ฟังก์ชันกำลังคืออะไร? ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น: คุณสมบัติและกราฟ คุณสมบัติของฟังก์ชันรากที่ n โดย n เป็นเลขคู่
คุณคุ้นเคยกับฟังก์ชั่นต่างๆ y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xเป็นต้น ฟังก์ชันทั้งหมดนี้เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันกำลัง เช่น ฟังก์ชัน y=xpโดยที่ p คือจำนวนจริงที่กำหนด
คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงและโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับค่าที่ xและ พีปริญญาก็สมเหตุสมผล x พี- ให้เราดำเนินการพิจารณาที่คล้ายกันสำหรับกรณีต่าง ๆ ขึ้นอยู่กับ
เลขชี้กำลัง พี
- ตัวบ่งชี้ พี=2น- จำนวนธรรมชาติเท่ากัน
คุณสมบัติ:
- ขอบเขตคำจำกัดความ - จำนวนจริงทั้งหมด เช่น เซต R
- ชุดของค่า - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบเช่น y มากกว่าหรือเท่ากับ 0
- การทำงาน y=x2nแม้กระทั่งเพราะว่า x2n=(- x) 2น
- ฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา x<0 และเพิ่มขึ้นตามระยะ x>0
2. ตัวบ่งชี้ พี=2n-1- จำนวนธรรมชาติคี่
ในกรณีนี้ ฟังก์ชั่นพลังงาน y=x2n-1โดยที่ เป็นจำนวนธรรมชาติ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
- โดเมนคำจำกัดความ - ตั้งค่า R;
- ชุดของค่า - ชุด R;
- การทำงาน y=x2n-1แปลก เนื่องจาก (- x) 2n-1=x2n-1;
- ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นบนแกนจริงทั้งหมด
3.ตัวบ่งชี้ พี=-2n, ที่ไหน ไม่มีจำนวนธรรมชาติ
ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง y=x -2n =1/x 2nมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- โดเมนของคำจำกัดความ - ตั้งค่า R ยกเว้น x=0;
- ชุดของค่า - ตัวเลขบวก y>0;
- ฟังก์ชัน ย =1/x2nแม้กระทั่งเพราะว่า 1/(-x)2น=1/x2n;
- ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x<0 и убывающей на промежутке x>0.
ฟังก์ชันยกกำลังเรียกว่าฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y=x n (อ่านว่า y เท่ากับ x ยกกำลังของ n) โดยที่ n คือตัวเลขที่กำหนด กรณีพิเศษของฟังก์ชันกำลังคือฟังก์ชันในรูปแบบ y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x และอื่นๆ อีกมากมาย มาเล่าให้คุณฟังเพิ่มเติมเกี่ยวกับแต่ละรายการกันดีกว่า
ฟังก์ชันเชิงเส้น y=x 1 (y=x)
กราฟเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (0;0) ทำมุม 45 องศากับทิศทางบวกของแกน Ox
กราฟแสดงไว้ด้านล่าง
คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเชิงเส้น:
- ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นและกำหนดบนเส้นจำนวนทั้งหมด
- ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
ฟังก์ชันกำลังสอง y=x 2
กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา
คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันกำลังสอง:
- 1. ที่ x =0, y=0 และ y>0 ที่ x0
- 2. ฟังก์ชันกำลังสองถึงค่าต่ำสุดที่จุดยอด อีมินที่ x=0; ควรสังเกตด้วยว่าฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุด
- 3. ฟังก์ชั่นลดลงในช่วงเวลา (-∞;0] และเพิ่มในช่วงเวลาและความนูนในช่วงเวลา [0, + ∞);
- จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0; 0);
- ไม่มีเส้นกำกับ
- กราฟของฟังก์ชันสำหรับเลขคี่ n ส่งผ่านจุด (- 1 ; - 1), (0 ; 0) และ (1 ; 1)
ฟังก์ชั่นพลังงาน
คำจำกัดความที่ 5ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตร y = x a
ลักษณะของกราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันจะขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง
- เมื่อฟังก์ชันกำลังมีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม a ประเภทของกราฟของฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของมันจะขึ้นอยู่กับว่าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่หรือคี่ รวมถึงเครื่องหมายที่เลขชี้กำลังมี ลองพิจารณากรณีพิเศษทั้งหมดนี้โดยละเอียดด้านล่าง
- เลขชี้กำลังอาจเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล - ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ประเภทของกราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันก็แตกต่างกันไป เราจะวิเคราะห์กรณีพิเศษโดยการตั้งค่าเงื่อนไขหลายประการ: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
- ฟังก์ชันกำลังสามารถมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ได้ เราจะวิเคราะห์กรณีนี้โดยละเอียดด้านล่างด้วย
มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนบวกคี่ เช่น a = 1, 3, 5...
เพื่อความชัดเจน เราระบุกราฟของฟังก์ชันยกกำลังดังกล่าว: y = x (สีกราฟิกสีดำ), ย = x 3 ( สีฟ้ากราฟิก), y = x 5 (สีแดงของกราฟ) y = x 7 (สีเขียวกราฟิก) เมื่อ a = 1 เราจะได้ ฟังก์ชันเชิงเส้นย = x
คำนิยาม 6
คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นค่าบวกคี่
- ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- ฟังก์ชันมีความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] และความเว้าสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞) (ไม่รวมฟังก์ชันเชิงเส้น)
- จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0 ; 0) (ไม่รวมฟังก์ชันเชิงเส้น)
- ไม่มีเส้นกำกับ
- จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนบวกคู่ เช่น a = 2, 4, 6...
เพื่อความชัดเจน เราจะระบุกราฟของฟังก์ชันกำลังดังกล่าว: y = x 2 (กราฟิกสีดำ) y = x 4 (กราฟสีน้ำเงิน) y = x 8 (สีแดงของกราฟ) เมื่อ a = 2 เราจะได้ฟังก์ชันกำลังสอง ซึ่งกราฟจะเป็นพาราโบลากำลังสอง
คำนิยาม 7
คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นบวก:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- ลดลงสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
- ไม่มีเส้นกำกับ
- จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างกราฟฟังก์ชันกำลัง y = x a เมื่อ a เป็นเลขคี่ จำนวนลบ: y = x - 9 (กราฟิกสีดำ); y = x - 5 (กราฟสีน้ำเงิน); y = x - 3 (กราฟสีแดง); y = x - 1 (สีเขียวกราฟิก) เมื่อ a = - 1 เราจะได้สัดส่วนผกผัน ซึ่งกราฟจะเป็นไฮเปอร์โบลา
คำจำกัดความ 8
คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นลบคี่:
เมื่อ x = 0 เราจะได้ความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง เนื่องจาก lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 xa = + ∞ สำหรับ a = - 1, - 3, - 5, …. ดังนั้น เส้นตรง x = 0 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
- พิสัย: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- ฟังก์ชันเป็นเลขคี่เพราะ y (- x) = - y (x);
- ฟังก์ชั่นลดลงสำหรับ x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
- ฟังก์ชันมีความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0) และความเว้าสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞) ;
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 เมื่อ a = - 1, - 3, - 5, - - -
- จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .
รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันยกกำลัง y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนลบคู่: y = x - 8 (กราฟิกสีดำ); y = x - 4 (กราฟสีน้ำเงิน); y = x - 2 (สีแดงของกราฟ)
คำนิยาม 9
คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นลบ:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
เมื่อ x = 0 เราจะได้ความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง เนื่องจาก lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 xa = + ∞ สำหรับ a = - 2, - 4, - 6, …. ดังนั้น เส้นตรง x = 0 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
- ฟังก์ชันเป็นคู่ เนื่องจาก y(-x) = y(x);
- ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0) และลดลงสำหรับ x ∈ 0; + ;
- ฟังก์ชันมีความเว้าที่ x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
- เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0 เพราะ:
k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 เมื่อ a = - 2 , - 4 , - 6 , . - - -
- จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .
จากจุดเริ่มต้น ให้ใส่ใจกับประเด็นต่อไปนี้: ในกรณีที่ a เป็นเศษส่วนบวกที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ผู้เขียนบางคนใช้ช่วงเวลา - ∞ เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันกำลังนี้ + ∞ โดยกำหนดว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ บน ในขณะนี้ผู้เขียนหลายคน สิ่งพิมพ์ทางการศึกษาในพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันยกกำลังโดยที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ นอกจากนี้เราจะปฏิบัติตามตำแหน่งนี้: เราจะรับเซต [ 0 ; + ) . คำแนะนำสำหรับนักเรียน: หาความคิดเห็นของครูในประเด็นนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง
มาดูฟังก์ชันกำลังกันดีกว่า y = x a เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ โดยมีเงื่อนไขว่า 0< a < 1 .
ให้เราอธิบายฟังก์ชันกำลังด้วยกราฟ y = x a เมื่อ a = 11 12 (กราฟิกสีดำ); a = 5 7 (สีแดงของกราฟ); a = 1 3 (กราฟสีน้ำเงิน); a = 2 5 (สีเขียวของกราฟ)
ค่าอื่นๆ ของเลขชี้กำลัง a (ระบุ 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.
คำนิยาม 10
คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่ 0< a < 1:
- พิสัย: y ∈ [ 0 ; + ) ;
- ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ) ;
- ฟังก์ชั่นนูนสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞);
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
- ไม่มีเส้นกำกับ
มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม โดยมีเงื่อนไขว่า a > 1
ให้เราอธิบายฟังก์ชันกำลังด้วยกราฟ y = x a ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดโดยใช้ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (กราฟสีดำ แดง น้ำเงิน เขียว ตามลำดับ)
ค่าอื่นๆ ของเลขชี้กำลัง a ที่ให้ > 1 จะให้กราฟที่คล้ายกัน
คำนิยาม 11
คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสำหรับ a > 1:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ [ 0 ; + ) ;
- พิสัย: y ∈ [ 0 ; + ) ;
- ฟังก์ชั่นนี้- การทำงาน มุมมองทั่วไป(ไม่เป็นคี่หรือคู่);
- ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ) ;
- ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞) (เมื่อ 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
- ไม่มีเส้นกำกับ
- จุดผ่านของฟังก์ชัน: (0 ; 0) , (1 ; 1) .
โปรดทราบ! เมื่อ a เป็นเศษส่วนลบที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ในงานของผู้เขียนบางคนมีความเห็นว่าโดเมนของคำจำกัดความในกรณีนี้คือช่วงเวลา - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) โดยมีข้อแม้ว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ ปัจจุบันผู้เขียน สื่อการศึกษาในพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังอยู่ในรูปของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของการโต้แย้งจะไม่ถูกกำหนด นอกจากนี้ เรายังยึดมั่นในมุมมองนี้: เราใช้เซต (0 ; + ∞) เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบแบบเศษส่วน คำแนะนำสำหรับนักเรียน: ชี้แจงวิสัยทัศน์ของครู ณ จุดนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง
เรามาต่อในหัวข้อและวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลัง y = x a ที่ให้มา: - 1< a < 0 .
ให้เรานำเสนอภาพวาดกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (สีดำ, สีแดง, สีฟ้า, สีเขียวของ เส้นตามลำดับ)
คำนิยาม 12
คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่ - 1< a < 0:
ลิม x → 0 + 0 xa = + ∞ เมื่อ - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- พิสัย: y ∈ 0 ; + ;
- ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
ภาพวาดด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (เส้นโค้งสีดำ แดง น้ำเงิน เขียว ตามลำดับ)
คำนิยาม 13
คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสำหรับ a< - 1:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; + ;
lim x → 0 + 0 xa = + ∞ เมื่อ< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- พิสัย: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
- ฟังก์ชั่นลดลงสำหรับ x ∈ 0; + ;
- ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ 0; + ;
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
- เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0;
- จุดผ่านของฟังก์ชัน: (1; 1) .
เมื่อ a = 0 และ x ≠ 0 เราได้รับฟังก์ชัน y = x 0 = 1 ซึ่งกำหนดเส้นที่ไม่รวมจุด (0; 1) (ตกลงกันว่านิพจน์ 0 0 จะไม่ได้รับความหมายใด ๆ ).
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีรูปแบบ y = a x โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1 และกราฟของฟังก์ชันนี้ดูแตกต่างออกไปตามค่าของฐาน a ลองพิจารณากรณีพิเศษ
ขั้นแรกเรามาดูสถานการณ์เมื่อฐาน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่าตั้งแต่ศูนย์ถึงหนึ่ง (0< a < 1) . ตัวอย่างที่ดีคือกราฟของฟังก์ชันสำหรับ a = 1 2 (เส้นโค้งสีน้ำเงิน) และ a = 5 6 (เส้นโค้งสีแดง)
กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีลักษณะคล้ายกันสำหรับค่าฐานอื่นๆ ภายใต้เงื่อนไข 0< a < 1 .
คำนิยาม 14
คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อฐานน้อยกว่าหนึ่ง:
- พิสัย: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
- ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีฐานน้อยกว่าหนึ่งกำลังลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
- เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0 โดยมีตัวแปร x พุ่งไปที่ + ∞;
ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าหนึ่ง (a > 1)
ให้เราอธิบายกรณีพิเศษนี้ด้วยกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = 3 2 x (เส้นโค้งสีน้ำเงิน) และ y = e x (สีแดงของกราฟ)
ค่าฐานอื่นๆ ซึ่งเป็นหน่วยที่ใหญ่กว่าจะทำให้กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะคล้ายกัน
คำนิยาม 15
คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง:
- ขอบเขตคำจำกัดความ – ทั้งชุด ตัวเลขจริง;
- พิสัย: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
- ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีฐานมากกว่า 1 เพิ่มขึ้นเป็น x ∈ - ∞; + ;
- ฟังก์ชั่นมีความเว้าที่ x ∈ - ∞; + ;
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
- เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0 โดยมีตัวแปร x พุ่งไปที่ - ∞;
- จุดผ่านของฟังก์ชัน: (0; 1) .
ฟังก์ชันลอการิทึมมีรูปแบบ y = log a (x) โดยที่ a > 0, a ≠ 1
ฟังก์ชั่นดังกล่าวถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์เท่านั้น: สำหรับ x ∈ 0; + .
กำหนดการ ฟังก์ชันลอการิทึมมี ชนิดที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a
ให้เราพิจารณาสถานการณ์ก่อนเมื่อ 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).
ค่าฐานอื่นๆ ที่ไม่ใช่หน่วยที่ใหญ่กว่า จะให้กราฟประเภทเดียวกัน
คำนิยาม 16
คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเมื่อฐานน้อยกว่าหนึ่ง:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; + . เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางขวา ค่าฟังก์ชันจึงมีแนวโน้มเป็น +∞;
- ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ;
- ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
- ลอการิทึม
- ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ 0; + ;
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
- ไม่มีเส้นกำกับ
ตอนนี้เรามาดูกรณีพิเศษเมื่อฐานของฟังก์ชันลอการิทึมมีค่ามากกว่าหนึ่ง: a > 1 . ภาพวาดด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม y = log 3 2 x และ y = ln x (กราฟสีน้ำเงินและสีแดง ตามลำดับ)
ค่าอื่นของฐานที่มากกว่าหนึ่งจะให้กราฟประเภทเดียวกัน
คำนิยาม 17
คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเมื่อฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; + . เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางขวา ค่าฟังก์ชันจึงมีแนวโน้มเป็น - ∞ ;
- พิสัย: y ∈ - ∞ ; + ∞ (จำนวนจริงทั้งชุด);
- ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
- ฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ 0; + ;
- ฟังก์ชันนี้นูนออกมาสำหรับ x ∈ 0; + ;
- ไม่มีจุดเปลี่ยน
- ไม่มีเส้นกำกับ
- จุดผ่านของฟังก์ชัน: (1; 0) .
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มาดูคุณสมบัติของแต่ละรายการและกราฟิกที่เกี่ยวข้องกัน
โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติของคาบ เช่น เมื่อค่าฟังก์ชันถูกทำซ้ำที่ ความหมายที่แตกต่างกันอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันตามช่วงเวลา f (x + T) = f (x) (T – จุด) ดังนั้นรายการ "คาบบวกที่เล็กที่สุด" จะถูกเพิ่มเข้าไปในรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ นอกจากนี้เราจะระบุค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกลายเป็นศูนย์
- ฟังก์ชันไซน์: y = บาป(x)
กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าคลื่นไซน์
คำนิยาม 18
คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์:
- โดเมนคำจำกัดความ: จำนวนจริงทั้งชุด x ∈ - ∞ ; + ;
- ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π · k โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
- ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z และลดลงสำหรับ x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
- ฟังก์ชันไซน์มีค่าสูงสุดเฉพาะที่จุด π 2 + 2 π · k; 1 และค่าต่ำสุดเฉพาะที่จุด - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
- ฟังก์ชันไซน์จะเว้าเมื่อ x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z และนูนเมื่อ x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
- ไม่มีเส้นกำกับ
- ฟังก์ชันโคไซน์: y = คอส(x)
กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าคลื่นโคไซน์
คำนิยาม 19
คุณสมบัติของฟังก์ชันโคไซน์:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; + ;
- ระยะเวลาบวกที่น้อยที่สุด: T = 2 π;
- ช่วงของค่า: y ∈ - 1 ; 1 ;
- ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคู่ เนื่องจาก y (- x) = y (x);
- ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z และลดลงสำหรับ x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
- ฟังก์ชันโคไซน์มีค่าสูงสุดเฉพาะที่จุด 2 π · k ; 1, k ∈ Z และค่าต่ำสุดเฉพาะที่จุด π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
- ฟังก์ชันโคไซน์จะเว้าเมื่อ x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z และนูนเมื่อ x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
- จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
- ไม่มีเส้นกำกับ
- ฟังก์ชันแทนเจนต์: y = เสื้อ ก (x)
กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่า แทนเจนต์
คำนิยาม 20
คุณสมบัติของฟังก์ชันแทนเจนต์:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
- พฤติกรรมของฟังก์ชันแทนเจนต์บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . ดังนั้น เส้นตรง x = π 2 + π · k k ∈ Z จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
- ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π · k สำหรับ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
- ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ;
- ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
- ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นเป็น - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
- ฟังก์ชันแทนเจนต์จะเว้าสำหรับ x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z และนูนสำหรับ x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
- จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด π · k ; 0 , k ∈ Z ;
- ฟังก์ชันโคแทนเจนต์: y = ค ที ก (x)
กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าโคแทนเจนตอยด์ .
คำนิยาม 21
คุณสมบัติของฟังก์ชันโคแทนเจนต์:
- โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ (π · k ; π + π · k) โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม);
พฤติกรรมของฟังก์ชันโคแทนเจนต์บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . ดังนั้น เส้นตรง x = π · k k ∈ Z จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
- ระยะเวลาบวกที่น้อยที่สุด: T = π;
- ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π 2 + π · k สำหรับ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
- ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ;
- ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
- ฟังก์ชันจะลดลงสำหรับ x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
- ฟังก์ชันโคแทนเจนต์จะเว้าสำหรับ x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z และนูนสำหรับ x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
- จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
- ไม่มีเส้นกำกับเฉียงหรือแนวนอน
ย้อนกลับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- เหล่านี้คืออาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ บ่อยครั้งเนื่องจากการมีอยู่ของคำนำหน้า "ส่วนโค้ง" ในชื่อ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจึงเรียกว่าฟังก์ชันส่วนโค้ง .
- ฟังก์ชันอาร์คไซน์: y = a rc sin (x)
คำนิยาม 22
คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กไซน์:
- ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
- ฟังก์ชันอาร์กไซน์มีความเว้าที่ x ∈ 0; 1 และความนูนของ x ∈ - 1 ; 0 ;
- จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0; 0) ซึ่งเป็นศูนย์ของฟังก์ชันด้วย
- ไม่มีเส้นกำกับ
- ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์: y = a rc cos (x)
คำนิยาม 23
คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คโคไซน์:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - 1 ; 1 ;
- พิสัย: y ∈ 0 ; พาย;
- ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นคู่หรือคี่)
- ฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
- ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์มีความเว้าที่ x ∈ - 1; 0 และความนูนของ x ∈ 0; 1 ;
- จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด 0; พาย 2;
- ไม่มีเส้นกำกับ
- ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์: y = a rc t g (x)
คำนิยาม 24
คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; + ;
- ช่วงของค่า: y ∈ - π 2 ; พาย 2;
- ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
- ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
- ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์มีความเว้าสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] และนูนสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞);
- จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0; 0) ซึ่งเป็นศูนย์ของฟังก์ชันด้วย
- เส้นกำกับแนวนอนเป็นเส้นตรง y = - π 2 เป็น x → - ∞ และ y = π 2 เป็น x → + ∞ (ในรูป เส้นกำกับเป็นเส้นสีเขียว)
- ฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์: y = a rc c t g (x)
คำนิยาม 25
คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กโคแทนเจนต์:
- โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; + ;
- พิสัย: y ∈ (0; π) ;
- ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบทั่วไป
- ฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
- ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ส่วนโค้งมีความเว้าสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞) และความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด 0; พาย 2;
- เส้นกำกับแนวนอนคือเส้นตรง y = π ที่ x → - ∞ (เส้นสีเขียวในรูปวาด) และ y = 0 ที่ x → + ∞
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
ฟังก์ชัน y = ax, y = ax 2, y = a/x เป็นฟังก์ชันกำลังชนิดพิเศษที่ n = 1, n = 2, n = -1 .
ในกรณีที่ nจำนวนเศษส่วน พี/ ถามโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ ถามและตัวเศษคี่ รแล้วค่า อาจมีเครื่องหมายสองอัน และกราฟก็มีอีกส่วนหนึ่งที่ด้านล่างของแกน x เอ็กซ์และมีความสมมาตรกับส่วนบน
เราเห็นกราฟของฟังก์ชันสองค่า y = ±2x 1/2 เช่น แสดงด้วยพาราโบลาที่มีแกนนอน
กราฟฟังก์ชัน ย = xnที่ n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 - กราฟเหล่านี้ผ่านจุด (1; 1)
เมื่อไร n = -1 เราได้รับ อติพจน์- ที่ n < - 1 กราฟของฟังก์ชันกำลังจะอยู่เหนือไฮเปอร์โบลาเป็นอันดับแรก นั่นคือ ระหว่าง x = 0และ x = 1แล้วลดลง (ที่ x > 1- ถ้า n> -1 กราฟไปทางอื่น ค่าลบ เอ็กซ์และค่าเศษส่วน nคล้ายกันในแง่บวก n.
กราฟทั้งหมดจะประมาณกับแกน x อย่างไม่มีกำหนด เอ็กซ์,และถึงแกนพิกัด ที่โดยไม่ต้องสัมผัสพวกเขา เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับไฮเปอร์โบลา กราฟเหล่านี้จึงเรียกว่าไฮเปอร์โบลา n ไทยคำสั่ง.
บทความที่เกี่ยวข้อง
-
“ครูเซด” คือใคร?
เรื่องราวของอัศวินที่ภักดีต่อกษัตริย์ หญิงงาม และหน้าที่ทางทหารเป็นแรงบันดาลใจให้ผู้ชายแสวงหาประโยชน์มาเป็นเวลาหลายศตวรรษ และผู้คนที่มีงานศิลปะก็มุ่งสู่ความคิดสร้างสรรค์ Ulrich von Liechtenstein (1200-1278) Ulrich von Liechtenstein ไม่ได้บุกโจมตีกรุงเยรูซาเล็ม แต่ไม่ได้ทำเช่นนั้น ..
-
หลักการตีความพระคัมภีร์ (กฎทอง 4 ข้อสำหรับการอ่าน)
สวัสดีพี่อีวาน! ตอนแรกฉันก็มีสิ่งเดียวกัน แต่ยิ่งฉันอุทิศเวลาให้กับพระเจ้ามากขึ้น: พันธกิจและพระวจนะของพระองค์ ฉันก็ยิ่งเข้าใจได้มากขึ้นเท่านั้น ฉันเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบท “ต้องศึกษาพระคัมภีร์” ในหนังสือ “การกลับมา...
-
เดอะนัทแคร็กเกอร์และราชาหนู - อี. ฮอฟฟ์แมนน์
การกระทำจะเกิดขึ้นในวันคริสต์มาส ที่บ้านของสมาชิกสภา Stahlbaum ทุกคนกำลังเตรียมตัวสำหรับวันหยุด ส่วนลูกๆ Marie และ Fritz ต่างก็ตั้งตารอของขวัญ พวกเขาสงสัยว่าพ่อทูนหัวของพวกเขา ช่างซ่อมนาฬิกา และพ่อมด Drosselmeyer จะให้อะไรพวกเขาในครั้งนี้ ท่ามกลาง...
-
กฎการสะกดและเครื่องหมายวรรคตอนของรัสเซีย (1956)
หลักสูตรการใช้เครื่องหมายวรรคตอนของโรงเรียนใหม่ใช้หลักไวยากรณ์และน้ำเสียง ตรงกันข้ามกับโรงเรียนคลาสสิกซึ่งในทางปฏิบัติแล้วไม่มีการศึกษาน้ำเสียง แม้ว่าเทคนิคใหม่จะใช้กฎเกณฑ์แบบคลาสสิก แต่ก็ได้รับ...
-
Kozhemyakins: พ่อและลูกชาย Kozhemyakins: พ่อและลูกชาย
- ความคิดสร้างสรรค์ของนักเรียนนายร้อย พวกเขามองหน้าความตาย | บันทึกของนายร้อยทหาร Suvorov N*** ฮีโร่แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย Dmitry Sergeevich Kozhemyakin (1977-2000) นั่นคือคนที่เขาเป็นอยู่ นั่นคือวิธีที่เขายังคงอยู่ในใจของพลร่ม ฉัน...
-
การสังเกตของศาสตราจารย์ Lopatnikov
หลุมศพของแม่ของสตาลินในทบิลิซีและสุสานชาวยิวในบรูคลิน ความคิดเห็นที่น่าสนใจในหัวข้อการเผชิญหน้าระหว่างอาซเคนาซิมและเซฟาร์ดิมในวิดีโอโดย Alexei Menyailov ซึ่งเขาพูดถึงความหลงใหลร่วมกันของผู้นำโลกในด้านชาติพันธุ์วิทยา...