การดำเนินการกับเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ คูณ 3 เมทริกซ์ออนไลน์

เมทริกซ์ถูกกำหนดให้เป็น โต๊ะสี่เหลี่ยม ในทางเรขาคณิต เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีมิติและ - สองเมทริกซ์ – สองสี่เหลี่ยม: มีมิติ และ , มีมิติ และ - เมื่อพิจารณาการดำเนินการเพิ่มเมทริกซ์ มีการค้นพบข้อกำหนดในการประสานขนาดของสี่เหลี่ยม: =, =- ข้อกำหนดนี้ทำให้แน่ใจถึงปฏิสัมพันธ์ของเมทริกซ์ในระบบเวกเตอร์:

=
-
- …-
– ห่วงโซ่ของเส้น

=
-
- …-
– สายโซ่ของคอลัมน์

นอกจากนี้หากเมทริกซ์ นำเสนอในแผนภาพ แล้วเมทริกซ์ ควรนำเสนอในแผนภาพเดียวกัน แต่สิ่งสำคัญ: เมทริกซ์โต้ตอบกับกลุ่มขององค์ประกอบ - เวกเตอร์!

หากเรากำหนดการดำเนินการคูณเมทริกซ์เป็น: · =แล้วคำถามก็เกิดขึ้น: เมทริกซ์มีกี่แถวและคอลัมน์? - สิ่งนี้กำหนดเพียงสองรูปแบบที่เป็นไปได้สำหรับการโต้ตอบของเมทริกซ์เมื่อทำการคูณ:

1* : แถวของเมทริกซ์ด้านซ้าย ↔ คอลัมน์ของเมทริกซ์ด้านขวา

2* : คอลัมน์เมทริกซ์ด้านซ้าย ↔ แถวเมทริกซ์ด้านขวา

สำหรับวงจร 1* : ในเมทริกซ์ - สำหรับวงจร 2* : ในเมทริกซ์ จำนวนแถวเท่ากับเมทริกซ์ มีจำนวนคอลัมน์เท่ากับเมทริกซ์ .

การใช้โครงการนี้ได้รับการยอมรับในทางปฏิบัติแล้ว 1* ซึ่งมีอักษรย่อเป็นกฎ: คอลัมน์แถว .

คำนิยาม:

ผลคูณของเมทริกซ์ และ คือเมทริกซ์ ,องค์ประกอบที่กำหนดโดยความสัมพันธ์: , สำหรับทุกอย่าง , , นั่นคือกฎมีผลบังคับใช้คอลัมน์แถว .

ความคิดเห็น: จากคำจำกัดความของผลคูณของเมทริกซ์จะเป็นดังนี้: องค์ประกอบ เท่ากับผลคูณสเกลาร์ของสตริง - เมทริกซ์ ต่อคอลัมน์- เมทริกซ์ .

คุณสมบัติของการดำเนินการคูณเมทริกซ์-เมทริกซ์ :

1* .
≠
– ไม่สับเปลี่ยน (ไม่ใช่สับเปลี่ยน);

2* .
=
=
– การรวมกัน (เชื่อมโยง).

3* .
=
+
– การกระจาย (การกระจาย).

ความคิดเห็น: จำไว้: ในทรัพย์สิน 1* โดยทั่วไปแล้วอาจเป็นเมทริกซ์นั้นก็ได้
มีอยู่และเมทริกซ์
ไม่ได้อยู่!

ในการเชื่อมต่อกับการแนะนำการดำเนินการของผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ คำถามเกิดขึ้น: จะดำเนินการอย่างไรกับผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ และ เพื่อให้ได้เมทริกซ์ที่ถูกย้ายเทียบกับเมทริกซ์ - หากเราแสดงว่าเมทริกซ์ที่ถูกย้ายเป็น:
,
และ
แล้วทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

1) ลองนึกภาพผลคูณของเมทริกซ์:
ในรูปแบบของแผนภาพการคำนวณองค์ประกอบ เมทริกซ์ :

ค

ฉัน

2). เมื่อคำนึงถึงคำจำกัดความของการขนย้ายเมทริกซ์ เรายังพรรณนาถึงความเท่าเทียมกันด้วย
=
ในรูปแบบแผนภาพที่คล้ายกัน:

ค ′

ฉัน

เราเห็น: องค์ประกอบ เมทริกซ์
เท่ากับองค์ประกอบ เมทริกซ์ C.◄

ความคิดเห็น: คำจำกัดความของการขนย้ายเมทริกซ์และทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วเกี่ยวกับการขนย้ายผลคูณของเมทริกซ์จะถูกนำมาใช้ซ้ำๆ เมื่อพิจารณาปัจจัยกำหนดและเมทริกซ์ของการแปลงเชิงเส้นในปริภูมิเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 4–05 : คำนวณผลคูณของเมทริกซ์: ค =ก บี =

.

สารละลาย:

ก และ บี :

ค บี ;

ค บี ;

การใช้เทมเพลตเทคโนโลยีในรูปแบบของตารางจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณอัลกอริทึมในการคำนวณผลคูณของเมทริกซ์และป้องกันข้อผิดพลาดในการคำนวณ ลองติดตามการคำนวณคอลัมน์-1 ของเมทริกซ์กัน ค: =
, =
.

คำตอบ: ค=
.

ตัวอย่างที่ 4–06 : คำนวณผลคูณของเมทริกซ์: ค =ก บี =

.

สารละลาย:

ตารางแสดงรูปแบบการคำนวณผลคูณของเมทริกซ์ ก และ บี :

▫ เพื่อคำนวณคอลัมน์-1 ของเมทริกซ์ ค เหนือเมทริกซ์เราวางคอลัมน์-1 ของเมทริกซ์ บี ;

▫ เพื่อคำนวณเมทริกซ์คอลัมน์ 2 ค เหนือเมทริกซ์เราวางคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์ บี ;

ค บี ;

คอลัมน์

คอลัมน์

คอลัมน์

คอลัมน์

คอลัมน์

คอลัมน์

ค:

=, =, =.

คำตอบ: =
.

ตัวอย่างที่ 4–07 ค=กบี=

.

สารละลาย:

ตารางแสดงรูปแบบการคำนวณผลคูณของเมทริกซ์ ก และ บี :

▫ เพื่อคำนวณคอลัมน์-1 ของเมทริกซ์ ค เหนือเมทริกซ์เราวางคอลัมน์-1 ของเมทริกซ์ บี ;

▫ เพื่อคำนวณเมทริกซ์คอลัมน์ 2 ค เหนือเมทริกซ์เราวางคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์ บี ;

▫ เพื่อคำนวณเมทริกซ์คอลัมน์ 3 ค เหนือเมทริกซ์เราวางคอลัมน์ที่ 3 ของเมทริกซ์ บี ;

▫ เพื่อคำนวณเมทริกซ์คอลัมน์ 4 ค เหนือเมทริกซ์เราวางคอลัมน์ที่ 4 ของเมทริกซ์ บี .

คอลัมน์					คอลัมน์	คอลัมน์					คอลัมน์

(ตารางต่อเนื่อง).

คอลัมน์					คอลัมน์	คอลัมน์					คอลัมน์

จากตารางเราเห็นคำตอบ ลองติดตามการคำนวณคอลัมน์-1 ของเมทริกซ์กัน ค:

=, =,

=, =.

คำตอบ: ค=
.

ตัวอย่างที่ 4–08 :คำนวณ: ค=
, ถ้า ก =
.

สารละลาย:

1) เขียนสายโซ่ของเวกเตอร์แถวของเมทริกซ์ ก:

(,0,0,...,0,...,0), (0,,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,...,),

และคูณมัน (แบบสเกลาร์) ด้วยคอลัมน์ - เมทริกซ์ ก: (0,0, 0, ... , , ...,0) ง่ายต่อการดูว่ามีอะไรอยู่ในเมทริกซ์ ค=
=
คอลัมน์- จะอยู่ในรูปแบบ (0,0, 0, ... , , ...,0) ซึ่งหมายความว่าสายโซ่ของเวกเตอร์แถวของเมทริกซ์ ค =
จะอยู่ในรูปแบบ:

(,0,0,...,0,...,0), (0, , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

2) ถ้าเราคำนวณตอนนี้ ค=
=
แล้วลูกโซ่ของเวกเตอร์แถวของเมทริกซ์ ค =
จะอยู่ในรูปแบบ:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

3) การใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์สำหรับเมทริกซ์ ค =
เราสามารถเขียนได้:

(,0,0,...,0,...,0), (0, ,0,...,0,...,0), ... , (0,0,0,..., , ...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ..., ).

คำตอบ: ค=
.

ตัวอย่างที่ 4–09 : พิสูจน์ว่าถ้าเมทริกซ์ กและ บี– สี่เหลี่ยม และ
≠
แล้วข้อความต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ: ก);

สารละลาย:

1) พิจารณาคุณสมบัติการกระจายของการคูณเมทริกซ์:
=
+
มาเขียนกัน:

.

2) โดยคำนึงถึงคุณสมบัติการกระจายของการคูณเมทริกซ์:
=
+
มาเขียนกัน:

.

คำตอบ: พิสูจน์แล้ว.

ตัวอย่างที่ 4–10 : ค้นหาเมทริกซ์ทั้งหมดที่สับเปลี่ยนกับเมทริกซ์: =.

สารละลาย:

1) ให้เรามีเมทริกซ์: , ดังนั้น
=
- เมื่อพิจารณากฎของการคูณเมทริกซ์ จะเห็นว่าการคูณเมทริกซ์เหล่านี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้น - สี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีมิติเดียวกับเมทริกซ์ .

2) ยอมรับ: =
และเขียนนิพจน์
=
:

ค=กบี.

คอลัมน์

ก

ง

ก

คอลัมน์

คอลัมน์

ข

จ

ชม.

คอลัมน์

คอลัมน์

ค

ฉ

เค

คอลัมน์

3 ก + ง

3 ข + จ

3 ค + ฉ

3 ง + ก

3 จ + ชม.

3 ฉ + เค

3 ก

3 ชม.

3 เค

จากตารางเราเห็นคำตอบ

3) ตอนนี้ให้เราเขียนนิพจน์
=
:

ตารางแสดงรูปแบบการคำนวณผลคูณของเมทริกซ์ ดี=บีก.

คอลัมน์

คอลัมน์

คอลัมน์

คอลัมน์

คอลัมน์

คอลัมน์

ก

ข

ค

3 ก

ก

ข

ค

ก + 3 ข

ก

ข

ค

ข + 3 ค

ง

จ

ฉ

3 ง

ง

จ

ฉ

ดี+ 3อี

ง

จ

ฉ

อี+3เอฟ

ก

ชม.

เค

3 ก

ก

ชม.

เค

ก.+ 3 ชม

ก

ชม.

เค

ชั่วโมง+ 3k

จากตารางเราเห็นคำตอบ

4) ลองใช้ความเท่าเทียมกัน:
→ เราได้สมการสำหรับการคำนวณเมทริกซ์ :

3 ก + ง =3 ก → ง =0; 3 ง + ก =3 ง → ก =0; 3 ข + จ =เอ+ 3บี → จ =ก ; 3 จ + ชม. =ดี+ 3อี → ชม. =0;

3 ชม. =ก.+ 3 ชม → ชม. =ชม. ; 3 ค + ฉ =บี+ 3ซี → ฉ =ข ; 3 ฉ + เค =อี+3เอฟ → เค =จ ; 3 เค =ชั่วโมง+ 3k → ชม. =0.

5) เราสามารถเขียนสมการผลลัพธ์ได้: =
.

คำตอบ: =
.

ตัวอย่างที่ 4–11 :พิสูจน์ว่าเมทริกซ์: =
เป็นไปตามสมการ: –(ก+ง) x+โฆษณา–
=0.

สารละลาย:

ความคิดเห็น: ตัวอย่างที่เป็นปัญหาน่าสนใจตรงที่แสดงให้เห็นถึงการมีส่วนร่วมในนิพจน์เมทริกซ์ สเกลาร์ เมทริกซ์:
=
.

1) มาคำนวณกัน:
=

=
;
=
.

2) แทนเมทริกซ์ลงในสมการ : , หรือ:

–
+
=
.

คำตอบ: พิสูจน์แล้ว.

ตัวอย่างที่ 4–12 :คำนวณผลคูณของเมทริกซ์: ก= (4 0 -2 3 1) และ บี=: ก) เอบี- ข) ปริญญาตรี.

ความคิดเห็น: ตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีความน่าสนใจตรงที่มันเป็นอย่างมาก แสดงให้เห็นความไม่เท่าเทียมกันอย่างชัดเจน :
.

สารละลาย:

ก)
= (4·3 + 0·1 + (-2)·(-1) + 3·5 + 1·2) = (31) – เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเดียว

ข)
=
=
.

คำตอบ: เมทริกซ์ในข้อความ

เมทริกซ์คือตารางตัวเลขที่เชื่อมต่อถึงกัน มีความเป็นไปได้ที่จะดำเนินการต่างๆ มากมายกับสิ่งเหล่านี้ ซึ่งเราจะแจ้งให้คุณทราบด้านล่างนี้

ขนาดของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยมัน คำสั่งซื้อ- จำนวนแถว $m$ และคอลัมน์ $n$ ที่มีอยู่ในนั้น แถวเกิดจากองค์ประกอบที่ยืนอยู่บนเส้นแนวนอน และคอลัมน์เกิดจากองค์ประกอบที่ยืนอยู่บนเส้นแนวตั้งตรง หากจำนวนบรรทัดเท่ากับจำนวนคอลัมน์ ลำดับของตารางที่เป็นปัญหาจะถูกกำหนดโดยค่าเดียวเท่านั้น $m = n$

หมายเหตุ 1

สำหรับองค์ประกอบเมทริกซ์ใดๆ หมายเลขแถวที่องค์ประกอบนั้นอยู่จะถูกเขียนเป็นอันดับแรกในดัชนี และหมายเลขคอลัมน์จะถูกเขียนเป็นอันดับสอง นั่นคือ รายการ $a_(ij)$ หมายความว่าองค์ประกอบนั้นอยู่ใน $i$- แถวที่ 2 และในคอลัมน์ $j$- om

การบวกและการลบ

เกี่ยวกับการบวกและการลบ การดำเนินการเหล่านี้สามารถทำได้ด้วยเมทริกซ์เท่านั้น ขนาดเดียวกัน.

ในการดำเนินการเหล่านี้ จำเป็นต้องเพิ่มหรือลบแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยองค์ประกอบของเมทริกซ์อื่น โดยยืนอยู่ในตำแหน่งเดียวกันกับองค์ประกอบในเมทริกซ์แรก

ตามตัวอย่าง เราจะหาผลรวม $A+B$ โดยที่:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \end(พีเมทริกซ์)$

และ $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\ \end(พีเมทริกซ์)$

ผลรวมขององค์ประกอบใดๆ ของตารางเมทริกซ์ผลลัพธ์ใหม่ $A + B$ เท่ากับ $a_(ij) + b_(ij)$ ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบที่มีดัชนี $11$ จะเท่ากับ $a_(11) + b_ (11)$ และผลลัพธ์ทั้งหมดจะเป็นดังนี้:

$A + B = \begin(พีเมทริกซ์) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33) ) \\ \end(พีเมทริกซ์)$

การลบเมทริกซ์ $A-B$ สองตัวจะดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ใหม่จะถูกคำนวณโดยใช้สูตร $a_(ij) – b_(ij)$

โปรดทราบว่าการบวกและการลบเมทริกซ์สามารถทำได้เฉพาะในกรณีที่คำสั่งเหมือนกันเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 1

จงแก้ตัวอย่างเมทริกซ์ต่อไปนี้: $A + B$; $เอ – บี$.

$A=\begin(พีเมทริกซ์) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(พีเมทริกซ์)$

$B=\begin(พีเมทริกซ์) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(พีเมทริกซ์)$

คำอธิบาย:

เราดำเนินการกับแต่ละคู่ขององค์ประกอบ $a_(ij)$ และ $b_(ij)$ ตามลำดับ:

$A+B=\begin(พีเมทริกซ์) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \\end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$

$A-B=\begin(พีเมทริกซ์) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ สิ้นสุด(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข

ในการคูณตารางเมทริกซ์ด้วยตัวเลขใดๆ คุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบด้วยตัวเลขนี้ ซึ่งก็คือองค์ประกอบใดๆ ของเมทริกซ์ใหม่ $C$ ซึ่งเป็นผลมาจากผลคูณของ $A$ ด้วย $λ $ จะเท่ากับ $с_(ij)= lad \cdot a_(ij)$

ตัวอย่างที่ 2

คูณ $A$ ด้วย $lad$ โดยที่ $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ และ $λ = 5$:

$A \cdot แล = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & ​​​​0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end (pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$

ผลคูณของตารางเมทริกซ์

งานนี้ค่อนข้างซับซ้อนกว่างานก่อนหน้า แต่ก็ไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน

ในการคูณเมทริกซ์สองตัว $A \cdot B$ จำนวนคอลัมน์ใน $A$ จะต้องตรงกับจำนวนแถวใน $B$

ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้:

$A_(m \คูณ n)\cdot B_(n \คูณ p) = С_(m \คูณ p)$

นั่นคือเมื่อเห็นเมทริกซ์ดั้งเดิมถูกคูณ คุณสามารถกำหนดลำดับของเมทริกซ์ใหม่ที่เป็นผลลัพธ์ได้ทันที ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการคูณ $A_(3 \times 2)$ และ $B_(2 \times 3)$ ผลลัพธ์ที่ได้จะมีขนาด $3 \times 3$:

$\begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11) ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(พีเมทริกซ์)$

หากจำนวนคอลัมน์ของตัวคูณเมทริกซ์ตัวแรกไม่ตรงกับจำนวนแถวของตัวคูณเมทริกซ์ตัวที่สอง จะทำการคูณไม่ได้

ตัวอย่างที่ 3

แก้ตัวอย่าง:

$A \times B = ?$ ถ้า $A=\begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix)$ และ $B = \ เริ่มต้น(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end(pmatrix)$

$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $

$A \times B= \begin(พีเมทริกซ์) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(พีเมทริกซ์) = \begin(พีเมทริกซ์ ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end(พีเมทริกซ์)$.

การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แสดงเป็น $Δ$ หรือ $\det$

โน้ต 2

ดีเทอร์มิแนนต์สามารถพบได้เฉพาะกับเมทริกซ์ชนิดกำลังสองเท่านั้น

ในกรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อเมทริกซ์ประกอบด้วยสมาชิกเพียงตัวเดียว ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะเท่ากับองค์ประกอบนี้: $det A = |a_(11)|= a_(11)$

คุณสามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่สองได้โดยทำตามกฎนี้:

คำจำกัดความ 1

ปัจจัยกำหนดเมทริกซ์ขนาด 2 เท่ากับความแตกต่างผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักกับผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมรอง:

$\begin(array)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(array) = a_(11) \cdot a_(22) – a_(12)\cdot a_(21)$

หากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์กำหนดขนาด $3 \times 3$ คุณสามารถค้นหาได้โดยใช้กฎช่วยในการช่วยจำ: Sarrus หรือสามเหลี่ยม คุณยังสามารถขยายเมทริกซ์ตามแถวหรือคอลัมน์ หรือใช้การแปลงแบบเกาส์เซียนก็ได้

สำหรับปัจจัยที่ใหญ่กว่า สามารถใช้การแปลงแบบเกาส์เซียนและการขยายเส้นได้

เมทริกซ์ผกผัน

โดยการเปรียบเทียบกับการคูณตัวเลขปกติด้วยจำนวนผกผัน $(1+\frac1x= 1)$ การคูณ เมทริกซ์ผกผัน$A^(-1)$ บนเมทริกซ์ดั้งเดิมให้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ $E$

วิธีแก้ที่ง่ายที่สุดในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันคือ จอร์แดน-เกาส์- ถัดจากเมทริกซ์หนูตะเภา จะมีการเขียนยูนิตเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน จากนั้นเมทริกซ์ต้นฉบับจะถูกลดขนาดเป็นเมทริกซ์หน่วยโดยใช้การแปลง และการกระทำที่ดำเนินการทั้งหมดจะทำซ้ำด้วย $E$

ตัวอย่างที่ 4

ให้ $A=\begin(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$

รับเมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย:

เราเขียน $A$ ด้วยกัน และทางด้านขวาจะมีขนาดที่สอดคล้องกัน $E$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(array)$

เราได้ศูนย์ในบรรทัดสุดท้ายในตำแหน่งแรก: เพิ่มบรรทัดบนสุดคูณด้วย $-3$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$

ตอนนี้เรารีเซ็ตองค์ประกอบสุดท้ายของบรรทัดแรก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดล่างสุดที่บรรทัดบนสุด:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(array)$

หารวินาทีด้วย $-2$:

$ \begin(array)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(array)$

เราได้รับผลลัพธ์:

$A=\begin(พีเมทริกซ์)(ซีซี) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(พีเมทริกซ์)$

การย้ายตารางเมทริกซ์

การขนย้ายคือการสลับแถวและคอลัมน์ในเมทริกซ์หรือดีเทอร์มิแนนต์โดยยังคงรักษาลำดับเดิมไว้ ดีเทอร์มิแนนต์ของตารางเมทริกซ์ที่ถูกย้าย $A^T$ จะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม $A$

ตัวอย่างที่ 5

ย้ายเมทริกซ์ $A$ และทดสอบด้วยตัวเองโดยการค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของ $A$ และเมทริกซ์ที่ถูกย้ายจากแท็บเล็ต

$A=\begin(พีเมทริกซ์) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end(พีเมทริกซ์)$

สารละลาย:

ให้เราใช้วิธีซาร์รัสกับดีเทอร์มิแนนต์:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$

เราได้รับเมทริกซ์เอกพจน์

ทีนี้ลองย้าย $A$ เพื่อทำสิ่งนี้ เราจะพลิกเมทริกซ์ไปทางด้านขวา:

$A^T = \begin(พีเมทริกซ์) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(พีเมทริกซ์)$

มาหาดีเทอร์มิแนนต์ของ $A^T$ โดยใช้กฎเดียวกัน:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0$

ก่อนอื่น ผลลัพธ์ของการคูณเมทริกซ์ 3 ตัวจะเป็นอย่างไร? แมวจะไม่ให้กำเนิดหนู หากการคูณเมทริกซ์เป็นไปได้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเมทริกซ์ด้วย อืม ครูพีชคณิตของฉันไม่เห็นว่าฉันอธิบายความปิดของโครงสร้างพีชคณิตสัมพันธ์กับองค์ประกอบของมันอย่างไร =)

ผลคูณของเมทริกซ์ทั้งสามสามารถคำนวณได้สองวิธี:

1) ค้นหาแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ “ce”: ;

2) หาก่อนแล้วจึงคูณ

ผลลัพธ์จะตรงกันอย่างแน่นอนและในทางทฤษฎี คุณสมบัตินี้เรียกว่าการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์:

ตัวอย่างที่ 6

คูณเมทริกซ์ได้สองวิธี

อัลกอริทึม โซลูชั่นสองขั้นตอน: เราหาผลคูณของเมทริกซ์สองตัว จากนั้นเราจะหาผลคูณของเมทริกซ์สองตัวอีกครั้ง

1) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

องก์ที่สอง:

2) ใช้สูตร

การกระทำที่หนึ่ง:

องก์ที่สอง:

คำตอบ:

แน่นอนว่าวิธีแก้ปัญหาแรกคือคุ้นเคยและเป็นมาตรฐานมากกว่า โดยที่ “ทุกอย่างดูเป็นระเบียบ” โดยวิธีการเกี่ยวกับการสั่งซื้อ ในงานที่กำลังพิจารณา ภาพลวงตามักเกิดขึ้นว่าเรากำลังพูดถึงการเรียงสับเปลี่ยนเมทริกซ์บางประเภท พวกเขาไม่ได้อยู่ที่นี่ ฉันเตือนคุณอีกครั้งว่า โดยทั่วไป เมทริกซ์ไม่สามารถคงอยู่ถาวรได้- ดังนั้น ในย่อหน้าที่สอง ในขั้นตอนที่สอง เราจะทำการคูณ แต่ไม่ว่าในกรณีใด ให้ทำ . สำหรับตัวเลขธรรมดา ตัวเลขดังกล่าวจะใช้ได้ แต่สำหรับเมทริกซ์จะใช้ไม่ได้

คุณสมบัติของการคูณแบบเชื่อมโยงเป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับกำลังสองเท่านั้น แต่ยังสำหรับเมทริกซ์ตามใจชอบด้วย - ตราบใดที่พวกมันถูกคูณ:

ตัวอย่างที่ 7

หา ผลิตภัณฑ์ของสามเมทริกซ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- ในโซลูชันตัวอย่าง การคำนวณจะดำเนินการในสองวิธี ได้แก่ วิเคราะห์ว่าเส้นทางใดทำกำไรได้มากกว่าและสั้นกว่า

คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์ยังใช้กับปัจจัยจำนวนมากขึ้นด้วย

ตอนนี้เป็นเวลาที่จะกลับไปสู่พลังของเมทริกซ์ กำลังสองของเมทริกซ์ได้รับการพิจารณาตั้งแต่เริ่มต้นและอยู่ในวาระการประชุม

ที่ให้ไว้ ชุดเครื่องมือจะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีการแสดง การดำเนินการกับเมทริกซ์: การบวก (ลบ) เมทริกซ์ การขนย้ายเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ การค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เนื้อหาทั้งหมดนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้ โดยมีการยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นแม้แต่ผู้ที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้ก็สามารถเรียนรู้วิธีดำเนินการกับเมทริกซ์ได้ สำหรับการตรวจสอบตัวเองและการทดสอบตัวเอง คุณสามารถดาวน์โหลดเครื่องคำนวณเมทริกซ์ได้ฟรี >>>

ฉันจะพยายามลดการคำนวณทางทฤษฎีให้เหลือน้อยที่สุด ในบางสถานที่คำอธิบาย "บนนิ้ว" และการใช้คำศัพท์ที่ไม่ใช่ทางวิทยาศาสตร์ก็เป็นไปได้ ผู้ชื่นชอบทฤษฎีที่มั่นคง โปรดอย่าวิจารณ์ หน้าที่ของเราคือ เรียนรู้ที่จะดำเนินการกับเมทริกซ์.

สำหรับการเตรียมการแบบ SUPER FAST ในหัวข้อ (ใครที่กำลัง “ลุกเป็นไฟ”) มีหลักสูตร pdf เข้มข้น เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ และทดสอบ!

เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยมของบางอัน องค์ประกอบ- เช่น องค์ประกอบเราจะพิจารณาตัวเลข ซึ่งก็คือเมทริกซ์เชิงตัวเลข องค์ประกอบเป็นคำศัพท์ ขอแนะนำให้จำคำนี้ไว้ซึ่งจะปรากฏบ่อยครั้งไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันใช้แบบอักษรตัวหนาเพื่อไฮไลต์

การกำหนด:เมทริกซ์มักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ด้วยตัวอักษรละติน

ตัวอย่าง:พิจารณาเมทริกซ์สองคูณสาม:

เมทริกซ์นี้ประกอบด้วยหก องค์ประกอบ:

ตัวเลข (องค์ประกอบ) ทั้งหมดภายในเมทริกซ์นั้นมีอยู่ในตัวมันเองนั่นคือไม่มีคำถามเกี่ยวกับการลบใด ๆ :

เป็นเพียงตาราง(ชุด)ตัวเลข!

เราก็จะเห็นด้วยเช่นกัน อย่าจัดเรียงใหม่ตัวเลข เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในคำอธิบาย แต่ละหมายเลขมีที่ตั้งของตัวเองและไม่สามารถสับเปลี่ยนได้!

เมทริกซ์ที่ต้องการมีสองแถว:

และสามคอลัมน์:

มาตรฐาน: เมื่อพูดถึงขนาดเมทริกซ์แล้ว ตอนแรกระบุจำนวนแถวและระบุเฉพาะจำนวนคอลัมน์เท่านั้น เราเพิ่งแจกแจงเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 3 ออกมา

หากจำนวนแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากันแสดงว่าเมทริกซ์นั้นถูกเรียก สี่เหลี่ยม, ตัวอย่างเช่น: – เมทริกซ์ขนาดสามคูณสาม

หากเมทริกซ์มีหนึ่งคอลัมน์หรือหนึ่งแถว เมทริกซ์ดังกล่าวก็จะถูกเรียกเช่นกัน เวกเตอร์.

อันที่จริง เรารู้จักแนวคิดเรื่องเมทริกซ์มาตั้งแต่สมัยเรียน เช่น พิจารณาจุดที่มีพิกัด "x" และ "y": โดยพื้นฐานแล้ว พิกัดของจุดจะถูกเขียนลงในเมทริกซ์ขนาดหนึ่งต่อสอง อย่างไรก็ตาม นี่คือตัวอย่างว่าทำไมลำดับของตัวเลขจึงมีความสำคัญ: และมีสองอย่างโดยสมบูรณ์ จุดที่แตกต่างกันเครื่องบิน.

ตอนนี้เรามาศึกษาต่อกันดีกว่า การดำเนินการกับเมทริกซ์:

1) ทำหน้าที่อย่างใดอย่างหนึ่ง การลบเครื่องหมายลบออกจากเมทริกซ์ (การนำเครื่องหมายลบเข้าไปในเมทริกซ์).

ลองกลับไปที่เมทริกซ์ของเราอีกครั้ง - ดังที่คุณคงสังเกตเห็นว่า มีจำนวนลบมากเกินไปในเมทริกซ์นี้ สิ่งนี้ไม่สะดวกมากจากมุมมองของการดำเนินการต่าง ๆ กับเมทริกซ์การเขียน minuses มากมายไม่สะดวกและการออกแบบก็ดูน่าเกลียด

ลองย้ายเครื่องหมายลบไปนอกเมทริกซ์ โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์:

อย่างที่คุณเข้าใจที่ศูนย์ เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง ศูนย์ก็เท่ากับศูนย์ในแอฟริกาเช่นกัน

ตัวอย่างย้อนกลับ: - มันดูน่าเกลียด

เรามาแนะนำเครื่องหมายลบในเมทริกซ์โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกแต่ละตัวในเมทริกซ์:

มันดูดีขึ้นมาก และที่สำคัญที่สุด มันจะง่ายกว่าที่จะดำเนินการใดๆ กับเมทริกซ์ เพราะมีคณิตศาสตร์เช่นนี้ สัญญาณพื้นบ้าน: ยิ่งมี minuses มากเท่าไรก็ยิ่งเกิดความสับสนและข้อผิดพลาดมากขึ้นเท่านั้น.

2) พระราชบัญญัติที่สอง การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข.

ตัวอย่าง:

ง่ายมาก คุณต้องคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข ทั้งหมดองค์ประกอบเมทริกซ์คูณด้วย หมายเลขที่กำหนด- ในกรณีนี้ - สาม

อีกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์:

– การคูณเมทริกซ์ด้วยเศษส่วน

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าต้องทำอย่างไร ไม่จำเป็น:

ไม่จำเป็นต้องใส่เศษส่วนลงในเมทริกซ์ ประการแรก มีเพียงความซับซ้อนเท่านั้น การดำเนินการเพิ่มเติมเมื่อใช้เมทริกซ์ ประการที่สอง ทำให้ครูตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้ยาก (โดยเฉพาะถ้า – คำตอบสุดท้ายของงาน)

และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง, ไม่จำเป็นหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยลบเจ็ด:

จากบทความ คณิตศาสตร์สำหรับหุ่นจำลองหรือจะเริ่มต้นอย่างไรเราจำเรื่องนั้นได้ ทศนิยมในคณิตศาสตร์ชั้นสูงพวกเขาพยายามหลีกเลี่ยงในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้

สิ่งเดียวก็คือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่ต้องทำในตัวอย่างนี้คือการบวกลบเข้ากับเมทริกซ์:

แต่ถ้าเพียงเท่านั้น ทั้งหมดองค์ประกอบเมทริกซ์ถูกหารด้วย 7 ไร้ร่องรอยดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ (และจำเป็น!) ที่จะแบ่ง

ตัวอย่าง:

ในกรณีนี้คุณสามารถทำได้ จำเป็นต้องคูณองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดด้วย เนื่องจากตัวเลขเมทริกซ์ทั้งหมดหารด้วย 2 ลงตัว ไร้ร่องรอย.

หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษา ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การหาร" แทนที่จะพูดว่า “นี่หารด้วยสิ่งนั้น” คุณสามารถพูดว่า “นี่คูณด้วยเศษส่วน” ได้เสมอ นั่นคือการหารเป็นกรณีพิเศษของการคูณ

3) พระราชบัญญัติที่สาม เมทริกซ์ทรานสโพส.

ในการทรานสโพสเมทริกซ์ คุณต้องเขียนแถวของเมทริกซ์ลงในคอลัมน์ของเมทริกซ์ทรานสโพส

ตัวอย่าง:

ย้ายเมทริกซ์

มีเพียงบรรทัดเดียวที่นี่และตามกฎแล้วจะต้องเขียนในคอลัมน์:

– เมทริกซ์ที่ถูกย้าย

เมทริกซ์ที่ถูกย้ายมักจะระบุด้วยตัวยกหรือจำนวนเฉพาะที่มุมขวาบน

ตัวอย่างทีละขั้นตอน:

ย้ายเมทริกซ์

ขั้นแรกเราเขียนแถวแรกใหม่ในคอลัมน์แรก:

จากนั้นเราเขียนบรรทัดที่สองใหม่ในคอลัมน์ที่สอง:

และสุดท้าย เราเขียนแถวที่สามใหม่ในคอลัมน์ที่สาม:

พร้อม. หากพูดโดยคร่าวๆ การย้ายตำแหน่งหมายถึงการพลิกเมทริกซ์ไปด้านข้าง

4) พระราชบัญญัติที่สี่ ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์.

ผลรวมของเมทริกซ์เป็นการดำเนินการง่ายๆ
ไม่สามารถพับเมทริกซ์ทั้งหมดได้ ในการบวก (ลบ) เมทริกซ์ จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างเช่นหากได้รับเมทริกซ์แบบสองคูณสองก็จะสามารถเพิ่มได้เฉพาะกับเมทริกซ์แบบสองคูณสองเท่านั้นและไม่มีใครอื่นได้!

ตัวอย่าง:

เพิ่มเมทริกซ์ และ

ในการเพิ่มเมทริกซ์ คุณต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกัน:

สำหรับผลต่างของเมทริกซ์ กฎจะคล้ายกัน จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง.

ตัวอย่าง:

ค้นหาผลต่างเมทริกซ์ ,

คุณจะแก้ตัวอย่างนี้ให้ง่ายขึ้นได้อย่างไรเพื่อไม่ให้สับสน? ขอแนะนำให้กำจัด minuses ที่ไม่จำเป็นออกไปโดยเพิ่มเครื่องหมายลบลงในเมทริกซ์:

หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษา ไม่มีแนวคิดเรื่องการ "ลบ" แทนที่จะพูดว่า “ลบสิ่งนี้ออกจากสิ่งนี้” คุณสามารถพูดว่า “เพิ่มสิ่งนี้ลงในสิ่งนี้” ได้เสมอ จำนวนลบ- นั่นคือการลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก

5) พระราชบัญญัติที่ห้า การคูณเมทริกซ์.

เมทริกซ์ใดที่สามารถคูณได้?

เพื่อให้เมทริกซ์คูณด้วยเมทริกซ์ จำเป็น เพื่อให้จำนวนคอลัมน์เมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวเมทริกซ์.

ตัวอย่าง:
เป็นไปได้ไหมที่จะคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์?

ซึ่งหมายความว่าข้อมูลเมทริกซ์สามารถคูณได้

แต่ถ้าเมทริกซ์ถูกจัดเรียงใหม่ ในกรณีนี้ การคูณจะเป็นไปไม่ได้อีกต่อไป!

ดังนั้นจึงไม่สามารถคูณได้:

ไม่ใช่เรื่องยากนักที่จะเผชิญกับงานที่มีกลอุบาย เมื่อนักเรียนถูกขอให้คูณเมทริกซ์ ซึ่งการคูณนั้นเป็นไปไม่ได้อย่างเห็นได้ชัด

ควรสังเกตว่าในบางกรณี คุณสามารถคูณเมทริกซ์ได้ทั้งสองวิธี
ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ และทั้งการคูณและการคูณก็เป็นไปได้

คำจำกัดความ 1

ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ (C = AB) เป็นการดำเนินการสำหรับเมทริกซ์ A และ B ที่ตรงกันเท่านั้น โดยจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B:

C ⏟ ม. × n = A ⏟ ม. × p × B ⏟ p × n

ตัวอย่างที่ 1

เมทริกซ์ที่กำหนด:

• A = a (i j) ขนาด m × n;
• B = b (i j) ขนาด p × n

Matrix C องค์ประกอบ c i j ซึ่งคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

c ฉัน j = a ฉัน 1 × b 1 j + a ฉัน 2 × b 2 j + - - + a i p × b p j , i = 1 , . - - ม., เจ = 1, . - - ม

ตัวอย่างที่ 2

ลองคำนวณผลคูณ AB=BA:

ก = 1 2 1 0 1 2 , ข = 1 0 0 1 1 1

คำตอบโดยใช้กฎการคูณเมทริกซ์:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

พบผลิตภัณฑ์ A B และ BA A แต่เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดต่างกัน: A B ไม่เท่ากับ BA A

คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์

คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์:

• (A B) C = A (B C) - การเชื่อมโยงของการคูณเมทริกซ์
• A (B + C) = A B + AC - การกระจายตัวของการคูณ
• (A + B) C = A C + B C - การกระจายตัวของการคูณ
• แล (AB) = (แลม A) B

ตัวอย่างที่ 1

มาตรวจสอบคุณสมบัติหมายเลข 1 กันดีกว่า: (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

ก (ข × ค) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100.

ตัวอย่างที่ 2

มาตรวจสอบคุณสมบัติหมายเลข 2 กัน: A (B + C) = A B + AC:

ก × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

เอบี + เอค = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58.

ผลคูณของเมทริกซ์สามตัว

ผลคูณของเมทริกซ์ A B C สามตัวคำนวณได้ 2 วิธี:

• หา AB และคูณด้วย C: (A B) C;
• หรือหา B C ​​ก่อนแล้วจึงคูณ A (B C)

​​​​ตัวอย่างที่ 3

คูณเมทริกซ์ได้ 2 วิธี:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

อัลกอริทึมของการกระทำ:

• ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์ 2 ตัว
• แล้วหาผลคูณของเมทริกซ์ 2 ตัวอีกครั้ง

1) เอบี = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

เราใช้สูตร A B C = (A B) C:

1) BC = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C = (A B) C = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

ตอบ: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข

คำจำกัดความ 2

ผลคูณของเมทริกซ์ A ตามจำนวน k คือเมทริกซ์ B = A k ที่มีขนาดเท่ากันซึ่งได้มาจากเมทริกซ์ดั้งเดิมโดยการคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วยจำนวนที่กำหนด:

ข ฉัน, เจ = k × ฉัน, เจ

คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข:

• 1 × ก = ก
• 0 × A = เมทริกซ์ศูนย์
• k (A + B) = k A + k B
• (k + n) A = k A + n A
• (k × n) × A = k (n × A)

ตัวอย่างที่ 4

ลองหาผลคูณของเมทริกซ์ A = 4 2 9 0 คูณ 5 กัน

5 ก = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

การคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์

คำจำกัดความ 3

หากต้องการค้นหาผลคูณของเมทริกซ์และเวกเตอร์ คุณต้องคูณโดยใช้กฎ "แถวต่อคอลัมน์":

• หากคุณคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์จะต้องตรงกับจำนวนแถวในเวกเตอร์คอลัมน์
• ผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์คอลัมน์เป็นเพียงเวกเตอร์คอลัมน์:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 s 2 ⋯ 1 ม

• หากคุณคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์แถว เมทริกซ์ที่จะคูณจะต้องเป็นเวกเตอร์คอลัมน์โดยเฉพาะ และจำนวนคอลัมน์จะต้องตรงกับจำนวนคอลัมน์ในเวกเตอร์แถว:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯a 1 × bn a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯a 2 × bn ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cn 1 c n 2 ⋯⋯ c n n

ตัวอย่างที่ 5

ลองหาผลคูณของเมทริกซ์ A และเวกเตอร์คอลัมน์ B:

เอบี = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

ตัวอย่างที่ 6

ลองหาผลคูณของเมทริกซ์ A และเวกเตอร์แถว B:

ก = 3 2 0 - 1 , B = - 1 1 0 2

AB = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

คำตอบ: AB = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter