แนวคิดเรื่องรากที่ n ของจำนวนจริง บทเรียน “แนวคิดเรื่องรากที่ n ของจำนวนจริง รากที่สอง, รากที่สองทางคณิตศาสตร์

ขอแสดงความยินดี: วันนี้เราจะวิเคราะห์ราก - หนึ่งในหัวข้อที่น่าเหลือเชื่อที่สุดของเกรด 8 :)

หลายคนสับสนเกี่ยวกับรากเหง้าไม่ใช่เพราะมันซับซ้อน (ซึ่งซับซ้อน - คำจำกัดความสองสามข้อและคุณสมบัติอีกสองสามอย่าง) แต่เนื่องจากในตำราเรียนส่วนใหญ่รากถูกกำหนดผ่าน wilds ที่มีเพียงผู้เขียนหนังสือเรียนเท่านั้นที่สามารถทำได้ เข้าใจการเขียนลวก ๆ นี้ และถึงอย่างนั้นก็มีเพียงวิสกี้ดีๆ สักขวด :)

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะให้คำจำกัดความของรูทที่ถูกต้องและมีความสามารถมากที่สุด - สิ่งเดียวที่คุณต้องจำจริงๆ แล้วฉันจะอธิบายเท่านั้น: เหตุใดทั้งหมดนี้จึงมีความจำเป็นและจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

แต่ก่อนอื่นจำไว้อย่างหนึ่ง จุดสำคัญเกี่ยวกับผู้รวบรวมหนังสือเรียนหลายเล่มด้วยเหตุผลบางประการ "ลืม":

รากสามารถเป็นระดับคู่ได้ ($\sqrt(a)$ ที่เราชื่นชอบ เช่นเดียวกับ $\sqrt(a)$ ใดๆ และแม้แต่ $\sqrt(a)$) และดีกรีคี่ (ใดๆ $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ ฯลฯ) และคำจำกัดความของรากของดีกรีคี่นั้นค่อนข้างแตกต่างไปจากอันที่เป็นเลขคู่

อาจเป็นไปได้ว่า 95% ของข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับรากเหง้านั้นซ่อนอยู่ใน "ค่อนข้างแตกต่าง" นี้ ดังนั้นเรามาทำความเข้าใจคำศัพท์กันให้ชัดเจน:

คำนิยาม. แม้กระทั่งราก nจากจำนวน $a$ เป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ ไม่เป็นลบตัวเลข $b$ โดยที่ $((b)^(n))=a$ และรากของดีกรีคี่จากจำนวนเดียวกัน $a$ มักจะเป็นตัวเลข $b$ ใดๆ ที่มีความเท่าเทียมกันเท่ากัน: $((b)^(n))=a$

ไม่ว่าในกรณีใด รูทจะแสดงดังนี้:

\(ก)\]

จำนวน $n$ ในสัญลักษณ์ดังกล่าวเรียกว่าเลขชี้กำลังราก และจำนวน $a$ เรียกว่านิพจน์ราก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ $n=2$ เราได้รับ "รายการโปรด" ของเรา รากที่สอง(ยังไงก็ตาม นี่คือรากของดีกรีคู่) และสำหรับ $n=3$ - ลูกบาศก์ (ดีกรีคี่) ซึ่งมักพบในปัญหาและสมการด้วย

ตัวอย่าง. ตัวอย่างคลาสสิก รากที่สอง:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(จัดแนว)\]

อย่างไรก็ตาม $\sqrt(0)=0$ และ $\sqrt(1)=1$ นี่ค่อนข้างสมเหตุสมผลเนื่องจาก $((0)^(2))=0$ และ $((1)^(2))=1$

รากลูกบาศก์ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน - อย่ากลัวเลย:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(จัดแนว)\]

"ตัวอย่างที่แปลกใหม่" สองสามอย่าง:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(จัดแนว)\]

หากคุณไม่เข้าใจความแตกต่างระหว่างระดับคู่และระดับคี่ ให้อ่านคำจำกัดความอีกครั้ง มันสำคัญมาก!

ในระหว่างนี้ เราจะพิจารณาคุณลักษณะที่ไม่พึงประสงค์อย่างหนึ่งของราก เนื่องจากเราจำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความที่แยกจากกันสำหรับเลขชี้กำลังคู่และเลขคี่

ทำไมเราถึงต้องการรากเลย?

หลังจากอ่านคำจำกัดความแล้ว นักเรียนหลายคนจะถามว่า “นักคณิตศาสตร์สูบบุหรี่อะไรเมื่อคิดเรื่องนี้ขึ้นมา” และจริงๆ แล้ว: ทำไมเราถึงต้องการรากเหล่านี้ทั้งหมด?

เพื่อตอบคำถามนี้ให้ย้อนกลับไปสักครู่เพื่อ ระดับประถมศึกษา. ข้อควรจำ: ในสมัยที่ห่างไกล เมื่อต้นไม้เขียวขจีและเกี๊ยวก็อร่อยมากขึ้น ความกังวลหลักของเราคือการคูณตัวเลขให้ถูกต้อง บางสิ่งบางอย่างในจิตวิญญาณของ "ห้าต่อห้า - ยี่สิบห้า" นั่นคือทั้งหมด แต่ท้ายที่สุดแล้ว คุณสามารถคูณตัวเลขที่ไม่ใช่เป็นคู่ได้ แต่คูณด้วยแฝด สี่ และโดยทั่วไปคือทั้งเซต:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่ประเด็น เคล็ดลับนั้นแตกต่างออกไป นักคณิตศาสตร์เป็นคนเกียจคร้าน ดังนั้นพวกเขาจึงต้องเขียนการคูณสิบห้าดังนี้:

ดังนั้นพวกเขาจึงได้รับปริญญา ทำไมไม่เขียนจำนวนปัจจัยเป็นตัวยกแทนสตริงยาวล่ะ แบบนี้:

สะดวกมาก! การคำนวณทั้งหมดจะลดลงหลายครั้งและคุณไม่สามารถใช้สมุดบันทึกกระดาษหลายแผ่นเพื่อเขียนได้ 5 183 . รายการดังกล่าวเรียกว่าระดับของตัวเลขซึ่งพบคุณสมบัติมากมายในนั้น แต่ความสุขกลับกลายเป็นว่ามีอายุสั้น

หลังจากการดื่มเหล้าครั้งใหญ่ซึ่งจัดขึ้นเกี่ยวกับ "การค้นพบ" องศา จู่ ๆ นักคณิตศาสตร์บางคนที่ขว้างด้วยก้อนหินก็ถามขึ้นมาว่า "จะเป็นอย่างไรถ้าเรารู้ระดับของตัวเลข แต่เราไม่รู้ตัวเลขนั้นเอง" อันที่จริง หากเรารู้ว่าจำนวน $b$ จำนวนหนึ่งให้ 243 ยกกำลังที่ 5 แล้วเราจะเดาได้อย่างไรว่าจำนวน $b$ นั้นเท่ากับเท่าใด

ปัญหานี้กลายเป็นปัญหาระดับโลกมากกว่าที่เห็นในครั้งแรก เพราะปรากฎว่าสำหรับองศา "สำเร็จรูป" ส่วนใหญ่ไม่มีตัวเลข "เริ่มต้น" ดังกล่าว ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\ลูกศรขวา b=3\cdot 3\cdot 3\ลูกศรขวา b=3; \\ & ((b)^(3))=64\ลูกศรขวา b=4\cdot 4\cdot 4\ลูกศรขวา b=4 \\ \end(จัดแนว)\]

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า $((b)^(3))=50$? ปรากฎว่าคุณต้องหาตัวเลขจำนวนหนึ่ง ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเอง 3 ครั้ง ก็จะได้ 50 แต่ตัวเลขนี้คืออะไร? มากกว่า 3 อย่างชัดเจน เพราะ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. กล่าวคือ ตัวเลขนี้อยู่ระหว่างสามถึงสี่ แต่จะเท่ากับเท่าใด - มะเดื่อ คุณจะเข้าใจ

นี่คือเหตุผลว่าทำไมนักคณิตศาสตร์ถึงมีรากที่ $n$-th นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงมีการนำไอคอนรูปราก $\sqrt(*)$ มาใช้ เพื่อแสดงถึงตัวเลขเดียวกัน $b$ ซึ่งจะให้ค่าที่ทราบก่อนหน้านี้แก่เราตามกำลังที่ระบุ

\[\sqrt[n](a)=b\ลูกศรขวา ((b)^(n))=a\]

ฉันไม่โต้แย้ง: บ่อยครั้งที่รากเหล่านี้ได้รับการพิจารณาอย่างง่ายดาย - เราเห็นตัวอย่างหลายประการข้างต้น แต่ในกรณีส่วนใหญ่ หากคุณคิดถึงตัวเลขใดๆ ก็ตาม แล้วพยายามแยกรากของตัวเลขนั้นออกไป คุณจะตกอยู่ในสถานการณ์ที่เลวร้าย

มีอะไรอยู่! แม้แต่ $\sqrt(2)$ ที่ง่ายที่สุดและคุ้นเคยที่สุดก็ไม่สามารถแสดงในรูปแบบปกติของเราได้ - เป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน และถ้าคุณใส่ตัวเลขนี้ลงในเครื่องคิดเลข คุณจะเห็นสิ่งนี้:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

อย่างที่คุณเห็น หลังจากจุดทศนิยมจะมีลำดับตัวเลขที่ไม่สิ้นสุดซึ่งไม่เป็นไปตามตรรกะใดๆ แน่นอนว่าคุณสามารถปัดเศษตัวเลขนี้เพื่อเปรียบเทียบกับตัวเลขอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น:

\[\sqrt(2)=1.4142...\ประมาณ 1.4 \lt 1.5\]

หรือนี่คืออีกตัวอย่างหนึ่ง:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ประมาณ 1.7 \gt 1.5\]

แต่การปัดเศษทั้งหมดนี้ ประการแรก ค่อนข้างหยาบ และประการที่สอง คุณต้องสามารถทำงานกับค่าโดยประมาณได้ ไม่เช่นนั้นคุณจะพบข้อผิดพลาดที่ไม่ชัดเจนมากมาย (โดยวิธีการนี้ ทักษะในการเปรียบเทียบและการปัดเศษจะต้องได้รับการตรวจสอบในการสอบโปรไฟล์)

ดังนั้น ในทางคณิตศาสตร์แบบจริงจัง ไม่มีใครสามารถทำได้หากไม่มีราก - พวกมันเป็นตัวแทนที่เท่ากันของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด $\mathbb(R)$ เช่นเดียวกับเศษส่วนและจำนวนเต็มที่เรารู้จักมานานแล้ว

ความเป็นไปไม่ได้ที่จะแทนรากเป็นเศษส่วนของรูปแบบ $\frac(p)(q)$ หมายความว่า ให้รากไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ และไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำ ยกเว้นด้วยความช่วยเหลือของรากหรือโครงสร้างอื่นๆ ที่ออกแบบมาเพื่อสิ่งนี้โดยเฉพาะ (ลอการิทึม องศา ลิมิต ฯลฯ) แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

ลองพิจารณาตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ที่หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้ว จำนวนอตรรกยะจะยังคงอยู่ในคำตอบ

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ประมาณ 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ประมาณ -1,2599... \\ \end(align)\]

โดยธรรมชาติแล้วการปรากฏตัวของรูทนั้นแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเดาว่าตัวเลขใดจะอยู่หลังจุดทศนิยม อย่างไรก็ตาม คุณสามารถคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลขได้ แต่แม้แต่เครื่องคำนวณวันที่ที่ทันสมัยที่สุดก็ยังให้ค่าเพียงสองสามหลักแรกของจำนวนอตรรกยะเท่านั้น ดังนั้นจึงถูกต้องกว่ามากถ้าเขียนคำตอบเป็น $\sqrt(5)$ และ $\sqrt(-2)$

นั่นคือสิ่งที่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อ เพื่อให้ง่ายต่อการเขียนคำตอบ

เหตุใดจึงต้องมีคำจำกัดความสองคำ?

ผู้อ่านที่สนใจอาจสังเกตเห็นแล้วว่ารากที่สองทั้งหมดที่ระบุในตัวอย่างนั้นนำมาจากจำนวนบวก ก็เข้า. วิธีสุดท้ายจากศูนย์ แต่รากที่สามจะถูกแยกออกจากจำนวนใด ๆ อย่างใจเย็น - แม้จะเป็นบวกหรือลบก็ตาม

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? ดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(2))$:

กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสองให้รากสองประการ: บวกและลบ

ลองคำนวณ $\sqrt(4)$ โดยใช้กราฟนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เส้นแนวนอน $y=4$ (ทำเครื่องหมายด้วยสีแดง) จะถูกวาดบนกราฟ ซึ่งตัดพาราโบลาที่จุดสองจุด: $((x)_(1))=2$ และ $((x) _(2)) =-2$. นี่ค่อนข้างสมเหตุสมผลเนื่องจาก

ทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลขแรก - เป็นบวกดังนั้นจึงเป็นราก:

แต่แล้วจะทำอย่างไรกับประเด็นที่สอง? 4 มีสองรากพร้อมกันหรือไม่? ท้ายที่สุด ถ้าเรายกกำลังสองจำนวน −2 เราก็จะได้ 4 ด้วย ทำไมไม่เขียน $\sqrt(4)=-2$ ล่ะ? แล้วทำไมครูถึงมองบันทึกแบบนี้เหมือนอยากกินคุณ :)

นั่นคือปัญหาที่ว่าถ้าคุณไม่บังคับใดๆ เงื่อนไขเพิ่มเติมจากนั้นทั้งสี่จะมีรากที่สองสองอัน - บวกและลบ และจำนวนบวกใดๆ ก็จะมีสองตัวด้วย แต่จำนวนลบจะไม่มีรากเลย - สามารถเห็นได้จากกราฟเดียวกันเนื่องจากพาราโบลาไม่เคยตกต่ำกว่าแกน ย, เช่น. ไม่ใช้ค่าลบ

ปัญหาที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นกับรากทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่:

1. พูดอย่างเคร่งครัด แต่ละจำนวนบวกจะมีรากสองตัวที่มีเลขชี้กำลังคู่ $n$;
2. จากจำนวนลบ รากที่มีเลขคู่ $n$ จะไม่ถูกแยกออกมาเลย

นั่นคือเหตุผลที่คำจำกัดความของรากคู่ $n$ กำหนดไว้โดยเฉพาะว่าคำตอบต้องเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ นี่คือวิธีที่เรากำจัดความคลุมเครือ

แต่สำหรับ $n$ แปลก ๆ ก็ไม่มีปัญหาดังกล่าว หากต้องการดูสิ่งนี้ เรามาดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(3))$:

ลูกบาศก์พาราโบลาจะใช้ค่าใดก็ได้ ดังนั้นรากที่สามจึงสามารถนำมาจากจำนวนใดก็ได้

จากกราฟนี้สามารถสรุปได้สองประการ:

1. กิ่งก้านของลูกบาศก์พาราโบลานั้นแตกต่างจากแบบปกติตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง - ทั้งขึ้นและลง ดังนั้น ไม่ว่าเราจะวาดเส้นแนวนอนที่ความสูงใดก็ตาม เส้นนี้จะตัดกับกราฟของเราอย่างแน่นอน ดังนั้นจึงสามารถหาคิวบ์รูทจากจำนวนเท่าใดก็ได้เสมอ
2. นอกจากนี้ จุดตัดดังกล่าวจะไม่ซ้ำกันเสมอ ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องคิดว่าหมายเลขใดที่จะพิจารณารากที่ "ถูกต้อง" และหมายเลขใดที่จะให้คะแนน นั่นคือเหตุผลว่าทำไมคำจำกัดความของรากสำหรับระดับคี่จึงง่ายกว่าสำหรับระดับคู่ (ไม่มีข้อกำหนดที่ไม่เป็นค่าลบ)

น่าเสียดายที่เรื่องง่ายๆ เหล่านี้ไม่ได้อธิบายไว้ในหนังสือเรียนส่วนใหญ่ ในทางกลับกัน สมองของเราเริ่มทะยานขึ้นด้วยรากทางคณิตศาสตร์ทุกประเภทและคุณสมบัติของมัน

ใช่ฉันไม่เถียง: รากเลขคณิตคืออะไร - คุณต้องรู้ด้วย และฉันจะพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดในบทเรียนแยกต่างหาก วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องนี้ด้วย เพราะหากไม่มีมัน การไตร่ตรองทั้งหมดเกี่ยวกับรากของการคูณที่ $n$-th จะไม่สมบูรณ์

แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจคำจำกัดความที่ฉันให้ไว้ข้างต้นให้ชัดเจน มิฉะนั้นเนื่องจากคำศัพท์มากมาย ความยุ่งเหยิงดังกล่าวจะเริ่มต้นขึ้นในหัวของคุณซึ่งสุดท้ายแล้วคุณจะไม่เข้าใจอะไรเลย

และสิ่งที่คุณต้องเข้าใจคือความแตกต่างระหว่างเลขคู่และเลขคี่ ดังนั้นเราจะรวบรวมทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับรากอีกครั้ง:

1. รากคู่นั้นมีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ และตัวมันเองจะเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอ สำหรับจำนวนลบ รากดังกล่าวไม่ได้ถูกกำหนดไว้
2. แต่รากของระดับคี่นั้นมาจากจำนวนใดๆ ก็ตามและตัวมันเองสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ สำหรับจำนวนบวกก็จะเป็นค่าบวก และสำหรับจำนวนลบ ดังที่ตัวหมวกบอกเป็นนัย มันเป็นค่าลบ

มันยากไหม? ไม่ มันไม่ใช่เรื่องยาก ก็เป็นที่ชัดเจน? ใช่แล้ว ชัดเจน! ดังนั้นตอนนี้เราจะมาฝึกการคำนวณกันสักหน่อย

คุณสมบัติพื้นฐานและข้อจำกัด

รากมีคุณสมบัติและข้อจำกัดแปลกๆ มากมาย ซึ่งจะอธิบายเพิ่มเติมในภายหลัง บทเรียนแยกต่างหาก. ดังนั้นตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะ "ชิป" ที่สำคัญที่สุดซึ่งใช้กับรูทที่มีเลขชี้กำลังเลขคู่เท่านั้น เราเขียนคุณสมบัตินี้ในรูปแบบของสูตร:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ซ้าย| x\ขวา|\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเรายกจำนวนขึ้นเป็นกำลังคู่ แล้วแยกรากที่มีระดับเดียวกันออกจากค่านี้ เราจะไม่ได้จำนวนเดิม แต่เป็นโมดูลัสของมัน นี่เป็นทฤษฎีบทง่ายๆ ที่พิสูจน์ได้ง่าย (เพียงแค่พิจารณา $x$ ที่ไม่ใช่ค่าลบแยกกัน แล้วแยกพิจารณาค่าลบ) ครูก็พูดถึงเรื่องนี้อยู่เรื่อยๆ เขาก็ให้หมดเลย หนังสือเรียนของโรงเรียน. แต่ทันทีที่ถึงเวลาแก้สมการอตรรกยะ (เช่น สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์) นักเรียนก็ลืมสูตรนี้ไปพร้อมกัน

เพื่อให้เข้าใจปัญหาโดยละเอียด เราจะลืมสูตรทั้งหมดสักครู่แล้วลองนับตัวเลขสองตัวข้างหน้า:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

นี้เป็นอย่างมาก ตัวอย่างง่ายๆ. ตัวอย่างแรกจะได้รับการแก้ไขโดยคนส่วนใหญ่ แต่ตัวอย่างที่สองจะได้รับการแก้ไขโดยหลายๆ คน หากต้องการแก้ไขเรื่องไร้สาระโดยไม่มีปัญหา ให้พิจารณาขั้นตอนต่อไปนี้เสมอ:

1. ขั้นแรก ให้ยกจำนวนขึ้นเป็นยกกำลังที่สี่ มันเป็นเรื่องง่าย จะได้รับหมายเลขใหม่ซึ่งสามารถพบได้ในตารางสูตรคูณ
2. และตอนนี้จากหมายเลขใหม่นี้จำเป็นต้องแยกรากของระดับที่สี่ออก เหล่านั้น. ไม่มีการ "ลดลง" ของรากและองศา - นี่เป็นการกระทำตามลำดับ

มาจัดการกับนิพจน์แรก: $\sqrt(((3)^(4)))$ แน่นอนว่าคุณต้องคำนวณนิพจน์ใต้รูทก่อน:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

จากนั้นเราก็แยกรากที่สี่ของหมายเลข 81:

ทีนี้ลองทำแบบเดียวกันกับนิพจน์ที่สองกัน ขั้นแรก เรายกเลข −3 ขึ้นเป็นกำลังที่สี่ ซึ่งเราต้องคูณมันด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ซ้าย(-3 \right)=81\]

เราได้จำนวนบวกเนื่องจากจำนวน minuses ทั้งหมดของผลิตภัณฑ์คือ 4 ชิ้นและพวกมันทั้งหมดจะหักล้างกัน (หลังจากนั้นการลบด้วยการลบจะให้บวก) จากนั้นให้แตกรากอีกครั้ง:

โดยหลักการแล้ว ไม่สามารถเขียนบรรทัดนี้ได้ เนื่องจากไม่ใช่เรื่องง่ายที่คำตอบจะเหมือนกัน เหล่านั้น. รากคู่ของพลังคู่เดียวกัน "เผา" minuses และในแง่นี้ผลลัพธ์ก็แยกไม่ออกจากโมดูลปกติ:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\ขวา|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \ขวา|=3. \\ \end(จัดแนว)\]

การคำนวณเหล่านี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของรากของดีกรีคู่: ผลลัพธ์จะไม่เป็นลบเสมอ และภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ก็ไม่มีเสมอไปเช่นกัน จำนวนลบ. มิฉะนั้น จะไม่ได้กำหนดรูทไว้

หมายเหตุเกี่ยวกับลำดับการดำเนินงาน

1. สัญกรณ์ $\sqrt(((a)^(2)))$ หมายความว่าเราต้องยกกำลังสองจำนวน $a$ ก่อน แล้วจึงหารากที่สองของค่าผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงมั่นใจได้ว่าจำนวนที่ไม่เป็นลบจะอยู่ใต้เครื่องหมายรากเสมอ เนื่องจาก $((a)^(2))\ge 0$ อยู่แล้ว
2. แต่ในทางกลับกัน สัญกรณ์ $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ หมายความว่าเราต้องแยกรากออกจากจำนวน $a$ จำนวนหนึ่งก่อน จากนั้นจึงยกกำลังสองผลลัพธ์ ดังนั้นตัวเลข $a$ ไม่ว่าในกรณีใดจะเป็นค่าลบได้ - นี่เป็นข้อกำหนดบังคับที่ฝังอยู่ในคำจำกัดความ

ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใด เราไม่ควรลดรากและองศาลงอย่างไร้ความคิด ดังนั้นจึงควร "ทำให้" สำนวนดั้งเดิมง่ายขึ้น เพราะถ้ามีจำนวนลบอยู่ใต้ราก และเลขชี้กำลังของมันคือเลขคู่ เราจะเกิดปัญหามากมาย

อย่างไรก็ตาม ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้คู่เท่านั้น

การลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรูท

โดยธรรมชาติแล้วรากที่มีเลขชี้กำลังคี่ก็มีคุณสมบัติของตัวเองเช่นกัน ซึ่งโดยหลักการแล้วไม่มีอยู่ในเลขคู่ กล่าวคือ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

กล่าวโดยสรุป คุณสามารถลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรากของดีกรีคี่ได้ นี่เป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากที่ช่วยให้คุณ "โยน" ข้อเสียทั้งหมดออกไป:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6 \end(จัดแนว)\]

คุณสมบัติอย่างง่ายนี้ทำให้การคำนวณหลายอย่างง่ายขึ้นอย่างมาก ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องกังวล: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการแสดงออกเชิงลบอยู่ใต้รูทและระดับที่รูทกลายเป็นคู่? ก็เพียงพอแล้วที่จะ "โยน" minuses ทั้งหมดที่อยู่นอกรากหลังจากนั้นก็สามารถคูณซึ่งกันและกันแบ่งและทำสิ่งที่น่าสงสัยมากมายโดยทั่วไปซึ่งในกรณีของราก "คลาสสิก" รับประกันว่าจะนำเราไปสู่ข้อผิดพลาด .

และนี่คือคำจำกัดความอีกประการหนึ่งที่เข้ามาในฉาก - ซึ่งเป็นคำที่โรงเรียนส่วนใหญ่เริ่มศึกษาการแสดงออกที่ไม่มีเหตุผล และหากปราศจากเหตุผลของเราก็จะไม่สมบูรณ์ พบปะ!

รากเลขคณิต

สมมติว่ามีเพียงจำนวนบวกเท่านั้นหรือในกรณีที่รุนแรง ศูนย์สามารถอยู่ใต้เครื่องหมายรากได้ มาให้คะแนนตัวบ่งชี้คู่ / คี่ ให้คะแนนตามคำจำกัดความทั้งหมดที่ให้ไว้ข้างต้น - เราจะใช้ได้กับตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แล้วไงล่ะ?

จากนั้นเราจะได้รากทางคณิตศาสตร์ - มันตัดกันบางส่วนกับคำจำกัดความ "มาตรฐาน" ของเรา แต่ก็ยังแตกต่างจากคำจำกัดความเหล่านั้น

คำนิยาม. รากเลขคณิตของระดับ $n$th ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ $a$ คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ $b$ โดยที่ $((b)^(n))=a$

อย่างที่คุณเห็น เราไม่สนใจเรื่องความเท่าเทียมอีกต่อไป กลับมีข้อจำกัดใหม่ปรากฏขึ้น: การแสดงออกที่รุนแรงตอนนี้ไม่เป็นลบเสมอ และรากเองก็ไม่เป็นลบเช่นกัน

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่ารากเลขคณิตแตกต่างจากรากปกติอย่างไร ลองดูกราฟของสแควร์และพาราโบลาลูกบาศก์ที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว:

พื้นที่ค้นหา รากเลขคณิต- ตัวเลขที่ไม่เป็นลบ

อย่างที่คุณเห็น จากนี้ไป เราจะสนใจเฉพาะกราฟที่อยู่ในไตรมาสพิกัดแรกเท่านั้น โดยที่พิกัด $x$ และ $y$ เป็นบวก (หรืออย่างน้อยเป็นศูนย์) คุณไม่จำเป็นต้องดูตัวบ่งชี้อีกต่อไปเพื่อทำความเข้าใจว่าเรามีสิทธิ์ในการรูทจำนวนลบหรือไม่ เพราะจำนวนติดลบไม่ถือเป็นหลักการอีกต่อไป

คุณอาจถามว่า: “ทำไมเราจึงต้องมีคำจำกัดความตอนเช่นนี้?” หรือ: "เหตุใดเราจึงใช้คำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ข้างต้นไม่ได้"

ฉันจะให้ทรัพย์สินเพียงอันเดียวเพราะเหตุนี้คำจำกัดความใหม่จึงมีความเหมาะสม ตัวอย่างเช่น กฎการยกกำลัง:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

โปรดทราบ: เราสามารถเพิ่มนิพจน์รากให้เป็นกำลังใดก็ได้และในเวลาเดียวกันก็คูณเลขชี้กำลังรูตด้วยกำลังเดียวกัน - และผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกัน! นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

แล้วมีอะไรผิดปกติล่ะ? ทำไมเมื่อก่อนเราทำไม่ได้? นี่คือเหตุผล ลองพิจารณานิพจน์ง่ายๆ: $\sqrt(-2)$ เป็นตัวเลขที่ค่อนข้างปกติในความหมายดั้งเดิมของเรา แต่ยอมรับไม่ได้อย่างแน่นอนจากมุมมองของรากเลขคณิต ลองแปลงมันดู:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีแรก เราเอาเครื่องหมายลบออกจากใต้ราก (เรามีสิทธิ์ทุกประการเพราะตัวบ่งชี้เป็นเลขคี่) และอย่างที่สอง เราใช้สูตรข้างต้น เหล่านั้น. จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ทุกอย่างเป็นไปตามกฎเกณฑ์

ว้าย! จำนวนเดียวกันจะเป็นทั้งบวกและลบได้อย่างไร? ไม่มีทาง. เพียงแต่ว่าสูตรการยกกำลังซึ่งใช้ได้ผลดีกับจำนวนบวกและศูนย์นั้น เริ่มให้ผลแบบนอกรีตในกรณีของจำนวนลบ

ที่นี่เพื่อกำจัดความคลุมเครือพวกเขาจึงคิดรากเลขคณิตขึ้นมา มีไว้สำหรับพวกเขาโดยเฉพาะบทเรียนใหญ่แยกต่างหากโดยเราจะพิจารณารายละเอียดคุณสมบัติทั้งหมดของพวกเขาอย่างละเอียด ดังนั้นตอนนี้เราจะไม่อยู่กับพวกเขา - บทเรียนกลับกลายเป็นว่ายาวเกินไป

รากพีชคณิต: สำหรับผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม

ฉันคิดมานานแล้วว่าจะทำหัวข้อนี้ในย่อหน้าแยกหรือไม่ ในที่สุดฉันก็ตัดสินใจออกจากที่นี่ วัสดุนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเข้าใจรากฐานที่ดียิ่งขึ้น - ไม่ได้อยู่ในระดับ "โรงเรียน" โดยเฉลี่ยอีกต่อไป แต่อยู่ในระดับที่ใกล้เคียงกับโอลิมปิก

ดังนั้น: นอกเหนือจากคำจำกัดความ "คลาสสิก" ของรากของระดับ $n$-th จากตัวเลขและการหารที่เกี่ยวข้องเป็นตัวบ่งชี้คู่และคี่แล้ว ยังมีคำจำกัดความ "ผู้ใหญ่" มากกว่าซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันและ รายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ เลย สิ่งนี้เรียกว่ารากพีชคณิต

คำนิยาม. รากที่ $n$-th เชิงพีชคณิตของ $a$ ใดๆ คือเซตของตัวเลขทั้งหมด $b$ โดยที่ $((b)^(n))=a$ ไม่มีการกำหนดที่ชัดเจนสำหรับรากดังกล่าว ดังนั้นเพียงใส่เส้นประไว้ด้านบน:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

ความแตกต่างพื้นฐานจากคำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ตอนต้นบทเรียนก็คือ รากพีชคณิตไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เป็นเซต และเนื่องจากเรากำลังทำงานกับจำนวนจริง ชุดนี้จึงมีเพียงสามประเภทเท่านั้น:

1. ชุดเปล่า. เกิดขึ้นเมื่อจำเป็นต้องค้นหารากพีชคณิตของระดับคู่จากจำนวนลบ
2. ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว รากของเลขยกกำลังคี่ทั้งหมด เช่นเดียวกับรากของเลขยกกำลังคู่จากศูนย์ อยู่ในหมวดหมู่นี้
3. ในที่สุด เซตนี้สามารถมีตัวเลขสองตัวได้ - $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))=-((x)_(1))$ เดียวกันกับที่เราเห็นบน ฟังก์ชันกำลังสองของแผนภูมิ ดังนั้นการจัดตำแหน่งดังกล่าวจึงเป็นไปได้เฉพาะเมื่อแยกรากของระดับคู่ออกจากจำนวนบวกเท่านั้น

กรณีสุดท้ายสมควรได้รับการพิจารณาโดยละเอียดยิ่งขึ้น ลองนับตัวอย่างสักสองสามตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่าง

ตัวอย่าง. คำนวณนิพจน์:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

สารละลาย. สำนวนแรกนั้นง่าย:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

มันคือตัวเลขสองตัวที่เป็นส่วนหนึ่งของเซต เพราะแต่ละอันกำลังสองให้สี่

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

ตรงนี้เราเห็นชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว นี่เป็นตรรกะที่ค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจากเลขชี้กำลังของรากเป็นเลขคี่

สุดท้ายนี้ สำนวนสุดท้าย:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

เราได้ชุดเปล่า. เพราะไม่มีเลย เบอร์จริงซึ่งเมื่อยกกำลังที่สี่ (นั่นคือ คู่!) จะทำให้เรามีเลขลบ −16

หมายเหตุสุดท้าย โปรดทราบ: ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันสังเกตเห็นทุกที่ว่าเรากำลังทำงานกับจำนวนจริง เพราะมีมากกว่านั้น จำนวนเชิงซ้อน- มีความเป็นไปได้ที่จะคำนวณ $\sqrt(-16)$ และอื่นๆ อีกมากมาย

อย่างไรก็ตามในยุคปัจจุบัน หลักสูตรของโรงเรียนในทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขเชิงซ้อนแทบไม่เคยพบเลย หนังสือเหล่านี้ถูกละเว้นจากหนังสือเรียนส่วนใหญ่เนื่องจากเจ้าหน้าที่ของเราถือว่าหัวข้อนี้ "ยากเกินกว่าจะเข้าใจ"

นั่นคือทั้งหมดที่ ในบทต่อไป เราจะมาดูคุณสมบัติหลักทั้งหมดของรากและเรียนรู้วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว :)

เราแก้สมการแบบกราฟิก (x กำลังหกเท่ากับหนึ่ง) ด้วยเหตุนี้เราจึงสร้างกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ในระบบพิกัดเดียว: (x เท่ากับ x กำลังหก)

ดังที่เราเห็น พวกมันตัดกันที่จุด A และ C สองจุด โดยที่จุดตัดของจุดตัดคือรากของสมการ นั่นคือ .(รูปที่ 2)

จากการแก้สมการสองสมการ เราจะเห็นว่าแต่ละสมการมีสองราก และตัวเลขเหล่านี้ตรงกันข้ามกัน

ในสมการทั้งสองนี้ รากหาได้ค่อนข้างง่าย

พิจารณาสมการที่ 7 (x กำลังหกคือเจ็ด) ( รูปที่ 3)

เราสร้างกราฟของฟังก์ชันและ y \u003d 7 ในระบบพิกัดเดียวกัน

ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าสมการมีสองราก x หนึ่งและ x สอง แต่ไม่สามารถระบุค่าที่แน่นอนได้ แต่มีค่าประมาณเท่านั้น: ตั้งอยู่บนแกน x รากหนึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของจุด -1 เล็กน้อย และอันที่สองอยู่ทางด้านขวาของจุดที่ 1 เล็กน้อย

เพื่อที่จะแก้ไขสถานการณ์ที่คล้ายกัน นักคณิตศาสตร์ได้แนะนำ ตัวละครใหม่, รากที่หก และด้วยสัญลักษณ์นี้ราก สมการที่กำหนดสามารถเขียนได้ดังนี้: (x หนึ่งคือรากที่หกของเจ็ด และ x สองคือลบรากที่หกของเจ็ด)

พิจารณาการแก้สมการด้วยดีกรีคี่

และ (รูปที่ 4)

ดังที่เห็นได้จากภาพวาด แต่ละสมการจะมีรากเดียว แต่ในสมการแรก รากคือจำนวนเต็มสอง และสมการที่สองเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุค่าที่แน่นอน ดังนั้น เราจะแนะนำสัญลักษณ์ของมัน (รากที่ห้าของหก)

จากตัวอย่างที่พิจารณา เราสรุปและให้คำจำกัดความ:

1. สมการ (x ยกกำลัง en เท่ากับ a) โดยที่ n (en) เป็นธรรมชาติใดๆ เลขคู่และมีสองราก:

(รากที่ n ของ a และลบรากที่ n ของ a)

2. สมการ (x ยกกำลัง en เท่ากับ a) โดยที่ n (en) คือเลขคี่ธรรมชาติใดๆ และ (a มากกว่าศูนย์) มีหนึ่งราก: (รากของดีกรีที่ n จาก a)

3. สมการ (x ยกกำลัง en เป็นศูนย์) มีรากเดียว x=0 (x เป็นศูนย์)

คำนิยาม: รากของระดับที่ n (n) ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a (n = 2,3,34,5 ...) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งเมื่อยกกำลัง n (en) ผลลัพธ์ ในหมายเลขก

หมายเลขนี้ย่อมาจาก (รากของดีกรีที่ n จากจำนวน a) ตัวเลข a เรียกว่าหมายเลขราก และหมายเลข n (en) คือตัวบ่งชี้ราก

(คุณศึกษากรณีพิเศษในพีชคณิตของเกรด 8 เมื่อ n = 2: พวกเขาเขียน (รากที่สองของ a))

คุณต้องจำไว้ว่าถ้า

(ถ้า a เป็นจำนวนไม่เป็นลบ แล้ว n คือ จำนวนธรรมชาติมากกว่าหนึ่ง ดังนั้นรากของระดับที่ n จากจำนวน a จะเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ และถ้ารากของระดับที่ n จากจำนวน a ถูกยกกำลังเป็นกำลังที่ n เราจะได้ตัวเลข a ซึ่ง คือหมายเลขรูต)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำจำกัดความสามารถเรียบเรียงใหม่ได้ดังนี้:

(รากของระดับที่ n จากตัวเลข a คือตัวเลข b ซึ่งระดับที่ n เท่ากับ a)

ภายใต้เงื่อนไข สกัดจากรากเข้าใจการหารากของจำนวนที่ไม่เป็นลบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องดำเนินการย้อนกลับเพื่อเพิ่มพลังที่เหมาะสม พิจารณาตาราง:

ระวังตามคำจำกัดความของรากของระดับที่ n ตารางจะพิจารณาเฉพาะจำนวนบวกเท่านั้น

พิจารณาตัวอย่างที่ 1: คำนวณ

ก) (รากที่หกของหกสิบสี่คือสอง เนื่องจากสองเป็นจำนวนบวก และสองยกกำลังหกคือหกสิบสี่)

(รากของระดับที่สามของศูนย์จุดสองแสนหกพันเป็นศูนย์จุดหกในสิบ เนื่องจากจำนวนที่พบเป็นบวก และในระดับที่สามจะให้จำนวนราก)

เนื่องจาก =

d) ตามคำจำกัดความของรากของระดับที่ n เราเขียนความเท่าเทียมกันสองประการ: และ

ดังนั้นเราจึงต้องหาตัวเลขที่เป็น 55 ยกกำลังสี่ แต่สองยกกำลังสี่ได้สิบหก ซึ่งน้อยกว่า 55

และสามยกกำลังสี่มีค่าเท่ากับแปดสิบเอ็ด ซึ่งมากกว่า 55 . ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถระบุค่าที่แน่นอนได้ ดังนั้นเราจะใช้สัญลักษณ์ความเท่าเทียมกันโดยประมาณจนถึงส่วนร้อย

หากต้องการแยกรากของจำนวนลบ ให้ใช้คำจำกัดความที่สอง:

คำจำกัดความ: รากของระดับคี่ n ของจำนวนลบ a (n=3,5,7,…) คือจำนวนลบ m ซึ่งเมื่อยกกำลัง n จะทำให้เกิดผลลัพธ์เป็นจำนวน a

หมายเลข a เรียกว่าหมายเลขรูท และหมายเลข n (en) คือตัวบ่งชี้รูท

รูตคี่มีคุณสมบัติสองประการ:

(ถ้า a เป็นจำนวนลบ n เป็นจำนวนคี่ธรรมชาติที่มากกว่า 1 ดังนั้นรากของดีกรีที่ n จากจำนวน a จะเป็นจำนวนลบ และถ้ารากของดีกรีที่ n จากจำนวน a ถูกยกขึ้นถึง ยกกำลัง n แล้วเราจะได้เลข a ซึ่งก็คือเลขราก)

หลังจากวิเคราะห์คำจำกัดความและคุณสมบัติของรากของระดับที่ n จากตัวเลขแล้วเราจะสรุปได้ว่า:

รากคู่มีความหมาย (เช่น กำหนดไว้) สำหรับนิพจน์รากที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

รากที่แปลกเหมาะสมสำหรับการแสดงออกที่รุนแรง

เรื่อง:รากและองศา แนวคิด รากที่ nองศาจากจำนวนจริง"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา: เพื่อศึกษาแนวคิดของรากเลขคณิตของดีกรีธรรมชาติรวมถึงดีกรีคี่ เรียนรู้การคำนวณรากเลขคณิต

ทางการศึกษา: เพื่อกระชับงานของนักเรียนในบทเรียนเพื่อปลูกฝังความสนใจในวิชานั้น

การพัฒนา: เพื่อพัฒนาความสามารถทางปัญญาความสามารถในการถ่ายทอดความรู้ไปสู่สถานการณ์ใหม่

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

วิธี:อธิบายและอธิบาย

อุปกรณ์:คอมพิวเตอร์ ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ การนำเสนอ

ในระหว่างเรียน

1. ส่วนองค์กร

ทักทาย. ความพร้อมของชั้นเรียนสำหรับบทเรียน ตรวจการบ้าน.

2. แรงจูงใจ กิจกรรมการเรียนรู้ข้อความของหัวข้อและการกำหนดเป้าหมายของบทเรียน

วันนี้เราจะมาศึกษาหัวข้อ “รากและองศา” แนวคิดเรื่องราก ระดับที่ nจากจำนวนจริง ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่คำพูด อนาโตล ฝรั่งเศส (ค.ศ. 1844-1924) ซึ่งจะเป็นบทสรุปของบทเรียนของเรา เราจะทำงานกับนิพจน์ที่มีราก คุณจะขยายความรู้เกี่ยวกับราก ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะทำงานอิสระเล็กๆ น้อยๆ เพื่อตรวจสอบว่าคุณสามารถประยุกต์ความรู้ในหัวข้อนี้ได้อย่างอิสระอย่างไร

“การเรียนรู้เป็นเรื่องสนุกเท่านั้น…

การจะแยกแยะความรู้ได้นั้น จะต้องซึมซับมันด้วยความเอร็ดอร่อย”

คำอธิบายของวัสดุใหม่

คำจำกัดความ 1.รากnกำลังของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a(n=2,3,4,5...) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ซึ่งเมื่อยกกำลัง n จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวน a

การกำหนด: - รากของระดับที่ n

จำนวน n เรียกว่าดีกรีของรูตเลขคณิต

ถ้า n=2 แสดงว่าระดับของรูทจะไม่ถูกระบุและเขียนไว้

รากของดีกรีที่สองเรียกว่ารากที่สอง และรากของดีกรีที่สามเรียกว่ารากที่สาม

การยกกำลังและการแตกรากเป็นสิ่งเดียวกัน:

คุณสมบัติพื้นฐานของราก

การรวมเนื้อหาที่ศึกษา:

หมายเลข 1063 ปากเปล่า

№ 1067 – 1069,

หมายเลข 1070 - 1071 (ก, ข)

หมายเลข 1072 -1073 (ก, ข)

เลขที่ 1,076 (ก, ค)

หมายเลข 1,078 (ก, ข)

เลขที่ 1,079 (ก, ค)

งานอิสระ:

ตัวเลือกที่ 1

เลขที่ 1070 -1071 (ค)

เลขที่ 1072 -1073 (ก)

ตัวเลือกที่ 2

เลขที่ 1070 -1071 (ช)

เลขที่ 1072 -1073 (ค)

การบ้าน: เลขที่ 1076 (ง) เลขที่ 1078 (ซี) เลขที่ 1079 (ข)

สรุปบทเรียน:

วันนี้ในบทเรียนเราได้ศึกษาแนวคิดของรากเลขคณิตของระดับที่ n และแก้ไขโดยการแก้ตัวอย่าง

กำลังให้คะแนนบทเรียน

วรรณกรรม

1.เอ.จี. มอร์ดโควิช. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10-11 เวลา 02.00 น. หนังสือเรียนของนักเรียน สถาบันการศึกษา(ระดับพื้นฐาน).- อ: Mnemosyne, 2012

2. อเล็กซานโดรวา แอล.เอ. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 11 เซลล์ ทำงานอิสระ: เบี้ยเลี้ยงสถานศึกษา / ต่ำกว่า เอ็ด มอร์ดโควิช เอ.จี.–ม.: มเนโมซินา 2014

3. ที.ไอ. คูโปโรวา พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 11 เซลล์: แผนการสอนตามตำราเรียน Mordkovich A.G. - Volgograd: Teacher, 2008

4. Ruukin A. N. Pourochnye การพัฒนาพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: เกรด 11 – อ.: วาโก, 2014.

5. Nechaev MP. บทเรียนในหลักสูตร "พีชคณิต - 11" - ม.: 5 ด้านความรู้ พ.ศ. 2550

สไลด์ 1

MOU Lyceum หมายเลข 10 แห่งเมือง Sovetsk ภูมิภาคคาลินินกราดครูคณิตศาสตร์ Tatyana Nikolaevna Razygraeva แนวคิดเรื่องรากของระดับที่ n ของจำนวนจริง

สไลด์ 2

กราฟของฟังก์ชัน y = x² คือเส้นโค้งใด เส้นโค้งใดคือกราฟของฟังก์ชัน y = x⁴ ? พิจารณาสมการ x⁴ = 1 ลองพลอตฟังก์ชัน y = x⁴ และ y = 1 กัน คำตอบ: x = 1, x = -1 ในทำนองเดียวกัน: x⁴ = 16 คำตอบ: x = 2, x = -2 ในทำนองเดียวกัน: x⁴ = 5. y = 5

สไลด์ 3

พิจารณาสมการ x⁵ = 1 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = x⁵ และ y = 1 ในทำนองเดียวกัน: x⁵ = 7 คำตอบ: x = 1 คำตอบ: พิจารณาสมการ: โดยที่ a > 0, n N, n >1 ถ้า n เป็นเลขคู่ สมการจะมีราก 2 อัน ถ้า n เป็นเลขคี่ จะมีราก 1 อัน:

สไลด์ 4

คำจำกัดความ 1: รากที่ n ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a (n = 2,3,4,5,…) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ซึ่งเมื่อยกกำลัง n จะทำให้เกิดผลลัพธ์เป็นจำนวน a หมายเลขนี้แสดงโดย: n - นิพจน์รูท - ดัชนีรูท การดำเนินการค้นหารูทจากจำนวนที่ไม่เป็นลบเรียกว่าการแยกรูท ถ้า 0, n = 2,3,4,5,… แล้ว

สไลด์ 5

การดำเนินการแยกรากจะตรงกันข้ามกับการเพิ่มกำลังที่สอดคล้องกัน 5² \u003d 25 10³ \u003d 1,000 0.3⁴ \u003d 0.0081 25 \u003d 5 3 4 บางครั้งการแสดงออก a เรียกว่ารากจากคำภาษาละติน Radix - "root" n สัญลักษณ์เป็นตัวอักษรเก๋ๆ r การยกกำลัง การแยกราก

สไลด์ 6

ตัวอย่างที่ 1: คำนวณ: ก) 49; ข) 0.125; ค) 0; d) 17 3 7 4 วิธีแก้ปัญหา: ก) 49 = 7 เนื่องจาก 7 > 0 และ 7² = 49; 3 b) 0.125 = 0.5 เนื่องจาก 0.5 > 0 และ 0.5³ = 0.125; ค) 0; d) 17 data 2.03 4 คำจำกัดความ 2: รากของดีกรีคี่ n ของจำนวนลบ a (n = 3.5,…) คือจำนวนลบที่เมื่อยกกำลัง n จะทำให้เกิดตัวเลข a

สไลด์ 7

บทสรุป: รากของระดับเลขคู่นั้นสมเหตุสมผล (นั่นคือ ถูกกำหนดไว้แล้ว) สำหรับนิพจน์รากที่ไม่เป็นลบเท่านั้น รากที่แปลกเหมาะสมสำหรับการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ตัวอย่างที่ 2: แก้สมการ: ถ้า a< 0, n = 3,5,7,…, то

หากต้องการใช้การดำเนินการแตกรากในทางปฏิบัติได้สำเร็จคุณต้องทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของการดำเนินการนี้
คุณสมบัติทั้งหมดได้รับการกำหนดและพิสูจน์เฉพาะสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรูตเท่านั้น

ทฤษฎีบท 1 รากที่ N (n=2, 3, 4,...) ของผลิตภัณฑ์ของชิปเซ็ตที่ไม่ติดลบสองตัว เท่ากับสินค้า รากของ nองศาจากตัวเลขเหล่านี้:

ความคิดเห็น:

1. ทฤษฎีบท 1 ยังคงใช้ได้ในกรณีที่นิพจน์รากเป็นผลคูณของจำนวนที่ไม่เป็นลบมากกว่าสองตัว

ทฤษฎีบท 2ถ้า, และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 แล้วจึงเท่ากับความเท่าเทียมกัน

รวบรัด(แม้ว่าจะไม่ถูกต้องก็ตาม) สูตรที่สะดวกกว่าในการใช้งานในทางปฏิบัติ: รากของเศษส่วนจะเท่ากับเศษส่วนของราก

ทฤษฎีบท 1 อนุญาตให้เราคูณ m มีเพียงรากในระดับเดียวกันเท่านั้น , เช่น. มีเพียงรากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันเท่านั้น

ทฤษฎีบท 3 ถ้า ,k เป็นจำนวนธรรมชาติ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 แล้วจึงเท่ากับความเท่าเทียมกัน

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการหยั่งรากลึก ระดับธรรมชาติก็เพียงพอแล้วที่จะยกระดับการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงให้กับพลังนี้
นี่เป็นผลลัพธ์ของทฤษฎีบท 1 ตัวอย่างเช่น สำหรับ k = 3 เราได้

ทฤษฎีบท 4 ถ้า ,k, n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 แล้วจึงเท่ากัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการแยกรากออกจากราก ก็เพียงพอที่จะคูณเลขชี้กำลังของรากแล้ว
ตัวอย่างเช่น,

ระวัง!เราได้เรียนรู้ว่าการดำเนินการสี่อย่างสามารถทำได้บนราก: การคูณ การหาร การยกกำลัง และการแยกราก (จากราก) แต่การบวกและการลบรากล่ะ? ไม่มีทาง.
ตัวอย่างเช่น คุณไม่สามารถเขียนแทน Indeed ได้ แต่เห็นได้ชัดว่าเป็นเช่นนั้น

ทฤษฎีบท 5 ถ้า ตัวบ่งชี้ของรูทและการแสดงออกของรูทจะคูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เท่ากัน จากนั้นค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลงเช่น

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1คำนวณ

สารละลาย.เมื่อใช้คุณสมบัติแรกของราก (ทฤษฎีบท 1) เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 2คำนวณ
สารละลาย.กลับด้านได้ หมายเลขผสมเป็นเศษส่วนเกิน.
เราได้ใช้คุณสมบัติที่สองของราก ( ทฤษฎีบท 2 ), เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 3คำนวณ:

สารละลาย.ดังที่คุณทราบ สูตรใดๆ ในพีชคณิตนั้นใช้ไม่เพียงแต่ "จากซ้ายไปขวา" เท่านั้น แต่ยังใช้ "จากขวาไปซ้าย" ด้วย ดังนั้น คุณสมบัติแรกของรากหมายความว่าสามารถแสดงได้ในรูปแบบ และในทางกลับกัน สามารถถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ได้ เช่นเดียวกับคุณสมบัติที่สองของราก เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เรามาคำนวณกันดีกว่า