ตัวอย่างสามเท่าของพีทาโกรัส ตัวเลขพีทาโกรัส หนึ่งสามก็มากเกินไป

» ศาสตราจารย์เกียรติคุณสาขาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Warwick ผู้มีชื่อเสียงด้านวิทยาศาสตร์ Ian Stewart ผู้อุทิศตนให้กับบทบาทของตัวเลขในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติและความเกี่ยวข้องของการศึกษาของพวกเขาในยุคของเรา

ด้านตรงข้ามมุมฉากของพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสมีมุมฉากและด้านจำนวนเต็ม ด้านที่ง่ายที่สุดมีด้านยาวที่สุด 5 ด้าน ส่วนที่เหลือคือ 3 และ 4 มีทั้งหมด 5 ด้าน รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ- สมการระดับที่ 5 ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้รากที่ 5 หรือรากอื่นใด ขัดแตะบนเครื่องบินและใน พื้นที่สามมิติไม่มีความสมมาตรในการหมุนของกลีบดอก 5 กลีบ ดังนั้นความสมมาตรดังกล่าวจึงขาดหายไปในผลึก อย่างไรก็ตาม อาจอยู่ใกล้ตะแกรงด้านใน พื้นที่สี่มิติและในโครงสร้างที่น่าสนใจที่เรียกว่าควอซิคริสตัล

ด้านตรงข้ามมุมฉากของค่าสามเท่าของพีทาโกรัสที่เล็กที่สุด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าด้านที่ยาวที่สุด สามเหลี่ยมมุมฉาก(ด้านตรงข้ามมุมฉากฉาวโฉ่) มีความสัมพันธ์กับอีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้อย่างเรียบง่ายและสวยงามมาก โดยกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ

ตามเนื้อผ้า เราเรียกทฤษฎีบทนี้ว่าพีทาโกรัส แต่ในความเป็นจริงแล้ว ประวัติของมันค่อนข้างคลุมเครือ แผ่นจารึกดินเหนียวแนะนำว่าชาวบาบิโลนโบราณรู้จักทฤษฎีบทของพีทาโกรัสมานานก่อนพีทาโกรัสเอง ชื่อเสียงของผู้ค้นพบถูกนำมาหาเขาโดยลัทธิทางคณิตศาสตร์ของชาวพีทาโกรัสซึ่งผู้สนับสนุนเชื่อว่าจักรวาลนั้นมีพื้นฐานมาจากกฎตัวเลข ผู้เขียนในสมัยโบราณอ้างถึงทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายว่าเป็นของพีทาโกรัส - และดังนั้นจึงเป็นของพีทาโกรัส แต่ในความเป็นจริงเราไม่รู้ว่าพีทาโกรัสทางคณิตศาสตร์ประเภทใดเกี่ยวข้องกับอะไร เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าชาวพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสได้หรือไม่ หรือแค่เชื่อว่าทฤษฎีนั้นเป็นจริง หรือเป็นไปได้มากว่าพวกเขามีหลักฐานที่น่าเชื่อถือเกี่ยวกับความจริงซึ่งยังคงไม่เพียงพอสำหรับสิ่งที่เราพิจารณาเป็นหลักฐานในปัจจุบัน

ข้อพิสูจน์ของพีทาโกรัส

หลักฐานแรกที่ทราบเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบได้ในองค์ประกอบของยุคลิด นั่นก็เพียงพอแล้ว การพิสูจน์ที่ซับซ้อนใช้ภาพวาดที่เด็กนักเรียนชาววิกตอเรียจะจำได้ทันทีว่าเป็น "กางเกงพีทาโกรัส" ภาพวาดนี้ดูคล้ายกับกางเกงในที่แห้งเป็นเส้นจริงๆ มีหลักฐานอื่นๆ อีกหลายร้อยข้อ ซึ่งส่วนใหญ่ทำให้ข้อยืนยันชัดเจนยิ่งขึ้น

// ข้าว. 33. กางเกงพีทาโกรัส

การพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือปริศนาทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง นำสามเหลี่ยมมุมฉากมาทำสำเนาสี่ชุดแล้วประกอบเข้าในจัตุรัส ในการจัดเรียงครั้งหนึ่ง เราเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก กับอีกอัน - สี่เหลี่ยมที่อีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ในทั้งสองกรณีเท่ากัน

// ข้าว. 34. ซ้าย: ยกกำลังสองบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (บวกสามเหลี่ยมสี่อัน) ขวา: ผลรวมของกำลังสองบนอีกสองด้าน (บวกสามเหลี่ยมสี่อันที่เหมือนกัน) ตอนนี้กำจัดสามเหลี่ยมออก

การผ่าของ Perigal เป็นอีกหนึ่งข้อพิสูจน์ปริศนา

// ข้าว. 35. การผ่าของ Perigal

นอกจากนี้ยังมีข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้การจัดเรียงสี่เหลี่ยมบนระนาบอีกด้วย บางทีนี่อาจเป็นวิธีที่ชาวพีทาโกรัสหรือบรรพบุรุษที่ไม่รู้จักค้นพบทฤษฎีบทนี้ ถ้าคุณดูว่าสี่เหลี่ยมเอียงซ้อนทับกับสี่เหลี่ยมอีกสองอันอย่างไร คุณสามารถดูวิธีตัดสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่เป็นชิ้นๆ แล้วนำมาต่อกันเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ สองอัน คุณยังสามารถเห็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งด้านข้างบอกขนาดของสี่เหลี่ยมทั้งสามที่เกี่ยวข้อง

// ข้าว. 36. พิสูจน์ด้วยการปู

มีข้อพิสูจน์ที่น่าสนใจโดยใช้สามเหลี่ยมที่คล้ายกันในตรีโกณมิติ ทราบหลักฐานที่แตกต่างกันอย่างน้อยห้าสิบข้อ

พีทาโกรัสสามเท่า

ในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นที่มาของแนวคิดที่ได้ผล นั่นคือ การค้นหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการพีชคณิต ทริปเปิลพีทาโกรัสคือเซตของจำนวนเต็ม a, b และ c ในลักษณะนั้น

ในเชิงเรขาคณิต ทริปเปิลดังกล่าวกำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านจำนวนเต็ม

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็กที่สุดของค่าสามเท่าของพีทาโกรัสคือ 5

อีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้คือ 3 และ 4 ตรงนี้

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดถัดไปคือ 10 เพราะว่า

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

อย่างไรก็ตาม นี่คือสามเหลี่ยมอันเดียวกันที่มีด้านสองด้าน ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดและแตกต่างอย่างแท้จริงรองลงมาคือ 13 ซึ่ง

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

ยูคลิดรู้ว่ามี จำนวนอนันต์แฝดพีทาโกรัสหลายรูปแบบ และได้ให้สิ่งที่เรียกได้ว่าเป็นสูตรในการหาทั้งหมด ต่อมา ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียเสนอสูตรอาหารง่ายๆ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับสูตรในยุคลิด

นำจำนวนธรรมชาติสองตัวมาคำนวณ:

ผลิตภัณฑ์คู่ของพวกเขา

ความแตกต่างของกำลังสอง;

ผลรวมของกำลังสองของพวกเขา

ตัวเลขผลลัพธ์ทั้งสามตัวจะเป็นด้านข้างของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ยกตัวอย่างเช่น ตัวเลข 2 และ 1 มาคำนวณกัน:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 2 × 1 = 4;

ผลต่างของกำลังสอง: 22 - 12 = 3;

ผลรวมของกำลังสอง: 22 + 12 = 5,

และเราได้สามเหลี่ยม 3-4-5 อันโด่งดัง หากเราใช้ตัวเลข 3 และ 2 แทน เราจะได้:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 3 × 2 = 12;

ผลต่างของกำลังสอง: 32 - 22 = 5;

ผลรวมของกำลังสอง: 32 + 22 = 13,

และเราจะได้สามเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงที่สุดถัดไป 5 - 12 - 13 ลองใช้ตัวเลข 42 และ 23 และรับ:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 42 × 23 = 1932;

ผลต่างของกำลังสอง: 422 - 232 = 1235;

ผลรวมของกำลังสอง: 422 + 232 = 2293

ไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยม 1235–1932–2293 มาก่อน

แต่ตัวเลขเหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

มีคุณลักษณะอื่นของกฎไดโอแฟนไทน์ที่ได้รับการบอกเป็นนัยแล้ว: เมื่อได้รับตัวเลขสามตัวแล้ว เราสามารถนำตัวเลขอื่นมาคูณกันเองได้ ดังนั้น สามเหลี่ยมขนาด 3–4–5 สามารถแปลงเป็นสามเหลี่ยมขนาด 6–8–10 ได้โดยการคูณทุกด้านด้วย 2 หรือให้เป็นสามเหลี่ยมขนาด 15–20–25 โดยคูณทั้งหมดด้วย 5

หากเราเปลี่ยนมาเป็นภาษาพีชคณิต กฎจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ ให้ u, v และ k เป็นตัวเลขธรรมชาติ จากนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านข้าง

2kuv และ k (u2 - v2) มีด้านตรงข้ามมุมฉาก

มีวิธีอื่นในการนำเสนอแนวคิดหลัก แต่ทั้งหมดก็เหลือเพียงแนวคิดที่อธิบายไว้ข้างต้น วิธีนี้ช่วยให้คุณได้เลขสามเท่าของพีทาโกรัสทั้งหมด

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบพอดี รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (หรือรูปทรงหลายเหลี่ยม) คือรูปทรงสามมิติที่มีหน้าแบนจำนวนจำกัด ใบหน้าพบกันบนเส้นที่เรียกว่าขอบ ขอบมาบรรจบกันที่จุดที่เรียกว่าจุดยอด

จุดสุดยอดของปรินซิเปียแบบยุคลิดเป็นข้อพิสูจน์ว่าสามารถมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้เพียงห้ารูปทรงเท่านั้น กล่าวคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่แต่ละหน้าเป็นตัวแทน รูปหลายเหลี่ยมปกติ (ด้านที่เท่ากันมุมเท่ากัน) ใบหน้าทั้งหมดเหมือนกันและมีจุดยอดทั้งหมดล้อมรอบ จำนวนเท่ากันขอบมีระยะห่างเท่ากัน นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ:

จัตุรมุขที่มีหน้าสามเหลี่ยมสี่หน้า จุดยอดสี่จุดและขอบหกด้าน

ลูกบาศก์หรือหกเหลี่ยม มีหน้าสี่เหลี่ยม 6 หน้า จุดยอด 8 จุด และขอบ 12 ด้าน

ทรงแปดหน้ามีหน้าสามเหลี่ยม 8 หน้า 6 จุดยอดและ 12 ขอบ

สิบสองหน้าที่มีหน้าห้าเหลี่ยม 12 หน้า จุดยอด 20 จุด และขอบ 30 ด้าน

รูปทรงสามมิติที่มีหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้า จุดยอด 12 จุด และขอบ 30 ด้าน

// ข้าว. 37. ห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในปี 1904 Ernst Haeckel ตีพิมพ์ภาพวาดของสิ่งมีชีวิตเล็กๆ ที่เรียกว่า radiolarians; หลายอันมีรูปร่างเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบเดียวกัน อย่างไรก็ตาม บางทีเขาอาจแก้ไขธรรมชาติเล็กน้อย และภาพวาดไม่ได้สะท้อนรูปร่างของสิ่งมีชีวิตที่เฉพาะเจาะจงได้ครบถ้วน โครงสร้างสามตัวแรกนั้นพบได้ในผลึกเช่นกัน คุณจะไม่พบรูปทรงสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนในผลึก แม้ว่าบางครั้งจะพบรูปทรงสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนที่ไม่สม่ำเสมอก็ตาม รูปทรงสิบสองหน้าที่แท้จริงสามารถเกิดขึ้นได้ในรูปของผลึกควอซิกคริสตัล ซึ่งคล้ายกับผลึกในทุกด้าน ยกเว้นว่าอะตอมของพวกมันจะไม่ก่อตัวเป็นโครงตาข่ายเป็นระยะ

// ข้าว. 38. ภาพวาดของ Haeckel: radiolarians ในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

// ข้าว. 39. การพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

อาจเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะสร้างแบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจากกระดาษโดยการตัดชุดของใบหน้าที่เชื่อมต่อถึงกันออกก่อน ซึ่งเรียกว่าการพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยม การพัฒนาจะพับไปตามขอบและขอบที่เกี่ยวข้องจะติดกาวเข้าด้วยกัน การเพิ่มแผ่นกาวเพิ่มเติมที่ซี่โครงด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละคู่นั้นมีประโยชน์ ดังแสดงในรูปที่ 1 39.หากไม่มีบริเวณดังกล่าวสามารถใช้เทปกาวได้

สมการระดับที่ห้า

ไม่มีสูตรพีชคณิตในการแก้สมการขั้นที่ 5

ใน มุมมองทั่วไปสมการระดับที่ห้ามีลักษณะดังนี้:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + อดีต + f = 0

ปัญหาคือการหาสูตรสำหรับการแก้สมการดังกล่าว (สามารถมีได้ถึงห้าคำตอบ) ประสบการณ์กับสแควร์และ สมการลูกบาศก์เช่นเดียวกับสมการระดับที่ 4 แสดงให้เห็นว่าควรมีสูตรดังกล่าวสำหรับสมการระดับ 5 และในทางทฤษฎีแล้ว รากของระดับ 5, 3 และ 2 ควรปรากฏอยู่ในนั้น อีกครั้ง เราสามารถสรุปได้อย่างปลอดภัยว่าสูตรดังกล่าว ถ้ามีอยู่ จะซับซ้อนมาก

ในที่สุดสมมติฐานนี้กลับกลายเป็นว่าผิด ในความเป็นจริงไม่มีสูตรดังกล่าวอยู่ อย่างน้อยที่สุดก็ไม่มีสูตรใดที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ a, b, c, d, e และ f โดยใช้การบวก ลบ การคูณหาร และการหยั่งราก มีบางสิ่งที่พิเศษมากเกี่ยวกับหมายเลข 5 สาเหตุของพฤติกรรมที่ผิดปกติของทั้งห้านั้นลึกซึ้งมากและต้องใช้เวลามากในการทำความเข้าใจพวกเขา

สัญญาณแรกของปัญหาก็คือ ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะพยายามค้นหาสูตรดังกล่าวอย่างหนักเพียงใด ไม่ว่าพวกเขาจะฉลาดแค่ไหน พวกเขาก็ล้มเหลวอยู่เสมอ ในบางครั้ง ทุกคนเชื่อว่าเหตุผลนั้นเกิดจากความซับซ้อนอันเหลือเชื่อของสูตร เชื่อกันว่าไม่มีใครสามารถเข้าใจพีชคณิตนี้ได้อย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เมื่อเวลาผ่านไป นักคณิตศาสตร์บางคนเริ่มสงสัยว่าสูตรดังกล่าวมีอยู่จริง และในปี 1823 Niels Hendrik Abel ก็สามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้ ไม่มีสูตรดังกล่าว หลังจากนั้นไม่นาน เอวาริสต์ กาลัวส์ก็พบวิธีที่จะระบุได้ว่าสมการระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่ง เช่น ระดับที่ 5, 6, 7 หรือแบบใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรประเภทนี้

ข้อสรุปทั้งหมดนี้ง่ายมาก: เลข 5 นั้นพิเศษ คุณสามารถตัดสินใจได้ สมการพีชคณิต(โดยใช้ รากที่ nองศาสำหรับค่าต่าง ๆ ของ n) สำหรับยกกำลัง 1, 2, 3 และ 4 แต่ไม่ใช่สำหรับยกกำลังที่ 5 นี่คือจุดที่รูปแบบที่ชัดเจนสิ้นสุดลง

ไม่มีใครแปลกใจที่สมการขององศาที่มากกว่า 5 จะมีพฤติกรรมแย่ลงไปอีก โดยเฉพาะอย่างยิ่งความยากแบบเดียวกันนี้เกี่ยวข้องกับพวกเขา: ไม่มีสูตรทั่วไปในการแก้ปัญหา นี่ไม่ได้หมายความว่าสมการไม่มีคำตอบ นี่ไม่ได้หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาค่าตัวเลขที่แม่นยำมากสำหรับวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ มันเป็นเรื่องของข้อจำกัดของเครื่องมือพีชคณิตแบบดั้งเดิม สิ่งนี้ชวนให้นึกถึงความเป็นไปไม่ได้ของการตัดมุมโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ คำตอบมีอยู่ แต่วิธีการที่ระบุไว้ยังไม่เพียงพอและไม่อนุญาตให้เราระบุได้ว่าคืออะไร

ข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์

คริสตัลในสองและสามมิติไม่มีความสมมาตรในการหมุนแบบ 5 รังสี

อะตอมในคริสตัลก่อตัวเป็นโครงตาข่ายซึ่งก็คือโครงสร้างที่ทำซ้ำเป็นระยะ ๆ ในทิศทางอิสระหลายทิศทาง ตัวอย่างเช่นลวดลายบนวอลเปเปอร์ถูกทำซ้ำตามความยาวของม้วน นอกจากนี้ มักจะทำซ้ำในแนวนอน บางครั้งอาจมีการเปลี่ยนจากวอลเปเปอร์ชิ้นหนึ่งไปยังอีกชิ้นหนึ่ง โดยพื้นฐานแล้ววอลเปเปอร์เป็นคริสตัลสองมิติ

รูปแบบวอลเปเปอร์บนเครื่องบินมี 17 แบบ (ดูบทที่ 17) พวกมันต่างกันในประเภทของความสมมาตร กล่าวคือ ในวิธีการเคลื่อนย้ายรูปแบบอย่างเข้มงวดเพื่อให้มันวางอยู่บนตัวมันเองในตำแหน่งดั้งเดิม ประเภทของความสมมาตรรวมถึงรูปแบบต่างๆ ของสมมาตรแบบหมุน โดยที่รูปแบบควรหมุนเป็นมุมที่กำหนดรอบจุดใดจุดหนึ่ง ซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางของสมมาตร

ลำดับของสมมาตรในการหมุนคือจำนวนครั้งที่ร่างกายสามารถหมุนเป็นวงกลมเต็มเพื่อให้รายละเอียดทั้งหมดของรูปแบบกลับสู่ตำแหน่งเดิม ตัวอย่างเช่น การหมุน 90° คือสมมาตรการหมุนลำดับที่ 4* รายการประเภทสมมาตรในการหมุนที่เป็นไปได้ในโครงตาข่ายคริสตัลชี้ให้เห็นถึงความผิดปกติของหมายเลข 5 อีกครั้ง: ไม่มีอยู่ตรงนั้น มีตัวเลือกที่มีสมมาตรการหมุนลำดับที่ 2, 3, 4 และ 6 แต่ไม่มีการออกแบบวอลเปเปอร์ใดที่มีสมมาตรการหมุนลำดับที่ 5 ความสมมาตรในการหมุนของลำดับที่มากกว่า 6 ยังไม่มีอยู่ในผลึก แต่การละเมิดลำดับครั้งแรกยังคงเกิดขึ้นที่หมายเลข 5

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับระบบผลึกศาสตร์ในพื้นที่สามมิติ ตรงนี้โครงตาข่ายจะซ้ำตัวเองในสามทิศทางที่เป็นอิสระ ความสมมาตรมี 219 ประเภทที่แตกต่างกัน หรือ 230 ประเภทหากเรานับภาพสะท้อนในกระจกของการออกแบบเป็นตัวแปรที่แยกจากกัน แม้ว่าในกรณีนี้จะไม่มีความสมมาตรของกระจกก็ตาม ขอย้ำอีกครั้งว่ามีความสมมาตรในการหมุนของอันดับ 2, 3, 4 และ 6 ที่ถูกสังเกต แต่ไม่ใช่ 5 ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าการกักขังผลึกศาสตร์

ในปริภูมิสี่มิติ มีโครงตาข่ายที่มีความสมมาตรลำดับที่ 5 อยู่ โดยทั่วไป สำหรับโครงตาข่ายที่มีมิติสูงเพียงพอ ลำดับสมมาตรในการหมุนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าใดๆ ก็เป็นไปได้

// ข้าว. 40. ตาข่ายคริสตัลเกลือแกง ลูกบอลสีเข้มเป็นตัวแทนของอะตอมโซเดียม ลูกบอลแสงเป็นตัวแทนของอะตอมของคลอรีน

ควอซิคริสตัล

แม้ว่าสมมาตรในการหมุนลำดับที่ 5 จะไม่สามารถทำได้ในโครงตาข่าย 2 มิติหรือ 3 มิติ แต่ก็สามารถมีอยู่ในโครงสร้างปกติน้อยกว่าเล็กน้อยที่เรียกว่าควอซิคริสตัล โรเจอร์ เพนโรสค้นพบระบบแบนๆ ด้วยการใช้ภาพร่างของเคปเลอร์ ประเภททั่วไปสมมาตรห้าเท่า พวกมันถูกเรียกว่าควอซิคริสตัล

Quasicrystal มีอยู่ในธรรมชาติ ในปี 1984 Daniel Shechtman ค้นพบว่าโลหะผสมของอลูมิเนียมและแมงกานีสสามารถก่อตัวเป็นผลึกควอซิกได้ ในขั้นต้น นักผลึกศาสตร์ทักทายข้อความของเขาด้วยความสงสัย แต่ต่อมาการค้นพบนี้ได้รับการยืนยัน และในปี 2011 Shekhtman ได้รับรางวัล รางวัลโนเบลในวิชาเคมี ในปี 2009 ทีมนักวิทยาศาสตร์ที่นำโดย Luca Bindi ค้นพบควอซิคริสตัลในแร่ธาตุจากที่ราบสูง Koryak ของรัสเซีย ซึ่งเป็นสารประกอบของอะลูมิเนียม ทองแดง และเหล็ก ปัจจุบันแร่นี้เรียกว่า icosahedrite นักวิทยาศาสตร์ได้แสดงให้เห็นว่าแร่ธาตุนี้ไม่ได้กำเนิดบนโลกด้วยการวัดปริมาณไอโซโทปออกซิเจนต่างๆ ในแร่โดยใช้แมสสเปกโตรมิเตอร์ มันก่อตัวขึ้นเมื่อประมาณ 4.5 พันล้านปีก่อน ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ ระบบสุริยะยังอยู่ในช่วงเริ่มต้น และใช้เวลาส่วนใหญ่อยู่ในแถบดาวเคราะห์น้อย โคจรรอบดวงอาทิตย์ จนกระทั่งสิ่งรบกวนบางอย่างเปลี่ยนวงโคจรของมันและนำมันมายังโลกในที่สุด

// ข้าว. 41. ซ้าย: หนึ่งในสองโครงตาข่ายควอซิคริสตัลไลน์ที่มีความสมมาตรห้าเท่าพอดี ขวา: แบบจำลองอะตอมของควอซิคริสตัลอะลูมิเนียม-แพลเลเดียม-แมงกานีสแบบไอโคซาฮีดรัล

เชอร์วียัค วิทาลี

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

การประกวด โครงการทางวิทยาศาสตร์เด็กนักเรียน

ภายใต้กรอบการประชุมทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติระดับภูมิภาค “ยูเรก้า”

สถาบันวิทยาศาสตร์ขนาดเล็กสำหรับนักเรียน Kuban

ศึกษาตัวเลขพีทาโกรัส

ส่วนคณิตศาสตร์

Chervyak Vitaly Gennadievich ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

โรงเรียนมัธยม MOBU ลำดับที่ 14

อำเภอโคเรนอฟสกี้

ศิลปะ. จูราฟสกายา

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์:

มานโก กาลินา วาซิลีฟนา

ครูคณิตศาสตร์

โรงเรียนมัธยม MOBU ลำดับที่ 14

โคเรนอฟสค์ 2011

เชอร์วียัค วิทาลี เกนนาดิวิช

ตัวเลขพีทาโกรัส

คำอธิบายประกอบ

หัวข้อวิจัย:ตัวเลขพีทาโกรัส

วัตถุประสงค์การวิจัย:

วัตถุประสงค์การวิจัย:

• การระบุและพัฒนาความสามารถทางคณิตศาสตร์
• การขยายการแทนค่าทางคณิตศาสตร์ในหัวข้อนี้
• การก่อตัวของความสนใจอย่างยั่งยืนในเรื่อง;
• การพัฒนาทักษะการสื่อสารและวิชาการทั่วไป งานอิสระ, ความสามารถในการอภิปราย, โต้เถียง ฯลฯ ;
• การก่อตัวและพัฒนาการคิดเชิงวิเคราะห์และเชิงตรรกะ

วิธีการวิจัย:

• การใช้ทรัพยากรอินเทอร์เน็ต
• อ้างถึงวรรณกรรมอ้างอิง
• การทำการทดลอง

บทสรุป:

• งานนี้สามารถนำมาใช้ในบทเรียนเรขาคณิตได้เช่น วัสดุเพิ่มเติมเพื่อดำเนินการ วิชาเลือกหรือวิชาเลือกในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย กิจกรรมนอกหลักสูตรในวิชาคณิตศาสตร์

เชอร์วียัค วิทาลี เกนนาดิวิช

ภูมิภาคครัสโนดาร์, หมู่บ้าน Zhuravskaya, โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์: Galina Vasilievna Manko ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 14

1. บทนำ…………………………………………………………………………………3
2. ส่วนหลัก

2.1 หน้าประวัติศาสตร์…………………………………………4

2.2 การพิสูจน์ขาคู่และคี่......................................5-6

2.3 ที่มาของรูปแบบการค้นหา

ตัวเลขพีทาโกรัส……………………………………………………………………7

2.4 คุณสมบัติของตัวเลขพีทาโกรัส ……………………………………………… 8

3. บทสรุป……………………………………………………………………9

4.รายชื่อแหล่งข้อมูลและวรรณกรรมที่ใช้…………………… 10

ใบสมัคร................................................. ....... ........................................... ............ ......11

ภาคผนวก 1 ……………………………………………………………………… 11

ภาคผนวก II…………………………………………………………………………..13

เชอร์วียัค วิทาลี เกนนาดิวิช

ภูมิภาคครัสโนดาร์, หมู่บ้าน Zhuravskaya, โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์: Galina Vasilievna Manko ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 14

การแนะนำ

ฉันได้ยินเกี่ยวกับพีทาโกรัสและชีวิตของเขาในบทเรียนคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และฉันสนใจข้อความที่ว่า "กางเกงของพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง" ขณะที่ศึกษาทฤษฎีบทพีทาโกรัส ฉันเริ่มสนใจตัวเลขพีทาโกรัสวัตถุประสงค์ของการศึกษา: เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและ “ตัวเลขพีทาโกรัส”

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อ- คุณค่าของทฤษฎีบทพีทาโกรัสและแฝดสามของพีทาโกรัสได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์หลายคนทั่วโลกมานานหลายศตวรรษ ปัญหาที่จะกล่าวถึงในงานของฉันดูค่อนข้างง่ายเพราะมันขึ้นอยู่กับข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ทุกคนรู้ - ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ขา ตอนนี้เป็นสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ x, y, z ซึ่ง x 2 + y 2 = z 2 มักจะเรียกว่าแฝดพีทาโกรัส- ปรากฎว่าแฝดพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักในบาบิโลนแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกก็ค่อยๆ พบสิ่งเหล่านี้เช่นกัน

วัตถุประสงค์ของงานนี้

1. สำรวจตัวเลขพีทาโกรัส
2. ทำความเข้าใจว่าได้ตัวเลขพีทาโกรัสมาได้อย่างไร
3. ค้นหาว่าตัวเลขพีทาโกรัสมีคุณสมบัติอะไรบ้าง
4. ทดลองสร้างเส้นตั้งฉากบนพื้นโดยใช้เลขพีทาโกรัส

ตามวัตถุประสงค์ของงาน ได้กำหนดไว้หลายประการดังต่อไปนี้:งาน:

1. ศึกษาประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น

2. การวิเคราะห์คุณสมบัติสากลของพีทาโกรัสอเนกประสงค์

3. การวิเคราะห์การใช้งานจริงของแฝดพีทาโกรัส

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: พีทาโกรัสสามเท่า

หัวข้อการวิจัย: คณิตศาสตร์.

วิธีการวิจัย: - การใช้ทรัพยากรอินเทอร์เน็ต - อ้างอิงถึงวรรณกรรมอ้างอิง - ดำเนินการทดลอง

นัยสำคัญทางทฤษฎี:บทบาทของการค้นพบแฝดพีทาโกรัสในทางวิทยาศาสตร์ การประยุกต์ใช้จริงการค้นพบพีทาโกรัสในชีวิตมนุษย์

ค่าสมัครการวิจัยคือการวิเคราะห์ แหล่งวรรณกรรมและการจัดระบบข้อเท็จจริง

เชอร์วียัค วิทาลี เกนนาดิวิช

ภูมิภาคครัสโนดาร์, หมู่บ้าน Zhuravskaya, โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์: Galina Vasilievna Manko ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 14

จากประวัติความเป็นมาของตัวเลขพีทาโกรัส

• จีนโบราณ:

หนังสือคณิตศาสตร์จูเป่ย:[ 2]

“ถ้ามุมฉากถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบ เส้นที่เชื่อมปลายด้านข้างจะเป็น 5 เมื่อฐานเป็น 3 และความสูงเป็น 4”

• อียิปต์โบราณ: [2]

คันทอร์ (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชั้นนำชาวเยอรมัน) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3² + 4² = 5² เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์แล้วประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล จ. ในสมัยกษัตริย์อเมเนเมตา (อ้างอิงจากปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำกล่าวของกันเตอร์ฮาร์พีโดแนปต์, หรือ “ตัวดึงเชือก” สร้างมุมขวาโดยใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3 เท่ากัน 4 และ 5

• บาบิโลเนีย: [3]

“ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกยุคแรกๆ เช่น ทาลีส พีทาโกรัส และพีทาโกรัส ไม่ใช่การค้นพบคณิตศาสตร์ แต่เป็นการจัดระบบและการให้เหตุผล ในมือของพวกเขา สูตรอาหารที่คำนวณจากแนวคิดที่คลุมเครือได้กลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน"

• ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะเกี่ยวข้องกับชื่อของพีทาโกรัส แต่ก็เป็นที่รู้จักมานานก่อนหน้าเขา

ในตำราของชาวบาบิโลนพบเมื่อ 1,200 ปีก่อนปีทาโกรัส

เห็นได้ชัดว่าเขาเป็นคนแรกที่ค้นพบหลักฐานนี้ ในเรื่องนี้ มีรายการดังต่อไปนี้: "... เมื่อเขาค้นพบว่าในสามเหลี่ยมมุมฉากด้านตรงข้ามมุมฉากตรงกับขา เขาได้ถวายวัวที่ทำจากแป้งสาลีตัวหนึ่ง"

เชอร์วียัค วิทาลี เกนนาดิวิช

ภูมิภาคครัสโนดาร์, หมู่บ้าน Zhuravskaya, โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์: Galina Vasilievna Manko ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 14

ศึกษาตัวเลขพีทาโกรัส

• สามเหลี่ยมแต่ละรูปซึ่งมีด้านอยู่ในอัตราส่วน 3:4:5 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี จะเป็นสี่เหลี่ยม เนื่องจาก

3 2 + 4 2 = 5 2.

• นอกจากตัวเลข 3,4 และ 5 แล้ว ยังมีเซตจำนวนอนันต์บวก a, b และ c อีกด้วย ซึ่งเป็นไปตามความสัมพันธ์
• ก 2 + ข 2 = ค 2
• ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลขพีทาโกรัส

แฝดพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักมาเป็นเวลานานมาก ในสถาปัตยกรรมของหลุมศพโปเตเมียนในป่าโบราณ พบว่ามีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองอันที่มีด้านขนาด 9, 12 และ 15 ศอก ปิรามิดของฟาโรห์สเนฟรู (ศตวรรษที่ XXVII ก่อนคริสต์ศักราช) ถูกสร้างขึ้นโดยใช้สามเหลี่ยมที่มีด้าน 20, 21 และ 29 ด้าน รวมถึง 18, 24 และ 30 สิบศอกอียิปต์[ 1 ]

สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา 3, 4 และด้านตรงข้ามมุมฉาก 5 เรียกว่าสามเหลี่ยมอียิปต์ พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับเลขสมบูรณ์ 6 เส้นรอบวงคือ 12 ซึ่งเป็นตัวเลขที่ถือเป็นสัญลักษณ์ของความสุขและความเจริญรุ่งเรือง

ชาวอียิปต์โบราณใช้เชือกแบ่งปมออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน เพื่อสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมฉาก วิธีการที่สะดวกและแม่นยำมากที่นักสำรวจใช้ในการวาดเส้นตั้งฉากบนพื้น คุณต้องใช้สายไฟและหมุดสามอันจัดเรียงสายไฟเป็นรูปสามเหลี่ยมเพื่อให้ด้านหนึ่งประกอบด้วย 3 ส่วนส่วนที่สองของ 4 ส่วนและส่วนสุดท้ายของห้าส่วนดังกล่าว สายไฟจะเรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมฉาก

วิธีการโบราณนี้เห็นได้ชัดว่าช่างก่อสร้างใช้เมื่อหลายพันปีก่อน ปิรามิดอียิปต์ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยมทุกรูปที่มีด้านอยู่ในอัตราส่วน 3:4:5 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นมีมุมฉาก

Euclid, Pythagoras, Diophantus และคนอื่นๆ อีกมากมายมีส่วนร่วมในการค้นหาแฝดพีทาโกรัส[ 1]

เห็นได้ชัดว่าถ้า (x, y, z ) คือค่าสามเท่าของพีทาโกรัส จากนั้นสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ k ทริปเปิล (kx, ky, kz) จะเป็นทริปเปิลพีทาโกรัสด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง (6, 8, 10), (9, 12, 15) ฯลฯ เป็นแฝดสามพีทาโกรัส

เมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น แฝดสามของพีทาโกรัสจะมีน้อยลงเรื่อยๆ และหายากขึ้นเรื่อยๆ ชาวพีทาโกรัสคิดค้นวิธีการค้นหา

จำนวนสามเท่าดังกล่าวและการใช้มันได้พิสูจน์ว่ามีจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัสมากมายนับไม่ถ้วน

ผลคูณที่ไม่มีตัวประกอบร่วมมากกว่า 1 เรียกว่าค่าที่ง่ายที่สุด

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติบางประการของค่าสามเท่าของพีทาโกรัส[ 1]

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวเลขเหล่านี้สามารถใช้เป็นความยาวของสามเหลี่ยมมุมฉากบางรูปได้ ดังนั้น a และ b จึงเรียกว่า "ขา" และ c เรียกว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก"
เห็นได้ชัดว่าถ้า a, b, c เป็นสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัส ดังนั้น pa, pb, pc โดยที่ p เป็นตัวประกอบจำนวนเต็ม จะเป็นตัวเลขพีทาโกรัส
จริงและ คำสั่งสนทนา!
ดังนั้น ขั้นแรกเราจะตรวจสอบเฉพาะจำนวนสามเท่าของจำนวนโคไพรม์พีทาโกรัสเท่านั้น (ที่เหลือจะได้มาจากการคูณด้วยตัวประกอบจำนวนเต็ม p)

ให้เราแสดงให้เห็นในแต่ละสิ่งเหล่านี้ สามเท่า a, b, c“ขา” อันใดอันหนึ่งจะต้องเท่ากันและอีกอันเป็นคี่ เรามาโต้แย้งกัน ถ้า a และ b ทั้งสองเป็นเลขคู่ จำนวน a จะเป็นเลขคู่ 2 + ใน 2 และด้วยเหตุนี้ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับอะไร ตัวเลข ก ขและ c ไม่มีตัวประกอบร่วม เนื่องจากเลขคู่สามตัวมี ตัวคูณทั่วไป 2. ดังนั้น “ขา” a และ b อย่างน้อยหนึ่งตัวจึงเป็นเลขคี่

ยังมีความเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่ง: “ขา” ทั้งสองข้างเป็นเลขคี่ และ “ด้านตรงข้ามมุมฉาก” เป็นเลขคู่ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้เนื่องจากหาก "ขา" มีรูปแบบ 2 x + 1 และ 2y + 1 ผลรวมของกำลังสองของพวกมันจะเท่ากับ

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2 เช่น คือจำนวนที่เมื่อหารด้วย 4 จะเหลือเศษ 2 ขณะเดียวกันกำลังสองของค่าใดๆ เลขคู่ต้องหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษ.

ซึ่งหมายความว่าผลรวมของกำลังสองของเลขคี่สองตัวไม่สามารถเป็นกำลังสองของเลขคู่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขทั้งสามของเราไม่ใช่พีทาโกรัส

บทสรุป:

ดังนั้น จาก "ขา" a อันหนึ่งเป็นคู่และอีกอันเป็นคี่ ดังนั้น เลข ก 2 + ใน 2 คี่ ซึ่งหมายความว่า “ด้านตรงข้ามมุมฉาก” ก็เป็นคี่เช่นกัน

พีทาโกรัสพบสูตรที่ในสัญลักษณ์สมัยใหม่สามารถเขียนได้ดังนี้: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2หมายเลข 2 +2n+1 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม

ตัวเลขเหล่านี้เป็นแฝดสามพีทาโกรัส

เชอร์วียัค วิทาลี เกนนาดิวิช

ภูมิภาคครัสโนดาร์, หมู่บ้าน Zhuravskaya, โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์: Galina Vasilievna Manko ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 14

ที่มาของรูปแบบการหาจำนวนพีทาโกรัส

ต่อไปนี้เป็นสามเท่าของพีทาโกรัสต่อไปนี้:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

สังเกตได้ง่ายว่าเมื่อเราคูณจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัสแต่ละตัวด้วย 2, 3, 4, 5 ฯลฯ เราจะได้แฝดสามดังต่อไปนี้

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 ฯลฯ

เป็นตัวเลขพีทาโกรัสด้วย/

เชอร์วียัค วิทาลี เกนนาดิวิช

ภูมิภาคครัสโนดาร์, หมู่บ้าน Zhuravskaya, โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์: Galina Vasilievna Manko ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 14

คุณสมบัติของตัวเลขพีทาโกรัส

• เมื่อดูตัวเลขพีทาโกรัส ฉันเห็นคุณสมบัติหลายประการ:
• 1) ตัวเลขพีทาโกรัสตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนทวีคูณของสาม
• 2) อีกอันหนึ่งจะต้องเป็นผลคูณของสี่
• 3) และหนึ่งในสามของจำนวนพีทาโกรัสต้องเป็นจำนวนเท่าของห้า

เชอร์วียัค วิทาลี เกนนาดิวิช

ภูมิภาคครัสโนดาร์, หมู่บ้าน Zhuravskaya, โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์: Galina Vasilievna Manko ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 14

บทสรุป.

เรขาคณิตก็เหมือนกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ เกิดขึ้นจากความจำเป็นของการฝึกฝน คำว่า "เรขาคณิต" เป็นภาษากรีกและหมายถึง "การสำรวจที่ดิน"

ผู้คนต้องเผชิญกับความจำเป็นในการวัดที่ดินตั้งแต่เนิ่นๆ แล้ว 3-4 พันปีก่อนคริสต์ศักราช ดินแดนอันอุดมสมบูรณ์ทุกชิ้นในหุบเขาแม่น้ำไนล์ ยูเฟรติส ไทกริส และแม่น้ำของจีน มีความสำคัญต่อชีวิตของผู้คน สิ่งนี้จำเป็นต้องมีความรู้ทางเรขาคณิตและเลขคณิตจำนวนหนึ่ง

ผู้คนเริ่มวัดและศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้นทีละน้อย

มีการสร้างวิหารขนาดมหึมาทั้งในอียิปต์และบาบิโลนซึ่งการก่อสร้างสามารถทำได้ตามการคำนวณเบื้องต้นเท่านั้น มีการสร้างท่อส่งน้ำด้วย ทั้งหมดนี้จำเป็นต้องมีภาพวาดและการคำนวณ มาถึงตอนนี้ กรณีพิเศษของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นที่รู้กันดีอยู่แล้วว่าถ้าเราหารูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน x, y, z โดยที่ x, y, z เป็นจำนวนเต็มในลักษณะที่ x 2 + y 2 = z 2 แล้วสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเป็นมุมฉาก

ความรู้ทั้งหมดนี้ถูกนำไปใช้โดยตรงในหลายด้านของชีวิตมนุษย์

ดังนั้น จนถึงทุกวันนี้ การค้นพบครั้งยิ่งใหญ่ของนักวิทยาศาสตร์และนักปรัชญาโบราณ พีทาโกรัส จึงพบการนำไปใช้โดยตรงในชีวิตของเรา

รับเหมาก่อสร้างบ้าน ถนน ยานอวกาศ, รถยนต์, เครื่องมือกล, ท่อส่งน้ำมัน, เครื่องบิน, อุโมงค์, รถไฟใต้ดิน และอื่นๆ อีกมากมาย แฝดสามพีทาโกรัสมีการนำไปใช้โดยตรงในการออกแบบสิ่งต่างๆ มากมายที่อยู่รอบตัวเราในชีวิตประจำวัน

และจิตใจของนักวิทยาศาสตร์ยังคงค้นหาทางเลือกใหม่ ๆ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

• ใน จากงานของฉัน ฉันจัดการเพื่อ:
• 1. เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับพีทาโกรัส ชีวิตของเขา และภราดรภาพพีทาโกรัส
• 2. ทำความคุ้นเคยกับประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
• 3. เรียนรู้เกี่ยวกับตัวเลขพีทาโกรัส คุณสมบัติของตัวเลข เรียนรู้การค้นหาและนำไปใช้ในกิจกรรมภาคปฏิบัติ

เชอร์วียัค วิทาลี เกนนาดิวิช

ภูมิภาคครัสโนดาร์, หมู่บ้าน Zhuravskaya, โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์: Galina Vasilievna Manko ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมหมายเลข 14

วรรณกรรม.

1. พีชคณิตที่สนุกสนาน ใช่แล้ว เปเรลแมน (หน้า 117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. อาโนซอฟ ดี.วี. ดูคณิตศาสตร์และบางสิ่งบางอย่างจากมัน – อ.: MTsNMO, 2003.

5. สารานุกรมเด็ก. – อ.: สำนักพิมพ์ของ Academy of Pedagogical Sciences แห่ง RSFSR, 1959.

6. สเตปาโนวา แอล.แอล. บทที่เลือกของทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น – ม.: โพร, 2544.

7. W. Sierpinski สามเหลี่ยมพีทาโกรัส. - ม.: อุชเพ็ดกิซ, 2502 หน้า 111

ความคืบหน้าของหน้าประวัติศาสตร์การวิจัย ทฤษฎีบทพีทาโกรัส พิสูจน์ว่า “ขา” ข้างหนึ่งต้องเป็นคู่และอีกข้างเป็นคี่ ที่มาของรูปแบบการค้นหาตัวเลขพีทาโกรัส เผยคุณสมบัติของตัวเลขพีทาโกรัส

บทนำ ฉันได้ยินเกี่ยวกับพีทาโกรัสและชีวิตของเขาในบทเรียนคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และฉันสนใจข้อความที่ว่า "กางเกงของพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง" ขณะที่ศึกษาทฤษฎีบทพีทาโกรัส ฉันเริ่มสนใจตัวเลขพีทาโกรัส ฉันตั้งเป้าหมายในการวิจัยของฉัน: เพื่อเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและ "ตัวเลขพีทาโกรัส"

ก็จะมี ความจริงนิรันดร์คนอ่อนแอจะจำเธอได้เร็วแค่ไหน! และตอนนี้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็เป็นจริงเหมือนในยุคอันห่างไกลของเขา

จากประวัติความเป็นมาของตัวเลขพีทาโกรัส หนังสือคณิตศาสตร์จีนโบราณ ชูเป่ย: “หากมุมฉากถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบ เส้นที่เชื่อมปลายด้านข้างจะเป็น 5 เมื่อฐานเป็น 3 และความสูงเป็น 4”

ตัวเลขพีทาโกรัสในบรรดาชาวอียิปต์โบราณ คันทอร์ (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าค่าความเท่าเทียมกัน 3² + 4² = 5² ชาวอียิปต์รู้จักอยู่แล้วเมื่อประมาณ 2,300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในสมัยกษัตริย์อาเมเนมเฮต (อ้างอิงจากปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำกล่าวของคันทอร์ ฮาร์พีโดแนปต์หรือ "เครื่องดึงเชือก" ได้สร้างมุมฉากโดยใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3 ด้าน; 4 และ 5

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในบาบิโลเนีย “ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกกลุ่มแรกๆ เช่น ธาลี พีทาโกรัส และพีทาโกรัส ไม่ใช่การค้นพบคณิตศาสตร์ แต่เป็นการจัดระบบและการให้เหตุผล ในมือของพวกเขา สูตรอาหารที่คำนวณจากแนวคิดที่คลุมเครือได้กลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน"

สามเหลี่ยมแต่ละรูปซึ่งมีด้านอยู่ในอัตราส่วน 3:4:5 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจาก 3 2 + 4 2 = 5 2 นอกจากตัวเลข 3,4 และ 5 แล้ว ยังมี ดังที่ทราบกันดีว่าจำนวนเต็มบวกจำนวนอนันต์ a , в และ с ซึ่งเป็นไปตามความสัมพันธ์ A 2 + в 2 = с 2 ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลขพีทาโกรัส

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวเลขเหล่านี้สามารถใช้เป็นความยาวของสามเหลี่ยมมุมฉากบางรูปได้ ดังนั้น a และ b จึงเรียกว่า "ขา" และ c เรียกว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" เห็นได้ชัดว่าถ้า a, b, c เป็นสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัส ดังนั้น pa, pb, pc โดยที่ p เป็นตัวประกอบจำนวนเต็ม จะเป็นตัวเลขพีทาโกรัส คำตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน! ดังนั้น ขั้นแรกเราจะตรวจสอบเฉพาะจำนวนสามเท่าของจำนวนโคไพรม์พีทาโกรัสเท่านั้น (ที่เหลือจะได้จากการคูณด้วยตัวประกอบจำนวนเต็ม p)

บทสรุป! ดังนั้น ในบรรดาตัวเลข a และ b ตัวหนึ่งเป็นเลขคู่ และอีกตัวเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่าเลขตัวที่สามเป็นเลขคี่

ต่อไปนี้เป็นแฝดพีทาโกรัสต่อไปนี้: 3, 4, 5; 9+16=25. 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

สังเกตได้ง่ายว่าเมื่อเราคูณจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัสแต่ละตัวด้วย 2, 3, 4, 5 ฯลฯ เราจะได้แฝดสามดังต่อไปนี้ 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 ฯลฯ พวกมันยังเป็นตัวเลขพีทาโกรัสอีกด้วย

คุณสมบัติของตัวเลขพีทาโกรัส เมื่อพิจารณาตัวเลขพีทาโกรัส ฉันเห็นคุณสมบัติหลายประการ: 1) ตัวเลขพีทาโกรัสตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนทวีคูณของสาม; 2) หนึ่งในนั้นจะต้องเป็นผลคูณของสี่ 3) และจำนวนพีทาโกรัสอีกจำนวนหนึ่งต้องเป็นจำนวนเท่าของห้า

การประยุกต์ตัวเลขพีทาโกรัสในทางปฏิบัติ

สรุป: จากผลงานของฉัน ฉันสามารถ 1. เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับพีทาโกรัส ชีวิตของเขา และภราดรภาพพีทาโกรัส 2. ทำความคุ้นเคยกับประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3. เรียนรู้เกี่ยวกับตัวเลขพีทาโกรัส คุณสมบัติของพวกมัน เรียนรู้การค้นหา ทดลองวาดมุมฉากโดยใช้ตัวเลขพีทาโกรัส

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการที่ทราบในการสร้างเลขสามเท่าของพีทาโกรัส นักเรียนของพีทาโกรัสเป็นคนแรกที่คิดค้นวิธีง่ายๆ ในการสร้างสามเท่าของพีทาโกรัส โดยใช้สูตรที่มีส่วนต่างๆ แทนค่าสามเท่าของพีทาโกรัส:

ม 2 + ((ม 2 − 1)/2) 2 = ((ม 2 + 1)/2) 2 ,

ที่ไหน ม- ไม่มีการจับคู่ ม>2. จริงหรือ,

4ม 2 + ม 4 − 2ม 2 + 1
ม 2 + ((ม 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((ม 2 + 1)/2) 2 .
4

มีการเสนอสูตรที่คล้ายกัน นักปรัชญาชาวกรีกโบราณเพลโต:

(2ม) 2 + (ม 2 − 1) 2 = (ม 2 + 1) 2 ,

ที่ไหน ม- หมายเลขใดก็ได้ สำหรับ ม= 2,3,4,5 มีการสร้างสามเท่าต่อไปนี้:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

ดังที่เราเห็น สูตรเหล่านี้ไม่สามารถให้แฝดสามเท่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด

พิจารณาพหุนามต่อไปนี้ ซึ่งสามารถขยายเป็นผลรวมของพหุนามได้:

(2ม 2 + 2ม + 1) 2 = 4ม 4 + 8ม 3 + 8ม 2 + 4ม + 1 =
=4ม 4 + 8ม 3 + 4ม 2 + 4ม 2 + 4ม + 1 = (2ม(ม+1)) 2 + (2ม +1) 2 .

ดังนั้นสูตรต่อไปนี้สำหรับการได้รับสามเท่าดั้งเดิม:

ก = 2ม +1 , ข = 2ม(ม+1) = 2ม 2 + 2ม , ค = 2ม 2 + 2ม + 1.

สูตรเหล่านี้สร้างแฝดโดยที่จำนวนเฉลี่ยแตกต่างจากจำนวนที่มากที่สุดด้วยหนึ่งพอดี กล่าวคือ ไม่ใช่แฝดที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นเช่นกัน ในที่นี้สามตัวแรกมีค่าเท่ากับ: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61)

เพื่อกำหนดวิธีการสร้างแฝดสามดั้งเดิมทั้งหมด ควรตรวจสอบคุณสมบัติของพวกมัน ประการแรก ถ้า ( ก,ข,ค) จึงเป็นสามเท่าดั้งเดิม กและ ข, ขและ ค, กและ ค- จะต้องค่อนข้างไพร์ม อนุญาต กและ ขจะถูกแบ่งออกเป็น ง- แล้ว ก 2 + ข 2 - หารด้วยด้วย ง- ตามลำดับ ค 2 และ คจะต้องหารด้วย ง- นั่นคือนี่ไม่ใช่สามดั้งเดิม

ประการที่สองในบรรดาตัวเลข ก, ขอันหนึ่งต้องจับคู่และอีกอันไม่จับคู่ จริงๆ แล้วถ้า. กและ ข- จับคู่กันแล้ว กับจะถูกจับคู่และตัวเลขสามารถหารด้วยอย่างน้อย 2 ถ้าทั้งคู่ไม่จับคู่ก็สามารถแสดงเป็น 2 เค+1 และ 2 ล+1 ที่ไหน เค,ล- ตัวเลขบางตัว แล้ว ก 2 + ข 2 = 4เค 2 +4เค+1+4ล 2 +4ล+1 นั่นคือ กับ 2 เช่น ก 2 + ข 2 มีจำนวนเศษ 2 เมื่อหารด้วย 4

อนุญาต กับ- หมายเลขใดก็ได้นั่นคือ กับ = 4เค+ฉัน (ฉัน=0,…,3) แล้ว กับ 2 = (4เค+ฉัน) 2 มีจำนวนเศษ 0 หรือ 1 และไม่มีเศษ 2 อีกต่อไป ดังนั้น กและ ขไม่สามารถเลิกจับคู่ได้นั่นคือ ก 2 + ข 2 = 4เค 2 +4เค+4ล 2 +4ล+1 และส่วนที่เหลือของการหาร กับ 2 คูณ 4 ต้องเป็น 1 ซึ่งหมายความว่า กับจะต้องไม่จับคู่

ข้อกำหนดดังกล่าวสำหรับองค์ประกอบของพีทาโกรัสทริปเปิลเป็นไปตามตัวเลขต่อไปนี้:

ก = 2นาที, ข = ม 2 − n 2 , ค = ม 2 + n 2 , ม > n, (2)

ที่ไหน มและ n— ค่อนข้างไพร์มด้วยการจับคู่ที่ต่างกัน การพึ่งพาเหล่านี้เป็นที่รู้จักครั้งแรกจากผลงานของ Euclid ซึ่งมีชีวิตอยู่ในปี 2300 r กลับ.

ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของการพึ่งพา (2) อนุญาต ก- จับคู่กันแล้ว ขและ ค- ไม่ได้จับคู่ แล้ว ค + ขฉัน ค − ข- จับคู่ พวกเขาสามารถแสดงเป็น ค + ข = 2คุณและ ค − ข = 2โวลต์, ที่ไหน คุณ,โวลต์- จำนวนเต็มบางส่วน นั่นเป็นเหตุผล

ก 2 = กับ 2 − ข 2 = (ค + ข)(ค − ข) = 2คุณ·2 โวลต์ = 4ยูวี

ดังนั้น ( ก/2) 2 = ยูวี.

ก็สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการแย้งว่า คุณและ โวลต์- เรียบง่ายซึ่งกันและกัน อนุญาต คุณและ โวลต์- แบ่งออกเป็น ง- แล้ว ( ค + ข) และ ( ค − ข) แบ่งออกเป็น ง- และดังนั้น คและ ขจะต้องหารด้วย งและสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขของเลขสามพีทาโกรัส

เพราะ ยูวี = (ก/2) 2 และ คุณและ โวลต์ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะจึงพิสูจน์ได้ง่าย คุณและ โวลต์ต้องเป็นกำลังสองของตัวเลขบางตัว

จึงมีจำนวนเต็มบวก มและ nเช่นนั้น คุณ = ม 2 และ โวลต์ = n 2. แล้ว

ก 2 = 4ยูวี = 4ม 2 n 2 อย่างนั้น
ก = 2นาที; ข = คุณ − โวลต์ = ม 2 − n 2 ; ค = คุณ + โวลต์ = ม 2 + n 2 .

เพราะ ข> 0 แล้ว ม > n.

มันยังคงแสดงให้เห็นว่า มและ nมีการจับคู่ที่แตกต่างกัน ถ้า มและ n- จับคู่กันแล้ว คุณและ โวลต์จะต้องจับคู่กัน แต่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากพวกมันค่อนข้างสำคัญ ถ้า มและ n- ไม่จับคู่แล้ว ข = ม 2 − n 2 และ ค = ม 2 + n 2 จะถูกจับคู่ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก คและ ข- เรียบง่ายซึ่งกันและกัน

ดังนั้น ทริปเปิลพีทาโกรัสดั้งเดิมใดๆ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข (2) ขณะเดียวกันก็มีตัวเลข มและ nถูกเรียกว่า การสร้างตัวเลขแฝดสามดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น ขอให้เรามีเลขสามเท่าของพีทาโกรัสดั้งเดิม (120,119,169) ในกรณีนี้

ก= 120 = 2·12·5, ข= 119 = 144 - 25 และ ค = 144+25=169,

ที่ไหน ม = 12, n= 5 — กำลังสร้างตัวเลข 12 > 5; 12 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกันและเป็นคู่ต่างกัน

ตรงกันข้ามสามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลข ม, nโดยใช้สูตร (2) จะได้ค่าสามเท่าของพีทาโกรัสดั้งเดิม (a,b,c) จริงหรือ,

ก 2 + ข 2 = (2นาที) 2 + (ม 2 − n 2) 2 = 4ม 2 n 2 + (ม 4 − 2ม 2 n 2 + n 4) =
= (ม 4 + 2ม 2 n 2 + n 4) = (ม 2 + n 2) 2 = ค 2 ,

นั่นคือ ( ก,ข,ค) เป็นค่าสามเท่าของพีทาโกรัส ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้ ก,ข,คเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกันโดยขัดแย้งกัน ให้ตัวเลขเหล่านี้หารด้วย พี> 1. ตั้งแต่ มและ nมีการจับคู่ที่แตกต่างกันแล้ว ขและ ค- ไม่มีคู่นั่นคือ พี≠ 2. เนื่องจาก รแบ่ง ขและ ค, ที่ รต้องหาร 2 ม 2 และ 2 n 2แต่มันเป็นไปไม่ได้เพราะว่า พี≠ 2. ดังนั้น ม, n- ร่วมกันสำคัญและ ก,ข,ค- ก็ค่อนข้างง่ายเช่นกัน

ตารางที่ 1 แสดงค่าสามเท่าของพีทาโกรัสดั้งเดิมทั้งหมดที่สร้างขึ้นโดยใช้สูตร (2) สำหรับ ม≤10.

ตารางที่ 1. ดั้งเดิมของพีทาโกรัสสามเท่าสำหรับ ม≤10

ม	n	ก	ข	ค	ม	n	ก	ข	ค
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

การวิเคราะห์ตารางนี้แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของชุดรูปแบบต่อไปนี้:

• หรือ ก, หรือ ขหารด้วย 3 ลงตัว;
• หนึ่งในตัวเลข ก,ข,คหารด้วย 5;
• ตัวเลข กหารด้วย 4 ลงตัว;
• งาน ก· ขหารด้วย 12.

ในปี 1971 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Teigan และ Hedwin ได้เสนอพารามิเตอร์ที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นความสูงของมันเพื่อสร้างแฝดสาม ชม. = ค− b และส่วนเกิน (ความสำเร็จ) จ = ก + ข − ค- ในรูปที่ 1 ปริมาณเหล่านี้จะแสดงบนสามเหลี่ยมมุมฉากที่แน่นอน

รูปที่ 1 สามเหลี่ยมมุมฉากและการเติบโตและส่วนเกิน

ชื่อ "ส่วนเกิน" มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นระยะทางเพิ่มเติมที่ต้องส่งผ่านขาของรูปสามเหลี่ยมจากจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง หากไม่ไปตามเส้นทแยงมุม

ส่วนที่เกินและการเติบโตของด้านข้างของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสสามารถแสดงเป็น:

จ 2 จ 2
ก = ชม. + จ, ข = จ + ——, ค = ชม. + จ + ——, (3)
2ชม. 2ชม.

ไม่ใช่การรวมกันทั้งหมด ชม.และ จอาจตรงกับรูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส สำหรับการให้ ชม.ค่าที่เป็นไปได้ จเป็นผลิตภัณฑ์จำนวนหนึ่ง ง- เบอร์นี้ งมีชื่อการเจริญเติบโตและหมายถึง ชม.ดังต่อไปนี้: งคือจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดซึ่งมีกำลังสองหารด้วย 2 ลงตัว ชม.- เพราะ จหลายรายการ งแล้วเขียนเป็น จ = เคดี, ที่ไหน เคเป็นจำนวนเต็มบวก

การใช้คู่ ( เค,ชม.) คุณสามารถสร้างทุกสิ่งได้ สามเหลี่ยมพีทาโกรัสรวมถึงที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิมและทั่วไปดังต่อไปนี้:

(ดีเค) 2 (ดีเค) 2
ก = ชม. + ดีเค, ข = ดีเค + ——, ค = ชม. + ดีเค + ——, (4)
2ชม. 2ชม.

ยิ่งกว่านั้น ทริปเปิ้ลยังเป็นรูปดั้งเดิมถ้า เคและ ชม.ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ และถ้า ชม. =± ถาม 2 ณ ถาม- ไม่ได้จับคู่
ยิ่งไปกว่านั้น นี่จะเป็นเลขสามเท่าของพีทาโกรัสอย่างแน่นอน เค> √2· ชม./งและ ชม. > 0.

เพื่อค้นหา เคและ ชม.จาก ( ก,ข,ค) ดำเนินการต่อไปนี้:

• ชม. = ค − ข;
• เขียนลงไป ชม.ยังไง ชม. = หน้า 2 ที่ไหน พี> 0 และนั่นไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
• ง = 2หน้าถ้า พี- ไม่มีคู่และ ง = หน้าถ้า p ถูกจับคู่;
• เค = (ก − ชม.)/ง.

ตัวอย่างเช่น สำหรับสาม (8,15,17) ที่เรามี ชม.= 17−15 = 2 1 ดังนั้น พี= 2 และ ถาม = 1, ง= 2 และ เค= (8 − 2)/2 = 3 ดังนั้น ทริปเปิลนี้จึงได้มาจาก ( เค,ชม.) = (3,2).

สำหรับทริปเปิ้ล (459,1260,1341) ที่เรามี ชม.= 1341 − 1260 = 81 ดังนั้น พี = 1, ถาม= 9 และ ง= 18 จากตรงนี้ เค= (459 − 81)/18 = 21 ดังนั้นโค้ดของทริปเปิลนี้คือ ( เค,ชม.) = (21, 81).

การตั้งค่าแฝดโดยใช้ ชม.และ เคมีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ พารามิเตอร์ เคเท่ากับ

เค = 4ส/(ดีพี), (5)

ที่ไหน ส = เกี่ยวกับ/2 คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม และ ป = ก + ข + ค- เส้นรอบวงของมัน สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกัน อีพี = 4สซึ่งตามมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก จเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ซึ่งตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ = (ก − ร)+(ข − ร) = ก + ข − 2ร, ที่ไหน ร- รัศมีของวงกลม จากที่นี่ ชม. = ค − ข = ก − 2รและ จ = ก − ชม. = 2ร.

สำหรับ ชม.> 0 และ เค > 0, เคคือเลขลำดับของแฝดสาม ก-ข-คอยู่ในลำดับของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่เพิ่มขึ้น ชม.- จากตารางที่ 2 ซึ่งนำเสนอหลายตัวเลือกสำหรับแฝดที่สร้างโดยคู่ ชม., เคปรากฏชัดเจนขึ้นเรื่อยๆ เคขนาดของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเพิ่มขึ้น ดังนั้น การนับเลขเป็นคู่จึงต่างจากการนับเลขแบบคลาสสิก ชม., เคมีลำดับของแฝดมากขึ้น

ตารางที่ 2. ค่าสามเท่าของพีทาโกรัสที่สร้างโดยคู่ h, k

ชม.	เค	ก	ข	ค	ชม.	เค	ก	ข	ค
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

สำหรับ ชม. > 0, งตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน2√ ชม. ≤ ง ≤ 2ชม.ซึ่งถึงขีดจำกัดล่างแล้วที่ พี= 1 และอันบน - ที่ ถาม= 1 ดังนั้นค่า งสัมพันธ์กับ 2√ ชม.เป็นตัววัดว่าจำนวนเท่าใด ชม.ห่างจากกำลังสองของจำนวนหนึ่ง

“ศูนย์การศึกษาภูมิภาค”

การพัฒนาระเบียบวิธี

การใช้พีทาโกรัสสามเท่าในการแก้โจทย์

ปัญหาเรขาคณิตและงานตรีโกณมิติของการสอบ Unified State

คาลูกา, 2016

I. บทนำ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทหลักและอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดของเรขาคณิต ความสำคัญของมันอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทนี้หรือด้วยความช่วยเหลือของมัน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็น่าทึ่งเช่นกัน เพราะในตัวมันเองมันไม่ได้ชัดเจนเลย ตัวอย่างเช่นคุณสมบัติ สามเหลี่ยมหน้าจั่วสามารถดูได้โดยตรงบนภาพวาด แต่ไม่ว่าคุณจะมองสามเหลี่ยมมุมฉากมากแค่ไหน คุณจะไม่มีทางเห็นว่ามีความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายระหว่างด้านต่างๆ ของมัน: เอ2+บี2=ค2- อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่พีทาโกรัสที่ค้นพบทฤษฎีบทที่เป็นชื่อของเขา เป็นที่รู้จักกันก่อนหน้านี้ แต่บางทีอาจเป็นเพียงข้อเท็จจริงที่อนุมานได้จากการวัดเท่านั้น พีทาโกรัสคงรู้เรื่องนี้แต่ก็พบข้อพิสูจน์

มีจำนวนธรรมชาตินับไม่ถ้วน ก ข คพึงพอใจในความสัมพันธ์ เอ2+บี2=ค2.. เรียกว่า เลขพีทาโกรัส ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวเลขดังกล่าวสามารถใช้เป็นความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากบางรูปได้ เราจะเรียกพวกมันว่าสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

วัตถุประสงค์ของงาน:ศึกษาความเป็นไปได้และประสิทธิผลของการใช้พีทาโกรัสอเนกประสงค์ในการแก้ปัญหา หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์ งานสอบ Unified State

ตามวัตถุประสงค์ของงาน มีการกำหนดสิ่งต่อไปนี้: งาน:

ศึกษาประวัติและการจำแนกประเภทของแฝดพีทาโกรัส วิเคราะห์ปัญหาโดยใช้ Pythagorean Triples ซึ่งมีอยู่ในหนังสือเรียนของโรงเรียน และพบได้ในสื่อทดสอบและการวัดผลสำหรับการสอบ Unified State ประเมินประสิทธิผลของการใช้พีทาโกรัสทริปเปิ้ลและคุณสมบัติในการแก้ปัญหา

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: เลขสามเท่าของพีทาโกรัส

หัวข้อการวิจัย: ปัญหาของวิชาตรีโกณมิติและเรขาคณิตของโรงเรียนที่ใช้แฝดพีทาโกรัส

ความเกี่ยวข้องของการศึกษา- เลขแฝดพีทาโกรัสมักใช้ในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ การรู้สิ่งเหล่านี้จะช่วยขจัดข้อผิดพลาดในการคำนวณและประหยัดเวลา

ครั้งที่สอง ส่วนหลัก. การแก้ปัญหาโดยใช้เลขสามเท่าของพีทาโกรัส

2.1.ตารางเลขสามเท่าของเลขพีทาโกรัส (อ้างอิงจาก Perelman)

ตัวเลขพีทาโกรัสมีรูปแบบ ก= นาที, , โดยที่ m และ n เป็นจำนวนคี่เฉพาะบางจำนวน

ตัวเลขพีทาโกรัสมีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

หนึ่งใน “ขา” จะต้องเป็นผลคูณของสาม

หนึ่งใน “ขา” จะต้องเป็นผลคูณของสี่

จำนวนพีทาโกรัสตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนเท่าของห้า

หนังสือ “Entertaining Algebra” มีตารางแฝดพีทาโกรัสที่มีตัวเลขมากถึงหนึ่งร้อยที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. การจำแนกประเภทของพีทาโกรัสสามเท่าตาม Shustrov

ชูสตอฟค้นพบรูปแบบต่อไปนี้: หากสามเหลี่ยมพีทาโกรัสทั้งหมดถูกกระจายออกเป็นกลุ่ม ดังนั้นสำหรับขาคี่ x เลขคู่ y และด้านตรงข้ามมุมฉาก z สูตรต่อไปนี้จะใช้ได้:

x = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2 โดยที่ N คือจำนวนของตระกูล และ n คือเลขลำดับของรูปสามเหลี่ยมในตระกูล

โดยการแทนที่จำนวนเต็มบวกใดๆ โดยเริ่มจาก 1 ในสูตรสำหรับ N และ n คุณจะได้จำนวนแฝดพื้นฐานของพีทาโกรัสทั้งหมด รวมถึงจำนวนทวีคูณของประเภทใดประเภทหนึ่งด้วย คุณสามารถสร้างตารางแฝดพีทาโกรัสทั้งหมดสำหรับแต่ละครอบครัวได้

2.3. ปัญหาระนาบ

ลองดูปัญหาจากหนังสือเรียนเรขาคณิตต่างๆ และดูว่ารูปสามเหลี่ยมของพีทาโกรัสปรากฏในงานเหล่านี้บ่อยเพียงใด เราจะไม่พิจารณาปัญหาเล็กๆ น้อยๆ ในการค้นหาองค์ประกอบที่สามจากตารางของ Pythagorean triples แม้ว่าพวกเขาจะพบได้ในหนังสือเรียนก็ตาม เราจะแสดงวิธีลดวิธีแก้ปัญหาเมื่อข้อมูลไม่แสดงออกมา ตัวเลขธรรมชาติไปจนถึงแฝดสามพีทาโกรัส

ลองดูปัญหาจากหนังสือเรียนเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9 กัน

№ 000. ค้นหาด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ขา ก=, ข=.

สารละลาย. ลองคูณความยาวของขาด้วย 7 เราจะได้สององค์ประกอบจากสามเหลี่ยมพีทาโกรัส 3 และ 4 องค์ประกอบที่ขาดหายไปคือ 5 ซึ่งเราหารด้วย 7 คำตอบ

№ 000. ในสี่เหลี่ยม ABCD ให้หา BC ถ้า CD=1.5, AC=2.5

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

สารละลาย. แก้สามเหลี่ยมมุมฉาก ACD เราคูณความยาวด้วย 2 เราได้สององค์ประกอบจากสามพีทาโกรัส 3 และ 5 องค์ประกอบที่หายไปคือ 4 ซึ่งเราหารด้วย 2 คำตอบ: 2

เมื่อแก้เลขถัดไปให้ตรวจสอบอัตราส่วน เอ2+บี2=ค2เป็นทางเลือกโดยสมบูรณ์ การใช้ตัวเลขพีทาโกรัสและคุณสมบัติก็เพียงพอแล้ว

№ 000. ค้นหาว่ารูปสามเหลี่ยมมีมุมฉากหรือไม่หากด้านข้างแสดงเป็นตัวเลข:

ก) 6,8,10 (พีทาโกรัส ทริปเปิล 3,4.5) – ใช่

ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากต้องหารด้วย 4 ลงตัว คำตอบ: ไม่

c) 9,12,15 (พีทาโกรัสสาม 3,4.5) – ใช่;

d) 10,24,26 (พีทาโกรัสทริปเปิล 5,12.13) – ใช่

จำนวนพีทาโกรัสตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนเท่าของห้า คำตอบ: ไม่.

g) 15, 20, 25 (พีทาโกรัสสามเท่า 3,4.5) – ใช่

จากงาน 39 งานในส่วนนี้ (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) มีงาน 22 งานที่ต้องแก้ด้วยวาจาโดยใช้ตัวเลขพีทาโกรัสและความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของงานเหล่านั้น

พิจารณาภารกิจหมายเลข 000 (จากส่วน "งานเพิ่มเติม"):

จงหาพื้นที่ ABCD ของรูปสี่เหลี่ยม โดย AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

ในปัญหาคุณต้องตรวจสอบความสัมพันธ์ เอ2+บี2=ค2และพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่กำหนดประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ( ทฤษฎีบทสนทนา- และความรู้เกี่ยวกับแฝดพีทาโกรัส: 3, 4, 5 และ 5, 12, 13 ช่วยให้คุณประหยัดจากการคำนวณ

เรานำเสนอวิธีแก้ไขปัญหาต่างๆ จากหนังสือเรียนเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9

ปัญหา 156 (ซ) ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 9 และ 40 จงหาค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก

สารละลาย . ค่ามัธยฐานที่ลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่ง ทริปเปิลพีทาโกรัสคือ 9,40 และ 41 ดังนั้น ค่ามัธยฐานคือ 20.5

ปัญหา 156 (i) ด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน: ก= 13 ซม. ข =สูง 20 ซม hс = 12 ซม. หาฐาน กับ.

งาน ( การสอบ KIMS Unified State- ค้นหารัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน สามเหลี่ยมเฉียบพลัน ABC ถ้าส่วนสูง BH เท่ากับ 12 และอย่างที่ทราบกันดีว่า บาป A=,บาป С=ซ้าย">

สารละลาย.เราแก้สี่เหลี่ยม ∆ ASK: sin A=, BH=12 ดังนั้น AB=13,AK=5 (พีทาโกรัสสามเท่า 5,12,13) เราแก้สี่เหลี่ยม ∆ ВСH: ВH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (พีทาโกรัสสามเท่า 3,4,5)รัศมีหาได้จากสูตร r ===4

2.4. พีทาโกรัสมีค่าเป็นสามเท่าในวิชาตรีโกณมิติ

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทพีทาโกรัส: sin2a + cos2a = 1; (มี/ค) 2 + (ข/ค)2 =1 ดังนั้น ปัญหาตรีโกณมิติบางอย่างสามารถแก้ไขได้ง่ายด้วยวาจาโดยใช้แฝดพีทาโกรัส

ปัญหาที่คุณต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่เหลือโดยใช้ค่าที่กำหนดของฟังก์ชัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องยกกำลังสองและหารากที่สอง งานประเภทนี้ทั้งหมดในหนังสือเรียนพีชคณิตของโรงเรียน (10-11) โดย Mordkovich (หมายเลข 000- หมายเลข 000) สามารถแก้ไขได้ด้วยวาจาโดยรู้เพียงไม่กี่เท่าของพีทาโกรัส: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 - ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับสองงาน

เลขที่ 000ก) บาป t = 4/5, π/2< t < π.

สารละลาย- พีทาโกรัสสามเท่า: 3, 4, 5 ดังนั้น cos t = -3/5; สีแทน เสื้อ = -4/3,

หมายเลข 000ข) ตาล เสื้อ = 2.4, π< t < 3π/2.

สารละลาย.ทีก เสื้อ = 2.4=24/10=12/5 พีทาโกรัสสามเท่า 5,12,13 เมื่อคำนึงถึงสัญญาณ เราได้ sin t = -12/13, cos t = -5/13, cot t = 5/12

3. การทดสอบและการวัดวัสดุสำหรับการตรวจสอบ Unified State

ก) cos (อาร์คซิน 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) บาป (อาร์คคอส 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

ค) tg (อาร์คซิน 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

ง) CTG (อาร์คคอส 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–อาร์คซิน (–3/5))= 4/3 tg (π+อาร์คซิน 3/5)= 4/3 tg อาร์กซิน 3/5=4/3 3/4=1

f) ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน:

อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13 + อาร์คซิน 16/65 = π/2

สารละลาย. อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13 + อาร์คซิน 16/65 = π/2

อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13 = π/2 - อาร์คซิน 16/65

บาป (อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13) = บาป (arсcos 16/65)

บาป (อาร์คซิน 4/5) cos (อาร์คซิน 5/13) + cos (อาร์คซิน 4/5) บาป (อาร์คซิน 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. บทสรุป

ใน ปัญหาทางเรขาคณิตบ่อยครั้งที่คุณต้องแก้โจทย์สามเหลี่ยมมุมฉาก บางครั้งหลายครั้ง หลังจากวิเคราะห์งานแล้ว หนังสือเรียนของโรงเรียนและ สื่อการสอบ Unified Stateเราสามารถสรุปได้ว่าแฝดสามส่วนใหญ่จะใช้: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; ซึ่งง่ายต่อการจดจำ เมื่อแก้ปัญหาตรีโกณมิติบางอย่าง โซลูชันแบบคลาสสิกโดยใช้ สูตรตรีโกณมิติและการคำนวณจำนวนมากต้องใช้เวลาและความรู้เกี่ยวกับ Pythagorean triples จะกำจัดข้อผิดพลาดในการคำนวณและประหยัดเวลาในการแก้ปัญหาที่ยากขึ้นในการสอบ Unified State

บรรณานุกรม

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 2 สมุดปัญหาสำหรับ สถาบันการศึกษา/ [ฯลฯ]; แก้ไขโดย - – ฉบับที่ 8, ลบออก. – อ.: Mnemosyne, 2550. – 315 น. : ป่วย.

2. พีชคณิตเพเรลมาน – อ.: วีเอพี, 2537. – 200 น.

3. Roganovsky: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 7-9 ด้วยความลึก เรียนคณิตศาสตร์ในระดับการศึกษาทั่วไป โรงเรียน จากรัสเซีย ภาษา การฝึกอบรม - ฉบับที่ 3 – ม.; นาร์ Asveta, 2000. – 574 หน้า: ป่วย

4. คณิตศาสตร์: นักอ่านประวัติศาสตร์ วิธีการ การสอน / คอมพ์ - – อ.: สำนักพิมพ์ URAO, 2544. – 384 หน้า

5. นิตยสาร “คณิตศาสตร์ในโรงเรียน” ฉบับที่ 1, 2508

6. การทดสอบและการวัดวัสดุสำหรับการตรวจสอบ Unified State

7. เรขาคณิต, 7-9: หนังสือเรียน. สำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / ฯลฯ - ฉบับที่ 13 - ม.: การศึกษา, 2546. – 384 น. : ป่วย.

8. เรขาคณิต: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน/ ฯลฯ – ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 – อ.: การศึกษา, 2536, - 207 หน้า: ป่วย

พีชคณิตเพเรลมาน – อ.: วีเอพี, 2537. – 200 น.

นิตยสาร "คณิตศาสตร์ในโรงเรียน" ฉบับที่ 1 พ.ศ. 2508

เรขาคณิต 7-9: หนังสือเรียน. สำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / ฯลฯ - ฉบับที่ 13 - ม.: การศึกษา, 2546. – 384 น. : ป่วย.

Roganovsky: หนังสือเรียน. สำหรับเกรด 7-9 ด้วยความลึก เรียนคณิตศาสตร์ในระดับการศึกษาทั่วไป โรงเรียน จากรัสเซีย ภาษา การฝึกอบรม - ฉบับที่ 3 – ม.; นาร์ Asveta, 2000. – 574 หน้า: ป่วย

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 เวลา 2 ชั่วโมง ตอนที่ 2 หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา / [และอื่นๆ]; แก้ไขโดย - – ฉบับที่ 8, ลบออก. – อ.: Mnemosyne, 2550. – 315 น. : ป่วย น.18.

ทางการศึกษา: ศึกษาพีทาโกรัสทริปเปิ้ลจำนวนหนึ่ง พัฒนาอัลกอริธึมสำหรับการใช้งาน สถานการณ์ที่แตกต่างกัน, สร้างการเตือนความจำในการใช้งาน

ทางการศึกษา: การก่อตัวของทัศนคติที่มีสติต่อการเรียนรู้การพัฒนากิจกรรมทางปัญญาวัฒนธรรมของงานด้านการศึกษา

พัฒนาการ: การพัฒนาสัญชาตญาณทางเรขาคณิต พีชคณิต และตัวเลข ความฉลาด การสังเกต และความจำ

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง คำอธิบายของวัสดุใหม่

ครู: ความลึกลับของพลังอันน่าดึงดูดใจของแฝดสามพีทาโกรัสทำให้มนุษยชาติกังวลมานานแล้ว คุณสมบัติเฉพาะของแฝดพีทาโกรัสอธิบายได้ บทบาทพิเศษในธรรมชาติ ดนตรี คณิตศาสตร์ คาถาพีทาโกรัสหรือทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังคงอยู่ในสมองของผู้คนนับล้านหรือหลายพันล้านคน นี่เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานที่เด็กนักเรียนทุกคนถูกบังคับให้ท่องจำ แม้ว่าเด็กอายุ 10 ขวบจะสามารถเข้าใจทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ แต่ก็เป็นจุดเริ่มต้นที่สร้างแรงบันดาลใจให้กับปัญหาที่ผู้มีความคิดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ล้มเหลวในการแก้ปัญหา ซึ่งเป็นทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ พีทาโกรัสจากเกาะซามอส (ดู. ภาคผนวก 1 , สไลด์ 4) เป็นหนึ่งในบุคคลที่ทรงอิทธิพลและลึกลับที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ เนื่องจากไม่มีเรื่องราวชีวิตและผลงานของเขาที่เชื่อถือได้ ชีวิตของเขาก็ปกคลุมไปด้วยตำนานและตำนาน และนักประวัติศาสตร์อาจพบว่าเป็นการยากที่จะแยกข้อเท็จจริงออกจากนิยาย อย่างไรก็ตาม ไม่ต้องสงสัยเลยว่าพีทาโกรัสได้พัฒนาแนวคิดเรื่องตรรกะของตัวเลข และสำหรับเขาแล้วเราเป็นหนี้ยุคทองแรกของคณิตศาสตร์ ต้องขอบคุณอัจฉริยะของเขาที่ทำให้ตัวเลขหยุดใช้สำหรับการนับและการคำนวณเท่านั้น และได้รับการชื่นชมเป็นครั้งแรก พีทาโกรัสศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขบางประเภท ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขเหล่านี้กับตัวเลขที่ประกอบเป็นตัวเลข พีทาโกรัสตระหนักว่าตัวเลขมีอยู่อย่างเป็นอิสระจากโลกวัตถุ ดังนั้นการศึกษาตัวเลขจึงไม่ได้รับผลกระทบจากความรู้สึกที่ไม่ถูกต้องของเรา นั่นหมายความว่าพีทาโกรัสมีความสามารถในการค้นพบความจริงโดยไม่ขึ้นอยู่กับความคิดเห็นหรืออคติของใครก็ตาม ความจริงที่สมบูรณ์มากกว่าความรู้ใดๆ ก่อนหน้านี้ จากวรรณกรรมที่ศึกษาเกี่ยวกับค่าตรีโกณมิติของพีทาโกรัส เราจะสนใจความเป็นไปได้ของการใช้ค่าตรีโกณมิติของพีทาโกรัสในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ ดังนั้น เราจะตั้งเป้าหมาย: เพื่อศึกษาแฝดพีทาโกรัสจำนวนหนึ่ง พัฒนาอัลกอริทึมสำหรับการใช้งาน รวบรวมบันทึกเกี่ยวกับการใช้งาน และดำเนินการวิจัยเกี่ยวกับการใช้งานในสถานการณ์ต่างๆ

สามเหลี่ยม ( สไลด์ 14) ซึ่งด้านเท่ากับตัวเลขพีทาโกรัสจะมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ยิ่งกว่านั้นสามเหลี่ยมดังกล่าวคือเฮโรเนียนนั่นคือ ด้านหนึ่งและพื้นที่เป็นจำนวนเต็ม สิ่งที่ง่ายที่สุดคือสามเหลี่ยมอียิปต์ที่มีด้านข้าง (3, 4, 5)

มาสร้างชุดของพีทาโกรัสสามเท่าโดยการคูณตัวเลข (3, 4, 5) ด้วย 2, 3, ด้วย 4 เราจะได้ชุดของพีทาโกรัสสามเท่า เรียงลำดับจากน้อยไปมากของจำนวนสูงสุด และเลือกอันดั้งเดิม .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. ความคืบหน้าของบทเรียน

1. มาหมุนงานกัน:

1) การใช้ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน ค้นหาว่า

เป็นที่รู้กันว่า

2) ค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม? หากทราบว่า:

3) ระบบงานฝึกอบรมในหัวข้อ “สูตรบวก”

เมื่อรู้ว่า sin = 8/17, cos = 4/5 และเป็นมุมของควอเตอร์แรก ให้หาค่าของนิพจน์:

เมื่อรู้สิ่งนั้น และเป็นมุมของควอเตอร์ที่สอง sin = 4/5, cos = – 15/17 หา:

4) ระบบงานฝึกอบรมหัวข้อ “สูตรมุมคู่”

ก) ให้ sin = 5/13 เป็นมุมของควอเตอร์ที่สอง ค้นหา sin2, cos2, tan2, ctg2

b) เป็นที่รู้กันว่า tg? = 3/4, – มุมควอเตอร์ที่สาม ค้นหา sin2, cos2, tan2, ctg2

c) เป็นที่รู้กันว่า , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

ง) เป็นที่รู้กันว่า , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) ค้นหา tan( + ) ถ้ารู้ว่า cos = 3/5, cos = 7/25 โดยที่ และ คือมุมของควอเตอร์แรก

ฉ) ค้นหา , – มุมควอเตอร์ที่สาม

เราแก้ปัญหาด้วยวิธีดั้งเดิมโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน จากนั้นเราจะแก้ไขปัญหาเดียวกันด้วยวิธีที่มีเหตุผลมากขึ้น ในการทำเช่นนี้ เราใช้อัลกอริธึมในการแก้ปัญหาโดยใช้เลขสามเท่าของพีทาโกรัส เรามาสร้างคำแนะนำในการแก้ปัญหาโดยใช้เลขสามเท่าของพีทาโกรัสกันดีกว่า ในการทำเช่นนี้เราจำคำจำกัดความของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์มุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากวาดมันขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหาเราจัดเรียงสามเท่าของพีทาโกรัสที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างถูกต้อง ( ข้าว. 1- เราจดอัตราส่วนและจัดเรียงป้าย อัลกอริธึมได้รับการพัฒนา

รูปที่ 1

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา

ทบทวน (ศึกษา) เนื้อหาทางทฤษฎี

รู้จักพีทาโกรัสดั้งเดิมสามเท่าด้วยใจ และหากจำเป็น ก็สามารถสร้างอันใหม่ได้

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับจุดที่มีพิกัดตรรกยะ

รู้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สามารถวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ และขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา ให้วางรูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัสอย่างถูกต้องที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

รู้สัญญาณของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของพวกมัน ประสานงานเครื่องบิน.

ข้อกำหนดที่จำเป็น:

1. รู้ว่าสัญญาณไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์มีสัญญาณอะไรในแต่ละควอเตอร์ของระนาบพิกัด
2. รู้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
3. รู้และสามารถประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้
4. รู้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรบวก สูตรมุมคู่ สูตรอาร์กิวเมนต์ครึ่งหนึ่ง
5. รู้สูตรลด.

โดยคำนึงถึงสิ่งข้างต้น มากรอกตารางกัน ( ตารางที่ 1- ต้องกรอกตามคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ หรือใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับจุดที่มีพิกัดตรรกยะ ในกรณีนี้ จำเป็นต้องจำสัญญาณของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เสมอ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในระนาบพิกัด

ตารางที่ 1

		เลขสามตัว		บาป	เพราะ	ทีจี	กะรัต
		(3, 4, 5)	ฉันชั่วโมง
		(6, 8, 10)	ส่วนที่ 2			-	-
		(5, 12, 13)	ส่วนที่ 3	-	-
		(8, 15, 17)	ส่วนที่สี่	-		-	-
		(9, 40, 41)	ฉันชั่วโมง

สำหรับ งานที่ประสบความสำเร็จคุณสามารถใช้คำแนะนำในการใช้ Pythagorean triples

ตารางที่ 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. มาตัดสินใจร่วมกัน.

1) ปัญหา: ค้นหา cos, tg และ ctg ถ้า sin = 5/13 ถ้า - มุมของควอเตอร์ที่สอง