ทฤษฎีบทออสโตรกราดเกาส์สำหรับเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้า ทฤษฎีบทของเกาส์ การประยุกต์ทฤษฎีบทของเกาส์

งานหลักของไฟฟ้าสถิตคือการคำนวณสนามไฟฟ้าที่สร้างขึ้นในอุปกรณ์และอุปกรณ์ต่างๆ โดยทั่วไป ปัญหานี้แก้ไขได้โดยใช้กฎของคูลอมบ์และหลักการซ้อนทับ อย่างไรก็ตาม งานนี้มีความซับซ้อนมากเมื่อพิจารณาจุดจำนวนมากหรือประจุแบบกระจายเชิงพื้นที่ ปัญหาที่มากยิ่งขึ้นเกิดขึ้นเมื่อมีไดอิเล็กทริกหรือตัวนำในอวกาศเมื่ออยู่ภายใต้อิทธิพลของสนามภายนอก E 0 การกระจายประจุด้วยกล้องจุลทรรศน์เกิดขึ้นใหม่ทำให้เกิดสนามเพิ่มเติม E ของตัวเอง ดังนั้นในการแก้ปัญหาเหล่านี้ในทางปฏิบัติวิธีการและเทคนิคเสริมคือ ใช้ที่ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน เราจะพิจารณาวิธีที่ง่ายที่สุดโดยอาศัยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี–เกาส์ เพื่อกำหนดทฤษฎีบทนี้ เราได้แนะนำแนวคิดใหม่หลายประการ:

ก) ความหนาแน่นของประจุ

หากตัวประจุมีขนาดใหญ่ คุณจำเป็นต้องทราบการกระจายตัวของประจุภายในตัว

ความหนาแน่นของประจุตามปริมาตร– วัดโดยประจุต่อหน่วยปริมาตร:

ความหนาแน่นประจุพื้นผิว– วัดโดยประจุต่อหน่วยพื้นผิวของวัตถุ (เมื่อประจุถูกกระจายไปทั่วพื้นผิว):

ความหนาแน่นประจุเชิงเส้น(การกระจายประจุตามตัวนำ):

ข) เวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต

เวกเตอร์ของการเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต (เวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้า) คือปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะของสนามไฟฟ้า

เวกเตอร์ เท่ากับผลคูณของเวกเตอร์ ค่าคงที่ไดอิเล็กตริกสัมบูรณ์ของตัวกลางที่จุดที่กำหนด:

มาตรวจสอบมิติกัน ดีในหน่วย SI:

, เพราะ
,

ดังนั้นมิติ D และ E จึงไม่ตรงกันและค่าตัวเลขก็แตกต่างกันเช่นกัน

จากคำนิยาม มันเป็นไปตามนั้นสำหรับสนามเวกเตอร์ หลักการซ้อนทับเดียวกันนี้ใช้กับสนาม :

สนาม แสดงเป็นภาพด้วยเส้นเหนี่ยวนำ เช่นเดียวกับสนาม - เส้นเหนี่ยวนำจะถูกวาดขึ้นเพื่อให้เส้นสัมผัสกันในแต่ละจุดตรงกับทิศทาง และจำนวนบรรทัดเท่ากับค่าตัวเลขของ D ณ ตำแหน่งที่กำหนด

เพื่อให้เข้าใจความหมายของคำนำ ลองดูตัวอย่าง

	ε> 1	ที่ขอบเขตของช่องที่มีอิเล็กทริกประจุลบที่เกี่ยวข้องจะมีความเข้มข้นและ สนามข้อมูลจะลดลง  และความหนาแน่นลดลงอย่างกะทันหัน
ในกรณีเดียวกัน: D = Eεε 0	จากนั้น: เส้น ไปอย่างต่อเนื่อง เส้น เริ่มโดยไม่มีค่าใช้จ่าย (ที่ บนขอบเขตใด ๆ หรืออิสระ) และที่ขอบเขตอิเล็กทริกความหนาแน่นของมันยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น– ความต่อเนื่องของเส้นเหนี่ยวนำช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณอย่างมาก และรู้ถึงความเชื่อมโยง กับ คุณสามารถหาเวกเตอร์ได้ .

วี) ฟลักซ์เวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต

พิจารณาพื้นผิว S ในสนามไฟฟ้าแล้วเลือกทิศทางของเส้นตั้งฉาก

1. ถ้าสนามมีความสม่ำเสมอ จำนวนเส้นสนามที่ผ่านพื้นผิว S:

2. หากสนามไม่สม่ำเสมอ พื้นผิวจะถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบเล็ก ๆ dS ซึ่งถือว่าแบนและสนามรอบ ๆ พวกมันจะสม่ำเสมอ ดังนั้นฟลักซ์ผ่านองค์ประกอบพื้นผิวคือ: dN = D n dS,

และการไหลรวมที่ผ่านพื้นผิวใดๆ จะเป็น:

(6)

ฟลักซ์การเหนี่ยวนำ N คือปริมาณสเกลาร์ ขึ้นอยู่กับสามารถเป็น> 0 หรือ< 0, или = 0.

ลองพิจารณาว่าค่าของเวกเตอร์ E เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรที่ส่วนต่อประสานระหว่างตัวกลางสองตัว เช่น อากาศ (ε 1) และน้ำ (ε = 81) ความแรงของสนามแม่เหล็กในน้ำลดลงอย่างกะทันหันด้วยปัจจัย 81 พฤติกรรมเวกเตอร์นี้ อีสร้างความไม่สะดวกเมื่อคำนวณฟิลด์ในสภาพแวดล้อมต่างๆ เพื่อหลีกเลี่ยงความไม่สะดวกนี้ จึงมีการใช้เวกเตอร์ใหม่ ดี– เวกเตอร์ของการเหนี่ยวนำหรือการกระจัดทางไฟฟ้าของสนาม การเชื่อมต่อเวกเตอร์ ดีและ อีดูเหมือนว่า

ดี = ε ε 0 อี.

แน่นอนว่า สำหรับสนามประจุจุดหนึ่ง การกระจัดทางไฟฟ้าจะเท่ากับ

สังเกตได้ง่ายว่าการกระจัดทางไฟฟ้าวัดเป็น C/m2 ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ และแสดงเป็นกราฟด้วยเส้นที่คล้ายกับเส้นแรงดึง

ทิศทางของเส้นสนามเป็นลักษณะของทิศทางของสนามในอวกาศ (แน่นอนว่าไม่มีเส้นสนาม แต่จะถูกนำมาใช้เพื่อความสะดวกในภาพประกอบ) หรือทิศทางของเวกเตอร์ความแรงของสนาม การใช้เส้นตึงทำให้คุณสามารถระบุลักษณะไม่เพียงแต่ทิศทางเท่านั้น แต่ยังรวมถึงขนาดของความแรงของสนามด้วย ในการทำเช่นนี้ มีการตกลงที่จะดำเนินการด้วยความหนาแน่นที่แน่นอน เพื่อให้จำนวนเส้นแรงดึงที่เจาะพื้นผิวหน่วยที่ตั้งฉากกับเส้นแรงดึงนั้นเป็นสัดส่วนกับโมดูลัสเวกเตอร์ อี(รูปที่ 78) จากนั้นจำนวนบรรทัดที่เจาะเข้าไปในพื้นที่ประถมศึกษา dS ซึ่งเป็นค่าปกติ nสร้างมุม α ด้วยเวกเตอร์ อีเท่ากับ E dScos α = E n dS

โดยที่ E n คือองค์ประกอบเวกเตอร์ อีไปในทิศทางปกติ n- ค่า dФ E = E n dS = อีง สเรียกว่า การไหลของเวกเตอร์แรงดึงผ่านไซต์ง ส(ง ส= ดีเอส n).

สำหรับพื้นผิวปิดใดๆ S การไหลของเวกเตอร์ อีผ่านพื้นผิวนี้เท่ากัน

การแสดงออกที่คล้ายกันมีการไหลของเวกเตอร์การกระจัดไฟฟ้า Ф D

.

ทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์

ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้เราสามารถหาการไหลของเวกเตอร์ E และ D จากประจุจำนวนเท่าใดก็ได้ ลองหาจุดชาร์จ Q แล้วกำหนดฟลักซ์ของเวกเตอร์ อีผ่านพื้นผิวทรงกลมรัศมี r ซึ่งอยู่ ณ ศูนย์กลางที่พื้นผิวนั้นตั้งอยู่

สำหรับพื้นผิวทรงกลม α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 และ

Ф อี = อี · 4 πr 2 .

แทนนิพจน์สำหรับ E เราได้

ดังนั้น จากประจุแต่ละจุด จะเกิดการไหลของเวกเตอร์ F E อีเท่ากับ Q/ ε 0 . เมื่อสรุปข้อสรุปนี้กับกรณีทั่วไปของประจุจุดตามจำนวนที่กำหนด เราจะกำหนดทฤษฎีบท: การไหลรวมของเวกเตอร์ อีผ่านพื้นผิวปิดที่มีรูปร่างตามใจชอบจะมีค่าเท่ากับผลรวมพีชคณิตของประจุไฟฟ้าที่อยู่ภายในพื้นผิวนี้หารด้วย ε 0 เช่น

สำหรับฟลักซ์เวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้า ดีคุณสามารถได้สูตรที่คล้ายกัน

ฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำผ่านพื้นผิวปิดเท่ากับผลรวมพีชคณิตของประจุไฟฟ้าที่ครอบคลุมโดยพื้นผิวนี้

หากเราใช้พื้นผิวปิดที่ไม่รองรับประจุแต่ละเส้น อีและ ดีจะข้ามพื้นผิวนี้สองครั้ง - ที่ทางเข้าและออกดังนั้นฟลักซ์ทั้งหมดจะกลายเป็นศูนย์ ที่นี่จำเป็นต้องคำนึงถึงผลรวมพีชคณิตของเส้นเข้าและออก

การประยุกต์ทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์ในการคำนวณสนามไฟฟ้าที่เกิดจากระนาบ ทรงกลม และกระบอกสูบ

พื้นผิวทรงกลมที่มีรัศมี R มีประจุ Q ซึ่งกระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิวโดยมีความหนาแน่นของพื้นผิว σ

ลองนำจุด A ออกจากทรงกลมที่ระยะห่าง r จากศูนย์กลางแล้ววาดรูปทรงกลมที่มีรัศมี r ที่มีประจุแบบสมมาตร (รูปที่ 79) พื้นที่ของมันคือ S = 4 πr 2 ฟลักซ์ของเวกเตอร์ E จะเท่ากับ

ตามทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์
, เพราะฉะนั้น,
โดยคำนึงถึงว่า Q = σ 4 πr 2 เราได้รับ

สำหรับจุดที่อยู่บนพื้นผิวทรงกลม (R = r)

ดี สำหรับจุดที่อยู่ภายในทรงกลมกลวง (ไม่มีประจุภายในทรงกลม) E = 0

2 - พื้นผิวทรงกระบอกกลวงที่มีรัศมี R และความยาว ลมีประจุด้วยความหนาแน่นประจุพื้นผิวคงที่
(รูปที่ 80) ให้เราวาดพื้นผิวทรงกระบอกโคแอกเชียลที่มีรัศมี r > R

เวกเตอร์การไหล อีผ่านพื้นผิวนี้

โดยทฤษฎีบทของเกาส์

เราได้รับด้านขวามือของความเท่าเทียมกันข้างต้น

.

หากให้ค่าความหนาแน่นประจุเชิงเส้นของกระบอกสูบ (หรือเกลียวบาง)
ที่

3. สนามของระนาบอนันต์ที่มีความหนาแน่นประจุพื้นผิว σ (รูปที่ 81)

ลองพิจารณาสนามที่สร้างขึ้นโดยระนาบอนันต์ จากการพิจารณาความสมมาตร ความเข้มที่จุดใดๆ ในสนามมีทิศทางตั้งฉากกับระนาบ

ที่จุดสมมาตร E จะมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม

ขอให้เราสร้างพื้นผิวของทรงกระบอกด้วยฐาน ΔS ด้วยจิตใจ จากนั้นจะมีกระแสไหลออกมาผ่านแต่ละฐานของกระบอกสูบ

F E = E ΔS และการไหลรวมผ่านพื้นผิวทรงกระบอกจะเท่ากับ F E = 2E ΔS

ภายในพื้นผิวมีประจุ Q = σ · ΔS ตามทฤษฎีบทของเกาส์ มันจะต้องเป็นจริง

ที่ไหน

ผลลัพธ์ที่ได้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความสูงของกระบอกสูบที่เลือก ดังนั้น ความแรงของสนามไฟฟ้า E ที่ระยะใดๆ จึงมีขนาดเท่ากัน

สำหรับระนาบที่มีประจุต่างกันสองระนาบซึ่งมีความหนาแน่นประจุที่พื้นผิวเท่ากัน σ ตามหลักการของการซ้อน นอกช่องว่างระหว่างระนาบ ความแรงของสนามจะเป็นศูนย์ E = 0 และในช่องว่างระหว่างระนาบ
(รูปที่ 82a) หากเครื่องบินถูกชาร์จด้วยประจุที่คล้ายกันซึ่งมีความหนาแน่นประจุที่พื้นผิวเท่ากัน จะสังเกตภาพที่ตรงกันข้าม (รูปที่ 82b) ในช่องว่างระหว่างระนาบ E = 0 และในช่องว่างนอกระนาบ
.

ให้เราแนะนำแนวคิดของการไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้า ลองพิจารณาพื้นที่ที่เล็กที่สุด. ในกรณีส่วนใหญ่ จำเป็นต้องทราบไม่เพียงแต่ขนาดของไซต์เท่านั้น แต่ยังต้องทราบทิศทางในอวกาศด้วย ให้เราแนะนำแนวคิดของพื้นที่เวกเตอร์ ให้เราตกลงกันว่าโดยเวกเตอร์พื้นที่ เราหมายถึงเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับพื้นที่และเป็นตัวเลขเท่ากับขนาดของพื้นที่

รูปที่ 1 - ไปสู่คำจำกัดความของเวกเตอร์ - ไซต์

ลองเรียกโฟลว์เวกเตอร์กันดีกว่า ผ่านแพลตฟอร์ม
ผลคูณดอทของเวกเตอร์ และ
- ดังนั้น,

เวกเตอร์การไหล ผ่านพื้นผิวใดๆ พบได้โดยการบูรณาการกระแสเบื้องต้นทั้งหมด

(4)

หากสนามมีความสม่ำเสมอและพื้นผิวเรียบ ตั้งฉากกับสนาม แล้ว:

. (5)

นิพจน์ที่กำหนดจะกำหนดจำนวนเส้นแรงที่เจาะทะลุไซต์ ต่อหน่วยเวลา

ทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์ ความแตกต่างของความแรงของสนามไฟฟ้า

เวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าไหลผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการ เท่ากับผลรวมพีชคณิตของประจุไฟฟ้าอิสระ ที่ถูกปกคลุมไปด้วยพื้นผิวนี้

(6)

นิพจน์ (6) แสดงถึงทฤษฎีบท OG ในรูปแบบปริพันธ์ ทฤษฎีบท 0-Г ทำงานโดยมีผลรวม (ทั้งหมด) เช่น ถ้า
ไม่ทราบว่านี่หมายถึงการไม่มีประจุในทุกจุดของส่วนที่ศึกษาของปริภูมิ หรือผลรวมของประจุบวกและลบที่อยู่ในจุดต่างๆ ของปริภูมินี้เท่ากับศูนย์

ในการค้นหาประจุที่อยู่และขนาดของประจุในสนามที่กำหนด จำเป็นต้องมีความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ของการเหนี่ยวนำไฟฟ้า ณ จุดที่กำหนดโดยมีประจุอยู่ที่จุดเดียวกัน

สมมติว่าเราจำเป็นต้องพิจารณาว่ามีประจุอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง ก(รูปที่ 2)

รูปที่ 2 – เพื่อคำนวณเวกเตอร์ไดเวอร์เจนซ์

ลองใช้ทฤษฎีบท OG กัน การไหลของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าผ่านพื้นผิวที่กำหนดเองซึ่งจำกัดปริมาตรที่จุดนั้นตั้งอยู่ กมีค่าเท่ากัน

ผลรวมเชิงพีชคณิตของประจุในปริมาตรสามารถเขียนเป็นอินทิกรัลปริมาตรได้

(7)

ที่ไหน - ค่าธรรมเนียมต่อหน่วยปริมาตร ;

- องค์ประกอบของปริมาตร

เพื่อให้ได้การเชื่อมต่อระหว่างสนามกับประจุ ณ จุดหนึ่ง กเราจะลดปริมาตรโดยการหดพื้นผิวให้เหลือจุดหนึ่ง ก- ในกรณีนี้ เราหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วยค่า - เมื่อก้าวไปสู่ขีดจำกัด เราได้รับ:

.

ด้านขวาของนิพจน์ผลลัพธ์ตามคำจำกัดความคือความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร ณ จุดที่พิจารณาในอวกาศ ด้านซ้ายแสดงถึงขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดต่อปริมาตรที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวนี้ เมื่อปริมาตรมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ปริมาณสเกลาร์นี้เป็นลักษณะสำคัญของสนามไฟฟ้าและเรียกว่า ความแตกต่างของเวกเตอร์ .

ดังนั้น:

,

เพราะฉะนั้น

, (8)

ที่ไหน - ความหนาแน่นประจุตามปริมาตร

การใช้ความสัมพันธ์นี้จะทำให้ปัญหาผกผันของไฟฟ้าสถิตได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดาย กล่าวคือ ค้นหาค่าใช้จ่ายแบบกระจายในฟิลด์ที่รู้จัก

ถ้าเป็นเวกเตอร์ ได้รับซึ่งหมายความว่าทราบการคาดการณ์แล้ว
,
,
ลงบนแกนพิกัดในฐานะฟังก์ชันของพิกัดและในการคำนวณความหนาแน่นแบบกระจายของประจุที่สร้างสนามที่กำหนด ปรากฎว่ามันเพียงพอที่จะค้นหาผลรวมของอนุพันธ์ย่อยสามส่วนของการฉายภาพเหล่านี้เทียบกับตัวแปรที่เกี่ยวข้อง ณ จุดเหล่านั้นซึ่ง
ไม่มีค่าใช้จ่าย ณ จุดที่
บวก มีประจุบวกโดยมีความหนาแน่นของปริมาตรเท่ากับ
และ ณ จุดนั้น ๆ
จะมีค่าลบ มีประจุลบ ความหนาแน่นจะถูกกำหนดโดยค่าความแตกต่างด้วย

นิพจน์ (8) แสดงถึงทฤษฎีบท 0-Г ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล ในรูปแบบนี้ทฤษฎีบทแสดงให้เห็นว่า ว่าแหล่งกำเนิดของสนามไฟฟ้าเป็นประจุไฟฟ้าอิสระเส้นสนามของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าเริ่มต้นและสิ้นสุดที่ประจุบวกและลบตามลำดับ

ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับการเหนี่ยวนำไฟฟ้า (การกระจัดทางไฟฟ้า)

สำหรับสนามแม่เหล็กในตัวกลางที่เป็นฉนวน ทฤษฎีบทไฟฟ้าสถิตของเกาส์สามารถเขียนได้ในอีกทางหนึ่ง (ในอีกทางหนึ่ง) โดยผ่านการไหลของเวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้า (การเหนี่ยวนำไฟฟ้า) ในกรณีนี้ สูตรของทฤษฎีบทมีดังนี้ การไหลของเวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดจะเป็นสัดส่วนกับประจุไฟฟ้าอิสระที่อยู่ภายในพื้นผิวนี้:

ในรูปแบบที่แตกต่างกัน:

ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับการเหนี่ยวนำแม่เหล็ก

ฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กผ่านพื้นผิวปิดใดๆ จะเป็นศูนย์:

หรือในรูปแบบที่แตกต่างกัน

นี่เทียบเท่ากับความจริงที่ว่าในธรรมชาติไม่มี "ประจุแม่เหล็ก" (โมโนโพล) ที่จะสร้างสนามแม่เหล็ก เช่นเดียวกับที่ประจุไฟฟ้าสร้างสนามไฟฟ้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับการเหนี่ยวนำแม่เหล็กแสดงให้เห็นว่าสนามแม่เหล็กนั้น (สมบูรณ์) กระแสน้ำวน.

ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับแรงโน้มถ่วงของนิวตัน

สำหรับความแรงของสนามแม่เหล็กของแรงโน้มถ่วงของนิวตัน (ความเร่งโน้มถ่วง) ทฤษฎีบทของเกาส์นั้นเกือบจะสอดคล้องกับทฤษฎีบทของไฟฟ้าสถิต ยกเว้นค่าคงที่เท่านั้น (แต่ยังคงขึ้นอยู่กับการเลือกระบบหน่วยโดยพลการ) และที่สำคัญที่สุดคือเครื่องหมาย:

ที่ไหน ก- ความแรงของสนามโน้มถ่วง ม- ประจุแรงโน้มถ่วง (เช่น มวล) ภายในพื้นผิว ส, ρ - ความหนาแน่นของมวล ช- ค่าคงที่ของนิวตัน

ตัวนำไฟฟ้าในสนามไฟฟ้า สนามภายในตัวนำและบนพื้นผิว

ตัวนำคือตัวที่ประจุไฟฟ้าสามารถผ่านจากตัวที่มีประจุไปยังตัวที่ไม่มีประจุได้ความสามารถของตัวนำในการส่งผ่านประจุไฟฟ้าผ่านตัวมันเองนั้นอธิบายได้จากการมีพาหะประจุไฟฟ้าฟรีอยู่ในนั้น ตัวนำ - ตัวโลหะในสถานะของแข็งและของเหลว สารละลายอิเล็กโทรไลต์ของเหลว ประจุอิสระของตัวนำที่เข้าสู่สนามไฟฟ้าเริ่มเคลื่อนที่ภายใต้อิทธิพลของมัน การกระจายประจุซ้ำทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในสนามไฟฟ้า เมื่อความแรงของสนามไฟฟ้าในตัวนำกลายเป็นศูนย์ อิเล็กตรอนจะหยุดเคลื่อนที่ ปรากฏการณ์การแยกประจุที่ต่างกันในตัวนำที่วางอยู่ในสนามไฟฟ้าเรียกว่าการเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต ไม่มีสนามไฟฟ้าภายในตัวนำ ใช้สำหรับการป้องกันไฟฟ้าสถิต - การป้องกันโดยใช้ตัวนำโลหะจากสนามไฟฟ้า พื้นผิวของตัวนำไฟฟ้าทุกรูปทรงในสนามไฟฟ้าคือพื้นผิวที่มีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน

ตัวเก็บประจุ

เพื่อให้ได้อุปกรณ์ที่อาจสะสม (ควบแน่น) ประจุที่เห็นได้ชัดเจนในตัวเอง เมื่อมีศักยภาพต่ำเมื่อเทียบกับตัวกลาง อุปกรณ์ดังกล่าวจึงใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าความจุไฟฟ้าของตัวนำเพิ่มขึ้นเมื่อวัตถุอื่นเข้าใกล้อุปกรณ์นั้น อันที่จริงภายใต้อิทธิพลของสนามที่สร้างขึ้นโดยตัวนำที่มีประจุประจุเหนี่ยวนำ (บนตัวนำ) หรือประจุที่เกี่ยวข้อง (บนอิเล็กทริก) จะปรากฏบนร่างกายที่นำมา (รูปที่ 15.5) ประจุที่อยู่ตรงข้ามกับประจุของตัวนำ q ตั้งอยู่ใกล้กับตัวนำมากกว่าประจุที่มีชื่อเดียวกันกับ q ดังนั้นจึงมีอิทธิพลอย่างมากต่อศักยภาพของประจุ

ดังนั้น เมื่อวัตถุใดๆ ถูกนำเข้าใกล้ตัวนำที่มีประจุ ความแรงของสนามไฟฟ้าจะลดลง และผลที่ตามมาคือศักยภาพของตัวนำจะลดลง ตามสมการนี้หมายถึงการเพิ่มขึ้นของความจุของตัวนำ

ตัวเก็บประจุประกอบด้วยตัวนำสองตัว (แผ่น) (รูปที่ 15.6) คั่นด้วยชั้นอิเล็กทริก เมื่อนำความต่างศักย์ไฟฟ้าไปใช้กับตัวนำ แผ่นตัวนำจะถูกชาร์จด้วยประจุที่เท่ากันของเครื่องหมายตรงข้าม ความจุไฟฟ้าของตัวเก็บประจุเข้าใจว่าเป็นปริมาณทางกายภาพที่เป็นสัดส่วนกับประจุ q และเป็นสัดส่วนผกผันกับความต่างศักย์ระหว่างแผ่น

เรามาพิจารณาความจุของตัวเก็บประจุแบบแบนกัน

หากพื้นที่แผ่นเป็น S และประจุบนแผ่นนั้นคือ q แสดงว่าความแรงของสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นเปลือกโลก

ในทางกลับกันความต่างศักย์ระหว่างแผ่นเปลือกโลกนั้นมาจาก

พลังงานของระบบประจุแบบจุด ตัวนำประจุ และตัวเก็บประจุ

ระบบประจุใดๆ ก็ตามมีพลังงานปฏิสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ ซึ่งเท่ากับงานที่ใช้ในการสร้างระบบนี้ พลังงานของระบบประจุแบบจุด ถาม 1 , ถาม 2 , ถาม 3 ,… ถาม เอ็นมีการกำหนดไว้ดังนี้:

ที่ไหน φ 1 – ศักย์ไฟฟ้าของสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุทั้งหมด ยกเว้น ถาม 1 ณ จุดที่มีประจุอยู่ ถาม 1 ฯลฯ หากการกำหนดค่าของระบบประจุเปลี่ยนแปลง พลังงานของระบบก็จะเปลี่ยนแปลงไปด้วย หากต้องการเปลี่ยนการกำหนดค่าระบบจะต้องดำเนินการให้เสร็จสิ้น

พลังงานศักย์ของระบบประจุจุดสามารถคำนวณได้ในอีกทางหนึ่ง พลังงานศักย์ของประจุสองจุด ถาม 1 , ถาม 2 อยู่ห่างกันเท่ากัน หากมีประจุหลายประจุ พลังงานศักย์ของระบบประจุนี้สามารถกำหนดเป็นผลรวมของพลังงานศักย์ของประจุทุกคู่ที่สามารถประกอบขึ้นสำหรับระบบนี้ได้ ดังนั้น สำหรับระบบที่มีประจุบวก 3 ประจุ พลังงานของระบบจะเท่ากับ

สนามไฟฟ้าของประจุจุด ถาม 0 ที่ระยะห่างจากมันในตัวกลางที่มีค่าคงตัวไดอิเล็กตริก ε (ดูรูปที่ 3.1.3) รูปที่ 3.1.3	; ศักย์ไฟฟ้าเป็นสเกลาร์ เครื่องหมายของมันขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของประจุที่สร้างสนามไฟฟ้า
รูปที่ 3.1.4. สนามไฟฟ้าของทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอซึ่งมีรัศมีที่จุด C ที่ระยะห่างจากพื้นผิว (รูปที่ 3.1.4) สนามไฟฟ้าของทรงกลมคล้ายกับสนามของจุดประจุเท่ากับประจุของทรงกลม ถาม sf และมุ่งความสนใจไปที่ศูนย์กลางของมัน ระยะทางถึงจุดที่กำหนดแรงดึงคือ (+ร)	ก ; นอกขอบเขต: , ศักยภาพภายในทรงกลมคงที่และเท่ากัน
และความตึงเครียดภายในทรงกลมเป็นศูนย์ σ สนามไฟฟ้าของระนาบอนันต์ที่มีประจุสม่ำเสมอและมีความหนาแน่นของพื้นผิว (ดูรูปที่ 3.1.5)	รูปที่ 3.1.5. สนามที่มีความแข็งแกร่งเท่ากันทุกจุดเรียกว่า. เป็นเนื้อเดียวกัน σ ความหนาแน่นของพื้นผิว
– ประจุต่อหน่วยพื้นผิว (โดยที่ประจุและพื้นที่ของเครื่องบินอยู่ที่ไหนตามลำดับ) มิติของความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว สนามไฟฟ้าของตัวเก็บประจุแบบแบนที่มีประจุบนแผ่นที่มีขนาดเท่ากันแต่มีเครื่องหมายอยู่ตรงข้าม (ดูรูปที่ 3.1.6)	รูปที่ 3.1.6 อี=0. ความตึงระหว่างแผ่นของตัวเก็บประจุแบบแผ่นขนานด้านนอกตัวเก็บประจุ ความแตกต่างที่อาจเกิดขึ้นคุณ ระหว่างแผ่น (แผ่น) ของตัวเก็บประจุ: , โดยที่ง – ระยะห่างระหว่างแผ่น – ค่าคงที่ไดอิเล็กทริกของไดอิเล็กทริกที่วางอยู่ระหว่างแผ่นของตัวเก็บประจุ

ความหนาแน่นประจุพื้นผิวบนแผ่นตัวเก็บประจุเท่ากับอัตราส่วนของปริมาณประจุบนแผ่นนั้นต่อพื้นที่ของแผ่น:

พลังงานของตัวนำและตัวเก็บประจุเดี่ยวที่มีประจุ หากตัวนำที่แยกได้มีประจุ q แสดงว่ามีสนามไฟฟ้าอยู่รอบๆ ซึ่งศักย์ไฟฟ้าบนพื้นผิวของตัวนำจะเท่ากับ และความจุคือ C ขอให้เราเพิ่มประจุด้วยจำนวน dq เมื่อถ่ายโอนประจุ dq จากอนันต์ งานจะต้องเท่ากับ

- แต่ศักยภาพของสนามไฟฟ้าสถิตของตัวนำที่กำหนดที่ระยะอนันต์นั้นเป็นศูนย์ แล้ว

เมื่อถ่ายโอนประจุ dq จากตัวนำไปยังค่าอนันต์ งานเดียวกันนี้จะกระทำโดยแรงของสนามไฟฟ้าสถิต ดังนั้นเมื่อประจุของตัวนำเพิ่มขึ้นตามจำนวน dq พลังงานศักย์ของสนามจะเพิ่มขึ้นเช่น

เมื่อรวมนิพจน์นี้เข้าด้วยกัน เราจะพบพลังงานศักย์ของสนามไฟฟ้าสถิตของตัวนำที่มีประจุเมื่อประจุเพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็น q:

เมื่อใช้ความสัมพันธ์ เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับพลังงานศักย์ W:

สูตรทั่วไป: การไหลของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดที่เลือกโดยพลการจะเป็นสัดส่วนกับประจุไฟฟ้าที่อยู่ภายในพื้นผิวนี้

ในระบบ SGSE:

ในระบบเอสไอ:

คือการไหลของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิด

- ประจุทั้งหมดที่มีอยู่ในปริมาตรที่จำกัดพื้นผิว

- ค่าคงที่ทางไฟฟ้า

สำนวนนี้แสดงถึงทฤษฎีบทของเกาส์ในรูปแบบอินทิกรัล

ในรูปแบบอนุพันธ์ ทฤษฎีบทของเกาส์สอดคล้องกับสมการหนึ่งของแมกซ์เวลล์ และแสดงได้ดังนี้

ในระบบเอสไอ:

,

ในระบบ SGSE:

นี่คือความหนาแน่นของประจุตามปริมาตร (ในกรณีของตัวกลาง ความหนาแน่นรวมของประจุอิสระและประจุผูกพัน) และคือตัวดำเนินการ nabla

สำหรับทฤษฎีบทของเกาส์ หลักการของการซ้อนทับนั้นใช้ได้ กล่าวคือ การไหลของเวกเตอร์ความเข้มผ่านพื้นผิวไม่ได้ขึ้นอยู่กับการกระจายประจุภายในพื้นผิว

พื้นฐานทางกายภาพของทฤษฎีบทของเกาส์คือกฎของคูลอมบ์ หรืออีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทของเกาส์คือองค์ประกอบหนึ่งของกฎของคูลอมบ์

ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับการเหนี่ยวนำไฟฟ้า (การกระจัดทางไฟฟ้า)

สำหรับสนามในสสาร ทฤษฎีบทไฟฟ้าสถิตของเกาส์สามารถเขียนได้แตกต่างออกไป โดยผ่านการไหลของเวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้า (การเหนี่ยวนำไฟฟ้า) ในกรณีนี้ สูตรของทฤษฎีบทมีดังนี้ การไหลของเวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดจะเป็นสัดส่วนกับประจุไฟฟ้าอิสระที่อยู่ภายในพื้นผิวนี้:

หากเราพิจารณาทฤษฎีบทสำหรับความแรงของสนามในสาร ดังนั้นในฐานะประจุ Q จำเป็นต้องหาผลรวมของประจุอิสระที่อยู่ภายในพื้นผิวและประจุโพลาไรเซชัน (เหนี่ยวนำให้เกิดขอบเขต) ของอิเล็กทริก:

,

ที่ไหน ,
คือเวกเตอร์โพลาไรเซชันของอิเล็กทริก

ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับการเหนี่ยวนำแม่เหล็ก

ฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กผ่านพื้นผิวปิดใดๆ จะเป็นศูนย์:

.

นี่เทียบเท่ากับความจริงที่ว่าในธรรมชาติไม่มี "ประจุแม่เหล็ก" (โมโนโพล) ที่จะสร้างสนามแม่เหล็ก เช่นเดียวกับประจุไฟฟ้าที่สร้างสนามไฟฟ้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทของเกาส์สำหรับการเหนี่ยวนำแม่เหล็กแสดงให้เห็นว่าสนามแม่เหล็กคือกระแสน้ำวน

การประยุกต์ทฤษฎีบทของเกาส์

ปริมาณต่อไปนี้ใช้ในการคำนวณสนามแม่เหล็กไฟฟ้า:

ความหนาแน่นประจุตามปริมาตร (ดูด้านบน)

ความหนาแน่นประจุพื้นผิว

โดยที่ dS คือพื้นที่ผิวที่เล็กมาก

ความหนาแน่นประจุเชิงเส้น

โดยที่ dl คือความยาวของส่วนที่เล็กที่สุด

ลองพิจารณาสนามที่สร้างขึ้นโดยระนาบประจุที่มีรูปแบบไม่มีที่สิ้นสุด ปล่อยให้ความหนาแน่นประจุที่พื้นผิวของระนาบเท่ากันและเท่ากับ σ ลองจินตนาการถึงทรงกระบอกที่มีเจเนราไทรซ์ตั้งฉากกับระนาบและมีฐาน ΔS ซึ่งอยู่ในตำแหน่งเชิงสมมาตรสัมพันธ์กับระนาบ เนื่องจากมีความสมมาตร ฟลักซ์ของเวกเตอร์แรงดึงเท่ากับ เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเกาส์ เราจะได้:

,

จากที่

ในระบบ SSSE

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าแม้จะมีความเป็นสากลและลักษณะทั่วไป แต่ทฤษฎีบทของเกาส์ในรูปแบบอินทิกรัลยังมีการประยุกต์ใช้ค่อนข้างจำกัด เนื่องจากความไม่สะดวกในการคำนวณอินทิกรัล อย่างไรก็ตาม ในกรณีของปัญหาสมมาตร วิธีแก้ปัญหาจะง่ายกว่าการใช้หลักการซ้อนทับมาก