เพื่อที่จะให้ระนาบเดียวลากผ่านจุดสามจุดใดๆ ในอวกาศ จุดเหล่านี้จะต้องไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน

พิจารณาจุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป

เพื่อให้จุดใดจุดหนึ่ง M(x, y, z) อยู่ในระนาบเดียวกันกับจุด M 1, M 2, M 3 จำเป็นที่เวกเตอร์จะต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน

(
) = 0

ดังนั้น,

สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุด:

สมการของระนาบที่กำหนดจุดสองจุดและเวกเตอร์โคลิเนียร์กับระนาบ

ให้จุด M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) และเวกเตอร์ได้รับ
.

มาสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 และ M 2 และจุดใดก็ได้ M (x, y, z) ขนานกับเวกเตอร์ .

เวกเตอร์
และเวกเตอร์
จะต้องเป็นแบบระนาบเดียวกัน เช่น

(
) = 0

สมการเครื่องบิน:

สมการของระนาบโดยใช้หนึ่งจุดและเวกเตอร์สองตัว

ขนานไปกับเครื่องบิน

ให้เวกเตอร์สองตัวมา
และ
, เครื่องบินแนวตรง จากนั้นสำหรับจุดใดก็ได้ M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ เวกเตอร์
ต้องเป็นระนาบเดียวกัน

สมการเครื่องบิน:

สมการของระนาบต่อจุดและเวกเตอร์ปกติ .

ทฤษฎีบท. หากให้จุด M ในอวกาศ 0 (เอ็กซ์ 0 , ย 0 , z 0 ) จากนั้นสมการของระนาบที่ผ่านจุด M 0 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติ (ก, บี, ค) มีรูปแบบ:

ก(x – x 0 ) + บี(ย – ย 0 ) + ค(z – z 0 ) = 0.

การพิสูจน์. สำหรับจุดใดๆ ก็ตามของระนาบ M(x, y, z) เราจะเขียนเวกเตอร์ขึ้นมา เพราะ เวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉาก จากนั้นมันจะตั้งฉากกับระนาบ และด้วยเหตุนี้ ตั้งฉากกับเวกเตอร์
- แล้วผลคูณสเกลาร์

= 0

ดังนั้นเราจึงได้สมการของระนาบ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมการของระนาบในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไป Ax + By + Cz + D = 0 เราหารทั้งสองข้างด้วย (-D)

,

แทนที่
เราได้สมการของระนาบเป็นส่วนๆ:

ตัวเลข a, b, c คือจุดตัดของระนาบที่มีแกน x, y, z ตามลำดับ

สมการของระนาบในรูปแบบเวกเตอร์

ที่ไหน

- เวกเตอร์รัศมีของจุดปัจจุบัน M(x, y, z)

เวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางตั้งฉากตกลงบนระนาบจากจุดกำเนิด

,  และ  คือมุมที่เกิดจากเวกเตอร์นี้ซึ่งมีแกน x, y, z

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากนี้

ในพิกัดสมการนี้มีลักษณะดังนี้:

xcos + ycos + zcos - p = 0

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน

ระยะห่างจากจุดใดก็ได้ M 0 (x 0, y 0, z 0) ถึงระนาบ Ax+By+Cz+D=0 คือ:

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการของระนาบ โดยรู้ว่าจุด P(4; -3; 12) คือฐานของเส้นตั้งฉากที่หลุดจากจุดกำเนิดมายังระนาบนี้

ดังนั้น A = 4/13; ข = -3/13; C = 12/13 เราใช้สูตร:

ก(x – x 0 ) + B(ป – ย 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ตัวอย่าง.จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดสองจุด P(2; 0; -1) และ

Q(1; -1; 3) ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y – z + 5 = 0

เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y – z + 5 = 0
ขนานกับระนาบที่ต้องการ

เราได้รับ:

ตัวอย่าง.จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุด A(2, -1, 4) และ

B(3, 2, -1) ตั้งฉากกับระนาบ เอ็กซ์ + ที่ + 2z – 3 = 0.

สมการที่ต้องการของระนาบมีรูปแบบ: A x+บี ย+ซี z+ D = 0, เวกเตอร์ปกติของระนาบนี้ (ก, ข, ค) เวกเตอร์
(1, 3, -5) เป็นของเครื่องบิน ระนาบที่มอบให้เราซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่ต้องการนั้นมีเวกเตอร์ปกติ (1, 1, 2) เพราะ จุด A และ B เป็นของระนาบทั้งสอง และระนาบนั้นตั้งฉากกัน

แล้วเวกเตอร์ปกติ (11, -7, -2) เพราะ จุด A เป็นของระนาบที่ต้องการจากนั้นพิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบนี้เช่น 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

โดยรวมแล้วเราได้สมการของระนาบ: 11 x - 7ย – 2z – 21 = 0.

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการของระนาบ โดยรู้ว่าจุด P(4, -3, 12) คือฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดกำเนิดมายังระนาบนี้

การหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติ
= (4, -3, 12) สมการที่ต้องการของระนาบมีรูปแบบ: 4 x – 3ย + 12z+ D = 0 ในการค้นหาสัมประสิทธิ์ D เราจะแทนที่พิกัดของจุด P ลงในสมการ:

16 + 9 + 144 + D = 0

โดยรวมแล้วเราได้สมการที่ต้องการ: 4 x – 3ย + 12z – 169 = 0

ตัวอย่าง.ให้ไว้เป็นพิกัดของจุดยอดของปิรามิด A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1)

ค้นหาความยาวของขอบ A 1 A 2

ค้นหามุมระหว่างขอบ A 1 A 2 และ A 1 A 4

หามุมระหว่างขอบ A 1 A 4 และหน้า A 1 A 2 A 3

อันดับแรก เราจะหาเวกเตอร์ปกติของใบหน้า A 1 A 2 A 3 ยังไง ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์
และ
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

ลองหามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติกับเวกเตอร์กัน
.

-4 – 4 = -8.

มุมที่ต้องการ  ระหว่างเวกเตอร์กับระนาบจะเท่ากับ  = 90 0 - 

หาพื้นที่ของใบหน้า A 1 A 2 A 3

ค้นหาปริมาตรของปิรามิด

ค้นหาสมการของระนาบ A 1 A 2 A 3

ลองใช้สูตรสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุดกัน

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

เมื่อใช้คอมพิวเตอร์เวอร์ชั่น” หลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง” คุณสามารถรันโปรแกรมที่จะแก้ไขตัวอย่างข้างต้นสำหรับพิกัดใด ๆ ของจุดยอดของปิรามิด

ในการเริ่มโปรแกรมให้ดับเบิลคลิกที่ไอคอน:

ในหน้าต่างโปรแกรมที่เปิดขึ้น ให้ป้อนพิกัดของจุดยอดของปิรามิดแล้วกด Enter ด้วยวิธีนี้ สามารถรับคะแนนการตัดสินใจทั้งหมดได้ทีละคะแนน

หมายเหตุ: ในการรันโปรแกรม จะต้องติดตั้งโปรแกรม Maple ( Waterloo Maple Inc.) เวอร์ชันใดๆ ที่เริ่มต้นด้วย MapleV Release 4 บนคอมพิวเตอร์ของคุณ

บทความนี้จะให้แนวคิดในการเขียนสมการของระนาบที่ผ่าน จุดนี้พื้นที่สามมิติตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ให้เราวิเคราะห์อัลกอริทึมที่กำหนดโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหาทั่วไป

การค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในอวกาศซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ให้ปริภูมิสามมิติและระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z อยู่ในนั้น ให้จุด M 1 (x 1, y 1, z 1), เส้น a และระนาบ α ที่ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับเส้น a ด้วยเช่นกัน จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบ α

ก่อนที่เราจะเริ่มแก้ปัญหานี้ ขอให้เราจำทฤษฎีบทเรขาคณิตจากหลักสูตรสำหรับเกรด 10-11 ก่อนว่า:

คำจำกัดความ 1

ผ่าน จุดที่กำหนดให้พื้นที่สามมิติ มีระนาบเดียวตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ตอนนี้เรามาดูวิธีการหาสมการของระนาบเดี่ยวนี้ที่ผ่านจุดเริ่มต้นและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

