ลูกบอลที่ล้อมรอบปิรามิด ทรงกลมที่ล้อมรอบทรงกระบอกและกรวยเรียกว่า a การรวมกันของลูกบอลที่มีลำตัวกลม

หัวข้อ " งานเบ็ดเตล็ดบนรูปทรงหลายเหลี่ยม ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม” เป็นหนึ่งในหลักสูตรที่ยากที่สุดในวิชาเรขาคณิตเกรด 11 ก่อนที่จะแก้ปัญหาเรขาคณิต พวกเขามักจะศึกษาส่วนที่เกี่ยวข้องของทฤษฎีที่อ้างถึงเมื่อแก้ไขปัญหา ในหนังสือเรียนของ S. Atanasyan และคนอื่นๆ ในหัวข้อนี้ (หน้า 138) เราพบเพียงคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อธิบายไว้รอบๆ ทรงกลม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ในทรงกลม ทรงกลมที่จารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยม และทรงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ รูปทรงหลายเหลี่ยม ใน คำแนะนำด้านระเบียบวิธีหนังสือเรียนเล่มนี้ (ดูหนังสือ“ การศึกษาเรขาคณิตในระดับ 10–11” โดย S.M. Saakyan และ V.F. Butuzov, หน้า 159) บอกว่าการรวมกันของวัตถุใดที่พิจารณาเมื่อแก้ไขปัญหาหมายเลข 629–646 และอ้างถึงข้อเท็จจริงที่ว่า “ เมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะประการแรกจำเป็นต้องให้แน่ใจว่านักเรียนมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับตำแหน่งสัมพัทธ์ของร่างกายที่ระบุในสภาพ” ต่อไปนี้เป็นวิธีแก้ปัญหาหมายเลข 638(a) และหมายเลข 640

เมื่อพิจารณาจากทั้งหมดข้างต้นและความจริงที่ว่าปัญหาที่ยากที่สุดสำหรับนักเรียนคือการรวมกันของลูกบอลกับส่วนอื่น ๆ จึงจำเป็นต้องจัดระบบหลักการทางทฤษฎีที่เกี่ยวข้องและสื่อสารกับนักเรียน

คำจำกัดความ

1. ว่ากันว่าลูกบอลถูกจารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยม และว่ากันว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นถูกจำกัดขอบเขตรอบลูกบอล หากพื้นผิวของลูกบอลสัมผัสทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม

2. ว่ากันว่าลูกบอลมีเส้นรอบวงรอบรูปทรงหลายเหลี่ยม และว่ากันว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมอยู่ในลูกบอล หากพื้นผิวของลูกบอลทะลุผ่านจุดยอดทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

3. กล่าวกันว่าลูกบอลถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก กรวยที่ถูกตัดทอน (กรวย) และว่ากันว่าทรงกระบอก กรวยที่ถูกตัดทอน (กรวย) นั้นถูกจารึกไว้รอบลูกบอล หากพื้นผิวของลูกบอลสัมผัสกับฐาน (ฐาน) และทั้งหมด ลักษณะทั่วไปของทรงกระบอก, กรวยตัดทอน (กรวย)

(จากคำจำกัดความนี้ เป็นไปตามที่ว่าวงกลมใหญ่ของลูกบอลสามารถจารึกลงในส่วนแนวแกนใดๆ ของวัตถุเหล่านี้ได้)

4. กล่าวกันว่าลูกบอลถูกจำกัดรอบทรงกระบอก ซึ่งเป็นกรวยที่ถูกตัดทอน (กรวย) ถ้าวงกลมของฐาน (วงกลมฐานและปลาย) เป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวของลูกบอล

(จากคำจำกัดความนี้ จึงสามารถอธิบายวงกลมของวงกลมที่ใหญ่กว่าของลูกบอลได้รอบๆ ส่วนตามแนวแกนของวัตถุเหล่านี้)

หมายเหตุทั่วไปเกี่ยวกับตำแหน่งจุดศูนย์กลางลูก

1. จุดศูนย์กลางของลูกบอลที่จารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นอยู่ที่จุดตัดของระนาบเส้นแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ตั้งอยู่ภายในรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่านั้น

2. จุดศูนย์กลางของลูกบอลที่ล้อมรอบรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นอยู่ที่จุดตัดของระนาบที่ตั้งฉากกับขอบทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมและผ่านจุดกึ่งกลางของมัน สามารถตั้งอยู่ภายใน บนพื้นผิว หรือภายนอกรูปทรงหลายเหลี่ยมได้

การรวมกันของทรงกลมและปริซึม

1. ลูกบอลที่จารึกอยู่ในปริซึมตรง

ทฤษฎีบท 1 ทรงกลมสามารถเขียนลงในปริซึมตรงได้ก็ต่อเมื่อสามารถเขียนวงกลมไว้ที่ฐานของปริซึมได้ และความสูงของปริซึมเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้

ข้อพิสูจน์ 1.จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในปริซึมด้านขวาอยู่ที่จุดกึ่งกลางของความสูงของปริซึมที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ข้อพิสูจน์ 2.โดยเฉพาะลูกบอลสามารถเขียนเป็นเส้นตรงได้: สามเหลี่ยม ปกติ สี่เหลี่ยม (ซึ่งผลบวกของด้านตรงข้ามของฐานจะเท่ากัน) ภายใต้เงื่อนไข H = 2r โดยที่ H คือความสูงของ ปริซึม r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐาน

2. ทรงกลมที่ล้อมรอบปริซึม

ทฤษฎีบท 2 ทรงกลมสามารถอธิบายรอบปริซึมได้ก็ต่อเมื่อปริซึมตรงและสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานได้

ข้อพิสูจน์ 1- จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบปริซึมตรงนั้นอยู่ที่จุดกึ่งกลางของความสูงของปริซึมที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐาน

ข้อพิสูจน์ 2.โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลูกบอลสามารถอธิบายได้ เช่น ใกล้ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ใกล้ปริซึมปกติ ใกล้สี่เหลี่ยมด้านขนาน ใกล้ปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากด้านขวา ซึ่งผลรวมของมุมตรงข้ามของฐานเท่ากับ 180 องศา

จากหนังสือเรียนของ L.S. Atanasyan สามารถเสนอแนะโจทย์หมายเลข 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) สำหรับการรวมลูกบอลกับปริซึมได้

การรวมกันของลูกบอลกับปิรามิด

1. ลูกบอลที่อธิบายไว้ใกล้ปิรามิด

ทฤษฎีบท 3 ลูกบอลสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด ถ้าหากสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของมันได้

ข้อพิสูจน์ 1.จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบปิรามิดนั้นอยู่ที่จุดตัดของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับฐานของปิรามิดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานนี้และมีระนาบตั้งฉากกับขอบด้านข้างใดๆ ที่ลากผ่านตรงกลาง ขอบนี้

ข้อพิสูจน์ 2.หากขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากัน (หรือเอียงกับระนาบของฐานเท่ากัน) ก็สามารถอธิบายลูกบอลรอบปิรามิดดังกล่าวได้ ความสูงของปิรามิด (หรือส่วนต่อขยาย) โดยมีแกนสมมาตรของขอบด้านข้างอยู่ในขอบด้านข้างของระนาบและความสูง

ข้อพิสูจน์ 3.โดยเฉพาะลูกบอลสามารถอธิบายได้: เกี่ยวกับ ปิรามิดสามเหลี่ยมใกล้ปิรามิดปกติ ใกล้ปิรามิดสี่เหลี่ยมซึ่งผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180 องศา

2. ลูกบอลที่จารึกไว้ในปิรามิด

ทฤษฎีบท 4 หากใบหน้าด้านข้างของปิรามิดมีความโน้มเอียงไปทางฐานเท่ากันก็สามารถใส่ลูกบอลเข้าไปในปิรามิดได้

ข้อพิสูจน์ 1.ศูนย์กลางของลูกบอลที่จารึกไว้ในปิรามิด โดยที่ใบหน้าด้านข้างเอียงไปทางฐานเท่ากันนั้น อยู่ที่จุดตัดกันของความสูงของปิรามิด โดยมีเส้นแบ่งครึ่งของมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลใดๆ ที่ฐานของปิรามิด ด้านข้าง ซึ่งเป็นความสูงของหน้าด้านข้างที่ลากมาจากยอดพีระมิด

ข้อพิสูจน์ 2.คุณสามารถใส่ลูกบอลลงในปิรามิดปกติได้

จากหนังสือเรียนของ L.S. Atanasyan สามารถเสนอแนะปัญหาหมายเลข 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 สำหรับการรวมลูกบอลกับปิรามิด

การรวมกันของลูกบอลกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

1. ลูกบอลที่ล้อมรอบปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ

ทฤษฎีบท 5 ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ (เงื่อนไขนี้เพียงพอแต่ไม่จำเป็น)

2. ลูกบอลที่จารึกไว้ในปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ

ทฤษฎีบท 6 ลูกบอลสามารถถูกจารึกลงในปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติได้ ถ้าหากจุดกึ่งกลางของจุดกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากับผลรวมของจุดตั้งฉากของฐาน

มีเพียงปัญหาเดียวสำหรับการรวมลูกบอลกับปิรามิดที่ถูกตัดทอนในตำราเรียนของ L.S. Atanasyan (หมายเลข 636)

การรวมกันของลูกบอลที่มีลำตัวกลม

ทฤษฎีบท 7 ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ทรงกระบอก กรวยที่ถูกตัดทอน (วงกลมตรง) หรือกรวย

ทฤษฎีบท 8 ลูกบอลสามารถถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก (วงกลมตรง) ได้ก็ต่อเมื่อทรงกระบอกมีด้านเท่ากันหมด

ทฤษฎีบท 9 คุณสามารถใส่ลูกบอลลงในกรวยใดก็ได้ (วงกลมตรง)

ทฤษฎีบท 10 ลูกบอลสามารถถูกจารึกไว้ในกรวยที่ถูกตัดทอน (วงกลมตรง) ได้ก็ต่อเมื่อตัวกำเนิดของมันเท่ากับผลรวมของรัศมีของฐาน

จากตำราเรียนของ L.S. Atanasyan สามารถแนะนำปัญหาหมายเลข 642, 643, 644, 645, 646 สำหรับการรวมลูกบอลที่มีตัวทรงกลม

เพื่อให้ศึกษาเนื้อหาในหัวข้อนี้ได้สำเร็จยิ่งขึ้นจำเป็นต้องรวมงานปากเปล่าไว้ในบทเรียนด้วย:

1. ขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a ค้นหารัศมีของลูกบอล: เขียนไว้ในลูกบาศก์และกำหนดเส้นรอบวงไว้รอบๆ (r = a/2, R = a3)

2. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลม (ลูกบอล) รอบ ๆ : ก) ลูกบาศก์; ข) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน- c) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เอียงโดยมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ฐาน d) ขนานตรง; e) เส้นขนานที่เอียง? (ก. ใช่; B: ใช่; ค) ไม่; ง) ไม่; ง) ไม่)

3. เป็นความจริงหรือไม่ที่สามารถอธิบายทรงกลมรอบปิรามิดสามเหลี่ยมใดๆ ได้? (ใช่)

4. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ? (ไม่ ไม่ใช่ใกล้กับพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เลย)

5. ปิรามิดต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะอธิบายทรงกลมรอบๆ ได้ (ที่ฐานควรมีรูปหลายเหลี่ยมล้อมรอบซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้)

6. ปิรามิดถูกจารึกไว้ในทรงกลม โดยขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน จะหาจุดศูนย์กลางของทรงกลมได้อย่างไร? (จุดศูนย์กลางของทรงกลมคือจุดตัดกันของตำแหน่งเรขาคณิตสองตำแหน่งของจุดในอวกาศ จุดแรกคือเส้นตั้งฉากที่ลากกับระนาบของฐานปิรามิด ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบตำแหน่งนั้น จุดที่สองคือระนาบ ตั้งฉากกับขอบด้านที่กำหนดแล้วลากผ่านตรงกลาง)

7. ภายใต้เงื่อนไขใดที่คุณสามารถอธิบายทรงกลมรอบปริซึมที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู? (ประการแรก ปริซึมจะต้องตรง และประการที่สอง สี่เหลี่ยมคางหมูจะต้องเป็นหน้าจั่วจึงจะสามารถอธิบายวงกลมรอบๆ ได้)

8. ปริซึมต้องเป็นไปตามเงื่อนไขใดจึงจะสามารถอธิบายทรงกลมที่อยู่รอบๆ ได้? (ปริซึมจะต้องตรง และฐานจะต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมรอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้)

9. ทรงกลมถูกอธิบายไว้รอบๆ ปริซึมสามเหลี่ยม ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่นอกปริซึม สามเหลี่ยมข้อใดเป็นฐานของปริซึม? (สามเหลี่ยมป้าน)

10. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบปริซึมเอียง? (ไม่ คุณไม่สามารถ)

11. จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากจะอยู่ที่ด้านใดด้านหนึ่งของปริซึมภายใต้เงื่อนไขใด (ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)

12. ฐานของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว การฉายภาพมุมฉากของส่วนบนของปิรามิดลงบนระนาบของฐานคือจุดที่ตั้งอยู่นอกสี่เหลี่ยมคางหมู เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบ ๆ สี่เหลี่ยมคางหมูเช่นนี้? (ใช่ คุณทำได้ ความจริงที่ว่าเส้นโครงตั้งฉากของยอดปิรามิดนั้นตั้งอยู่นอกฐานนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคือที่ฐานของปิรามิดนั้นอยู่ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว- รูปหลายเหลี่ยมรอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้)

13. เกี่ยวกับ ปิรามิดปกติทรงกลมถูกอธิบายไว้ ศูนย์กลางของมันตั้งอยู่สัมพันธ์กับองค์ประกอบของปิรามิดอย่างไร? (จุดศูนย์กลางของทรงกลมอยู่ในแนวตั้งฉากกับระนาบของฐานผ่านจุดศูนย์กลาง)

14. จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่อยู่รอบๆ ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นอยู่ภายใต้สภาวะใด: ก) ภายในปริซึม; b) นอกปริซึม? (ที่ฐานของปริซึม: ก) สามเหลี่ยมมุมแหลม; b) สามเหลี่ยมป้าน)

15. ทรงกลมถูกอธิบายไว้รอบๆ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบเป็น 1 dm, 2 dm และ 2 dm คำนวณรัศมีของทรงกลม (1.5 ดีเอ็ม)

16. ทรงกลมที่ถูกตัดทอนชนิดใดที่สามารถใส่ลงในทรงกลมได้? (ในกรวยที่ถูกตัดทอน เข้าไปในส่วนตามแนวแกนซึ่งสามารถเขียนวงกลมได้ ส่วนตามแนวแกนของกรวยเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ผลรวมของฐานจะต้องเท่ากับผลรวมของด้านข้างของมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลรวมของรัศมีฐานกรวยต้องเท่ากับเครื่องกำเนิด)

17. ทรงกลมถูกจารึกไว้ในกรวยที่ถูกตัดทอน เจเนราทริกซ์ของกรวยมองเห็นได้จากมุมใดจากจุดศูนย์กลางของทรงกลม (90 องศา)

18. ปริซึมตรงต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะใส่ทรงกลมเข้าไปได้? (ประการแรก ที่ฐานของปริซึมตรง จะต้องมีรูปหลายเหลี่ยมที่สามารถเขียนวงกลมเข้าไปได้ และประการที่สอง ความสูงของปริซึมจะต้องเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่สลักไว้ที่ฐาน)

19. ขอยกตัวอย่างปิรามิดที่ไม่สามารถใส่ทรงกลมได้? (เช่น ปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน)

20. ที่ฐานของปริซึมตรงมีสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เป็นไปได้ไหมที่จะใส่ทรงกลมเข้าไปในปริซึมนี้? (ไม่ เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายวงกลมรอบสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

21. ทรงกลมสามารถเขียนลงในปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากได้ภายใต้เงื่อนไขใด (ถ้าความสูงของปริซึมเป็นสองเท่าของรัศมีของวงกลมที่ฐาน)

22. ภายใต้เงื่อนไขใดที่ทรงกลมสามารถจารึกลงในปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติได้? (ถ้าหน้าตัดของปิระมิดที่กำหนดเป็นระนาบที่ผ่านตรงกลางของด้านข้างของฐานที่ตั้งฉากกับพีระมิด มันจะเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งสามารถเขียนวงกลมลงไปได้)

23. ทรงกลมถูกจารึกไว้ในปิรามิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน จุดใดของปิรามิดเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม? (จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในปิรามิดนี้อยู่ที่จุดตัดของระนาบสองมุมสามอันที่เกิดจากใบหน้าด้านข้างของปิรามิดกับฐาน)

24. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบทรงกระบอก (วงกลมด้านขวา)? (ใช่คุณทำได้)

25. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบกรวย ซึ่งเป็นกรวยที่ถูกตัดทอน (วงกลมตรง)? (ใช่ คุณสามารถทำได้ทั้งสองกรณี)

26. สามารถใส่ทรงกลมลงในทรงกระบอกใดๆ ได้หรือไม่? ทรงกระบอกต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะใส่ทรงกลมได้? (ไม่ใช่ ไม่ใช่ทุกครั้ง: ส่วนแกนของกระบอกสูบต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

