อนุพันธ์ของ e ยกกำลัง คุณลักษณะอันน่าทึ่งของอนุพันธ์ของ e กำลัง x กำลัง อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของ e กำลัง x กำลัง

ตัวเลขจำนวนมากได้รับความสำคัญและความหมายที่เชื่อโชคลางในสมัยโบราณ ปัจจุบันมีการเพิ่มตำนานใหม่ให้กับพวกเขา มีตำนานมากมายเกี่ยวกับตัวเลข pi ตัวเลขฟีโบนัชชีที่มีชื่อเสียงนั้นไม่ได้มีชื่อเสียงน้อยกว่าตัวเลขนี้มากนัก แต่บางทีสิ่งที่น่าประหลาดใจที่สุดคือเลข e ซึ่งเขาขาดไม่ได้ คณิตศาสตร์สมัยใหม่ฟิสิกส์และแม้แต่เศรษฐศาสตร์

ค่าเลขคณิตของ e มีค่าประมาณ 2.718 ทำไมไม่ตรง แต่ประมาณ? เนื่องจากจำนวนนี้เป็นจำนวนอตรรกยะและอยู่เหนือธรรมชาติ จึงไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มธรรมชาติหรือพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นตรรกยะได้ สำหรับการคำนวณส่วนใหญ่ ความแม่นยำที่ระบุที่ 2.718 ก็เพียงพอแล้ว แม้ว่าเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์สมัยใหม่จะช่วยให้สามารถกำหนดค่าได้ด้วยความแม่นยำมากกว่าทศนิยมมากกว่าล้านล้านตำแหน่ง

คุณลักษณะหลักของตัวเลข e คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง f (x) = e x เท่ากับค่าของฟังก์ชัน e x เอง ไม่มีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์อื่นใดที่มีคุณสมบัติที่ผิดปกติเช่นนี้ มาพูดถึงเรื่องนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย

ขีดจำกัดคืออะไร

ก่อนอื่น มาทำความเข้าใจแนวคิดเรื่องขีดจำกัดกันก่อน พิจารณานิพจน์ทางคณิตศาสตร์บางตัว เช่น i = 1/n คุณสามารถดูได้ เมื่อ "n" เพิ่มขึ้น" ค่าของ "i" จะลดลง และเนื่องจาก "n" มีแนวโน้มเป็นอนันต์ (ซึ่งแสดงด้วยเครื่องหมาย ∞) "i" จึงมีแนวโน้มที่จะมีค่าขีดจำกัด (มักเรียกว่าลิมิต) เท่ากับศูนย์ นิพจน์สำหรับขีดจำกัด (แสดงเป็น lim) สำหรับกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาสามารถเขียนเป็น lim n →∞ (1/ n) = 0

มีข้อจำกัดที่แตกต่างกันสำหรับนิพจน์ที่แตกต่างกัน หนึ่งในขีดจำกัดเหล่านี้ ซึ่งรวมอยู่ในตำราเรียนของโซเวียตและรัสเซียเป็นขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง คือนิพจน์ lim n →∞ (1+1/ n) n ในยุคกลางเป็นที่ยอมรับแล้วว่าขีด จำกัด ของการแสดงออกนี้คือตัวเลข e

ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งประกอบด้วยนิพจน์ lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

วิธีหาอนุพันธ์ของ e x ในวิดีโอนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร

เพื่ออธิบายแนวคิดของอนุพันธ์ เราควรจำไว้ว่าฟังก์ชันในคณิตศาสตร์คืออะไร เพื่อไม่ให้ข้อความมีคำจำกัดความที่ซับซ้อนเราจะมุ่งเน้นไปที่แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เข้าใจง่ายของฟังก์ชันซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าในปริมาณหนึ่งหรือหลายปริมาณนั้นกำหนดค่าของปริมาณอื่นโดยสมบูรณ์หากมีความสัมพันธ์กัน ตัวอย่างเช่นในสูตร S = π ∙ r 2 พื้นที่ของวงกลม ค่าของรัศมี r จะกำหนดพื้นที่ของวงกลม S โดยสมบูรณ์และไม่ซ้ำกัน

ฟังก์ชันอาจเป็นพีชคณิต ตรีโกณมิติ ลอการิทึม ฯลฯ ขึ้นอยู่กับประเภท ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถมีอาร์กิวเมนต์สองหรือสามข้อขึ้นไปที่เชื่อมโยงถึงกัน ตัวอย่างเช่น ระยะทางที่ S เคลื่อนที่ซึ่งวัตถุครอบคลุมด้วยความเร็วที่มีความเร่งสม่ำเสมอ อธิบายโดยฟังก์ชัน S = 0.5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t โดยที่ "t" คือเวลาของการเคลื่อนที่ อาร์กิวเมนต์ "a ” คือความเร่ง (อาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้) และ “V” คือความเร็วเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ ดังนั้นระยะทางที่เดินทางขึ้นอยู่กับค่าของอาร์กิวเมนต์สามตัวซึ่งสองค่า (“a” และ“ V”) นั้นคงที่

ให้เราใช้ตัวอย่างนี้เพื่อแสดงแนวคิดเบื้องต้นของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน มันแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด ในตัวอย่างของเรา นี่จะเป็นความเร็วของการเคลื่อนที่ของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่งๆ ด้วยค่าคงที่ "a" และ "V" ขึ้นอยู่กับเวลา "t" เท่านั้นนั่นคือในภาษาวิทยาศาสตร์คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน S เทียบกับเวลา "t"

กระบวนการนี้เรียกว่าการสร้างความแตกต่างและดำเนินการโดยการคำนวณขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเติบโตของฟังก์ชันต่อการเติบโตของอาร์กิวเมนต์ด้วยจำนวนเล็กน้อยโดยประมาท การแก้ปัญหาดังกล่าวสำหรับแต่ละฟังก์ชันมักจะทำได้ยาก และไม่ได้กล่าวถึงในที่นี้ นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าบางฟังก์ชันในบางจุดไม่มีขีดจำกัดดังกล่าวเลย

ในตัวอย่างของเรา อนุพันธ์ Sเมื่อเวลาผ่านไป “t” จะอยู่ในรูปแบบ S" = ds/dt = a ∙ t + V ซึ่งจะเห็นได้ว่าความเร็ว S" เปลี่ยนแปลงไปตามกฎเชิงเส้นขึ้นอยู่กับ "t"

อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งมีฐานเป็นตัวเลข e โดยปกติจะแสดงในรูปแบบ F (x) = e x โดยที่เลขชี้กำลัง x เป็นปริมาณที่แปรผันได้ ฟังก์ชันนี้มีความสามารถในการหาอนุพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ตลอดช่วงจำนวนจริงทั้งหมด เมื่อ x โตขึ้น มันจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและมากกว่าศูนย์เสมอ ฟังก์ชันผกผันของมันคือลอการิทึม

เทย์เลอร์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดังได้ขยายฟังก์ชันนี้เป็นอนุกรมที่ตั้งชื่อตามเขา e x = 1 + x/1! + x 2/2! + x 3/3! + … ในช่วง x ตั้งแต่ - ∞ ถึง + ∞

กฎหมายขึ้นอยู่กับฟังก์ชันนี้เรียกว่าเลขชี้กำลัง เขาอธิบายว่า:

• การเพิ่มขึ้นของอัตราดอกเบี้ยธนาคารทบต้น
• การเพิ่มขึ้นของประชากรสัตว์และประชากรโลก
• เวลาตายอย่างเข้มงวดและอีกมากมาย

ให้เราทำซ้ำอีกครั้งถึงคุณสมบัติที่น่าทึ่งของการพึ่งพานี้ - ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใด ๆ จะเท่ากับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้เสมอ นั่นคือ (e x)" = e x

ให้เรานำเสนออนุพันธ์สำหรับกรณีทั่วไปที่สุดของเลขชี้กำลัง:

• (ขวานอี)" = a ∙ อีขวาน;
• (อี ฉ (x))" = ฉ"(x) ∙ อี ฉ (x) .

การใช้การขึ้นต่อกันเหล่านี้ทำให้ง่ายต่อการค้นหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันนี้ประเภทเฉพาะอื่นๆ

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับจำนวน e

ชื่อของนักวิทยาศาสตร์เช่น Napier, Oughtred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler และคนอื่น ๆ เกี่ยวข้องกับหมายเลขนี้ อย่างหลังแนะนำสัญลักษณ์ e สำหรับตัวเลขนี้จริง ๆ และยังพบเครื่องหมาย 18 ตัวแรกด้วย โดยใช้อนุกรม e = 1 + 1/1 ที่เขาค้นพบสำหรับการคำนวณ! +2/2! +3/3! -

ตัวเลข e ปรากฏในสถานที่ที่ไม่คาดคิดที่สุด ตัวอย่างเช่น รวมอยู่ในสมการ catenary ซึ่งอธิบายความหย่อนของเชือกภายใต้น้ำหนักของมันเองเมื่อปลายเชือกได้รับการแก้ไขเพื่อรองรับ

วีดีโอ

หัวข้อของบทเรียนวิดีโอคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

การพิสูจน์และการได้มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง (e กำลัง x) และฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (a กำลัง x) ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ e^2x, e^3x และ e^nx สูตรอนุพันธ์ที่มีลำดับสูงกว่า

เนื้อหา

ดูเพิ่มเติมที่: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - คุณสมบัติ สูตร กราฟ
เลขยกกำลัง e กำลัง x - คุณสมบัติ สูตร กราฟ

สูตรพื้นฐาน

อนุพันธ์ของเลขชี้กำลังเท่ากับเลขยกกำลังนั้นเอง (อนุพันธ์ของ e กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x):
(1) (เช่น x )′ = เช่น.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a เท่ากับฟังก์ชันคูณด้วยลอการิทึมธรรมชาติของ a:
(2) .

เลขชี้กำลังคือฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีฐานกำลังเท่ากับจำนวน e ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้:
.
ในที่นี้อาจเป็นจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนจริงก็ได้ ต่อไปเราจะได้สูตร (1) สำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง

ที่มาของสูตรอนุพันธ์เลขชี้กำลัง

พิจารณาเลขชี้กำลัง e กำลัง x:
ย = อีเอ็กซ์ .
ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกคน
(3) .

ลองหาอนุพันธ์ของมันเทียบกับตัวแปร x กัน
ตามคำนิยาม อนุพันธ์มีขีดจำกัดดังต่อไปนี้:มาแปลงนิพจน์นี้เพื่อลดคุณสมบัติและกฎทางคณิตศาสตร์ที่ทราบกัน ในการดำเนินการนี้ เราจำเป็นต้องมีข้อเท็จจริงต่อไปนี้:
(4) ;
ก)คุณสมบัติเลขชี้กำลัง:
(5) ;
ข)คุณสมบัติของลอการิทึม:
(6) .
ใน)
ความต่อเนื่องของลอการิทึมและคุณสมบัติของขีดจำกัดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง:ความหมายของขีด จำกัด ที่น่าทึ่งประการที่สอง:
(7) .

ลองใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้กับขีดจำกัดของเรา (3) เราใช้ทรัพย์สิน (4):
;
.

มาทำการทดแทนกันเถอะ
แล้ว ; -
.
เนื่องจากความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง
.

ดังนั้น เมื่อ , .
.

เป็นผลให้เราได้รับ:
มาทำการทดแทนกันเถอะ
.

แล้ว . ที่ , . และเรามี:
.
ลองใช้คุณสมบัติลอการิทึม (5):
.

- แล้ว

ให้เราสมัครคุณสมบัติ (6) เนื่องจากมีขีดจำกัดที่เป็นบวกและลอการิทึมมีความต่อเนื่อง ดังนั้น:

ในที่นี้ เรายังใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สอง (7) แล้ว
(8)
ดังนั้นเราจึงได้สูตร (1) สำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง

ที่มาของสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
;
.
ตอนนี้เราได้สูตร (2) สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานของดีกรี a
.

เราเชื่อเช่นนั้นและ.

แล้วฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
(14) .
(1) .

กำหนดสำหรับทุกคน
;
.

มาแปลงสูตร (8) กัน ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม
.

ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนสูตร (8) เป็นรูปแบบต่อไปนี้:

อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของ e กำลัง x กำลัง
.
ตอนนี้เรามาดูอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่ากัน ลองดูที่เลขชี้กำลังก่อน:
(15) .

เราจะเห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (14) เท่ากับฟังก์ชัน (14) เอง การแยกความแตกต่าง (1) เราได้รับอนุพันธ์ของลำดับที่สองและสาม:
;
.

นี่แสดงว่าอนุพันธ์ลำดับที่ n ก็เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิมด้วย:
.

อนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นระดับ a:

เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:การแยกความแตกต่าง (15) เราได้รับอนุพันธ์ของลำดับที่สองและสาม: เราเห็นว่าแต่ละความแตกต่างนำไปสู่การคูณของฟังก์ชันดั้งเดิมด้วย ดังนั้นอนุพันธ์ลำดับที่ n จึงมีรูปแบบดังนี้	ดูเพิ่มเติมที่:เรานำเสนอตารางสรุปเพื่อความสะดวกและชัดเจนในการศึกษาหัวข้อ คงที่ ย = คฟังก์ชันกำลัง y = x p(x พี) " = พี x พี - 1 ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = ก x
(ก x) " = ก x ln ก โดยเฉพาะเมื่อ ย = คฟังก์ชันกำลัง y = x p(x พี) " = พี x พี - 1 ก = อี เรามี	y = อีเอ็กซ์ (อี x) " = อีเอ็กซ์
ฟังก์ชันลอการิทึม (บันทึก a x) " = 1 x ln a	y = บันทึก x (lnx) " = 1 x

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

(บาป x) " = cos x (cos x) " = - บาป x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 บาป 2 x

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

เพื่อให้ได้สูตรนี้มา เราจะใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเป็นพื้นฐาน เราใช้ x 0 = x โดยที่ xรับค่าของจำนวนจริงใดๆ หรืออีกนัยหนึ่ง xคือตัวเลขใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน f (x) = C ให้เราเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เป็น ∆ x → 0:

ลิม ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = ลิม ∆ x → 0 C - C ∆ x = ลิม ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

โปรดทราบว่านิพจน์ 0 ∆ x อยู่ภายใต้เครื่องหมายจำกัด ไม่ใช่ค่าความไม่แน่นอน “ศูนย์หารด้วยศูนย์” เนื่องจากตัวเศษไม่มีค่าที่น้อยที่สุด แต่เป็นศูนย์อย่างแม่นยำ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคงที่จะเป็นศูนย์เสมอ

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ f (x) = C เท่ากับศูนย์ตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ

ตัวอย่างที่ 1

ฟังก์ชันคงที่จะได้รับ:

ฉ 1 (x) = 3, ฉ 2 (x) = ก, ก ∈ ​​R, ฉ 3 (x) = 4 13 7 22 , ฉ 4 (x) = 0 , ฉ 5 (x) = - 8 7

สารละลาย

ให้เราอธิบายเงื่อนไขที่กำหนด ในฟังก์ชันแรก เราเห็นอนุพันธ์ของจำนวนธรรมชาติ 3 ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณต้องหาอนุพันธ์ของ ก, ที่ไหน ก- จำนวนจริงใดๆ ตัวอย่างที่สามให้ค่าอนุพันธ์ของจำนวนอตรรกยะ 4 แก่เรา 13 7 22 ตัวที่สี่คืออนุพันธ์ของศูนย์ (ศูนย์คือจำนวนเต็ม) ในที่สุด ในกรณีที่ห้า เรามีอนุพันธ์ของเศษส่วนตรรกยะ - 8 7

คำตอบ:อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดจะเป็นศูนย์สำหรับจำนวนจริงใดๆ x(ครอบคลุมพื้นที่คำจำกัดความทั้งหมด)

ฉ 1 " (x) = (3) " = 0 , ฉ 2 " (x) = (ก) " = 0 , ก ∈ ​​R , ฉ 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , ฉ 4 " (x) = 0 " = 0 , ฉ 5 " (x) = - 8 7 " = 0

อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง

มาดูฟังก์ชันกำลังและสูตรของอนุพันธ์ซึ่งมีรูปแบบ: (x p) " = p x p - 1 โดยที่เลขชี้กำลัง พีคือจำนวนจริงใดๆ

หลักฐานที่ 2

นี่คือข้อพิสูจน์ของสูตรเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ: พี = 1, 2, 3, …

เราพึ่งพาคำจำกัดความของอนุพันธ์อีกครั้ง ให้เราเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันกำลังต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

(x p) " = ลิม ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = ลิม ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

เพื่อให้นิพจน์ในตัวเศษง่ายขึ้น เราใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + - - + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . - - + C หน้า p - 1 x (∆ x) p - 1 + C หน้า p (∆ x) p

ดังนั้น:

(x p) " = ลิม ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = ลิม ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 = พี ! (พี - 1) !

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ

หลักฐานที่ 3

เพื่อให้เป็นหลักฐานสำหรับกรณีเมื่อ พี-จำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม (ในที่นี้เราควรเข้าใจความแตกต่างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม) เพื่อให้มีความเข้าใจที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ขอแนะนำให้ศึกษาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม และทำความเข้าใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ลองพิจารณาสองกรณี: เมื่อใด xเชิงบวกและเมื่อใด xเชิงลบ.

งั้น x > 0 จากนั้น: xp > 0 . ขอให้เราลอการิทึมความเท่าเทียมกัน y = x p ไปยังฐาน e และใช้คุณสมบัติของลอการิทึม:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

ในขั้นตอนนี้ เราได้รับฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย มานิยามอนุพันธ์ของมันกัน:

(ln y) " = (p · ln x) 1 ปี · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

ตอนนี้เราพิจารณากรณีที่เมื่อ เอ็กซ์ –จำนวนลบ

ถ้าเป็นตัวบ่งชี้ พีเป็นเลขคู่ ดังนั้นฟังก์ชันยกกำลังจึงถูกกำหนดไว้สำหรับ x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

แล้วก็ x พี< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

ถ้า พีเป็นเลขคี่ จากนั้นฟังก์ชันยกกำลังถูกกำหนดให้กับ x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) พี - 1 = พี x พี - 1

การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดเป็นไปได้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าถ้า พีเป็นเลขคี่แล้ว พี - 1เป็นเลขคู่หรือศูนย์ (สำหรับ p = 1) ดังนั้นสำหรับค่าลบ xความเท่าเทียมกัน (- x) p - 1 = x p - 1 เป็นจริง

เราได้พิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสำหรับ p จริงใดๆ แล้ว

ตัวอย่างที่ 2

ฟังก์ชั่นที่กำหนด:

ฉ 1 (x) = 1 x 2 3 , ฉ 2 (x) = x 2 - 1 4 , ฉ 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12

กำหนดอนุพันธ์ของพวกเขา

สารละลาย

เราแปลงฟังก์ชันที่กำหนดบางส่วนให้เป็นรูปแบบตาราง y = x p ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของดีกรี จากนั้นใช้สูตร:

ฉ 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ ฉ 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12 = x - บันทึก 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - 1 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - บันทึก 7 7 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 84

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

หลักฐาน 4

ขอให้เราได้สูตรอนุพันธ์โดยใช้คำจำกัดความเป็นพื้นฐาน:

(a x) " = ลิม ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

เราได้รับความไม่แน่นอน หากต้องการขยาย ให้เขียนตัวแปรใหม่ z = a ∆ x - 1 (z → 0 เป็น ∆ x → 0) ในกรณีนี้ a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a สำหรับการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุด จะใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานลอการิทึมใหม่

ให้เราแทนที่ขีดจำกัดเดิม:

(a x) " = a x · ลิม ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln ลิม ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

ให้เรานึกถึงลิมิตที่น่าทึ่งอันที่สอง จากนั้นเราจะได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

ตัวอย่างที่ 3

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะได้รับ:

ฉ 1 (x) = 2 3 x , ฉ 2 (x) = 5 3 x , ฉ 3 (x) = 1 (จ) x

มีความจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของพวกเขา

สารละลาย

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของลอการิทึม:

ฉ 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) ฉ 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 ฉ 3 " (x) = 1 (จ) x " = 1 อี x " = 1 อี x ln 1 อี = 1 อี x ln อี - 1 = - 1 อี x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

หลักฐานที่ 5

ให้เราพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับค่าใดๆ กัน xในขอบเขตของคำจำกัดความและค่าที่อนุญาตของฐาน a ของลอการิทึม ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์เราได้รับ:

(บันทึก a x) " = lim ∆ x → 0 บันทึก a (x + ∆ x) - บันทึก a x ∆ x = lim ∆ x → 0 บันทึก a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x บันทึก a 1 + ∆ x x = ลิม ∆ x → 0 บันทึก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 บันทึก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · บันทึก a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · บันทึก lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · บันทึก a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

จากห่วงโซ่ความเท่าเทียมกันที่ระบุ เป็นที่ชัดเจนว่าการแปลงขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของลอการิทึม ความเท่าเทียมกัน lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e เป็นจริงตามขีดจำกัดที่น่าทึ่งตัวที่สอง

ตัวอย่างที่ 4

ฟังก์ชันลอการิทึมจะได้รับ:

f 1 (x) = บันทึก ln 3 x , f 2 (x) = ln x

มีความจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของพวกเขา

สารละลาย

ลองใช้สูตรที่ได้รับ:

f 1 " (x) = (บันทึก ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; ฉ 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln อี = 1 x

ดังนั้นอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติคือ 1 หารด้วย x.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หลักฐาน 6

ลองใช้สูตรตรีโกณมิติและค่าลิมิตแรกที่ยอดเยี่ยมเพื่อหาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน

ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์เราจะได้:

(บาป x) " = ลิม ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x

สูตรสำหรับผลต่างของไซน์จะช่วยให้เราดำเนินการต่อไปนี้:

(บาป x) " = ลิม ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 2 บาป x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2

ในที่สุด เราใช้ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรก:

บาป " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชัน บาป xจะ เพราะ x.

เราจะพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์ด้วย:

cos " x = ลิม ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 บาป x + ∆ x - x 2 บาป x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 บาป x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - บาป x + 0 2 ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = - บาป x

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน cos x จะเป็น – บาป x.

เราได้รับสูตรอนุพันธ์ของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามกฎของการสร้างความแตกต่าง:

t g " x = บาป x cos x " = บาป " x · cos x - บาป x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - บาป x · (- บาป x) cos 2 x = บาป 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · บาป x - cos x · บาป " x บาป 2 x = = - บาป x · บาป x - cos x · cos x บาป 2 x = - บาป 2 x + cos 2 x บาป 2 x = - 1 บาป 2 x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

หัวข้ออนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันให้ข้อมูลที่ครอบคลุมเกี่ยวกับการพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ ดังนั้น เราจะไม่คัดลอกเนื้อหาที่นี่

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

หลักฐานที่ 7

เราสามารถหาสูตรอนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้โดยใช้กฎการหาอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = ch x ch " x = e x + e - x 2 " = 1 2 อี x " + อี - x " = = 1 2 อี x + - อี - x = อี x - อี - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 วินาที h 2 x

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

แนวคิดพื้นฐาน

ก่อนที่จะตรวจสอบคำถามเกี่ยวกับอนุพันธ์ของการยกกำลัง $x$ ให้เราจำคำจำกัดความก่อน

1. ฟังก์ชั่น;
2. ขีดจำกัดลำดับ;
3. อนุพันธ์;
4. ผู้แสดงสินค้า

นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับความเข้าใจที่ชัดเจนเกี่ยวกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังยกกำลังของ $x$

คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว

สมมติว่า $y=f(x)$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นตัวแปร ในที่นี้ $x$ เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ และ $y$ เป็นฟังก์ชัน อาร์กิวเมนต์สามารถรับค่าใดก็ได้ ในทางกลับกัน ตัวแปร $y$ จะเปลี่ยนตามกฎบางอย่าง ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ นั่นคือ อาร์กิวเมนต์ $x$ เป็นตัวแปรอิสระ และฟังก์ชัน $y$ เป็นตัวแปรตาม สำหรับมูลค่าใดๆ $x$ จะมีค่าเฉพาะ $y$

ตามกฎหมายบางข้อ ถ้าจำนวนธรรมชาติแต่ละตัว $n=1, 2, 3, ...$ เชื่อมโยงกับตัวเลข $x_n$ แล้วเราจะบอกว่าลำดับของตัวเลข $x_1,x_2,..., x_n$ ถูกกำหนดไว้แล้ว มิฉะนั้น ลำดับดังกล่าวจะเขียนเป็น $\(x_n\)$ ตัวเลข $x_n$ ทั้งหมดเรียกว่าสมาชิกหรือองค์ประกอบของลำดับ

คำจำกัดความ 2

ขีดจำกัดของลำดับคือจุดที่มีขอบเขตหรืออยู่ห่างจากเส้นจำนวนอย่างไม่สิ้นสุด ขีดจำกัดเขียนไว้ดังนี้: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$ สัญกรณ์นี้หมายความว่าตัวแปร $x_n$ มีแนวโน้มเป็น $a$ $x_n\to a$

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่จุด $x_0$ เรียกว่าลิมิตต่อไปนี้:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. มันเขียนแทนด้วย $f"(x_0)$

จำนวน $e$ เท่ากับขีดจำกัดต่อไปนี้:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

ในขีดจำกัดนี้ $n$ เป็นจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนจริง

เมื่อเข้าใจแนวคิดเรื่องลิมิต อนุพันธ์ และเลขชี้กำลังแล้ว เราก็สามารถเริ่มพิสูจน์สูตร $(e^x)"=e^x$ ได้

การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลังยกกำลัง $x$

เรามี $e^x$ โดยที่ $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

ด้วยคุณสมบัติของเลขชี้กำลัง $e^(a+bx)=e^a*e^b$ เราสามารถแปลงตัวเศษของลิมิตได้:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$

นั่นคือ $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ ถึง 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$

ให้เราแสดงว่า $t=e^(\Delta x)-1$ เราได้ $e^(\Delta x)=t+1$ และจากคุณสมบัติของลอการิทึม ปรากฎว่า $\Delta x = ln(t+1)$

เนื่องจากเอ็กซ์โปเนนเชียลมีความต่อเนื่อง เราจะได้ $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ ดังนั้น ถ้า $\Delta x\to 0$ แล้ว $ เสื้อ \ ถึง 0$

ด้วยเหตุนี้เราจึงแสดงการเปลี่ยนแปลง:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

ให้เราแทน $n=\frac (1)(t)$ จากนั้น $t=\frac(1)(n)$ ปรากฎว่าถ้า $t\ถึง 0$ แล้ว $n\to\infty$

มาเปลี่ยนขีดจำกัดของเรากันเถอะ:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

โดยคุณสมบัติของลอการิทึม $b\cdot ln c=ln c^b$ ที่เรามี

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

ขีดจำกัดจะถูกแปลงดังนี้:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

ตามคุณสมบัติของความต่อเนื่องของลอการิทึมและคุณสมบัติของขีดจำกัดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, โดยที่ $f(x)$ มีขีดจำกัดที่เป็นบวก $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$ ดังนั้น เนื่องจากลอการิทึมมีความต่อเนื่องและมีขีดจำกัดเชิงบวก $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$ เราจึงสามารถอนุมานได้:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( น))^n=ln อี=1$.

ลองใช้ค่าของลิมิตที่น่าทึ่งตัวที่สอง $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$ เราได้รับ:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln อี) = อี^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังเลขชี้กำลังและสามารถอ้างได้ว่าอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังยกกำลัง $x$ เทียบเท่ากับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังเลขยกกำลังของ $x$:

ยังมีวิธีอื่นๆ เพื่อให้ได้สูตรนี้โดยใช้สูตรและกฎอื่นๆ

ตัวอย่างที่ 1

ลองดูตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เงื่อนไข: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$

สารละลาย: สำหรับเงื่อนไข $2^x, 3^x$ และ $10^x$ เราใช้สูตร $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ ตามสูตรที่ได้รับ $(e^x)" =e^x$ เทอมที่สี่ $e^x$ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

คำตอบ: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$

ดังนั้นเราจึงได้สูตร $(e^x)"=e^x$ พร้อมทั้งให้คำจำกัดความกับแนวคิดพื้นฐาน และวิเคราะห์ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังเป็นหนึ่งในพจน์

เมื่อได้สูตรแรกของตาราง เราจะเริ่มจากคำจำกัดความของฟังก์ชันอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง เอาล่ะเอาที่ไหน. x– จำนวนจริงใดๆ กล่าวคือ x– จำนวนใดๆ จากโดเมนนิยามของฟังก์ชัน ให้เราเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่ :

ควรสังเกตว่าภายใต้เครื่องหมายขีด จำกัด จะได้นิพจน์ซึ่งไม่ใช่ความไม่แน่นอนของศูนย์หารด้วยศูนย์เนื่องจากตัวเศษไม่มีค่าน้อยที่สุด แต่เป็นศูนย์อย่างแม่นยำ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคงที่จะเป็นศูนย์เสมอ

ดังนั้น, อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่เท่ากับศูนย์ตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง

สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังมีรูปแบบ โดยที่เลขชี้กำลัง พี- จำนวนจริงใดๆ

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์สูตรของเลขชี้กำลังธรรมชาติ นั่นก็คือ สำหรับ พี = 1, 2, 3, …

เราจะใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ ให้เราเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันกำลังต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

เพื่อให้นิพจน์ในตัวเศษง่ายขึ้น เราจะใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

เพราะฉะนั้น,

สิ่งนี้พิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังของเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรานำเสนอที่มาของสูตรอนุพันธ์ตามคำจำกัดความ:

เรามาถึงความไม่แน่นอนแล้ว เพื่อขยายมัน เราแนะนำตัวแปรใหม่และที่ . แล้ว . ในการเปลี่ยนครั้งล่าสุด เราใช้สูตรในการเปลี่ยนไปใช้ฐานลอการิทึมใหม่

แทนที่ด้วยขีดจำกัดเดิม:

หากเราจำลิมิตที่น่าทึ่งอันที่สองได้ เราก็จะได้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

ขอให้เราพิสูจน์สูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับทุกคน xจากขอบเขตของคำจำกัดความและค่าฐานที่ถูกต้องทั้งหมด กลอการิทึม ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์เรามี:

ดังที่คุณสังเกตเห็น ในระหว่างการพิสูจน์ การแปลงได้ดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม ความเท่าเทียมกัน เป็นจริงเนื่องจากขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เพื่อให้ได้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราจะต้องจำสูตรตรีโกณมิติบางสูตร รวมถึงขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งด้วย

ตามนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์ที่เรามี .

ลองใช้สูตรผลต่างของไซน์:

ยังคงต้องหันไปสู่ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง:

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน บาป xมี เพราะ x.

สูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์ได้รับการพิสูจน์ด้วยวิธีเดียวกันทุกประการ

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เพราะ xมี –บาป x.

เราจะได้สูตรสำหรับตารางอนุพันธ์สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยใช้กฎการหาอนุพันธ์ที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว (อนุพันธ์ของเศษส่วน)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

กฎของการสร้างความแตกต่างและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจากตารางอนุพันธ์ทำให้เราสามารถหาสูตรสำหรับอนุพันธ์ของไซน์ไฮเปอร์โบลิก, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างการนำเสนอ ให้เราแสดงตัวห้อยอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ใช้สร้างความแตกต่าง นั่นคือ มันเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x)โดย x.

ตอนนี้เรามากำหนดกัน กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

ปล่อยให้ฟังก์ชั่น ย = ฉ(x)และ x = ก(ย)ผกผันซึ่งกันและกัน กำหนดตามช่วงเวลาและตามลำดับ ถ้า ณ จุดหนึ่ง มีอนุพันธ์จำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชัน ฉ(x)จากนั้น ณ จุดนั้นจะมีอนุพันธ์จำกัดของฟังก์ชันผกผัน ก(ย), และ - ในอีกโพสต์หนึ่ง .

กฎนี้สามารถกำหนดรูปแบบใหม่ได้ xจากช่วงเวลา แล้วเราจะได้ .

มาตรวจสอบความถูกต้องของสูตรเหล่านี้กัน

ลองหาฟังก์ชันผกผันของลอการิทึมธรรมชาติกัน (ที่นี่ ยเป็นฟังก์ชัน และ x- การโต้แย้ง). เมื่อแก้สมการนี้แล้ว xเราได้รับ (ที่นี่ xเป็นฟังก์ชัน และ ย– ข้อโต้แย้งของเธอ) นั่นคือ และฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน

จากตารางอนุพันธ์เราจะเห็นว่า และ .

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสูตรในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันทำให้เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน: