ปริพันธ์ของลอการิทึม

บูรณาการโดยส่วนต่างๆ ตัวอย่างการแก้ปัญหา

สารละลาย.

ตัวอย่างเช่น.

คำนวณอินทิกรัล:

การใช้คุณสมบัติของอินทิกรัล (เชิงเส้นตรง), แทร.อ. เราลดมันเป็นอินทิกรัลแบบตาราง เราก็ได้สิ่งนั้น

สวัสดีอีกครั้ง. วันนี้ในบทเรียน เราจะได้เรียนรู้วิธีบูรณาการทีละส่วน วิธีการอินทิเกรตทีละส่วนถือเป็นรากฐานสำคัญของการคำนวณอินทิกรัล ในระหว่างการทดสอบ นักเรียนจะถูกขอให้แก้โจทย์อินทิกรัลประเภทต่อไปนี้เกือบทุกครั้ง: อินทิกรัลที่ง่ายที่สุด (ดูบทความอินทิกรัลไม่ จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา ) หรือปริพันธ์โดยการแทนที่ตัวแปร (ดูบทความวิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในอินทิกรัลไม่ จำกัด ) หรืออินทิกรัลเปิดอยู่ การบูรณาการโดยวิธีส่วนต่างๆ.

และเช่นเคย คุณควรมี: ตารางปริพันธ์และ ตารางอนุพันธ์- หากคุณยังไม่มี โปรดเยี่ยมชมห้องเก็บของเว็บไซต์ของฉัน: สูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง- ฉันจะไม่เบื่อที่จะพูดซ้ำ – ดีกว่าพิมพ์ทุกอย่างออกมา ฉันจะพยายามนำเสนอเนื้อหาทั้งหมดอย่างสม่ำเสมอ เรียบง่าย และชัดเจน ไม่มีปัญหาในการบูรณาการส่วนต่างๆ

วิธีการบูรณาการโดยส่วนต่างๆ แก้ปัญหาอะไรได้บ้าง? วิธีการบูรณาการโดยส่วนต่างๆ แก้ปัญหาได้มาก งานสำคัญช่วยให้คุณสามารถรวมฟังก์ชันบางอย่างที่ขาดหายไปในตารางได้ งานฟังก์ชัน และในบางกรณี แม้กระทั่งผลหารด้วย อย่างที่เราจำได้ไม่มีสูตรที่สะดวก: . แต่มีสิ่งนี้: - สูตรสำหรับการบูรณาการทีละส่วนด้วยตนเอง ฉันรู้ ฉันรู้ว่าคุณเป็นคนเดียว เราจะทำงานร่วมกับเธอตลอดบทเรียน (ตอนนี้ง่ายขึ้นแล้ว)

และรายชื่อก็จะถูกส่งไปที่สตูดิโอทันที อินทิกรัลของประเภทต่อไปนี้ถูกยึดตามส่วนต่างๆ:

1) , – ลอการิทึม ลอการิทึมคูณด้วยพหุนามบางตัว

2) คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังคูณด้วยพหุนามบางตัว นอกจากนี้ยังรวมถึงอินทิกรัลเช่น - ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคูณด้วยพหุนาม แต่ในทางปฏิบัติคือ 97 เปอร์เซ็นต์ ใต้อินทิกรัลจะมีตัวอักษรสวยๆ ``е'' ... บทความนี้ค่อนข้างจะโคลงสั้น ๆ โอ้ใช่ ... ฤดูใบไม้ผลิมาถึงแล้ว

3) , – ฟังก์ชันตรีโกณมิติคูณด้วยพหุนามบางส่วน

4) , – ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ('ส่วนโค้ง'), 'ส่วนโค้ง' คูณด้วยพหุนามบางส่วน

นอกจากนี้ เศษส่วนบางส่วนยังถูกนำมาพิจารณาโดยละเอียดด้วย

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

คลาสสิค. ในบางครั้งอินทิกรัลนี้สามารถพบได้ในตาราง แต่ไม่แนะนำให้ใช้คำตอบสำเร็จรูปเนื่องจากครูขาดวิตามินในฤดูใบไม้ผลิและจะสบถอย่างหนัก เนื่องจากอินทิกรัลที่พิจารณานั้นไม่ได้เป็นตารางแต่อย่างใด - มันถูกนำมาเป็นส่วนๆ เราตัดสินใจ:

เราขัดจังหวะการแก้ปัญหาเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง

เราใช้สูตรการรวมตามส่วน:

อินทิกรัลของลอการิทึม - แนวคิดและประเภท การจำแนกประเภทและคุณลักษณะของหมวดหมู่ "อินทิกรัลของลอการิทึม" 2017, 2018

ตารางแอนติเดริเวทีฟ ("ปริพันธ์") ตารางปริพันธ์ ตารางไม่ อินทิกรัลที่แน่นอน- (ปริพันธ์และปริพันธ์ที่ง่ายที่สุดพร้อมพารามิเตอร์) สูตรสำหรับการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ตารางแอนติเดริเวทีฟ ("ปริพันธ์")
อินทิกรัลไม่จำกัดตาราง (ปริพันธ์และปริพันธ์ที่ง่ายที่สุดพร้อมพารามิเตอร์).	บูรณาการ
ฟังก์ชั่นพลังงาน
	อินทิกรัลของฟังก์ชันกำลัง
อินทิกรัลที่ลดจนเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันยกกำลัง หาก x ขับเคลื่อนใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล	อินทิกรัลของเอ็กซ์โพเนนเชียล โดยที่ a เป็นจำนวนคงที่
อินทิกรัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน	อินทิกรัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
	อินทิกรัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อินทิกรัลเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติ	ปริพันธ์: "ลอการิทึมแบบยาว"
อินทิกรัลเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติ
ปริพันธ์: "ลอการิทึมสูง"	อินทิกรัลโดยที่ x ในตัวเศษอยู่ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล (ค่าคงที่ใต้เครื่องหมายสามารถบวกหรือลบได้) ท้ายที่สุดจะคล้ายกับอินทิกรัลเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติ
อินทิกรัลโคไซน์	อินทิกรัลไซน์
อินทิกรัลเท่ากับแทนเจนต์
อินทิกรัลเท่ากับโคแทนเจนต์	อินทิกรัลเท่ากับทั้งอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์
อินทิกรัลเท่ากับทั้งอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์	อินทิกรัลเท่ากับทั้งอาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์
อินทิกรัลเท่ากับโคซีแคนต์	อินทิกรัลเท่ากับเซแคนต์
อินทิกรัลเท่ากับโคซีแคนต์	อินทิกรัลเท่ากับโคซีแคนต์
อินทิกรัลเท่ากับอาร์คเซแคนต์	อินทิกรัลเท่ากับอาร์คโคซีแคนต์
อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกไซน์	อินทิกรัลเท่ากับโคไซน์ไฮเปอร์โบลิก
อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกไซน์ โดยที่ sinhx คือไฮเปอร์โบลิกไซน์ในเวอร์ชันภาษาอังกฤษ	อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ โดยที่ sinhx คือไฮเปอร์โบลิกไซน์ในเวอร์ชันภาษาอังกฤษ
อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์	อินทิกรัลเท่ากับโคแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก

อินทิกรัลเท่ากับซีแคนต์ไฮเปอร์โบลิก

อินทิกรัลเท่ากับโคซีแคนต์ไฮเปอร์โบลิก
สูตรสำหรับการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ กฎการรวม
สูตรสำหรับการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ
การรวมผลิตภัณฑ์ (ฟังก์ชัน) ด้วยค่าคงที่:
สูตรบูรณาการตามส่วนต่างๆ อินทิกรัลที่แน่นอน:
สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ อินทิกรัลที่แน่นอน:	โดยที่ F(a),F(b) คือค่าของแอนติเดริเวทีฟที่จุด b และ a ตามลำดับ

ตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์แบบตาราง อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ อนุพันธ์ของผลหาร อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.

ถ้า x เป็นตัวแปรอิสระ ดังนั้น:

ตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์แบบตาราง "อนุพันธ์ของตาราง" - ​​ใช่ แต่น่าเสียดายที่นี่คือวิธีการค้นหาบนอินเทอร์เน็ต
	อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง
	อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน	อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม	อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
	อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของไซน์	อนุพันธ์ของโคไซน์
อนุพันธ์ของโคซีแคนต์	อนุพันธ์ของซีแคนต์
อนุพันธ์ของอาร์คไซน์	อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
อนุพันธ์ของอาร์คไซน์	อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
อนุพันธ์แทนเจนต์	อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของอาร์คเซแคนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคซีแคนต์
อนุพันธ์ของอาร์คเซแคนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคซีแคนต์
อนุพันธ์ ไซน์ไฮเปอร์โบลิก อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกไซน์ในฉบับภาษาอังกฤษ	อนุพันธ์ของโคไซน์ไฮเปอร์โบลิก อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ในฉบับภาษาอังกฤษ
อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์	อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของซีแคนต์ไฮเปอร์โบลิก	อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคซีแคนต์

กฎของความแตกต่าง อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ อนุพันธ์ของผลหาร
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ (ฟังก์ชัน) โดยค่าคงที่:
อนุพันธ์ของผลรวม (ฟังก์ชัน):
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ (ฟังก์ชัน):
อนุพันธ์ของผลหาร (ของฟังก์ชัน):

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

คุณสมบัติของลอการิทึม สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึม ทศนิยม (lg) และลอการิทึมธรรมชาติ (ln) พื้นฐาน
เอกลักษณ์ลอการิทึม
ลองแสดงว่าฟังก์ชันใดๆ ของรูปแบบ a b สามารถสร้างเลขชี้กำลังได้อย่างไร เนื่องจากฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ e x เรียกว่าเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูป a b สามารถแสดงเป็นกำลังของสิบได้

ลอการิทึมธรรมชาติ ln (ลอการิทึมถึงฐาน e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

เทย์เลอร์ซีรีส์. การขยายฟังก์ชันชุดเทย์เลอร์ ปรากฎว่าส่วนใหญ่ได้พบเจอในทางปฏิบัติ

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงด้วยความแม่นยำใดๆ ในบริเวณใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่งในรูปแบบของอนุกรมกำลังที่ประกอบด้วยกำลังของตัวแปรในลำดับที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น ใกล้กับจุด x=1: เมื่อใช้ซีรีย์ที่เรียกว่าฟังก์ชันผสมที่มีฟังก์ชันพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันพีชคณิตล้วนๆ ได้ เมื่อใช้ซีรีส์ คุณจะสามารถสร้างความแตกต่างและบูรณาการได้อย่างรวดเร็ว

ซีรีส์ Taylor ในบริเวณใกล้จุด a มีรูปแบบดังนี้:

1) โดยที่ f(x) คือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของลำดับทั้งหมดที่ x = a R n - เทอมที่เหลือในชุด Taylor ถูกกำหนดโดยนิพจน์

2)

ค่าสัมประสิทธิ์ k-th (ที่ x k) ของอนุกรมถูกกำหนดโดยสูตร

3) กรณีพิเศษของซีรีส์ Taylor คือซีรีส์ Maclaurin (=McLaren) (การขยายตัวเกิดขึ้นรอบจุด a=0)

ที่ = 0

สมาชิกของซีรีส์ถูกกำหนดโดยสูตร

เงื่อนไขการใช้ซีรีย์ Taylor

1. เพื่อให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกขยายเป็นอนุกรม Taylor ในช่วงเวลา (-R;R) จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่เทอมที่เหลือในสูตร Taylor (Maclaurin (=McLaren)) สำหรับสิ่งนี้ ฟังก์ชั่นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อ k →∞ในช่วงเวลาที่ระบุ (-R;R)

2. จำเป็นต้องมีอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่เรากำลังจะสร้างอนุกรม Taylor

คุณสมบัติของซีรีย์เทย์เลอร์

ถ้า f เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ อนุกรมเทย์เลอร์ของมัน ณ จุดใดๆ ในโดเมนของนิยามของ f จะบรรจบกับ f ในย่านใกล้เคียงของ a

มีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ไม่สิ้นสุดซึ่งอนุกรมเทย์เลอร์มาบรรจบกัน แต่ในขณะเดียวกันก็แตกต่างจากฟังก์ชันในย่านใกล้เคียงใดๆ ของ a ตัวอย่างเช่น:

ซีรีย์ Taylor ใช้ในการประมาณ (ประมาณ - วิธีการทางวิทยาศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยการแทนที่วัตถุบางอย่างด้วยวัตถุอื่น ในความหมายหนึ่งหรืออีกนัยหนึ่งที่ใกล้เคียงกับวัตถุดั้งเดิม แต่ง่ายกว่า) ฟังก์ชันด้วยพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำให้เป็นเส้นตรง ((จาก linearis - เชิงเส้น) หนึ่งในวิธีการแสดงโดยประมาณของระบบไม่เชิงเส้นแบบปิดซึ่งการศึกษาระบบไม่เชิงเส้นจะถูกแทนที่ด้วยการวิเคราะห์ระบบเชิงเส้นในบางแง่ที่เทียบเท่ากับแบบเดิม .) สมการเกิดขึ้นโดยขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์และตัดพจน์ทั้งหมดที่อยู่เหนือลำดับแรกออก

ดังนั้น ฟังก์ชันเกือบทุกฟังก์ชันจึงสามารถแสดงเป็นพหุนามได้ด้วยความแม่นยำที่กำหนด

ตัวอย่างการขยายฟังก์ชันกำลังทั่วไปบางส่วนในชุด Maclaurin (=McLaren, Taylor ใกล้จุดที่ 0) และ Taylor ใกล้จุดที่ 1 เทอมแรกของการขยายฟังก์ชันหลักในชุด Taylor และ McLaren

ตัวอย่างการขยายฟังก์ชันกำลังทั่วไปบางส่วนในชุด Maclaurin (=McLaren, Taylor ในบริเวณใกล้กับจุด 0)

ตัวอย่างการขยายซีรีส์ Taylor ทั่วไปบางส่วนในบริเวณใกล้เคียงจุดที่ 1

แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัล

1. สารต้านอนุพันธ์ ฟังก์ชัน F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f (x) บนช่วง X ถ้าค่า x ใดๆ จาก X จะคงค่า F"(x)=f(x) ไว้

ต.7.13 (หาก F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) บนช่วง X ดังนั้น ฟังก์ชัน f(x) จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ และแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดนี้จะมีรูปแบบ F (x) + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ (คุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ)

2. ตารางแอนติเดริเวทีฟ เมื่อพิจารณาว่าการค้นหาแอนติเดริเวทีฟเป็นการดำเนินการผกผันของการหาอนุพันธ์ และเริ่มจากตารางอนุพันธ์ เราจะได้ตารางแอนติเดริเวทีฟดังต่อไปนี้ (เพื่อความง่าย ตารางจะแสดงแอนติเดริเวทีฟ F(x) หนึ่งรายการ ไม่ใช่ มุมมองทั่วไปแอนติเดริเวทีฟ F(x) + C:

	สารต้านอนุพันธ์		สารต้านอนุพันธ์

ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟและลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึม ค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แอล เอฟ. แสดงโดย

ค่าของมัน y ซึ่งสอดคล้องกับค่าของอาร์กิวเมนต์ x เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข x ตามคำนิยาม ความสัมพันธ์ (1) เทียบเท่ากัน

(e คือเลขเนเปอร์) เนื่องจาก ey > 0 สำหรับ y จริงใดๆ ดังนั้น L.f. ถูกกำหนดไว้สำหรับ x > 0 เท่านั้น โดยทั่วไป L. f. เรียกใช้ฟังก์ชัน

ลอการิทึมอินทิกรัลกำลังต้านอนุพันธ์

โดยที่ a > 0 (a? 1) เป็นฐานลอการิทึมตามอำเภอใจ อย่างไรก็ตามใน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชัน InX มีความสำคัญเป็นพิเศษ ฟังก์ชัน logaX จะลดลงโดยใช้สูตร:

โดยที่ M = 1/ใน a แอล เอฟ. - หนึ่งในหลัก ฟังก์ชั่นเบื้องต้น- กราฟ (รูปที่ 1) เรียกว่าลอการิทึม คุณสมบัติพื้นฐานของ L.f. ตามมาจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม ตัวอย่างเช่น L. f. เป็นไปตามสมการเชิงฟังก์ชัน

สำหรับ - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

อินทิกรัลหลายตัวแสดงในรูปของฟังก์ชันเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น

แอล เอฟ. เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์

แอล เอฟ. เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่นักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 เป็นครั้งแรกที่ J. Napier (1614) พิจารณาการพึ่งพาระหว่างปริมาณตัวแปร ซึ่งแสดงโดย L. f. เขาแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขและลอการิทึมโดยใช้จุดสองจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นคู่ขนาน (รูปที่ 2) หนึ่งในนั้น (Y) เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอโดยเริ่มจาก C และอีกอัน (X) เริ่มจาก A เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเป็นสัดส่วนกับระยะทางถึง B ถ้าเราใส่ SU = y, XB = x จากนั้นตาม คำจำกัดความนี้

dx/dy = - kx จากที่ไหน

แอล เอฟ. บน เครื่องบินที่ซับซ้อนฟังก์ชันหลายค่า (ค่าอนันต์) ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ z หรือไม่ 0 เขียนแทนด้วย Lnz สาขาค่าเดียวของฟังก์ชันนี้ ซึ่งกำหนดเป็น

Inz = In?z?+ ฉันหาเรื่อง z

โดยที่ arg z คืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z ซึ่งเรียกว่าค่าหลักของฟังก์ชันเชิงเส้น เรามี

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

ความหมายทั้งหมดของ L.f. สำหรับค่าลบ: จริง z เป็นจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีแรกที่น่าพอใจของ L. f. ในระนาบเชิงซ้อนมอบให้โดยแอล. ออยเลอร์ (1749) ซึ่งต่อยอดมาจากคำจำกัดความ

ตัวอย่างของการแก้ปริพันธ์ตามส่วนต่างๆ ซึ่งปริพันธ์ประกอบด้วยลอการิทึม, อาร์คไซน์, อาร์กแทนเจนต์ รวมถึงลอการิทึมของกำลังจำนวนเต็มและลอการิทึมของพหุนามจะได้รับการพิจารณาโดยละเอียด

เนื้อหา

ดูเพิ่มเติมที่: วิธีการบูรณาการโดยส่วนต่างๆ
ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอน
วิธีการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด
ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นและคุณสมบัติต่างๆ

สูตรบูรณาการตามส่วนต่างๆ

ด้านล่าง เมื่อแก้ตัวอย่าง จะใช้สูตรการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ:
;
.

ตัวอย่างของอินทิกรัลที่มีลอการิทึมและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

นี่คือตัวอย่างของอินทิกรัลที่อินทิกรัลตามส่วนต่างๆ:
, , , , , , .

เมื่อทำการอินทิเกรต ส่วนของปริพันธ์ที่มีลอการิทึมหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจะแสดงด้วย u ที่เหลือเขียนแทนด้วย dv

ด้านล่างเป็นตัวอย่างด้วย โซลูชั่นโดยละเอียดอินทิกรัลเหล่านี้

ตัวอย่างง่ายๆ พร้อมลอการิทึม

ลองคำนวณอินทิกรัลที่มีผลคูณของพหุนามและลอการิทึม:

ในที่นี้ปริพันธ์มีลอการิทึม ทำการทดแทน
คุณ = ใน x, ดวี = x 2 dx .
,
.

แล้ว
.

.
มาบูรณาการกันทีละส่วน
.
แล้ว

เมื่อสิ้นสุดการคำนวณ ให้บวกค่าคงที่ C

ตัวอย่างลอการิทึมยกกำลัง 2

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ปริพันธ์รวมลอการิทึมเข้ากับกำลังจำนวนเต็ม อินทิกรัลดังกล่าวสามารถรวมเข้ากับส่วนต่างๆ ได้เช่นกัน
คุณ = ทำการทดแทน(ใน x) 2
,
.

, ดวี = x dx .
.
แล้ว
.

เรายังคำนวณอินทิกรัลที่เหลือตามส่วนต่างๆ:

มาทดแทนกัน
.

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ปริพันธ์รวมลอการิทึมเข้ากับกำลังจำนวนเต็ม อินทิกรัลดังกล่าวสามารถรวมเข้ากับส่วนต่างๆ ได้เช่นกัน
คุณ = ตัวอย่างที่อาร์กิวเมนต์ลอการิทึมเป็นพหุนามอินทิกรัลสามารถคำนวณได้จากส่วนต่างๆ ซึ่งอินทิแกรนด์ประกอบด้วยลอการิทึมซึ่งมีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันพหุนาม ตรรกยะ หรืออตรรกยะ ตามตัวอย่าง ลองคำนวณอินทิกรัลด้วยลอการิทึมซึ่งอาร์กิวเมนต์เป็นพหุนาม
มาบูรณาการกันทีละส่วน
,
.

ln( x 2 - 1)
.
, ดวี = x dx . เราคำนวณอินทิกรัลที่เหลือ:เราไม่ได้เขียนเครื่องหมายโมดูลัสตรงนี้ 2 - 1 > 0 ฉัน | x 2 - 1|
.

เนื่องจากปริพันธ์ถูกกำหนดไว้ที่ x

- มาทดแทนกัน
.

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ปริพันธ์รวมลอการิทึมเข้ากับกำลังจำนวนเต็ม อินทิกรัลดังกล่าวสามารถรวมเข้ากับส่วนต่างๆ ได้เช่นกัน
คุณ = ตัวอย่างอาร์คไซน์,
.
มาบูรณาการกันทีละส่วน
,
.

ลองพิจารณาตัวอย่างอินทิกรัลที่อินทิกรัลรวมอาร์คไซน์ไว้ด้วย< 1 อาร์คซิน x ต่อไป เราสังเกตว่าปริพันธ์ถูกกำหนดไว้สำหรับ |x|และ - ให้เราขยายเครื่องหมายของโมดูลัสภายใต้ลอการิทึมโดยคำนึงถึงสิ่งนั้น.

1 - x > 0

1 + x > 0
.

แล้ว
.
ตัวอย่างส่วนโค้งแทนเจนต์
ลองแก้ตัวอย่างด้วยอาร์กแทนเจนต์: 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1)(x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
มาบูรณาการกัน:
.
ในที่สุดเราก็มี

บูรณาการโดยส่วนต่างๆ ตัวอย่างการแก้ปัญหา

สวัสดีอีกครั้ง. วันนี้ในบทเรียน เราจะได้เรียนรู้วิธีบูรณาการทีละส่วน วิธีการอินทิกรัลแยกส่วนถือเป็นรากฐานสำคัญของแคลคูลัสอินทิกรัล ในระหว่างการทดสอบหรือการสอบ นักเรียนมักจะถูกขอให้แก้โจทย์อินทิกรัลประเภทต่อไปนี้: อินทิกรัลที่ง่ายที่สุด (ดูบทความ)หรือปริพันธ์โดยการแทนที่ตัวแปร (ดูบทความ)หรืออินทิกรัลเปิดอยู่ การบูรณาการโดยวิธีส่วนต่างๆ.

และเช่นเคย คุณควรมี: ตารางปริพันธ์และ ตารางอนุพันธ์- หากคุณยังไม่มี โปรดไปที่ห้องเก็บของในเว็บไซต์ของฉัน: สูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง- ฉันจะไม่เบื่อที่จะพูดซ้ำ – ดีกว่าพิมพ์ทุกอย่างออกมา ฉันจะพยายามนำเสนอเนื้อหาทั้งหมดอย่างสม่ำเสมอ เรียบง่าย และชัดเจน ไม่มีปัญหาในการบูรณาการส่วนต่างๆ

วิธีการบูรณาการโดยส่วนต่างๆ แก้ปัญหาอะไรได้บ้าง? การรวมโดยวิธีชิ้นส่วนช่วยแก้ปัญหาที่สำคัญมาก ช่วยให้คุณสามารถรวมฟังก์ชันบางอย่างที่ไม่ได้อยู่ในตารางได้ งานฟังก์ชัน และในบางกรณี แม้กระทั่งผลหารด้วย อย่างที่เราจำได้ไม่มีสูตรที่สะดวก: - แต่มีอันนี้: – สูตรบูรณาการโดยส่วนต่างๆ ด้วยตนเอง ฉันรู้ ฉันรู้ว่าคุณเป็นคนเดียว เราจะทำงานร่วมกับเธอตลอดบทเรียน (ตอนนี้ง่ายขึ้นแล้ว)

และรายชื่อก็จะถูกส่งไปที่สตูดิโอทันที อินทิกรัลของประเภทต่อไปนี้ถูกยึดตามส่วนต่างๆ:

1) , , – ลอการิทึม, ลอการิทึมคูณด้วยพหุนามจำนวนหนึ่ง

2) ,คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังคูณด้วยพหุนามจำนวนหนึ่ง นอกจากนี้ยังรวมถึงปริพันธ์เช่น - ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคูณด้วยพหุนาม แต่ในทางปฏิบัติคือ 97 เปอร์เซ็นต์ ภายใต้อินทิกรัลจะมีตัวอักษรที่ดี "e" ... บทความนี้ค่อนข้างจะโคลงสั้น ๆ โอ้ใช่ ... ฤดูใบไม้ผลิมาถึงแล้ว

3) , คือฟังก์ชันตรีโกณมิติคูณด้วยพหุนามบางตัว

4) , – ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (“ส่วนโค้ง”), “ส่วนโค้ง” คูณด้วยพหุนามบางส่วน

นอกจากนี้ เศษส่วนบางส่วนยังถูกนำมาพิจารณาโดยละเอียดด้วย

ปริพันธ์ของลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 1

คลาสสิค. ในบางครั้งอินทิกรัลนี้สามารถพบได้ในตาราง แต่ไม่แนะนำให้ใช้คำตอบสำเร็จรูปเนื่องจากครูขาดวิตามินในฤดูใบไม้ผลิและจะสบถอย่างหนัก เนื่องจากอินทิกรัลที่พิจารณานั้นไม่ได้เป็นตารางแต่อย่างใด - มันถูกนำมาเป็นส่วนๆ เราตัดสินใจ:

เราขัดจังหวะการแก้ปัญหาเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง

เราใช้สูตรการรวมตามส่วน:

ใช้สูตรจากซ้ายไปขวา

เราดูทางด้านซ้าย: . แน่นอนว่าในตัวอย่างของเรา (และในตัวอย่างอื่นๆ ทั้งหมดที่เราจะพิจารณา) บางสิ่งจำเป็นต้องถูกกำหนดเป็น และบางอย่างเป็น .

ในปริพันธ์ของประเภทที่กำลังพิจารณา ลอการิทึมจะแสดงแทนเสมอ

ในทางเทคนิคแล้ว เราเขียนการออกแบบโซลูชันดังนี้

นั่นคือเราแสดงลอการิทึมโดยและโดย - ส่วนที่เหลือการแสดงออกบูรณาการ

ขั้นต่อไป: ค้นหาส่วนต่าง:

ส่วนต่างเกือบจะเหมือนกับอนุพันธ์ เราได้พูดคุยไปแล้วว่าจะค้นหามันได้อย่างไรในบทเรียนที่แล้ว

ตอนนี้เราพบฟังก์ชันแล้ว เพื่อที่จะค้นหาฟังก์ชั่นที่คุณต้องบูรณาการ ด้านขวาความเท่าเทียมกันที่ต่ำกว่า:

ตอนนี้เราเปิดโซลูชันของเราและสร้างทางด้านขวาของสูตร:
นี่เป็นตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายพร้อมหมายเหตุบางประการ:

จุดเดียวในงานนี้คือฉันต้องสลับทันที และ เนื่องจากเป็นเรื่องปกติที่จะต้องเขียนตัวประกอบก่อนลอการิทึม

อย่างที่คุณเห็น การใช้สูตรอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ ลดขนาดคำตอบของเราเหลือเพียงอินทิกรัลง่ายๆ สองอัน

โปรดทราบว่าในบางกรณี ทันทีหลังจากนั้นการใช้สูตรจำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้นภายใต้อินทิกรัลที่เหลือ - ในตัวอย่างที่พิจารณาเราลดอินทิกรัลลงเป็น "x"

มาตรวจสอบกัน ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องหาอนุพันธ์ของคำตอบ:

ได้รับฟังก์ชันอินทิกรัลดั้งเดิมแล้ว ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

ในระหว่างการทดสอบ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์: - และนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ

สูตรบูรณาการตามส่วนต่างๆ และสูตร – นี่เป็นกฎสองข้อที่ผกผันกัน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

จำนวนเต็มเป็นผลคูณของลอการิทึมและพหุนาม
มาตัดสินใจกัน

ฉันจะอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับขั้นตอนการใช้กฎอีกครั้งในอนาคต ตัวอย่างจะถูกนำเสนอสั้น ๆ และหากคุณมีปัญหาในการแก้ไขด้วยตัวเอง คุณต้องกลับไปที่สองตัวอย่างแรกของบทเรียน .

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว มีความจำเป็นต้องแสดงลอการิทึม (ความจริงที่ว่ามันเป็นกำลังไม่สำคัญ) เราแสดงโดย ส่วนที่เหลือการแสดงออกบูรณาการ

เราเขียนในคอลัมน์:

ก่อนอื่นเราจะหาส่วนต่าง:

ในที่นี้เราใช้กฎในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน - ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่บทเรียนแรกของหัวข้อนี้ อินทิกรัลไม่ จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหาฉันเน้นไปที่ความจริงที่ว่าเพื่อที่จะเชี่ยวชาญอินทิกรัล จำเป็นต้อง "ทำความเข้าใจ" อนุพันธ์ คุณจะต้องจัดการกับอนุพันธ์มากกว่าหนึ่งครั้ง

ตอนนี้เราพบฟังก์ชันแล้ว ด้วยเหตุนี้เราจึงรวมเข้าด้วยกัน ด้านขวาความเท่าเทียมกันที่ต่ำกว่า:

สำหรับการรวมเข้าด้วยกัน เราใช้สูตรตารางที่ง่ายที่สุด

ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมใช้สูตรแล้ว - เราเปิดด้วยเครื่องหมายดอกจันและ "สร้าง" วิธีแก้ปัญหาตาม ด้านขวา :

ภายใต้อินทิกรัล เรามีพหุนามสำหรับลอการิทึมอีกครั้ง! ดังนั้น การแก้ปัญหาจึงถูกขัดจังหวะอีกครั้ง และใช้กฎการรวมทีละส่วนเป็นครั้งที่สอง อย่าลืมว่าในสถานการณ์ที่คล้ายกัน ลอการิทึมจะแสดงแทนเสมอ

คงจะดีถ้า ในขณะนี้คุณสามารถค้นหาอินทิกรัลและอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดได้ด้วยวาจา

(1) อย่าสับสนกับสัญญาณ! บ่อยครั้งที่เครื่องหมายลบหายไปที่นี่ โปรดทราบว่าเครื่องหมายลบหมายถึง ถึงทุกคนวงเล็บ และต้องขยายวงเล็บเหล่านี้อย่างถูกต้อง

(2) เปิดวงเล็บ เราจัดรูปอินทิกรัลตัวสุดท้ายให้ง่ายขึ้น

(3) เราใช้อินทิกรัลตัวสุดท้าย

(4) “การหวี” คำตอบ

ความจำเป็นในการใช้กฎการรวมกลุ่มทีละส่วนสองครั้ง (หรือสามครั้ง) ไม่ได้เกิดขึ้นน้อยมาก

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างนี้แก้ไขได้ด้วยการเปลี่ยนตัวแปร (หรือแทนที่ด้วยเครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล)! ทำไมจะไม่ได้ - คุณสามารถลองแบ่งเป็นส่วนๆ ก็ได้ มันจะกลายเป็นเรื่องตลก

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

แต่อินทิกรัลนี้ถูกอินทิกรัลด้วยส่วนต่างๆ (เศษส่วนที่สัญญาไว้)

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง วิธีแก้ไขและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ดูเหมือนว่าในตัวอย่างที่ 3 และ 4 อินทิแกรนด์จะคล้ายกัน แต่วิธีการแก้ปัญหาต่างกัน! นี่เป็นปัญหาหลักในการเรียนรู้อินทิกรัล - หากคุณเลือกวิธีการแก้อินทิกรัลผิดวิธี คุณก็สามารถแก้ไขได้เป็นเวลาหลายชั่วโมงเหมือนกับปริศนาจริง ดังนั้น ยิ่งคุณแก้อินทิกรัลต่างๆ ได้มากเท่าไหร่ การทดสอบและการสอบก็จะยิ่งดียิ่งขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ในปีที่สองก็จะมี สมการเชิงอนุพันธ์และไม่มีประสบการณ์ในการแก้อินทิกรัลและอนุพันธ์ ก็ไม่ต้องทำอะไรที่นั่น

ในแง่ของลอการิทึม นี่อาจเกินพอแล้ว นอกจากนี้ ฉันยังจำได้ว่านักศึกษาวิศวกรรมศาสตร์ใช้ลอการิทึมเพื่อเรียกหน้าอกของผู้หญิง =) อย่างไรก็ตามการรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลักด้วยใจจริง: ไซน์, โคไซน์, อาร์กแทนเจนต์, เลขชี้กำลัง, พหุนามของระดับที่สาม, สี่ ฯลฯ ไม่ แน่นอน ถุงยางอนามัยบนโลก
ฉันจะไม่ยืดมัน แต่ตอนนี้คุณจะจำอะไรได้มากมายจากส่วนนี้ แผนภูมิและฟังก์ชัน =).

ปริพันธ์ของเอ็กซ์โปเนนเชียลคูณด้วยพหุนาม

กฎทั่วไป:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

โดยใช้อัลกอริธึมที่คุ้นเคย เราบูรณาการตามส่วนต่างๆ:

หากคุณมีปัญหากับอินทิกรัล คุณควรกลับไปที่บทความ วิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในอินทิกรัลไม่จำกัด.

สิ่งเดียวที่คุณทำได้คือปรับแต่งคำตอบ:

แต่หากเทคนิคการคำนวณของคุณไม่ดีนัก ตัวเลือกที่ทำกำไรได้มากที่สุดคือปล่อยให้มันเป็นคำตอบ หรือแม้กระทั่ง

นั่นคือ ตัวอย่างจะถือว่าได้รับการแก้ไขเมื่อมีการอินทิกรัลสุดท้าย มันจะไม่ผิดพลาดเป็นอีกเรื่องหนึ่งที่ครูอาจขอให้คุณทำให้คำตอบง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง อินทิกรัลนี้ถูกรวมเข้าด้วยกันสองครั้งทีละส่วน ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสัญญาณ - ง่ายต่อการสับสนเรายังจำได้ว่านี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ไม่มีอะไรจะพูดเพิ่มเติมเกี่ยวกับผู้แสดงสินค้า ฉันทำได้เพียงเพิ่มว่าเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันผกผันร่วมกัน นี่คือฉันในหัวข้อกราฟเพื่อความบันเทิงของคณิตศาสตร์ขั้นสูง =) หยุด หยุด ไม่ต้องกังวล วิทยากรมีสติ

อินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติคูณด้วยพหุนาม

กฎทั่วไป: เพราะหมายถึงพหุนามเสมอ

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

มาบูรณาการกันทีละส่วน:

อืม ... และไม่มีอะไรจะแสดงความคิดเห็น

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

อีกตัวอย่างที่มีเศษส่วน เช่นเดียวกับในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ for หมายถึงพหุนาม

มาบูรณาการกันทีละส่วน:

หากคุณมีปัญหาหรือความเข้าใจผิดในการค้นหาอินทิกรัล ฉันขอแนะนำให้เข้าร่วมบทเรียนนี้ ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ.

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

คำแนะนำ: ก่อนที่จะใช้วิธีอินทิเกรตทีละส่วน คุณควรใช้สูตรตรีโกณมิติที่จะเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติสองฟังก์ชันให้เป็นฟังก์ชันเดียว นอกจากนี้ยังสามารถใช้สูตรนี้เมื่อใช้วิธีการรวมเข้าด้วยกันตามส่วนต่างๆ แล้วแต่สะดวกสำหรับคุณ

นั่นอาจเป็นทั้งหมดที่อยู่ในย่อหน้านี้ ด้วยเหตุผลบางอย่าง ฉันจำท่อนหนึ่งจากเพลงสวดฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ “และกราฟไซน์วิ่งคลื่นแล้วคลื่นเล่าตามแนวแกนแอบซิสซา”….

อินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
อินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันคูณด้วยพหุนาม

กฎทั่วไป: หมายถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเสมอ.

ฉันเตือนคุณในทางกลับกัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติได้แก่ อาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ เพื่อความกระชับของบันทึกผมจะเรียกมันว่า "โค้ง"