ลูกบอลในพื้นที่ 4 มิติ การหมุนสี่มิติและการบรรจุทรงกลม แอปพลิเคชั่นที่มีประโยชน์จากแหล่งอื่น

ภาพเรขาคณิตของลูกบอลสี่มิติ

Egorov Nester อเล็กซานโดรวิช

นักศึกษาชั้นปีที่ 4 ภาควิชาพีชคณิตและเรขาคณิต IMI NEFU สหพันธรัฐรัสเซีย ยาคุตสค์

อี- จดหมาย: egrvnester@ จดหมาย. th

โปปอฟ โอเล็ก นิโคเลวิช

หัวหน้างานวิทยาศาสตร์, Ph.D. เทคโนโลยี วิทยาศาสตร์ รองศาสตราจารย์ IMI NEFU สหพันธรัฐรัสเซีย ยาคุตสค์

ในบทความนี้ เรานำเสนอการแสดงลูกบอลสี่มิติในพื้นที่สี่มิติโดยใช้ส่วนสามมิติของมัน เพื่ออธิบายความยากลำบากที่เกี่ยวข้องกับการรับรู้วัตถุในพื้นที่สี่มิติ จะใช้วิธีการที่ขึ้นอยู่กับการพิจารณาพื้นที่ที่มีมิติต่ำกว่า ความเกี่ยวข้อง วิธีการนี้อยู่ในความจริงที่ว่ามันช่วยให้คุณเข้าใจโครงสร้างของภาพเรขาคณิตของพื้นที่สี่มิติและยังมีส่วนช่วยในการพัฒนาความคิดเชิงพื้นที่และเชิงนามธรรม งานนี้เป็นที่สนใจของนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย นักศึกษาคณะคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติและครูคณิตศาสตร์ มันถูกนำเสนอในรูปแบบภาพโดยไม่ต้องใช้สูตรโดยใช้พื้นฐานเท่านั้น หลักสูตรของโรงเรียนเรขาคณิต.

ในวรรณคดีทางวิทยาศาสตร์และเป็นที่นิยมในสื่อ สื่อมวลชนมักจะกล่าวถึงช่องว่างหลายมิติและวัตถุ มีทฤษฎีมากมายเกี่ยวกับเอกภพของเราหลายมิติ เป็นธรรมชาติของมนุษย์ที่จะเป็นตัวแทนของวัตถุทางเรขาคณิตในรูปแบบภาพ ดังนั้นหลายคนเมื่อได้ยินวลี "ลูกบอลสี่มิติ" ให้ลองนึกภาพในจินตนาการทันที เรามีความคิดที่ดีเกี่ยวกับลูกบอลสองมิติ (นี่คือวงกลมที่วางอยู่บนระนาบ) ลูกบอลสามมิติเป็นวัตถุที่มักพบในชีวิตของเรา แต่ในกรณีสี่มิติ เราไม่สามารถสร้างภาพเรขาคณิตของลูกบอลสี่มิติในจินตนาการของเราได้ นี่เป็นเพราะการเกิดขึ้นของมิติที่สี่ซึ่งไม่สามารถเข้าถึงได้สำหรับเรา

การสร้างความเข้าใจโดยสัญชาตญาณของผู้อ่านเกี่ยวกับภาพเรขาคณิตของลูกบอลสี่มิติคือเป้าหมายของงานของเรา ไม่ใช้คำจำกัดความที่เข้มงวด สูตรทางคณิตศาสตร์ แนวคิดและคำศัพท์ที่ใช้ทั้งหมดจะเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณเท่านั้น เนื้อหาทั้งหมดนำเสนอในรูปแบบยอดนิยม

ความเกี่ยวข้องของงานอยู่ที่ความจริงที่ว่ามันช่วยให้เราเข้าใจโครงสร้างของภาพเรขาคณิตของพื้นที่สี่มิติและยังมีส่วนช่วยในการพัฒนาความคิดเชิงพื้นที่และเป็นนามธรรมและเป็นที่สนใจของนักเรียนมัธยมปลาย ของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติตลอดจนครูคณิตศาสตร์

รูปที่ 1 ก) เส้นตรงในพื้นที่สี่มิติตัดกับลูกบอลสามมิติที่จุดภายในเพียงจุดเดียวเท่านั้น b) เส้นตรงบนระนาบตัดกับลูกบอลสองมิติตามส่วน ค) เส้นตรงที่อยู่ในอวกาศตัดกับลูกบอลสองมิติที่จุดเดียวเท่านั้น

พื้นที่สี่มิติเป็นพื้นที่ที่ผิดปกติในระดับหนึ่ง เรารู้ว่าในปริภูมิสามมิติ เส้นตรงตัดกับปริมาตรนูนสามมิติที่มีขอบเขต (เช่น ลูกบอล) ตามส่วนของเส้นตรง ข้อยกเว้นคือกรณีที่เส้นตรงสัมผัสกับวัตถุที่กำหนด ในพื้นที่สี่มิติ สิ่งต่างๆ สามารถเกิดขึ้นได้แตกต่างกัน เส้นตรงสามารถ "แทง" ลูกบอลสามมิติทะลุผ่านได้ โดยแตะจุดภายในเพียงจุดเดียว โดยไม่รบกวนสภาพแวดล้อม (รูปที่ 1, a)) สิ่งนี้ทำให้บุคคล 4 มิติ (หากมีอยู่จริง) สามารถนำสิ่งของทั้งหมดของเราออกจากกระเป๋าได้โดยไม่ต้องเปิดหรือตัด ซึ่งดูแปลกมากและอธิบายไม่ได้ เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้พิจารณาสเปซสองมิติ (สเปซสองมิติคือระนาบที่ฝังอยู่ในสเปซสามมิติ) เส้นตรงบนระนาบจะตัดวงกลมที่อยู่ในระนาบตามส่วน และเส้นตรงของพื้นที่ที่อยู่นอกระนาบจะตัดวงกลมที่จุดเดียวเท่านั้น (รูปที่ 1, ข), ค))

เพื่อให้เข้าใจตอนของการสูญเสียสิ่งของจากกระเป๋ามากขึ้น ลองวาดคนสองมิติบนกระดาน วาดไตของเขา นิ่วในไต จากนั้นเราก็หยิบเศษผ้าในมือแล้วลบหินออกอย่างระมัดระวังโดยไม่ต้องสัมผัสไตของคนสองมิติ (รูปที่ 2) ตอนนี้เราขอแสดงความยินดีกับตัวเองที่ประสบความสำเร็จในการผ่าตัดเอานิ่วในไตออกโดยไม่ต้องผ่า และผู้ป่วยของเรามีสุขภาพแข็งแรง สิ่งที่อยู่นอกเหนือการควบคุมของศัลยแพทย์สองมิติกลับกลายเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับคนสามมิติทั่วไป

รูปที่ 2 การเอานิ่วออกจากไต 2 มิติโดยแพทย์ 3 มิติโดยไม่ต้องสำรอง

นอกจากนี้ เราจะใช้เทคนิคนี้ที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนไปสู่มิติที่ต่ำกว่า เพื่ออธิบายความยากลำบากที่เกี่ยวข้องกับการรับรู้ของวัตถุที่อยู่ในพื้นที่สี่มิติ ความยากลำบากในการรับรู้บุคคลสองมิติเมื่อเขาพยายามเข้าใจโลกสามมิตินั้นคล้ายคลึงกับของเราเมื่อรับรู้พื้นที่สี่มิติเนื่องจากทั้งสองกรณีเชื่อมโยงกันโดยการปรากฏตัวของมิติใหม่ที่ไม่สามารถเข้าถึงได้

พื้นที่ 3 มิติสองแห่งสามารถตัดกันหรือขนานกันในพื้นที่ 4 มิติ พิจารณากรณีที่ตัดกัน

รูปที่ 3 ช่องว่าง 3 มิติสองช่องตัดกันในพื้นที่ 4 มิติตามแนวระนาบ

หากระนาบ x และ y สองระนาบตัดกันบนเส้น l (รูปที่ 4) ดังนั้นช่องว่างสามมิติ P และ Q จะตัดกันตามระนาบ α (รูปที่ 3) สำหรับคนสองมิติ เส้นตรง l (ถ้าทึบ) จะเป็นกำแพงที่แบ่งโลกของเขาออกเป็นสองส่วน และไม่มีระนาบครึ่งระนาบ y 1 และ y 2 สำหรับเขาเนื่องจากอยู่ในมิติที่สามที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ สำหรับบุคคลสามมิติ ผนังดังกล่าวจะแบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็นสองส่วน จะเป็นระนาบ α (รูปที่ 3)

ต่อไป ให้พิจารณาระนาบ x และ y ที่ตัดกันสองระนาบ โดยระนาบหนึ่งเป็นระนาบสองมิติที่กำลังกลิ้งอยู่ (รูปที่ 4) โปรดทราบว่าคนสองมิติมองเห็นเฉพาะเส้นตรงจากระนาบ y เนื่องจากมันอยู่ในปริภูมิ x ครึ่งระนาบ y 1 และ y 2 มองไม่เห็น ดังนั้นคนสองมิติที่อยู่ในระนาบ x จะมองเห็นจุดหนึ่ง (ลูกบอลแบนแตะเส้นตรง) ซึ่งจากนั้นจะแยกเป็นสองทาง (ลูกบอลข้ามเส้นตรง เส้น). นอกจากนี้ เมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ จุดต่างๆ จะแตกต่างกันจนกระทั่งเส้นตัดกันของระนาบตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล จากนั้นทุกอย่างจะเกิดขึ้นในลำดับที่กลับกัน

รูปที่ 4 บุคคลสองมิติมองเห็นเฉพาะจุดที่วงกลมสัมผัสระนาบ

ตอนนี้มันง่ายที่จะเข้าใจสิ่งที่เราจะเห็นโดยอยู่ในพื้นที่สามมิติ P ในกรณีที่ลูกบอลที่ปล่อยโดยเท้าของนักฟุตบอลที่อยู่ใน Q ข้ามช่องว่างของเรา ครั้งแรกบนเครื่องบิน α จุดจะปรากฏขึ้นซึ่งจะเปลี่ยนเป็นวงกลมที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ซึ่งเป็นจุดตัดของระนาบ α และลูกบอล เมื่อถึงจุดสูงสุดโดยมีรัศมีเท่ากับรัศมีของลูกฟุตบอล จะค่อยๆ เริ่มลดลงจนกระทั่งเสื่อมถอยกลับไปสู่จุดหนึ่งและหายไปจากระยะการมองเห็น (รูปที่ 5) สิ่งที่เราจะเห็นเมื่อนักฟุตบอลวิ่งตามลูกบอลเราจะปล่อยให้ผู้อ่านจินตนาการ เพื่อผลประโยชน์ลองจินตนาการว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้านักฟุตบอลในขณะที่อยู่ในช่องว่าง Q บังเอิญเข้าไปในช่องว่าง P ของเรา (ดูรูปที่ 6)

รูปที่ 5 มุมมองของลูกบอลที่ข้ามพื้นที่ของผู้สังเกตในไดนามิก

รูปที่ 6 ลักษณะของนักฟุตบอลในอวกาศ พี ออกจากพื้นที่ ถาม

ในเวอร์ชันสองมิติ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการถึงระนาบสองระนาบที่ขนานกัน พื้นที่สามมิติสามารถแสดงเป็นชุดของระนาบ "ติดกัน" แบบขนานที่ไม่มีที่สิ้นสุด แนวคิดดังกล่าวสามารถหาได้จากการดูไพ่หนึ่งสำรับ ซึ่งไพ่แต่ละใบเชื่อมโยงกับเครื่องบินหรือหนังสือ โดยที่แผ่นกระดาษของหนังสือเล่มนี้มีบทบาทเป็นเครื่องบิน

พื้นที่สี่มิติยังแสดงถึงชุดของ "ติดกัน" แต่เป็นช่องว่างสามมิติที่ขนานกันอยู่แล้ว ลองนึกภาพในจินตนาการของคุณสองขนาน (ติดกัน) นั่นคือพื้นที่สามมิติอยู่ใกล้กันมาก คุณจะไม่ประสบความสำเร็จ ช่องว่างที่เราต้องการจินตนาการในจินตนาการของเราอาจเริ่มตัดกันหรือไม่ต้องการเข้าใกล้กันมากขึ้น มาดูสาเหตุของความล้มเหลวของเรากัน ในการทำเช่นนี้ ลองวิเคราะห์ว่าคนสองมิติที่อาศัยอยู่ในระนาบ x จะพยายามแสดงระนาบ y และ z ที่ขนานกันสองระนาบซึ่งอยู่ใกล้กันอย่างไร เนื่องจากไม่มีมิติที่สาม h สำหรับคนสองมิติ (รูปที่ 7a)) เขาจะถูกบังคับให้วางไว้ในพื้นที่ของเขาแม้ว่าในความเป็นจริงพวกเขาจะอยู่ในแนวตั้งฉาก (หรือในบางมุม) ข้ามระนาบ x ( รูปที่ 7b)) ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าสาเหตุของความล้มเหลวของเราคืออะไร เรากำลังพยายามทำให้ช่องว่างสามมิติสองช่องพอดีกับพื้นที่สามมิติหนึ่งที่เราอยู่ (รูปที่ 7c)) เมื่อพวกมันควรขยายเกินมิติที่สี่ที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ เห็นได้ชัดว่าพวกเขาไม่สามารถติดกันได้

โปรดทราบว่าพื้นที่สามมิติสามารถแสดงเป็นร่องรอยที่ระนาบทิ้งไว้ซึ่งเป็นผลมาจากการเคลื่อนที่ในทิศทางที่กำหนด (รูปที่ 8)

รูปที่ 7 a) คนสองมิติพยายามจินตนาการถึงระนาบสองระนาบที่ขนานกัน b) การจัดเรียงจริงของระนาบขนาน ค) เรากำลังพยายามทำให้พื้นที่ 3 มิติสองแห่งพอดีกับพื้นที่ 3 มิติหนึ่งแห่ง

รูปที่ 8 พื้นที่สามมิติที่ได้จากการเลื่อนระนาบ

ก่อนหน้านี้ ให้พิจารณาช่องว่าง P และ Q ที่ตัดกันในระนาบ α (รูปที่ 9a)) แต่ละช่องว่างสามารถรับได้โดยการเลื่อนระนาบ α ตามทิศทางของแกนพิกัด x และ t ต่อไป เราวาดระนาบ β ในช่องว่าง P ที่ระยะใกล้มากขนานกับระนาบ α เห็นได้ชัดว่า β จะไม่อยู่ในช่องว่าง Q เริ่มการเคลื่อนที่ของระนาบเหล่านี้ในทิศทาง t เพื่อให้ระนาบที่กำลังเคลื่อนที่ขนานกันและอยู่ใกล้กัน จากนั้นสเปซ Q และสเปซ Q β ที่ได้จากการเคลื่อนระนาบ α และ β ตามลำดับ จะขนานกันและจะอยู่ในระยะที่ใกล้กันมาก (ที่ระยะเท่ากับระยะห่างระหว่างระนาบ α และ β ใน ขนาด x) จากนั้นร่างสามมิติสองลูก เช่น ลูกบอลสองลูกซึ่งอยู่ในที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง แต่อยู่ใกล้กันในช่องว่างคู่ขนานกัน Q และ Q β อาจอยู่ใกล้กันมาก (“ติดกัน”) (รูปที่ 9b))

รูปที่ 9 ก) เครื่องบิน β จากความมันวาว พี อยู่ใกล้และขนานกับระนาบ α และไม่อยู่ในอวกาศ ถาม ; b) ชุดของระนาบที่ได้จากการเลื่อนระนาบ α และ β ในทิศทาง ที สร้างช่องว่างคู่ขนานใกล้กัน ถาม และ Qβ ลูกบอลที่อยู่ในช่องว่างเหล่านี้อยู่ใกล้กันทุกจุด (ลูกบอล "ติดกัน")

พื้นที่สี่มิติทั้งหมดสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นชุดของพื้นที่สามมิติแบบขนานที่มีระยะห่างอย่างใกล้ชิด (“ติดกัน”) หากเราใช้เวลาเป็นมิติที่สี่ การเคลื่อนไหวของบุคคลในไทม์แมชชีนจะสอดคล้องกับการเปลี่ยนจากพื้นที่คู่ขนานไปยังอีกพื้นที่หนึ่ง ในกรณีนี้ ไม่เหมือนกับช่องว่างที่ตัดกัน เมื่อเราเห็นเพียงส่วนหนึ่งของวัตถุที่เคลื่อนผ่านช่องว่างที่สองโดยข้ามผ่านของเรา ไทม์แมชชีนจะปรากฏขึ้นต่อหน้าเราพร้อมกับคนที่นั่งอยู่ในนั้น ซึ่งจะสลายไปในอดีต หรืออนาคตขึ้นอยู่กับทิศทางการเคลื่อนที่ของมัน

ดังนั้น: เราเข้าใจว่าช่องว่างสามมิติตัดกันในระนาบ พื้นที่สี่มิติสามารถแสดงเป็นชุดของพื้นที่สามมิติแบบขนาน "ติดกัน" ได้รับแนวคิดเกี่ยวกับวัตถุสามมิติ "ติดกัน" ซึ่งอยู่ในช่องว่างคู่ขนาน

ทรงกลมสี่มิติคืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ ลองวิเคราะห์วิธีการจัดเรียงลูกบอลสามมิติตามปกติของเราจากมุมมองของบุคคลสองมิติ แน่นอนเขาไม่สามารถมองเห็นลูกบอลได้อย่างสมบูรณ์ในขอบเขตการมองเห็นของเขามีเพียงทรงกลมสองมิติ - วงกลมที่ล้อมรอบวงกลมสองมิติและซึ่งเป็นจุดตัดของโลกของคนสองมิติที่มีลูกบอล (สิ่งที่อยู่ในวงกลมไม่ปรากฏแก่เขา รูปที่ 10 ก)) เมื่อผ่านไปยังช่องว่างคู่ขนาน วงกลมจะแคบลงจนกระทั่งกลายเป็นจุด (รูปที่ 10 ข))

รูปที่ 10 ก) บุคคลสองมิติสามารถเห็นเพียงส่วนหนึ่งของวงกลม ซึ่งล้อมรอบจุดตัดของระนาบและลูกบอล b) เมื่อบุคคลเคลื่อนเข้าสู่ระนาบคู่ขนาน วงกลมจะค่อยๆ เสื่อมลงเป็นจุดๆ

ในกรณีของทรงกลมสี่มิติ มุมมองของบุคคลจะถูกจำกัดโดยพื้นที่ที่เขาอยู่ โดยการเปรียบเทียบ สามารถสันนิษฐานได้ว่าเขาเห็นทรงกลมที่ล้อมรอบลูกบอล ซึ่งเป็นจุดตัดของพื้นที่สามมิติที่กำหนดกับลูกบอลสี่มิติ เมื่อผ่านไปยังช่องว่างที่ขนานกัน ทรงกลมก็จะลดรัศมีลงจนกระทั่งสลายเป็นจุด (รูปที่ 11 ก)) ทีนี้ลองมาทำความเข้าใจในรายละเอียดเพิ่มเติมว่าเราเห็นลูกบอลชนิดใดและพวกมันก่อตัวเป็นลูกบอลสี่มิติได้อย่างไร

พิจารณาลูกบอลสามมิติ 2 (รูปที่ 11 ข)) และส่วนของมันด้วยระนาบขนาน ยอดรวมของสิ่งเหล่านี้ ระนาบขนานสร้างพื้นที่สามมิติที่มีขนาด y, z, t ซึ่งเป็นที่ตั้งของลูกบอลที่ต้องการ 2 แต่ละระนาบเหล่านี้โดยการเคลื่อนที่ในทิศทาง x จะสร้างช่องว่างสามมิติที่ "ติดกัน" อยู่ในช่องว่างเหล่านี้ซึ่งมีลูกบอลสามมิติ (ดูบอล 1) ซึ่งเราสังเกตเห็นระหว่างการเปลี่ยน ชุดของลูกบอลเหล่านี้จะเป็นรูปลูกบอลสี่มิติ ดังนั้น ลูกบอลสี่มิติคือชุดของลูกบอลที่ติดกันทุกจุด โดยมีขนาดลดลง ซึ่งสร้างภาพเรขาคณิตของลูกบอลสี่มิติ อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถเห็นภาพรวมทั้งหมดของลูกบอลได้ เนื่องจากเราไม่สามารถมองเห็นนอกพื้นที่ของเราได้

รูปที่ 11. ก) ปรากฏแก่มนุษย์เมื่อเปลี่ยนไปใช้ช่องว่างคู่ขนาน ลูกบอลจะมีขนาดลดลง b) ลูกบอลสี่มิติคือชุดของลูกบอล "ผสาน" ที่ลดลงซึ่งเป็นส่วนของลูกบอลสี่มิติโดยช่องว่างสามมิติขนานกับช่องว่าง พี

พิจารณาทรงกลมสี่มิติจากด้านต่างๆ ผู้สังเกตที่อยู่ในพื้นที่สามมิติ P ที่มีขนาด y, z, t และมองไปทาง t จะเห็นลูกบอล (รูปที่ 12) ซึ่งประกอบด้วยส่วนของลูกบอลที่ประกอบกันเป็นลูกบอลสี่มิติ (ในรูปที่ 11 นี่คือลูกที่ 2)

ผู้สังเกตที่อยู่ในอวกาศ Q และมองไปทาง x จะเห็นลูกบอลสามมิติด้วย (รูปที่ 12) ดังนั้นผู้สังเกตการณ์ที่อยู่ในช่องว่าง P และ Q จึงเห็นภาพเดียวกันนั่นคือลูกบอลสามมิติ อย่างไรก็ตาม ลูกบอลที่พวกเขาสังเกตเห็นนั้นเป็นวัตถุรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างกันซึ่งอยู่ในช่องว่างที่แตกต่างกันและตัดกันเป็นวงกลมสองมิติ

รูปที่ 12 ผู้สังเกตการณ์ที่อยู่ในช่องว่างที่ตัดกัน พี และ ถาม ดูทรงกลมสามมิติ อย่างไรก็ตามในความเป็นจริง พวกเขาสำรวจลูกบอลต่างๆ ที่ตัดกันเป็นวงกลม

น่าเสียดาย ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ขอบเขตการมองเห็นของเราถูกจำกัดไว้ในพื้นที่สามมิติ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถเห็นภาพสี่มิติโดยรวมได้ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ซี. ฮินตัน (ค.ศ. 1853-1907) ได้พัฒนาวิธีพิเศษในการสร้างแบบจำลอง รูปทรงเรขาคณิตในพื้นที่สี่มิติโดยส่วนสามมิติ วิธีการนี้อธิบายโดยละเอียดในเอกสารสองฉบับของเขา ฮินตันอ้างว่าจากการทำงานหลายปีซึ่งอาศัยวิธีการพิเศษนี้ เขาเรียนรู้ที่จะเป็นตัวแทนของภาพทางเรขาคณิตในพื้นที่สี่มิติทางจิตใจ นอกจากนี้เขายังเชื่อด้วยว่าผู้ที่เชี่ยวชาญวิธีนี้ดีพอจะได้รับแนวคิดเกี่ยวกับพื้นที่สี่มิติโดยสัญชาตญาณ

บรรณานุกรม:

1. Hinton Charles H. ยุคใหม่แห่งความคิด ต้นฉบับ พ.ศ. 2431 พิมพ์ซ้ำ พ.ศ. 2443 โดย Swan Sonnenschein & Co. Ltd., ลอนดอน - หน้า 240.

การหมุนรอบสี่มิติของจักรวาล

ถ้าจักรวาลปิดก็ต้องหมุน จุดทั้งหมดจะต้องเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 4 เท่ากัน และด้วยความเร็วเชิงมุมเท่ากัน

คุณไม่สามารถหมุนลูกบอลธรรมดาแบบนั้นได้ จุดของลูกใกล้แกนหมุนจะเคลื่อนที่น้อยลง ความเร็วเชิงเส้นกว่าจุดเส้นศูนย์สูตร

แต่เอกภพที่ปิดสนิทนั้นเหมาะสมที่สุดในแง่ของการหมุน มันกลายเป็นเนื้อเดียวกันเชิงพื้นที่และไอโซโทรปิก เป็นไปได้อย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว รูปด้านซ้ายแสดงแอนไอโซโทรปีที่ชัดเจน - เราเห็นการหมุนสองแกน

ภาพวาดนี้ช่วยให้เราเข้าใจการหมุน 4 มิติของไฮเปอร์สเฟียร์ 3 มิติที่ไม่ใช่แบบยุคลิด x 2 + y 2 + z 2 + q 2 \u003d r 2จมอยู่ในปริภูมิสี่มิติแบบยุคลิด แต่ในสมการนี้มีพิกัดเชิงพื้นที่ ถามซึ่งเราระบุด้วยสีในรูป

ลองแทนที่ด้วยพิกัดเวลา t คูณด้วยความเร็วแสงเพื่อให้ได้หน่วยเมตร และด้วยหน่วยจินตภาพ i เพราะกาล-อวกาศเป็นแบบยุคลิดเทียม นั่นคือเราได้สมการ: x 2 +y 2 +z 2 +(ict) 2 =r 2, ไฮเปอร์สเฟียร์หลอกแบบยุคลิด

คุณสามารถดูการหมุนนี้ในระนาบ (x,ict) ได้โดยเปิดโปรแกรมของฉัน แต่ตอนนี้ไฟล์ .exe ไม่ได้ถูกอัปโหลดไปยังไซต์ ในอนาคตอันใกล้นี้ ฉันจะพยายามสร้างภาพวาด gif ที่เคลื่อนไหวได้

เราสังเกตว่าอิเล็กตรอนหมุนไปที่นั่น วิ่งผ่านไฮเปอร์โบลาทางขวาและซ้ายในช่วงเวลาคลาสสิก ในที่เดียวกัน คุณจะเห็นว่า "เงา" ของอิเล็กตรอนวาดวงกลมได้อย่างไร เราจะได้วงกลมนี้ถ้าเราแบ่งส่วนประกอบแต่ละส่วนของไฮเพอร์โบลาด้วยปัจจัยสัมพัทธภาพที่เกี่ยวข้อง แล้วสรุปผลรวม เป็นผลให้เราได้รับ 2p ri สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าวงกลมเทียมในเอกภพปิดกลายเป็นวงกลมกึ่งปิด ไม่เพียงแต่สำหรับอิเล็กตรอนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอนุภาคทั้งหมดในเอกภพ รวมทั้งกาแล็กซีด้วย

แล้วความไม่สมมาตรไปไหน? ในการทำเช่นนี้โปรดจำไว้ว่ากำลังสองของความเร็ว 4 (โวลต์กรัม , ไอซีจี )ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเป็นค่าคงที่และมีค่าเท่ากับ - ค 2. สำหรับร่างกายใด ๆ ! ส่วนเชิงพื้นที่ของความเร็วทั้งสี่สำหรับวัตถุที่อยู่นิ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ และส่วนชั่วคราวให้ความเร็วแสงแก่เรา

เราใช้จุดใด ๆ ของจักรวาลที่หมุนรอบปิด จุดใด ๆ มีสองระนาบแกน มันอยู่บนแกนหนึ่งและอีกแกนตั้งฉาก ทั้งสองเป็นวงกลม แกนที่ตั้งของอนุภาคที่พิจารณาประกอบด้วยพิกัดเวลาและพิกัดเชิงพื้นที่อื่น ๆ ปล่อยให้มันเป็น (z,ict) แกนนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว c สำหรับอนุภาคของเราที่กำลังศึกษาอยู่ ความเร็วนี้จะเป็นความเร็วชั่วคราวเท่านั้น เนื่องจากมันเคลื่อนที่ไปพร้อมกับแกนนี้ และดังนั้นจึงหยุดนิ่งเมื่อเทียบกับแกนนี้ จุดอื่นๆ บนแกนจะได้รับส่วนเชิงพื้นที่ที่มากขึ้น ยิ่งอยู่ห่างจากจุดที่ศึกษา และตามองค์ประกอบเวลาของความเร็ว 4 ระดับ อัตราของเวลายิ่งลดลง ยิ่งห่างจากจุดที่ศึกษามากขึ้น ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า กาแลคซีในสองทิศทางตรงข้ามกันซึ่งระนาบแกนนี้วางอยู่นั้นจะมีการเลื่อนสีแดงตามขวางเนื่องจากการหมุนของกาลอวกาศไปตามพิกัด z

เนื่องจากระนาบแกนอีกอันหมุนในทิศทางตั้งฉาก จะมีการเลื่อนสีแดงตามขวางด้วย แต่เนื่องจากการเคลื่อนที่ตามขวางในระนาบ (x, y)

การหมุนนี้อธิบายหลายสิ่งหลายอย่าง:
การมีสปินในแต่ละอนุภาค
การปรากฏตัวของฟังก์ชันควอนตัม ψ;
ความไม่สมมาตรซ้าย-ขวาในความเอนเอียงของดาราจักร
ทำไมอายุตามเงื่อนไขของจักรวาลคือ 13.34 พันล้านปีเสมอ!
การหมุนรอบตัวเองของกาแลคซีอย่างรวดเร็วอย่างผิดปกติ
ความหนาแน่นวิกฤตของเอกภพอาจน้อยลง...

หากความเร็วในการหมุนตามแกนแตกต่างกันเล็กน้อย เราจะเห็นโครงสร้างแบบหลายขั้วใน CMB และแอนไอโซโทรปีเล็กน้อยในการเลื่อนสีแดงของกาแลคซี

เส้นโลก

ในการวาดภาพเคลื่อนไหว gif เราเห็นการเคลื่อนไหวของลูกบอล ในความเป็นจริง ภาพในจินตนาการจำเป็นต้องค่อนข้างซับซ้อนโดยการจินตนาการเส้นแบ่งโลกของดาราจักร สำหรับกาแล็กซีที่หมุนในระนาบ (z, ict) เราจะระบุเวลาด้วยสี ถ้าเวลาด้านนี้ของภาพเดินไปในทิศทางเดียว เวลาด้านตรงข้ามของภาพจะเดินย้อนกลับ สิ่งนี้ไม่น่าแปลกใจ อย่างที่คุณทราบ สิ่งนี้ได้เกิดขึ้นแล้วในฟิสิกส์ โพซิตรอนคืออิเล็กตรอนที่ย้อนเวลากลับไป และในหน้าเกี่ยวกับความเร็วเชิงปริมาณ เราพัฒนาแนวคิดนี้และเห็นว่าอนุภาคมูลฐานแต่ละอนุภาคใช้ชีวิต "กลับไปกลับมา" อนุภาคคอมโพสิต "กะพริบ" ในช่วงเวลาของการรวมวงกลมกึ่งปิด และหากเมื่อสิ้นสุดการเดินทางแล้ว อนุภาคมูลฐานมาช้าหรือนำหน้าอนุภาคอื่น จากนั้นในช่วงเวลาของการซิงโครไนซ์อวกาศ-เวลา มันจะได้รับการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของความเร็ว หรืออีกนัยหนึ่ง มันทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นในอวกาศ-เวลา

เราจะเห็นการหมุนเบื้องต้นแบบเดียวกันในกาลอวกาศ หากเราติดตามการเคลื่อนที่ของลูกบอลในภาพวาดการหมุนของเรา เสริมด้วยภาพวาดอื่น

มาทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นจากจุดศูนย์กลางของตัวเลขนี้ไปด้านใดก็ได้ ในเวลาเดียวกัน เราจะเข้าใกล้ขอบเขตเงื่อนไขบางอย่างมากขึ้น แต่เนื่องจากเอกภพมีไอโซโทรปิกและเป็นเนื้อเดียวกัน เราจึงต้องทำการเปลี่ยนแปลงกับกาแลคซีอื่น - ย้ายพวกมันเพื่อให้อนุภาคที่ศึกษาอยู่ตรงกลางอีกครั้ง

เมื่อปฏิบัติตามขั้นตอนนี้แล้ว เราสังเกตเห็นว่ากาแลคซีที่อยู่ด้านหลังขอบเขตอันไกลโพ้น หลังจากการเปลี่ยนแปลงจะอยู่ที่ขอบเขตด้านหน้า

หากการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นตามส่วนประกอบของเวลา กาแลคซีที่เคยอยู่ใกล้ขอบฟ้าเหตุการณ์ในอดีตจะหายไปและปรากฏขึ้นในอนาคตอันไกลโพ้น "เหนือกรวยแสง"

กาแล็กซีที่อยู่ภายในกรวยแสงในตำแหน่งกึ่งกลางระหว่างกาแล็กซีเคลื่อนที่ที่ทำการตรวจสอบและขอบฟ้าเหตุการณ์ เนื่องจากชุดของการเปลี่ยนแปลงที่ต่อเนื่องกัน ได้รับอัตราการขจัดที่คล้ายกับที่ "สังเกตได้" ในแบบจำลองการขยายตัวของเอกภพ

นอกเหนือจากการปลดปล่อยสสารออกไปนอกขอบฟ้าเหตุการณ์ในอดีตอันไกลโพ้น และดังนั้น กระบวนการลดความเข้มข้นของอนุภาคเนื่องจากการเร่งการกำจัดกาแลคซี จึงมีกระบวนการที่ชดเชยจำนวนกาแลคซีภายใน กรวยไฟ

จำนวนกาแลคซีเป็นแนวคิดเชิงสัมพัทธ์ ใกล้ Galaxy ของเรามีดาวเทียม LMO และ MMO ค่อนข้างเป็นไปได้ที่ดาวเทียมดวงอื่นกำลังถือกำเนิดขึ้นในขณะนี้ - กลุ่มดาวบางดวงแยกออกจากกาแล็กซี เมื่อเวลาผ่านไปเหล่านี้จะเป็นดาราจักรอิสระด้วย จำนวนมากดาว คำถามคือสสารมาจากไหน?

ขั้นแรก ให้นำสสารเข้าสู่กรวยแสงจากด้านบน ประการที่สอง การระเบิดของรังสีแกมมา กระบวนการนี้มีระบุไว้ในหน้า Hoyle Model และ 4d Rotation ปรากฎว่าการหมุนสี่มิติของจักรวาลเป็นสองส่วนร่วมกัน ระนาบตั้งฉากไม่เพียง แต่สอดคล้องกับการสังเกต แต่ยังช่วยชีวิตอีกด้วย โมเดลเครื่องเขียนจักรวาลสร้างโดย Fred Hoyle, Herman Bondi และ Thomas Gold

แอปพลิเคชั่นที่มีประโยชน์จากแหล่งอื่น

จูบเบอร์

ปัญหาของการจัดเรียงลูกบอลหนาแน่นเกิดขึ้นในหลายๆ สถานการณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีการเข้ารหัส
คำถามที่สำคัญที่สุดในพื้นที่นี้คือปัญหาของเคปเลอร์: อะไรคือการบรรจุทรงกลมที่หนาแน่นที่สุดในอวกาศ คำตอบนั้นชัดเจนสำหรับใครก็ตามที่เคยเห็นเกรปฟรุตเรียงซ้อนกันในร้านขายของชำ แต่หลักฐานยังคงเข้าใจยาก (อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันดีว่า ว่าการบรรจุเกรปฟรุตตามปกติเป็นการบรรจุที่หนาแน่นที่สุดซึ่งศูนย์กลางของทรงกลมก่อตัวเป็นโครงตาข่าย)

"ปัญหาจำนวนการจูบ" ที่มีชื่อสีสันสดใสหมายถึงความหนาแน่นของบรรจุภัณฑ์ในท้องถิ่น: มีลูกบอลกี่ลูกที่สามารถสัมผัสลูกบอลอีกลูกหนึ่งได้ ตัวมันเองสามารถมองได้ว่าเป็นปัญหาของเคปเลอร์สำหรับทรงกลมมากกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิด

ในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาการบรรจุทรงกลมเกี่ยวข้องกับการจัดเรียงของทรงกลมที่เหมือนกันซึ่งไม่ทับซ้อนกันซึ่งเติมเต็มช่องว่าง โดยปกติแล้วปริภูมิที่เกี่ยวข้องคือปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ อย่างไรก็ตาม ปัญหาการบรรจุทรงกลมสามารถสรุปเป็นปริภูมิสองมิติ (โดยที่ "ทรงกลม" เป็นวงกลม) ไปยังปริภูมิ n มิติ (โดยที่ "ทรงกลม" เป็นไฮเปอร์สเฟียร์) และปริภูมิที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เช่น ปริภูมิไฮเปอร์โบลิก
การจัดเรียงแบบปกติ (เรียกอีกอย่างว่าการจัดเรียงแบบคาบหรือแบบขัดแตะ) คือแบบหนึ่งที่จุดศูนย์กลางของทรงกลมก่อตัวเป็นรูปแบบสมมาตรที่เรียกว่าแบบขัดแตะ การจัดเรียงที่ทรงกลมไม่เรียงกันเป็นตารางเรียกว่าการจัดเรียงแบบไม่สม่ำเสมอหรือแบบไม่มีคาบ การจัดเรียงแบบปกตินั้นจัดการได้ง่ายกว่าการจัดเรียงแบบผิดปกติ ความสมมาตรในระดับสูงทำให้จำแนกประเภทและวัดความหนาแน่นได้ง่ายขึ้น

จำนวนของไฮเปอร์สเฟียร์ที่เท่ากันในมิติ นซึ่งสามารถสัมผัสไฮเปอร์สเฟียร์ที่เท่ากันโดยไม่มีจุดตัดใดๆ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าหมายเลขนิวตัน หมายเลขติดต่อ หมายเลขประสานงาน หรือลิแกนซี

ค่าที่แน่นอนสำหรับการบรรจุแบบขัดแตะเป็นที่รู้จักสำหรับ n=1 ถึง 9 และ n=24 (Conway and Sloane 1993, Sloane and Nebe) Odlyzko และ Sloane (1979) พบค่าที่แน่นอนสำหรับ 24-D

ค่าที่แน่นอนสำหรับการบรรจุทั่วไปเป็นที่ทราบกันดีว่า n=1, 2, 3, 4, 8 และ 24 มูซินพัฒนาวิธีการปิดล้อมในปี 2546 เพื่อพิสูจน์กรณี 24 มิติ และวิธีการของเขายังให้การพิสูจน์สำหรับสามและสี่ ขนาด (Pfender และ Ziegler 2004)

ดังนั้น(4)

ในวิชาคณิตศาสตร์ SO(4) คือกลุ่มการหมุนสี่มิติ นั่นคือกลุ่มของการหมุนรอบจุดคงที่ในปริภูมิแบบยุคลิดสี่มิติ ชื่อนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามัน (isomorphic ถึง) กลุ่มมุมฉากพิเศษของลำดับที่ 4

การหมุนอย่างง่าย
การหมุน R อย่างง่ายรอบศูนย์กลางการหมุน O ทำให้ระนาบ A ถึง O (ระนาบแกน) คงที่ตามจุด...

ครึ่งเส้นจาก O ในระนาบแกน A จะไม่ถูกแทนที่ ครึ่งเส้นจาก O orthogonal ถึง A ถูกแทนที่ด้วย α; เส้นแบ่งครึ่งอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกแทนที่ด้วยมุม< α.

การหมุนสองครั้ง
การหมุน R สองครั้งรอบศูนย์กลางการหมุน O จะเหลือเพียง O ค่าคงที่ การหมุนสองครั้งใดๆ จะมีระนาบมุมฉากทั้งหมดอย่างน้อยหนึ่งคู่ A และ B ถึง O ซึ่งโดยรวมจะไม่แปรเปลี่ยน กล่าวคือ หมุนวนอยู่ในตัวเอง โดยทั่วไป มุมการหมุน α ในระนาบ A และ β ในระนาบ B จะแตกต่างกัน ในกรณีนั้น A และ B เป็นระนาบที่ไม่แปรเปลี่ยนเพียงคู่เดียว และเส้นแบ่งครึ่งเส้นจาก O ใน A, B จะถูกแทนที่ด้วย α, β และเส้นแบ่งครึ่งเส้นจาก O ที่ไม่อยู่ใน A หรือ B จะถูกแทนที่ด้วยมุมระหว่าง α และ เบต้า

การหมุนแบบ Isoclinic
ถ้ามุมการหมุนของการหมุนสองครั้งเท่ากัน แสดงว่ามีระนาบที่ไม่แปรผันจำนวนมากมายนับไม่ถ้วนแทนที่จะมีเพียงสองระนาบ และครึ่งเส้นทั้งหมดจาก O จะถูกแทนที่ผ่าน เดียวกันมุม. การหมุนดังกล่าวเรียกว่าการหมุนแบบไอโซคลีนิกหรือการหมุนเท่ากันหรือการกระจัดแบบคลิฟฟอร์ด ระวัง: ไม่ใช่ระนาบทั้งหมดที่ผ่าน O จะไม่แปรผันภายใต้การหมุนแบบไอโซคลีนิก เฉพาะระนาบที่ทอดด้วยครึ่งเส้นและครึ่งเส้นที่แทนที่ซึ่งสอดคล้องกันเท่านั้นที่ไม่แปรเปลี่ยน

องค์ประกอบและสภาพอากาศ

วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ปรากฏการณ์ที่ผิดปกติ

การตรวจสอบธรรมชาติ

ส่วนผู้เขียน

เปิดประวัติ

โลกสุดโต่ง

ข้อมูลช่วยเหลือ

ไฟล์เก็บถาวร

การสนทนา

บริการ

ข้อมูลด้านหน้า

ข้อมูล NF OKO

RSS การส่งออก

ลิงค์ที่มีประโยชน์

หัวข้อสำคัญ

ในปี 1904 Henri Poincare เสนอว่าวัตถุสามมิติใดๆ ที่มี คุณสมบัติบางอย่าง 3 ทรงกลมสามารถแปลงเป็น 3 ทรงกลม ต้องใช้เวลาถึง 99 ปีในการพิสูจน์สมมติฐานนี้ (โปรดทราบ! ทรงกลมสามมิติไม่ใช่อย่างที่คุณคิด) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Grigory Perelman ได้พิสูจน์การคาดคะเนของPoincaréเมื่อร้อยปีก่อนและสร้างแคตตาล็อกรูปทรงของปริภูมิสามมิติเสร็จสมบูรณ์

Poincaré แนะนำว่า 3-sphere นั้นไม่เหมือนใครและไม่มี 3-manifold แบบกะทัดรัดอื่นใด (แบบ non-compact manifold เป็นอนันต์หรือมีขอบ ในสิ่งต่อไปนี้ จะพิจารณาเฉพาะท่อร่วมแบบกะทัดรัดเท่านั้น) มีคุณสมบัติที่ทำให้ง่ายมาก 3-manifolds ที่ซับซ้อนมากขึ้นมีขอบเขตที่ตั้งขึ้นเหมือนกำแพงอิฐหรือการเชื่อมต่อหลายจุดระหว่างพื้นที่บางส่วนเช่นเส้นทางป่าที่แยกและเชื่อมต่อใหม่ วัตถุสามมิติใดๆ ก็ตามที่มีคุณสมบัติของทรงกลม 3 มิติสามารถเปลี่ยนเป็นทรงกลม 3 ชั้นได้ ดังนั้นสำหรับนักทอพอโลยีแล้ว มันก็เป็นเพียงสำเนาของมันเท่านั้น การพิสูจน์ของ Perelman ยังช่วยให้เราสามารถตอบคำถามที่สามและจัดประเภท 3-manifolds ที่มีอยู่ทั้งหมดได้
คุณต้องใช้จินตนาการพอสมควรในการจินตนาการถึง 3 ทรงกลม โชคดีที่มันมีลักษณะที่เหมือนกันมากกับทรงกลม 2 อัน ตัวอย่างทั่วไปคือยางของบอลลูนกลม: เป็นแบบสองมิติ เนื่องจากจุดใด ๆ บนมันถูกกำหนดโดยสองพิกัดเท่านั้น - ละติจูดและลองจิจูด หากเราพิจารณาส่วนเล็ก ๆ ของมันภายใต้แว่นขยายอันทรงพลัง มันจะดูเหมือนแผ่นเรียบ สำหรับแมลงตัวเล็ก ๆ ที่คลานอยู่บนลูกโป่ง มันจะดูเหมือนเป็นพื้นเรียบ แต่ถ้าโบเกอร์เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงนานพอ ในที่สุดมันก็จะกลับไปที่จุดเริ่มต้น ในทำนองเดียวกัน เราจะรับรู้ 3 ทรงกลมที่มีขนาดเท่ากับเอกภพของเราว่าเป็นพื้นที่สามมิติ "ธรรมดา" บินไปไกลพอในทิศทางใด ๆ ในที่สุดเราก็จะ "วนรอบโลก" บนนั้นและกลับมาที่จุดเริ่มต้น
อย่างที่คุณเดาได้ ทรงกลม n มิติเรียกว่าทรงกลม n ตัวอย่างเช่น ทรงกลม 1 ที่ทุกคนคุ้นเคย: มันเป็นเพียงวงกลม

นักคณิตศาสตร์ที่พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ พื้นที่หลายมิติ, ไม่ต้องจินตนาการถึงวัตถุประสงค์ของการศึกษา: พวกเขาจัดการกับคุณสมบัตินามธรรม, ชี้นำโดยสัญชาตญาณตามการเปรียบเทียบที่มีจำนวนมิติน้อยกว่า (การเปรียบเทียบดังกล่าวควรได้รับการปฏิบัติด้วยความระมัดระวังและไม่ได้ใช้ตามตัวอักษร) เราจะพิจารณา 3 ทรงกลมตามคุณสมบัติของวัตถุที่มีจำนวนมิติน้อยกว่า
1. เริ่มจากการพิจารณาวงกลมและขอบของวงกลม สำหรับนักคณิตศาสตร์ วงกลมคือลูกบอลสองมิติ และวงกลมคือทรงกลมหนึ่งมิติ นอกจากนี้ ลูกบอลในมิติใดๆ ก็คือวัตถุที่ถูกเติมให้เต็ม คล้ายกับแตงโม และทรงกลมคือพื้นผิวของมัน ซึ่งคล้ายกับบอลลูนมากกว่า วงกลมเป็นหนึ่งมิติเนื่องจากตำแหน่งของจุดสามารถระบุได้ด้วยตัวเลขเดียว

2. จากวงกลมสองวง เราสามารถสร้างทรงกลมสองมิติได้ โดยเปลี่ยนวงหนึ่งเป็นซีกโลกเหนือ และอีกวงหนึ่งเป็นซีกโลกใต้ มันยังคงติดกาวไว้และ 2 ทรงกลมก็พร้อม

3. ลองนึกภาพมดคลานจากขั้วโลกเหนือเป็นวงกลมขนาดใหญ่ที่เกิดจากเส้นเมอริเดียนที่ 0 และ 180 (ซ้าย) หากเรากำหนดเส้นทางของมันกับวงกลมเดิมสองวง (ด้านขวา) เราจะเห็นว่าแมลงเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง (1) ไปที่ขอบของวงกลมด้านเหนือ (a) จากนั้นจะข้ามพรมแดนไปชนจุดที่สอดคล้องกันบน วงกลมด้านใต้และขับต่อไปตามเส้นตรง (2 และ 3) จากนั้นมดก็มาถึงขอบอีกครั้ง (b) ข้ามมันและพบว่าตัวเองอยู่บนวงกลมทางเหนืออีกครั้งโดยรีบไปที่จุดเริ่มต้น - ขั้วโลกเหนือ (4) โปรดทราบว่าระหว่างการเดินทางรอบโลกบนทรงกลม 2 ทิศทาง ทิศทางการเคลื่อนที่จะกลับกันเมื่อเคลื่อนที่จากวงกลมหนึ่งไปยังอีกวงกลมหนึ่ง

4. ตอนนี้พิจารณา 2 ทรงกลมของเราและปริมาตรที่มีอยู่ (ลูกบอลสามมิติ) และทำสิ่งเดียวกันกับวงกลมและวงกลม: นำลูกบอลสองชุดมาติดกาวเข้าด้วยกัน เป็นไปไม่ได้และไม่จำเป็นที่จะแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าลูกบอลบิดเบี้ยวในสี่มิติและกลายเป็นอะนาล็อกของซีกโลกได้อย่างไร ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้ว่าจุดที่สอดคล้องกันบนพื้นผิวเช่น ทรงกลม 2 อันเชื่อมต่อกันในลักษณะเดียวกับวงกลม ผลลัพธ์ของการรวมลูกบอลสองลูกคือทรงกลม 3 มิติ - พื้นผิวของลูกบอลสี่มิติ (ในสี่มิติ เมื่อมีทรงกลม 3 ลูกและ 4 ลูก พื้นผิวของวัตถุจะเป็นสามมิติ) เรียกลูกบอลลูกหนึ่งว่าซีกโลกเหนือและอีกลูกหนึ่งว่าซีกโลกใต้ โดยเปรียบเทียบกับวงกลม ตอนนี้เสาอยู่ที่ศูนย์กลางของลูกบอล

5. ลองนึกภาพว่าลูกบอลที่เป็นปัญหาเป็นพื้นที่ว่างขนาดใหญ่ สมมติว่านักบินอวกาศออกจากขั้วโลกเหนือด้วยจรวด เมื่อเวลาผ่านไปถึงเส้นศูนย์สูตร (1) ซึ่งปัจจุบันเป็นทรงกลมที่ล้อมรอบโลกด้านเหนือ ข้ามมันไปจรวดจะพุ่งเข้าใส่ ซีกโลกใต้และเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลาง - ขั้วโลกใต้- ไปฝั่งตรงข้ามของเส้นศูนย์สูตร (2 และ 3) ที่นั่น การเปลี่ยนไปซีกโลกเหนือจะเกิดขึ้นอีกครั้ง และนักเดินทางจะกลับไปยังขั้วโลกเหนือ นั่นคือ ไปยังจุดเริ่มต้น (4) นี่คือฉากการเดินทางรอบโลกบนผิวลูกบอล 4 มิติ! ทรงกลมสามมิติที่พิจารณาคือช่องว่างที่ ในคำถามในการคาดเดาของ Poincare บางทีจักรวาลของเราอาจเป็นแค่ 3 ทรงกลม

การให้เหตุผลสามารถขยายไปถึง 5 มิติและสร้าง 4 ทรงกลมได้ แต่เป็นการยากที่จะจินตนาการ หากเราติดลูกบอล n สองลูกตามทรงกลม (n-1) ที่ล้อมรอบ เราจะได้ลูกบอลทรงกลม n อันล้อมรอบลูกบอล (n+1)

ครึ่งศตวรรษผ่านไปก่อนที่การคาดคะเนของ Poincare จะหลุดลอยไป ในยุค 60 ศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ข้อความที่คล้ายกันสำหรับทรงกลมห้ามิติขึ้นไป ในแต่ละกรณี n-sphere เป็นเพียง n-manifold เดียวและเรียบง่ายที่สุด น่าแปลกที่ผลลัพธ์สำหรับทรงกลมหลายมิตินั้นง่ายกว่าสำหรับทรงกลม 3 และ 4 การพิสูจน์สำหรับสี่มิติปรากฏขึ้นในปี 1982 และมีเพียงการคาดคะเนPoincaréดั้งเดิมเกี่ยวกับทรงกลม 3 มิติเท่านั้นที่ยังไม่ได้รับการยืนยัน
ขั้นตอนเด็ดขาดเกิดขึ้นในเดือนพฤศจิกายน 2545 เมื่อ Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์จาก St. สถาบันคณิตศาสตร์พวกเขา. Steklov ส่งบทความไปยังเว็บไซต์ www.arxiv.org ซึ่งนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์จากทั่วโลกอภิปรายเกี่ยวกับผลลัพธ์ของกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์ของพวกเขา นักทอพอโลยีจับความเชื่อมโยงระหว่างงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียกับสมมติฐานของปวงกาเรได้ทันที แม้ว่าผู้เขียนจะไม่ได้กล่าวถึงเรื่องนี้โดยตรงก็ตาม

ในความเป็นจริง ข้อพิสูจน์ของ Perelman ซึ่งเป็นความถูกต้องที่ยังไม่มีใครสามารถตั้งคำถามได้ สามารถไขคำถามที่กว้างกว่าการคาดคะเนของ Poincare ที่เกิดขึ้นจริง ขั้นตอนการทำ geometrization ที่เสนอโดย William P. Thurston แห่งมหาวิทยาลัย Cornell ช่วยให้สามารถจัดประเภท 3-manifolds ได้อย่างสมบูรณ์ตาม 3-sphere ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ในความเรียบง่ายที่ยอดเยี่ยม หากการคาดคะเนของ Poincare เป็นเท็จ นั่นคือ หากมีที่ว่างมากมายง่ายๆ เหมือนทรงกลม การจำแนก 3-manifolds จะกลายเป็นสิ่งที่ซับซ้อนมากขึ้นอย่างไม่มีสิ้นสุด ขอบคุณ Perelman และ Thurston เรามีแค็ตตาล็อกที่สมบูรณ์ของรูปแบบสามมิติทั้งหมดของปริภูมิที่คณิตศาสตร์อนุญาตซึ่งจักรวาลของเราสามารถทำได้ (หากเราพิจารณาเฉพาะอวกาศโดยไม่มีเวลา)

เพื่อทำความเข้าใจการคาดคะเนของPoincaréและการพิสูจน์ของ Perelman ให้ดียิ่งขึ้น เราควรพิจารณาโทโพโลยีให้ละเอียดยิ่งขึ้น ในสาขาคณิตศาสตร์นี้ รูปร่างของวัตถุไม่สำคัญ ราวกับว่ามันทำจากแป้งโดว์ ซึ่งสามารถยืด บีบอัด และงอได้ตามต้องการ เหตุใดเราจึงควรนึกถึงสิ่งของหรือช่องว่างจากแบบทดสอบจินตภาพ ความจริงก็คือรูปร่างที่แน่นอนของวัตถุ - ระยะห่างระหว่างจุดทั้งหมด - หมายถึงระดับโครงสร้างซึ่งเรียกว่าเรขาคณิต โดยการตรวจสอบวัตถุจากการทดสอบ นักทอพอโลยีระบุวัตถุนั้น คุณสมบัติพื้นฐานโดยไม่ขึ้นกับโครงสร้างทางเรขาคณิต การศึกษาโทโพโลยีก็เหมือนกับการค้นหาคุณสมบัติทั่วไป ที่มีอยู่ในตัวคนวิธีการพิจารณา "คนดินน้ำมัน" ซึ่งสามารถเปลี่ยนเป็นบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้
ในวรรณกรรมยอดนิยม มักจะมีคำกล่าวอ้างลอยๆ ว่า จากมุมมองของโทโพโลยี ถ้วยก็ไม่ต่างจากโดนัท ความจริงก็คือถ้วยแป้งสามารถเปลี่ยนเป็นโดนัทได้เพียงแค่บดวัสดุ เช่น ไม่มีอะไรติดหรือทำให้เป็นรู ในทางกลับกัน ในการทำโดนัทจากลูกบอล คุณต้องทำรูในนั้นหรือม้วนเป็นทรงกระบอกแล้วปิดปลาย ดังนั้นลูกบอลจึงไม่ใช่โดนัทเลย
นักทอพอโลยีสนใจพื้นผิวของทรงกลมและโดนัทมากที่สุด ดังนั้นแทนที่จะเป็นของแข็งเราควรนึกภาพลูกโป่ง โทโพโลยีของพวกมันยังคงแตกต่างกัน เนื่องจากบอลลูนทรงกลมไม่สามารถแปลงเป็นบอลลูนวงแหวนได้ ซึ่งเรียกว่าทอรัส ขั้นแรก นักวิทยาศาสตร์ตัดสินใจที่จะหาว่ามีวัตถุกี่ชิ้นที่มีโทโพโลยีต่างกันอยู่และจะจำแนกลักษณะของวัตถุเหล่านั้นได้อย่างไร สำหรับ 2-manifolds ที่เราคุ้นเคยกับการเรียกพื้นผิวคำตอบนั้นสวยงามและเรียบง่าย: ทุกอย่างถูกกำหนดโดยจำนวนของ "รู" หรือจำนวนที่จับเท่ากัน ในตอนท้ายของศตวรรษที่ XIX นักคณิตศาสตร์ค้นพบวิธีจำแนกพื้นผิวและพบว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในบรรดาพื้นผิวทั้งหมดคือทรงกลม โดยธรรมชาติแล้ว นักทอพอโลยีเริ่มคิดเกี่ยวกับ 3-manifolds: 3-sphere มีลักษณะเฉพาะในความเรียบง่ายหรือไม่? ประวัติศาสตร์อันเก่าแก่ของการค้นหาคำตอบเต็มไปด้วยความผิดพลาดและหลักฐานที่ผิดพลาด
Henri Poincaré กล่าวถึงประเด็นนี้อย่างจริงจัง เขาเป็นหนึ่งในสองนักคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังที่สุดในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 (อีกคนคือ David Hilbert) เขาถูกเรียกว่าสเตชั่นแวกอนคันสุดท้าย - เขาทำงานได้สำเร็จในทุกส่วนทั้งสะอาดและ คณิตศาสตร์ประยุกต์. นอกจากนี้ ปวงกาเรยังมีส่วนร่วมอย่างมากในการพัฒนากลศาสตร์ท้องฟ้า ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า ตลอดจนปรัชญาวิทยาศาสตร์ ซึ่งเขาเขียนหนังสือยอดนิยมหลายเล่ม
Poincaré กลายเป็นผู้ก่อตั้งโทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิต และในปี 1900 ใช้วิธีการของมัน ได้สร้างลักษณะทอพอโลยีของวัตถุที่เรียกว่าโฮโมโทปี ในการพิจารณาความคล้ายคลึงกันของความหลากหลายเราต้องมีจิตใจที่หมกมุ่นอยู่ในวงปิด จากนั้นเราควรค้นหาว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะหดลูปไปยังจุดหนึ่งโดยการเคลื่อนย้ายเข้าไปในท่อร่วม สำหรับ torus คำตอบจะเป็นลบ: หากคุณวางห่วงรอบเส้นรอบวงของ torus ก็จะไม่สามารถหดให้ถึงจุดได้เพราะ "รู" ของโดนัทจะรบกวน Homotopy คือจำนวนของเส้นทางต่างๆ ที่สามารถป้องกันไม่ให้ลูปหดตัวได้

บนทรงกลม n ห่วงใด ๆ แม้กระทั่งการบิดอย่างประณีตสามารถคลี่คลายและดึงไปยังจุดหนึ่งได้เสมอ (อนุญาตให้ลูปผ่านตัวเองได้) Poincaré สันนิษฐานว่า 3-sphere เป็นเพียง 3-manifold ที่ลูปใด ๆ สามารถหดไปยังจุดหนึ่งได้ น่าเสียดายที่เขาไม่สามารถพิสูจน์การคาดคะเนของเขาได้ ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อ Poincaré Conjecture

การวิเคราะห์ 3-manifolds ของ Perelman นั้นเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับขั้นตอนการทำให้เป็นรูปทรงเรขาคณิต รูปทรงเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับรูปร่างที่แท้จริงของวัตถุและส่วนต่างๆ ที่ไม่ได้ทำจากแป้งอีกต่อไป แต่ทำด้วยเซรามิก ตัวอย่างเช่น ถ้วยกับเบเกิลมีความแตกต่างกันทางเรขาคณิตเพราะพื้นผิวโค้งต่างกัน กล่าวกันว่าถ้วยและโดนัทเป็นสองตัวอย่างของโทโพโลยีทอรัสที่มีรูปทรงเรขาคณิตต่างกัน
เพื่อทำความเข้าใจว่าเหตุใด Perelman จึงใช้ geometrization ให้พิจารณาการจัดประเภทของ 2-manifolds พื้นผิวทอพอโลยีแต่ละอันถูกกำหนดให้มีรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะซึ่งมีความโค้งกระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งท่อร่วม ตัวอย่างเช่น สำหรับทรงกลม นี่คือพื้นผิวทรงกลมที่สมบูรณ์แบบ รูปทรงเรขาคณิตอื่นที่เป็นไปได้สำหรับทรงกลมทอพอโลยีคือไข่ แต่ความโค้งของมันไม่ได้กระจายอย่างสม่ำเสมอทุกที่: ปลายแหลมจะโค้งมากกว่าปลายทู่
2-manifolds สร้างรูปทรงเรขาคณิตสามประเภท ทรงกลมมีลักษณะโค้งเป็นบวก ทอรัสรูปทรงเรขาคณิตจะแบนและมีความโค้งเป็นศูนย์ ท่อร่วม 2 อันอื่น ๆ ทั้งหมดที่มี "รู" สองรูขึ้นไปมีความโค้งเป็นลบ ซึ่งสอดคล้องกับพื้นผิวที่คล้ายกับอาน ซึ่งโค้งขึ้นด้านหน้าและด้านหลัง และด้านล่างไปทางซ้ายและขวา การจำแนกทางเรขาคณิต (geometrization) ของ 2-manifolds นี้ได้รับการพัฒนาโดย Poincare ร่วมกับ Paul Koebe และ Felix Klein ซึ่งตั้งชื่อตามชื่อขวด Klein

มีความปรารถนาโดยธรรมชาติที่จะใช้วิธีการที่คล้ายคลึงกับ 3-manifolds เป็นไปได้หรือไม่ที่จะค้นหาการกำหนดค่าที่ไม่ซ้ำกันสำหรับแต่ละอันซึ่งความโค้งจะกระจายอย่างเท่าเทียมกันทั่วทั้งท่อร่วม
ปรากฎว่า 3-manifolds มีความซับซ้อนมากกว่าคู่สองมิติและส่วนใหญ่ไม่สามารถเชื่อมโยงกับรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นเนื้อเดียวกันได้ ควรแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ซึ่งสอดคล้องกับหนึ่งในแปดรูปทรงเรขาคณิตที่ยอมรับ ขั้นตอนนี้คล้ายกับการสลายตัวเลขให้เป็นปัจจัยสำคัญ

เราจะสร้างท่อร่วมรูปทรงเรขาคณิตและให้ความโค้งสม่ำเสมอในทุกที่ได้อย่างไร คุณต้องใช้รูปทรงเรขาคณิตโดยพลการโดยมีส่วนยื่นออกมาและช่องต่าง ๆ จากนั้นทำการกระแทกทั้งหมดให้เรียบ ในช่วงต้นทศวรรษที่ 90 ศตวรรษที่ 20 แฮมิลตันเริ่มวิเคราะห์ 3-manifolds โดยใช้สมการการไหลของ Ricci ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ Gregorio Ricci-Curbastro ค่อนข้างคล้ายกับสมการความร้อน ซึ่งอธิบายกระแสความร้อนที่ไหลในร่างกายที่มีความร้อนไม่เท่ากันจนกระทั่งอุณหภูมิเท่ากันทุกที่ ในทำนองเดียวกัน สมการการไหลของ Ricci กำหนดการเปลี่ยนแปลงในความโค้งของท่อร่วม ซึ่งนำไปสู่การจัดตำแหน่งของหิ้งและรอยกดทั้งหมด ตัวอย่างเช่น หากคุณเริ่มต้นด้วยไข่ มันจะค่อยๆ กลายเป็นทรงกลม

Perelman เพิ่มคำศัพท์ใหม่ในสมการการไหลของ Ricci การเปลี่ยนแปลงนี้ไม่ได้ขจัดปัญหาภาวะเอกฐาน แต่อนุญาตให้มีการวิเคราะห์เชิงลึกมากขึ้น นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียแสดงให้เห็นว่าสามารถดำเนินการ "ผ่าตัด" กับท่อร่วมรูปทรงดัมเบลได้: ตัดท่อบาง ๆ ทั้งสองด้านของหยิกที่เกิดขึ้นใหม่และปิดท่อเปิดที่ยื่นออกมาจากลูกบอลด้วยฝาทรงกลม จากนั้นคุณควรเปลี่ยนท่อร่วมที่ "ทำงาน" ต่อไปตามสมการการไหลของ Ricci และใช้ขั้นตอนข้างต้นกับหยิกที่เกิดขึ้นทั้งหมด Perelman ยังแสดงให้เห็นว่าลักษณะรูปร่างซิการ์ไม่สามารถปรากฏได้ ดังนั้น ท่อร่วม 3 ชิ้นใดๆ สามารถลดขนาดลงเป็นชุดของชิ้นส่วนที่มีรูปทรงเรขาคณิตสม่ำเสมอได้
เมื่อกระแส Ricci และ "การผ่าตัด" ถูกนำไปใช้กับ 3-manifolds ที่เป็นไปได้ทั้งหมด หนึ่งในนั้น ถ้าง่ายพอๆ กับ 3-sphere (กล่าวคือ มีโฮโมโทปีเหมือนกัน) จำเป็นต้องลดขนาดให้เหลือรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นเนื้อเดียวกันเดียวกัน ซึ่งก็คือ และ 3 ทรงกลม ดังนั้น จากมุมมองของโทโพโลยี ความหลากหลายภายใต้การพิจารณาคือทรงกลม 3 ดังนั้น 3 ทรงกลมจึงมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

คุณค่าของบทความของ Perelman ไม่ได้อยู่ที่การพิสูจน์การคาดคะเนของ Poincare เท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิธีการวิเคราะห์แบบใหม่ด้วย นักวิทยาศาสตร์ทั่วโลกกำลังใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียในงานของพวกเขาและใช้วิธีการที่เขาพัฒนาในพื้นที่อื่น ๆ ปรากฎว่าการไหลของ Ricci นั้นเกี่ยวข้องกับกลุ่มที่เรียกว่า renormalization ซึ่งกำหนดว่าความแข็งแกร่งของการโต้ตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรขึ้นอยู่กับพลังงานการชนของอนุภาค ตัวอย่างเช่น ที่พลังงานต่ำ ความแรงของปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าจะแสดงเป็นตัวเลข 0.0073 (ประมาณ 1/137) อย่างไรก็ตาม เมื่ออิเล็กตรอน 2 ตัวชนกันด้วยความเร็วเกือบ ความเร็วเท่ากันเบา ค่าของแรงนี้เข้าใกล้ 0.0078 คณิตศาสตร์ที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงของแรงทางกายภาพมีความคล้ายคลึงกับคณิตศาสตร์ที่อธิบายถึงรูปทรงเรขาคณิตของท่อร่วม
พลังงานการชนที่เพิ่มขึ้นเทียบเท่ากับแรงเรียนรู้ในระยะทางที่สั้นกว่า ดังนั้น กลุ่มการทำให้เป็นปกติจึงเหมือนกับกล้องจุลทรรศน์ที่มีปัจจัยการขยายแบบแปรผัน ซึ่งช่วยให้คุณสำรวจกระบวนการในระดับรายละเอียดต่างๆ ในทำนองเดียวกัน Ricci flow เป็นกล้องจุลทรรศน์สำหรับส่องดูท่อต่างๆ ส่วนที่ยื่นออกมาและความหดหู่ที่มองเห็นได้ด้วยการขยายหนึ่งครั้งจะหายไปในอีกภาพหนึ่ง มีแนวโน้มว่าในระดับความยาวของพลังค์ (ประมาณ 10 -35 ม.) พื้นที่ที่เราอาศัยอยู่ดูเหมือนโฟมที่มีโครงสร้างทอพอโลยีที่ซับซ้อน นอกจากนี้ สมการของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ซึ่งอธิบายคุณลักษณะของแรงโน้มถ่วงและโครงสร้างขนาดใหญ่ของเอกภพ มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสมการการไหลของ Ricci ขัดแย้งกัน คำว่า Perelman เพิ่มเข้าไปในสำนวนที่ใช้โดยแฮมิลตันปรากฏในทฤษฎีสตริง ซึ่งอ้างว่าเป็นทฤษฎีควอนตัมของแรงโน้มถ่วง เป็นไปได้ว่าในบทความของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย นักวิทยาศาสตร์จะพบอีกมากมาย ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ไม่เพียงเกี่ยวกับ 3-manifolds ที่เป็นนามธรรมเท่านั้น แต่ยังเกี่ยวกับพื้นที่ที่เราอาศัยอยู่ด้วย

แม้แต่ตอนที่ฉันยังเป็นนักเรียนปี 1 ฉันก็ทะเลาะกับเพื่อนร่วมชั้นคนหนึ่งอย่างเผ็ดร้อน เขาพูดว่า ลูกบาศก์สี่มิติไม่สามารถจินตนาการได้ในรูปแบบใด ๆ และฉันรับรองกับคุณว่าสามารถแสดงได้อย่างชัดเจน จากนั้นฉันก็ฉายภาพไฮเปอร์คิวบ์บนพื้นที่สามมิติของเราจากคลิปหนีบกระดาษ ... แต่มาพูดถึงทุกอย่างตามลำดับ

ไฮเปอร์คิวบ์และพื้นที่สี่มิติคืออะไร

พื้นที่นิสัยของเรามีสามมิติ กับ จุดเรขาคณิตในมุมมองนี้หมายความว่าสามารถระบุเส้นตั้งฉากร่วมกันสามเส้นได้ นั่นคือ สำหรับเส้นใดๆ คุณจะพบเส้นที่สองที่ตั้งฉากกับเส้นแรก และสำหรับเส้นคู่ คุณจะพบเส้นที่สามที่ตั้งฉากกับสองเส้นแรก จะไม่สามารถหาเส้นตรงที่สี่ที่ตั้งฉากกับสามเส้นที่มีอยู่ได้อีกต่อไป

พื้นที่ 4 มิติแตกต่างจากของเราตรงที่มันมีอีกอันหนึ่ง ทิศทางเพิ่มเติม. หากคุณมีเส้นที่ตั้งฉากกันสามเส้นแล้ว คุณจะพบเส้นที่สี่ ซึ่งจะตั้งฉากกับทั้งสามเส้น

ไฮเปอร์คิวบ์มันเป็นแค่ลูกบาศก์ในสี่มิติ

เป็นไปได้ไหมที่จะจินตนาการถึงปริภูมิสี่มิติและไฮเปอร์คิวบ์?

คำถามนี้คล้ายกับคำถาม: "เป็นไปได้ไหมที่จะจินตนาการถึงพระกระยาหารมื้อสุดท้ายโดยดูจากภาพวาดที่มีชื่อเดียวกัน (1495-1498) โดย Leonardo da Vinci (1452-1519)"

ในแง่หนึ่งคุณไม่สามารถจินตนาการได้อย่างแน่นอนว่าพระเยซูเห็นอะไร (นั่งหันหน้าเข้าหาผู้ชม) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณจะไม่ดมกลิ่นสวนนอกหน้าต่างและรสชาติของอาหารบนโต๊ะคุณจะไม่ได้ยินเสียงนกร้อง .. คุณจะไม่ได้ภาพที่สมบูรณ์ของสิ่งที่เกิดขึ้นในเย็นวันนั้น แต่ไม่อาจพูดได้ว่าคุณจะไม่ได้เรียนรู้อะไรใหม่ ๆ และภาพนั้นไม่น่าสนใจ

สถานการณ์คล้ายกับคำถามของไฮเปอร์คิวบ์ เป็นไปไม่ได้ที่จะจินตนาการได้อย่างเต็มที่ แต่คุณสามารถเข้าใจได้มากขึ้นว่ามันคืออะไร

สร้างไฮเปอร์คิวบ์

ลูกบาศก์ 0 มิติ

เริ่มจากจุดเริ่มต้น - ด้วยลูกบาศก์ 0 มิติ ลูกบาศก์นี้มี 0 ใบหน้าที่ตั้งฉากกัน นั่นคือมันเป็นแค่จุด

ลูกบาศก์ 1 มิติ

ในปริภูมิหนึ่งมิติ เรามีเพียงทิศทางเดียวเท่านั้น เราเปลี่ยนประเด็นไปในทิศทางนี้และรับส่วน

นี่คือลูกบาศก์หนึ่งมิติ

ลูกบาศก์ 2 มิติ

เรามีมิติที่สอง เราเลื่อนลูกบาศก์หนึ่งมิติ (ส่วน) ไปตามทิศทางของมิติที่สองและได้สี่เหลี่ยมจัตุรัส

มันเป็นลูกบาศก์ในสองมิติ

ลูกบาศก์ 3 มิติ

ด้วยการถือกำเนิดของมิติที่สาม เราทำเช่นเดียวกัน: เราเปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรับลูกบาศก์สามมิติตามปกติ

ลูกบาศก์ 4 มิติ (ไฮเปอร์คิวบ์)

ตอนนี้เรามีมิติที่สี่ นั่นคือเรามีทิศทางที่ตั้งฉากกับทั้งสามทิศทางก่อนหน้านี้ มาใช้แบบเดียวกัน ลูกบาศก์ 4D จะมีลักษณะเช่นนี้

โดยธรรมชาติแล้ว ลูกบาศก์สามมิติและสี่มิติไม่สามารถแสดงบนระนาบหน้าจอสองมิติได้ สิ่งที่ฉันวาดคือเส้นโครง เราจะพูดถึงการคาดการณ์ในภายหลัง แต่สำหรับตอนนี้ข้อเท็จจริงและตัวเลขที่เปลือยเปล่าเล็กน้อย

จำนวนจุดยอด ขอบ ใบหน้า

โปรดทราบว่าใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์เป็นลูกบาศก์ 3 มิติปกติของเรา ถ้าคุณดูภาพวาดของไฮเปอร์คิวบ์อย่างใกล้ชิด คุณจะพบลูกบาศก์แปดลูก

การฉายภาพและการมองเห็นของผู้อาศัยในอวกาศสี่มิติ

คำสองสามคำเกี่ยวกับการมองเห็น

เราอยู่ในโลกสามมิติ แต่เรามองว่ามันเป็นสองมิติ เนื่องจากเรตินาของดวงตาของเราอยู่ในระนาบที่มีเพียงสองมิติ นั่นเป็นเหตุผลที่เราสามารถรับรู้ภาพสองมิติและพบว่ามันคล้ายกับความเป็นจริง

(แน่นอนว่าต้องขอบคุณที่พัก ตาสามารถประมาณระยะทางไปยังวัตถุได้ แต่นี่เป็นผลข้างเคียงที่เกี่ยวข้องกับเลนส์ที่สร้างขึ้นในดวงตาของเราอยู่แล้ว)

ดวงตาของผู้อาศัยในพื้นที่สี่มิติต้องมีเรตินาสามมิติ สิ่งมีชีวิตดังกล่าวสามารถมองเห็นร่างสามมิติได้อย่างสมบูรณ์ในทันที: ใบหน้าและอวัยวะภายในทั้งหมด (ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเห็นภาพสองมิติ ทั้งใบหน้าและภายใน)

ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือของอวัยวะที่มองเห็น เราจึงไม่สามารถรับรู้ลูกบาศก์สี่มิติในลักษณะเดียวกับที่ผู้อาศัยในพื้นที่สี่มิติจะรับรู้ได้ อนิจจา. ยังคงต้องพึ่งพาสายตาและจินตนาการของจิตใจเท่านั้น ซึ่งโชคดีที่ไม่มีข้อจำกัดทางกายภาพ

อย่างไรก็ตาม เมื่อวาดภาพไฮเปอร์คิวบ์บนระนาบ ฉันต้องฉายภาพนั้นบนพื้นที่สองมิติ จำสิ่งนี้ไว้เมื่อศึกษาการวาดภาพ

ทางแยกขอบ

โดยธรรมชาติแล้วขอบของไฮเปอร์คิวบ์จะไม่ตัดกัน ทางแยกจะปรากฏเป็นตัวเลขเท่านั้น อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ควรแปลกใจเพราะขอบของลูกบาศก์ธรรมดาในรูปก็ตัดกันเช่นกัน

ความยาวซี่โครง

เป็นที่น่าสังเกตว่าใบหน้าและขอบของลูกบาศก์สี่มิติเท่ากันทั้งหมด ในรูป พวกมันไม่เท่ากันเพียงเพราะอยู่ในมุมที่ต่างกันกับทิศทางการมอง อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะคลี่ไฮเปอร์คิวบ์เพื่อให้เส้นโครงทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน

อย่างไรก็ตามในรูปนี้สามารถมองเห็นลูกบาศก์แปดลูกได้อย่างชัดเจนซึ่งเป็นใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์

ไฮเปอร์คิวบ์ข้างในว่างเปล่า

มันยากที่จะเชื่อ แต่ระหว่างลูกบาศก์ที่ผูกไฮเปอร์คิวบ์ไว้ มีช่องว่างอยู่ (ส่วนของพื้นที่สี่มิติ)

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้น ลองพิจารณาการฉายภาพ 2 มิติของลูกบาศก์ 3 มิติปกติ (ฉันจงใจทำให้มันค่อนข้างเป็นภาพร่าง)

เป็นไปได้ไหมที่จะเดาว่ามีช่องว่างภายในลูกบาศก์? ใช่ แต่ด้วยจินตนาการเท่านั้น ตาไม่เห็นความว่างนี้

นี่เป็นเพราะขอบที่อยู่ในมิติที่สาม (ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้ในภาพวาดแนวราบ) ตอนนี้กลายเป็นส่วนที่อยู่ในระนาบของภาพวาด พวกเขาไม่ให้ปริมาณอีกต่อไป

สี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบพื้นที่ของลูกบาศก์ทับซ้อนกัน แต่สามารถจินตนาการได้ว่าในรูปดั้งเดิม (ลูกบาศก์สามมิติ) สี่เหลี่ยมเหล่านี้ตั้งอยู่ในระนาบที่แตกต่างกันและไม่ใช่อันที่อยู่ด้านบนของอีกอันในระนาบเดียวกันดังที่ปรากฏในรูป

เช่นเดียวกับไฮเปอร์คิวบ์ ใบหน้าลูกบาศก์ของไฮเปอร์คิวบ์ไม่ได้ทับซ้อนกันจริง ๆ ตามที่เราเห็นในภาพฉาย แต่อยู่ในพื้นที่สี่มิติ

รีมเมอร์

ดังนั้น ผู้อาศัยในพื้นที่สี่มิติจึงสามารถมองเห็นวัตถุสามมิติพร้อมกันจากทุกด้าน เราสามารถเห็นลูกบาศก์สามมิติจากทุกด้านพร้อมกันได้หรือไม่? ด้วยตาเปล่า แต่ผู้คนได้คิดหาวิธีที่จะพรรณนาใบหน้าทั้งหมดของลูกบาศก์สามมิติพร้อมกันบนภาพวาดแบนๆ ภาพดังกล่าวเรียกว่ากวาด

แฉลูกบาศก์ 3 มิติ

ทุกคนคงทราบดีว่าการพัฒนาลูกบาศก์สามมิตินั้นเกิดขึ้นได้อย่างไร กระบวนการนี้แสดงในภาพเคลื่อนไหว

เพื่อความชัดเจนขอบของใบหน้าของลูกบาศก์จะโปร่งแสง

ควรสังเกตว่าเราสามารถรับรู้ภาพสองมิตินี้ได้ด้วยจินตนาการเท่านั้น หากเราพิจารณาขั้นตอนการตีแผ่จากมุมมองสองมิติล้วน ๆ กระบวนการจะดูแปลกและมองไม่เห็นเลย

ดูเหมือนว่าลักษณะที่ค่อยเป็นค่อยไปของโครงร่างของสี่เหลี่ยมบิดเบี้ยวก่อนจากนั้นจึงกระจายเข้าที่พร้อมกับการยอมรับรูปร่างที่จำเป็นพร้อมกัน

หากคุณดูลูกบาศก์ที่คลี่ออกในทิศทางของใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง (จากมุมมองนี้ ลูกบาศก์จะดูเหมือนสี่เหลี่ยมจัตุรัส) กระบวนการสร้างการพัฒนาจะยิ่งชัดเจนน้อยลงไปอีก ทุกอย่างดูเหมือนคลานออกมาจากช่องสี่เหลี่ยมจากช่องเริ่มต้น (ไม่ใช่ลูกบาศก์ที่กางออก)

แต่ ไม่เห็นภาพกวาดเฉพาะสำหรับ ดวงตา.

จะเข้าใจปริภูมิ 4 มิติได้อย่างไร?

ต้องขอบคุณจินตนาการที่สามารถรวบรวมข้อมูลได้มากมาย

แฉ 4D Cube

เป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำให้กระบวนการแอนิเมชั่นของไฮเปอร์คิวบ์เผยออกมาให้เห็นอย่างน้อยที่สุด แต่กระบวนการนี้สามารถจินตนาการได้ (ในการทำเช่นนี้คุณต้องมองผ่านสายตาของสิ่งมีชีวิตสี่มิติ)

การแพร่กระจายมีลักษณะเช่นนี้

ลูกบาศก์ทั้งแปดที่ล้อมรอบไฮเปอร์คิวบ์จะปรากฏให้เห็นที่นี่

ใบหน้าทาสีด้วยสีเดียวกันซึ่งควรจัดแนวเมื่อพับ ใบหน้าที่ไม่สามารถมองเห็นใบหน้าที่จับคู่ได้จะเป็นสีเทา หลังจากพับแล้ว หน้าบนสุดของลูกบาศก์บนควรชิดกับหน้าล่างของลูกบาศก์ล่าง (ในทำนองเดียวกัน การพัฒนาของลูกบาศก์สามมิติก็พังทลายลง)

โปรดทราบว่าหลังจากพับแล้ว ใบหน้าทั้งหมดของลูกบาศก์ทั้งแปดจะสัมผัสกัน ปิดไฮเปอร์คิวบ์ และสุดท้าย เมื่อจินตนาการถึงกระบวนการพับ อย่าลืมว่าระหว่างการพับ ลูกบาศก์จะไม่ซ้อนทับกัน แต่จะพันรอบพื้นที่สี่มิติ (ไฮเปอร์คิวบิก) จำนวนหนึ่ง

ซัลวาดอร์ ดาลี (1904-1989) วาดภาพการตรึงกางเขนหลายครั้ง และมีไม้กางเขนปรากฏอยู่ในภาพวาดหลายชิ้นของเขา ภาพวาด The Crucifixion (1954) ใช้ไฮเปอร์คิวบ์กวาด

ปริภูมิ-เวลา และปริภูมิสี่มิติแบบยุคลิด

ฉันหวังว่าคุณจะจินตนาการถึงไฮเปอร์คิวบ์ได้ แต่คุณจัดการเพื่อทำความเข้าใจอย่างใกล้ชิดว่ากาลอวกาศสี่มิติที่เราอาศัยอยู่ทำงานอย่างไร? อนิจจาไม่จริง

ในที่นี้เราได้พูดถึงปริภูมิสี่มิติแบบยุคลิด แต่กาล-อวกาศมีคุณสมบัติต่างกันมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ที่การหมุนใด ๆ ส่วนต่าง ๆ จะยังคงเอียงไปตามแกนเวลาเสมอ ไม่ว่าจะทำมุมน้อยกว่า 45 องศา หรือทำมุมมากกว่า 45 องศา

ฉันได้เขียนโน้ตชุดหนึ่งเกี่ยวกับคุณสมบัติของกาล-อวกาศ

ภาพ 3 มิติ

โลกเป็นสามมิติ ภาพเป็นแบบสองมิติ งานสำคัญของการวาดภาพและการถ่ายภาพในปัจจุบันคือการถ่ายทอดสามมิติของอวกาศ ชาวโรมันเข้าใจเทคนิคบางอย่างแล้ว จากนั้นพวกเขาก็ถูกลืมและเริ่มกลับไปสู่การวาดภาพคลาสสิกพร้อมกับยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา

เทคนิคหลักในการสร้างพื้นที่สามมิติในการวาดภาพคือมุมมอง รางรถไฟเคลื่อนตัวออกห่างจากผู้ชม ทำให้สายตาแคบลง ในการทาสีรางสามารถแคบลงได้ ในการถ่ายภาพ เปอร์สเปคทีฟจะเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติ: กล้องจะถ่ายภาพรางให้แคบที่สุดเท่าที่ตามองเห็น อย่างไรก็ตาม อย่าปล่อยให้เกือบจะปิด: มันจะไม่เหมือนมุมมองอีกต่อไป แต่เป็นรูปร่างที่แปลกประหลาด ระหว่างรางรถไฟ, ข้างถนน, ริมฝั่งแม่น้ำ, ควรรักษาช่องว่างที่เห็นได้ชัดเจน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่ามุมมองเชิงเส้นเป็นวิธีแบบดั้งเดิมและสมจริงที่สุดในการถ่ายทอดโลก

โพสต์นำทาง

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่รูปร่างหน้าตาของเธอเกี่ยวข้องกับฉากการแสดงละคร (Florensky, Reverse Perspective) แบบดั้งเดิม ความเรียบง่ายในการถ่ายทอดฉากโรงละครที่มีความลึกเพียงเล็กน้อยนั้นเหมาะมากสำหรับการถ่ายภาพ โดยปราศจากเทคนิคที่หลากหลายในการวาดภาพ

มีมุมมองที่น่าสนใจมากกว่าเชิงเส้น ในผลงานของปรมาจารย์ชาวจีนมีมุมมองแบบลอยตัวเมื่อวัตถุถูกแสดงพร้อมกันจากด้านล่าง ด้านบน และด้านหน้า มันไม่ใช่ความผิดพลาดทางเทคนิคของศิลปินที่ไร้ความสามารถ: Guo Xi ผู้เขียนตำนานของเทคนิคนี้เขียนว่าการจัดแสดงดังกล่าวช่วยให้คน ๆ หนึ่งสามารถรับรู้โลกโดยรวมได้ เทคนิคการวาดไอคอนของรัสเซียนั้นคล้ายคลึงกันซึ่งผู้ชมสามารถมองเห็นใบหน้าและด้านหลังของตัวละครได้ในเวลาเดียวกัน เทคนิคการวาดภาพไอคอนที่น่าสนใจซึ่งพบในหมู่ศิลปินชาวยุโรปตะวันตกเช่นกันคือมุมมองย้อนกลับ ซึ่งวัตถุที่อยู่ห่างไกลกลับมีขนาดใหญ่กว่าวัตถุที่อยู่ใกล้ โดยเน้นย้ำถึงความสำคัญของวัตถุเหล่านั้น เฉพาะในสมัยของเราเท่านั้นที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามุมมองดังกล่าวถูกต้อง: ไม่เหมือนวัตถุที่อยู่ห่างไกล เมื่อใช้ Photoshop คุณสามารถสร้างมุมมองย้อนกลับได้โดยการขยายวัตถุพื้นหลัง สำหรับผู้ดูที่คุ้นเคยกับกฎของการถ่ายภาพ ภาพดังกล่าวจะดูแปลก

การนำมุมของอาคารเข้าสู่กรอบซึ่งผนังแยกออกจากกันทั้งสองทิศทางทำให้เกิดมุมมองแบบไอโซเมตริก สมองเข้าใจว่าผนังอยู่ในมุมที่ถูกต้องและจัดวางส่วนที่เหลือของภาพตามนั้น มุมมองดังกล่าวมีไดนามิกมากกว่าส่วนหน้าและเป็นธรรมชาติมากกว่าสำหรับส่วนหน้า เพียงป้อนมุมท้ายของวัตถุและอาคารที่มีระยะห่างอย่างใกล้ชิดในเฟรม

เนื่องจากการขยายตัว มุมมองภาพสามมิติจึงมีความสำคัญ ซึ่งไม่ค่อยเหมาะสำหรับภาพบุคคลคลาสสิก มุมมองเชิงเส้นเนื่องจากการทำให้แคบลง ถ่ายทอดอารมณ์เล็กน้อยได้ดีกว่า

ในขั้นตอนการถ่ายภาพ มีเครื่องมือมากมายสำหรับช่างภาพเพื่อเน้นเปอร์สเปคทีฟ วัตถุที่มีความกว้างเท่ากัน (ลู่วิ่ง ถนน เสา ร่อง) ที่เข้าไปในระยะทางโดยการทำให้แคบลงและแม้กระทั่งเคลื่อนที่ออกไป บ่งบอกให้ผู้ชมเห็นถึงมิติสามมิติของพื้นที่ เอฟเฟ็กต์จะรุนแรงขึ้นเมื่อถ่ายภาพจากมุมต่ำเพื่อเพิ่มความบิดเบี้ยวของมุมมอง วิธีนี้เพียงพอสำหรับการถ่ายภาพทิวทัศน์ แต่ด้วยความลึกของภาพเล็กน้อยสำหรับการถ่ายภาพภายใน ทำให้แทบไม่สังเกตเห็นเอฟเฟกต์ สามารถปรับปรุงได้เล็กน้อยในขั้นตอนหลังการประมวลผลโดยการทำให้ส่วนบนของภาพแคบลง (Transform Perspective) อย่างไรก็ตาม แม้แต่ในแนวนอน มุมมองที่มากเกินไปก็อาจดูน่าสนใจได้

ความลึกสามารถสื่อความหมายของภาพได้ชัดเจน: อาคารถูกคั่นด้วยถนนหรือแม่น้ำ เส้นทแยงมุมเน้นความเป็นสามมิติ เหมือนสะพานข้ามแม่น้ำ

วัตถุที่มีขนาดที่ผู้ชมรู้จักในพื้นหลังจะกำหนดขนาดและสร้างเปอร์สเปคทีฟตามนั้น ในการถ่ายภาพทิวทัศน์ ตัวแบบดังกล่าวสามารถเป็นรถยนต์ได้ แต่ในการถ่ายภาพบุคคล ให้ลองงอและเอาขาของคุณ (ห่างจากกล้อง) ไว้ใต้เก้าอี้ เพื่อให้ดูเหมือนมีขนาดเล็กลง ในขณะที่ยังคงมองเห็นได้ คุณยังสามารถลดส่วนขานี้ลงได้เล็กน้อยในขั้นตอนหลังการประมวลผล

เครื่องประดับสื่อถึงมุมมองด้วยการลดองค์ประกอบทางสายตา ตัวอย่างจะเป็นกระเบื้องขนาดใหญ่บนพื้น ตีเส้นบนถนน

มีเทคนิคของฉากหน้าไฮเปอร์โทรฟี ขนาดใหญ่ผิดสัดส่วน ทำให้ภาพมีความลึก เมื่อเปรียบเทียบขนาดของพื้นหน้ากับตัวแบบ ตาจะสรุปได้ว่าตัวแบบอยู่ไกลกว่าที่ปรากฏมาก การเจริญเติบโตมากเกินไปควรยังคงบอบบางเพื่อไม่ให้ภาพถูกมองว่าเป็นข้อผิดพลาด เทคนิคนี้ไม่เพียงเหมาะสำหรับการประมวลผลภายหลังเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการถ่ายภาพด้วย: บิดเบือนสัดส่วนเมื่อถ่ายภาพด้วยเลนส์ 35 หรือ 50 มม. การถ่ายภาพด้วยเลนส์มุมกว้างจะขยายพื้นที่ เพิ่มความสามมิติเนื่องจากการละเมิดสัดส่วน เอฟเฟ็กต์จะชัดเจนยิ่งขึ้นหากคุณถ่ายภาพนางแบบในระยะใกล้ แต่ระวังสัดส่วนที่พิลึก: มีเพียงผู้เขียนภาพทางศาสนาเท่านั้นที่สามารถพรรณนาถึงบุคคลที่ใหญ่กว่าอาคารได้

ครอสโอเวอร์ทำงานได้ดี หากแอปเปิ้ลบังลูกแพร์บางส่วน สมองจะไม่เข้าใจผิด: แอปเปิ้ลอยู่หน้าลูกแพร์ แบบจำลองซึ่งครอบคลุมเฟอร์นิเจอร์บางส่วนจึงสร้างความลึกของการตกแต่งภายใน

การสลับกันของแสงและจุดมืดยังช่วยให้ภาพมีความลึกอีกด้วย สมองรู้จากประสบการณ์ว่าวัตถุที่อยู่ใกล้เคียงมีแสงสว่างเท่ากันโดยประมาณ ดังนั้นมันจึงตีความวัตถุที่มีแสงสว่างต่างกันว่าอยู่ในระยะทางที่ต่างกัน สำหรับเอฟเฟ็กต์นี้ จุดต่างๆ จะสลับไปตามทิศทางของแกนเปอร์สเป็คทีฟ โดยอยู่ลึกเข้าไปในภาพ ไม่ใช่ขวาง ตัวอย่างเช่น เมื่อถ่ายภาพนางแบบนอนห่างจากกล้องในกรอบมืด ให้วางไฮไลท์ของแสงไว้ใกล้บั้นท้ายและใกล้ขา คุณสามารถทำให้พื้นที่สว่างขึ้น/มืดลงได้ในขั้นตอนหลังการประมวลผล

การรับรู้ของวัตถุที่มืดมากขึ้นอย่างต่อเนื่องจะลดลง ด้วยการค่อยๆ แรเงาวัตถุตามแนวที่เคลื่อนไหว คุณจะได้มุมมองที่ละเอียดอ่อน ในทำนองเดียวกัน ความลึกจะถูกถ่ายทอดโดยการลดแสง: ใช้แสงเป็นเส้นเหนือเฟอร์นิเจอร์หรือบนพื้น

สามารถรับภาพสามมิติได้เนื่องจากแสงไม่เพียง แต่ยังมีความคมชัดของสีอีกด้วย เทคนิคนี้เป็นที่รู้จักของจิตรกรชาวเฟลมิช ซึ่งวางจุดสีสว่างไว้บนหุ่นนิ่งของพวกเขา ทับทิมสีแดงและสีเหลืองมะนาวที่อยู่เคียงข้างกันจะดูเป็นสามมิติแม้ในสภาพแสงด้านหน้าแบบเรียบ พวกเขาจะโดดเด่นเป็นพิเศษกับพื้นหลังขององุ่นสีม่วง: สีอบอุ่นตัดกับพื้นหลังที่เย็น พื้นผิวสีสว่างแยกออกจากความมืดได้ดีแม้จะมีแสงน้อยตามแบบฉบับของหุ่นนิ่ง คอนทราสต์ของสีทำงานได้ดีกับแม่สีสีแดง เหลือง น้ำเงิน แทนที่จะเป็นสีอ่อน

บนพื้นหลังสีดำ สีเหลืองมาข้างหน้าสีน้ำเงินซ่อนกลับ บนพื้นหลังสีขาว - ตรงกันข้าม ความอิ่มตัวของสีจะช่วยเพิ่มเอฟเฟ็กต์นี้ ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? สีเหลืองไม่เคยมืด ดังนั้นสมองจึงปฏิเสธที่จะเชื่อว่าวัตถุสีเหลืองสามารถจมอยู่ในพื้นหลังที่มืดได้ แต่จะไม่สว่าง ในทางกลับกันสีน้ำเงินนั้นมืด

การปรับปรุงมุมมองภาพในขั้นตอนหลังการประมวลผลลงมาที่การจำลองการรับรู้บรรยากาศ: วัตถุที่อยู่ไกลดูเหมือนเราเบาลง เบลอ โดยมีความเปรียบต่างลดลงในความสว่าง ความอิ่มตัวของสี และโทนสี

นอกจากระยะทางไกลแล้ว เอฟเฟกต์บรรยากาศยังดูเป็นธรรมชาติในตอนเช้า หมอกควัน หมอกควัน คำนึงถึงสภาพอากาศ: ในวันที่มีเมฆมากหรือตอนพลบค่ำ จะไม่มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างฉากหน้าและพื้นหลัง

ปัจจัยที่แข็งแกร่งที่สุดคือความเปรียบต่างของความสว่าง ในการตั้งค่า นี่คือคอนทราสต์ตามปกติ ลดคอนทราสต์ของวัตถุที่อยู่ห่างไกล เพิ่มคอนทราสต์ของพื้นหน้า - และภาพจะนูนออกมา ซึ่งไม่เกี่ยวกับความเปรียบต่างระหว่างพื้นหน้าและพื้นหลัง แต่เกี่ยวกับความเปรียบต่างของพื้นหลัง ซึ่งควรต่ำกว่าความเปรียบต่างของพื้นหน้า วิธีนี้ไม่เพียงเหมาะสำหรับการถ่ายภาพทิวทัศน์และประเภทเท่านั้น แต่ยังเหมาะสำหรับการถ่ายภาพบุคคลในสตูดิโอด้วย: เพิ่มคอนทราสต์ของด้านหน้า ลดคอนทราสต์บนเส้นผมและโหนกแก้ม เสื้อผ้า ฟิลเตอร์ภาพถ่ายบุคคลทำสิ่งที่คล้ายกัน โดยทำให้ผิวของวัตถุเบลอ และทำให้ดวงตาและริมฝีปากคมชัด

การปรับคอนทราสต์เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการประมวลผลภาพ 3 มิติภายหลัง ซึ่งแตกต่างจากกระบวนการอื่น ๆ ผู้ชมแทบจะไม่สังเกตเห็นการเปลี่ยนแปลงซึ่งจะรักษาความเป็นธรรมชาติสูงสุด

การเบลอนั้นคล้ายกับการลดคอนทราสต์ แต่เป็นกระบวนการที่แตกต่างกัน ภาพอาจมีคอนทราสต์ต่ำในขณะที่ยังคงความคมชัดอยู่ เนื่องจากระยะชัดลึกที่จำกัด การเบลอวัตถุที่อยู่ห่างไกลยังคงเป็นวิธีที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในการถ่ายภาพสามมิติ และง่ายต่อการปรับปรุงด้วยการทำให้พื้นหลังเบลอในกระบวนการปรับแต่งภายหลัง ดังนั้นควรใส่รายละเอียดน้อยลงในพื้นหลัง - สมองไม่คาดหวังวัตถุที่แตกต่างในระยะไกล ในขณะเดียวกันการลดคอนทราสต์ให้สอดคล้องกับการรับรู้ตามธรรมชาตินั้นดีกว่า: ภูเขาที่อยู่ไกลออกไปจะถูกมองว่ามีคอนทราสต์ต่ำ ไม่พร่ามัว เพราะเมื่อสแกนแนวนอน ดวงตาจะปรับโฟกัสใหม่ตลอดเวลา ปัญหาความชัดลึกของฟิลด์นั้นต่างออกไป ด้วยการทำให้พื้นหลังเบลอ คุณสามารถเพิ่มความคมชัดให้กับส่วนหน้าได้ในเวลาเดียวกัน นอกจากนี้ ในเบื้องหน้า คุณสามารถปรับปรุงเส้นของภาพ (ตัวกรองความถี่สูงหรือความชัดเจน) ความคมชัดสูงของพื้นหน้าเป็นสิ่งที่อธิบายลักษณะของเลนส์คุณภาพสูงที่นูนออกมา ข้อควรระวัง: เพื่อให้สามมิติเพิ่มขึ้นเล็กน้อย คุณสามารถทำให้ภาพแข็งเกินไปได้

วัตถุที่เบากว่าจะดูห่างไกลกว่า นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าในธรรมชาติเราเห็นวัตถุที่อยู่ไกลผ่านความหนาของอากาศที่กระเจิงแสง ภูเขาที่ห่างไกลดูสดใส ดังนั้นในการถ่ายภาพทิวทัศน์ จึงควรระมัดระวังเกี่ยวกับตำแหน่งของวัตถุที่มีแสงในส่วนโฟร์กราวด์

ทำให้วัตถุที่อยู่ห่างไกลสว่างขึ้น ยิ่งไกลออกไปก็ยิ่งผสานกับความสว่างและโทนของท้องฟ้า โปรดทราบว่าวัตถุในแนวนอน (บก, ทะเล) จะให้แสงสว่างได้ดีกว่าวัตถุในแนวตั้ง (ผนัง, ต้นไม้) ดังนั้นอย่าหักโหมกับการเพิ่มความสว่างให้กับสิ่งหลัง ไม่ว่าในกรณีใด วัตถุควรสว่างน้อยกว่าท้องฟ้าอย่างเห็นได้ชัด

ถ้าคุณสังเกตเห็นว่าการเพิ่มความสว่างเป็นอีกวิธีหนึ่งในการลดความเปรียบต่างในความสว่างของพื้นหลัง ทำให้พื้นหน้ามืดลงเล็กน้อยเพื่อเพิ่มเอฟเฟ็กต์นูน

ดูเหมือนว่าในการตกแต่งภายในจะตรงกันข้าม หากอยู่บนถนนดวงตาคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าระยะทางนั้นสว่าง แสงนั้นมักจะโฟกัสไปที่บุคคลนั้นในห้อง และการตกแต่งภายในก็จมอยู่ในความมืด สมองใช้ในการจัดแสงในส่วนหน้า ไม่ใช่พื้นหลัง

ในภาพภายในที่มีความลึกของฉากตื้น ตรงกันข้ามกับภาพทิวทัศน์ ตัวแบบที่สว่างจะยื่นออกมาจากพื้นหลังที่มืด แต่ก็มีปัจจัยที่ตรงกันข้ามเช่นกัน: 99% ของวิวัฒนาการของมนุษย์สังเกตมุมมองในพื้นที่เปิดโล่ง และเมื่อมีห้องต่างๆ เกิดขึ้น สมองก็ยังไม่มีเวลาในการจัดระเบียบใหม่ Vermeer เลือกใช้พื้นหลังสีอ่อนในการถ่ายภาพบุคคล และภาพเหล่านี้มีความนูนออกมามาก การให้แสงพื้นหลังแนวตั้งที่แนะนำในการถ่ายภาพ ไม่เพียงแต่แยกตัวแบบออกจากพื้นหลัง แต่ยังทำให้พื้นหลังสว่างขึ้นด้วย ทำให้ภาพมีมิติเล็กน้อย ที่นี่เราต้องเผชิญกับความจริงที่ว่าสมองวิเคราะห์ตำแหน่งของวัตถุตามปัจจัยหลายประการและอาจขัดแย้งกันได้

การจัดแสงในสตูดิโอดูน่าสนใจ โดยจุดไฟจะอยู่ในพื้นที่ของตัวแบบที่อยู่ห่างไกลจากกล้อง ตัวอย่างเช่น หน้าอกที่อยู่ห่างจากกล้องจะถูกเน้น

ลดความอิ่มตัวของสีบนวัตถุที่อยู่ไกล: เนื่องจากความหนาของอากาศที่แยกเราออกจากกัน ภูเขาที่อยู่ไกลออกไปจะเปลี่ยนสีจนเกือบถึงระดับขาวดำและปกคลุมด้วยหมอกควันสีฟ้า สามารถเพิ่มความอิ่มตัวของสีพื้นหน้าได้

เนื่องจากสีเหลืองเป็นสีอ่อนและสีน้ำเงินและสีแดงเป็นสีเข้ม คอนทราสต์ของสีจึงเป็นคอนทราสต์ความสว่างด้วย

ลดความเข้มของพื้นหลังที่อยู่ห่างไกล อย่าปล่อยให้มันหายไปจากการมองเห็น ในทางกลับกัน บ่อยครั้ง คุณต้องเพิ่มความอิ่มตัวของพื้นหลังเพื่อให้ออกมาโดดเด่น สิ่งนี้สำคัญกว่าความเป็นสามมิติ

เคล็ดลับมากมายสำหรับการถ่ายภาพ 3 มิตินั้นเกี่ยวกับคอนทราสต์ของอุณหภูมิ อันที่จริง เอฟเฟ็กต์นี้อ่อนแอมาก ถูกขัดจังหวะได้ง่ายจากคอนทราสต์ในความสว่าง นอกจากนี้ ความแตกต่างของอุณหภูมิยังน่ารำคาญและโดดเด่น

วัตถุที่อยู่ไกลมากจะดูเย็นกว่าเนื่องจากแสงสีส้มอบอุ่นถูกดูดกลืนโดยอากาศ เมื่อถ่ายภาพนางแบบบนชายหาดโดยมีเรือที่เส้นขอบฟ้าเป็นแบ็คกราวด์ ให้ลดอุณหภูมิสีของทะเลอันไกลโพ้นและเรือในขั้นตอนหลังการประมวลผล นางแบบในชุดว่ายน้ำสีแดงโผล่ขึ้นมาจากทะเลสีฟ้า และนางแบบในแสงสีเหลืองของโคมไฟถนนโผล่ออกมาจากแสงสีน้ำเงินสนธยา

นี่คือการปรับสีแยกต่างหาก: เราทำให้ตัวแบบอุ่นขึ้น พื้นหลังเย็นลง สมองเข้าใจว่าไม่มีอุณหภูมิสีที่แตกต่างกันในระนาบเดียวกัน และรับรู้ภาพดังกล่าวเป็นสามมิติ ซึ่งตัวแบบยื่นออกมาจากพื้นหลัง การปรับสีแบบแยกทำให้ความลึกของทิวทัศน์: ทำให้พื้นหน้าอุ่นขึ้น ฉากหลังเย็นลง

ข้อยกเว้นที่สำคัญสำหรับการปรับโทนสีแบบแยกส่วน: เมื่อพระอาทิตย์ขึ้นและตก พื้นหลังที่อยู่ไกลออกไปจะไม่เย็นเลย แต่อบอุ่นด้วยโทนสีเหลืองและสีแดงส้ม ทางออกที่ชัดเจน - การใช้นางแบบสีขาวในชุดว่ายน้ำสีม่วง - ไม่ได้ผลเพราะแสงพระอาทิตย์ตกจะทำให้ร่างกายของนางแบบมีโทนสีอบอุ่นเช่นกัน

กล่าวโดยสรุป เพื่อให้ภาพถ่ายมีมิติสามมิติโดยอิงจากเอฟเฟกต์บรรยากาศ จำเป็นต้องตัดกันระหว่างฉากหน้าและพื้นหลัง ความขัดแย้งหลักคือคอนทราสต์ตามปกติ: พื้นหน้าตัดกัน พื้นหลังมีคอนทราสต์ต่ำ ส่วนที่ขัดแย้งกันประการที่สองคือความคมชัด: พื้นหน้าคมชัด ฉากหลังพร่ามัว ความขัดแย้งที่สามเป็นไปตามความสว่าง: พื้นหน้ามืดพื้นหลังสว่าง ความขัดแย้งประการที่สี่เกิดจากความอิ่มตัว: สีพื้นหน้าจะอิ่มตัว สีพื้นหลังจะไม่อิ่มตัว ฝ่ายค้านที่ห้าอยู่ในอุณหภูมิ: พื้นหน้าอุ่นพื้นหลังเย็น

ปัจจัยเหล่านี้มักมีหลายทิศทาง สีเหลืองสว่างกว่าสีน้ำเงิน และวัตถุที่มีแสงจะปรากฏอยู่ไกลกว่าวัตถุที่มืด เป็นเรื่องปกติที่คาดว่าสีเหลืองจะลดลงและสีน้ำเงินจะเข้าใกล้ผู้ชม ในความเป็นจริงตรงกันข้าม: สีอุ่นโผล่ออกมาจากพื้นหลังที่เย็น นั่นคือสีกลายเป็นปัจจัยที่แข็งแกร่งกว่าความสว่าง ซึ่งไม่น่าแปลกใจในการสะท้อนแสง: สีเหลืองและสีแดงสามารถแยกแยะได้อย่างชัดเจนเฉพาะในระยะใกล้เท่านั้น และผู้ชมไม่คาดว่าจะพบพวกเขาในระยะไกล

บรรทัดล่างสุด: ให้พื้นหลังมีคอนทราสต์ต่ำ สีซีด สว่าง ไม่อิ่มตัว เป็นสีน้ำเงิน และเตรียมพร้อมสำหรับข้อเท็จจริงที่ว่าผู้ชมซึ่งเคยชินกับภาพยนตร์ 3 มิติที่ยืดเยื้อเกินไป จะพบว่าสามมิติที่คุณสร้างขึ้นแทบจะสังเกตไม่เห็นหรือขาดหายไป

ในการถ่ายภาพพอร์ตเทรต วิธีที่ดีที่สุดคือใช้เอฟเฟ็กต์ Chiaroscuro ที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ซึ่งเป็นการเล่นแสงและเงาบนใบหน้าของตัวแบบ ซึ่งจะทำให้ภาพดูโดดเด่นทีเดียว ในการถ่ายภาพประเภท มุมมองให้เอฟเฟกต์สามมิติที่เห็นได้ชัดเจนที่สุด ในหุ่นนิ่งปัจจัยหลักคือจุดตัด (การซ้อนทับ) ของวัตถุ

อย่าหลงไปกับมุมมอง มันเป็นเพียงพื้นหลังของระนาบด้านหน้าที่ภาพของคุณสั่นสะเทือน ในการวาดภาพสมัยใหม่ ห่างไกลจากความสมจริง

ดาวน์โหลดทั้งเล่ม: pdfepubazw3mobifb2litสารบัญ

ฉันเพิ่งสร้าง Ray Tracer อย่างง่ายสำหรับฉาก 3 มิติ มันถูกเขียนด้วย JavaScript และไม่เร็วมาก เพื่อความสนุกสนาน ฉันเขียน raytracer ใน C และให้โหมดการเรนเดอร์ 4 มิติ ในโหมดนี้ มันสามารถฉายฉาก 4 มิติบนจอแบนได้ ภายใต้การตัดคุณจะพบวิดีโอบางภาพและรหัสตัวติดตามรังสี

ทำไมต้องเขียนโปรแกรมแยกต่างหากเพื่อวาดฉาก 4 มิติ คุณสามารถใช้ตัวติดตามรังสีธรรมดาใส่ฉาก 4 มิติลงไปและได้ภาพที่น่าสนใจ แต่ภาพนี้จะไม่เป็นการฉายภาพทั้งฉากบนหน้าจอเลย ปัญหาคือ ฉากมี 4 มิติ และหน้าจอมีเพียง 2 มิติ และเมื่อ Ray Tracer ยิงรังสีผ่านหน้าจอ มันจะครอบคลุมพื้นที่ย่อย 3 มิติเท่านั้น และฉาก 4 มิติเพียง 3 มิติเท่านั้นที่จะ ปรากฏบนหน้าจอ การเปรียบเทียบง่ายๆ: ลองฉายฉาก 3 มิติไปยังส่วน 1 มิติ

ปรากฎว่าผู้สังเกตการณ์ 3 มิติที่มีการมองเห็น 2 มิติไม่สามารถมองเห็นฉากทั้ง 4 มิติได้ - อย่างดีที่สุด เขาจะเห็นเพียงส่วนเล็กๆ มีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่าการดูฉาก 4 มิติด้วยการมองเห็น 3 มิตินั้นสะดวกกว่า: ผู้สังเกตการณ์ 4 มิติบางคนมองไปที่วัตถุบางอย่างและมีการฉายภาพ 3 มิติบนอะนาล็อก 3 มิติของเขา เรตินา โปรแกรมของฉันจะฉายรังสีติดตามการฉายภาพ 3 มิตินี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ray tracer ของฉันแสดงสิ่งที่ผู้สังเกตการณ์ 4 มิติมองเห็นด้วยการมองเห็น 3 มิติของพวกเขา

คุณสมบัติของการมองเห็น 3 มิติ

ลองนึกภาพว่าคุณกำลังดูวงกลมกระดาษที่อยู่ตรงหน้าคุณ ในกรณีนี้ คุณจะเห็นวงกลม ถ้าคุณวางวงกลมนี้ไว้บนโต๊ะ คุณจะเห็นวงรี ถ้าคุณมองจากระยะไกล วงกลมนี้จะดูเล็กลง ในทำนองเดียวกันสำหรับการมองเห็นสามมิติ: ลูกบอลสี่มิติจะปรากฏต่อผู้สังเกตเป็นรูปวงรีสามมิติ ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วน ในอันแรก กระบอกสูบตั้งฉากกัน 4 อันที่เหมือนกันหมุน วินาที กรอบของลูกบาศก์ 4 มิติจะหมุน

ไปที่ภาพสะท้อนกันเถอะ เมื่อคุณมองไปที่ลูกบอลที่มีพื้นผิวสะท้อนแสง (บน ของเล่นต้นคริสต์มาสตัวอย่างเช่น) การสะท้อนจะวาดบนพื้นผิวของทรงกลมเหมือนเดิม นอกจากนี้ สำหรับการมองเห็นแบบ 3 มิติ: คุณกำลังดูลูกบอล 4 มิติ และมีการดึงแสงสะท้อนออกมาราวกับว่าอยู่บนพื้นผิวของมัน ตอนนี้พื้นผิวของลูกบอล 4 มิติเป็นแบบสามมิติแล้ว ดังนั้นเมื่อเราดูภาพสามมิติของลูกบอล แสงสะท้อนจะอยู่ด้านใน ไม่ใช่บนพื้นผิว หากเราทำให้ตัวติดตามรังสีปล่อยลำแสงและหาจุดตัดที่ใกล้ที่สุดด้วยการฉายภาพ 3 มิติของลูกบอล เราจะเห็นวงกลมสีดำ - พื้นผิวของการฉายภาพ 3 มิติจะเป็นสีดำ (ตามมาจากสูตร Fresnel) ดูเหมือนว่า:

สำหรับการมองเห็น 3 มิติ นี่ไม่ใช่ปัญหา เพราะมันมองเห็นลูกบอล 3 มิติทั้งลูกและจุดภายในที่มองเห็นได้ เช่นเดียวกับจุดบนพื้นผิว แต่ฉันต้องถ่ายทอดเอฟเฟกต์นี้บนจอแบน ดังนั้นฉันจึงสร้างเพิ่มเติม โหมดของเรย์เทรเซอร์เมื่อพิจารณาว่าวัตถุสามมิตินั้นราวกับควัน: ลำแสงจะผ่านวัตถุเหล่านั้นและค่อยๆ สูญเสียพลังงาน ปรากฎว่า:

เช่นเดียวกับเงา: มันไม่ได้ตกบนพื้นผิว แต่อยู่ภายในการฉายภาพ 3 มิติ ปรากฎว่าภายในลูกบอล 3 มิติ - การฉายภาพของลูกบอล 4 มิติ - อาจมีพื้นที่มืดในรูปแบบของการฉายภาพของลูกบาศก์ 4 มิติหากลูกบาศก์นี้ฉายเงาบนลูกบอล ฉันไม่รู้ว่าจะถ่ายทอดเอฟเฟกต์นี้บนจอแบนได้อย่างไร

การเพิ่มประสิทธิภาพ

Raytracing ฉาก 4D นั้นยากกว่า Raytracing ฉาก 3D ในกรณีของ 4D คุณต้องหาสีของพื้นที่ 3D ไม่ใช่สีเรียบ หากคุณเขียนตัวติดตามรังสี "ที่หน้าผาก" ความเร็วของมันจะต่ำมาก มีการปรับแต่งง่ายๆ สองสามอย่างที่สามารถลดเวลาการเรนเดอร์ภาพขนาด 1000x1000 ลงเหลือไม่กี่วินาที

สิ่งแรกที่ดึงดูดสายตาของคุณเมื่อดูรูปภาพดังกล่าวคือพิกเซลสีดำจำนวนหนึ่ง หากคุณแสดงบริเวณที่ลำแสงติดตามรังสีกระทบวัตถุอย่างน้อยหนึ่งชิ้น จะมีลักษณะดังนี้:

จะเห็นได้ว่าประมาณ 70% เป็นพิกเซลสีดำ และพื้นที่สีขาวเชื่อมต่ออยู่ (เชื่อมต่อเพราะฉาก 4D เชื่อมต่ออยู่) คุณสามารถคำนวณสีของพิกเซลที่ไม่เป็นระเบียบได้ แต่เดาว่าพิกเซลสีขาวหนึ่งพิกเซลแล้วเติมลงไป การดำเนินการนี้จะติดตามเฉพาะพิกเซลสีขาว + พิกเซลสีดำสองสามตัวซึ่งแสดงถึงเส้นขอบ 1 พิกเซลของพื้นที่สีขาว

การเพิ่มประสิทธิภาพครั้งที่สองนั้นได้มาจากการที่ตัวเลข - ลูกบอลและทรงกระบอก - นูนออกมา ซึ่งหมายความว่าสำหรับจุดสองจุดใดๆ ในรูปดังกล่าว ส่วนที่เชื่อมต่อกันนั้นจะอยู่ภายในรูปทั้งหมดด้วย ถ้าลำแสงตัดกับวัตถุนูน ในขณะที่จุด A อยู่ภายในวัตถุ และจุด B อยู่ด้านนอก ลำแสงที่เหลือจากด้าน B จะไม่ตัดกับวัตถุ

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ที่นี่ลูกบาศก์จะหมุนรอบจุดศูนย์กลาง ลูกบอลไม่สัมผัสลูกบาศก์ แต่ในการฉายภาพ 3 มิติ พวกเขาสามารถตัดกันได้

ในวิดีโอนี้ ลูกบาศก์อยู่นิ่ง และผู้สังเกตการณ์ 4 มิติบินผ่านลูกบาศก์ ลูกบาศก์ 3 มิติที่ดูใหญ่กว่านั้นอยู่ใกล้ผู้สังเกตมากกว่า และลูกที่เล็กกว่านั้นอยู่ไกลออกไป

ด้านล่างคือการหมุนแบบคลาสสิกในระนาบของแกน 1-2 และ 3-4 การหมุนดังกล่าวได้รับจากผลคูณของเมทริกซ์ Givens สองรายการ

Ray Tracer ของฉันทำงานอย่างไร

รหัสนี้เขียนด้วย ANSI C 99 คุณสามารถดาวน์โหลดได้ ฉันทดสอบบน ICC+Windows และ GCC+Ubuntu

โปรแกรมยอมรับไฟล์ข้อความพร้อมคำอธิบายของฉากเป็นอินพุต

ฉาก = ( วัตถุ = -- รายการของวัตถุในฉาก ( กลุ่ม -- กลุ่มของวัตถุสามารถมีการแปลงเลียนแบบที่กำหนด ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), ไฟ = -- รายการไฟ ( light((0.2, 0.1, 0.4, 0.7), 1), แสง((7, 8, 9, 10), 1), ) ) axiscylr = 0.1 -- รัศมีกระบอกสูบ axiscyl1 = ทรงกระบอก ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), แกนกระบอกสูบ, วัสดุ = (สี = (1, 0, 0))) axiscyl2 = ทรงกระบอก ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, วัสดุ = (สี = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = ทรงกระบอก ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), axiscylr, วัสดุ = (สี = (0 , 0, 1)) ) axiscyl4 = ทรงกระบอก ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), axiscylr, วัสดุ = (สี = (1, 1, 0)) )

หลังจากนั้นจะแยกวิเคราะห์คำอธิบายนี้และสร้างฉากในการแสดงแทนภายใน ขึ้นอยู่กับขนาดของพื้นที่ มันแสดงฉากและได้ภาพสี่มิติตามตัวอย่างข้างต้น หรือภาพสามมิติปกติ หากต้องการเปลี่ยน 4D ray tracer ให้เป็น 3D คุณต้องเปลี่ยนพารามิเตอร์ vec_dim จาก 4 เป็น 3 ในไฟล์ vector.h คุณยังสามารถตั้งค่าได้ในพารามิเตอร์บรรทัดคำสั่งสำหรับคอมไพเลอร์ รวบรวมเป็น GCC:

ซีดี /โฮม/ ชื่อผู้ใช้/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt

ทดสอบการทำงาน:

/บ้าน/ ชื่อผู้ใช้/rt/rt cube4d.ฉาก cube4d.bmp

หากคุณคอมไพล์ raytracer ด้วย vec_dim = 3 มันจะสร้างคิวบ์ปกติสำหรับฉาก cube3d.scene

วิธีการสร้างวิดีโอ

ในการทำเช่นนี้ ฉันได้เขียนสคริปต์ Lua ที่คำนวณเมทริกซ์การหมุนสำหรับแต่ละเฟรม และผนวกเข้ากับฉากอ้างอิง

แกน = ( (0.933, 0.358, 0, 0), -- แกน 1 (-0.358, 0.933, 0, 0), -- แกน 2 (0, 0, 0.933, 0.358), -- แกน 3 (0, 0 , -0.358, 0.933) -- แกน 4 ) ฉาก = ( วัตถุ = ( กลุ่ม ( แกน = แกน, axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ) )

วัตถุกลุ่ม นอกเหนือจากรายการของวัตถุแล้ว มีพารามิเตอร์การแปลงที่ใกล้เคียงกันสองพารามิเตอร์: แกนและจุดกำเนิด คุณสามารถหมุนวัตถุทั้งหมดในกลุ่มได้โดยการเปลี่ยนแกน

สคริปต์จึงเรียก raytracer ที่คอมไพล์แล้ว เมื่อเรนเดอร์เฟรมทั้งหมดแล้ว สคริปต์จะเรียกว่า Mencoder และรวบรวมวิดีโอจากแต่ละภาพ วิดีโอถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่สามารถเล่นซ้ำอัตโนมัติได้ เช่น ตอนจบของวิดีโอเหมือนกับตอนเริ่มต้น สคริปต์ทำงานดังนี้:

Luajit animate.lua

และในที่สุดไฟล์เก็บถาวรนี้มีไฟล์ avi 4 ไฟล์ 1,000 × 1,000 ทั้งหมดเป็นวงจร - คุณสามารถตั้งค่าให้เล่นซ้ำอัตโนมัติและคุณจะได้ภาพเคลื่อนไหวปกติ

แท็ก:

• ตัวติดตามรังสี
• พื้นที่สี่มิติ

เพิ่มแท็ก