27. สามารถเขียนทรงกลมลงในกรวยใดๆ ได้หรือไม่? จะทราบตำแหน่งศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในกรวยได้อย่างไร? (ใช่แน่นอน จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้อยู่ที่จุดตัดของความสูงของกรวยกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมเอียงของเจเนราทริกซ์กับระนาบของฐาน)

ผู้เขียนเชื่อว่าจากบทเรียนการวางแผนทั้งสามบทในหัวข้อ "ปัญหาที่แตกต่างกันของรูปทรงหลายเหลี่ยม ทรงกระบอก กรวยและลูกบอล" ขอแนะนำให้อุทิศสองบทเรียนในการแก้ปัญหาในการรวมลูกบอลเข้ากับส่วนอื่น ๆ ไม่แนะนำให้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ให้ไว้ข้างต้นเนื่องจากมีเวลาในชั้นเรียนไม่เพียงพอ คุณสามารถเชิญนักเรียนที่มีทักษะเพียงพอสำหรับเรื่องนี้มาพิสูจน์โดยระบุหลักสูตรหรือแผนของการพิสูจน์ (ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครู)

เมื่อปัญหาได้รับปิรามิดที่จารึกไว้ในลูกบอล ข้อมูลทางทฤษฎีต่อไปนี้จะเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหา

หากพีระมิดถูกจารึกไว้ในลูกบอล จุดยอดทั้งหมดจะวางอยู่บนพื้นผิวของลูกบอลนี้ (บนทรงกลม) ดังนั้นระยะทางจากศูนย์กลางของลูกบอลถึงจุดยอดจะเท่ากับรัศมีของลูกบอล

แต่ละหน้าของปิรามิดที่ถูกจารึกไว้ในลูกบอลนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมจำนวนหนึ่ง ฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกลงมาจากศูนย์กลางของลูกบอลบนระนาบของใบหน้าคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นจำกัดเหล่านี้ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของลูกบอลที่มีเส้นรอบวงคือจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับหน้าของปิรามิดที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีกรอบวงกลม

บ่อยครั้ง จุดศูนย์กลางของลูกบอลที่ล้อมรอบปิรามิดถือเป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากที่ลากไปยังฐานผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบใกล้กับฐาน และเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับขอบด้านข้าง (เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากอยู่ใน ระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างนี้และเส้นตั้งฉากแรก (ลากไปที่ฐาน) หากไม่สามารถอธิบายวงกลมใกล้ฐานของปิรามิดได้ ปิรามิดนี้จะไม่สามารถจารึกไว้ในลูกบอลได้ และตามมาด้วยจุดนั้นใกล้กับปิรามิดสามเหลี่ยม เป็นไปได้ที่จะอธิบายทรงกลมเสมอไป แต่มีอันหนึ่งจารึกไว้ในลูกบอล ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมโดยมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ฐาน อาจมีฐานสี่เหลี่ยมหรือฐานสี่เหลี่ยมก็ได้

ศูนย์กลางของลูกบอลที่อธิบายไว้ใกล้กับปิรามิดสามารถวางอยู่ภายในปิรามิด บนพื้นผิวของปิรามิด (ด้านข้าง บนฐาน) และด้านนอกปิรามิด หากคำชี้แจงปัญหาไม่ได้บอกว่าจุดศูนย์กลางของลูกบอลมีขอบเขตอยู่ที่ใด แนะนำให้พิจารณาว่าตัวเลือกต่างๆ สำหรับตำแหน่งของลูกบอลอาจส่งผลต่อการแก้ปัญหาอย่างไร

ลูกบอลสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิดทั่วไป ศูนย์กลางคือจุดตัดของเส้นตรงที่มีความสูงของปิรามิดและมีเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับขอบด้านข้าง

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปิรามิดที่จารึกไว้ในลูกบอล สามเหลี่ยมบางอันมักถูกพิจารณาเป็นส่วนใหญ่

เริ่มจากสามเหลี่ยม SO1C กันก่อน มันคือหน้าจั่ว เนื่องจากทั้งสองด้านของมันเท่ากับรัศมีของลูกบอล: SO1=O1С=R ดังนั้น O1F คือความสูง ค่ามัธยฐาน และเส้นแบ่งครึ่ง

สามเหลี่ยมมุมฉาก SOC และ SFO1 มีความคล้ายคลึงกันในมุมแหลม S ดังนั้น

SO=H คือความสูงของพีระมิด, SC=b คือความยาวของขอบด้านข้าง, SF=b/2, SO1=R, OC=r คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของพีระมิด

ใน สามเหลี่ยมมุมฉาก OO1C g ด้านตรงข้ามมุมฉาก O1C=R, ขา OC=r, OO1=H-R ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ถ้าเราต่อความสูง SO เราจะได้เส้นผ่านศูนย์กลาง SM Triangle SCM เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (เนื่องจากมุม SCM ที่จารึกไว้จะขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลาง) ในนั้น OC คือความสูงที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก SO และ OM คือเส้นโครงของขา SC และ CM ไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า

ลูกบอลสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด ถ้าหากสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของมันได้

ในการสร้างจุดศูนย์กลาง O ของลูกบอลนี้ คุณต้องมี:

1. หาจุดศูนย์กลาง O ของวงกลมที่ล้อมรอบฐาน

2. ลากเส้นตรงผ่านจุด O ตั้งฉากกับเครื่องบินบริเวณ

3. วาดระนาบผ่านตรงกลางของขอบด้านข้างของพีระมิดที่ตั้งฉากกับขอบนี้

4. ค้นหาจุด O ของจุดตัดของเส้นตรงและระนาบที่สร้างขึ้น

กรณีพิเศษ: ขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากัน แล้ว:

สามารถอธิบายลูกบอลได้

จุดศูนย์กลาง O ของลูกบอลอยู่ที่ความสูงของปิรามิด

รัศมีของทรงกลมมีขอบเขตอยู่ที่ไหน - ซี่โครงด้านข้าง H คือความสูงของปิรามิด

5.2. บอลและปริซึม

ทรงกลมสามารถอธิบายรอบปริซึมได้ก็ต่อเมื่อปริซึมตรงและสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานได้

จุดศูนย์กลางของลูกบอลคือจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมที่อธิบายไว้ใกล้กับฐาน

รัศมีของทรงกลมที่ถูก จำกัด อยู่ที่ไหน - รัศมีของวงกลมที่อธิบายใกล้ฐาน H คือความสูงของปริซึม

5.3. บอลและกระบอกสูบ

สามารถอธิบายลูกบอลรอบๆ ทรงกระบอกได้เสมอ จุดศูนย์กลางของลูกบอลคือจุดศูนย์กลางของความสมมาตรของส่วนแกนของทรงกระบอก

5.4. บอลและกรวย

ลูกบอลสามารถอธิบายได้รอบกรวยเสมอ ศูนย์กลางของลูกบอล ทำหน้าที่เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบส่วนแนวแกนของกรวย

โลกรอบตัวเราแม้จะมีวัตถุและปรากฏการณ์ที่หลากหลายเกิดขึ้นกับพวกเขา แต่ก็เต็มไปด้วยความสามัคคีด้วยการกระทำที่ชัดเจนของกฎแห่งธรรมชาติ เบื้องหลังเสรีภาพที่ชัดเจนซึ่งธรรมชาติกำหนดโครงร่างและสร้างรูปทรงของสรรพสิ่ง มีกฎเกณฑ์และกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนซึ่งแนะนำการมีอยู่ของพลังที่สูงกว่าในกระบวนการสร้างโดยไม่สมัครใจ บนหมิ่นวิทยาศาสตร์เชิงปฏิบัติซึ่งให้คำอธิบายปรากฏการณ์ต่อเนื่องจากตำแหน่งของสูตรทางคณิตศาสตร์และโลกทัศน์เชิงปรัชญามีโลกที่ให้อารมณ์และความประทับใจแก่เราทั้งพวงจากสิ่งต่าง ๆ ที่เติมเต็มและเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น พวกเขา.

ลูกบอลเป็นรูปแบบของร่างกายที่พบได้ทั่วไปในธรรมชาติ เนื้อความส่วนใหญ่ของจักรวาลมหภาคและพิภพเล็กมีรูปร่างเหมือนลูกบอลหรือมีแนวโน้มที่จะเข้าใกล้มัน โดยพื้นฐานแล้ว ลูกบอลเป็นตัวอย่างของรูปร่างในอุดมคติ คำจำกัดความที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับลูกบอลมีดังต่อไปนี้: มันคือตัวเรขาคณิตซึ่งเป็นเซต (เซต) ของจุดทั้งหมดในอวกาศซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางในระยะทางไม่เกินที่กำหนด ในเรขาคณิต ระยะนี้เรียกว่ารัศมี และสัมพันธ์กับรูปนี้เรียกว่ารัศมีของลูกบอล กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริมาตรของลูกบอลประกอบด้วยจุดทั้งหมดซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางไม่เกินความยาวของรัศมี

ลูกบอลยังถือว่าเป็นผลมาจากการหมุนของครึ่งวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางของมันซึ่งยังคงนิ่งอยู่ ในกรณีนี้แกนของลูกบอล (เส้นผ่านศูนย์กลางคงที่) จะถูกเพิ่มเข้ากับองค์ประกอบและคุณลักษณะเช่นรัศมีและปริมาตรของลูกบอลและปลายของมันถูกเรียกว่าเสาของลูกบอล พื้นผิวของลูกบอลมักเรียกว่าทรงกลม หากเรากำลังจัดการกับลูกบอลปิด มันจะรวมทรงกลมนี้ด้วย ถ้าเป็นลูกบอลเปิดก็จะไม่รวมมัน

เมื่อพิจารณาคำจำกัดความเพิ่มเติมเกี่ยวกับลูกบอลก็ควรกล่าวถึงการตัดระนาบ ระนาบการตัดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของลูกบอลมักเรียกว่าวงกลมใหญ่ สำหรับส่วนแบนอื่นๆ ของลูกบอล มักใช้ชื่อ "วงกลมเล็ก" เมื่อคำนวณพื้นที่ของส่วนเหล่านี้ จะใช้สูตร πR²

ขณะคำนวณปริมาตรของทรงกลม นักคณิตศาสตร์พบรูปแบบและคุณลักษณะที่ค่อนข้างน่าสนใจบางประการ ปรากฎว่าค่านี้ซ้ำกันทั้งหมดหรือใกล้เคียงกันมากในวิธีการกำหนดกับปริมาตรของปิรามิดหรือทรงกระบอกที่ล้อมรอบลูกบอล ปรากฎว่าปริมาตรของลูกบอลจะเท่ากันถ้าฐานของมันมีพื้นที่เท่ากับพื้นผิวของลูกบอล และความสูงของลูกบอลเท่ากับรัศมีของลูกบอล หากเราพิจารณาทรงกระบอกที่ล้อมรอบลูกบอล เราสามารถคำนวณรูปแบบโดยที่ปริมาตรของลูกบอลน้อยกว่าปริมาตรของทรงกระบอกนี้หนึ่งเท่าครึ่ง

วิธีการเอาบอลออกโดยใช้หลักการของคาวาเลียรีดูน่าดึงดูดและเป็นต้นฉบับ ประกอบด้วยการหาปริมาตรของรูปใดๆ โดยการบวกพื้นที่ที่ได้จากหน้าตัดของมันด้วยจำนวนอนันต์ เพื่อให้ได้มา ลองใช้ซีกโลกที่มีรัศมี R และทรงกระบอกที่มีความสูง R พร้อมกับฐานวงกลมที่มีรัศมี R ( ฐานของซีกโลกและทรงกระบอกอยู่ในระนาบเดียวกัน) เราประกอบกรวยเข้ากับกระบอกสูบนี้โดยให้ส่วนยอดอยู่ตรงกลางฐานด้านล่าง หลังจากที่พิสูจน์แล้วว่าปริมาตรของซีกโลกและส่วนของทรงกระบอกที่อยู่ด้านนอกกรวยเท่ากัน เราจึงสามารถคำนวณปริมาตรของลูกบอลได้อย่างง่ายดาย สูตรมีรูปแบบดังนี้: สี่ในสามของผลิตภัณฑ์ของรัศมีลูกบาศก์และ π (V= 4/3R^3×π) วิธีนี้สามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยการวาดระนาบการตัดทั่วไปผ่านซีกโลกและทรงกระบอก พื้นที่ของวงกลมเล็กและวงแหวนที่ล้อมรอบด้วยด้านข้างของทรงกระบอกและกรวยจะเท่ากัน และด้วยการใช้หลักการของ Cavalieri การพิสูจน์สูตรพื้นฐานจึงไม่ใช่เรื่องยาก โดยอาศัยความช่วยเหลือในการกำหนดปริมาตรของลูกบอล

แต่ปัญหาในการศึกษาวัตถุธรรมชาติไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับการหาวิธีกำหนดลักษณะและคุณสมบัติต่างๆ ของวัตถุเท่านั้น ตัวเลขสามมิติ เช่น ลูกบอล มีการใช้กันอย่างแพร่หลายมาก กิจกรรมภาคปฏิบัติบุคคล. อุปกรณ์ทางเทคนิคจำนวนมากในการออกแบบชิ้นส่วนไม่เพียงแต่มีรูปร่างเป็นทรงกลมเท่านั้น แต่ยังประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นทรงกลมด้วย เป็นการคัดลอกสารละลายธรรมชาติในอุดมคติในกระบวนการกิจกรรมของมนุษย์ที่ให้ผลลัพธ์คุณภาพสูงสุด

สวัสดี! ในบทความนี้เราจะดูปัญหาเกี่ยวกับลูกบอล แม่นยำยิ่งขึ้นจะมีการรวมกันของร่างกาย: ลูกบอลหรืออีกนัยหนึ่งคือทรงกระบอกที่อธิบายไว้รอบ ๆ ลูกบอล (ซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน) และลูกบาศก์ที่จารึกไว้ในลูกบอล

บล็อกได้ครอบคลุมกลุ่มปัญหาเกี่ยวกับลูกบอลแล้ว - ในงานที่นำเสนอเราจะพูดถึงการค้นหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของวัตถุที่ระบุที่คุณต้องรู้!

สูตรปริมาตรของลูกบอล:

สูตรพื้นที่ผิวของลูกบอล:

สูตรปริมาตรกระบอกสูบ:

สูตรพื้นที่ผิวของทรงกระบอก:

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก:

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า "บิด" เป็นทรงกระบอก ด้านหนึ่งเท่ากับเส้นรอบวงของฐาน - นี่คือ 2PiR ส่วนอีกด้านหนึ่งเท่ากับความสูงของทรงกระบอก - นี่คือ เอ็น.

มีอะไรน่าสังเกตเกี่ยวกับงานที่นำเสนอ?

1. ถ้าลูกบอลถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก แสดงว่าลูกบอลเหล่านั้นมีรัศมีร่วมกัน

2. ความสูงของทรงกระบอกที่ล้อมรอบลูกบอลเท่ากับ 2 ของรัศมี (หรือเส้นผ่านศูนย์กลาง)

3. ถ้าลูกบาศก์ถูกจารึกไว้ในลูกบอล เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์นี้จะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล

245348. ทรงกระบอกถูกอธิบายไว้รอบลูกบอล ปริมาตรของทรงกระบอกคือ 33 จงหาปริมาตรของทรงกลม

สูตรปริมาตรของลูกบอล:

เราต้องหารัศมีของลูกบอล

ทรงกลมและทรงกระบอกมีรัศมีร่วมกัน ฐานของทรงกระบอกเป็นวงกลมมีรัศมี R ความสูงของทรงกระบอกเท่ากับสองรัศมี ซึ่งหมายความว่าปริมาตรของกระบอกสูบคำนวณโดยสูตร:

ลองแทนปริมาตรที่กำหนดในเงื่อนไขลงในสูตรและแสดงรัศมี:

ปล่อยให้นิพจน์อยู่ในรูปแบบนี้ ไม่จำเป็นต้องแสดงรัศมี (แยกรากที่สาม) เนื่องจากเราต้องการ R 3 อย่างแน่นอน

ดังนั้น ปริมาตรของลูกบอลจะเท่ากับ:

คำตอบ: 22

245349. ทรงกระบอกถูกอธิบายไว้รอบลูกบอล ปริมาตรของทรงกลมคือ 24 จงหาปริมาตรของทรงกระบอก

งานนี้ตรงกันข้ามกับภารกิจก่อนหน้า

สูตรปริมาตรของลูกบอล:

ปริมาตรของกระบอกสูบคำนวณโดยสูตร:

เนื่องจากทราบปริมาตรของลูกบอล เราจึงสามารถแสดงรัศมีแล้วหาปริมาตรของทรงกระบอกได้:

ดังนั้น:

คำตอบ: 36

316557 ลูกบอลถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก พื้นที่ผิวของทรงกลมคือ 111 จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอก

สูตรพื้นผิวทรงกลม:

สูตรพื้นผิวกระบอกสูบ:

มาทำให้ง่ายขึ้น:

เนื่องจากเราให้พื้นที่ผิวของลูกบอลมา เราจึงสามารถแสดงรัศมีได้:

คำตอบ: 166.5