มุมระหว่างเวกเตอร์

เพื่อให้เราแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว เราต้องเข้าใจแนวคิดดังกล่าวก่อนว่ามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้

ให้เราได้รับเวกเตอร์สองตัว $\overline(α)$ และ $\overline(β)$ ลองหาจุด $O$ ในอวกาศแล้วพล็อตเวกเตอร์ $\overline(α)=\overline(OA)$ และ $\overline(β)=\overline(OB)$ จากนั้นจึงทำมุม $AOB$ จะถูกเรียกว่ามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ (รูปที่ 1)

สัญลักษณ์: $∠(\overline(α),\overline(β))$

แนวคิดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และสูตรในการค้นหา

คำจำกัดความ 1

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองนี้ และความยาวของมันจะเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ และเวกเตอร์นี้ที่มีเวกเตอร์เริ่มต้นสองตัวจะมี การวางแนวเดียวกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

สัญกรณ์: $\overline(α)х\overline(β)$.

ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่านี้:

1. $|\overline(α)х\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ และ $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ คือ มุ่งเน้นเดียวกัน (รูปที่ 2)

แน่นอนว่าผลคูณภายนอกของเวกเตอร์จะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ในสองกรณี:

1. ถ้าความยาวของเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัวเป็นศูนย์
2. ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับ $180^\circ$ หรือ $0^\circ$ (เนื่องจากในกรณีนี้ ไซน์เป็นศูนย์)

หากต้องการดูอย่างชัดเจนว่าผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ถูกค้นพบได้อย่างไร ให้พิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ $\overline(δ)$ ซึ่งจะเป็นผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยมีพิกัด $\overline(α)=(0,4,0)$ และ $\overline(β) =(3,0,0 )$.

สารละลาย.

ลองพรรณนาเวกเตอร์เหล่านี้ในพื้นที่พิกัดคาร์ทีเซียน (รูปที่ 3):

รูปที่ 3 เวกเตอร์ในปริภูมิพิกัดคาร์ทีเซียน Author24 - แลกเปลี่ยนผลงานนักศึกษาออนไลน์

เราจะเห็นว่าเวกเตอร์เหล่านี้อยู่บนแกน $Ox$ และ $Oy$ ตามลำดับ ดังนั้น มุมระหว่างพวกมันจะเท่ากับ $90^\circ$ ลองหาความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้:

$|\โอเวอร์ไลน์(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

จากนั้น ตามคำจำกัดความ 1 เราได้รับโมดูล $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

คำตอบ: $12$.

การคำนวณผลคูณไขว้จากพิกัดเวกเตอร์

คำจำกัดความ 1 หมายถึงวิธีการค้นหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวทันที เนื่องจากเวกเตอร์ นอกจากค่าของมันแล้ว ยังมีทิศทางด้วย จึงสามารถพบได้โดยใช้เท่านั้น ปริมาณสเกลาร์เป็นไปไม่ได้. แต่นอกเหนือจากนี้ ยังมีวิธีหาเวกเตอร์ที่กำหนดให้เราโดยใช้พิกัดอีกด้วย

ให้เวกเตอร์ $\overline(α)$ และ $\overline(β)$ ซึ่งจะมีพิกัด $(α_1,α_2,α_3)$ และ $(β_1,β_2,β_3)$ ตามลำดับ จากนั้นสามารถหาเวกเตอร์ของผลคูณไขว้ (นั่นคือพิกัด) ได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

มิฉะนั้น เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์ เราจะได้พิกัดต่อไปนี้

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาเวกเตอร์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ $\overline(α)$ และ $\overline(β)$ ด้วยพิกัด $(0,3,3)$ และ $(-1,2,6)$

สารละลาย.

ลองใช้สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น เราได้รับ

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

คำตอบ: $(12,-3,3)$.

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

สำหรับเวกเตอร์สามตัวที่ผสมกันตามอำเภอใจ $\overline(α)$, $\overline(β)$ และ $\overline(γ)$ เช่นเดียวกับ $r∈R$ จะมีคุณสมบัติต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่จุดยอดมีพิกัด $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ และ $(3,8,0) $.

สารละลาย.

ก่อนอื่น เรามาพรรณนารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ในพื้นที่พิกัด (รูปที่ 5):

รูปที่ 5 สี่เหลี่ยมด้านขนานในพื้นที่พิกัด Author24 - แลกเปลี่ยนผลงานนักศึกษาออนไลน์

เราจะเห็นว่าด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ถูกสร้างขึ้นโดยใช้เวกเตอร์คอลลิเนียร์ที่มีพิกัด $\overline(α)=(3,0,0)$ และ $\overline(β)=(0,8,0)$ เมื่อใช้คุณสมบัติที่สี่เราได้รับ:

$S=|\overline(α)х\overline(β)|$

ลองหาเวกเตอร์ $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

เพราะฉะนั้น

$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

7.1. คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

เวกเตอร์ a, b และ c ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบสามตัว ถ่ายตามลำดับที่ระบุ สร้างแฝดสามทางขวา ถ้าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม c เห็นการหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรก a ถึงเวกเตอร์ b ที่สอง ทวนเข็มนาฬิกา และแฝดซ้ายถ้าตามเข็มนาฬิกา (ดูรูปที่ 16)

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ a และเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่ง:

1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เช่น c ^ a และ c ^ ข ;

2. มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a และขเช่นเดียวกับด้านข้าง (ดูรูปที่ 17) เช่น

3. เวกเตอร์ a, b และ c ประกอบเป็นรูปสามเท่าของมือขวา

งานศิลปะของเว็กเตอร์เขียนแทนด้วย a x b หรือ [a,b] ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เจ และเค

(ดูรูปที่ 18):
ฉัน x เจ = k, เจ x k = ฉัน, k x i = เจให้เราพิสูจน์เป็นตัวอย่างว่า

ฉัน xj = k ^ 1) k ^ ฉัน, k

เจ ; 2) |k |=1 แต่ |ฉัน x เจ

- = |ฉัน | และ|เจ | บาป(90°)=1;

3) เวกเตอร์ ผม, เจ และ

สร้างสามด้านขวา (ดูรูปที่ 16)

7.2. คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม = -(1. เมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น).

และ xb =(b xa) (ดูรูปที่ 19)

เวกเตอร์ a xb และ b xa เป็นเส้นตรง มีโมดูลเดียวกัน (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง) แต่มีทิศทางตรงกันข้าม (สามเท่า a, b, xb และ a, b, b x a ในทิศทางตรงกันข้าม) ดังนั้น เอ๊กซ์บีขxa ข 2. ผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติการรวมโดยคำนึงถึงปัจจัยสเกลาร์ เช่น l (a xb) = (l a) x b = a x (l b) ขให้ l >0 เวกเตอร์ l (a xb) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เวกเตอร์ ( เอ๊กซ์บีล เอ๊กซ์บีขวาน เอ๊กซ์บีขxa ขยังตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ อีกด้วย

(เวกเตอร์ ก, เอ๊กซ์บีแต่นอนอยู่ในระนาบเดียวกัน) นี่หมายความว่าเวกเตอร์ เอ๊กซ์บี(กxb) และ ( เอ๊กซ์บี<0.

คอลลิเนียร์ เห็นได้ชัดว่าทิศทางของพวกเขาตรงกัน มีความยาวเท่ากัน: ขนั่นเป็นเหตุผล<=>(กxb)=

เอ็กซ์บี ก็ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันสำหรับ

3. เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัว a และ

(เป็นเส้นตรงก็ต่อเมื่อผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ นั่นคือ a ||bและ xb = 0 ขโดยเฉพาะอย่างยิ่ง i *i =j *j =k *k =0

4. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีคุณสมบัติการกระจาย:

ก+ข)

xc = ก xc + ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ xs

เราจะยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์

ให้เวกเตอร์สองตัว a =a x i +a y ได้รับ ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์+ก และและ ข = ข x ฉัน+บี ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์+บีซ และ- ลองหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้โดยการคูณมันเป็นพหุนาม (ตามคุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์):

สูตรผลลัพธ์สามารถเขียนได้สั้นยิ่งขึ้น:

เนื่องจากด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (7.1) สอดคล้องกับการขยายตัวของปัจจัยลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก ความเท่าเทียมกัน (7.2) นั้นง่ายต่อการจดจำ

7.4. การใช้งานบางส่วนของผลิตภัณฑ์ข้าม

การสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์

การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม

ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ กและข |a xb | -|a | * |b |sin g เช่น S คู่ = |a x b | ดังนั้น D S =1/2|a x b |

การหาโมเมนต์แรงรอบจุดหนึ่ง

ให้ออกแรงที่จุด A เอฟ =เอบีและปล่อยให้ เกี่ยวกับ- บางจุดในอวกาศ (ดูรูปที่ 20)

เป็นที่ทราบกันดีจากฟิสิกส์ว่า ช่วงเวลาแห่งพลัง เอฟ สัมพันธ์กับประเด็น เกี่ยวกับเรียกว่าเวกเตอร์ เอ็มซึ่งผ่านจุดนั้นไป เกี่ยวกับและ:

1) ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ โอ้, ก, บี;

2) ตัวเลขเท่ากับผลคูณของแรงต่อแขน

3) สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านขวาด้วยเวกเตอร์ OA และ A B

ดังนั้น M = OA x F

การหาความเร็วการหมุนเชิงเส้น

ความเร็ว โวลต์จุด M ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม วรอบแกนคงที่ จะถูกกำหนดโดยสูตรของออยเลอร์ v =w xr โดยที่ r =OM โดยที่ O คือจุดคงที่ของแกน (ดูรูปที่ 21)

แน่นอน ในกรณีของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ลำดับการใช้เวกเตอร์มีความสำคัญ ยิ่งไปกว่านั้น

นอกจากนี้ โดยตรงจากคำจำกัดความ จะตามมาด้วยว่าสำหรับตัวประกอบสเกลาร์ k (ตัวเลข) ต่อไปนี้จะเป็นจริง:

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ ยิ่งไปกว่านั้น ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพวกมันเป็นเส้นตรงเท่านั้น (ในกรณีที่หนึ่งในนั้นเป็นเวกเตอร์ศูนย์ จำเป็นต้องจำไว้ว่าเวกเตอร์ศูนย์นั้นอยู่ในแนวเดียวกันกับเวกเตอร์ใดๆ ตามคำจำกัดความ)

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มี ทรัพย์สินจำหน่ายนั่นคือ

การแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านพิกัดของเวกเตอร์

ให้เวกเตอร์สองตัวมา

(วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์จากพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด - ดูบทความ Dot product of vector, item คำจำกัดความทางเลือกของ dot product หรือการคำนวณ dot product ของเวกเตอร์สองตัวที่ระบุโดยพิกัด)

ทำไมคุณถึงต้องการผลิตภัณฑ์เวกเตอร์?

มีหลายวิธีในการใช้ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัว ตามที่เขียนไว้ข้างต้น โดยการคำนวณผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัว คุณจะทราบได้ว่าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่

หรือสามารถใช้เป็นวิธีคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์เหล่านี้ได้ ตามคำนิยามความยาวของเวกเตอร์ที่ได้คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนด

นอกจากนี้ยังมีการใช้งานด้านไฟฟ้าและแม่เหล็กเป็นจำนวนมาก

เครื่องคิดเลขผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ออนไลน์

หากต้องการค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวโดยใช้เครื่องคิดเลขนี้ คุณต้องป้อนพิกัดของเวกเตอร์แรกในบรรทัดแรกตามลำดับ และป้อนพิกัดที่สองในบรรทัดที่สอง พิกัดของเวกเตอร์สามารถคำนวณได้จากพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด (ดูบทความ ผลคูณดอทของเวกเตอร์ รายการ คำจำกัดความอื่นของผลิตภัณฑ์ดอท หรือการคำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมัน)

การใช้ผลคูณไขว้ของ VECTORS

เพื่อคำนวณพื้นที่

รูปทรงเรขาคณิตบางอย่าง

บทความวิจัยทางคณิตศาสตร์

นักเรียนชั้น 10B

สถาบันการศึกษาเทศบาล โรงเรียนมัธยม ลำดับที่ 73

เปเรวอซนิคอฟ มิคาอิล

ผู้นำ:

ครูคณิตศาสตร์ของโรงเรียนมัธยมศึกษาเทศบาลหมายเลข 73 Dragunova Svetlana Nikolaevna

ผู้ช่วยแผนก การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของคณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ มสธ. ตั้งชื่อตาม เอ็น.จี. เชอร์นีเชฟสกี เบิร์ดนิคอฟ เกลบ เซอร์เกวิช

ซาราตอฟ, 2015

การแนะนำ.

1. การทบทวนเชิงทฤษฎี

1.1. เวกเตอร์และการคำนวณด้วยเวกเตอร์

1.2. การใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ในการแก้ปัญหา

1.3 ผลคูณดอทของเวกเตอร์ในพิกัด

1.4. ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในปริภูมิยูคลิดสามมิติ: คำจำกัดความของแนวคิด

1.5. พิกัดเวกเตอร์ ผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์

2. ส่วนปฏิบัติ

2.1. ความสัมพันธ์ระหว่างผลคูณเวกเตอร์กับพื้นที่ของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มาของสูตรและความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

2.2. รู้เฉพาะพิกัดของจุดแล้วให้หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม การพิสูจน์ทฤษฎีบท

2.3. การตรวจสอบความถูกต้องของสูตรโดยใช้ตัวอย่าง

2.4. การใช้พีชคณิตเวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์ในทางปฏิบัติ

บทสรุป

การแนะนำ

ดังที่คุณทราบ ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมากมีวิธีแก้ปัญหาหลักสองวิธี - แบบกราฟิกและการวิเคราะห์ วิธีกราฟิกเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟและภาพวาด และวิธีการวิเคราะห์เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาโดยใช้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นหลัก ในกรณีหลัง อัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาจะสัมพันธ์กับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตเชิงเส้นที่มีความแม่นยำมากกว่า ซึ่งพิจารณาการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้พีชคณิตตามวิธีพิกัดบนระนาบและในอวกาศ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ช่วยให้คุณสามารถวิเคราะห์ภาพเรขาคณิต เส้นการศึกษา และพื้นผิวที่มีความสำคัญสำหรับการใช้งานจริง นอกจากนี้ ในวิทยาศาสตร์นี้ เพื่อขยายความเข้าใจเชิงพื้นที่ของตัวเลข นอกเหนือจากการใช้ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ในบางครั้ง

เนื่องจากการใช้เทคโนโลยีเชิงพื้นที่สามมิติแพร่หลาย การศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตบางอย่างโดยใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงดูมีความเกี่ยวข้อง

ในเรื่องนี้ มีการระบุเป้าหมายของโครงการนี้ - การใช้ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เพื่อคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตบางอย่าง

เพื่อเชื่อมโยงกับเป้าหมายนี้ งานต่อไปนี้ได้รับการแก้ไข:

1. ศึกษารากฐานที่จำเป็นของพีชคณิตเวกเตอร์ในทางทฤษฎีและนิยามผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ในระบบพิกัด

2. วิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างผลคูณเวกเตอร์กับพื้นที่ของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3. หาสูตรพื้นที่ของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนานในพิกัด

4. ตรวจสอบความถูกต้องของสูตรที่ได้รับโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

1. การทบทวนเชิงทฤษฎี

1. เวกเตอร์และการคำนวณเวกเตอร์

เวกเตอร์คือส่วนที่กำหนดทิศทางซึ่งระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของส่วนคือจุด กจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์คือจุด ใน- เวกเตอร์นั้นเขียนแทนด้วย
หรือ - เพื่อค้นหาพิกัดของเวกเตอร์
เมื่อทราบพิกัดของจุดเริ่มต้น A และจุดสิ้นสุด B จำเป็นต้องลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด:

= { บี x - ก x - บี ย - ก ย }

เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นขนานหรือเส้นเดียวกันเรียกว่าคอลลิเนียร์ ในกรณีนี้ เวกเตอร์คือส่วนที่มีลักษณะตามความยาวและทิศทาง

ความยาวของส่วนกำกับกำหนดค่าตัวเลขของเวกเตอร์ และเรียกว่าความยาวเวกเตอร์หรือโมดูลัสของเวกเตอร์

ความยาวของเวกเตอร์ || ในพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมจะเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

คุณสามารถดำเนินการต่างๆ ด้วยเวกเตอร์ได้

ตัวอย่างเช่น นอกจากนี้ ในการเพิ่มพวกมัน ก่อนอื่นคุณต้องวาดเวกเตอร์ตัวที่สองจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก จากนั้นเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกกับจุดสิ้นสุดของวินาที (รูปที่ 1) ผลรวมของเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งที่มีพิกัดใหม่

ผลรวมเวกเตอร์ = {ก x - ก ย) และ = {ข x - ข ย) สามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

+ = (ก x +ข x - ก ย +ข ย }

ข้าว. 1. การดำเนินการกับเวกเตอร์

เมื่อลบเวกเตอร์ คุณต้องวาดพวกมันจากจุดหนึ่งก่อน จากนั้นจึงเชื่อมต่อจุดสิ้นสุดของจุดที่สองเข้ากับจุดสิ้นสุดของจุดแรก

ความแตกต่างของเวกเตอร์ = {ก x - ก ย) และ = {ข x - ข ย } สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

- = { ก x -ข x - ก ย -ข ย }

นอกจากนี้ เวกเตอร์ยังสามารถคูณด้วยตัวเลขได้อีกด้วย ผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดใหญ่กว่า (หรือเล็กกว่า) k เท่าของเวกเตอร์ที่กำหนด ทิศทางจะขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ k เมื่อ k เป็นบวก เวกเตอร์จะมีทิศทางร่วม และเมื่อ k เป็นลบ เวกเตอร์จะมีทิศทางตรงกันข้าม

ผลคูณของเวกเตอร์ = {ก x - ก ย } และตัวเลข k สามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

เค = (ก ก x - คะ ย }

เป็นไปได้ไหมที่จะคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์? แน่นอนและยังมีสองตัวเลือก!

ตัวเลือกแรกคือผลคูณสเกลาร์

ข้าว. 2. สินค้าดอทในพิกัด

ในการหาผลคูณของเวกเตอร์ คุณสามารถใช้มุม  ระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ได้ ดังแสดงในรูปที่ 3

จากสูตรที่ว่าผลคูณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลข สิ่งสำคัญคือถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันจะเท่ากับศูนย์ เพราะ โคไซน์ของมุมขวาระหว่างพวกมันคือศูนย์

ในระนาบพิกัด เวกเตอร์ก็มีพิกัดด้วยใน เวกเตอร์ พิกัด และผลคูณสเกลาร์เป็นหนึ่งในวิธีที่สะดวกที่สุดในการคำนวณมุมระหว่างเส้น (หรือส่วนของเส้นเหล่านั้น) หากมีการนำระบบพิกัดมาใช้และถ้าพิกัด
แล้วผลคูณสเกลาร์จะเท่ากับ:

ในอวกาศสามมิติมี 3 แกน ดังนั้นจุดและเวกเตอร์ในระบบดังกล่าวจะมีพิกัด 3 จุด และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คำนวณโดยสูตร:

1.2. ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ

ตัวเลือกที่สองสำหรับการคำนวณผลคูณของเวกเตอร์คือผลคูณเวกเตอร์ แต่เพื่อที่จะระบุได้ ไม่จำเป็นต้องเป็นระนาบอีกต่อไป แต่เป็นพื้นที่สามมิติที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แต่ละจุดมี 3 พิกัด

ต่างจากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ การดำเนินการ "การคูณเวกเตอร์" บนเวกเตอร์นำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างออกไป หากในกรณีก่อนหน้านี้ของการคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวผลลัพธ์เป็นตัวเลข ในกรณีของการคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์อีกตัวตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองที่เข้าสู่ผลคูณ ดังนั้นผลคูณของเวกเตอร์นี้จึงเรียกว่าผลคูณเวกเตอร์

เห็นได้ชัดว่าเมื่อสร้างเวกเตอร์ผลลัพธ์ ตั้งฉากกับทั้งสองที่เข้าสู่ผลิตภัณฑ์ - และสามารถเลือกทิศทางที่ตรงกันข้ามได้สองทิศทาง ในกรณีนี้คือทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์ ถูกกำหนดโดยกฎมือขวาหรือกฎสว่าน หากคุณวาดเวกเตอร์เพื่อให้จุดกำเนิดตรงกันและหมุนเวกเตอร์ตัวประกอบแรกในวิธีที่สั้นที่สุดไปยังเวกเตอร์ตัวประกอบที่สอง และนิ้วทั้งสี่ของมือขวาแสดง ทิศทางการหมุน (ราวกับครอบทรงกระบอกที่กำลังหมุน) จากนั้นนิ้วหัวแม่มือที่ยื่นออกมาจะแสดงทิศทางของเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์ (รูปที่ 7)

ข้าว. 7. กฎมือขวา

1.3. คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

ความยาวของเวกเตอร์ที่ได้จะถูกกำหนดโดยสูตร

.

ในเวลาเดียวกัน
ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ตามที่ระบุไว้ข้างต้น เวกเตอร์ที่ได้จะตั้งฉาก
และทิศทางถูกกำหนดโดยกฎมือขวา

ผลคูณเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับลำดับของปัจจัย ได้แก่:

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์คือ 0 หากพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นไซน์ของมุมระหว่างพวกมันจะเป็น 0

พิกัดของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติแสดงได้ดังนี้: จากนั้นเราจะค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้สูตร

ความยาวของเวกเตอร์ผลลัพธ์พบได้จากสูตร:

.

2. ส่วนปฏิบัติ

2.1. ความสัมพันธ์ระหว่างผลคูณเวกเตอร์กับพื้นที่ของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนานในระนาบ ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

ให้เราได้รับสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 8) เป็นที่ทราบกันว่า

หากเราจินตนาการด้านของสามเหลี่ยม AB และ AC เป็นเวกเตอร์สองตัว ดังนั้นในสูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเราจะพบนิพจน์สำหรับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์:

จากข้างต้น เราสามารถกำหนดความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ (รูปที่ 9):

ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เท่ากับสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นเวกเตอร์ และ หากพวกมันถูกพล็อตจากจุดหนึ่ง

กล่าวอีกนัยหนึ่งความยาวของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์และเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์และ , โดยมีด้านและและมุมระหว่างทั้งสองเท่ากับ

ข้าว. 9. ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

ในเรื่องนี้ เราสามารถให้คำจำกัดความอื่นของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ได้ :

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ ถึงเวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ และ ตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอร์เหล่านี้และกำกับเพื่อให้การหมุนน้อยที่สุดจาก k รอบๆ เวกเตอร์ ดำเนินการทวนเข็มนาฬิกาเมื่อดูจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (รูปที่ 10)

ข้าว. 10. การหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

โดยใช้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

2.2. การหาสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในพิกัด

ดังนั้นเราจึงได้สามเหลี่ยม ABC ในระนาบและพิกัดของจุดยอดของมัน ลองหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ (รูปที่ 11)

ข้าว. 11. ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมจากพิกัดของจุดยอด

สารละลาย.

ขั้นแรก ลองพิจารณาพิกัดของจุดยอดในอวกาศและคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ AB และ AC

เมื่อใช้สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น เราจะคำนวณพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับ 2 พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ 10

ยิ่งไปกว่านั้น หากเราพิจารณาสามเหลี่ยมบนระนาบ พิกัด 2 พิกัดแรกของผลคูณเวกเตอร์จะเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้

ทฤษฎีบท: ให้สามเหลี่ยม ABC และพิกัดของจุดยอดถูกกำหนดไว้ (รูปที่ 12)

แล้ว .

ข้าว. 12. การพิสูจน์ทฤษฎีบท

การพิสูจน์.

ลองพิจารณาจุดในอวกาศแล้วคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ BC และ BA - โดยใช้สูตรที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ เราคำนวณพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้ โปรดทราบว่าข้อกำหนดทั้งหมดที่มีz 1 หรือ z 2 เท่ากับ 0 เพราะว่า z 1i z 2 = 0 ลบ!!!

ดังนั้น ดังนั้น

2.3. การตรวจสอบความถูกต้องของสูตรโดยใช้ตัวอย่าง

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากเวกเตอร์ก = (-1; 2; -2) และ ข = (2; 1; -1)

สารละลาย: ลองหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้:

ก × ข=

ฉัน(2 · (-1) - (-2) · 1) - เจ((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) =

ผม(-2 + 2) - เจ(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5 เจ - 5 k = (0; -5; -5)

จากคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

สเดล =

- ก×ข| -

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

คำตอบ: SΔ = 2.5√2

บทสรุป

2.4. การประยุกต์พีชคณิตเวกเตอร์

และสเกลาร์และผลคูณไขว้ของเวกเตอร์

เวกเตอร์จำเป็นต้องมีที่ไหน? สเปซเวกเตอร์และเวกเตอร์ไม่เพียงแต่เป็นไปตามหลักทฤษฎีเท่านั้น แต่ยังนำไปใช้ได้จริงในโลกสมัยใหม่อีกด้วย

ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ ปริมาณจำนวนมากไม่เพียงแต่มีค่าตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางด้วย ปริมาณดังกล่าวเรียกว่าปริมาณเวกเตอร์ นอกเหนือจากการใช้แนวคิดทางกลเบื้องต้น ซึ่งขึ้นอยู่กับความหมายทางกายภาพแล้ว ปริมาณจำนวนมากยังถือเป็นเวกเตอร์เลื่อน และคุณสมบัติต่างๆ ของพวกมันได้รับการอธิบายทั้งสองอย่างด้วยสัจพจน์ เช่นเดียวกับธรรมเนียมในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี และใช้คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของเวกเตอร์ ตัวอย่างที่เด่นชัดที่สุดของปริมาณเวกเตอร์คือ ความเร็ว โมเมนตัม และแรง (รูปที่ 12) ตัวอย่างเช่น โมเมนตัมเชิงมุมและแรงลอเรนซ์ถูกเขียนทางคณิตศาสตร์โดยใช้เวกเตอร์

ในวิชาฟิสิกส์ ไม่เพียงแต่เวกเตอร์เท่านั้นที่มีความสำคัญ แต่ผลคูณของเวกเตอร์ซึ่งช่วยในการคำนวณปริมาณที่แน่นอนก็มีความสำคัญมากเช่นกัน ผลคูณกากบาทมีประโยชน์ในการพิจารณาว่าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่ โมดูลัสของผลคูณกากบาทของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์หากพวกมันตั้งฉากกัน และจะลดลงเหลือศูนย์หากเวกเตอร์มีทิศทางร่วมหรือตรงกันข้าม

อีกตัวอย่างหนึ่ง ดอทโปรดัคใช้ในการคำนวณงานโดยใช้สูตรด้านล่าง โดยที่ F คือเวกเตอร์แรง และ s คือเวกเตอร์การกระจัด

ตัวอย่างหนึ่งของการใช้ผลคูณของเวกเตอร์คือโมเมนต์ของแรง ซึ่งเท่ากับผลคูณของเวกเตอร์รัศมีที่ดึงจากแกนหมุนไปยังจุดที่ใช้แรงและเวกเตอร์ของแรงนี้

สิ่งที่คำนวณในฟิสิกส์โดยใช้กฎมือขวาส่วนใหญ่เป็นผลคูณไขว้ ค้นหาหลักฐานยกตัวอย่าง

เป็นที่น่าสังเกตว่าพื้นที่สองมิติและสามมิติไม่ได้ทำให้ตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับปริภูมิเวกเตอร์หมดไป คณิตศาสตร์ชั้นสูงจะพิจารณาปริภูมิในมิติที่สูงกว่า ซึ่งมีการกำหนดสูตรที่คล้ายคลึงกันสำหรับผลคูณสเกลาร์และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ด้วย แม้ว่าจิตสำนึกของมนุษย์จะไม่สามารถมองเห็นช่องว่างในมิติที่ใหญ่กว่า 3 ได้ แต่ก็พบว่ามีการนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขาของวิทยาศาสตร์และอุตสาหกรรมได้อย่างน่าประหลาดใจ

ในเวลาเดียวกัน ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ในปริภูมิยูคลิดสามมิติไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่มีพิกัด ทิศทาง และความยาวของตัวมันเอง

ทิศทางของเวกเตอร์ที่ได้จะถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งเป็นหนึ่งในข้อกำหนดที่น่าทึ่งที่สุดของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สามารถใช้หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยกำหนดพิกัดของจุดยอดซึ่งได้รับการยืนยันโดยการหาสูตร การพิสูจน์ทฤษฎีบท และการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

เวกเตอร์ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาฟิสิกส์ โดยที่ตัวชี้วัด เช่น ความเร็ว โมเมนตัม และแรง สามารถแสดงเป็นปริมาณเวกเตอร์และคำนวณในเชิงเรขาคณิตได้

รายชื่อแหล่งที่มาที่ใช้

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. , Kadomtsev S. B. และคนอื่น ๆ เกรด 7-9: หนังสือเรียนสำหรับองค์กรการศึกษาทั่วไป อ.: , 2013. 383 หน้า.

Atanasyan L.S. , Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. เรขาคณิต เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับองค์กรการศึกษาทั่วไป: ระดับพื้นฐานและระดับเฉพาะทาง อ.: , 2013. 255 น.

Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น เล่มที่ 1: องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์

เคลเทนิก ดี.วี. การรวบรวมปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์ อ.: Nauka, Fizmatlit, 1998.

เรขาคณิตวิเคราะห์

คณิตศาสตร์. โคลเวอร์

เรียนคณิตศาสตร์ออนไลน์

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

เว็บไซต์ของ V. Glaznev

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

วิกิพีเดีย

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED %E8%E5