สมการของคาบการสั่นของฮาร์มอนิก สมการของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ตัวอักษรใดแสดงถึงคาบการสั่น?

การสั่นเรียกว่าการเคลื่อนไหวหรือกระบวนการที่มีลักษณะการทำซ้ำเมื่อเวลาผ่านไป กระบวนการออสซิลโลสโคปแพร่หลายในธรรมชาติและเทคโนโลยี เช่น การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาสลับกัน กระแสไฟฟ้าฯลฯ เมื่อใด การเคลื่อนไหวแบบสั่นลูกตุ้มซึ่งเป็นพิกัดของจุดศูนย์กลางการเปลี่ยนแปลงมวลในกรณีนี้ เครื่องปรับอากาศแรงดันและกระแสผันผวนในวงจร ธรรมชาติทางกายภาพการสั่นสะเทือนอาจแตกต่างกัน ดังนั้นจึงมีการสั่นสะเทือนทางกล แม่เหล็กไฟฟ้า ฯลฯ อย่างไรก็ตาม กระบวนการออสซิลเลชันที่แตกต่างกันได้รับการอธิบายด้วยคุณลักษณะที่เหมือนกันและสมการที่เหมือนกัน ดังนั้นความได้เปรียบ แนวทางทั่วไปเพื่อศึกษาการสั่นสะเทือน ที่มีลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกัน

เรียกว่าการสั่น ฟรี, หากเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายในที่กระทำระหว่างองค์ประกอบของระบบเท่านั้น หลังจากที่ระบบถูกนำออกจากสมดุลโดยแรงภายนอกและปล่อยให้ตัวเองอยู่เอง สั่นสะเทือนฟรีเสมอ การสั่นแบบหน่วง เพราะในระบบจริงการสูญเสียพลังงานเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ในกรณีอุดมคติของระบบที่ไม่มีการสูญเสียพลังงาน การแกว่งอิสระ (ต่อเนื่องนานเท่าที่ต้องการ) จะถูกเรียกว่า เป็นเจ้าของ.

การแกว่งแบบไม่แดมป์อิสระที่ง่ายที่สุดคือ การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก -การแกว่งซึ่งปริมาณการสั่นเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์ (โคไซน์) การสั่นสะเทือนที่พบในธรรมชาติและเทคโนโลยีมักมีลักษณะใกล้เคียงกับฮาร์โมนิค

การสั่นของฮาร์มอนิกอธิบายได้ด้วยสมการที่เรียกว่าสมการ การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก:

ที่ไหน ก- ความกว้างของการสั่น ค่าสูงสุดของปริมาณการสั่น เอ็กซ์; - ความถี่วงกลม (วงจร) ของการสั่นตามธรรมชาติ - ระยะเริ่มต้นของการสั่น ณ ขณะนั้น ที= 0; - ระยะของการสั่น ณ ขณะนั้น ทีเฟสการสั่นจะกำหนดค่าของปริมาณการสั่นในหน่วย ในขณะนี้เวลา. เนื่องจากโคไซน์แปรผันจาก +1 ถึง -1 ดังนั้น เอ็กซ์สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ + กถึง - ก.

เวลา ตในระหว่างนั้นระบบจะทำการสั่นครบหนึ่งครั้งเรียกว่า ระยะเวลาของการสั่น. ในช่วงเวลานั้น ตระยะการสั่นจะเพิ่มขึ้น 2 π , เช่น.

ที่ไหน . (14.2)

ส่วนกลับของคาบการสั่น

กล่าวคือ จำนวนการสั่นที่สมบูรณ์ที่ทำต่อหน่วยเวลาเรียกว่าความถี่การสั่น เปรียบเทียบ (14.2) และ (14.3) ที่เราได้รับ

หน่วยของความถี่คือเฮิรตซ์ (Hz): 1 Hz คือความถี่ที่การสั่นสมบูรณ์หนึ่งครั้งเกิดขึ้นใน 1 วินาที

ระบบที่สามารถเกิดการสั่นสะเทือนอิสระได้เรียกว่า ออสซิลเลเตอร์ . ระบบต้องมีคุณสมบัติอะไรบ้างจึงจะเกิดการสั่นสะเทือนอย่างอิสระได้? ระบบเครื่องกลต้องมี ตำแหน่งสมดุลที่มั่นคงเมื่อออกซึ่งจะปรากฏขึ้น แรงคืนสู่ตำแหน่งสมดุล- ตำแหน่งนี้สอดคล้องกับพลังงานศักย์ขั้นต่ำของระบบ ดังที่ทราบกันดี ให้เราพิจารณาระบบออสซิลโลสโคปหลายระบบที่ตรงตามคุณสมบัติที่ระบุไว้

แปรผันตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์:

ที่ไหน เอ็กซ์- มูลค่าของปริมาณที่ผันผวน ณ ขณะนั้น ที, ก- แอมพลิจูด ω - ความถี่วงกลม φ — ระยะเริ่มต้นของการสั่น ( φt + φ ) - การแกว่งแบบเต็มเฟส ขณะเดียวกันก็มีคุณค่า ก, ω และ φ - ถาวร.

สำหรับ การสั่นสะเทือนทางกลค่าที่ผันผวน เอ็กซ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจัดและความเร็วสำหรับการสั่นสะเทือนทางไฟฟ้า - แรงดันและกระแส

การแกว่งของฮาร์มอนิกครอบครองสถานที่พิเศษในบรรดาการแกว่งทุกประเภท เนื่องจากนี่เป็นการแกว่งประเภทเดียวที่รูปร่างไม่บิดเบี้ยวเมื่อผ่านตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ คลื่นที่แพร่กระจายจากแหล่งกำเนิดของการสั่นของฮาร์มอนิกก็จะเป็นแบบฮาร์มอนิกเช่นกัน การสั่นแบบไม่ฮาร์มอนิกใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวม (จำนวนเต็ม) ของการสั่นแบบฮาร์มอนิกต่างๆ (ในรูปของสเปกตรัมของการสั่นแบบฮาร์มอนิก)

การเปลี่ยนแปลงพลังงานระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก

ในระหว่างกระบวนการออสซิลเลชัน การถ่ายโอนพลังงานที่อาจเกิดขึ้น วพถึงจลน์ศาสตร์ สัปดาห์และในทางกลับกัน ที่ตำแหน่งเบี่ยงเบนสูงสุดจากตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์สูงสุด พลังงานจลน์เป็นศูนย์ เมื่อมันกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ความเร็วของตัวการสั่นจะเพิ่มขึ้น และพลังงานจลน์ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน โดยถึงจุดสูงสุดในตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์ลดลงเหลือศูนย์ การเคลื่อนไหวเพิ่มเติมจะเกิดขึ้นพร้อมกับความเร็วที่ลดลง ซึ่งจะลดลงเหลือศูนย์เมื่อการโก่งตัวถึงค่าสูงสุดที่สอง พลังงานศักย์ที่นี่จะเพิ่มขึ้นเป็นค่าเริ่มต้น (สูงสุด) (ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน) ดังนั้น การแกว่งของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์จึงเกิดขึ้นด้วยความถี่สองเท่า (เมื่อเทียบกับการแกว่งของลูกตุ้มเอง) และอยู่ในแอนติเฟส (กล่าวคือ มีการเปลี่ยนเฟสระหว่างความถี่ทั้งสองเท่ากับ π ). พลังงานทั้งหมดความผันผวน วยังคงไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับวัตถุที่แกว่งไปมาภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น จะเท่ากับ:

ที่ไหน วี ม— ความเร็วสูงสุดของร่างกาย (ในตำแหน่งสมดุล) x ม. = ก- แอมพลิจูด

เนื่องจากการมีอยู่ของแรงเสียดทานและความต้านทานของตัวกลาง การสั่นสะเทือนอิสระจึงลดทอนลง: พลังงานและแอมพลิจูดของพวกมันจะลดลงเมื่อเวลาผ่านไป ดังนั้นในทางปฏิบัติ การสั่นแบบบังคับจึงถูกนำมาใช้บ่อยกว่าการสั่นแบบอิสระ

เราดูหลายอย่างทางร่างกายอย่างสมบูรณ์ ระบบต่างๆและตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการการเคลื่อนที่ลดลงให้อยู่ในรูปเดียวกัน

ความแตกต่างระหว่างระบบทางกายภาพปรากฏเฉพาะใน คำจำกัดความที่แตกต่างกันปริมาณ และในด้านต่างๆ ความรู้สึกทางกายภาพตัวแปร x: นี่อาจเป็นพิกัด มุม ประจุ กระแส ฯลฯ โปรดทราบว่าในกรณีนี้ จากโครงสร้างสมการ (1.18) ต่อไปนี้ ปริมาณจะมีมิติของเวลาผกผันเสมอ

สมการ (1.18) อธิบายสิ่งที่เรียกว่า การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก.

สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก (1.18) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง (เนื่องจากมีอนุพันธ์อันดับสองของตัวแปร x). ความเป็นเส้นตรงของสมการหมายความว่าอย่างนั้น

ถ้าฟังก์ชั่นบางอย่าง เอ็กซ์(ที)คือคำตอบของสมการนี้ แล้วก็ฟังก์ชัน ซีเอ็กซ์(ที)จะเป็นทางออกของเขาด้วย ( ค– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ);

ถ้าฟังก์ชั่น x 1(ท)และ x 2(ท)คือคำตอบของสมการนี้ แล้วจึงผลรวม x 1 (เสื้อ) + x 2 (เสื้อ)จะเป็นคำตอบของสมการเดียวกันด้วย

ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ยังได้รับการพิสูจน์แล้ว โดยสมการอันดับสองมีคำตอบที่เป็นอิสระสองข้อ สารละลายอื่นๆ ทั้งหมดตามคุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงสามารถรับได้ ชุดค่าผสมเชิงเส้น- ง่ายต่อการตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์โดยตรงว่าฟังก์ชันอิสระและเป็นไปตามสมการ (1.18) วิธี, วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการนี้ดูเหมือนว่า:

ที่ไหน ค 1ค 2- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ วิธีนี้สามารถนำเสนอในรูปแบบอื่นได้ มาใส่ค่ากัน

และกำหนดมุมตามความสัมพันธ์:

จากนั้นคำตอบทั่วไป (1.19) เขียนเป็น

ตามสูตรตรีโกณมิติ นิพจน์ในวงเล็บจะเท่ากับ

ในที่สุดเราก็มาถึง คำตอบทั่วไปของสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกในรูปแบบ:

ค่าที่ไม่เป็นลบ กเรียกว่า แอมพลิจูดการสั่นสะเทือน, - ระยะเริ่มต้นของการสั่น. อาร์กิวเมนต์โคไซน์ทั้งหมด - การรวมกัน - เรียกว่า เฟสการสั่น.

นิพจน์ (1.19) และ (1.23) เทียบเท่ากันโดยสมบูรณ์ ดังนั้นเราจึงสามารถใช้นิพจน์ใดก็ได้ โดยพิจารณาจากความเรียบง่าย คำตอบทั้งสองเป็นฟังก์ชันคาบของเวลา อันที่จริงไซน์และโคไซน์นั้นมีคาบเป็นคาบ . ดังนั้น สถานะต่างๆ ของระบบที่มีการสั่นแบบฮาร์มอนิกจะเกิดขึ้นซ้ำหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง เสื้อ*ซึ่งในระหว่างนั้นเฟสการสั่นจะได้รับการเพิ่มขึ้นซึ่งเป็นผลคูณของ :

มันเป็นไปตามนั้น

อย่างน้อยครั้งนี้

เรียกว่า ระยะเวลาของการสั่น (รูปที่ 1.8) และ - ของเขา วงกลม (วงจร) ความถี่.

ข้าว. 1.8.

พวกเขายังใช้ ความถี่ ความผันผวน

ดังนั้น ความถี่วงกลมจึงเท่ากับจำนวนการแกว่งต่อ วินาที

ดังนั้นหากระบบในขณะนั้น ทีโดดเด่นด้วยค่าของตัวแปร x(เสื้อ)จากนั้นตัวแปรจะมีค่าเท่ากันหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง (รูปที่ 1.9) กล่าวคือ

ความหมายเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นซ้ำตามธรรมชาติเมื่อเวลาผ่านไป 2ต, ซีทีฯลฯ

ข้าว. 1.9. ระยะเวลาการสั่น

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปประกอบด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจสองตัว ( ค 1, ค 2หรือ ก, ก) ค่าที่ต้องถูกกำหนดโดยสอง เงื่อนไขเริ่มต้น. โดยปกติ (แต่ไม่จำเป็น) บทบาทของพวกเขาจะเล่นตามค่าเริ่มต้นของตัวแปร x(0)และอนุพันธ์ของมัน

ลองยกตัวอย่าง ให้คำตอบ (1.19) ของสมการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสปริง ค่าของค่าคงที่ตามอำเภอใจขึ้นอยู่กับวิธีที่เรานำลูกตุ้มออกจากสมดุล เช่น เราดึงสปริงไปไกลๆ และปล่อยบอลโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น ในกรณีนี้

การทดแทน เสื้อ = 0ใน (1.19) เราจะหาค่าของค่าคงที่ ค 2

วิธีแก้ปัญหาจึงมีลักษณะดังนี้:

เราค้นหาความเร็วของโหลดโดยการแยกส่วนตามเวลา

เข้ามาทดแทนที่นี่. ที = 0 จงหาค่าคงที่ ค 1:

ในที่สุด

เมื่อเปรียบเทียบกับ (1.23) เราจะพบว่า คือแอมพลิจูดของการแกว่ง และเฟสเริ่มต้นคือศูนย์:

ให้เราทำให้ลูกตุ้มสมดุลในอีกทางหนึ่ง ลองตีโหลดเพื่อให้ได้ความเร็วเริ่มต้น แต่ในทางปฏิบัติแล้วจะไม่เคลื่อนที่ระหว่างการกระแทก จากนั้นเราก็มีเงื่อนไขเริ่มต้นอื่นๆ:

โซลูชันของเราดูเหมือน

ความเร็วของการโหลดจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย:

มาแทนที่ที่นี่:

ประเภทของการแกว่งที่ง่ายที่สุดคือ การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก- การแกว่งซึ่งการกระจัดของจุดที่สั่นจากตำแหน่งสมดุลเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์

ดังนั้นด้วยการหมุนที่สม่ำเสมอของลูกบอลในวงกลม การฉายภาพ (เงาในรังสีคู่ขนาน) จะทำการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์บนหน้าจอแนวตั้ง (รูปที่ 1)

การกระจัดจากตำแหน่งสมดุลระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกอธิบายโดยสมการ (เรียกว่ากฎจลน์ของการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิก) ในรูปแบบ:

โดยที่ x คือการกระจัด - ปริมาณที่แสดงลักษณะของจุดสั่น ณ เวลา t สัมพันธ์กับตำแหน่งสมดุล และวัดโดยระยะห่างจากตำแหน่งสมดุลไปยังตำแหน่งของจุด ณ เวลาที่กำหนด A - ความกว้างของการแกว่ง - การกระจัดสูงสุดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล T - ระยะเวลาของการสั่น - เวลาของการสั่นที่สมบูรณ์หนึ่งครั้ง เหล่านั้น. ช่วงเวลาที่สั้นที่สุดหลังจากนั้นจะทำซ้ำค่าต่างๆ ปริมาณทางกายภาพ, ระบุลักษณะการสั่น; - ระยะเริ่มแรก

เฟสการสั่น ณ เวลา t เฟสการสั่นเป็นข้อโต้แย้ง ฟังก์ชั่นเป็นระยะซึ่งสำหรับแอมพลิจูดการสั่นที่กำหนด จะกำหนดสถานะของระบบการสั่น (การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง) ของร่างกาย ณ เวลาใดก็ได้

ถ้า ณ เวลาเริ่มต้น จุดสั่นถูกแทนที่จนสุดจากตำแหน่งสมดุล ดังนั้น และการกระจัดของจุดจากตำแหน่งสมดุลจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย

หากจุดสั่น ณ อยู่ในตำแหน่งสมดุลเสถียร การกระจัดของจุดจากตำแหน่งสมดุลจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย

ค่าของ V ส่วนกลับของงวดและ เท่ากับจำนวนการสั่นทั้งหมดที่เสร็จสิ้นใน 1 วินาทีเรียกว่าความถี่การสั่น:

ถ้าในช่วงเวลา t ร่างกายทำให้การแกว่งของ N สมบูรณ์แล้ว

ขนาด เรียกว่าการแสดงจำนวนการแกว่งของร่างกายใน s ความถี่วงจร (วงกลม).

กฎจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกสามารถเขียนได้เป็น:

ในเชิงกราฟิก การพึ่งพาของการกระจัดของจุดที่สั่นตรงเวลาจะแสดงด้วยคลื่นโคไซน์ (หรือคลื่นไซน์)

รูปที่ 2 a แสดงกราฟของการขึ้นอยู่กับเวลาของการกระจัดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุลสำหรับกรณี

เรามาดูกันว่าความเร็วของจุดสั่นเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของเวลาของนิพจน์นี้:

โดยที่แอมพลิจูดของการฉายภาพความเร็วบนแกน x คือ

สูตรนี้แสดงให้เห็นว่าในระหว่างการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก การฉายภาพความเร็วของร่างกายบนแกน x ก็เปลี่ยนแปลงไปตามกฎฮาร์มอนิกที่มีความถี่เท่ากันด้วยแอมพลิจูดที่แตกต่างกันและอยู่ข้างหน้าการกระจัดในเฟสด้วย (รูปที่ 2, b ).

เพื่อชี้แจงความขึ้นอยู่กับความเร่ง เราจะหาอนุพันธ์ของเวลาของการฉายภาพความเร็ว:

โดยที่คือแอมพลิจูดของการฉายภาพความเร่งบนแกน x

ด้วยการสั่นแบบฮาร์มอนิก การฉายภาพความเร่งจะอยู่ข้างหน้าการกระจัดของเฟสด้วย k (รูปที่ 2, c)

การแกว่งของฮาร์มอนิกเป็นปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะของปริมาณใด ๆ ซึ่งการพึ่งพาอาร์กิวเมนต์มีลักษณะเป็นฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ ตัวอย่างเช่น ปริมาณจะผันผวนอย่างกลมกลืนและเปลี่ยนแปลงตามเวลาดังนี้

โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลง t คือเวลา พารามิเตอร์ที่เหลือจะเป็นค่าคงที่: A คือแอมพลิจูดของการออสซิลเลชัน ω คือความถี่ไซคลิกของการออสซิลเลชัน คือเฟสเต็มของการออสซิลเลชัน คือเฟสเริ่มต้นของการออสซิลเลชัน

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(วิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญสำหรับสิ่งนี้ สมการเชิงอนุพันธ์- มีการสั่นฮาร์มอนิกด้วยความถี่ไซคลิก)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

การสั่นสะเทือนอิสระเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายในของระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว เพื่อให้การแกว่งอิสระเป็นแบบฮาร์มอนิก จำเป็นที่ระบบออสซิลลาทอรีจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และไม่มีการกระจายพลังงานไปในตัว (อย่างหลังจะทำให้เกิดการลดทอน)

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกเป็นระยะ เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิกก็เพียงพอแล้วที่ระบบออสซิลโลสโคปจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และแรงภายนอกเองก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเนื่องจากการแกว่งของฮาร์มอนิก (นั่นคือ การพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซนูซอยด์) .

สมการฮาร์มอนิก

สมการ (1)

ให้การพึ่งพาค่าที่ผันผวน S ตรงเวลา t; นี่คือสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระในรูปแบบที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม โดยปกติแล้วสมการการสั่นสะเทือนถือเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของสมการนี้ ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล เพื่อความแน่นอน ขอให้เราใช้สมการ (1) ในรูปแบบ

มาแยกความแตกต่างสองครั้งตามเวลา:

จะเห็นได้ว่ามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ซึ่งเรียกว่าสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระ (ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล) สมการ (1) เป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (2) เนื่องจากสมการ (2) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขจึงมีความจำเป็นเพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ (นั่นคือ การหาค่าคงที่ A และ   ที่รวมอยู่ในสมการ (1) เช่น ตำแหน่งและความเร็วของระบบออสซิลลาทอรีที่ t = 0

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่ตั้งอยู่บนเกลียวที่ไม่สามารถยืดออกได้แบบไร้น้ำหนัก หรือบนแท่งไร้น้ำหนักในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ คาบของการสั่นตามธรรมชาติเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ความยาว l ซึ่งแขวนลอยอย่างไม่มีการเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอโดยมีความเร่งการตกอย่างอิสระ g เท่ากับ

และไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและมวลของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มทางกายภาพคือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นวัตถุแข็งที่แกว่งไปมาในสนามที่มีแรงใดๆ สัมพันธ์กับจุดที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุนี้ หรือแกนคงที่ตั้งฉากกับทิศทางการกระทำของแรง และไม่ ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายนี้