วิธีแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองให้เป็นตัวประกอบเชิงเส้น ตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนาม คร่อมปัจจัยร่วม

มีตัวอย่างพหุนามแยกตัวประกอบ 8 ตัวอย่างมาให้ รวมถึงตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองและสมการกำลังสอง ตัวอย่างของพหุนามซึ่งกันและกัน และตัวอย่างการค้นหารากจำนวนเต็มของพหุนามดีกรีที่สามและสี่

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม
รากของสมการกำลังสอง
การแก้สมการลูกบาศก์

1. ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

เราเอา x ออกมา 2 นอกวงเล็บ:
.
2 + x - 6 = 0:
.
รากของสมการ:
, .

.

ตัวอย่างที่ 1.2

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สาม:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

ลองเอา x ออกจากวงเล็บ:
.
การแก้สมการกำลังสอง x 2 + 6 x + 9 = 0:
มันแยกแยะ: .
เนื่องจากตัวจำแนกเป็นศูนย์ รากของสมการจึงเป็นทวีคูณ: ;
.

จากตรงนี้ เราจะได้การแยกตัวประกอบของพหุนาม:
.

ตัวอย่างที่ 1.3

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่ 5:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

เราเอา x ออกมา 3 นอกวงเล็บ:
.
การแก้สมการกำลังสอง x 2 - 2 x + 10 = 0.
มันแยกแยะ: .
เนื่องจากตัวจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์ รากของสมการจึงซับซ้อน: ;
, .

การแยกตัวประกอบของพหุนามมีรูปแบบ:
.

หากเราสนใจการแยกตัวประกอบด้วยสัมประสิทธิ์จริง:
.

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สูตร

ตัวอย่างที่มีพหุนามกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 2.1

แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง:
x 4 + x 2 - 20.

ลองใช้สูตร:
ก 2 + 2 ab + b 2 = (ก + ข) 2;
ก 2 - ข 2 = (ก - ข)(ก + ข).

;
.

ตัวอย่างที่ 2.2

แยกตัวประกอบพหุนามที่ลดเป็นกำลังสอง:
x 8 + x 4 + 1.

ลองใช้สูตร:
ก 2 + 2 ab + b 2 = (ก + ข) 2;
ก 2 - ข 2 = (ก - ข)(ก + ข):

;

;
.

ตัวอย่างที่ 2.3 กับพหุนามที่เกิดซ้ำ

แยกตัวประกอบพหุนามส่วนกลับ:
.

พหุนามส่วนกลับมีดีกรีคี่ จึงมีราก x = - 1 . หารพหุนามด้วย x - (-1) = x + 1. เป็นผลให้เราได้รับ:
.
มาทำการทดแทนกัน:
, ;
;


;
.

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีรากจำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 3.1

แยกตัวประกอบพหุนาม:
.

สมมุติว่าสมการนี้

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

ดังนั้นเราจึงพบรากสามประการ:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
เนื่องจากพหุนามดั้งเดิมมีดีกรีสาม จึงไม่มีรากเกินสามราก เนื่องจากเราพบรากสามต้น จึงเป็นเรื่องง่าย แล้ว
.

ตัวอย่างที่ 3.2

แยกตัวประกอบพหุนาม:
.

สมมุติว่าสมการนี้

มีรากทั้งหมดอย่างน้อยหนึ่งอัน แล้วมันก็เป็นตัวหารของจำนวน 2 (สมาชิกที่ไม่มี x) นั่นคือรากทั้งหมดสามารถเป็นหนึ่งในตัวเลขได้:
-2, -1, 1, 2 .
เราแทนที่ค่าเหล่านี้ทีละค่า:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

ดังนั้นเราจึงพบรากหนึ่ง:
x 1 = -1 .
หารพหุนามด้วย x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


แล้ว,
.

ตอนนี้เราต้องแก้สมการระดับที่สาม:
.
ถ้าเราสมมุติว่าสมการนี้มีรากของจำนวนเต็ม สมการนั้นจะเป็นตัวหารของตัวเลข 2 (สมาชิกที่ไม่มี x) นั่นคือรากทั้งหมดสามารถเป็นหนึ่งในตัวเลขได้:
1, 2, -1, -2 .
แทน x = ได้เลย -1 :
.

ดังนั้นเราจึงพบราก x อีกอันหนึ่ง 2 = -1 . อาจเป็นไปได้ที่จะหารพหุนามด้วย ดังเช่นในกรณีก่อนหน้านี้ แต่เราจะจัดกลุ่มคำศัพท์:
.

เพื่อที่จะแยกตัวประกอบ จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น นี่เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้สามารถลดลงได้อีก การขยายตัวของพหุนามสมเหตุสมผลเมื่อดีกรีของมันไม่ต่ำกว่าสอง พหุนามที่มีดีกรี 1 เรียกว่าเชิงเส้น

บทความนี้จะครอบคลุมแนวคิดทั้งหมดของการสลายตัว พื้นฐานทางทฤษฎีและวิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม

ทฤษฎี

ทฤษฎีบท 1

เมื่อพหุนามใดๆ ที่มีดีกรี n จะมีรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . + a 1 x + a 0 แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีปัจจัยคงที่โดยมีระดับสูงสุด a n และ n ปัจจัยเชิงเส้น (x - x i), i = 1, 2, ..., n จากนั้น P n (x) = ก n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) โดยที่ x i, i = 1, 2, …, n คือรากของพหุนาม

ทฤษฎีบทนี้มีไว้สำหรับรากของประเภทเชิงซ้อน x i, i = 1, 2, …, n และสำหรับสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน a k, k = 0, 1, 2, …, n นี่คือพื้นฐานของการสลายตัวใดๆ

เมื่อสัมประสิทธิ์ของรูปแบบ a k, k = 0, 1, 2, …, n คือ ตัวเลขจริงแล้วรากเชิงซ้อนที่จะเกิดขึ้นเป็นคู่คอนจูเกต ตัวอย่างเช่น ราก x 1 และ x 2 เกี่ยวข้องกับพหุนามในรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + . . + a 1 x + a 0 ถือเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน จากนั้นรากอื่น ๆ นั้นเป็นจำนวนจริง ซึ่งเราได้ว่าพหุนามอยู่ในรูปแบบ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q โดยที่ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

ความคิดเห็น

รากของพหุนามสามารถทำซ้ำได้ ลองพิจารณาการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีชคณิตซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของเบซูต์

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต

ทฤษฎีบท 2

พหุนามใดๆ ที่มีดีกรี n จะมีรากอย่างน้อยหนึ่งอัน

ทฤษฎีบทของเบซูต์

หลังจากหารพหุนามในรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + . . + a 1 x + a 0 บน (x - s) จากนั้นเราจะได้ส่วนที่เหลือซึ่งเท่ากับพหุนามที่จุด s จากนั้นเราจะได้

Pnx = กnxn + กn - 1 xn - 1 + . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) โดยที่ Q n - 1 (x) เป็นพหุนามที่มีดีกรี n - 1

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์

เมื่อรากของพหุนาม P n (x) ถูกพิจารณาว่าเป็น s แล้ว P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + . . + ก 1 x + ก 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . ข้อพิสูจน์นี้เพียงพอแล้วเมื่อใช้อธิบายวิธีแก้ปัญหา

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ตรีโกณมิติกำลังสองในรูปแบบ a x 2 + b x + c สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ จากนั้นเราจะได้ว่า a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) โดยที่ x 1 และ x 2 เป็นราก (เชิงซ้อนหรือจำนวนจริง)

จากนี้เห็นได้ชัดว่าการขยายตัวลดลงไปสู่การแก้ปัญหา สมการกำลังสองต่อมา

ตัวอย่างที่ 1

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง.

สารละลาย

จำเป็นต้องค้นหารากของสมการ 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตร จากนั้นเราจะได้ D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 จากที่นี่เรามีสิ่งนั้น

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

จากนี้เราจะได้ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1

ในการดำเนินการตรวจสอบ คุณจะต้องเปิดวงเล็บ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ในรูปแบบ:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

หลังจากตรวจสอบแล้วเราก็มาถึงสำนวนดั้งเดิม กล่าวคือเราสามารถสรุปได้ว่าการสลายตัวนั้นดำเนินไปอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 2

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ 3 x 2 - 7 x - 11

สารละลาย

เราพบว่าจำเป็นต้องคำนวณสมการกำลังสองที่ได้ในรูปแบบ 3 x 2 - 7 x - 11 = 0

ในการค้นหาราก คุณจำเป็นต้องกำหนดค่าของการแบ่งแยก เราเข้าใจแล้ว

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

จากนี้ เราจะได้ว่า 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

ตัวอย่างที่ 3

แยกตัวประกอบพหุนาม 2 x 2 + 1

สารละลาย

ตอนนี้เราต้องแก้สมการกำลังสอง 2 x 2 + 1 = 0 แล้วหารากของมัน เราเข้าใจแล้ว

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ฉัน x 2 = - 1 2 = - 1 2 ฉัน

รากเหล่านี้เรียกว่าคอนจูเกตเชิงซ้อน ซึ่งหมายความว่าส่วนขยายสามารถแสดงเป็น 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i

ตัวอย่างที่ 4

สลายตรีโกณมิติกำลังสอง x 2 + 1 3 x + 1 .

สารละลาย

ก่อนอื่นคุณต้องแก้สมการกำลังสองในรูปแบบ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 แล้วหารากของมัน

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · ฉัน x 2 = - 1 3 - ง 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ฉัน 2 = - 1 - 35 · ฉัน 6 = - 1 6 - 35 6 · ฉัน

เมื่อได้รากแล้วเราก็เขียน

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ฉัน x - - 1 6 - 35 6 ฉัน = = x + 1 6 - 35 6 ฉัน x + 1 6 + 35 6 ฉัน

ความคิดเห็น

ถ้าค่าจำแนกเป็นลบ พหุนามจะยังคงเป็นพหุนามลำดับที่สอง จากนี้ไปเราจะไม่ขยายมันเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

วิธีการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง

เมื่อสลายตัวจะถือว่าใช้วิธีสากล กรณีส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ ในการทำเช่นนี้คุณต้องเลือกค่าของรูท x 1 และลดระดับของมันด้วยการหารด้วยพหุนามด้วย 1 โดยหารด้วย (x - x 1) ผลลัพธ์พหุนามจะต้องค้นหาราก x 2 และกระบวนการค้นหาจะเป็นวัฏจักรจนกว่าเราจะได้ส่วนขยายที่สมบูรณ์

หากไม่พบรูทก็จะใช้วิธีการแยกตัวประกอบอื่น: การจัดกลุ่มข้อกำหนดเพิ่มเติม หัวข้อนี้วางตำแหน่งการแก้สมการที่มีกำลังสูงกว่าและสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

พิจารณากรณีที่เทอมอิสระเท่ากับศูนย์ รูปแบบของพหุนามจะกลายเป็น P n (x) = a n x n + a n - 1 xn - 1 + . . + ก 1 x .

จะเห็นได้ว่ารากของพหุนามดังกล่าวจะเท่ากับ x 1 = 0 จากนั้นพหุนามสามารถแสดงเป็นนิพจน์ P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . + ก 1 x = = x (ก x n - 1 + ก n - 1 x n - 2 + . . . + ก 1)

วิธีนี้ถือเป็นการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 5

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สาม 4 x 3 + 8 x 2 - x

สารละลาย

เราจะเห็นว่า x 1 = 0 เป็นรากของพหุนามที่กำหนด จากนั้นเราสามารถลบ x ออกจากวงเล็บของนิพจน์ทั้งหมดได้ เราได้รับ:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

มาดูการหารากของกำลังสองตรีโกณมิติ 4 x 2 + 8 x - 1 กัน เรามาค้นหาความแตกต่างและรากเหง้ากัน:

ง = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + ง 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - ง 2 4 = - 1 - 5 2

แล้วมันเป็นไปตามนั้น

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

ขั้นแรกให้เราพิจารณาวิธีการสลายตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดคือ 1

เมื่อพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม จะถือว่าเป็นตัวหารของพจน์อิสระ

ตัวอย่างที่ 6

แยกนิพจน์ f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18

สารละลาย

ลองพิจารณาว่ามีรากที่สมบูรณ์หรือไม่ จำเป็นต้องเขียนตัวหารของตัวเลข - 18 เราได้ ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 ตามมาว่าพหุนามนี้มีรากเป็นจำนวนเต็ม คุณสามารถตรวจสอบได้โดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ สะดวกมากและช่วยให้คุณได้ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของพหุนามอย่างรวดเร็ว:

ตามมาว่า x = 2 และ x = - 3 เป็นรากของพหุนามดั้งเดิม ซึ่งสามารถแสดงเป็นผลคูณของรูปแบบได้:

ฉ (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

เราดำเนินการขยายตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ x 2 + 2 x + 3

เนื่องจากการเลือกปฏิบัติเป็นลบจึงหมายถึง รากที่แท้จริงเลขที่

คำตอบ:ฉ (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

ความคิดเห็น

อนุญาตให้ใช้การเลือกรากและการหารพหุนามด้วยพหุนามแทนโครงร่างของฮอร์เนอร์ มาดูการขยายพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 ซึ่งค่าสูงสุดเท่ากับ 1

กรณีนี้เกิดขึ้นกับเศษส่วนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 7

แยกตัวประกอบ f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15

สารละลาย

จำเป็นต้องแทนที่ตัวแปร y = 2 x คุณควรเลื่อนไปยังพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 ที่ระดับสูงสุด คุณต้องเริ่มต้นด้วยการคูณนิพจน์ด้วย 4 เราเข้าใจแล้ว

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

เมื่อฟังก์ชันผลลัพธ์ของรูปแบบ g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 มีรากจำนวนเต็ม ตำแหน่งของพวกมันจะอยู่ในกลุ่มตัวหารของเทอมอิสระ รายการจะมีลักษณะดังนี้:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

มาดูการคำนวณฟังก์ชัน g (y) ที่จุดเหล่านี้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ เราเข้าใจแล้ว

ก. (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ก. (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ก. (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ก. (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ก. (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 กรัม (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 กรัม (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 กรัม (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 กรัม (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1,070 กรัม (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

เราพบว่า y = - 5 คือรากของสมการในรูปแบบ y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ซึ่งหมายความว่า x = y 2 = - 5 2 คือรากของฟังก์ชันดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องหารด้วยคอลัมน์ 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2

สารละลาย

ลองเขียนมันลงไปแล้วรับ:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

การตรวจสอบตัวหารจะใช้เวลานาน ดังนั้นจึงมีประโยชน์มากกว่าที่จะแยกตัวประกอบผลลัพธ์ของกำลังสองในรูปตรีโกณมิติ x 2 + 7 x + 3 เมื่อเท่ากับศูนย์เราจะพบการเลือกปฏิบัติ

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

มันเป็นไปตามนั้น

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

เทคนิคประดิษฐ์สำหรับการแยกตัวประกอบพหุนาม

รากตรรกยะไม่มีอยู่ในพหุนามทั้งหมด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้วิธีการพิเศษเพื่อค้นหาปัจจัย แต่ไม่ใช่ว่าพหุนามทั้งหมดจะสามารถขยายหรือแสดงเป็นผลคูณได้

วิธีการจัดกลุ่ม

มีหลายกรณีที่คุณสามารถจัดกลุ่มเงื่อนไขของพหุนามเพื่อค้นหาตัวประกอบร่วมและนำออกจากวงเล็บได้

ตัวอย่างที่ 9

แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2

สารละลาย

เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นรากจึงสามารถสันนิษฐานว่าเป็นจำนวนเต็มได้เช่นกัน ในการตรวจสอบให้ใช้ค่า 1, - 1, 2 และ - 2 เพื่อคำนวณค่าพหุนามที่จุดเหล่านี้ เราเข้าใจแล้ว

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

นี่แสดงว่าไม่มีรากจำเป็นต้องใช้วิธีขยายและวิธีแก้ปัญหาแบบอื่น

มีความจำเป็นต้องจัดกลุ่ม:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

หลังจากจัดกลุ่มพหุนามดั้งเดิมแล้ว คุณต้องแสดงมันเป็นผลคูณของตรีโกณมิติกำลังสองสองอัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องแยกตัวประกอบ เราเข้าใจแล้ว

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - ง 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - ง 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

ความคิดเห็น

ความเรียบง่ายของการจัดกลุ่มไม่ได้หมายความว่าการเลือกคำศัพท์นั้นง่ายพอ ไม่มีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทและกฎพิเศษ

ตัวอย่างที่ 10

แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2

สารละลาย

พหุนามที่กำหนดไม่มีรากจำนวนเต็ม ควรจัดกลุ่มข้อกำหนด เราเข้าใจแล้ว

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

หลังจากการแยกตัวประกอบ เราจะได้มัน

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

การใช้สูตรคูณแบบย่อและทวินามของนิวตันเพื่อแยกตัวประกอบพหุนาม

รูปลักษณ์ภายนอกมักไม่ได้ทำให้ชัดเจนว่าควรใช้วิธีใดในระหว่างการสลายตัวเสมอไป หลังจากทำการแปลงแล้ว คุณสามารถสร้างเส้นที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมของปาสคาล ไม่เช่นนั้นจะเรียกว่าทวินามของนิวตัน

ตัวอย่างที่ 11

แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2

สารละลาย

จำเป็นต้องแปลงนิพจน์ให้เป็นแบบฟอร์ม

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

ลำดับของค่าสัมประสิทธิ์ผลรวมในวงเล็บระบุด้วยนิพจน์ x + 1 4 .

ซึ่งหมายความว่าเรามี x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3

หลังจากใช้ผลต่างของกำลังสองแล้ว เราก็จะได้

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

พิจารณานิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเหลี่ยมที่สอง เห็นได้ชัดว่าไม่มีอัศวินอยู่ที่นั่น เราจึงควรใช้สูตรผลต่างของกำลังสองอีกครั้ง เราได้รับการแสดงออกของแบบฟอร์ม

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

ตัวอย่างที่ 12

แยกตัวประกอบ x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

สารละลาย

มาเริ่มเปลี่ยนการแสดงออกกันเถอะ เราเข้าใจแล้ว

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

จำเป็นต้องใช้สูตรการคูณผลต่างของลูกบาศก์แบบย่อ เราได้รับ:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

วิธีการแทนที่ตัวแปรเมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม

เมื่อแทนที่ตัวแปร ระดับจะลดลงและพหุนามจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 13

แยกตัวประกอบพหุนามของรูปแบบ x 6 + 5 x 3 + 6

สารละลาย

ตามเงื่อนไขชัดเจนว่าจำเป็นต้องเปลี่ยน y = x 3 เราได้รับ:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 ปี + 6

รากของสมการกำลังสองที่ได้คือ y = - 2 และ y = - 3 ดังนั้น

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

จำเป็นต้องใช้สูตรการคูณแบบย่อของผลรวมของลูกบาศก์ เราได้รับนิพจน์ในรูปแบบ:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

นั่นคือเราได้รับการสลายตัวตามที่ต้องการ

กรณีที่กล่าวถึงข้างต้นจะช่วยในการพิจารณาและแยกตัวประกอบพหุนามในรูปแบบต่างๆ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองเป็นปัจจัยเชิงเส้น ในการทำเช่นนี้ เราต้องจำทฤษฎีบทของเวียตต้าและข้อกลับกันของมัน ทักษะนี้จะช่วยให้เราขยายตรีโกณมิติกำลังสองเป็นปัจจัยเชิงเส้นได้อย่างรวดเร็วและสะดวก และยังช่วยลดความซับซ้อนของเศษส่วนที่ประกอบด้วยนิพจน์อีกด้วย

ลองกลับไปที่สมการกำลังสองโดยที่

สิ่งที่เรามีทางด้านซ้ายเรียกว่าตรีโกณมิติกำลังสอง

ทฤษฎีบทเป็นจริง:ถ้า เป็นรากของตรีโกณมิติกำลังสอง ก็จะถือว่าอัตลักษณ์ยังคงอยู่

โดยที่สัมประสิทธิ์นำคือรากของสมการ

ดังนั้นเราจึงมีสมการกำลังสอง - ตรีโกณมิติกำลังสอง โดยที่รากของสมการกำลังสองเรียกอีกอย่างว่ารากของตรีโกณมิติกำลังสอง ดังนั้น หากเรามีรากของตรีโกณมิติกำลังสองแล้ว ตรีโกณมิตินี้สามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้

การพิสูจน์:

การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ดำเนินการโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ซึ่งเราได้พูดคุยไปแล้วในบทเรียนที่แล้ว

โปรดจำไว้ว่าทฤษฎีบทของ Vieta บอกเราว่า:

ถ้า เป็นรากของตรีโกณมิติกำลังสองซึ่ง แล้ว .

ข้อความต่อไปนี้ตามมาจากทฤษฎีบทนี้:

เราจะเห็นว่าตามทฤษฎีบทของ Vieta กล่าวคือ โดยการแทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสูตรด้านบน เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้

Q.E.D.

จำได้ว่าเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทว่า ถ้าเป็นรากของตรีโกณมิติกำลังสอง การขยายตัวนั้นใช้ได้

ตอนนี้ เรามาจำตัวอย่างของสมการกำลังสอง ซึ่งเราเลือกรากโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม จากข้อเท็จจริงนี้เราสามารถได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ด้วยทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว:

ตอนนี้เรามาตรวจสอบความถูกต้องของข้อเท็จจริงนี้โดยเพียงแค่เปิดวงเล็บ:

เราเห็นว่าเราแยกตัวประกอบอย่างถูกต้อง และตรีโกณมิติใดๆ หากมีราก ก็สามารถแยกตัวประกอบตามทฤษฎีบทนี้เป็นตัวประกอบเชิงเส้นตามสูตรได้

อย่างไรก็ตาม ลองตรวจสอบว่าการแยกตัวประกอบดังกล่าวเป็นไปได้สำหรับสมการใดๆ หรือไม่:

ยกตัวอย่างสมการ ก่อนอื่น เรามาตรวจสอบเครื่องหมายแยกแยะกันก่อน

และเราจำได้ว่าเพื่อที่จะบรรลุทฤษฎีบทที่เราเรียนรู้ D จะต้องมากกว่า 0 ดังนั้นในกรณีนี้ การแยกตัวประกอบตามทฤษฎีบทที่เราเรียนรู้จึงเป็นไปไม่ได้

ดังนั้นเราจึงกำหนดทฤษฎีบทใหม่: หากตรีโกณมิติกำลังสองไม่มีราก ก็ไม่สามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้

เราได้ดูทฤษฎีบทของเวียตาแล้ว ความเป็นไปได้ในการสลายตัวตรีโนเมียลกำลังสองให้เป็นตัวประกอบเชิงเส้น และตอนนี้เราจะแก้ปัญหาต่างๆ กัน

ภารกิจที่ 1

ในกลุ่มนี้ เราจะแก้ปัญหาผกผันกับปัญหาที่ตั้งไว้ เรามีสมการ และเราพบรากของมันโดยการแยกตัวประกอบมัน ที่นี่เราจะทำสิ่งที่ตรงกันข้าม สมมติว่าเรามีรากของสมการกำลังสอง

ปัญหาผกผันคือ เขียนสมการกำลังสองโดยใช้รากของมัน

มี 2 ​​วิธีในการแก้ปัญหานี้

เนื่องจากเป็นรากของสมการแล้ว คือสมการกำลังสองซึ่งมีรากเป็นตัวเลข ตอนนี้เรามาเปิดวงเล็บแล้วตรวจสอบ:

นี่เป็นวิธีแรกที่เราสร้างสมการกำลังสองด้วยรากที่กำหนด ซึ่งไม่มีรากอื่น เนื่องจากสมการกำลังสองใดๆ มีรากได้ไม่เกิน 2 ราก

วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการใช้ทฤษฎีบทเวียตาผกผัน

ถ้า เป็นรากของสมการ ก็จะเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า

สำหรับสมการกำลังสองลดลง , , นั่นคือ ในกรณีนี้ และ

ดังนั้นเราจึงสร้างสมการกำลังสองที่มีรากที่กำหนด

ภารกิจที่ 2

จำเป็นต้องลดเศษส่วนลง

เรามีตรีโกณมิติในตัวเศษและมีตรีโกณมิติในตัวส่วน และตรีนามจะแยกตัวประกอบหรือไม่ก็ได้ ถ้าทั้งตัวเศษและตัวส่วนถูกแยกตัวประกอบแล้ว ในจำนวนนั้นอาจมีตัวประกอบที่เท่ากันซึ่งสามารถลดลงได้

ก่อนอื่น คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเศษก่อน

ก่อนอื่น คุณต้องตรวจสอบว่าสมการนี้สามารถแยกตัวประกอบได้หรือไม่ ลองหาตัวจำแนกดูก่อน เนื่องจาก เครื่องหมายขึ้นอยู่กับผลคูณ (ต้องน้อยกว่า 0) ในตัวอย่างนี้ กล่าวคือ สมการที่กำหนดมีราก

ในการแก้ปัญหา เราใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ในกรณีนี้ เนื่องจากเรากำลังจัดการกับราก การเลือกรากจึงค่อนข้างยาก แต่เราเห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์มีความสมดุล กล่าวคือ ถ้าเราสมมุติว่า และแทนที่ค่านี้ลงในสมการ เราจะได้ระบบต่อไปนี้: เช่น 5-5=0 ดังนั้นเราจึงเลือกรากหนึ่งของสมการกำลังสองนี้

เราจะค้นหารากที่สองโดยการแทนที่สิ่งที่ทราบอยู่แล้วในระบบสมการ เช่น เช่น .

ดังนั้นเราจึงพบรากทั้งสองของสมการกำลังสองแล้วและสามารถแทนที่ค่าของมันลงในสมการดั้งเดิมเพื่อแยกตัวประกอบได้:

จำปัญหาเดิมไว้ เราต้องลดเศษส่วนลง.

ลองแก้ปัญหาด้วยการแทนที่ .

จำเป็นต้องอย่าลืมว่าในกรณีนี้ตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้นั่นคือ , .

หากตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ เราจะลดเศษส่วนเดิมให้อยู่ในรูปแบบ .

ปัญหาหมายเลข 3 (งานที่มีพารามิเตอร์)

ค่าของพารามิเตอร์ใดคือผลรวมของรากของสมการกำลังสอง

ถ้าราก สมการที่กำหนดมีอยู่แล้ว , คำถาม: เมื่อไหร่.

เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและประกอบด้วยพจน์ 3 พจน์ () ปรากฎว่าเป็นรูปตรีโกณมิติกำลังสอง

ตัวอย่าง ไม่ตรีโกณมิติกำลังสอง:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - ลูกบาศก์รูปสี่เหลี่ยม
\(2x+1\) - ทวินามเชิงเส้น

รากที่สองของตรีโกณมิติ:

ตัวอย่าง:
ตรีโกณมิติ \(x^2-2x+1\) มีราก \(1\) เนื่องจาก \(1^2-2 1+1=0\)
ตรีโกณมิติ \(x^2+2x-3\) มีราก \(1\) และ \(-3\) เนื่องจาก \(1^2+2-3=0\) และ \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

ตัวอย่างเช่น:หากคุณต้องการหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง \(x^2-2x+1\) เราจะจัดให้มันเป็นศูนย์แล้วแก้สมการ \(x^2-2x+1=0\)

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

พร้อม. รากคือ \(1\)

การสลายตัวของตรีโกณมิติกำลังสองเป็น:

ตรีโกณมิติกำลังสอง \(ax^2+bx+c\) สามารถขยายได้เป็น \(a(x-x_1)(x-x_2)\) ถ้าสมการ \(ax^2+bx+c=0\) เป็น มากกว่าศูนย์ \ (x_1\) และ \(x_2\) เป็นรากของสมการเดียวกัน)

ตัวอย่างเช่นพิจารณาตรีโกณมิติ \(3x^2+13x-10\)
สมการกำลังสอง \(3x^2+13x-10=0\) มีการแบ่งแยกเท่ากับ 289 (มากกว่าศูนย์) และรากเท่ากับ \(-5\) และ \(\frac(2)(3)\) . ดังนั้น \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\) ง่ายต่อการตรวจสอบความถูกต้องของข้อความนี้ - ถ้าเรา เราจะได้ตรีโกณมิติดั้งเดิม

ตรีโกณมิติกำลังสอง \(ax^2+bx+c\) สามารถแสดงเป็น \(a(x-x_1)^2\) ถ้าการแบ่งแยกของสมการ \(ax^2+bx+c=0\) คือ ศูนย์.

ตัวอย่างเช่นพิจารณาตรีโกณมิติ \(x^2+6x+9\)
สมการกำลังสอง \(x^2+6x+9=0\) มีการแบ่งแยกเท่ากับ \(0\) และมีรากเฉพาะเท่ากับ \(-3\) ซึ่งหมายความว่า \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (ในที่นี้สัมประสิทธิ์คือ \(a=1\) ดังนั้นจึงไม่ได้เขียนไว้หน้าวงเล็บ - ไม่จำเป็น) โปรดทราบว่าการแปลงเดียวกันสามารถทำได้โดย

กำลังสอง \(ax^2+bx+c\) ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ถ้าการแบ่งแยกของสมการ \(ax^2+bx+c=0\) น้อยกว่าศูนย์

ตัวอย่างเช่นตรีโกณมิติ \(x^2+x+4\) และ \(-5x^2+2x-1\) มีการแบ่งแยกน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกตัวประกอบพวกมัน

ตัวอย่าง . ตัวประกอบ \(2x^2-11x+12\)
สารละลาย :
มาหารากของสมการกำลังสองกันดีกว่า \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1.5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

ดังนั้น \(2x^2-11x+12=2(x-1.5)(x-4)\)
คำตอบ : \(2(x-1.5)(x-4)\)

คำตอบที่ได้อาจเขียนแตกต่างออกไป: \((2x-3)(x-4)\)

ตัวอย่าง . (การมอบหมายจาก OGE)ตรีโกณมิติกำลังสองจะถูกแยกตัวประกอบ \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\) ค้นหา \(ก\)
สารละลาย:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1.6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1.6)\)
คำตอบ : \(-1,6\)