหน:
.

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

; ;
.

นิพจน์ที่ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

; ;
;
.

การขยายซีรีย์พาวเวอร์

วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552