โมเมนต์ของคำจำกัดความของแรงกระตุ้น โมเมนตัมของโมเมนตัมของจุดวัสดุของวัตถุแข็งเกร็ง แนวทางแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับกฎหมายอนุรักษ์ฯ

โมเมนตัมเชิงมุมในกลศาสตร์คลาสสิก

ความสัมพันธ์ระหว่างแรงกระตุ้นและแรงบิด

คำนิยาม

โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคที่สัมพันธ์กับจุดอ้างอิงที่แน่นอนถูกกำหนดโดยผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีและโมเมนตัม:

โดยที่ คือเวกเตอร์รัศมีของอนุภาคที่สัมพันธ์กับจุดอ้างอิงที่เลือก ซึ่งคงที่ในกรอบอ้างอิงที่กำหนด และเป็นโมเมนตัมของอนุภาค

สำหรับอนุภาคหลายๆ ตัว โมเมนตัมเชิงมุมหมายถึงผลรวม (เวกเตอร์) ของพจน์ต่อไปนี้

โดยที่เวกเตอร์รัศมีและโมเมนตัมของแต่ละอนุภาคเข้าสู่ระบบโดยที่โมเมนตัมเชิงมุมจะถูกกำหนด

(ในขีดจำกัด จำนวนอนุภาคสามารถมีเป็นอนันต์ได้ ตัวอย่างเช่น ในกรณีของของแข็งที่มีมวลกระจายอย่างต่อเนื่องหรือระบบการกระจายโดยทั่วไป สามารถเขียนได้ว่า ที่ไหน คือโมเมนตัมขององค์ประกอบจุดที่เล็กที่สุดของระบบ ).

จากคำจำกัดความของโมเมนตัมเชิงมุม จะเป็นไปตามนั้นว่าเป็นการบวก ทั้งสำหรับระบบอนุภาคโดยเฉพาะและสำหรับระบบที่ประกอบด้วยระบบย่อยหลายระบบ สิ่งต่อไปนี้ถือเป็น:

• หมายเหตุ: โดยหลักการแล้ว โมเมนตัมเชิงมุมสามารถคำนวณได้โดยสัมพันธ์กับจุดอ้างอิงใด ๆ (ผลลัพธ์ที่ต่างกันจะสัมพันธ์กันในลักษณะที่ชัดเจน) อย่างไรก็ตาม โดยส่วนใหญ่ (เพื่อความสะดวกและแน่นอน) จะมีการคำนวณสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวลหรือจุดหมุนคงที่ของวัตถุแข็งเกร็ง เป็นต้น)

การคำนวณแรงบิด

เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมถูกกำหนดโดยผลคูณเวกเตอร์ มันจึงเป็นเวกเตอร์เทียมที่ตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์และ อย่างไรก็ตาม ในกรณีของการหมุนรอบแกนคงที่ จะสะดวกที่จะไม่พิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมเป็นเวกเตอร์เทียม แต่เป็นการฉายภาพบนแกนการหมุนเป็นสเกลาร์ ซึ่งสัญญาณนั้นขึ้นอยู่กับทิศทางของการหมุน หากเลือกแกนดังกล่าวที่ผ่านจุดกำเนิดเพื่อคำนวณการฉายภาพโมเมนตัมเชิงมุมลงบนแกนนั้นคุณสามารถระบุสูตรจำนวนหนึ่งได้ตามกฎทั่วไปในการค้นหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว

โดยที่ มุมระหว่าง และ กำหนดเพื่อให้การหมุนจาก ถึง ทวนเข็มนาฬิกาจากมุมมองของผู้สังเกตซึ่งอยู่บนส่วนบวกของแกนหมุน ทิศทางการหมุนเป็นสิ่งสำคัญในการคำนวณเนื่องจากจะเป็นตัวกำหนดสัญลักษณ์ของการฉายภาพที่ต้องการ

ให้เราเขียนมันในรูปแบบ โดยที่องค์ประกอบของเวกเตอร์รัศมีขนานกับเวกเตอร์โมเมนตัม และในทำนองเดียวกัน ตั้งฉากกับมัน โดยพื้นฐานแล้วคือระยะห่างจากแกนหมุนถึงเวกเตอร์ ซึ่งมักเรียกว่า "แขน" ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถแบ่งเวกเตอร์โมเมนตัมออกเป็นสององค์ประกอบ: ขนานกับเวกเตอร์รัศมีและตั้งฉากกับเวกเตอร์นั้น ตอนนี้การใช้ความเป็นเส้นตรงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์รวมถึงคุณสมบัติที่ผลคูณของเวกเตอร์คู่ขนานเท่ากับศูนย์ เราสามารถรับนิพจน์เพิ่มเติมอีกสองรายการสำหรับ

การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

สมมาตรในวิชาฟิสิกส์
การแปลง	ที่สอดคล้องกัน ค่าคงที่	ที่สอดคล้องกัน กฎ การอนุรักษ์
↕ ออกอากาศเวลา	...พลังงาน
⊠ , , และ -สมมาตร	...ความสม่ำเสมอ
↔ พื้นที่ออกอากาศ	ความสม่ำเสมอ ช่องว่าง	...แรงกระตุ้น
↺ การหมุนของพื้นที่	ไอโซโทรปี ช่องว่าง	...ในขณะนั้น แรงกระตุ้น
⇆ กลุ่มลอเรนซ์	ทฤษฎีสัมพัทธภาพ ค่าคงที่ของลอเรนซ์	…4 พัลส์
~ การเปลี่ยนแปลงเกจ	ค่าคงที่ของเกจ	...ค่าใช้จ่าย

ดังนั้นข้อกำหนดที่ระบบปิดสามารถลดลงได้จนถึงข้อกำหนดที่โมเมนต์หลัก (รวม) ของแรงภายนอกมีค่าเท่ากับศูนย์:

โดยที่โมเมนต์หนึ่งของแรงหนึ่งที่ใช้กับระบบอนุภาคคือที่ไหน (แต่แน่นอนว่าหากไม่มีแรงภายนอกใด ๆ เลย ข้อกำหนดนี้ก็ได้รับการตอบสนองเช่นกัน)

ในทางคณิตศาสตร์ กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมเป็นไปตามไอโซโทรปีของอวกาศ กล่าวคือ จากความแปรปรวนของอวกาศเมื่อเทียบกับการหมุนผ่านมุมใดๆ ก็ตาม เมื่อหมุนผ่านมุมเล็กๆ ใดๆ ก็ตาม เวกเตอร์รัศมีของอนุภาคที่มีตัวเลขจะเปลี่ยนตาม และความเร็ว - ฟังก์ชันลากรองจ์ของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงไปพร้อมกับการหมุนดังกล่าว เนื่องจากไอโซโทรปีของอวกาศ นั่นเป็นเหตุผล

โดยคำนึงถึง โมเมนตัมทั่วไปของอนุภาคอยู่ที่ไหน แต่ละเทอมในผลรวมจากนิพจน์สุดท้ายสามารถเขียนใหม่ได้เป็น

ตอนนี้โดยใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสมเราทำการจัดเรียงเวกเตอร์แบบวนใหม่ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราได้รับโดยนำปัจจัยร่วมออกมา:

โมเมนตัมเชิงมุมของระบบอยู่ที่ไหน เนื่องจากความเด็ดขาดจึงตามมาจากความเท่าเทียมกัน

ในวงโคจร โมเมนตัมเชิงมุมจะกระจายระหว่างการหมุนของดาวเคราะห์กับโมเมนตัมเชิงมุมของการเคลื่อนที่ในวงโคจร:

โมเมนตัมเชิงมุมในไฟฟ้าพลศาสตร์

เมื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า โมเมนตัมแบบบัญญัติจะไม่เปลี่ยนแปลง ผลที่ตามมา โมเมนตัมเชิงมุมของ Canonical จึงไม่แปรเปลี่ยนเช่นกัน จากนั้นเราก็ใช้แรงกระตุ้นที่แท้จริงซึ่งเรียกอีกอย่างว่า "แรงกระตุ้นจลน์":

โดยที่ประจุไฟฟ้าคือความเร็วแสง และคือศักย์เวกเตอร์ ดังนั้น ค่าแฮมิลตัน (ไม่แปรเปลี่ยน) ของอนุภาคมวลมีประจุในสนามแม่เหล็กไฟฟ้าคือ:

ศักย์สเกลาร์อยู่ที่ไหน กฎของลอเรนซ์เป็นไปตามศักยภาพนี้ โมเมนตัมเชิงมุมไม่แปรเปลี่ยนหรือ "โมเมนตัมเชิงมุมจลน์" ถูกกำหนดโดย:

โมเมนตัมเชิงมุมในกลศาสตร์ควอนตัม

ตัวดำเนินการโมเมนต์

การคำนวณโมเมนตัมเชิงมุมในกลศาสตร์ไม่สัมพันธ์กัน

หากมีจุดวัสดุที่มีมวล เคลื่อนที่ด้วยความเร็วและอยู่ที่จุดที่อธิบายโดยเวกเตอร์รัศมี โมเมนตัมเชิงมุมจะถูกคำนวณโดยสูตร:

สัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์อยู่ที่ไหน

ในการคำนวณโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุนั้น จะต้องแบ่งออกเป็นชิ้นเล็ก ๆ และ เวกเตอร์สรุปช่วงเวลาของพวกเขาเป็นช่วงเวลาของโมเมนตัมของจุดวัตถุนั่นคือรับอินทิกรัล:

เราสามารถเขียนสิ่งนี้ใหม่ในแง่ของความหนาแน่น:

มีผลคูณของมวลและความเร็ว:

โมเมนตัมที่คล้ายคลึงกันในการเคลื่อนที่แบบหมุนคือโมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งเป็นผลคูณของโมเมนตัมความเฉื่อยของจุดวัสดุและความเร็วเชิงมุม:

L = Iω, กก. ม. 2 วินาที -1

โมเมนตัมเชิงมุมคือปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศทางสอดคล้องกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุมจะคงอยู่หากผลรวมของโมเมนต์ภายนอกทั้งหมดเป็นศูนย์

การใช้โมเมนตัมเชิงมุมอย่างชัดเจนสามารถเห็นได้ในระหว่างการแสดงของนักสเก็ตลีลาเมื่อพวกเขาเริ่มหมุนโดยแยกแขนออกกว้าง ๆ ค่อยๆปิดแขนพวกเขาจะเพิ่มความเร็วในการหมุน ดังนั้นพวกมันจึงลดโมเมนต์ความเฉื่อยและเพิ่มความเร็วเชิงมุม ดังนั้น เมื่อทราบความเร็วเชิงมุมเริ่มต้นของการหมุน ω 0 และโมเมนต์ความเฉื่อยโดยแยกแขนออกจากกัน I 0 และแขนปิด I 1 โดยใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม เราสามารถหาความเร็วเชิงมุมสุดท้าย ω 1:

ฉัน 0 ω 0 = ฉัน 1 ω 1 ω 1 = (ฉัน 0 ω 0)/ฉัน 1

ด้วยการใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม เราสามารถคำนวณพารามิเตอร์ของการเคลื่อนที่ในวงโคจรของดาวเคราะห์และยานอวกาศได้อย่างง่ายดาย

ในหน้า "กฎแห่งแรงโน้มถ่วงสากล" เราคำนวณความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ในวงโคจรด้วยรัศมี 392,500 กม. (ค่าเฉลี่ย) แต่อย่างที่คุณทราบ ดวงจันทร์เคลื่อนที่ในวงโคจรรูปไข่ ซึ่งที่จุดสิ้นสุดคือ 356,400 กม. และที่จุดสุดยอด - 406,700 กม. เราจะคำนวณความเร็วของดวงจันทร์ที่ขอบนอกและจุดสุดยอดโดยใช้ความรู้ที่ได้รับ

ข้อมูลเริ่มต้น:

• r โดย =392500 กม.;
• ความเร็วสูงสุด = 3,600 กม./ชม.;
• รพี =356400 กม.;
• วีพี -?;
• ร ก =406700 กม.;
• วะ-?

ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม เราจะมีความเท่าเทียมกันดังนี้

ฉัน avg ω av = ฉัน p ω p ฉัน avg ω av = ฉัน a ω a

เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางของดวงจันทร์ (3476 กม.) มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับระยะทางถึงโลก เราจะถือว่าดวงจันทร์เป็นจุดวัตถุ ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมากโดยไม่ส่งผลกระทบต่อความแม่นยำของมันอย่างมีนัยสำคัญ

โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุจะเท่ากับ:

ฉัน av = นาย av 2 ฉัน p = นาย p 2 I a = นาย a 2

ความเร็วเชิงมุม:

ω av = v av /r av ω p = v p /r p ω a = v a /r a

ให้เราทำการทดแทนที่เหมาะสมในสูตรกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม:

(นายเฉลี่ย 2)(v เฉลี่ย /r เฉลี่ย) = (mr p 2)(v p /r ap) (นายเฉลี่ย 2)(v เฉลี่ย /r ap) = (นาย a 2)(v a /r a)

หลังจากดำเนินการแปลงพีชคณิตอย่างง่ายแล้ว เราจะได้:

V p = v เฉลี่ย (r เฉลี่ย /r p) v a = v เฉลี่ย (r เฉลี่ย /r a)

แทนค่าตัวเลข:

โวลต์ p = 3600·392500/356400 = 3964 กม./ชม. v а = 3600·392500/406700 = 3474 กม./ชม.

โมเมนตัม

คำนิยาม

โมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธ์กับแกนคงที่ $z$ คือปริมาณสเกลาร์ $L_(z) $ เท่ากับเส้นโครงบนแกนนี้ของเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมที่กำหนดโดยสัมพันธ์กับจุดใดก็ได้ 0 ของแกนนี้

ค่าของโมเมนตัมเชิงมุม $L_(z) $ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด 0 บนแกน $z$ เมื่อวัตถุที่แข็งเกร็งอย่างยิ่งหมุนรอบแกนคงที่ แต่ละจุดของร่างกายจะเคลื่อนที่ไปตามวงกลมที่มีรัศมีคงที่ $r_(i) $ ด้วยความเร็วที่แน่นอน $v_(i) $ ความเร็ว $v_(i) $ และโมเมนตัม $m_(i) v_(i) $ ตั้งฉากกับรัศมีนี้ กล่าวคือ รัศมีคือแขนของเวกเตอร์ $m_(i) v_(i) $ ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่าโมเมนตัมเชิงมุมของแต่ละจุดที่สัมพันธ์กับแกน $z$ เท่ากับ:

โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งสัมพันธ์กับแกนคือผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของแต่ละจุด:

เมื่อคำนึงถึงความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม ($v_(i) =\omega r_(i) $) เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่สัมพันธ์กับแกนคงที่:

$L_(z) =\sum _(i=1)^(n)m_(i) r_(i)^(2) \omega =\omega \sum \limits _(i=1)^(n)m_ (i) r_(i)^(2) =J_(z) \โอเมก้า $, (1)

เหล่านั้น. โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งสัมพันธ์กับแกนเท่ากับผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนเดียวกันและความเร็วเชิงมุม การแสดงออกที่แตกต่าง (1) ตามเวลาเราได้รับ:

$\frac(dL_(z) )(dt) =J_(z) \frac(d\omega )(dt) =M_(z) $ (2)

นี่เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของสมการสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งที่สัมพันธ์กับแกนคงที่: อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนการหมุนคงที่นั้นเท่ากับช่วงเวลาที่เกิดสัมพันธ์กับสิ่งนี้ แกนของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกาย

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมตามสมการพื้นฐานของพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายซึ่งจับจ้องอยู่ที่จุดคงที่และประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้: หากโมเมนต์ผลลัพธ์ของแรงภายนอกสัมพันธ์กับจุดคงที่มีค่าเท่ากัน เป็นศูนย์ ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของร่างกายสัมพันธ์กับจุดนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

ใช้ได้หาก:

$M=0$ จากนั้น $\frac(dL)(dt) =0$,

จากที่: $\overline(L)=const$. (3)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมของระบบปิดไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

จากกฎพื้นฐานของพลวัตของร่างกายที่หมุนรอบแกนคงที่ $z$ (สมการที่ 2) กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนจะเป็นดังนี้: หากโมเมนต์ของแรงภายนอกสัมพันธ์กับแกนคงที่ ของการหมุนของร่างกายจะเท่ากับศูนย์เหมือนกันดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงในกระบวนการเคลื่อนที่เช่น ถ้า $M_(z) =0$ แล้ว $\frac(dL_(z) )(dt) =0$ โดยที่ $\overline(L)_(z) =const,$ หรือ $J_(z) \omega =const$.(4)

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมเป็นกฎพื้นฐานของธรรมชาติ ความถูกต้องของกฎหมายนี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของความสมมาตรของอวกาศ - ไอโซโทรปีของมันนั่นคือ ด้วยความคงที่ของกฎฟิสิกส์เกี่ยวกับการเลือกทิศทางของแกนพิกัดของระบบอ้างอิง

นิพจน์ต่อไปนี้ถูกต้อง:

• โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่สัมพันธ์กับแกนของการหมุนคือปริมาณทางกายภาพเท่ากับผลรวมของผลคูณของมวลของจุดวัตถุ n จุดของวัตถุด้วยกำลังสองของระยะทางถึงแกนที่เป็นปัญหา:
\
• โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ $J_(z) $ สัมพันธ์กับแกนการหมุนใดๆ เท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยของมัน $J_(c) $ สัมพันธ์กับแกนขนานที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล C ของวัตถุ บวกด้วย ผลคูณของมวล m ของร่างกายด้วยกำลังสองของระยะห่าง a ระหว่างแกน: $J_( z) =J_(c) +ma^(2) $;
• เมื่อวัตถุที่แข็งเกร็งอย่างยิ่งหมุนรอบแกนคงที่ $z$ พลังงานจลน์ของมันจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนการหมุนและกำลังสองของความเร็วเชิงมุม:
\
• จากการเปรียบเทียบสูตร $E_(k_(2@) ) =\frac(J_(z) \omega ^(2) )(2) $ และ $E_(k) =\frac(mv^(2) ) (2) $ เป็นไปตามว่าโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นการวัดความเฉื่อยของร่างกายในระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน
• สมการสำหรับพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุเกร็งเทียบกับแกนคงที่ z (อะนาล็อกของกฎข้อที่สองของนิวตัน) มีรูปแบบ: $M_(z) =J_(z) \varepsilon =\frac(dL_(z ) )(dt) $.

ตัวอย่าง

สิ่งของที่มีน้ำหนัก 0.8 กก. จะถูกแขวนไว้บนด้ายไร้น้ำหนักบาง ๆ ที่ความสูง 3 เมตรเหนือพื้น พันด้ายบนเพลาทรงกระบอกที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีรัศมี 30 ซม. และมีโมเมนต์ความเฉื่อย 0.15 กก.*ม2 เพลาหมุนจะช่วยลดภาระลงกับพื้น กำหนด: เวลาที่ลดภาระลงไปที่พื้น, แรงดึงของด้าย, พลังงานจลน์ของโหลดในขณะที่โหลดสัมผัสกับพื้น

$r$= 15 ซม.=0.15ม

$J_(x) $= 0.18 กก.*ตร.ม

ค้นหา: $t,N,E_(k) $-?

ดังนั้น แรงดึงของด้าย: $N=\frac(J_(x) \varepsilon )(r) =\frac(0.18\cdot 4)(0.15) =4.8H$

พลังงานจลน์ของภาระในขณะที่กระแทกพื้น:

คำตอบ: $t=3.2A$, $N=4.8H$, $E_(k) =0.9J.$

ปล่อยให้วัตถุบางอย่างภายใต้อิทธิพลของแรง F ที่จุด A หมุนรอบแกน OO" (รูปที่ 1.14)

แรงกระทำในระนาบตั้งฉากกับแกน p ตั้งฉากตกลงจากจุด O (นอนอยู่บนแกน) ไปยังทิศทางของแรงที่เรียกว่า ไหล่แห่งความแข็งแกร่ง- ผลคูณของแรงที่แขนจะกำหนดโมดูลัสของโมเมนต์แรงสัมพันธ์กับจุด O:

M = Fp=ฟรซินα

ช่วงเวลาแห่งพลังเป็นเวกเตอร์ที่กำหนดโดยผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีของจุดที่ใช้แรงและเวกเตอร์แรง:

(3.1)
หน่วยของโมเมนต์แรงคือนิวตันเมตร (N m)

ทิศทางของ M สามารถพบได้โดยใช้กฎสกรูด้านขวา

ช่วงเวลาแห่งแรงกระตุ้น อนุภาคเป็นผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีของอนุภาคและโมเมนตัม:

หรือในรูปแบบสเกลาร์ L = rPsinα

ปริมาณนี้เป็นเวกเตอร์และเกิดขึ้นพร้อมกันในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ ω

§ 3.2 โมเมนต์ความเฉื่อย ทฤษฎีบทของสไตเนอร์

การวัดความเฉื่อยของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปลคือมวล ความเฉื่อยของวัตถุระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนนั้นไม่เพียงขึ้นอยู่กับมวลเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับการกระจายตัวในอวกาศสัมพันธ์กับแกนการหมุนด้วย การวัดความเฉื่อยระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนเป็นปริมาณที่เรียกว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนหมุน

โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุสัมพันธ์กับแกนหมุนผลคูณของมวลของจุดนี้และกำลังสองของระยะห่างจากแกนเรียกว่า:

ฉัน ฉัน = ฉัน ฉัน r ฉัน 2 (3.2)

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนการหมุนเรียกผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุที่ประกอบเป็นวัตถุนี้:

(3.3)

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุขึ้นอยู่กับแกนที่วัตถุหมุน และมวลของวัตถุถูกกระจายไปทั่วปริมาตรอย่างไร

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่มีรูปทรงเรขาคณิตสม่ำเสมอและมีการกระจายมวลเหนือปริมาตรสม่ำเสมอนั้นถูกกำหนดได้ง่ายที่สุด

· โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งที่เป็นเนื้อเดียวกันสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางความเฉื่อยและตั้งฉากกับแกน

(3.6)

· โมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบที่เป็นเนื้อเดียวกันสัมพันธ์กับแกนที่ตั้งฉากกับฐานและผ่านจุดศูนย์กลางความเฉื่อย

(3.7)

· โมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบผนังบางหรือห่วงที่สัมพันธ์กับแกนที่ตั้งฉากกับระนาบของฐานและผ่านจุดศูนย์กลาง

(3.8)

· โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลสัมพันธ์กับเส้นผ่านศูนย์กลาง

(3.9)

รูปที่.3.2

สูตรที่กำหนดสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุจะได้รับภายใต้เงื่อนไขว่าแกนหมุนจะผ่านจุดศูนย์กลางของความเฉื่อย คุณควรใช้เพื่อกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนใดก็ได้ ทฤษฎีบทของสไตเนอร์ : โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนการหมุนตามอำเภอใจเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนขนานกับแกนที่กำหนดและผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายและ ผลคูณของมวลกายด้วยกำลังสองของระยะห่างระหว่างแกน:

(3.11)

หน่วยของโมเมนต์ความเฉื่อยคือกิโลกรัมเมตรยกกำลังสอง (kg m2)

ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งที่เป็นเนื้อเดียวกันสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดสิ้นสุดตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์จะเท่ากับ

(3.12)

§ 3.3 สมการพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาจุดวัสดุ A ที่มีมวล m ซึ่งเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี r (รูปที่ 1.16) ปล่อยให้แรง F คงที่กระทำต่อวงกลมในวงสัมผัส ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน แรงนี้ทำให้เกิดการเร่งความเร็วในวงสัมผัส หรือ F = ม ก τ .

การใช้ความสัมพันธ์ กτ = βr เราได้ F = m βr

ลองคูณทั้งสองข้างของสมการข้างบนด้วย r กัน

เ = ม βr 2 . (3.13)

ทางด้านซ้ายของนิพจน์ (3.13) คือโมเมนต์ของแรง: M = Fr ด้านขวาเป็นผลคูณของความเร่งเชิงมุม β และโมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุ A: J= m r 2

ความเร่งเชิงมุมของจุดที่หมุนรอบแกนคงที่จะเป็นสัดส่วนกับแรงบิด และแปรผกผันกับโมเมนต์ความเฉื่อย (สมการพื้นฐานสำหรับพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดวัสดุ):

M = β J หรือ (3.14)

ที่แรงบิดคงที่ ความเร่งเชิงมุมจะเป็นค่าคงที่และสามารถแสดงผ่านความแตกต่างของความเร็วเชิงมุม:

(3.15)

จากนั้นสมการพื้นฐานสำหรับพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

หรือ (3.16)

[ - โมเมนต์ของแรงกระตุ้น (หรือโมเมนตัมเชิงมุม), МΔt - แรงกระตุ้นของโมเมนต์ของแรง (หรือแรงกระตุ้นของแรงบิด)]

สมการพื้นฐานสำหรับพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนสามารถเขียนได้เป็น

(3.17)

§ 3.4 กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

ลองพิจารณากรณีของการเคลื่อนที่แบบหมุนบ่อยครั้ง เมื่อโมเมนต์รวมของแรงภายนอกเป็นศูนย์ ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุ แต่ละอนุภาคจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงเส้น υ = ωr,

โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่กำลังหมุนจะเท่ากับผลรวมของโมเมนตัม

แรงกระตุ้นของอนุภาคแต่ละตัว:

(3.18)

การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากับแรงกระตุ้นแรงบิด:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

หากโมเมนต์รวมของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบของร่างกายสัมพันธ์กับแกนคงที่ตามอำเภอใจมีค่าเท่ากับศูนย์ เช่น M=0 จากนั้น dL และผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมของส่วนต่างๆ ของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

ผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุทั้งหมดในระบบแยกยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ( กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม):

ง(Jω)=0 Jω=const (3.20)

ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม เราสามารถเขียนได้

เจ 1 ω 1 = เจ 2 ω 2 (3.21)

โดยที่ J 1 และ ω 1 คือโมเมนต์ความเฉื่อยและความเร็วเชิงมุม ณ เวลาเริ่มต้น และทั้ง J 2 และ ω 2 – ณ โมเมนต์ของเวลา t

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมเป็นไปตามที่เมื่อ M = 0 ในระหว่างการหมุนของระบบรอบแกน การเปลี่ยนแปลงระยะห่างจากวัตถุถึงแกนการหมุนจะต้องมาพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงความเร็วของพวกมัน การหมุนรอบแกนนี้ เมื่อระยะทางเพิ่มขึ้น ความเร็วในการหมุนจะลดลง ตัวอย่างเช่น นักกายกรรมตีลังกาเพื่อให้มีเวลาหมุนตัวในอากาศหลายครั้ง ขดตัวเป็นลูกบอลระหว่างการกระโดด นักบัลเล่ต์หรือนักสเก็ตลีลาที่หมุนตัวอยู่ในท่าหมุนตัว กางแขนออกถ้าเธอต้องการลดความเร็วการหมุน และในทางกลับกัน ดันแขนทั้งสองข้างเข้าหาตัวเมื่อเธอพยายามหมุนตัวให้เร็วที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

§ 3.5 พลังงานจลน์ของวัตถุที่กำลังหมุน

ขอให้เราพิจารณาพลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่ ลองแบ่งส่วนนี้ออกเป็นจุดวัตถุ n จุด แต่ละจุดเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงเส้น υ i =ωr i จากนั้นพลังงานจลน์ของจุด

หรือ

พลังงานจลน์รวมของวัตถุแข็งเกร็งที่กำลังหมุนอยู่มีค่าเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัสดุทั้งหมด:

(3.22)

(J คือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนการหมุน)

หากวิถีของทุกจุดอยู่ในระนาบขนานกัน (เช่น ทรงกระบอกที่กลิ้งลงมาในระนาบเอียง แต่ละจุดจะเคลื่อนที่ในระนาบของมันเอง รูป) สิ่งนี้ การเคลื่อนไหวแบบเรียบ- ตามหลักการของออยเลอร์ การเคลื่อนที่ของเครื่องบินสามารถแบ่งออกเป็นการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนได้หลายวิธี ถ้าลูกบอลตกหรือเลื่อนไปตามระนาบเอียง มันจะเคลื่อนที่เฉพาะการแปลเท่านั้น เมื่อลูกบอลกลิ้ง มันก็หมุนไปด้วย

หากวัตถุทำการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนพร้อมกัน พลังงานจลน์รวมของวัตถุจะเท่ากับ

(3.23)

จากการเปรียบเทียบสูตรพลังงานจลน์สำหรับการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุน เห็นได้ชัดว่าการวัดความเฉื่อยระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนคือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย

§ 3.6 งานที่ทำโดยแรงภายนอกระหว่างการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุน พลังงานศักย์ของมันจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น งานเบื้องต้นของแรงภายนอกจึงเท่ากับการเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์ของร่างกาย:

ΔA = ΔE หรือ

โดยคำนึงถึงว่า Jβ = M, ωdr = dφ เรามี

∆A =M∆φ (3.24)

งานที่ทำโดยแรงภายนอกเมื่อหมุนวัตถุแข็งเกร็งผ่านมุมจำกัด φ เท่ากับ

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนคงที่ การทำงานของแรงภายนอกจะถูกกำหนดโดยการกระทำของโมเมนต์ของแรงเหล่านี้สัมพันธ์กับแกนนี้ ถ้าโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับแกนเป็นศูนย์ แรงเหล่านี้จะไม่สร้างงาน

เรามาดูที่มาของกฎการอนุรักษ์กันดีกว่า การเกิดขึ้นซึ่งสัมพันธ์กับไอโซโทรปีของอวกาศ

ไอโซโทรปีนี้หมายความว่าคุณสมบัติทางกลของระบบปิดจะไม่เปลี่ยนแปลงไปตามการหมุนของระบบโดยรวมในอวกาศ ด้วยเหตุนี้ เราจึงพิจารณาการหมุนของระบบเพียงเล็กน้อย และกำหนดให้ฟังก์ชันลากรองจ์ของระบบไม่เปลี่ยนแปลง

ให้เราแนะนำเวกเตอร์ของการหมุนที่น้อยที่สุดซึ่งค่าสัมบูรณ์เท่ากับมุมของการหมุนและทิศทางเกิดขึ้นพร้อมกับแกนของการหมุน (และในลักษณะที่ทิศทางของการหมุนสอดคล้องกับกฎของสกรูด้วย เคารพในทิศทาง)

ก่อนอื่นให้เราค้นหาว่าอะไรคือการเพิ่มขึ้นของเวกเตอร์รัศมีที่ดึงจากจุดกำเนิดร่วมของพิกัด (ซึ่งอยู่บนแกนการหมุน) ไปยังจุดวัสดุใด ๆ ของระบบที่หมุนในระหว่างการหมุนดังกล่าว

การเคลื่อนที่เชิงเส้นของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์รัศมีสัมพันธ์กับมุมด้วยความสัมพันธ์

(รูปที่ 5) ทิศทางของเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านไป ดังนั้นจึงชัดเจนว่า

เมื่อระบบหมุน ทิศทางไม่เพียงแต่เวกเตอร์รัศมีจะเปลี่ยนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเร็วของอนุภาคทั้งหมดด้วย และเวกเตอร์ทั้งหมดจะถูกแปลงตามกฎเดียวกัน ดังนั้นความเร็วที่เพิ่มขึ้นสัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นเงื่อนไขว่าฟังก์ชันลากรองจ์ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการหมุน

แทนที่อนุพันธ์

หรือดำเนินการจัดเรียงปัจจัยใหม่แบบวนซ้ำแล้วนำผลรวมออกจากเครื่องหมาย:

เนื่องจากความเด็ดขาดของมันจึงเป็นไปตามนั้น

กล่าวคือ เราได้ข้อสรุปว่าเมื่อระบบปิดเคลื่อนที่ ปริมาณเวกเตอร์จะถูกอนุรักษ์ไว้

เรียกว่าโมเมนตัมเชิงมุม (หรือโมเมนตัมเชิงมุม) ของระบบ

การบวกของปริมาณนี้ชัดเจน และเช่นเดียวกับโมเมนตัม มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับการมีหรือไม่มีอันตรกิริยาระหว่างอนุภาค

สิ่งนี้จะทำให้อินทิกรัลเสริมของการเคลื่อนที่หมดไป ดังนั้น ระบบปิดใดๆ จึงมีอินทิกรัลเพียง 7 แบบเท่านั้น ได้แก่ พลังงาน และส่วนประกอบ 3 ชิ้นของโมเมนตัมและเวกเตอร์แรงบิด

เนื่องจากคำจำกัดความของโมเมนต์นั้นรวมถึงเวกเตอร์รัศมีของอนุภาค โดยทั่วไปแล้วค่าของมันจะขึ้นอยู่กับการเลือกแหล่งกำเนิดของพิกัด เวกเตอร์รัศมีและ ta ของจุดเดียวกันเทียบกับจุดกำเนิดของพิกัด เลื่อนด้วยเวกเตอร์ a มีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ a ดังนั้นเราจึงมี:

จากสูตรนี้เป็นที่ชัดเจนว่าเฉพาะในกรณีที่ระบบโดยรวมหยุดนิ่ง (เช่น โมเมนต์ของระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกที่มาของพิกัด แน่นอนว่าความไม่แน่นอนของค่าของมันนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อ กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม เนื่องจากระบบปิดยังมีโมเมนตัมอยู่ด้วย

นอกจากนี้เรายังจะได้สูตรที่เชื่อมโยงค่าของโมเมนตัมเชิงมุมในระบบอ้างอิงเฉื่อยที่แตกต่างกันสองระบบ K และ K" ซึ่งระบบที่สองเคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบแรกด้วยความเร็ว V เราจะถือว่าต้นกำเนิดของพิกัดในระบบ K และ K เกิดขึ้นพร้อมกัน ณ เวลาที่กำหนด ดังนั้น อนุภาคเวกเตอร์รัศมีในทั้งสองระบบจะเท่ากัน แต่ความเร็วสัมพันธ์กันด้วย

ผลรวมแรกทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันคือโมเมนต์ M ในระบบ โดยการใส่เวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางความเฉื่อยเข้าไปในผลรวมที่สองตาม (8.3) เราจะได้:

สูตรนี้กำหนดกฎของการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมเมื่อย้ายจากระบบอ้างอิงหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง เช่นเดียวกับกฎของโมเมนตัมและพลังงานที่คล้ายกันซึ่งกำหนดไว้ในสูตร (8.1) และ (8.5)

ถ้าหน้าต่างอ้างอิง K เป็นกรอบที่ระบบกลไกที่กำหนดหยุดนิ่งโดยรวม ดังนั้น V คือความเร็วของจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของกรอบหลัง และเป็นแรงกระตุ้นรวม P (สัมพันธ์กับ K)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุม M ของระบบกลไกประกอบด้วย “โมเมนต์ที่เหมาะสม” ของมันสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงที่มันอยู่นิ่ง และโมเมนต์ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่โดยรวม

แม้ว่ากฎการอนุรักษ์องค์ประกอบทั้งสามของช่วงเวลานั้น (สัมพันธ์กับแหล่งกำเนิดโดยพลการ) จะเกิดขึ้นเฉพาะกับระบบปิดเท่านั้น แต่กฎหมายนี้สามารถเกิดขึ้นได้ในรูปแบบที่จำกัดมากขึ้นสำหรับระบบที่ตั้งอยู่ในเขตข้อมูลภายนอก จากข้อสรุปข้างต้นเห็นได้ชัดว่าการฉายภาพของโมเมนต์บนแกนสัมพันธ์กับสนามที่กำหนดนั้นสมมาตรนั้นจะถูกรักษาไว้เสมอดังนั้นคุณสมบัติทางกลของระบบจึงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการหมุนรอบแกนนี้ ในกรณีนี้ จะต้องกำหนดโมเมนต์โดยสัมพันธ์กับจุด (จุดกำเนิด) ที่อยู่ในแกนเดียวกัน

กรณีที่สำคัญที่สุดของประเภทนี้คือสนามที่มีความสมมาตรตรงกลาง นั่นคือสนามที่พลังงานศักย์ขึ้นอยู่กับระยะห่างถึงจุดหนึ่ง (ศูนย์กลาง) ในอวกาศเท่านั้น เห็นได้ชัดว่าเมื่อเคลื่อนที่ในสนามดังกล่าว การฉายภาพโมเมนต์บนแกนใดๆ ที่ผ่านจุดศูนย์กลางจะยังคงอยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ M ของโมเมนต์นั้นยังคงอยู่ แต่ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ซึ่งไม่สัมพันธ์กับจุดใดๆ ในอวกาศ แต่สัมพันธ์กับศูนย์กลางของสนาม

อีกตัวอย่างหนึ่ง: ฟิลด์สม่ำเสมอตามแนวแกน z ซึ่งการฉายภาพช่วงเวลาจะถูกคงไว้ และที่มาของพิกัดสามารถเลือกได้ตามใจชอบ

โปรดทราบว่าการฉายภาพโมเมนต์บนแกนใดๆ (เรียกว่า ) สามารถพบได้โดยการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันลากรองจ์ตามสูตร

โดยที่พิกัดคือมุมการหมุนรอบแกน z สิ่งนี้ชัดเจนอยู่แล้วจากธรรมชาติของการได้มาซึ่งกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมข้างต้น แต่ก็สามารถตรวจสอบได้ด้วยการคำนวณโดยตรง ในพิกัดทรงกระบอกที่เรามี (การแทนที่

ในทางกลับกัน ฟังก์ชันลากรองจ์ในตัวแปรเหล่านี้จะมีรูปแบบ

และการแทนที่ใน (9.7) นำไปสู่นิพจน์เดียวกัน (9.8)

งาน

1. ค้นหานิพจน์สำหรับส่วนประกอบคาร์ทีเซียนและค่าสัมบูรณ์ของโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคในพิกัดทรงกระบอก