ผลรวมของอสมการที่มีความหมายเดียวกันคือจำนวนลบ เราแก้ระบบอสมการ - คุณสมบัติและวิธีการคำนวณ การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

ฟิลด์ของจำนวนจริงมีคุณสมบัติในการเรียงลำดับ (ส่วนที่ 6 หน้า 35): สำหรับตัวเลข a, b ใดๆ ความสัมพันธ์หนึ่งหรือมีเพียงหนึ่งในสามเท่านั้นที่คงอยู่: หรือ ในกรณีนี้ รายการ a > b หมายความว่าผลต่างเป็นบวก และผลต่างรายการเป็นลบ ต่างจากสนามของจำนวนจริงตรงที่สนาม จำนวนเชิงซ้อนไม่ได้เรียงลำดับ: สำหรับจำนวนเชิงซ้อนแนวคิดของ "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" จะไม่ถูกกำหนดไว้ ดังนั้นบทนี้จึงครอบคลุมเพียงเท่านั้น ตัวเลขจริง.

เราเรียกอสมการความสัมพันธ์ โดยตัวเลข a และ b เป็นพจน์ (หรือบางส่วน) ของอสมการ เครื่องหมาย > (มากกว่า) และอสมการ a > b และ c > d เรียกว่า อสมการที่เหมือนกัน (หรือหนึ่งอันเดียวกัน) ความหมาย; อสมการ a > b และ c จากนิยามของอสมการจะตามมาทันที

1) จำนวนบวกใดๆ ที่มากกว่าศูนย์

2) จำนวนลบใด ๆ น้อยกว่าศูนย์

3) จำนวนบวกใด ๆ มากกว่าจำนวนลบใด ๆ

4) ของจำนวนลบสองตัว ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าก็จะมากกว่า

ข้อความทั้งหมดนี้ยอมรับการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย ให้ทิศทางบวกของแกนจำนวนไปทางขวาของ จุดเริ่มต้น- ดังนั้น ไม่ว่าตัวเลขนั้นจะมีลักษณะอย่างไร จุดที่มีขนาดใหญ่กว่าจะแสดงด้วยจุดที่อยู่ทางด้านขวาของจุดที่แสดงถึงตัวเลขที่น้อยกว่า

อสมการมีคุณสมบัติพื้นฐานดังต่อไปนี้

1. ความไม่สมมาตร (กลับไม่ได้): ถ้า แล้ว และในทางกลับกัน

แท้จริงแล้วหากความแตกต่างเป็นบวก ความแตกต่างก็คือลบ ว่ากันว่าเมื่อจัดเรียงเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันใหม่ ความหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะต้องเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม

2. การผ่าน: ถ้า แล้ว . แท้จริงแล้วจากผลบวกของความแตกต่างจึงตามมา

นอกจากสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันแล้ว สัญญาณความไม่เท่าเทียมกัน ยังถูกกำหนดไว้ดังนี้: รายการหมายความว่า อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ ดังนั้น คุณสามารถเขียนได้ และยัง โดยทั่วไปแล้ว อสมการที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายเรียกว่าอสมการเข้มงวด และอสมการที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายเรียกว่าอสมการไม่เข้มงวด ดังนั้นสัญญาณเหล่านี้จึงเรียกว่าสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดหรือไม่เข้มงวด คุณสมบัติ 1 และ 2 ที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นจริงสำหรับอสมการแบบไม่เข้มงวดเช่นกัน

ตอนนี้ให้เราพิจารณาการกระทำที่สามารถทำได้กับอสมการหนึ่งหรือหลายอย่าง

3. การเพิ่มจำนวนเดียวกันเข้าไปในเงื่อนไขของอสมการจะไม่เปลี่ยนความหมายของอสมการ

การพิสูจน์. ปล่อยให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันและจำนวนที่ต้องการ ตามคำจำกัดความความแตกต่างเป็นบวก ลองบวกตัวเลขที่ตรงกันข้ามสองตัวเข้ากับตัวเลขนี้ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงนั่นคือ

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

จากนี้ไปความแตกต่างก็คือบวกนั่นคือ

และนี่คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์

นี่เป็นพื้นฐานสำหรับความเป็นไปได้ที่สมาชิกของความไม่เท่าเทียมกันจะถูกเบ้จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เช่นจากความไม่เท่าเทียมกัน

มันเป็นไปตามนั้น

4. เมื่อคูณเงื่อนไขของอสมการด้วยจำนวนบวกเดียวกัน ความหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันคูณด้วยจำนวนลบเดียวกัน ความหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม

การพิสูจน์. ปล่อยให้แล้ว ถ้าอย่างนั้น เนื่องจากผลคูณของจำนวนบวกเป็นบวก เมื่อเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของอสมการสุดท้าย เราได้ เช่น . กรณีนี้ก็พิจารณาในลักษณะเดียวกัน

ข้อสรุปเดียวกันนี้สามารถสรุปได้เกี่ยวกับการหารส่วนของอสมการด้วยจำนวนใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์ เนื่องจากการหารด้วยตัวเลขเทียบเท่ากับการคูณด้วยตัวเลขและตัวเลขต่างๆ มีเครื่องหมายเหมือนกัน

5. ปล่อยให้เงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันเป็นบวก จากนั้นเมื่อเงื่อนไขถูกยกกำลังบวกเท่ากัน ความหมายของความไม่เท่าเทียมกันก็ไม่เปลี่ยนแปลง

การพิสูจน์. อนุญาต ในกรณีนี้ โดยสมบัติการผ่าน และ จากนั้นเนื่องจากความซ้ำซากจำเจเพิ่มขึ้น ฟังก์ชั่นพลังงานสำหรับและบวกเราจะมี

โดยเฉพาะถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ เราจะได้

นั่นคือเมื่อแยกรากของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านด้วยแง่บวก ความหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เปลี่ยนแปลง

ให้เงื่อนไขของอสมการเป็นลบ จากนั้น จึงไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ว่าเมื่อเงื่อนไขของมันถูกยกขึ้นเป็นพลังธรรมชาติที่แปลก ความหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่เมื่อยกให้เป็นพลังธรรมชาติที่สม่ำเสมอ มันจะเปลี่ยนไปในทิศทางตรงกันข้าม จากอสมการที่มีเทอมลบ เราสามารถแยกรากของดีกรีคี่ได้เช่นกัน

ยิ่งไปกว่านั้น เงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันมีสัญญาณที่แตกต่างกัน จากนั้นเมื่อทำการฝังเข้าไปแล้ว แม้แต่ปริญญาความหมายของความไม่เท่าเทียมกันไม่เปลี่ยนแปลง และเมื่อยกกำลังให้เท่ากัน ในกรณีทั่วไป ไม่สามารถพูดได้แน่ชัดเกี่ยวกับความหมายของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น ในความเป็นจริง เมื่อตัวเลขยกกำลังคี่ เครื่องหมายของตัวเลขจะยังคงอยู่ ดังนั้นความหมายของอสมการจึงไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อความไม่เท่าเทียมกันถูกยกให้เป็นกำลังเท่ากันจะเกิดความไม่เท่าเทียมกันกับเงื่อนไขเชิงบวกและความหมายของมันจะขึ้นอยู่กับค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม ที่มีความหมายตรงกันข้ามและแม้แต่ความเท่าเทียมกันก็สามารถได้รับ!

จะมีประโยชน์ในการตรวจสอบทุกสิ่งที่กล่าวไว้เกี่ยวกับการเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันให้กับอำนาจโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 เพิ่มค่าอสมการต่อไปนี้เป็นกำลังที่ระบุ โดยเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็นเครื่องหมายตรงข้ามหรือเท่ากับ หากจำเป็น

ก) 3 > 2 ยกกำลัง 4; b) ถึงระดับ 3;

c) ถึงระดับ 3; d) ถึงระดับ 2;

e) ยกกำลัง 5; จ) ถึงระดับ 4;

g) 2 > -3 ยกกำลัง 2; h) ยกกำลัง 2

6. จากความไม่เท่าเทียมกันเราสามารถก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันได้ระหว่างถ้าเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันเป็นทั้งบวกหรือลบทั้งคู่ จากนั้นระหว่างส่วนกลับจะมีความไม่เท่าเทียมกันที่มีความหมายตรงกันข้าม:

การพิสูจน์. ถ้า a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน แล้วผลคูณของพวกมันจะเป็นบวก หารด้วยความไม่เท่าเทียมกัน

นั่นคือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับ

หากเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกันมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ความไม่เท่าเทียมกันระหว่างส่วนกลับจะมีความหมายเหมือนกัน เนื่องจากเครื่องหมายของส่วนกลับจะเหมือนกับเครื่องหมายของปริมาณนั่นเอง

ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบคุณสมบัติสุดท้าย 6 โดยใช้อสมการต่อไปนี้:

7. ลอการิทึมของอสมการสามารถทำได้เฉพาะในกรณีที่เงื่อนไขของอสมการเป็นบวก (ไม่มีจำนวนลบและลอการิทึมเป็นศูนย์)

อนุญาต . แล้วจะมี

และจะมีเมื่อไหร่

ความถูกต้องของข้อความเหล่านี้ขึ้นอยู่กับความซ้ำซากจำเจ ฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งจะเพิ่มขึ้นถ้าฐานและลดลงด้วย

ดังนั้น เมื่อนำลอการิทึมของอสมการที่ประกอบด้วยพจน์บวกเป็นฐานที่มากกว่าหนึ่ง จะทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันของความหมายเดียวกันกับค่าที่กำหนด และเมื่อนำลอการิทึมไปยังฐานบวกที่น้อยกว่า 1 ก็จะเกิดความไม่เท่าเทียมกันของ ความหมายตรงกันข้ามเกิดขึ้น

8. ถ้า แล้วถ้า แต่ ถ้าอย่างนั้น

สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติของความน่าเบื่อทันที ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง(หน้า 42) ซึ่งเพิ่มขึ้นในกรณีและลดลงถ้า

เมื่อบวกความไม่เท่าเทียมกันตามเทอมของความหมายเดียวกัน จะเกิดความไม่เท่าเทียมกันของความหมายเดียวกันกับข้อมูล

การพิสูจน์. ขอให้เราพิสูจน์ข้อความนี้สำหรับอสมการสองรายการ แม้ว่าจะเป็นจริงสำหรับอสมการบวกจำนวนเท่าใดก็ได้ก็ตาม ปล่อยให้ความไม่เท่าเทียมกันได้รับ

ตามคำจำกัดความ ตัวเลขจะเป็นค่าบวก จากนั้นผลรวมของพวกเขาก็กลายเป็นบวกเช่นกัน เช่น

เราได้รับการจัดกลุ่มคำศัพท์ที่แตกต่างกัน

และด้วยเหตุนี้

และนี่คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์

เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอะไรที่ชัดเจนในกรณีทั่วไปเกี่ยวกับความหมายของความไม่เท่าเทียมกันที่ได้จากการเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันตั้งแต่สองรายการขึ้นไปที่มีความหมายต่างกัน

10. หากเราลบความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่งที่มีความหมายตรงกันข้ามออกจากความไม่เท่าเทียมกันทีละเทอมก็จะเกิดความไม่เท่าเทียมกันในความหมายเดียวกันกับอันแรก

การพิสูจน์. ให้ระบุความไม่เท่าเทียมกันสองประการที่มีความหมายต่างกัน ประการที่สองตามคุณสมบัติของการย้อนกลับไม่ได้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: d > c ตอนนี้ให้เราเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันสองรายการที่มีความหมายเดียวกันและรับความไม่เท่าเทียมกัน

ความหมายเดียวกัน จากอย่างหลังเราพบ

และนี่คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์

เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอะไรที่ชัดเจนในกรณีทั่วไปเกี่ยวกับความหมายของความไม่เท่าเทียมกันที่ได้จากการลบความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่งที่มีความหมายเดียวกันออกจากความไม่เท่าเทียมกัน

ความไม่เท่าเทียมกันคือบันทึกที่ตัวเลข ตัวแปร หรือนิพจน์เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมาย<, >, หรือ . กล่าวคือ อสมการสามารถเรียกได้ว่าเป็นการเปรียบเทียบตัวเลข ตัวแปร หรือนิพจน์ สัญญาณ < , > , ⩽ และ ⩾ ถูกเรียกว่า สัญญาณความไม่เท่าเทียมกัน.

ประเภทของความไม่เท่าเทียมกันและวิธีการอ่าน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง อสมการทั้งหมดประกอบด้วยสองส่วน: ซ้ายและขวา เชื่อมต่อกันด้วยสัญลักษณ์ความไม่เท่าเทียมกันอันใดอันหนึ่ง ขึ้นอยู่กับป้ายที่เชื่อมต่อส่วนต่าง ๆ ของความไม่เท่าเทียมกันจะแบ่งออกเป็นเข้มงวดและไม่เข้มงวด

ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด- อสมการที่ส่วนต่าง ๆ เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมาย< или >. อสมการที่ไม่เข้มงวด- ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งส่วนต่าง ๆ เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายหรือ

พิจารณากฎพื้นฐานของการเปรียบเทียบในพีชคณิต:

• จำนวนบวกใดๆ ที่มากกว่าศูนย์
• จำนวนลบใดๆ จะน้อยกว่าศูนย์
• ของจำนวนลบสองตัว ค่าสัมบูรณ์ที่มีค่าน้อยกว่าจะมากกว่า ตัวอย่างเช่น -1 > -7
• กและ ขเชิงบวก:

  ก - ข > 0,

  ที่ กมากกว่า ข (ก > ข).

• หากผลต่างของตัวเลขสองตัวไม่เท่ากัน กและ ขเชิงลบ:

  ก - ข < 0,

  ที่ กน้อย ข (ก < ข).

• หากตัวเลขมากกว่าศูนย์ แสดงว่าเป็นค่าบวก:

  ก> 0 ซึ่งหมายความว่า ก- จำนวนบวก

• หากตัวเลขน้อยกว่าศูนย์ แสดงว่าเป็นค่าลบ:

  ก < 0, значит ก- จำนวนลบ

อสมการที่เท่าเทียมกัน- ความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นผลมาจากความไม่เท่าเทียมกันอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น ถ้า กน้อย ข, ที่ ขมากกว่า ก:

ก < ขและ ข > ก- ความไม่เท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกัน

คุณสมบัติของอสมการ

1. หากคุณบวกจำนวนเดียวกันลงทั้งสองด้านของอสมการหรือลบจำนวนเดียวกันจากทั้งสองข้าง คุณจะได้อสมการที่เท่ากัน กล่าวคือ

   ถ้า ก > ข, ที่ ก + ค > ข + ค และ ก - ค > ข - ค

   จากนี้ไปจึงเป็นไปได้ที่จะถ่ายโอนเงื่อนไขความไม่เท่าเทียมกันจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม เช่น การบวกความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านเข้าด้วยกัน ก - ข > ค - ง โดย งเราได้รับ:

   ก - ข > ค - ง

   ก - ข + ง > ค - ง + ง

   ก - ข + ง > ค

2. หากอสมการทั้งสองข้างคูณหรือหารด้วยจำนวนบวกเท่ากัน ก็จะได้อสมการที่เท่ากัน กล่าวคือ
3. ถ้าอสมการทั้งสองด้านคูณหรือหารด้วยจำนวนลบเท่ากันก็จะได้อสมการตรงข้ามกับค่าที่กำหนด กล่าวคือ เมื่อคูณหรือหารอสมการทั้งสองส่วนด้วยจำนวนลบจะมีเครื่องหมายของ ความไม่เท่าเทียมกันจะต้องเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม

   คุณสมบัตินี้สามารถใช้เพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการได้โดยการคูณทั้งสองข้างด้วย -1 และเปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการให้ตรงกันข้าม:

   -ก + ข > -ค

   (-ก + ข) · -1< (-ค) · -1

   ก - ข < ค

   ความไม่เท่าเทียมกัน -ก + ข > -ค เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน ก - ข < ค

1 - ถ้า ก>ข, ที่ ข< a - ในทางตรงกันข้ามถ้า ก< b , ที่ ข > ก.

ตัวอย่าง- ถ้า 5x – 1 > 2x + 1, ที่ 2x +1< 5x — 1 .

2 - ถ้า ก>ขและ ข > ค, ที่ ก > ค- เหมือนกันเลย ก< b และ ข< с , ที่ ก< с .

ตัวอย่าง- จากความไม่เท่าเทียมกัน x > 2у, 2ปี > 10มันเป็นไปตามนั้น x >10.

3 - ถ้า ก > ข,ที่ ก + ค > ข + คและ ก – ค > ข – ค- ถ้า ก< b , ที่ ก + ค และ เอ - ค , เหล่านั้น. คุณสามารถเพิ่ม (หรือลบ) ปริมาณเท่ากันทั้งสองข้างของอสมการได้

ตัวอย่างที่ 1- โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกัน x + 8>3- เราพบการลบเลข 8 จากทั้งสองด้านของอสมการ x > - 5.

ตัวอย่างที่ 2. โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกัน x – 6< — 2 - เราพบว่าบวก 6 ทั้งสองข้าง เอ็กซ์< 4 .

4 - ถ้า ก>ขและ ค > ง,ที่ ก + ค >ข + ง- เหมือนกันทุกประการถ้า ก< b และ กับ< d , ที่ ก + ค< b + d กล่าวคือ ความไม่เท่าเทียมกันสองประการที่มีความหมายเดียวกัน) สามารถบวกคำต่อคำได้ สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับอสมการจำนวนเท่าใดก็ได้ เช่น ถ้า a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, ที่ a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

ตัวอย่างที่ 1. อสมการ — 8 > — 10 และ 5 > 2 เป็นเรื่องจริง เมื่อบวกเข้าไปทีละเทอม เราจะพบความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง — 3 > — 8 .

ตัวอย่างที่ 2. กำหนดระบบความไม่เท่าเทียมกัน ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)ป< 4 - เราพบว่าเมื่อบวกพวกมันทีละเทอม x< 22 .

ความคิดเห็น ความไม่เท่าเทียมกันสองประการที่มีความหมายเดียวกันไม่สามารถลบออกจากกันในแต่ละเทอมได้ เนื่องจากผลลัพธ์อาจเป็นจริง แต่ก็อาจไม่ถูกต้องเช่นกัน เช่น ถ้ามาจากความไม่เท่าเทียมกัน 10 > 8 2 > 1 แล้วเราจะได้อสมการที่ถูกต้อง 8 > 7 แต่ถ้ามาจากความไม่เท่าเทียมกัน 10 > 8 ลบระยะอสมการทีละเทอม 6 > 1 แล้วเราก็จะพบกับความไร้สาระ เปรียบเทียบจุดต่อไป

5 - ถ้า ก>ขและ ค< d , ที่ ก – ค > ข – ง- ถ้า ก< b และ ซีดี, ที่ เอ - ค< b — d นั่นคือจากความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งเราสามารถลบทีละเทอมความไม่เท่าเทียมกันอื่นที่มีความหมายตรงกันข้าม) ทิ้งร่องรอยของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งอีกอันถูกลบออกไป

ตัวอย่างที่ 1- อสมการ 12 < 20 และ 15 > 7 เป็นเรื่องจริง ลบเทอมที่สองทีละเทอมจากเทอมแรกและทิ้งเครื่องหมายของเทอมแรกไว้ เราจะได้อสมการที่ถูกต้อง — 3 < 13 - เมื่อลบเทอมแรกออกจากเทอมที่สองทีละเทอมแล้วทิ้งเครื่องหมายของเทอมที่สองไว้ เราจะพบอสมการที่ถูกต้อง 3 > — 13 .

ตัวอย่างที่ 2- ด้วยระบบความไม่เท่าเทียมกัน (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 - เราพบการลบวินาทีจากอสมการแรก ย< 10 .

6 - ถ้า ก > ขและ มเป็นจำนวนบวกแล้ว แม่ > เมกะไบต์และ มี/ไม่มี > b/nกล่าวคือ ทั้งสองด้านของอสมการสามารถหารหรือคูณด้วยจำนวนบวกที่เท่ากันได้ (เครื่องหมายของอสมการยังคงเหมือนเดิม) ก>ขและ nเป็นจำนวนลบแล้ว นา< nb และ หนึ่ง< b/n กล่าวคือ อสมการทั้งสองข้างสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนลบที่เท่ากันได้ แต่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการให้ตรงกันข้าม

ตัวอย่างที่ 1- การแบ่งทั้งสองด้านของความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง 25 > 20 บน 5 เราได้รับอสมการที่ถูกต้อง 5 > 4 - ถ้าเราแบ่งอสมการทั้งสองด้าน 25 > 20 บน — 5 จากนั้นคุณจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย > บน < แล้วเราก็ได้อสมการที่ถูกต้อง — 5 < — 4 .

ตัวอย่างที่ 2- จากความไม่เท่าเทียมกัน 2x< 12 มันเป็นไปตามนั้น เอ็กซ์< 6 .

ตัวอย่างที่ 3- จากความไม่เท่าเทียมกัน -(1/3)х — (1/3)х > 4มันเป็นไปตามนั้น x< — 12 .

ตัวอย่างที่ 4- โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกัน x/k > ใช่/l- มันเป็นไปตามนั้น lx > ไคถ้าเป็นสัญญาณของตัวเลข ลและ เคเหมือนกัน แล้วไงล่ะ ลักซ์< ky ถ้าเป็นสัญญาณของตัวเลข ลและ เคตรงข้าม.

ความไม่เท่าเทียมกันมีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ ที่โรงเรียนเราจัดการเรื่องต่างๆ เป็นหลัก อสมการเชิงตัวเลขด้วยคำจำกัดความที่เราจะเริ่มต้นบทความนี้ จากนั้นเราจะแสดงรายการและจัดชิดขอบ คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขซึ่งมีหลักการทั้งหมดในการทำงานกับความไม่เท่าเทียม

ให้เราทราบทันทีว่าคุณสมบัติหลายประการของอสมการเชิงตัวเลขมีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้นเราจะนำเสนอเนื้อหาตามรูปแบบเดียวกัน: เรากำหนดคุณสมบัติให้เหตุผลและตัวอย่างหลังจากนั้นเราจะไปยังคุณสมบัติถัดไป

การนำทางหน้า

อสมการเชิงตัวเลข: คำจำกัดความตัวอย่าง

เมื่อเราแนะนำแนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมกัน เราสังเกตเห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันมักถูกกำหนดโดยวิธีการเขียน ดังนั้นเราจึงเรียกว่าอสมการที่สมเหตุสมผล นิพจน์พีชคณิตมีเครื่องหมายไม่เท่ากับ ≠ น้อยกว่า<, больше >, น้อยกว่าหรือเท่ากับ ≤ หรือมากกว่าหรือเท่ากับ ≥ ตามคำจำกัดความข้างต้น จะสะดวกในการให้คำนิยามของอสมการเชิงตัวเลข:

การพบกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขเกิดขึ้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ทันทีหลังจากทำความคุ้นเคยกับตัวเลขธรรมชาติตัวแรกตั้งแต่ 1 ถึง 9 และทำความคุ้นเคยกับการดำเนินการเปรียบเทียบ จริงอยู่ ที่นั่นเรียกกันง่ายๆ ว่าอสมการ โดยละเว้นคำจำกัดความของ "ตัวเลข" เพื่อความชัดเจน การให้ตัวอย่างอสมการเชิงตัวเลขที่ง่ายที่สุดจากขั้นตอนการศึกษานั้นไม่ใช่เรื่องเสียหาย: 1<2 , 5+2>3 .

และต่อจากนี้ ตัวเลขธรรมชาติความรู้ถูกขยายไปยังตัวเลขประเภทอื่นๆ (จำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนจริง) มีการศึกษากฎสำหรับการเปรียบเทียบ และสิ่งนี้ขยายขอบเขตอสมการเชิงตัวเลขประเภทต่างๆ อย่างมีนัยสำคัญ: −5>−72, 3>−0.275·(7 −5.6), .

คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข

ในทางปฏิบัติ การทำงานกับความไม่เท่าเทียมช่วยให้เกิดผลหลายประการ คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข- ซึ่งเป็นไปตามแนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมที่เรานำเสนอ ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข แนวคิดนี้กำหนดไว้โดยข้อความต่อไปนี้ ซึ่งถือได้ว่าเป็นคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" และ "มากกว่า" ในชุดตัวเลข (มักเรียกว่าคำจำกัดความความแตกต่างของความไม่เท่าเทียมกัน):

คำนิยาม.

• ตัวเลข ก จำนวนมากขึ้น b ก็ต่อเมื่อผลต่าง a−b เป็นจำนวนบวกเท่านั้น
• จำนวน a น้อยกว่าจำนวน b ก็ต่อเมื่อผลต่าง a−b เป็นจำนวนลบเท่านั้น
• จำนวน a เท่ากับจำนวน b ก็ต่อเมื่อผลต่าง a−b เป็นศูนย์

คำจำกัดความนี้สามารถนำมาใช้ใหม่ในคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" และ "มากกว่าหรือเท่ากับ" นี่คือถ้อยคำของเขา:

คำนิยาม.

• ตัวเลข a มากกว่าหรือเท่ากับ b ก็ต่อเมื่อ a−b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น
• a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b ก็ต่อเมื่อ a−b เป็นจำนวนบวกเท่านั้น

เราจะใช้คำจำกัดความเหล่านี้เมื่อพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขเพื่อทบทวนสิ่งที่เราดำเนินการต่อไป

คุณสมบัติพื้นฐาน

เราเริ่มการทบทวนด้วยคุณสมบัติหลักสามประการของความไม่เท่าเทียมกัน ทำไมพวกเขาถึงเป็นพื้นฐาน? เนื่องจากเป็นการสะท้อนคุณสมบัติของอสมการในความหมายทั่วไปที่สุด และไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับอสมการเชิงตัวเลขเท่านั้น

อสมการเชิงตัวเลขเขียนโดยใช้เครื่องหมาย< и >ลักษณะ:

สำหรับอสมการเชิงตัวเลขที่เขียนโดยใช้เครื่องหมายอสมการแบบอ่อน ≤ และ ≥ อสมการเหล่านี้มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ (และไม่ต้านการสะท้อนกลับ) เนื่องจากอสมการ a≤a และ a≥a รวมถึงกรณีของความเท่าเทียมกัน a=a ด้วย พวกมันยังมีลักษณะต่อต้านสมมาตรและการเปลี่ยนผ่านอีกด้วย

ดังนั้น อสมการเชิงตัวเลขที่เขียนโดยใช้เครื่องหมาย ≤ และ ≥ จึงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• การสะท้อนกลับ a≥a และ a≤a เป็นอสมการที่แท้จริง
• ความไม่สมมาตร ถ้า a≤b แล้ว b≥a และถ้า a≥b แล้ว b≤a
• การผ่านกรรมวิธี ถ้า a≤b และ b≤c แล้ว a≤c และถ้า a≥b และ b≥c แล้ว a≥c

การพิสูจน์ของพวกเขาคล้ายกับที่ให้ไว้แล้วมาก ดังนั้นเราจะไม่ยึดติดกับสิ่งเหล่านั้น แต่ไปยังคุณสมบัติที่สำคัญอื่น ๆ ของอสมการเชิงตัวเลข

คุณสมบัติที่สำคัญอื่นๆ ของอสมการเชิงตัวเลข

ให้เราเสริมคุณสมบัติพื้นฐานของอสมการเชิงตัวเลขด้วยชุดผลลัพธ์ที่มีขนาดใหญ่ ความสำคัญในทางปฏิบัติ- วิธีการประมาณค่าของนิพจน์นั้นขึ้นอยู่กับหลักการเหล่านั้น การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันฯลฯ ดังนั้นจึงแนะนำให้ทำความเข้าใจให้ดี

ในส่วนนี้ เราจะกำหนดคุณสมบัติของอสมการสำหรับสัญญาณหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดเท่านั้น แต่ควรจำไว้ว่าคุณสมบัติที่คล้ายกันจะใช้ได้กับเครื่องหมายตรงกันข้าม เช่นเดียวกับสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด ลองอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่าง ด้านล่างเรากำหนดและพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการดังต่อไปนี้: ถ้าก

• ถ้า a>b แล้ว a+c>b+c ;
• ถ้า a≤b แล้ว a+c≤b+c;
• ถ้าa≥b แล้ว a+c≥b+c

เพื่อความสะดวก เราจะนำเสนอคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขในรูปแบบของรายการ ในขณะที่เราจะให้ประโยคที่เกี่ยวข้อง เขียนอย่างเป็นทางการโดยใช้ตัวอักษร ให้หลักฐาน แล้วแสดงตัวอย่างการใช้งาน และในตอนท้ายของบทความเราจะสรุปคุณสมบัติทั้งหมดของอสมการเชิงตัวเลขในตาราง ไปกันเลย!

การบวก (หรือการลบ) จำนวนใดๆ ลงทั้งสองข้างของอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริงจะทำให้เกิดอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าตัวเลข a และ b มีค่าเท่ากับ a

เพื่อพิสูจน์ ลองสร้างความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการตัวเลขสุดท้าย และแสดงว่ามันเป็นลบภายใต้เงื่อนไข a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b- เนื่องจากตามเงื่อนไข ก

เราไม่ได้เน้นไปที่การพิสูจน์คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขในการลบตัวเลข c เนื่องจากบนเซตของการลบจำนวนจริงสามารถแทนที่ได้ด้วยการบวก −c

ตัวอย่างเช่น หากคุณบวกเลข 15 เข้ากับทั้งสองด้านของอสมการตัวเลขที่ถูกต้อง 7>3 คุณจะได้อสมการตัวเลขที่ถูกต้อง 7+15>3+15 ซึ่งก็คือ 22>18 เหมือนกัน

หากทั้งสองด้านของอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องถูกคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนบวก c ที่เท่ากัน คุณจะได้อสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง หากอสมการทั้งสองข้างคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนลบ c และเครื่องหมายของอสมการกลับกัน อสมการจะเป็นจริง ในรูปแบบตัวอักษร: ถ้าตัวเลข a และ b เป็นไปตามอสมการ a บีซี

การพิสูจน์. เริ่มจากกรณีที่ c>0 กันก่อน ลองสร้างความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการเชิงตัวเลขที่ได้รับการพิสูจน์: a·c−b·c=(a−b)·c . เนื่องจากตามเงื่อนไข ก 0 จากนั้นผลคูณ (a−b)·c จะเป็นจำนวนลบเป็นผลคูณของจำนวนลบ a−b และจำนวนบวก c (ซึ่งต่อจาก ) ดังนั้น a·c−b·c<0 , откуда a·c

เราไม่ได้เน้นไปที่การพิสูจน์คุณสมบัติที่พิจารณาในการหารทั้งสองข้างของอสมการตัวเลขที่แท้จริงด้วยจำนวน c ที่เท่ากัน เนื่องจากการหารสามารถแทนที่ด้วยการคูณด้วย 1/c ได้เสมอ

เรามาแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติที่วิเคราะห์กับตัวเลขเฉพาะกัน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถมีค่าอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องทั้งสองด้านได้ 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

จากคุณสมบัติที่เพิ่งกล่าวถึงไปคือการคูณทั้งสองด้านของจำนวนที่เท่ากันด้วยตัวเลข ผลลัพธ์ที่มีคุณค่าในทางปฏิบัติสองค่าจะตามมา ดังนั้นเราจึงกำหนดมันในรูปแบบของผลที่ตามมา

คุณสมบัติทั้งหมดที่กล่าวถึงข้างต้นในย่อหน้านี้ถูกรวมเข้าด้วยกันโดยข้อเท็จจริงที่ว่าในตอนแรกได้รับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้องและจากนั้นผ่านการยักย้ายบางอย่างกับส่วนของความไม่เท่าเทียมกันและเครื่องหมายทำให้ได้รับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้องอีกครั้ง ตอนนี้เราจะนำเสนอกลุ่มของคุณสมบัติที่ไม่ได้ให้ในตอนแรก แต่มีอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องหลายประการและได้รับผลลัพธ์ใหม่จากการใช้ร่วมกันหลังจากเพิ่มหรือคูณส่วนต่างๆ

ถ้าตัวเลข a, b, c และ d เป็นไปตามอสมการ a

ให้เราพิสูจน์ว่า (a+c)−(b+d) เป็นจำนวนลบ ซึ่งจะพิสูจน์ว่า a+c

โดยการเหนี่ยวนำ คุณสมบัตินี้ขยายไปสู่การบวกสาม สี่ และโดยทั่วไปแล้วจะเป็นจำนวนจำกัดใดๆ ของอสมการเชิงตัวเลข ดังนั้น ถ้าสำหรับตัวเลข a 1, a 2, …, a n และ b 1, b 2, …, bn อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: a 1 ก 1 +ก 2 +…+น .

ตัวอย่างเช่น เราได้รับอสมการตัวเลขที่ถูกต้องสามรายการที่มีเครื่องหมายเดียวกัน −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

คุณสามารถคูณอสมการเชิงตัวเลขของเทอมที่มีเครื่องหมายเดียวกันด้วยเทอม ซึ่งทั้งสองด้านจะแสดงด้วยจำนวนบวก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับความไม่เท่าเทียมกันสองประการ

เพื่อพิสูจน์ คุณสามารถคูณทั้งสองข้างของอสมการ a ได้

คุณสมบัตินี้ก็เป็นจริงเช่นกันสำหรับการคูณจำนวนจำกัดของอสมการเชิงตัวเลขจริงกับส่วนที่เป็นบวก นั่นคือ ถ้า 1, a 2, …, a n และ b 1, b 2, …, bn เป็นจำนวนบวก และ a 1 ก 1 2…น .

เป็นที่น่าสังเกตว่าหากสัญกรณ์สำหรับอสมการเชิงตัวเลขมีตัวเลขที่ไม่เป็นบวก การคูณแบบเทอมต่อเทอมอาจนำไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น อสมการเชิงตัวเลข 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• ผลที่ตามมา การคูณระยะของอสมการจริงที่เหมือนกันของรูปแบบ a

ในตอนท้ายของบทความ ตามที่สัญญาไว้ เราจะรวบรวมคุณสมบัติที่ศึกษาทั้งหมดมา ตารางคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข:

อ้างอิง.

• โมโร เอ็ม.ไอ.- คณิตศาสตร์. หนังสือเรียน สำหรับ 1 ชั้นเรียน จุดเริ่มต้น โรงเรียน ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 (ครึ่งปีแรก) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6th ed. - อ.: การศึกษา, 2549. - 112 น.: ป่วย+เพิ่ม. (2 แยก l. ป่วย). - ไอ 5-09-014951-8.
• คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburg - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 280 หน้า: ป่วย. ไอ 5-346-00699-0.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย. ไอ 978-5-346-01155-2.

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด