ฟังก์ชันเชิงเส้น ทฤษฎี. การวิเคราะห์งาน ฟังก์ชันเชิงเส้น สมบัติและกราฟ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y

>>คณิตศาสตร์: ฟังก์ชันเชิงเส้นและตารางงานของเธอ

ฟังก์ชันเชิงเส้นและกราฟ

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างกราฟของสมการ ax + by + c = 0 ซึ่งเรากำหนดไว้ใน§ 28 นักคณิตศาสตร์ไม่ชอบความชัดเจนและแน่นอนทั้งหมด พวกเขามักจะอ้างสิทธิ์เกี่ยวกับสองขั้นตอนแรกของอัลกอริทึม ทำไมพวกเขาถึงบอกว่าแก้สมการสองครั้งสำหรับตัวแปร y: อันดับแรก ax1 + โดย + c = O จากนั้น ax1 + โดย + c = O ไม่ดีไปกว่าการแสดง y จากสมการทันที ax + by + c = 0 แล้วการคำนวณจะง่ายกว่า (และที่สำคัญที่สุดคือเร็วกว่า)? เรามาตรวจสอบกัน มาพิจารณากันก่อน สมการ 3x - 2y + 6 = 0 (ดูตัวอย่างที่ 2 จาก§ 28)

ด้วยการให้ค่าเฉพาะ x ทำให้ง่ายต่อการคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อ x = 0 เราจะได้ y = 3; ที่ x = -2 เรามี y = 0; สำหรับ x = 2 เรามี y = 6; สำหรับ x = 4 เราได้: y = 9

คุณจะเห็นว่าพบจุด (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) และ (4; 9) ได้ง่ายและรวดเร็วเพียงใดซึ่งถูกเน้นไว้ในตัวอย่างที่ 2 จาก§ 28

ในทำนองเดียวกัน สมการ bx - 2y = 0 (ดูตัวอย่างที่ 4 จาก § 28) สามารถแปลงเป็นรูปแบบ 2y = 16 -3x เพิ่มเติม y = 2.5x; การค้นหาคะแนน (0; 0) และ (2; 5) เป็นไปตามสมการนี้ไม่ใช่เรื่องยาก

สุดท้ายสมการ 3x + 2y - 16 = 0 จากตัวอย่างเดียวกันสามารถแปลงเป็นรูปแบบ 2y = 16 -3x แล้วจะหาคะแนน (0; 0) และ (2; 5) ที่ตรงใจได้ไม่ยาก

ให้เราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ในรูปแบบทั่วไป

ดังนั้นสมการเชิงเส้น (1) ที่มีตัวแปร x และ y สองตัวจึงสามารถแปลงเป็นรูปแบบได้เสมอ
y = kx + m,(2) โดยที่ k,m คือตัวเลข (สัมประสิทธิ์) และ

เราจะเรียกสมการเชิงเส้นประเภทนี้ว่าฟังก์ชันเชิงเส้น

การใช้ความเท่าเทียมกัน (2) ทำให้ง่ายต่อการระบุค่า x เฉพาะและคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน ยกตัวอย่างว่า

y = 2x + 3 จากนั้น:
ถ้า x = 0 ดังนั้น y = 3;
ถ้า x = 1 ดังนั้น y = 5;
ถ้า x = -1 ดังนั้น y = 1;
ถ้า x = 3 ดังนั้น y = 9 เป็นต้น

โดยปกติแล้วผลลัพธ์เหล่านี้จะแสดงในรูปแบบ ตาราง:

ค่า y จากแถวที่สองของตารางเรียกว่าค่าของฟังก์ชันเชิงเส้น y = 2x + 3 ตามลำดับที่จุด x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

ในสมการ (1) ตัวแปร hnu เท่ากัน แต่ในสมการ (2) ไม่เท่ากัน: เรากำหนดค่าเฉพาะให้กับหนึ่งในนั้น - ตัวแปร x ในขณะที่ค่าของตัวแปร y ขึ้นอยู่กับค่าที่เลือกของตัวแปร x ดังนั้นเราจึงมักจะบอกว่า x เป็นตัวแปรอิสระ (หรืออาร์กิวเมนต์) y คือตัวแปรตาม

โปรดทราบ: ฟังก์ชันเชิงเส้นคือ ชนิดพิเศษสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว กราฟสมการ y - kx + m ก็เหมือนกับสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว นั่นคือเส้นตรง หรือเรียกอีกอย่างว่ากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + m ดังนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้จึงใช้ได้

ตัวอย่างที่ 1สร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = 2x + 3

สารละลาย. มาทำตารางกันเถอะ:

ในสถานการณ์ที่สอง ตัวแปรอิสระ x ซึ่งเช่นเดียวกับในสถานการณ์แรกหมายถึงจำนวนวันสามารถรับค่าได้เพียง 1, 2, 3, ... , 16 เท่านั้น แท้จริงแล้วถ้า x = 16 จากนั้นใช้สูตร y = 500 - 30x เราพบ : y = 500 - 30 16 = 20 ซึ่งหมายความว่าในวันที่ 17 จะไม่สามารถเอาถ่านหิน 30 ตันออกจากโกดังได้เนื่องจากภายในวันนี้มีเพียง 20 ตันจะยังคงอยู่ในคลังสินค้าและจะต้องหยุดกระบวนการกำจัดถ่านหิน ดังนั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับการปรับปรุงของสถานการณ์ที่สองจึงมีลักษณะดังนี้:

y = 500 - ZOD: โดยที่ x = 1, 2, 3, .... 16.

ในสถานการณ์ที่สาม เป็นอิสระ ตัวแปรตามทฤษฎีแล้ว x สามารถใช้กับค่าที่ไม่เป็นลบได้ (เช่น ค่า x = 0, ค่า x = 2, ค่า x = 3.5 เป็นต้น) แต่ในทางปฏิบัติ นักท่องเที่ยวไม่สามารถเดินไปด้วยได้ ความเร็วคงที่โดยไม่ได้นอนหรือพักผ่อนนานเท่าที่ต้องการ เราจึงต้องตั้งข้อจำกัดที่สมเหตุสมผลกับ x เช่น 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

จำได้ว่าแบบจำลองทางเรขาคณิตของอสมการสองเท่าแบบไม่เข้มงวด 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

ให้เราตกลงที่จะเขียนแทนวลี "x เป็นของเซต X" (อ่าน: "องค์ประกอบ x เป็นของเซต X" e คือสัญลักษณ์ของการเป็นสมาชิก) อย่างที่คุณเห็น ความคุ้นเคยกับภาษาคณิตศาสตร์ของเรานั้นดำเนินไปอย่างต่อเนื่อง

หากไม่ควรพิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + m ไม่ใช่สำหรับค่าทั้งหมดของ x แต่สำหรับค่า x จากช่วงตัวเลขที่แน่นอนเท่านั้น X จากนั้นพวกเขาจะเขียน:

ตัวอย่างที่ 2 สร้างกราฟฟังก์ชันเชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหา a) มาสร้างตารางสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น y = 2x + 1 กัน

มาสร้างกันต่อ ประสานงานเครื่องบิน xОу ชี้ (-3; 7) และ (2; -3) แล้วลากเส้นตรงผ่านพวกมัน นี่คือกราฟของสมการ y = -2x: + 1 จากนั้นเลือกส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่สร้างขึ้น (รูปที่ 38) ส่วนนี้คือกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y = -2x+1 โดยที่ xe [-3, 2]

พวกเขามักจะพูดแบบนี้: เราได้พลอตฟังก์ชันเชิงเส้น y = - 2x + 1 บนเซ็กเมนต์ [- 3, 2]

b) ตัวอย่างนี้แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้าอย่างไร ฟังก์ชันเชิงเส้นจะเหมือนกัน (y = -2x + 1) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงเส้นเดียวกันทำหน้าที่เป็นกราฟ แต่ - ระวัง! - คราวนี้ x e (-3, 2) เช่น ไม่พิจารณาค่า x = -3 และ x = 2 ซึ่งไม่อยู่ในช่วง (- 3, 2) เราทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาบนเส้นพิกัดได้อย่างไร วงกลมไฟ (รูปที่ 39) เราพูดถึงเรื่องนี้ใน§ 26 ในทำนองเดียวกันจุด (- 3; 7) และ B; - 3) จะต้องทำเครื่องหมายบนภาพวาดด้วยวงกลมสีอ่อน สิ่งนี้จะเตือนเราว่าเฉพาะจุดเหล่านั้นของเส้นตรง y = - 2x + 1 เท่านั้นที่อยู่ระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายด้วยวงกลม (รูปที่ 40) อย่างไรก็ตาม บางครั้งในกรณีเช่นนี้ พวกเขาจะใช้ลูกศรแทนวงกลมแสง (รูปที่ 41) นี่ไม่ใช่พื้นฐาน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสิ่งที่กำลังพูด

