สูตรการเคลื่อนที่แบบฟิสิกส์ การสั่นสะเทือนทางกล การแปลงพลังงานในระบบออสซิลเลเตอร์

4.2. แนวคิดและคำจำกัดความของหัวข้อ “การแกว่งและคลื่น”

สมการ การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกและวิธีแก้ปัญหาของเขา:

, x=เอคอส(ω 0t+α ) ,

ก– แอมพลิจูดของการสั่น

α – ระยะเริ่มต้นของการสั่น

ระยะเวลาการสั่น จุดวัสดุการสั่นภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น:

ที่ไหน ม– มวลของจุดวัสดุ

เค– ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็ง

คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์:

ที่ไหน ล- ความยาวของลูกตุ้ม;

ก= 9.8 m/s 2 – ความเร่งในการตกอย่างอิสระ

แอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนที่ได้จากการเพิ่มการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกที่มีทิศทางเท่ากันสองครั้ง:

ที่ไหน ก 1 และ ก 2 – แอมพลิจูดของส่วนประกอบการสั่นสะเทือน

φ 1 และ φ 2 เป็นระยะเริ่มต้นของส่วนประกอบของการสั่น

ระยะเริ่มต้นของการออสซิลเลชันที่ได้จากการเพิ่มการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกที่มีทิศทางเท่ากันสองตัว:

.

สมการ การสั่นแบบหน่วงและวิธีแก้ปัญหาของเขา:

, ,

– ความถี่ของการสั่นแบบหน่วง

โดยที่ ω 0 คือความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง

การลดลงของการหน่วงลอการิทึม:

โดยที่ β คือสัมประสิทธิ์การลดทอน

– ระยะเวลาของการสั่นแบบหน่วง

ปัจจัยด้านคุณภาพของระบบออสซิลเลเตอร์:

โดยที่ θ คือการลดทอนลอการิทึม

สมการของการแกว่งแบบบังคับและวิธีแก้ปัญหาสภาวะคงตัว:

, x=กเพราะ (ω ที-φ ),

ที่ไหน เอฟ 0 – ค่าแอมพลิจูดของแรง

– แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วง

φ= – ระยะเริ่มต้น.

ความถี่เรโซแนนซ์ความผันผวน:

,

โดยที่ ω 0 – ความถี่วงจรธรรมชาติของการแกว่ง

β คือสัมประสิทธิ์การลดทอน

การสั่นของแม่เหล็กไฟฟ้าแบบหน่วงในวงจรที่ประกอบด้วยความจุค, ตัวเหนี่ยวนำลและการต่อต้านร:

,

ที่ไหน ถาม– ประจุบนตัวเก็บประจุ

คิว ม– ค่าแอมพลิจูดของประจุบนตัวเก็บประจุ

β = ร/2ล– ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน,

ที่นี่ ร– ความต้านทานของวงจร

ล– ความเหนี่ยวนำของคอยล์;

– ความถี่ไซคลิกของการแกว่ง

โดยที่ ω 0 – ความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง

α – ระยะเริ่มต้นของการสั่น

คาบการสั่นของแม่เหล็กไฟฟ้า:

,

ที่ไหน กับ– ความจุของตัวเก็บประจุ

ล– ความเหนี่ยวนำของคอยล์;

ร– ความต้านทานของวงจร

ถ้าความต้านทานของวงจรน้อย อะไร ( ร/2ล) 2 <<1/แอล.ซี.จากนั้นคาบการสั่น:

ความยาวคลื่น:

ที่ไหน วี –ความเร็วการแพร่กระจายคลื่น

ต– ระยะเวลาของการสั่น

สมการคลื่นระนาบ:

ξ =กเพราะ (ω ที-เคเอ็กซ์),

ที่ไหน ก– แอมพลิจูด;

ω – ความถี่วงจร;

– หมายเลขคลื่น

สมการคลื่นทรงกลม:

,

ที่ไหน ก– แอมพลิจูด;

ω – ความถี่วงจร;

เค– หมายเลขคลื่น

ร– ระยะห่างจากศูนย์กลางของคลื่นถึงจุดที่พิจารณาในตัวกลาง

? การแกว่งฮาร์โมนิคอิสระในวงจร

วงจรในอุดมคติคือวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยตัวเก็บประจุที่ต่ออนุกรมกันด้วยความจุไฟฟ้า กับและตัวเหนี่ยวนำ ล.ตามกฎหมายฮาร์มอนิก แรงดันไฟฟ้าบนแผ่นตัวเก็บประจุและกระแสในตัวเหนี่ยวนำจะเปลี่ยนไป

? ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก สปริง ลูกตุ้มฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ คาบการสั่น

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกคือระบบทางกายภาพใดๆ ที่แกว่งไปมา ออสซิลเลเตอร์แบบคลาสสิก - สปริง ลูกตุ้มทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ ลูกตุ้มสปริง - มวลมวล มแขวนอยู่บนสปริงที่ยืดหยุ่นอย่างยิ่งและทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น ต- ลูกตุ้มทางกายภาพคือวัตถุแข็งที่มีรูปร่างตามอำเภอใจซึ่งแกว่งไปมาภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงรอบแกนนอนที่ไม่ผ่านจุดศูนย์ถ่วง ต- ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นระบบแยกเดี่ยวที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่มีมวล มห้อยอยู่บนเส้นด้ายไร้น้ำหนักที่ยืดยาวไม่ได้ ลและแกว่งไปมาภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง ต= .

? การสั่นสะเทือนทางกลที่ไม่มีการหน่วง (สมการ ความเร็ว ความเร่ง พลังงาน) การแสดงภาพการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก

การสั่นจะถูกเรียกว่าอิสระหากเกิดขึ้นเนื่องจากพลังงานที่ให้ในตอนแรกในเวลาต่อมาโดยไม่มีอิทธิพลภายนอกต่อระบบออสซิลเลเตอร์ ค่าจะเปลี่ยนแปลงไปตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ - ส- การกระจัดจากตำแหน่งสมดุล ก– แอมพลิจูด, w 0 - ความถี่ไซคลิก – เฟสเริ่มต้นของการแกว่ง ความเร็วความเร่ง พลังงานเต็ม - อี- แบบกราฟิก - ใช้คลื่นไซน์หรือโคไซน์

? แนวคิดของกระบวนการสั่น การแกว่งของฮาร์มอนิกและคุณลักษณะของมัน คาบ แอมพลิจูด ความถี่ และเฟสของการแกว่ง การแสดงภาพการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก

กระบวนการที่เป็นคาบซึ่งเกิดซ้ำเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่าการสั่น การแกว่งเป็นคาบซึ่งพิกัดของร่างกายเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ เรียกว่าฮาร์มอนิก คาบคือเวลาของการสั่นหนึ่งครั้ง แอมพลิจูดคือการกระจัดสูงสุดของจุดจากตำแหน่งสมดุล ความถี่คือจำนวนการสั่นที่สมบูรณ์ต่อหน่วยเวลา เฟสคือปริมาณที่อยู่ใต้เครื่องหมายไซน์หรือโคไซน์ สมการ: , ที่นี่ ส- ปริมาณที่แสดงลักษณะของระบบการสั่น - ความถี่แบบไซคลิก แบบกราฟิก - ใช้คลื่นไซน์หรือโคไซน์

? การสั่นแบบหน่วง สมการเชิงอนุพันธ์ของการแกว่งเหล่านี้ การลดลงของการหน่วงลอการิทึม เวลาผ่อนคลาย ปัจจัยด้านคุณภาพ

การสั่นที่แอมพลิจูดลดลงเมื่อเวลาผ่านไป เช่น เนื่องจากแรงเสียดทาน สมการ: , ที่นี่ ส- ปริมาณที่แสดงลักษณะของระบบการสั่น - ความถี่แบบไซคลิก - สัมประสิทธิ์การหน่วง การลดลงของการหน่วงลอการิทึม โดยที่ เอ็น– จำนวนการสั่นที่เสร็จสมบูรณ์ระหว่างแอมพลิจูดลดลง เอ็นครั้งหนึ่ง. เวลาผ่อนคลาย t - ในระหว่างที่แอมพลิจูดลดลง e เท่า ปัจจัยด้านคุณภาพ Q=

? การแกว่งแบบบังคับที่ไม่ทำให้หมาด ๆ สมการเชิงอนุพันธ์ของการแกว่งเหล่านี้ เสียงสะท้อนคืออะไร? แอมพลิจูดและเฟสของการสั่นแบบบังคับ

หากการสูญเสียพลังงานการสั่นซึ่งนำไปสู่การหน่วงได้รับการชดเชยอย่างสมบูรณ์ การสั่นที่ไม่มีการหน่วงจะถูกสร้างขึ้น สมการ: - ทางด้านขวาคืออิทธิพลภายนอกที่เปลี่ยนแปลงไปตามกฎฮาร์มอนิก หากความถี่ธรรมชาติของการสั่นของระบบเกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ภายนอก เสียงสะท้อนจะเกิดขึ้น - แอมพลิจูดของระบบเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว แอมพลิจูด , .

? อธิบายการเพิ่มการสั่นสะเทือนในทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกัน การสั่นสะเทือนตั้งฉากกัน จังหวะคืออะไร?

แอมพลิจูดของการแกว่งผลลัพธ์ที่เกิดจากการบวกการสั่นฮาร์มอนิกสองตัวในทิศทางเดียวกันและความถี่เดียวกันอยู่ที่นี่ ก– แอมพลิจูด, j – เฟสเริ่มต้น ระยะเริ่มต้นของการสั่นที่เกิดขึ้น - การแกว่งตั้งฉากซึ่งกันและกัน - สมการวิถีโคจร , ที่นี่ กและ ในแอมพลิจูดของการแกว่งที่เพิ่ม, ความแตกต่างของเฟส j

? อธิบายการสั่นแบบผ่อนคลาย การสั่นด้วยตนเอง

การผ่อนคลาย - การสั่นในตัวเองซึ่งมีรูปร่างแตกต่างอย่างมากจากฮาร์มอนิกเนื่องจากการสูญเสียพลังงานอย่างมีนัยสำคัญในระบบการสั่นในตัวเอง (แรงเสียดทานในระบบเครื่องกล) การสั่นไหวในตัวเองคือการสั่นแบบไม่หน่วงซึ่งสนับสนุนโดยแหล่งพลังงานภายนอก ในกรณีที่ไม่มีแรงแปรผันภายนอก ความแตกต่างจากการบังคับคือความถี่และแอมพลิจูดของการสั่นในตัวเองถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของระบบออสซิลเลเตอร์เอง พวกมันแตกต่างจากการแกว่งอิสระ - พวกมันต่างกันในเรื่องความเป็นอิสระของแอมพลิจูดตามเวลาและจากอิทธิพลระยะสั้นเริ่มต้นที่กระตุ้นกระบวนการออสซิลเลชัน ตัวอย่างของระบบการสั่นในตัวเองคือนาฬิกา

? คลื่น (แนวคิดพื้นฐาน) คลื่นตามยาวและตามขวาง คลื่นยืน. ความยาวคลื่น ความสัมพันธ์กับคาบและความถี่

กระบวนการแพร่กระจายการสั่นสะเทือนในอวกาศเรียกว่าคลื่น ทิศทางที่คลื่นถ่ายโอนพลังงานการสั่นสะเทือนคือทิศทางที่คลื่นเคลื่อนที่ ตามยาว - การแกว่งของอนุภาคของตัวกลางเกิดขึ้นในทิศทางของการแพร่กระจายคลื่น ตามขวาง - การสั่นสะเทือนของอนุภาคของตัวกลางเกิดขึ้นตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น คลื่นนิ่งเกิดขึ้นจากการซ้อนทับกันของคลื่นเคลื่อนที่สองคลื่นที่แพร่กระจายเข้าหากันด้วยความถี่และแอมพลิจูดที่เท่ากัน และในกรณีของคลื่นตามขวาง โพลาไรเซชันเดียวกัน ความยาวคลื่นคือระยะทางที่คลื่นเดินทางในช่วงเวลาหนึ่ง (ความยาวคลื่น โวลต์- ความเร็วคลื่น ต- ระยะเวลาการสั่น)

? หลักการซ้อนทับ (ซ้อนทับ) ของคลื่น ความเร็วของกลุ่มและความสัมพันธ์กับความเร็วเฟส

หลักการของการซ้อนทับ - เมื่อคลื่นหลายลูกแพร่กระจายในตัวกลางเชิงเส้น แต่ละคลื่นจะแพร่กระจายราวกับว่าไม่มีคลื่นอื่น และผลลัพธ์ของการกระจัดของอนุภาคของตัวกลาง ณ เวลาใดก็ตามจะเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของการกระจัดที่อนุภาค ได้รับในขณะที่เข้าร่วมในแต่ละกระบวนการคลื่นที่เป็นส่วนประกอบ ความเร็วของกลุ่มคือความเร็วของการเคลื่อนที่ของกลุ่มคลื่นที่ก่อตัวเป็นแพ็กเก็ตคลื่นที่แปลเป็นภาษาท้องถิ่นในแต่ละช่วงเวลาในอวกาศ ความเร็วของการเคลื่อนที่ของเฟสคลื่นคือความเร็วของเฟส ในสภาพแวดล้อมที่ไม่กระจัดกระจายพวกมันเกิดขึ้นพร้อมกัน

? คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าและคุณสมบัติของมัน พลังงานของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า - การสั่นของแม่เหล็กไฟฟ้าที่แพร่กระจายในอวกาศ Hertz ได้รับการทดลองในปี พ.ศ. 2423 คุณสมบัติ - สามารถแพร่กระจายในตัวกลางและสุญญากาศในสุญญากาศเท่ากับ c ในสื่อน้อยกว่าตามขวาง อี และ บี ตั้งฉากกันและตั้งฉากกับทิศทางของการขยายพันธุ์ ความเข้มจะเพิ่มขึ้นตามความเร่งที่เพิ่มขึ้นของอนุภาคที่มีประจุที่แผ่กระจายออกไป ภายใต้เงื่อนไขบางประการ คุณสมบัติของคลื่นโดยทั่วไปจะปรากฏขึ้น - การเลี้ยวเบน ฯลฯ ความหนาแน่นของพลังงานตามปริมาตร .

เลนส์

สูตรพื้นฐานของเลนส์

ความเร็วแสงในตัวกลาง:

ที่ไหน ค– ความเร็วแสงในสุญญากาศ

n– ดัชนีการหักเหของตัวกลาง

ความยาวเส้นทางคลื่นแสงออปติคัล:

ล = ไม่เป็นไร,

ที่ไหน ส– ความยาวเส้นทางเรขาคณิตของคลื่นแสงในตัวกลางที่มีดัชนีการหักเหของแสง n.

ความแตกต่างของเส้นทางแสงระหว่างคลื่นแสงสองคลื่น:

∆ = ล 1 – ล 2 .

การขึ้นอยู่กับความแตกต่างของเฟสกับความแตกต่างทางแสงในเส้นทางของคลื่นแสง:

โดยที่ λ คือความยาวคลื่นแสง

เงื่อนไขสำหรับการขยายแสงสูงสุดระหว่างการรบกวน:

∆ = เคแล ( = 0, 1, 2, …) .

เงื่อนไขการลดทอนแสงสูงสุด:

ความแตกต่างทางแสงในเส้นทางของคลื่นแสงที่เกิดขึ้นเมื่อแสงเอกรงค์สะท้อนจากฟิล์มบาง:

∆ = 2ง ,

ที่ไหน ง– ความหนาของฟิล์ม

n– ดัชนีการหักเหของแสงของฟิล์ม

ฉัน ฉัน– มุมการหักเหของแสงในภาพยนตร์

รัศมีของแสง วงแหวนของนิวตันในแสงสะท้อน:

รเค = , (เค = 1, 2, 3, …),

ที่ไหน เค– หมายเลขแหวน;

ร– รัศมีความโค้ง

รัศมีวงแหวนมืดของนิวตันในแสงสะท้อน:

รเค = .

มุม φ ของการโก่งตัวของรังสี ซึ่งสอดคล้องกับค่าสูงสุด (แถบแสง) ในระหว่างการเลี้ยวเบนด้วยสลิตเดียว ถูกกำหนดจากเงื่อนไข

กบาปφ = (เค = 0, 1, 2, 3, …),

ที่ไหน ก– ความกว้างของช่อง;

เค– หมายเลขซีเรียลสูงสุด

มุมφการเบี่ยงเบนของรังสีซึ่งสอดคล้องกับค่าสูงสุด (แถบแสง) ในระหว่างการเลี้ยวเบนของแสงบนตะแกรงการเลี้ยวเบน จะถูกกำหนดจากเงื่อนไข

งบาปφ = (เค = 0, 1, 2, 3, …),

ที่ไหน ง– คาบของตะแกรงเลี้ยวเบน

ความละเอียดตะแกรงการเลี้ยวเบน:

ร= = กิโลนิวตัน,

โดยที่ ∆γ คือความแตกต่างที่น้อยที่สุดในความยาวคลื่นของเส้นสเปกตรัมสองเส้นที่อยู่ติดกัน (แลมบ์ดา และ แลม+∆γ) ซึ่งเส้นเหล่านี้สามารถเห็นแยกกันในสเปกตรัมที่ได้รับจากตะแกรงนี้

เอ็น– จำนวนช่องตะแกรงทั้งหมด

สูตรวูล์ฟ-แบรกก์:

2วันบาป θ = κ λ,

โดยที่ θ คือมุมแทะเล็ม (มุมระหว่างทิศทางของลำแสงเอ็กซ์เรย์คู่ขนานที่ตกกระทบบนคริสตัลและระนาบอะตอมในคริสตัล)

งคือระยะห่างระหว่างระนาบอะตอมของคริสตัล

กฎของบรูว์สเตอร์:

สีแทน ε ข=น 21 ,

ที่ไหน ε บี- มุมตกกระทบซึ่งลำแสงที่สะท้อนจากไดอิเล็กทริกมีขั้วสมบูรณ์

n 21 – ดัชนีการหักเหสัมพัทธ์ของตัวกลางตัวที่สองสัมพันธ์กับตัวกลางตัวแรก

กฎของมาลัส:

ฉัน = ฉัน 0 คอส 2 α ,

ที่ไหน ฉัน 0 – ความเข้มของแสงโพลาไรซ์ระนาบที่ตกกระทบบนเครื่องวิเคราะห์

ฉัน– ความเข้มของแสงนี้หลังจากเครื่องวิเคราะห์

α คือมุมระหว่างทิศทางของการแกว่งของเวกเตอร์ไฟฟ้าของแสงที่ตกกระทบบนเครื่องวิเคราะห์และระนาบการส่งผ่านของเครื่องวิเคราะห์ (หากการแกว่งของเวกเตอร์ไฟฟ้าของแสงตกกระทบตรงกับระนาบนี้ เครื่องวิเคราะห์จะส่งแสงนี้โดยไม่มี การลดทอน)

มุมการหมุนของระนาบโพลาไรเซชันของแสงเอกรงค์เมื่อผ่านสารออกฤทธิ์ทางแสง:

ก) φ = αd(เป็นของแข็ง)

ที่ไหน α – ค่าคงที่การหมุน

ง- ความยาวของเส้นทางที่แสงเดินทางในสารที่มีฤทธิ์ทางแสง

ข) φ = [α]pd(ในโซลูชั่น)

ที่ไหน [α] – การหมุนเฉพาะ

พี– ความเข้มข้นของมวลของสารออกฤทธิ์เชิงแสงในสารละลาย

แรงกดเบาที่อุบัติการณ์ปกติบนพื้นผิว:

,

ที่ไหน ของเธอ– การส่องสว่างพลังงาน (การฉายรังสี);

ω – ความหนาแน่นของพลังงานรังสีตามปริมาตร

ρ – สัมประสิทธิ์การสะท้อน

4.2. แนวคิดและคำจำกัดความของหัวข้อ "ทัศนศาสตร์"

? การรบกวนของคลื่น การเชื่อมโยงกัน เงื่อนไขสูงสุดและต่ำสุด

การรบกวนคือการเสริมกำลังหรืออ่อนแรงซึ่งกันและกันของคลื่นที่ต่อเนื่องกันเมื่อมีการซ้อนทับกัน (สอดคล้องกัน - มีความยาวเท่ากันและความแตกต่างของเฟสคงที่ที่จุดซ้อนทับ)

สูงสุด ;

ขั้นต่ำ .

โดยที่ D คือความแตกต่างของเส้นทางแสง l คือความยาวคลื่น

? หลักการของฮอยเกนส์-เฟรสเนล ปรากฏการณ์การเลี้ยวเบน การเลี้ยวเบนแบบสลิท, ตะแกรงการเลี้ยวเบน

หลักการของไฮเกนส์-เฟรสเนล คือ ทุกจุดในอวกาศที่คลื่นแพร่กระจายไปถึงในช่วงเวลาหนึ่งๆ จะกลายเป็นแหล่งกำเนิดของคลื่นที่สอดคล้องกันเบื้องต้น การเลี้ยวเบนคือการโค้งงอของคลื่นรอบสิ่งกีดขวาง หากขนาดของสิ่งกีดขวางเทียบได้กับความยาวคลื่น การเบี่ยงเบนของแสงจากการแพร่กระจายของเส้นตรง การเลี้ยวเบนของช่องสลิทอยู่ในรังสีคู่ขนาน คลื่นระนาบตกลงบนสิ่งกีดขวาง โดยสังเกตรูปแบบการเลี้ยวเบนบนหน้าจอที่อยู่ในระนาบโฟกัสของเลนส์สะสมที่ติดตั้งในเส้นทางของแสงที่ผ่านสิ่งกีดขวาง หน้าจอจะสร้าง "ภาพการเลี้ยวเบน" ของแหล่งกำเนิดแสงที่อยู่ห่างไกล ตะแกรงเลี้ยวเบนเป็นระบบของกรีดขนานที่มีความกว้างเท่ากัน วางอยู่ในระนาบเดียวกัน คั่นด้วยช่องว่างทึบแสงที่มีความกว้างเท่ากัน ใช้เพื่อแยกแสงออกเป็นสเปกตรัมและวัดความยาวคลื่น

? การกระจายแสง (ปกติและผิดปกติ) กฎของบูเกอร์ ความหมายของสัมประสิทธิ์การดูดซับ

การกระจายตัวของแสง - ขึ้นอยู่กับดัชนีการหักเหของแสงสัมบูรณ์ของสาร nบนความถี่ ν (หรือความยาวคลื่น แล) ของแสงที่ตกกระทบกับสสาร () ความเร็วแสงในสุญญากาศไม่ได้ขึ้นอยู่กับความถี่ ดังนั้นจึงไม่มีการกระจายตัวในสุญญากาศ การกระจายตัวของแสงตามปกติ - หากดัชนีการหักเหของแสงเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น (ลดลงตามความยาวคลื่นที่เพิ่มขึ้น) การกระจายตัวที่ผิดปกติ - หากดัชนีการหักเหของแสงลดลงอย่างซ้ำซากจำเจเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น (เพิ่มขึ้นตามความยาวคลื่นที่เพิ่มขึ้น) ผลที่ตามมาของการกระจายตัวคือการสลายตัวของแสงสีขาวเป็นสเปกตรัมเมื่อหักเหในสสาร การดูดกลืนแสงในสสารอธิบายได้ตามกฎของบูแกร์

ฉัน 0 และ ฉัน– ความเข้มของคลื่นแสงเอกรงค์ระนาบที่ด้านเข้าและด้านออกของชั้นสารดูดซับที่มีความหนา เอ็กซ์, a คือสัมประสิทธิ์การดูดกลืนแสง ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น และแตกต่างกันไปตามสารต่างๆ

? โพลาไรเซชันของคลื่นเรียกว่าอะไร? การได้รับคลื่นโพลาไรซ์ กฎของมาลัส

โพลาไรเซชันประกอบด้วยการรับการวางแนวพิเศษของทิศทางการแกว่งในคลื่นตามขวาง ความเป็นระเบียบเรียบร้อยในการวางแนวของเวกเตอร์ของความแรงของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในระนาบที่ตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของลำแสง อี , บี - ตั้งฉาก แสงธรรมชาติสามารถเปลี่ยนเป็นแสงโพลาไรซ์ได้โดยใช้โพลาไรเซอร์ กฎของมาลัส ( ฉัน 0 – ผ่านเครื่องวิเคราะห์ ฉัน– ผ่านโพลาไรเซอร์)

? ทวินิยมของคลื่นอนุภาค สมมติฐานของเดอ บรอกลี

ในอดีต มีการเสนอทฤษฎีเกี่ยวกับแสงสองทฤษฎี: ลำตัว - วัตถุที่ส่องสว่างปล่อยอนุภาคของกล้ามเนื้อ (หลักฐาน - การแผ่รังสีของวัตถุสีดำ, เอฟเฟกต์โฟโตอิเล็กทริก) และคลื่น - วัตถุที่ส่องสว่างทำให้เกิดการสั่นสะเทือนแบบยืดหยุ่นในสิ่งแวดล้อม แพร่กระจายเหมือนคลื่นเสียงในอากาศ (หลักฐาน - ปรากฏการณ์การรบกวน การเลี้ยวเบน โพลาไรเซชันของแสง) สมมติฐานของ Broglie - คุณสมบัติของคลื่นอนุภาคนั้นมีอยู่ไม่เพียงแต่ในโฟตอนเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงอนุภาคที่มีมวลนิ่งด้วย เช่น อิเล็กตรอน โปรตอน นิวตรอน อะตอม โมเลกุล ? เอฟเฟกต์ภาพถ่าย สมการของไอน์สไตน์

เอฟเฟกต์โฟโตอิเล็กทริคเป็นปรากฏการณ์ปฏิสัมพันธ์ของแสงกับสสารซึ่งเป็นผลมาจากการที่พลังงานของโฟตอนถูกถ่ายโอนไปยังอิเล็กตรอนของสาร สมการ: (พลังงานโฟตอนถูกใช้ไปกับฟังก์ชันการทำงานของอิเล็กตรอนและให้พลังงานจลน์แก่อิเล็กตรอน)

การสั่นสะเทือนใด ๆ แสดงถึงการเคลื่อนไหวที่มีความเร่งแปรผัน การโก่งตัว ความเร็ว และความเร่งในกรณีนี้เป็นหน้าที่ของเวลา ความผันผวนใด ๆ มีลักษณะเป็นระยะเช่น การเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้นซ้ำหลังจากเวลาผ่านไป ตเรียกว่าระยะเวลาหรือระยะเวลาของการสั่น การสั่นเกิดขึ้นเมื่อพลังงานถูกจ่ายให้กับระบบที่สามารถสั่นได้
มีความจำเป็นต้องแยกแยะ:

การแกว่งที่ไม่ทำให้หมาด ๆ

การแกว่งที่ไม่ทำให้หมาดเกิดขึ้นโดยมีแอมพลิจูดคงที่ ใช่ ม- สันนิษฐานว่าในกรณีนี้พลังงานที่ให้มาจะถูกอนุรักษ์ไว้ สภาวะดังกล่าวโดยประมาณเกิดขึ้นเมื่อสูญเสียพลังงานต่ำและใช้เวลาสังเกตสั้น เพื่อให้ได้ออสซิลเลชั่นที่ไม่มีการหน่วงอย่างแท้จริง จำเป็นต้องเติมพลังงานที่สูญเสียไปเป็นประจำ

การสั่นแบบหน่วง

การสั่นแบบหน่วงจะค่อยๆ ลดแอมพลิจูดลง ใช่ ม- หากไม่มีการเติมพลังงาน การสั่นสะเทือนใดๆ ก็จะหายไป

ลักษณะการสั่นสะเทือนที่สำคัญ

การสั่นของฮาร์มอนิกเกิดขึ้นตามกฎหมาย:

x = กเพราะ(ω ที + φ 0),

ที่ไหน x– การกระจัดของอนุภาคจากตำแหน่งสมดุล ก– แอมพลิจูดของการแกว่ง, ω – ความถี่วงกลม, φ 0 – เฟสเริ่มต้น, ที- เวลา.

ระยะเวลาการสั่น ต = .

ความเร็วของการสั่นของอนุภาค:

υ = = – กω บาป(ω ที + φ 0),

การเร่งความเร็ว ก = = –กω 2 คอส (ω ที + φ 0).

พลังงานจลน์ของอนุภาคที่เกิดการสั่น: อีเค = =
บาป 2 (ω ที+ φ 0).

พลังงานศักย์:

อี n=
เพราะ 2 (ω ที + φ 0).

คาบของการสั่นของลูกตุ้ม

- ฤดูใบไม้ผลิ ต =
,

ที่ไหน ม– มวลของสินค้า เค– ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริง

– คณิตศาสตร์ ต = ,

ที่ไหน ล– ความยาวของระบบกันสะเทือน ก– การเร่งความเร็วในการตกอย่างอิสระ

- ทางกายภาพ ต =
,

ที่ไหน ฉัน– โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดแขวนลอย ม– มวลของลูกตุ้ม ล– ระยะห่างจากจุดระงับถึงจุดศูนย์กลางมวล

ความยาวที่ลดลงของลูกตุ้มทางกายภาพพบได้จากเงื่อนไข: ลเอ็นพี = ,

การกำหนดจะเหมือนกับลูกตุ้มทางกายภาพ

เมื่อเพิ่มการสั่นฮาร์มอนิกสองครั้งที่มีความถี่เดียวกันและทิศทางเดียว จะได้การสั่นฮาร์มอนิกที่มีความถี่เดียวกันกับแอมพลิจูด:

ก = ก 1 2 + ก 2 2 + 2ก 1 ก 2 คอส(φ 2 – φ 1)

และระยะเริ่มต้น: φ = อาร์คแทน
.

ที่ไหน ก 1 , ก 2 – แอมพลิจูด, φ 1, φ 2 – ระยะเริ่มต้นของการแกว่งแบบพับ

วิถีการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นเมื่อเพิ่มการแกว่งตั้งฉากกันของความถี่เดียวกัน:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = บาป 2 (φ 2 – φ 1)

การสั่นแบบหน่วงเกิดขึ้นตามกฎหมาย:

x = ก 0 จ - β ทีเพราะ(ω ที + φ 0),

โดยที่ β คือสัมประสิทธิ์การทำให้หมาด ๆ ความหมายของพารามิเตอร์ที่เหลือจะเหมือนกับการสั่นของฮาร์มอนิก ก 0 – แอมพลิจูดเริ่มต้น ในช่วงเวลาหนึ่ง ทีความกว้างของการสั่นสะเทือน:

ก = ก 0 จ - β ที .

การลดการทำให้หมาด ๆ แบบลอการิทึมเรียกว่า:

แล = บันทึก
= β ต,

ที่ไหน ต– ระยะเวลาการสั่น: ต = .

ปัจจัยด้านคุณภาพของระบบออสซิลลาทอรีเรียกว่า:

สมการของคลื่นเคลื่อนที่ของเครื่องบินมีรูปแบบดังนี้

ย = ย 0 คอส ω( ที ± ),

ที่ไหน ที่– การแทนที่ของปริมาณการสั่นจากตำแหน่งสมดุล ที่ 0 – แอมพลิจูด, ω – ความถี่เชิงมุม ที- เวลา, เอ็กซ์– ประสานงานตามที่คลื่นแพร่กระจาย υ – ความเร็วของการแพร่กระจายคลื่น

เครื่องหมาย “+” สอดคล้องกับคลื่นที่แพร่กระจายต้านแกน เอ็กซ์เครื่องหมาย “–” สอดคล้องกับคลื่นที่แพร่กระจายไปตามแกน เอ็กซ์.

ความยาวคลื่นเรียกว่าคาบเชิงพื้นที่:

λ = υ ต,

ที่ไหน υ – ความเร็วการแพร่กระจายคลื่น ต– ระยะเวลาของการแพร่กระจายการสั่น

สมการคลื่นสามารถเขียนได้:

ย = ย 0 cos 2π (+)

คลื่นนิ่งอธิบายได้ด้วยสมการ:

ย = (2ย 0คอส ) เพราะ ω ที

แอมพลิจูดของคลื่นนิ่งอยู่ในวงเล็บ จุดที่มีแอมพลิจูดสูงสุดเรียกว่าแอนติโนด

xน= n ,

คะแนนที่มีแอมพลิจูดเป็นศูนย์ - โหนด

xย = ( n + ) .

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ปัญหาที่ 20

แอมพลิจูดของการสั่นฮาร์มอนิกคือ 50 มม. คาบคือ 4 วินาที และเฟสเริ่มต้น - ก) เขียนสมการของการแกว่งนี้ b) ค้นหาการกระจัดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุลที่ ที=0 และที่ ที= 1.5 วินาที; c) วาดกราฟของการเคลื่อนไหวนี้

สารละลาย

สมการการแกว่งเขียนเป็น x = ก cos( ที+  0).

ตามเงื่อนไขจะทราบคาบของการแกว่ง โดยเราสามารถแสดงความถี่วงกลม  = ได้ . ทราบพารามิเตอร์ที่เหลือ:

ก) x= 0.05คอส( ที + ).

ข) ออฟเซ็ต xที่ ที= 0.

x 1 = 0.05 โค = 0.05 = 0.0355 ม.

ที่ ที= 1.5 วิ

x 2 = 0.05 คอส( 1,5 + )= 0.05 คอส  = – 0.05 ม.

วี ) กราฟของฟังก์ชัน x=0.05คอส ( ที + ) มีลักษณะดังนี้:

เรามากำหนดตำแหน่งของหลายจุดกัน เป็นที่รู้จัก เอ็กซ์ 1 (0) และ เอ็กซ์ 2 (1.5) เช่นเดียวกับคาบการแกว่ง ดังนั้น ผ่าน  ที= ค่า 4 วินาที เอ็กซ์ซ้ำ และหลังจาก  ที = 2 วินาที เครื่องหมายเปลี่ยน ระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดตรงกลางคือ 0

ปัญหาที่ 21

จุดทำการสั่นแบบฮาร์มอนิก คาบการสั่นคือ 2 วินาที แอมพลิจูดคือ 50 มม. เฟสเริ่มต้นคือศูนย์ ค้นหาความเร็วของจุด ณ เวลาที่การกระจัดจากตำแหน่งสมดุลคือ 25 มม.

สารละลาย

1 วิธี. เราเขียนสมการการสั่นแบบจุด:

x= 0.05 คอส ที, เพราะ  = =.

การหาความเร็วในขณะนั้น ที:

υ = = – 0,05 cos ที

เราค้นหาช่วงเวลาที่การกระจัดคือ 0.025 ม.:

0.025 = 0.05 คอส ที 1 ,

ดังนั้น cos  ที 1 = ,  ที 1 = . เราแทนที่ค่านี้เป็นนิพจน์สำหรับความเร็ว:

υ = – 0.05  บาป = – 0.05  = 0.136 เมตร/วินาที

วิธีที่ 2 พลังงานรวมของการเคลื่อนที่แบบสั่น:

อี =
,

ที่ไหน ก– แอมพลิจูด,  – ความถี่วงกลม, ม – มวลอนุภาค

ในแต่ละช่วงเวลาจะประกอบด้วยศักย์และพลังงานจลน์ของจุดนั้น

อีเค = , อีน= , แต่ เค = ม 2 ซึ่งหมายถึง อีน=
.

มาเขียนกฎการอนุรักษ์พลังงานกัน:

= +
,

จากที่นี่เราได้รับ: ก 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0.136 เมตร/วินาที

ปัญหาที่ 22

แอมพลิจูดของการสั่นฮาร์มอนิกของจุดวัสดุ ก= 2 ซม. พลังงานทั้งหมด อี= 3∙10 -7 J. แรงกระทำต่อจุดที่สั่นเมื่อใดจากตำแหน่งสมดุล เอฟ = 2.25∙10 -5 นิวตัน?

สารละลาย

พลังงานรวมของจุดที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกเท่ากับ: อี =
. (13)

โมดูลัสของแรงยืดหยุ่นแสดงผ่านการกระจัดของจุดจากตำแหน่งสมดุล xดังต่อไปนี้:

เอฟ = เคเอ็กซ์ (14)

สูตร (13) รวมมวล มและความถี่วงกลม  และใน (14) – ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็ง เค- แต่ความถี่วงกลมสัมพันธ์กับ มและ เค:

 2 = ,

จากที่นี่ เค = ม 2 และ F = ม 2 x- มีการแสดงออก ม 2 จากความสัมพันธ์ (13) ที่เราได้รับ: ม 2 = , เอฟ = x.

จากที่เราได้รับการแสดงออกของการกระจัด x: x = .

การแทนที่ค่าตัวเลขจะให้:

x =
= 1.5∙10 -2 ม. = 1.5 ซม.

ปัญหาที่ 23

จุดมีส่วนร่วมในการแกว่งสองครั้งที่มีช่วงเวลาและระยะเริ่มต้นเดียวกัน แอมพลิจูดของการสั่น ก 1 = 3 ซม. และ A 2 = 4 ซม. ค้นหาความกว้างของการสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้นหาก: 1) การสั่นสะเทือนเกิดขึ้นในทิศทางเดียว; 2) การสั่นสะเทือนตั้งฉากกัน

สารละลาย

หากการแกว่งเกิดขึ้นในทิศทางเดียว แอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะถูกกำหนดเป็น:

ที่ไหน ก 1 และ ก 2 – แอมพลิจูดของการแกว่งที่เพิ่ม,  1 และ  2 – เฟสเริ่มต้น ตามเงื่อนไข เฟสเริ่มต้นจะเท่ากัน ซึ่งหมายถึง  2 –  1 = 0 และ cos 0 = 1

เพราะฉะนั้น:

ก =
=
= ก 1 +ก 2 = 7 ซม.

หากการแกว่งตั้งฉากกัน สมการของการเคลื่อนที่ที่ได้จะเป็นดังนี้:

cos( 2 –  1) = บาป 2 ( 2 –  1)

เนื่องจากตามเงื่อนไข 2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 สมการจะถูกเขียนเป็น:
=0,

หรือ
=0,

หรือ
.

ส่งผลให้เกิดความสัมพันธ์ระหว่าง xและ ที่สามารถแสดงเป็นกราฟได้ กราฟแสดงว่าผลลัพธ์จะเป็นการแกว่งของจุดบนเส้นตรง มน- แอมพลิจูดของการสั่นนี้ถูกกำหนดเป็น: ก =
= 5 ซม.

ปัญหาที่ 24

ระยะเวลาของการสั่นแบบหน่วง ต=4 วินาที การลดลงของการหน่วงลอการิทึม  = 1.6 เฟสเริ่มต้นเป็นศูนย์ การกระจัดจุดที่ ที = เท่ากับ 4.5 ซม. 1) เขียนสมการการสั่นสะเทือนนี้ 2) สร้างกราฟของการเคลื่อนไหวนี้เป็นเวลาสองช่วง

สารละลาย

สมการของการสั่นแบบหน่วงที่มีเฟสเริ่มต้นเป็นศูนย์จะมีรูปแบบ:

x = ก 0 จ -  ที cos2 .

มีค่าแอมพลิจูดเริ่มต้นไม่เพียงพอที่จะทดแทนค่าตัวเลข ก 0 และสัมประสิทธิ์การลดทอน 

ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนสามารถกำหนดได้จากความสัมพันธ์ของการลดทอนแบบลอการิทึม:

 = ต.

ดังนั้น  = = = 0.4 วินาที -1 .

แอมพลิจูดเริ่มต้นสามารถกำหนดได้โดยการแทนที่เงื่อนไขที่สอง:

4.5 ซม.= ก 0
เพราะ 2 =ก 0
คอส= ก 0
.

จากที่นี่เราพบ:

ก 0 = 4,5∙

(ซม.) = 7.75 ซม.

สมการสุดท้ายของการเคลื่อนที่คือ:

x = 0,0775
ค่าใช้จ่าย.

ปัญหาที่ 25

ค่าลดหย่อนลอการิทึมของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คืออะไร หากเป็นเช่นนั้น ที = แอมพลิจูดของการแกว่ง 1 นาทีลดลงครึ่งหนึ่ง? ความยาวลูกตุ้ม ล = 1 ม.

สารละลาย

การลดค่าการหน่วงลอการิทึมสามารถพบได้จากความสัมพันธ์: =  ต,

โดยที่  คือสัมประสิทธิ์การลดทอน ต– ระยะเวลาของการสั่น ความถี่วงกลมตามธรรมชาติของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์:

 0 =
= 3.13 วิ -1 .

ค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงการสั่นสามารถกำหนดได้จากเงื่อนไข: ก 0 = ก 0 จ -  ที ,

ที= ln2 = 0.693,

 =
= 0.0116ค -1 .

ตั้งแต่ <<  0 , то в формуле  =
สามารถละเลยได้เมื่อเทียบกับ 0 และระยะเวลาการแกว่งสามารถกำหนดได้โดยสูตร: ต = = 2ค

เราแทน  และ ตลงในนิพจน์สำหรับการลดการลดแรงสั่นสะเทือนแบบลอการิทึม และเราได้รับ:

 = ต= 0.0116 วินาที -1 ∙ 2 วินาที = 0.0232

ปัญหาที่ 26

สมการของการแกว่งแบบไม่หน่วงแสดงไว้ในรูปแบบ x= 4 ซิน600  ทีซม.

ค้นหาการกระจัดจากตำแหน่งสมดุลของจุดที่อยู่ในระยะไกล ล= 75 ซม. จากแหล่งกำเนิดการสั่นสะเทือนผ่าน ที= 0.01 วินาทีหลังจากการเริ่มสั่น ความเร็วการแพร่กระจายของการสั่น υ = 300 ม./วินาที

สารละลาย

ให้เราเขียนสมการของคลื่นที่แพร่กระจายจากแหล่งที่กำหนด: x= 0.04 บาป 600 ( ที– ).

เราค้นหาเฟสของคลื่น ณ เวลาที่กำหนด ณ ตำแหน่งที่กำหนด:

ที– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0.0075 = 4.5,

บาป 4.5 = บาป = 1

ดังนั้นการกระจัดจุด x= 0.04 ม. เช่น ในระยะไกล ล =75 ซม. จากแหล่งกำเนิด ณ เวลานั้น ที= การกระจัดจุดสูงสุด 0.01 วินาที

อ้างอิง

โวลเคนชไตน์ VS.- รวบรวมปัญหาสำหรับวิชาฟิสิกส์ทั่วไป – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: SpetsLit, 2001.

Savelyev I.V.- รวบรวมคำถามและปัญหาทางฟิสิกส์ทั่วไป – อ.: เนากา, 1998.

การสั่นแบบฮาร์มอนิกคือการสั่นที่ทำตามกฎของไซน์และโคไซน์ รูปต่อไปนี้แสดงกราฟการเปลี่ยนแปลงพิกัดของจุดในช่วงเวลาหนึ่งตามกฎโคไซน์

รูปภาพ

แอมพลิจูดของการสั่น

แอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกคือค่าสูงสุดของการกระจัดของวัตถุจากตำแหน่งสมดุล แอมพลิจูดสามารถรับค่าที่ต่างกันได้ มันจะขึ้นอยู่กับว่าเราเคลื่อนร่างกายในช่วงเวลาเริ่มต้นจากตำแหน่งสมดุลมากน้อยเพียงใด

แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น นั่นคือพลังงานที่ส่งให้กับร่างกายในช่วงเวลาเริ่มต้น เนื่องจากไซน์และโคไซน์สามารถรับค่าได้ในช่วงตั้งแต่ -1 ถึง 1 สมการจึงต้องมีปัจจัย Xm ซึ่งแสดงถึงแอมพลิจูดของการแกว่ง สมการการเคลื่อนที่ของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก:

x = Xm*คอส(ω0*t)

ระยะเวลาการสั่น

ระยะเวลาของการสั่นคือเวลาที่ใช้ในการสั่นจนเสร็จสมบูรณ์ครั้งหนึ่ง คาบของการแกว่งถูกกำหนดด้วยตัวอักษร T หน่วยการวัดคาบจะสอดคล้องกับหน่วยเวลา นั่นคือใน SI นี่คือวินาที

ความถี่การสั่นคือจำนวนการสั่นที่เกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา ความถี่การสั่นถูกกำหนดโดยตัวอักษร ν ความถี่การสั่นสามารถแสดงเป็นคาบการสั่นได้

ν = 1/ต.

หน่วยความถี่มีหน่วยเป็น SI 1/วินาที หน่วยวัดนี้เรียกว่าเฮิรตซ์ จำนวนการสั่นในช่วงเวลา 2*pi วินาทีจะเท่ากับ:

ω0 = 2*ไพ* ν = 2*ไพ/T

ความถี่การสั่น

ปริมาณนี้เรียกว่าความถี่ไซคลิกของการแกว่ง ในวรรณคดีบางเรื่องชื่อความถี่วงกลมปรากฏขึ้น ความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลเลชันคือความถี่ของการออสซิลเลชันอิสระ

ความถี่ของการสั่นตามธรรมชาติคำนวณโดยใช้สูตร:

ความถี่ของการสั่นสะเทือนตามธรรมชาติขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของวัสดุและมวลของโหลด ยิ่งสปริงมีความแข็งมากเท่าใด ความถี่ของการสั่นสะเทือนก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ยิ่งมวลของโหลดมากเท่าใด ความถี่ของการแกว่งตามธรรมชาติก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น

ข้อสรุปทั้งสองนี้ชัดเจน ยิ่งสปริงมีความแข็งมากเท่าไร ความเร่งก็จะส่งไปยังร่างกายมากขึ้นเท่านั้นเมื่อระบบเสียสมดุล ยิ่งมวลของร่างกายมากขึ้น ความเร็วของร่างกายก็จะเปลี่ยนไปช้าลงเท่านั้น

ระยะเวลาการสั่นฟรี:

T = 2*ไพ/ ω0 = 2*pi*√(ม/k)

เป็นที่น่าสังเกตว่าที่มุมโก่งเล็ก ๆ ระยะเวลาการสั่นของร่างกายในสปริงและระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มจะไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง

มาเขียนสูตรสำหรับคาบและความถี่ของการแกว่งอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์กัน

แล้วคาบจะเท่ากัน

T = 2*ไพ*√(ลิตร/กรัม)

สูตรนี้จะใช้ได้กับมุมโก่งตัวเล็กน้อยเท่านั้น จากสูตรเราจะเห็นว่าคาบการสั่นเพิ่มขึ้นตามความยาวของเกลียวลูกตุ้มที่เพิ่มขึ้น ยิ่งยาว ร่างกายจะสั่นช้าลง

ระยะเวลาของการสั่นไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของโหลดเลย แต่ขึ้นอยู่กับความเร่งของการตกอย่างอิสระ เมื่อ g ลดลง ระยะเวลาการแกว่งจะเพิ่มขึ้น คุณสมบัตินี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ เช่น เพื่อวัดค่าที่แน่นอนของการเร่งความเร็วอิสระ