รูปหลายเหลี่ยมมีลักษณะเป็นอย่างไร? รูปหลายเหลี่ยมและคุณสมบัติของพวกมัน รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดอย่างง่าย

รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยเส้นหักปิดซึ่งไม่มีจุดตัดกันเอง

การเชื่อมโยงของเส้นขาดเรียกว่า ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมและจุดยอดของมัน - จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม.

มุมของรูปหลายเหลี่ยมคือมุมภายในที่เกิดจากด้านที่อยู่ติดกัน จำนวนมุมของรูปหลายเหลี่ยมเท่ากับจำนวนจุดยอดและด้านข้าง

รูปหลายเหลี่ยมตั้งชื่อตามจำนวนด้าน รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านน้อยที่สุดเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมซึ่งมีเพียงสามด้าน รูปหลายเหลี่ยมที่มีสี่ด้านเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยม โดยมีห้าด้านเป็นรูปห้าเหลี่ยม เป็นต้น

การกำหนดรูปหลายเหลี่ยมประกอบด้วยตัวอักษรที่ยืนอยู่ที่จุดยอด โดยตั้งชื่อตามลำดับ (ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา) ตัวอย่างเช่น พวกเขาพูดหรือเขียนว่า: ห้าเหลี่ยม เอบีดีอี :

ในรูปห้าเหลี่ยม เอบีดีอีคะแนน ก, บี, ค, ดีและ อีคือจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมและส่วนต่างๆ เอบี, บี.ซี., ซีดี, เดและ อีเอ- ด้านของรูปห้าเหลี่ยม

นูนและเว้า

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนหากไม่มีด้านใดด้านหนึ่งแล้วให้ขยายเป็นเส้นตรงแล้วตัดกัน มิฉะนั้นจะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม เว้า:

ปริมณฑล

ผลรวมของความยาวของด้านทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าด้านของมัน ปริมณฑล.

เส้นรอบวงรูปหลายเหลี่ยม เอบีดีอีเท่ากับ:

เอบี + บี.ซี.+ ซีดี + เด + อีเอ

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมมีด้านทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน ก็จะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม ถูกต้อง- เฉพาะรูปหลายเหลี่ยมนูนเท่านั้นที่สามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติได้

เส้นทแยงมุม

เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยม- นี่คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของมุมสองมุมที่ไม่มีด้านร่วมกัน ตัวอย่างเช่น เซ็กเมนต์ ค.ศคือเส้นทแยงมุม:

รูปหลายเหลี่ยมชนิดเดียวที่ไม่มีเส้นทแยงมุมเดียวคือสามเหลี่ยม เนื่องจากไม่มีมุมที่ไม่มีด้านร่วมกัน

ถ้าเส้นทแยงมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมดถูกดึงมาจากจุดยอดใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยม พวกมันจะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม:

จะมีรูปสามเหลี่ยมน้อยกว่าด้านสองรูปพอดี:

ที = n - 2

ที่ไหน ทีคือจำนวนสามเหลี่ยม และ n- จำนวนด้าน

การแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยใช้เส้นทแยงมุมใช้ในการหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเนื่องจาก ในการหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคุณต้องหารมันออกเป็นรูปสามเหลี่ยม หาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้.

ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม:

รูปสี่เหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยมตามลำดับประกอบด้วยด้านทั้ง 4 ด้านและมุม

ด้านและมุมที่อยู่ตรงข้ามกันเรียกว่า ตรงข้าม.

เส้นทแยงมุมแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนูนออกเป็นสามเหลี่ยม (ดูรูป)

ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนคือ 360° (โดยใช้สูตร: (4-2)*180°)

สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมนูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน (หมายเลข 1 ในรูป)

ด้านตรงข้ามและมุมในสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากันเสมอ

และเส้นทแยงมุมที่จุดตัดแบ่งครึ่ง

ราวสำหรับออกกำลังกาย

สี่เหลี่ยมคางหมู- นี่คือรูปสี่เหลี่ยมและใน สี่เหลี่ยมคางหมูมีเพียงสองด้านเท่านั้นที่ขนานกันซึ่งเรียกว่า เหตุผล- ด้านอื่นๆก็มี ด้านข้าง.

สี่เหลี่ยมคางหมูในรูปคือหมายเลข 2 และ 7

เช่นเดียวกับในรูปสามเหลี่ยม:

หากด้านเท่ากัน แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูเป็น หน้าจั่ว;

ถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นถูกต้อง สี่เหลี่ยม

เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐานและขนานกับพวกมัน

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกด้านเท่ากัน

นอกจากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยังมีคุณสมบัติพิเศษของตัวเองอีกด้วย - เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกันกันและกันและ แบ่งมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน.

ในภาพมีสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหมายเลข 5

สี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แต่ละมุมตั้งฉากกัน (ดูรูปที่ 8)

นอกจากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว สี่เหลี่ยมยังมีคุณสมบัติพิเศษของตัวเองอีกด้วย - เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจะเท่ากัน.

สี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน (หมายเลข 4)

มีคุณสมบัติเป็นสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (เนื่องจากทุกด้านเท่ากัน)

§ 1 แนวคิดของรูปสามเหลี่ยม

ในบทนี้ คุณจะคุ้นเคยกับรูปร่างต่างๆ เช่น สามเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยม

หากจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันเชื่อมต่อกันด้วยส่วนต่างๆ คุณจะได้รูปสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมมีจุดยอดสามจุดและมีด้านสามด้าน

ก่อนที่คุณจะเป็นรูปสามเหลี่ยม ABC จะมีจุดยอดสามจุด (จุด A จุด B และจุด C) และด้านสามด้าน (AB, AC และ CB)

อย่างไรก็ตาม ด้านเดียวกันเหล่านี้สามารถเรียกต่างกันได้:

AB=BA, AC=SA, CB=BC

ด้านของรูปสามเหลี่ยมจะมีมุมสามมุมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ในรูปที่คุณเห็นมุม A, มุม B, มุม C

ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

§ 2 แนวคิดของรูปหลายเหลี่ยมและประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

นอกจากรูปสามเหลี่ยมแล้ว ยังมีรูปสี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม และอื่นๆ อีกด้วย เรียกได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมก็ได้

ในภาพคุณเห็น DMKE รูปสี่เหลี่ยม

จุด D, M, K และ E คือจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยม

ส่วน DM, MK, KE, ED คือด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมนี้ เช่นเดียวกับในกรณีของสามเหลี่ยม ด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะมีมุมสี่มุมที่จุดยอด ดังที่คุณเดาได้ ดังนั้นชื่อ - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สำหรับรูปสี่เหลี่ยมนี้ คุณจะเห็นในรูปมุม D, มุม M, มุม K และมุม E

คุณรู้รูปสี่เหลี่ยมอะไรบ้าง?

สี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยม! แต่ละอันมีสี่มุมและสี่ด้าน

รูปหลายเหลี่ยมอีกประเภทหนึ่งคือรูปห้าเหลี่ยม

จุด O, P, X, Y, T คือจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยม และส่วน TO, OP, PX, XY, YT คือด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยมนี้ รูปห้าเหลี่ยมมีห้ามุมและห้าด้านตามลำดับ

คุณคิดว่ารูปหกเหลี่ยมมีกี่มุมและมีกี่ด้าน? ถูกต้องหก! เมื่อใช้เหตุผลคล้ายกัน เราสามารถบอกได้ว่ารูปหลายเหลี่ยมหนึ่งๆ มีด้าน จุดยอด หรือมุมกี่ด้าน และเราสามารถสรุปได้ว่าสามเหลี่ยมก็เป็นรูปหลายเหลี่ยมเช่นกัน ซึ่งมีสามมุม สามด้าน และสามจุดยอดพอดี

ดังนั้น ในบทเรียนนี้ คุณจะคุ้นเคยกับแนวคิดต่างๆ เช่น สามเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยม เราเรียนรู้ว่ารูปสามเหลี่ยมมีจุดยอด 3 จุด มีด้าน 3 ด้านและมีมุม 3 มุม รูปสี่เหลี่ยมมีจุดยอด 4 จุด มีด้าน 4 ด้านและมีมุม 4 มุม รูปห้าเหลี่ยมมี 5 ด้าน จุดยอด 5 จุด มี 5 มุม และอื่นๆ

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. คณิตศาสตร์ ป.5. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. และอื่นๆ ฉบับที่ 31 ลบแล้ว - อ: 2013.
2. วัสดุการสอนในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ผู้แต่ง - Popov M.A. - 2013
3. เราคำนวณโดยไม่มีข้อผิดพลาด ทำงานกับการทดสอบตัวเองในวิชาคณิตศาสตร์เกรด 5-6 ผู้แต่ง - Minaeva S.S. - 2014
4. สื่อการสอนสำหรับคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ผู้เขียน: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. ควบคุมและ งานอิสระในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ผู้แต่ง - Popov M.A. - 2012
6. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5: ทางการศึกษา สำหรับนักศึกษาสายสามัญ สถาบัน / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 9 ลบแล้ว. - อ.: นีโมซิน, 2552

เชี่ยวชาญคำศัพท์ตลอดจนความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติต่างๆ รูปทรงเรขาคณิตจะช่วยในการแก้ปัญหาเรขาคณิตมากมาย เมื่อศึกษาส่วนต่างๆ เช่น planimetry นักเรียนมักจะเจอคำว่า "รูปหลายเหลี่ยม" แนวคิดนี้มีลักษณะเป็นรูปใด?

รูปหลายเหลี่ยม - คำจำกัดความของรูปทรงเรขาคณิต

ปิด เส้นขาดทุกส่วนอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีส่วนที่ตัดกันเอง ทำให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตที่เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม จำนวนลิงค์ของเส้นขาดต้องมีอย่างน้อย 3 กล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปหลายเหลี่ยมถูกกำหนดให้เป็นส่วนหนึ่งของระนาบซึ่งมีขอบเขตเป็นเส้นหักปิด

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับรูปหลายเหลี่ยม แนวคิดเช่น:

• ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม คำนี้แสดงถึงส่วน (ลิงก์) ของห่วงโซ่ที่ขาดของรูปที่ต้องการ
• มุมรูปหลายเหลี่ยม (ภายใน) – มุมที่เกิดจากจุดเชื่อมต่อ 2 จุดที่อยู่ติดกันของเส้นขาด
• จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมถูกกำหนดให้เป็นจุดยอดของเส้นหลายเส้น
• เส้นทแยงมุมรูปหลายเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดใดๆ 2 จุด (ยกเว้นจุดที่อยู่ติดกัน) ของรูปหลายเหลี่ยม

ในกรณีนี้ จำนวนลิงก์และจำนวนจุดยอดของเส้นขาดภายในรูปหลายเหลี่ยมหนึ่งตรงกัน ประเภทของรูปหลายเหลี่ยมจะถูกกำหนด ขึ้นอยู่กับจำนวนมุม (หรือส่วนของเส้นหลายเส้นตามลำดับ):

• 3 มุม - สามเหลี่ยม
• 4 มุม - รูปสี่เหลี่ยม
• 5 มุม - ห้าเหลี่ยม ฯลฯ

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมมีมุมเท่ากันและมีด้านเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดจะถือว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

รูปทรงเรขาคณิตหลายเหลี่ยมทั้งหมดแบ่งออกเป็น 2 ประเภทคือนูนและเว้า

• หากด้านใดด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมหลังจากเดินต่อไปเป็นเส้นตรงแล้วไม่ก่อให้เกิดจุดตัดกับตัวมันเอง แสดงว่าคุณมีรูปร่างหลายเหลี่ยมนูน
• หลังจากดำเนินการต่อด้านใดด้านหนึ่งแล้ว หากเส้นตรงที่ได้ตัดกับรูปหลายเหลี่ยม เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมเว้า

คุณสมบัติรูปหลายเหลี่ยม

ไม่ว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำลังศึกษาจะเป็นรูปปกติหรือไม่ก็ตาม แต่ก็มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ดังนั้น:

• มุมภายในของมันรวมกันเป็น (p – 2)*π โดยที่

π – การวัดเรเดียนของมุมที่หมุน ซึ่งสอดคล้องกับ 180°

p คือจำนวนมุม (จุดยอด) ของรูปหลายเหลี่ยม (p-gon)

• จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ถูกกำหนดจากอัตราส่วน p*(p – 3) / 2 โดยที่

p คือจำนวนด้านของ p-gon

ในบทเรียนนี้เราจะเริ่มต้น หัวข้อใหม่และแนะนำแนวคิดใหม่สำหรับเรา: “รูปหลายเหลี่ยม” เราจะดูแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับรูปหลายเหลี่ยม: ด้าน มุมยอด ความนูน และความไม่นูน จากนั้นเราจะพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่สำคัญที่สุด เช่น ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยม ด้วยเหตุนี้เราจะเข้าใกล้การศึกษากรณีพิเศษของรูปหลายเหลี่ยมซึ่งจะพิจารณาในบทเรียนต่อไป

หัวข้อ: รูปสี่เหลี่ยม

บทเรียน: รูปหลายเหลี่ยม

ในหลักสูตรเรขาคณิต เราศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตและได้ตรวจสอบสิ่งที่ง่ายที่สุดแล้ว: สามเหลี่ยมและวงกลม ในเวลาเดียวกัน เรายังกล่าวถึงกรณีพิเศษเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ เช่น ด้านขวา หน้าจั่ว และสามเหลี่ยมปกติ ถึงเวลาพูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขทั่วไปและซับซ้อนมากขึ้น - รูปหลายเหลี่ยม.

โดยมีกรณีพิเศษ รูปหลายเหลี่ยมเราคุ้นเคยอยู่แล้ว - นี่คือสามเหลี่ยม (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. สามเหลี่ยม

ชื่อนั้นเน้นย้ำแล้วว่านี่คือรูปที่มีสามมุม ดังนั้นใน รูปหลายเหลี่ยมอาจมีหลายอย่างเช่น มากกว่าสาม ตัวอย่างเช่น ลองวาดรูปห้าเหลี่ยม (ดูรูปที่ 2) เช่น รูปที่มีห้ามุม

ข้าว. 2. เพนตากอน. รูปหลายเหลี่ยมนูน

คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยม- ตัวเลขที่ประกอบด้วยหลายจุด (มากกว่าสอง) และจำนวนส่วนที่เชื่อมโยงตามลำดับ จุดเหล่านี้เรียกว่า ยอดเขารูปหลายเหลี่ยมและเซกเมนต์ต่างๆ ฝ่าย- ในกรณีนี้ ไม่มีด้านที่อยู่ติดกันสองด้านอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และไม่มีด้านสองด้านที่ไม่อยู่ติดกันตัดกัน

คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งมีด้านและมุมเท่ากันทุกด้าน

ใดๆ รูปหลายเหลี่ยมแบ่งเครื่องบินออกเป็นสองส่วน: ภายในและภายนอก พื้นที่ภายในยังเรียกอีกอย่างว่า รูปหลายเหลี่ยม.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เช่น เมื่อพวกเขาพูดถึงรูปห้าเหลี่ยม พวกเขาหมายถึงทั้งบริเวณภายในและเส้นขอบของมัน และขอบเขตภายในจะรวมถึงจุดทั้งหมดที่อยู่ด้านในของรูปหลายเหลี่ยมด้วย เช่น จุดยังหมายถึงรูปห้าเหลี่ยม (ดูรูปที่ 2)

รูปหลายเหลี่ยมบางครั้งเรียกว่า n-gons เพื่อเน้นย้ำถึงกรณีทั่วไปของการมีอยู่ของมุมที่ไม่ทราบจำนวน (n ชิ้น)

คำนิยาม. เส้นรอบวงรูปหลายเหลี่ยม- ผลรวมของความยาวของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม

ตอนนี้เราต้องทำความคุ้นเคยกับประเภทของรูปหลายเหลี่ยม พวกเขาแบ่งออกเป็น นูนและ ไม่นูน- ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูปที่ 1 2 นูนออกมา และในรูป 3 ไม่นูน

ข้าว. 3. รูปหลายเหลี่ยมไม่นูน

คำจำกัดความ 1. รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้าเมื่อลากเส้นตรงผ่านด้านใดด้านหนึ่งให้ทั้งหมด รูปหลายเหลี่ยมอยู่เพียงด้านเดียวของเส้นตรงนี้ ไม่นูนเป็นคนอื่น รูปหลายเหลี่ยม.

มันง่ายที่จะจินตนาการว่าเมื่อขยายด้านใดด้านหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมในรูป 2 ทั้งหมดจะอยู่ด้านหนึ่งของเส้นตรงนี้ กล่าวคือ มันนูน แต่เมื่อลากเส้นตรงผ่านรูปสี่เหลี่ยมในรูป 3 เราเห็นแล้วว่าแบ่งออกเป็นสองส่วนคือ มันไม่นูน

แต่มีคำจำกัดความอีกประการหนึ่งของความนูนของรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความ 2 รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนหากเมื่อเลือกจุดภายในสองจุดใดๆ และเชื่อมต่อมันเข้ากับเซ็กเมนต์ จุดทั้งหมดของเซ็กเมนต์ก็เป็นจุดภายในของรูปหลายเหลี่ยมด้วย

การสาธิตการใช้คำจำกัดความนี้สามารถเห็นได้ในตัวอย่างการสร้างส่วนต่างๆ ในรูปที่ 2 และ 3.

คำนิยาม. เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมคือส่วนใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ติดกัน

ในการอธิบายคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยม มีทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดสองทฤษฎีเกี่ยวกับมุมของรูปหลายเหลี่ยม: ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนและ ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน- มาดูพวกเขากันดีกว่า

ทฤษฎีบท. ผลบวกของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูน (n-gon)

จำนวนมุม (ด้าน) อยู่ที่ไหน

หลักฐานที่ 1 ให้เราพรรณนาในรูป 4 นูน n-gon

ข้าว. 4. นูน n-gon

จากจุดยอดเราวาดเส้นทแยงมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมด พวกเขาแบ่ง n-gon ออกเป็นสามเหลี่ยม เพราะว่า ด้านแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมจะก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยม ยกเว้นด้านที่อยู่ติดกับจุดยอด จากรูปจะเห็นได้ง่ายว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของมุมภายในของ n-gon ทุกประการ เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ ดังนั้น ผลรวมของมุมภายในของ n-gon จึงเป็น:

Q.E.D.

หลักฐานที่ 2 การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อีกอย่างหนึ่งเป็นไปได้ ลองวาด n-gon ที่คล้ายกันในรูปนี้ 5 และเชื่อมต่อจุดภายในกับจุดยอดทั้งหมด

ข้าว. 5.

เราได้พาร์ติชั่นของ n-gon เป็นรูปสามเหลี่ยม n รูป (เท่ากับด้านที่มีรูปสามเหลี่ยมมากเท่าๆ กัน) ผลรวมของมุมทั้งหมดเท่ากับผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมและผลรวมของมุมที่จุดภายใน และนี่คือมุม เรามี:

Q.E.D.

พิสูจน์แล้ว

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เห็นได้ชัดว่าผลรวมของมุมของ n-gon ขึ้นอยู่กับจำนวนด้าน (บน n) ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม และผลรวมของมุมคือ ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและผลรวมของมุมเท่ากับ ฯลฯ

ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน (n-gon)

โดยที่จำนวนมุม (ด้าน) ของมันอยู่ที่ไหน และ , ... คือมุมภายนอก

การพิสูจน์. ขอให้เราพรรณนาถึง n-gon ที่นูนในรูป 6 และกำหนดมุมภายในและภายนอก

ข้าว. 6. นูน n-gon ด้วยมุมภายนอกที่กำหนด

เพราะ มุมด้านนอกเชื่อมต่อกับมุมด้านในให้ติดกันแล้ว และในทำนองเดียวกันสำหรับมุมภายนอกที่เหลือ แล้ว:

ในระหว่างการแปลง เราใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายในของ n-gon

พิสูจน์แล้ว

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วมีดังนี้ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจคือผลรวมของมุมภายนอก นูน n-gonเท่ากับ ตามจำนวนมุม (ด้าน) ยังไงก็ตาม ตรงกันข้ามกับผลรวมของมุมภายใน

อ้างอิง

1. อเล็กซานดรอฟ เอ.ดี. และอื่นๆ เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: การศึกษา, 2549.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - อ.: การศึกษา, 2554.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ()
2. Narod.ru ()
3. Xvatit.com ()

การบ้าน