กระบวนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่า ความแตกต่างอนุพันธ์จะต้องพบในปัญหาหลายประการในหลักสูตร การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- ตัวอย่างเช่น เมื่อค้นหาจุดสุดขั้วและจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน

จะหาได้อย่างไร?

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้ตารางอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นเบื้องต้นและใช้กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง:

1. การย้ายค่าคงที่ให้เลยเครื่องหมายของอนุพันธ์: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. อนุพันธ์ของผลรวม/ผลต่างของฟังก์ชัน: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. อนุพันธ์ของเศษส่วน: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

สารละลาย

อนุพันธ์ของผลรวม/ผลต่างของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม/ผลต่างของอนุพันธ์: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ การใช้กฎสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง $ (x^p)" = px^(p-1) $ เรามี: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ นอกจากนี้ยังนำมาพิจารณาด้วยว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะจัดให้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด- คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา!

คำตอบ

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

วันที่: 20/11/2557

อนุพันธ์คืออะไร?

ตารางอนุพันธ์

อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดหลักของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ในบทนี้เราจะแนะนำแนวคิดนี้ มาทำความรู้จักกันโดยไม่ต้องมีสูตรทางคณิตศาสตร์และการพิสูจน์ที่เข้มงวด

ความคุ้นเคยนี้จะช่วยให้คุณ:

เข้าใจสาระสำคัญของงานง่ายๆ ด้วยอนุพันธ์

แก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้สำเร็จ งานที่ยากลำบาก;

เตรียมบทเรียนที่จริงจังยิ่งขึ้นเกี่ยวกับอนุพันธ์

ประการแรก - เซอร์ไพรส์ที่น่ายินดี)

คำจำกัดความที่เข้มงวดของอนุพันธ์นั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีขีดจำกัดและสิ่งนี้ค่อนข้างซับซ้อน นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ตามกฎแล้วการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องมีความรู้ที่กว้างขวางและลึกซึ้งเช่นนี้!

แค่รู้ก็เพียงพอที่จะทำงานส่วนใหญ่ที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยให้สำเร็จ เพียงไม่กี่เงื่อนไข- เพื่อทำความเข้าใจงานและ กฎเพียงไม่กี่ข้อ- เพื่อแก้ไขมัน นั่นคือทั้งหมดที่ นี่ทำให้ฉันมีความสุข

มาเริ่มทำความรู้จักกันดีกว่า?)

ข้อกำหนดและการกำหนด

มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา การบวก ลบ การคูณ การยกกำลัง ลอการิทึม ฯลฯ หากคุณเพิ่มการดำเนินการอีกหนึ่งรายการให้กับการดำเนินการเหล่านี้ คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาก็จะสูงขึ้น การดำเนินการใหม่นี้เรียกว่า ความแตกต่างคำจำกัดความและความหมายของการดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทเรียนที่แยกจากกัน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจในที่นี้ว่าการสร้างความแตกต่างเป็นเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชัน เราใช้ฟังก์ชั่นใด ๆ และแปลงมันตามกฎเกณฑ์บางประการ ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันใหม่ ฟังก์ชันใหม่นี้เรียกว่า: อนุพันธ์

ความแตกต่าง- การกระทำบนฟังก์ชัน

อนุพันธ์- ผลของการกระทำนี้

เช่นเดียวกับตัวอย่างเช่น ผลรวม- ผลลัพธ์ของการบวก หรือ ส่วนตัว- ผลการแบ่งส่วน

เมื่อรู้เงื่อนไขแล้วอย่างน้อยคุณก็สามารถเข้าใจงานได้) สูตรมีดังนี้: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หาอนุพันธ์; แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน คำนวณอนุพันธ์ฯลฯ นี่คือทั้งหมด หนึ่งสิ่งเดียวกันแน่นอนว่ายังมีงานที่ซับซ้อนกว่าด้วย โดยการค้นหาอนุพันธ์ (ความแตกต่าง) จะเป็นเพียงขั้นตอนหนึ่งในการแก้ปัญหา

อนุพันธ์จะแสดงด้วยเครื่องหมายขีดกลางที่มุมขวาบนของฟังก์ชัน แบบนี้: คุณ"หรือ ฉ"(x)หรือ ส"(ที)และอื่น ๆ

การอ่าน igrek จังหวะ, ef จังหวะจาก x, es จังหวะจาก te,เข้าใจแล้ว...)

ไพรม์ยังสามารถระบุอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะได้ เช่น (2x+3)", (x 3 )" , (บาป)"ฯลฯ อนุพันธ์มักจะแสดงโดยใช้ส่วนต่าง แต่เราจะไม่พิจารณาสัญลักษณ์ดังกล่าวในบทเรียนนี้

สมมติว่าเราได้เรียนรู้ที่จะเข้าใจงานต่างๆ สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา) ฉันขอเตือนคุณอีกครั้ง: การค้นหาอนุพันธ์คือ การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันตามกฎเกณฑ์บางประการน่าแปลกที่มีกฎเหล่านี้น้อยมาก

หากต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้เพียงสามสิ่งเท่านั้น สามเสาหลักที่ตั้งอยู่บนความแตกต่างทั้งหมด นี่คือสามเสาหลักเหล่านี้:

1. ตารางอนุพันธ์ (สูตรความแตกต่าง)

3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

มาเริ่มกันตามลำดับ ในบทนี้เราจะดูตารางอนุพันธ์

ตารางอนุพันธ์

ในโลกนี้มีฟังก์ชันจำนวนอนันต์ ในบรรดาความหลากหลายนี้มีฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดสำหรับ การประยุกต์ใช้จริง- ฟังก์ชั่นเหล่านี้พบได้ในกฎธรรมชาติทั้งหมด จากฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับจากอิฐ คุณสามารถสร้างฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดได้ คลาสของฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชั่นเบื้องต้นเป็นฟังก์ชันเหล่านี้ที่ได้รับการศึกษาที่โรงเรียน - เชิงเส้น, สมการกำลังสอง, ไฮเปอร์โบลา ฯลฯ

ความแตกต่างของฟังก์ชัน "ตั้งแต่เริ่มต้น" เช่น จากคำจำกัดความของอนุพันธ์และทฤษฎีขีดจำกัด นี่เป็นสิ่งที่ต้องใช้แรงงานมาก และนักคณิตศาสตร์ก็เป็นคนเช่นกัน ใช่ ใช่!) ดังนั้น พวกเขาจึงทำให้ชีวิตของพวกเขา (และเรา) ง่ายขึ้น พวกเขาคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานที่อยู่ตรงหน้าเรา ผลลัพธ์ที่ได้คือตารางอนุพันธ์ซึ่งทุกอย่างพร้อมแล้ว)

นี่ครับ จานนี้ฟังก์ชั่นยอดนิยม ด้านซ้ายเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน ด้านขวาเป็นอนุพันธ์ของมัน

	การทำงาน ย	อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y คุณ"
1	ค ( คงที่)	ค" = 0
2	x	x" = 1
3	xn (n - หมายเลขใด ๆ )	(x n)" = n x n-1
	x 2 (น = 2)	(x 2)" = 2x
4	บาป x	(บาป x)" = cosx
	เพราะ x	(cos x)" = - บาป x
	ทีจีเอ็กซ์
	ซีทีจี x
5	อาร์คซิน x
	อาร์คคอส x
	อาร์คแทน เอ็กซ์
	อาร์คซีจี x
4	ก x
	จ x
5	บันทึก ก x
	ใน x ( ก = อี)

ฉันแนะนำให้ใส่ใจกับฟังก์ชันกลุ่มที่สามในตารางอนุพันธ์นี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังเป็นหนึ่งในสูตรที่ใช้บ่อยที่สุด หากไม่ใช่สูตรที่ธรรมดาที่สุด! คุณได้รับคำใบ้หรือไม่) ใช่ขอแนะนำให้รู้ตารางอนุพันธ์ด้วยใจ อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่เรื่องยากอย่างที่คิด ลองแก้โดย ตัวอย่างเพิ่มเติมตารางจะถูกจดจำ!)

การค้นหาค่าตารางของอนุพันธ์ตามที่คุณเข้าใจไม่ใช่งานที่ยากที่สุด ดังนั้นบ่อยครั้งมากในงานดังกล่าวจึงมีชิปเพิ่มเติม ไม่ว่าจะในถ้อยคำของงานหรือในฟังก์ชั่นดั้งเดิมซึ่งดูเหมือนจะไม่มีอยู่ในตาราง...

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 3

ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตาราง แต่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังอยู่ มุมมองทั่วไป(กลุ่มที่สาม). ในกรณีของเรา n=3 ดังนั้นเราจึงแทนที่สามแทน n และจดผลลัพธ์อย่างระมัดระวัง:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

แค่นั้นแหละ.

คำตอบ: ย" = 3x 2

2. ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = sinx ที่จุด x = 0

งานนี้หมายความว่าคุณต้องหาอนุพันธ์ของไซน์ก่อน แล้วจึงแทนค่า x = 0ในอนุพันธ์นี้เอง ตามลำดับนั่นแหละ!มิฉะนั้นจะเกิดขึ้นว่าพวกเขาแทนที่ศูนย์ทันทีในฟังก์ชันดั้งเดิม... เราถูกขอให้ค้นหาไม่ใช่ค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่เป็นค่า อนุพันธ์ของมันผมขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์คือฟังก์ชันใหม่

การใช้แท็บเล็ตเราจะค้นหาไซน์และอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง:

y" = (บาป x)" = cosx

เราแทนที่ศูนย์เป็นอนุพันธ์:

y"(0) = cos 0 = 1

นี่จะเป็นคำตอบ

3. สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน:

มันเป็นแรงบันดาลใจอะไร?) ตารางอนุพันธ์ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าว

ผมขอเตือนคุณว่าการแยกแยะฟังก์ชันก็แค่หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ หากคุณลืมตรีโกณมิติเบื้องต้น การมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเราค่อนข้างยุ่งยาก โต๊ะไม่ได้ช่วยอะไร...

แต่ถ้าเราเห็นว่าหน้าที่ของเราคือ โคไซน์มุมคู่แล้วทุกอย่างจะดีขึ้นทันที!

ใช่ ใช่! จำไว้ว่าการแปลงฟังก์ชันดั้งเดิม ก่อนที่จะสร้างความแตกต่างค่อนข้างยอมรับได้! และมันก็ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก ใช้สูตรโคไซน์มุมคู่:

เหล่านั้น. ฟังก์ชั่นที่ยุ่งยากของเรานั้นไม่มีอะไรมากไปกว่า y = cosx- และนี่คือ- ฟังก์ชั่นตาราง- เราได้รับทันที:

คำตอบ: y" = - บาป x.

ตัวอย่างสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับสูงและนักศึกษา:

4. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

แน่นอนว่าไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตารางอนุพันธ์ แต่ถ้าคุณจำคณิตศาสตร์เบื้องต้น การดำเนินการด้วยกำลัง... ก็เป็นไปได้ที่จะทำให้ฟังก์ชันนี้ง่ายขึ้น แบบนี้:

และ x ยกกำลัง 1/10 ก็เป็นฟังก์ชันตารางอยู่แล้ว! กลุ่มที่สาม n=1/10 เราเขียนโดยตรงตามสูตร:

แค่นั้นแหละ. นี่จะเป็นคำตอบ

ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจนกับเสาหลักแรกของความแตกต่าง - ตารางอนุพันธ์ ยังคงต้องจัดการกับวาฬสองตัวที่เหลืออยู่ ในบทต่อไป เราจะเรียนรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์

อันเป็นผลมาจากการแก้ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายนัก) โดยการกำหนดอนุพันธ์เป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . คนแรกที่ทำงานในด้านการค้นหาอนุพันธ์คือ Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

ดังนั้นในยุคของเราในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่คุณเพียงต้องใช้ตารางของ อนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริธึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการค้นหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องมีนิพจน์ใต้เครื่องหมายเฉพาะ แบ่งฟังก์ชันง่ายๆ ออกเป็นส่วนประกอบต่างๆและกำหนดการกระทำใด (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ผลรวมและผลหาร - ในกฎการหาความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. จากกฎการหาความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "X" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวมโดยที่เทอมที่สองมีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับที่มาของบางสิ่ง คำถามเหล่านั้นมักจะถูกกระจ่างหลังจากทำความคุ้นเคยกับตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เรากำลังดำเนินการไปหาพวกเขาในขณะนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เท่ากับศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้เนื่องจากต้องใช้บ่อยมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "X" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้เป็นเวลานาน
3. อนุพันธ์ของปริญญา เมื่อแก้ไขปัญหา คุณต้องแปลงรากที่ไม่ใช่กำลังสองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ รากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์ของโคไซน์
8. อนุพันธ์ของแทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎของความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันด้วยเทอมคงที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน, เช่น.

กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วผลิตภัณฑ์ของเขาก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กับอนุพันธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 1. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น

แยกแยะได้ในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ความฉลาดของพวกมันก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/วี และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของ อดีตตัวเศษ

จะค้นหาสิ่งต่าง ๆ ในหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในคราวเดียวเสมอ ดังนั้นจึงมีตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชัน".

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) ในรูปของผลรวมและตัวประกอบคงที่! ในกรณีของเทอม อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์ของเทอมนั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี้ ข้อผิดพลาดทั่วไปซึ่งเกิดขึ้นในวันที่ ระยะเริ่มแรกศึกษาอนุพันธ์ แต่ในขณะที่พวกเขาแก้ตัวอย่างหนึ่งและสองส่วนหลายตัวอย่าง นักเรียนทั่วไปจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป

และถ้าเมื่อคุณแยกแยะผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำศัพท์ คุณ"โวลต์ซึ่งในนั้น คุณ- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (ในกรณีนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 10)

ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยกลไกให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเดียว นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอุทิศบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ก่อน ฟังก์ชั่นง่ายๆ.

ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่เปลี่ยนการแสดงออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือในหน้าต่างใหม่ การกระทำที่มีพลังและรากและ การดำเนินการกับเศษส่วน .

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ของเศษส่วนที่มีกำลังและราก นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ จากนั้นติดตามบทเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีพลังและราก”

หากคุณมีงานเช่น จากนั้น คุณจะได้เรียนรู้บทเรียน “อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย”

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีค้นหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เรากำหนดส่วนของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และตัวประกอบของมันคือผลรวม ในวินาทีที่คำศัพท์ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าคงที่ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลคูณ: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:

ต่อไป เราใช้กฎการหาผลรวมเชิงอนุพันธ์: อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองจะมีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวมเราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์เท่ากับ 1 และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "X" จะกลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 จะกลายเป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" คูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหา:

และคุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการหาความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับเศษส่วน ซึ่งตัวเศษคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของ ตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบตัวที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นมีเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและกำลังมากมายอย่างต่อเนื่อง เช่น แล้วยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนด้วยกำลังและราก” .

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และอื่นๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือเมื่อฟังก์ชันดูเหมือน แล้วบทเรียนสำหรับคุณ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองเราได้รับ:

สามารถตรวจสอบแนวทางแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ออนไลน์ .

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหารซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ เมื่อใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารซึ่งเราทำซ้ำและนำไปใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้:

หากต้องการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย

หากคุณทำตามคำจำกัดความอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δ ยถึงการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:

ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองใช้สูตรนี้คำนวณ เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · จ xบาป x- หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากคำนวณไปสองสามหน้าคุณก็เผลอหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ประการแรก เราสังเกตว่าจากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด เราสามารถแยกแยะสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐานได้ มันเป็นญาติกัน สำนวนง่ายๆอนุพันธ์ที่มีการคำนวณและแสดงอยู่ในตารางมานานแล้ว ฟังก์ชันดังกล่าวค่อนข้างง่ายต่อการจดจำ - พร้อมด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชั่นเบื้องต้นมีทั้งหมดตามรายการด้านล่างนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องรู้ด้วยใจ ยิ่งกว่านั้นการจดจำไม่ใช่เรื่องยากเลย - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:

ชื่อ	การทำงาน	อนุพันธ์
คงที่	ฉ(x) = ค, ค ∈ ร	0 (ใช่ ศูนย์!)
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ	ฉ(x) = x n	n · x n − 1
ไซนัส	ฉ(x) = บาป x	เพราะ x
โคไซน์	ฉ(x) = cos x	−บาป x(ลบไซน์)
แทนเจนต์	ฉ(x) = ทีจี x	1/คอส 2 x
โคแทนเจนต์	ฉ(x) = กะรัต x	− 1/บาป 2 x
ลอการิทึมธรรมชาติ	ฉ(x) = บันทึก x	1/x
ลอการิทึมตามอำเภอใจ	ฉ(x) = บันทึก ก x	1/(x ln ก)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง	ฉ(x) = จ x	จ x(ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง)

หากฟังก์ชันพื้นฐานคูณด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็จะถูกคำนวณอย่างง่ายดายเช่นกัน:

(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.

โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

แน่นอนว่าคุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันพื้นฐานเข้าด้วยกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมายได้ นี่คือลักษณะที่ฟังก์ชันใหม่ๆ จะปรากฏขึ้น ไม่ใช่แบบพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังสามารถสร้างความแตกต่างได้ด้วย กฎบางอย่าง- กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่างนี้

อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง

ให้ฟังก์ชันได้รับ ฉ(x) และ ก(x) อนุพันธ์ที่เรารู้จัก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้นได้ จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

1. (ฉ + ก)’ = ฉ ’ + ก ’
2. (ฉ − ก)’ = ฉ ’ − ก ’

ดังนั้น อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + ก + ชม.)’ = ฉ ’ + ก ’ + ชม. ’.

พูดอย่างเคร่งครัด ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดเรื่อง "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − กสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (−1) กแล้วเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

ฉ(x) = x 2 + บาป x; ก(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (x 2 + บาป x)’ = (x 2)’ + (บาป x)’ = 2x+ คอส x;

เราให้เหตุผลคล้ายกันสำหรับฟังก์ชันนี้ ก(x- มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

ก ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอส x;
ก ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ ผู้คนจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณก็จะตามมาด้วย โจมตี">เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สกรูคุณ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ · ก) ’ = ฉ ’ · ก + ฉ · ก ’

สูตรนั้นเรียบง่ายแต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอส x; ก(x) = (x 2 + 7x− 7) · จ x .

การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงเป็นเรื่องง่าย:

ฉ ’(x) = (x 3คอส x)’ = (x 3)’ เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2คอส x + x 3 (−บาป x) = x 2 (3คอส x − xบาป x)

การทำงาน ก(x) ตัวคูณแรกจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่รูปแบบทั่วไปไม่เปลี่ยนแปลง แน่นอนว่าปัจจัยแรกของฟังก์ชัน ก(x) เป็นพหุนามและอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

ก ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · จ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · จ x + (x 2 + 7x− 7) · ( จ x)’ = (2x+ 7) · จ x + (x 2 + 7x− 7) · จ x = จ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · จ x = x(x+ 9) · จ x .

คำตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3คอส x − xบาป x);
ก ’(x) = x(x+ 9) · จ x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้ายอนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อตรวจสอบฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์เพิ่มเติมจะเท่ากับศูนย์ สัญญาณจะถูกกำหนด และอื่นๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรแยกตัวประกอบนิพจน์จะดีกว่า

ถ้ามีสองฟังก์ชัน ฉ(x) และ ก(x), และ ก(x) ≠ 0 บนเซตที่เราสนใจ เรากำหนดได้ คุณลักษณะใหม่ ชม.(x) = ฉ(x)/ก(x- สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณยังสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่ไหม? ลบมาจากไหน? ทำไม ก 2? แล้วไงล่ะ! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาไว้จะดีกว่า ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง.

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตัวเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนมีฟังก์ชันพื้นฐาน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหาร:

ตามธรรมเนียมแล้ว เรามาแยกตัวประกอบของตัวเศษกัน - นี่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องมีสูตรยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น การรับฟังก์ชันก็เพียงพอแล้ว ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร xพูดเปิด x 2 + อิน x- มันจะได้ผล ฉ(x) = บาป ( x 2 + อิน x) - นี่ไง ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- นอกจากนี้ยังมีอนุพันธ์ด้วย แต่จะไม่สามารถค้นหาได้โดยใช้กฎที่กล่าวถึงข้างต้น

ฉันควรทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะช่วย:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย ที(x).

ตามกฎแล้ว สถานการณ์ที่มีการทำความเข้าใจสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหารด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของแต่ละขั้นตอน

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = จ 2x + 3 ; ก(x) = บาป ( x 2 + อิน x)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+3 จะเป็นเรื่องง่าย xแล้วเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = จ x- ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้ 2 x + 3 = ที, ฉ(x) = ฉ(ที) = จ ที- เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (จ ที)’ · ที ’ = จ ที · ที ’

และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! เราทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ: ที = 2x+ 3 เราได้รับ:

ฉ ’(x) = จ ที · ที ’ = จ 2x+3 (2 x + 3)’ = จ 2x+ 3 2 = 2 จ 2x + 3

ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน ก(x- แน่นอนว่ามันจำเป็นต้องเปลี่ยนใหม่ x 2 + อิน x = ที- เรามี:

ก ’(x) = ก ’(ที) · ที’ = (บาป ที)’ · ที' = cos ที · ที ’

การแทนที่แบบย้อนกลับ: ที = x 2 + อิน x- แล้ว:

ก ’(x) = คอส ( x 2 + อิน x) · ( x 2 + อิน x)' = คอส ( x 2 + อิน x) · (2 x + 1/x).

แค่นั้นแหละ! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณผลรวมอนุพันธ์

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2 · จ 2x + 3 ;
ก ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ ( x 2 + อิน x).

บ่อยครั้งมากในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "เฉพาะ" ตัวอย่างเช่น เส้นขีดของผลรวมเท่ากับผลรวมของเส้นขีด นั่นชัดเจนกว่าเหรอ? นั่นเป็นสิ่งที่ดี

ดังนั้นการคำนวณอนุพันธ์จึงต้องกำจัดจังหวะเดียวกันนี้ตามกฎที่กล่าวไว้ข้างต้น เป็นตัวอย่างสุดท้าย ลองกลับไปสู่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

(x n)’ = n · x n − 1

น้อยคนที่รู้ว่าในบทบาทนี้ nอาจเป็นเลขเศษส่วนก็ได้ ตัวอย่างเช่นรากคือ x 0.5. จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีอะไรแปลก ๆ อยู่ใต้ราก? ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง - พวกเขาต้องการสร้างโครงสร้างดังกล่าวให้ การทดสอบและการสอบ

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ขั้นแรก ลองเขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = ที- เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (ที 0.5)’ · ที’ = 0.5 · ที−0.5 · ที ’.

มาทำการแทนที่แบบย้อนกลับกัน: ที = x 2 + 8x− 7. เรามี:

ฉ ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

สุดท้ายก็กลับไปสู่รากเหง้า:

ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเป็นหนึ่งในปัญหาหลักในวิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมปลายและในระดับที่สูงขึ้น สถาบันการศึกษา- เป็นไปไม่ได้ที่จะสำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟโดยสมบูรณ์โดยไม่ต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันสามารถหาได้ง่ายหากคุณรู้กฎพื้นฐานของการหาอนุพันธ์ รวมถึงตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน ลองหาวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์

การทำความเข้าใจคำจำกัดความนี้ค่อนข้างยาก เนื่องจากแนวคิดเรื่องขีด จำกัด ยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างถี่ถ้วนในโรงเรียน แต่ในการที่จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ นั้น ไม่จำเป็นต้องเข้าใจคำจำกัดความอีกต่อไป ปล่อยให้เป็นหน้าที่ของนักคณิตศาสตร์แล้วมุ่งตรงไปที่การหาอนุพันธ์กัน

กระบวนการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่าการสร้างความแตกต่าง เมื่อเราแยกฟังก์ชันเราจะได้ฟังก์ชันใหม่

เราจะใช้เพื่อแสดงถึงพวกเขา ตัวอักษรละตินฉ กรัม ฯลฯ

มีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันมากมายสำหรับอนุพันธ์ เราจะใช้จังหวะ เช่น เขียน g" หมายความว่า เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน g ได้

ตารางอนุพันธ์

เพื่อที่จะตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาอนุพันธ์ จำเป็นต้องจัดทำตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลัก ไม่จำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน การคำนวณที่ซับซ้อน- แค่ดูมูลค่าในตารางอนุพันธ์ก็เพียงพอแล้ว

1. (บาป x)"=คอส x
2. (cos x)"= –บาป x
3. (x n)"= n x n-1
4. (อีเอ็กซ์)"=อีเอ็กซ์
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (บันทึก a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/บาป 2 x
10. (อาร์คซิน x)"= 1/√(1-x 2)
11. (อาร์คคอส x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (ส่วนโค้ง x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=500

เราเห็นว่านี่เป็นค่าคงที่ จากตารางอนุพันธ์เป็นที่ทราบกันว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ (สูตร 1)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=x 100

นี้ ฟังก์ชั่นพลังงานซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็น 100 และเพื่อหาอนุพันธ์ของมัน คุณต้องคูณฟังก์ชันด้วยเลขชี้กำลังและลดด้วย 1 (สูตร 3)

(x 100)"=100 x 99

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=5 x

นี่คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลองคำนวณอนุพันธ์ของมันโดยใช้สูตร 4 กัน

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= log 4 x

เราค้นหาอนุพันธ์ของลอการิทึมโดยใช้สูตร 7

(บันทึก 4 x)"=1/x ln 4

กฎของความแตกต่าง

ตอนนี้เรามาดูวิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหากไม่ได้อยู่ในตาราง ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่ศึกษาไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่เป็นการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้การดำเนินการง่ายๆ (การบวก การลบ การคูณ การหาร และการคูณด้วยตัวเลข) ในการค้นหาอนุพันธ์ คุณจำเป็นต้องรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง ด้านล่าง ตัวอักษร f และ g แสดงถึงฟังก์ชัน และ C เป็นค่าคงที่

1. ค่าสัมประสิทธิ์คงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้

ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= 6*x 8

เราเอาตัวประกอบคงที่เป็น 6 และหาอนุพันธ์เพียง x 4 เท่านั้น นี่คือฟังก์ชันยกกำลัง ซึ่งเป็นอนุพันธ์ซึ่งพบได้โดยใช้สูตร 3 ของตารางอนุพันธ์

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์

(ฉ + ก)"=ฉ" + ก"

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 +sin x

ฟังก์ชันคือผลรวมของสองฟังก์ชัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราหาได้จากตาราง เนื่องจาก (x 100)"=100 x 99 และ (บาป x)"=cos x อนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์เหล่านี้:

(x 100 +ซิน x)"= 100 x 99 +คอส x

3. อนุพันธ์ของส่วนต่างเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์

(ฉ – ก)"=ฉ" – ก"

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 – cos x

ฟังก์ชันนี้คือผลต่างของสองฟังก์ชัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราหาได้ในตาราง จากนั้นอนุพันธ์ของผลต่างจะเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์และอย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย เนื่องจาก (cos x)"= – sin x

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + บาป x

ตัวอย่างที่ 8 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=e x +tg x– x 2

ฟังก์ชันนี้มีทั้งผลรวมและส่วนต่าง มาหาอนุพันธ์ของแต่ละเทอมกัน:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดิมจะเท่ากับ:

(เช่น x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

(ฉ * ก)"=ฉ" * ก + ฉ * ก"

ตัวอย่างที่ 9 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= cos x *e x

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะหาอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัย (cos x)"=–sin x และ (e x)"=e x ทีนี้ลองแทนที่ทุกอย่างลงในสูตรผลิตภัณฑ์กัน เราคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยวินาที และเพิ่มผลคูณของฟังก์ชันแรกด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. อนุพันธ์ของผลหาร

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

ตัวอย่างที่ 10 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 50 /sin x

ในการหาอนุพันธ์ของผลหาร ขั้นแรกให้หาอนุพันธ์ของทั้งเศษและส่วนแยกจากกัน: (x 50)"=50 x 49 และ (sin x)"= cos x เมื่อแทนอนุพันธ์ของผลหารลงในสูตร เราจะได้:

(x 50 /บาป x)"= 50x 49 *บาป x – x 50 *cos x/บาป 2 x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่แสดงโดยองค์ประกอบของฟังก์ชันต่างๆ นอกจากนี้ยังมีกฎสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

(คุณ (วี))"=คุณ"(วี)*วี"

ลองหาวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวกัน ให้ y= u(v(x)) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน มาเรียกฟังก์ชันกัน คุณภายนอก และ v - ภายใน

ตัวอย่างเช่น:

y=sin (x 3) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน

ดังนั้น y=sin(t) จึงเป็นฟังก์ชันภายนอก

เสื้อ=x 3 - ภายใน

ลองคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน ตามสูตร คุณต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและภายนอก

(sin t)"=cos (t) - อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (โดยที่ t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน

จากนั้น (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน