ความไม่แน่นอนหลักของข้อจำกัดและการเปิดเผย กฎของโลปิตาล: ทฤษฎีและตัวอย่างการแก้ปัญหา จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังอนันต์

ความไม่แน่นอนของประเภทและสายพันธุ์เป็นความไม่แน่นอนที่พบบ่อยที่สุดซึ่งจำเป็นต้องเปิดเผยเมื่อแก้ไขขีดจำกัด

ปัญหาขีดจำกัดส่วนใหญ่ที่นักเรียนพบมีเพียงความไม่แน่นอนดังกล่าว เพื่อเปิดเผยหรือแม่นยำยิ่งขึ้นเพื่อหลีกเลี่ยงความไม่แน่นอน มีเทคนิคประดิษฐ์หลายอย่างในการเปลี่ยนประเภทของการแสดงออกภายใต้เครื่องหมายจำกัด เทคนิคเหล่านี้มีดังต่อไปนี้: การหารตัวเศษและส่วนตามเทอมด้วยกำลังสูงสุดของตัวแปร การคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกตและการแยกตัวประกอบเพื่อการลดลงในภายหลังโดยใช้คำตอบของสมการกำลังสองและสูตรการคูณแบบย่อ

ความไม่แน่นอนของสายพันธุ์

ตัวอย่างที่ 1

nเท่ากับ 2 ดังนั้นเราจึงหารเทอมทั้งเศษและส่วนด้วยเทอมโดย:

.

แสดงความคิดเห็นทางด้านขวาของนิพจน์ ลูกศรและตัวเลขบ่งชี้ว่าเศษส่วนมีแนวโน้มที่จะอยู่ตรงไหนหลังจากการแทนที่ nหมายถึงอนันต์ ดังเช่นในตัวอย่างที่ 2 ระดับ nตัวส่วนมีมากกว่าตัวเศษ ส่งผลให้เศษส่วนทั้งหมดมีแนวโน้มที่จะมีขนาดเล็กมากหรือ "เล็กมาก"

เราได้รับคำตอบ: ขีดจำกัดของฟังก์ชันนี้กับตัวแปรที่มีแนวโน้มเป็นอนันต์จะเท่ากับ

ตัวอย่างที่ 2 .

สารละลาย. นี่คือพลังสูงสุดของตัวแปร xเท่ากับ 1. ดังนั้นเราจึงหารเทอมทั้งเศษและส่วนด้วยเทอม x:

.

ความเห็นเกี่ยวกับความคืบหน้าของการตัดสินใจ ในตัวเศษเราขับ "x" ใต้รากของระดับที่สาม และเพื่อให้ระดับเดิม (1) ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เราจึงกำหนดระดับเดียวกันกับราก นั่นคือ 3 ไม่มีลูกศรหรือตัวเลขเพิ่มเติม ในรายการนี้ ดังนั้นให้ลองทำในใจ แต่โดยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้พิจารณาว่านิพจน์ในตัวเศษและส่วนมีแนวโน้มที่จะเป็นอย่างไรหลังจากแทนที่ค่าอนันต์แทนที่จะเป็น "x"

เราได้รับคำตอบ: ขีดจำกัดของฟังก์ชันนี้กับตัวแปรที่มีแนวโน้มเป็นอนันต์จะเท่ากับศูนย์

ความไม่แน่นอนของสายพันธุ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นพบความไม่แน่นอนและค้นหาขีดจำกัด

สารละลาย. ตัวเศษคือผลต่างของลูกบาศก์ ลองแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรคูณแบบย่อจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน:

ตัวส่วนประกอบด้วยตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งเราจะแยกตัวประกอบโดยการแก้สมการกำลังสอง (เป็นลิงก์ไปยังการแก้สมการกำลังสองอีกครั้ง):

ลองเขียนนิพจน์ที่ได้รับจากการแปลงและค้นหาขีด จำกัด ของฟังก์ชัน:

ตัวอย่างที่ 4ปลดล็อกความไม่แน่นอนและค้นหาขีดจำกัด

สารละลาย. ทฤษฎีบทขีดจำกัดผลหารไม่สามารถใช้ได้กับที่นี่ เนื่องจาก

ดังนั้นเราจึงแปลงเศษส่วนให้เหมือนกัน: คูณทั้งเศษและส่วนด้วยคอนจูเกตทวินามกับตัวส่วน และลดด้วย x+1. ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่ 1 เราได้นิพจน์มา ซึ่งเราจะพบขีดจำกัดที่ต้องการ:

ตัวอย่างที่ 5ปลดล็อกความไม่แน่นอนและค้นหาขีดจำกัด

สารละลาย. การทดแทนค่าโดยตรง x= 0 ในฟังก์ชันที่กำหนดทำให้เกิดความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 เพื่อเปิดเผยสิ่งนี้ เราทำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันและในที่สุดจะได้ขีดจำกัดที่ต้องการ:

ตัวอย่างที่ 6คำนวณ

สารละลาย:ลองใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดกัน

คำตอบ: 11

ตัวอย่างที่ 7คำนวณ

สารละลาย:ในตัวอย่างนี้ ขีดจำกัดของทั้งเศษและส่วนเท่ากับ 0:

; - เราได้รับแล้ว ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดของผลหารได้

ขอให้เราแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วนเพื่อลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงใช้ทฤษฎีบท 3 ได้

ลองขยายตรีโกณมิติกำลังสองในตัวเศษโดยใช้สูตร โดยที่ x 1 และ x 2 เป็นรากของตรีโกณมิติ เมื่อแยกตัวประกอบและตัวส่วนแล้วให้ลดเศษส่วนลง (x-2) แล้วใช้ทฤษฎีบทที่ 3

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8คำนวณ

สารละลาย:เมื่อตัวเศษและส่วนมีแนวโน้มที่จะมีค่าอนันต์ ดังนั้นเมื่อใช้ทฤษฎีบท 3 โดยตรง เราจะได้นิพจน์ ซึ่งแสดงถึงความไม่แน่นอน เพื่อกำจัดความไม่แน่นอนประเภทนี้ คุณควรหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุดของอาร์กิวเมนต์ ในตัวอย่างนี้ คุณต้องหารด้วย เอ็กซ์:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 9คำนวณ

สารละลาย: x3:

คำตอบ: 2

ตัวอย่างที่ 10คำนวณ

สารละลาย:เมื่อตัวเศษและส่วนมีแนวโน้มเป็นอนันต์ ลองหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุดของอาร์กิวเมนต์นั่นคือ x5:

=

ตัวเศษของเศษส่วนมีแนวโน้มเป็น 1 ตัวส่วนมีแนวโน้มเป็น 0 ดังนั้นเศษส่วนจึงมีแนวโน้มเป็นอนันต์

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 11คำนวณ

สารละลาย:เมื่อตัวเศษและส่วนมีแนวโน้มเป็นอนันต์ ลองหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุดของอาร์กิวเมนต์นั่นคือ x7:

คำตอบ: 0

อนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เทียบกับอาร์กิวเมนต์ xเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้น y ต่อการเพิ่มขึ้นของ x ของอาร์กิวเมนต์ x เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์: หากขีดจำกัดนี้มีจำกัด แสดงว่าฟังก์ชันนั้น ย = ฉ(x)บอกว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x หากมีขีดจำกัดนี้ แสดงว่าฟังก์ชันนั้น ย = ฉ(x)มีอนุพันธ์อนันต์ที่จุด x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น:

1. (ต่อ)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

กฎของความแตกต่าง:

ก)

วี)

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย:หากพบอนุพันธ์ของเทอมที่สองโดยใช้กฎการหาอนุพันธ์ของเศษส่วน เทอมแรกจะเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่งอนุพันธ์ของเทอมนี้พบได้จากสูตร:

, ที่ไหน , แล้ว

เมื่อแก้สูตรต่อไปนี้จะใช้: 1,2,10,a,c,d

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 21ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย:ทั้งสองพจน์เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน โดยที่คำแรก , , และคำที่สอง , จากนั้น

คำตอบ:

การใช้งานอนุพันธ์

1. ความเร็วและความเร่ง

ให้ฟังก์ชัน s(t) อธิบาย ตำแหน่งวัตถุในระบบพิกัดบางระบบ ณ เวลา t จากนั้นอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน s(t) จะเกิดขึ้นทันที ความเร็ววัตถุ:
v=s′=f′(t)
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน s(t) แสดงถึงค่าที่เกิดขึ้นทันที การเร่งความเร็ววัตถุ:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. สมการแทนเจนต์
y−y0=f′(x0)(x−x0),
โดยที่ (x0,y0) คือพิกัดของจุดสัมผัสกัน f′(x0) คือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุดสัมผัสกัน

3. สมการปกติ
y−y0=−1f′(x0)(x−x0)

โดยที่ (x0,y0) คือพิกัดของจุดที่เส้นปกติถูกวาดออกมา f′(x0) คือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ณ จุดนี้

4. ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด
ถ้า f′(x0)>0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นที่จุด x0 ในรูปด้านล่าง ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเป็น x x2.
ถ้า f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1ถ้า f′(x0)=0 หรืออนุพันธ์ไม่มีอยู่ เกณฑ์นี้จะไม่อนุญาตให้เรากำหนดลักษณะของความน่าเบื่อของฟังก์ชันที่จุด x0

5. เอ็กซ์ตรีมเฉพาะที่ของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน f(x) มี สูงสุดในท้องถิ่นที่จุด x1 หากมีย่านใกล้เคียงของจุด x1 โดยที่ x ทั้งหมดจากย่านนี้จะมีอสมการ f(x1)≥f(x) อยู่
ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน f(x) มี ขั้นต่ำในท้องถิ่นที่จุด x2 หากมีย่านใกล้เคียงของจุด x2 โดยที่ x ทั้งหมดจากย่านนี้จะมีอสมการ f(x2)≤f(x) อยู่

6. จุดวิกฤติ
จุด x0 คือ จุดวิกฤติฟังก์ชัน f(x) ถ้าอนุพันธ์ f′(x0) ในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

7. สัญญาณแรกที่เพียงพอของการมีอยู่ของสุดขั้ว
ถ้าฟังก์ชัน f(x) เพิ่มขึ้น (f′(x)>0) สำหรับ x ทั้งหมดในช่วงเวลาหนึ่ง (a,x1] และลดลง (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) สำหรับ x ทั้งหมดจากช่วงเวลา )