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันเชิงเส้นบนเซ็กเมนต์
สารละลาย. มาสร้างตารางสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นกันดีกว่า

มาสร้างจุด (0; 4) และ (6; 7) บนระนาบพิกัด xOy แล้ววาดเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น - กราฟของฟังก์ชัน x เชิงเส้น (รูปที่ 42)

เราต้องพิจารณาว่าฟังก์ชันเชิงเส้นนี้ไม่ใช่ทั้งหมด แต่พิจารณาเป็นเซ็กเมนต์ เช่น สำหรับ x e

ส่วนที่เกี่ยวข้องของกราฟจะถูกเน้นไว้ในภาพวาด เราสังเกตเห็นว่าคะแนนที่ใหญ่ที่สุดของส่วนที่เลือกมีค่าเท่ากับ 7 - นี่คือ มูลค่าสูงสุดฟังก์ชันเชิงเส้นบนเซ็กเมนต์ โดยปกติจะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้: y สูงสุด =7

เราสังเกตว่าลำดับที่เล็กที่สุดของจุดที่อยู่ในส่วนของเส้นที่เน้นในรูปที่ 42 เท่ากับ 4 - นี่คือค่าที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเชิงเส้นบนเซ็กเมนต์
โดยปกติจะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้: ชื่อ y = 4.

ตัวอย่างที่ 4ค้นหา y naib และ y naim สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น y = -1.5x + 3.5

ก) ในส่วน; b) ในช่วงเวลา (1.5);
c) ในช่วงเวลาครึ่ง

สารละลาย. มาสร้างตารางสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น y = -l.5x + 3.5:

เรามาสร้างจุด (1; 2) และ (5; - 4) บนระนาบพิกัด xOy แล้วลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น (รูปที่ 43-47) ให้เราเลือกส่วนที่สอดคล้องกับค่า x จากส่วน (รูปที่ 43) จากช่วง A, 5) (รูปที่ 44) จากช่วงครึ่ง (รูปที่ 47) บนเส้นตรงที่สร้างขึ้น

ก) จากรูปที่ 43 ทำให้ง่ายต่อการสรุปว่า y สูงสุด = 2 (ฟังก์ชันเชิงเส้นถึงค่านี้ที่ x = 1) และ y นาที = - 4 (ฟังก์ชันเชิงเส้นถึงค่านี้ที่ x = 5)

b) จากรูปที่ 44 เราสรุปได้ว่า: ไม่ใช่ค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุด กำหนดช่วงเวลาฟังก์ชันเชิงเส้นนี้ไม่มี ทำไม ความจริงก็คือไม่เหมือนกับกรณีก่อนหน้านี้ ปลายทั้งสองด้านของเซ็กเมนต์ซึ่งถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดจะไม่รวมอยู่ในการพิจารณา

c) จากรูปที่ 45 เราสรุปได้ว่า y สูงสุด = 2 (ดังเช่นในกรณีแรก) และ ค่าต่ำสุดฟังก์ชันเชิงเส้นไม่มี (เช่นในกรณีที่สอง)

d) จากรูปที่ 46 เราสรุปได้ว่า: y สูงสุด = 3.5 (ฟังก์ชันเชิงเส้นถึงค่านี้ที่ x = 0) และ y สูงสุด ไม่มีอยู่จริง

e) จากรูปที่ 47 เราจะสรุปได้ว่า: y max. = -1 (ฟังก์ชันเชิงเส้นถึงค่านี้ที่ x = 3) และไม่มีค่า y max.

ตัวอย่างที่ 5 สร้างกราฟฟังก์ชันเชิงเส้น

y = 2x - 6 ใช้กราฟเพื่อตอบคำถามต่อไปนี้:

ก) ค่า x จะ y = 0 เป็นเท่าใด
b) ค่า x จะ y > 0 สำหรับค่าใด
c) ค่า x จะเป็น y เท่าใด< 0?

วิธีแก้ปัญหา มาสร้างตารางสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น y = 2x-6 กัน:

ผ่านจุด (0; - 6) และ (3; 0) เราวาดเส้นตรง - กราฟของฟังก์ชัน y = 2x - 6 (รูปที่ 48)

a) y = 0 ที่ x = 3 กราฟตัดแกน x ที่จุด x = 3 นี่คือจุดที่มีพิกัด y = 0
b) y > 0 สำหรับ x > 3 ในความเป็นจริงถ้า x > 3 เส้นตรงจะอยู่เหนือแกน x ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดที่สอดคล้องกันของเส้นตรงนั้นเป็นค่าบวก

แมว< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ เราใช้กราฟเพื่อแก้ปัญหา:

ก) สมการ 2x - 6 = 0 (เราได้ x = 3)
b) อสมการ 2x - 6 > 0 (เราได้ x > 3)
c) อสมการ 2x - 6< 0 (получили х < 3).

ความคิดเห็น ในรัสเซียวัตถุเดียวกันมักเรียกต่างกันเช่น "บ้าน" "อาคาร" "โครงสร้าง" "กระท่อม" "คฤหาสน์" "ค่ายทหาร" "กระท่อม" "กระท่อม" ในภาษาคณิตศาสตร์ สถานการณ์จะใกล้เคียงกันโดยประมาณ สมมติว่าความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรสองตัว y = kx + m โดยที่ k, m เป็นตัวเลขเฉพาะ เรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้นได้ เรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้นได้ สมการเชิงเส้นด้วยตัวแปร x และ y สองตัว (หรือตัวแปร x และ y ที่ไม่รู้จักสองตัว) สามารถเรียกได้ว่าเป็นสูตร สามารถเรียกได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยง x และ y ในที่สุดก็สามารถเรียกได้ว่าเป็นการพึ่งพาระหว่าง x และ y ไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าในทุกกรณี เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ y = kx + m

พิจารณากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นที่แสดงในรูปที่ 49 ก ถ้าเราเลื่อนไปตามกราฟนี้จากซ้ายไปขวา พิกัดของจุดบนกราฟจะเพิ่มขึ้นตลอดเวลา ราวกับว่าเรากำลัง "ปีนขึ้นเขา" ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์ใช้คำว่า เพิ่ม และบอกว่า ถ้า k>0 ฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + m จะเพิ่มขึ้น

พิจารณากราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นที่แสดงในรูปที่ 49 ข ถ้าเราเลื่อนไปตามกราฟนี้จากซ้ายไปขวา พิกัดของจุดบนกราฟจะลดลงตลอดเวลา ราวกับว่าเรากำลัง "ลงเนิน" ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์ใช้คำว่า "ลดลง" และพูดว่า: ถ้า k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

ฟังก์ชั่นเชิงเส้นในชีวิต

ตอนนี้ขอสรุปหัวข้อนี้ เราคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องฟังก์ชันเชิงเส้นแล้ว เรารู้คุณสมบัติของมันและเรียนรู้วิธีสร้างกราฟ นอกจากนี้ คุณยังพิจารณากรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้นและเรียนรู้ว่าตำแหน่งสัมพัทธ์ของกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นขึ้นอยู่กับอะไร แต่ปรากฎว่าในตัวเรา ชีวิตประจำวันเรายังตัดกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้อย่างต่อเนื่อง

ลองคิดดูว่าสถานการณ์ในชีวิตจริงใดบ้างที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเช่นฟังก์ชันเชิงเส้น? และระหว่างปริมาณเท่าใดหรือ สถานการณ์ชีวิตบางทีอาจสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง?

หลายท่านคงยังไม่เข้าใจว่าเหตุใดจึงต้องศึกษาฟังก์ชันเชิงเส้น เพราะมันไม่น่าจะมีประโยชน์ในภายหลัง แต่ที่นี่คุณคิดผิดอย่างลึกซึ้ง เพราะเราพบกับฟังก์ชั่นต่างๆ ตลอดเวลาและทุกที่ เพราะแม้แต่ค่าเช่ารายเดือนปกติก็ยังเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว และตัวแปรเหล่านี้ได้แก่ พื้นที่เป็นตารางฟุต จำนวนผู้อยู่อาศัย อัตราภาษี การใช้ไฟฟ้า ฯลฯ

แน่นอนว่าตัวอย่างฟังก์ชันที่พบบ่อยที่สุด การพึ่งพาเชิงเส้นที่เราเจอคือบทเรียนคณิตศาสตร์

คุณกับฉันแก้ไขปัญหาโดยหาระยะทางที่รถยนต์ รถไฟ หรือคนเดินเท้าเดินทางด้วยความเร็วระดับหนึ่ง สิ่งเหล่านี้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของเวลาการเคลื่อนที่ แต่ตัวอย่างเหล่านี้ไม่เพียงแต่ใช้ได้กับคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังมีอยู่ในชีวิตประจำวันของเราอีกด้วย

ปริมาณแคลอรี่ของผลิตภัณฑ์นมขึ้นอยู่กับปริมาณไขมัน และความสัมพันธ์ดังกล่าวมักเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นเมื่อเปอร์เซ็นต์ไขมันในครีมเพิ่มขึ้นปริมาณแคลอรี่ของผลิตภัณฑ์ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน

ตอนนี้เรามาคำนวณและค้นหาค่าของ k และ b โดยการแก้ระบบสมการ:

ตอนนี้เรามาดูสูตรการพึ่งพากัน:

เป็นผลให้เราได้รับความสัมพันธ์เชิงเส้น

หากต้องการทราบความเร็วของการแพร่กระจายของเสียงขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ คุณสามารถค้นหาได้โดยใช้สูตร: v = 331 +0.6t โดยที่ v คือความเร็ว (เป็น m/s) t คืออุณหภูมิ หากเราวาดกราฟความสัมพันธ์นี้เราจะเห็นว่ากราฟนั้นเป็นเส้นตรง กล่าวคือ จะแสดงเป็นเส้นตรง

และเช่นนั้น การใช้งานจริงความรู้ในการประยุกต์ใช้การพึ่งพาฟังก์ชันเชิงเส้นสามารถแสดงได้เป็นเวลานาน เริ่มจากค่าโทรศัพท์ ความยาวและการเจริญเติบโตของเส้นผม และแม้กระทั่งสุภาษิตในวรรณคดี และรายการนี้ก็มีมาเรื่อยๆ

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วิดีโอในวิชาคณิตศาสตร์ออนไลน์ ดาวน์โหลดคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

A. V. Pogorelov เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11 หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา

ความหมายของฟังก์ชันเชิงเส้น

ให้เราแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้น

คำนิยาม

ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ $y=kx+b$ โดยที่ $k$ ไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้น

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง ตัวเลข $k$ เรียกว่าความชันของเส้นตรง

เมื่อ $b=0$ ฟังก์ชันเชิงเส้นเรียกว่าฟังก์ชันที่มีสัดส่วนโดยตรง $y=kx$

พิจารณารูปที่ 1

ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของความชันของเส้นตรง

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่า $ВС=kx_0+b$ ลองหาจุดตัดของเส้น $y=kx+b$ กับแกน $Ox$:

\ \

ดังนั้น $AC=x_0+\frac(b)(k)$ ลองหาอัตราส่วนของด้านเหล่านี้:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

ในทางกลับกัน $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$

ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

บทสรุป

ความหมายทางเรขาคณิตค่าสัมประสิทธิ์ $k$ ความชันของเส้น $k$ เท่ากับแทนเจนต์มุมเอียงของเส้นตรงนี้กับแกน $Ox$

ศึกษาฟังก์ชันเชิงเส้น $f\left(x\right)=kx+b$ และกราฟ

ขั้นแรก ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(x\right)=kx+b$ โดยที่ $k > 0$

$f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. เพราะฉะนั้น, ฟังก์ชั่นนี้เพิ่มขึ้นตลอดทั้งขอบเขตของคำจำกัดความ ไม่มีจุดที่รุนแรง
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
กราฟ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. กราฟของฟังก์ชัน $y=kx+b$ สำหรับ $k > 0$

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(x\right)=kx$ โดยที่ $k

โดเมนของคำจำกัดความคือตัวเลขทั้งหมด
ช่วงของค่าเป็นตัวเลขทั้งหมด
$f\ซ้าย(-x\right)=-kx+b$. ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่
สำหรับ $x=0,f\left(0\right)=b$ เมื่อ $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$

จุดตัดที่มีแกนพิกัด: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ และ $\left(0,\ b\right)$

$f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
$f^("")\left(x\right)=k"=0$ ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
กราฟ (รูปที่ 3)

ซึ่งเป็นชื่อที่เกี่ยวข้องกับ สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริงตัวหนึ่ง

YouTube สารานุกรม

1 / 5
หากตัวแปรทั้งหมด x 1 , x 2 , … , xn (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots ,x_(n))และราคาต่อรอง a 0 , a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(0),a_(1),a_(2),\dots ,a_(n))เป็นจำนวนจริง แล้วกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะอยู่ในนั้น (n + 1) (\displaystyle (n+1))-ปริภูมิมิติของตัวแปร x 1 , x 2 , … , xn , y (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots ,x_(n),y)เป็น n (\displaystyle n)-ไฮเปอร์เพลนมิติ
y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n (\displaystyle y=a_(0)+a_(1)x_(1)+a_(2)x_(2)+\dots +a_ (น)x_(n))
โดยเฉพาะเมื่อ n = 1 (\displaystyle n=1)- เส้นตรงบนเครื่องบิน

พีชคณิตเชิงนามธรรม

คำว่า "ฟังก์ชันเชิงเส้น" หรือที่เจาะจงกว่านั้นคือ "ฟังก์ชันเอกพันธ์เชิงเส้น" มักใช้เพื่ออธิบายการแสดงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ X (\รูปแบบการแสดงผล X)เหนือบางสนาม k (\displaystyle k)ลงในช่องนี้ กล่าวคือ สำหรับการแสดงผลดังกล่าว f: X → k (\รูปแบบการแสดงผล f:X\ถึง k)ซึ่งสำหรับองค์ประกอบใดๆ x , y ∈ X (\รูปแบบการแสดงผล x,y\ใน X)และอย่างใดอย่างหนึ่ง α , β ∈ k (\displaystyle \alpha ,\beta \in k)ความเท่าเทียมกันเป็นจริง
f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) (\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y))
ยิ่งไปกว่านั้น ในกรณีนี้ แทนที่จะใช้คำว่า "ฟังก์ชันเชิงเส้น" จะใช้คำว่า linear function และ linear form ด้วยเช่นกัน ซึ่งก็หมายถึงเส้นตรงเช่นกัน เป็นเนื้อเดียวกันหน้าที่ของคลาสหนึ่งๆ

ฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y=kx+b โดยที่ x คือตัวแปรอิสระ k และ b คือตัวเลขใดๆ
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง
1. ในการพล็อตกราฟฟังก์ชันเราต้องการพิกัดของจุดสองจุดที่เป็นของกราฟของฟังก์ชัน ในการค้นหา คุณต้องนำค่า x สองค่ามาแทนที่ลงในสมการของฟังก์ชัน และใช้ค่าเหล่านี้ในการคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกัน
ตัวอย่างเช่น หากต้องการพล็อตฟังก์ชัน y= x+2 จะสะดวกที่จะใช้ x=0 และ x=3 จากนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จะเท่ากับ y=2 และ y=3 เราได้คะแนน A(0;2) และ B(3;3) มาเชื่อมต่อพวกมันและรับกราฟของฟังก์ชัน y= x+2:

2. ในสูตร y=kx+b ตัวเลข k เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน:
ถ้า k>0 ฟังก์ชัน y=kx+b จะเพิ่มขึ้น
ถ้าเค
ค่าสัมประสิทธิ์ b แสดงการกระจัดของกราฟฟังก์ชันตามแกน OY:
ถ้า b>0 ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y=kx โดยการเลื่อนหน่วย b ขึ้นไปตามแกน OY
ถ้าข
รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชัน y=2x+3; y= ½ x+3; ย=x+3

โปรดทราบว่าในฟังก์ชันทั้งหมดนี้สัมประสิทธิ์ k มากกว่าศูนย์และฟังก์ชั่นก็คือ เพิ่มขึ้น.ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งค่า k ยิ่งมาก มุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน OX ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
ในทุกฟังก์ชัน b=3 - และเราเห็นว่ากราฟทั้งหมดตัดกันแกน OY ที่จุด (0;3)
ตอนนี้ให้พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=-2x+3; y=- ½ x+3; ย=-x+3

คราวนี้ในทุกฟังก์ชันจะมีค่าสัมประสิทธิ์ k น้อยกว่าศูนย์และฟังก์ชั่น กำลังลดลงสัมประสิทธิ์ b=3 และกราฟตัดแกน OY ที่จุด (0;3) เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้า
พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=2x+3; y=2x; y=2x-3

ทีนี้ ในสมการฟังก์ชันทั้งหมด ค่าสัมประสิทธิ์ k เท่ากับ 2 และเราได้เส้นขนานสามเส้น
แต่ค่าสัมประสิทธิ์ b ต่างกัน และกราฟเหล่านี้ตัดแกน OY ที่จุดต่างกัน:
กราฟของฟังก์ชัน y=2x+3 (b=3) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;3)
กราฟของฟังก์ชัน y=2x (b=0) ตัดแกน OY ที่จุด (0;0) - จุดกำเนิด
กราฟของฟังก์ชัน y=2x-3 (b=-3) ตัดกับแกน OY ที่จุด (0;-3)
ดังนั้น หากเรารู้สัญญาณของสัมประสิทธิ์ k และ b เราก็สามารถจินตนาการได้ทันทีว่ากราฟของฟังก์ชัน y=kx+b เป็นอย่างไร
ถ้า เค 0

ถ้า k>0 และ b>0จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:

ถ้า k>0 และขจากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:

ถ้า k ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b จะเป็นดังนี้:

ถ้า เค=0จากนั้นฟังก์ชัน y=kx+b จะกลายเป็นฟังก์ชัน y=b และกราฟของฟังก์ชันจะเป็นดังนี้:

พิกัดของจุดทั้งหมดบนกราฟของฟังก์ชัน y=b เท่ากับ b If ข=0จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y=kx (สัดส่วนโดยตรง) จะผ่านจุดกำเนิด:

3. ให้เราแยกกราฟของสมการ x=a ออกจากกันกราฟของสมการนี้เป็นเส้นตรงขนานกับแกน OY โดยทุกจุดจะมีค่า Abscissa x=a
ตัวอย่างเช่น กราฟของสมการ x=3 มีลักษณะดังนี้:
ความสนใจ!สมการ x=a ไม่ใช่ฟังก์ชัน ดังนั้นค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์จึงสอดคล้องกัน ความหมายที่แตกต่างกันฟังก์ชั่นซึ่งไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความของฟังก์ชั่น

4. เงื่อนไขความขนานของเส้นสองเส้น:
กราฟของฟังก์ชัน y=k 1 x+b 1 ขนานกับกราฟของฟังก์ชัน y=k 2 x+b 2 ถ้า k 1 =k 2
5. เงื่อนไขที่เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกัน:
กราฟของฟังก์ชัน y=k 1 x+b 1 ตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน y=k 2 x+b 2 ถ้า k 1 *k 2 =-1 หรือ k 1 =-1/k 2
6. จุดตัดกันของกราฟของฟังก์ชัน y=kx+b กับแกนพิกัด
ด้วยแกน OY ค่า Abscissa ของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OY มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากต้องการหาจุดตัดกับแกน OY คุณต้องแทนที่ศูนย์ในสมการของฟังก์ชันแทน x เราได้ y=b นั่นคือจุดตัดกับแกน OY มีพิกัด (0; b)
ด้วยแกน OX: พิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของแกน OX จะเป็นศูนย์ ดังนั้น หากต้องการหาจุดตัดกับแกน OX คุณต้องแทนที่ศูนย์ในสมการของฟังก์ชันแทน y เราได้ 0=kx+b ดังนั้น x=-b/k นั่นคือจุดตัดกับแกน OX มีพิกัด (-b/k;0):