มีความเป็นไปได้ที่จะเขียนสมการทั่วไปของระนาบได้หากทราบพิกัดของจุดที่เป็นของระนาบนี้ตลอดจนพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ

เงื่อนไขของปัญหาให้พิกัด x 1, y 1, z 1 ของจุด M 1 ที่ระนาบ α ผ่านไปให้เรา หากเรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ α เราก็จะสามารถเขียนสมการที่ต้องการได้

เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α เนื่องจากมันไม่เป็นศูนย์และอยู่บนเส้นตรง a ตั้งฉากกับเครื่องบินα จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางใดๆ ของเส้นตรง a ดังนั้นปัญหาในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ α จึงถูกแปลงเป็นปัญหาในการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a

การกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a สามารถทำได้หลายวิธี: ขึ้นอยู่กับตัวเลือกในการระบุเส้นตรง a ในเงื่อนไขเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเส้นตรง a ในข้อความปัญหาถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐานของแบบฟอร์ม

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 az

หรือ สมการพาราเมตริกพิมพ์:

x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + ก y · แลมซ = z 1 + a z · แลม

แล้วเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจะมีพิกัด a x, a y และ a z ในกรณีที่เส้นตรง a แทนด้วยจุดสองจุด M 2 (x 2, y 2, z 2) และ M 3 (x 3, y 3, z 3) จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางจะถูกกำหนดเป็น ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2)

คำจำกัดความ 2

อัลกอริทึมในการค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด:

เรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a: ก → = (ก x, ก, ก, ก) ;

เรากำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ α เป็นพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a:

n → = (A , B , C) ที่ไหน A = a x , B = a y , C = a z;

เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และมีเวกเตอร์ปกติ n → = (A, B, C) ในรูปแบบ A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 นี่จะเป็นสมการที่ต้องการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในอวกาศและตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ผลลัพธ์สมการทั่วไปของระนาบคือ: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 ทำให้ได้สมการของระนาบเป็นส่วนๆ หรือสมการปกติของระนาบได้

เรามาแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างโดยใช้อัลกอริธึมที่ได้รับด้านบน

ตัวอย่างที่ 1

ให้จุด M 1 (3, - 4, 5) ซึ่งเครื่องบินผ่านไปและระนาบนี้ตั้งฉากกับเส้นพิกัด O z

สารละลาย

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นพิกัด O z จะเป็นเวกเตอร์พิกัด k ⇀ = (0, 0, 1) ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบจึงมีพิกัด (0, 0, 1) ให้เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 (3, - 4, 5) เวกเตอร์ปกติซึ่งมีพิกัด (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

คำตอบ:ซี – 5 = 0 .

ลองพิจารณาวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้:

ตัวอย่างที่ 2

ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น O z จะได้รับจากสมการระนาบทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ C z + D = 0, C ≠ 0 ให้เรากำหนดค่าของ C และ D: ค่าที่เครื่องบินผ่านจุดที่กำหนด ลองแทนพิกัดของจุดนี้ลงในสมการ C z + D = 0 เราจะได้: C · 5 + D = 0 เหล่านั้น. ตัวเลข C และ D มีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ - D C = 5 เมื่อ C = 1 เราจะได้ D = - 5

ลองแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการ C z + D = 0 และรับสมการที่ต้องการของระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นตรง O z และผ่านจุด M 1 (3, - 4, 5)

มันจะมีลักษณะดังนี้: z – 5 = 0

คำตอบ:ซี – 5 = 0 .

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดและตั้งฉากกับเส้นตรง x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

สารละลาย

จากเงื่อนไขของปัญหา อาจแย้งได้ว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่กำหนดสามารถใช้เป็นเวกเตอร์ปกติ n → ของระนาบที่กำหนดได้ ดังนั้น: n → = (- 3 , - 7 , 2) . ให้เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุด O (0, 0, 0) และมีเวกเตอร์ปกติ n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 ปี + 2 z = 0

เราได้รับสมการที่ต้องการของระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำตอบ:- 3 x - 7 ปี + 2 z = 0

ตัวอย่างที่ 4

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ไว้ พื้นที่สามมิติประกอบด้วยสองจุด A (2, - 1, - 2) และ B (3, - 2, 4) ระนาบ α ผ่านจุด A ซึ่งตั้งฉากกับเส้น A B จำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับระนาบ α ในส่วนต่างๆ

สารละลาย

ระนาบ α ตั้งฉากกับเส้น A B จากนั้นเวกเตอร์ A B → จะเป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ α พิกัดของเวกเตอร์นี้ถูกกำหนดให้เป็นความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุด B (3, - 2, 4) และ A (2, - 1, - 2):

AB → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ AB → = (1 , - 1 , 6)

สมการทั่วไปเครื่องบินจะเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

ตอนนี้เรามาเขียนสมการที่ต้องการของระนาบเป็นส่วนๆ:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

คำตอบ:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

ควรสังเกตว่ามีปัญหาที่ต้องเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดและตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดสองอัน โดยทั่วไป วิธีแก้ปัญหานี้คือการสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด เนื่องจาก ระนาบที่ตัดกันสองอันกำหนดเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 5

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z โดยมีจุด M 1 (2, 0, - 5) สมการของระนาบสองระนาบ 3 x + 2 y + 1 = 0 และ x + 2 z – 1 = 0 ซึ่งตัดกันตามเส้นตรง a ก็จะได้รับเช่นกัน จำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง a

สารละลาย

ลองกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a กัน มันตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ปกติ n 1 → (3, 2, 0) ของระนาบ n → (1, 0, 2) และเวกเตอร์ปกติ 3 x + 2 y + 1 = 0 ของ x + 2 z - 1 = 0 ระนาบ

จากนั้น ในฐานะเวกเตอร์กำกับ α → เส้น a เราจะหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ n 1 → และ n 2 →:

ก → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 ฉัน → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

ดังนั้น เวกเตอร์ n → = (4, - 6, - 2) จะเป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ตั้งฉากกับเส้น a ให้เราเขียนสมการที่ต้องการของเครื่องบิน:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

คำตอบ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เพื่อให้ได้สมการทั่วไปของระนาบ ให้เราวิเคราะห์ระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด

ให้มีแกนพิกัดสามแกนที่เรารู้จักในอวกาศแล้ว - วัว, เฮ้ยและ ออนซ์- จับแผ่นกระดาษให้เรียบ เครื่องบินจะเป็นแผ่นงานและต่อเนื่องไปทุกทิศทาง

อนุญาต ปเครื่องบินตามอำเภอใจในอวกาศ เวกเตอร์ทุกตัวที่ตั้งฉากกับมันเรียกว่า เวกเตอร์ปกติ สู่เครื่องบินลำนี้ โดยธรรมชาติแล้ว เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์

หากทราบจุดใดจุดหนึ่งบนเครื่องบิน ปและเวกเตอร์ปกติของมัน จากนั้นด้วยเงื่อนไขทั้งสองนี้ ระนาบในอวกาศจึงถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์(ผ่านจุดที่กำหนดคุณสามารถวาดระนาบเดี่ยวตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดได้) สมการทั่วไปของระนาบจะเป็น:

ดังนั้นเงื่อนไขที่กำหนดสมการของระนาบคือ เพื่อให้ได้ตัวเอง สมการระนาบโดยมีแบบฟอร์มข้างต้นให้ขึ้นเครื่องบิน ปโดยพลการ จุด ม ด้วยพิกัดที่แปรผัน x, ย, z- จุดนี้เป็นของเครื่องบินก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์(รูปที่ 1) สำหรับสิ่งนี้ ตามเงื่อนไขของความตั้งฉากของเวกเตอร์ มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์ นั่นคือ

เวกเตอร์ระบุตามเงื่อนไข เราค้นหาพิกัดของเวกเตอร์โดยใช้สูตร :

.

ทีนี้ โดยใช้ผลคูณสเกลาร์ของสูตรเวกเตอร์ เราแสดงผลคูณสเกลาร์ในรูปแบบพิกัด:

ตั้งแต่จุด ม(x; ย; z)ถูกเลือกโดยพลการบนเครื่องบิน จากนั้นสมการสุดท้ายจะเป็นไปตามพิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนเครื่องบิน ป- สำหรับจุดหนึ่ง เอ็นไม่ได้นอนบนเครื่องบินที่กำหนดเช่น ความเท่าเทียมกัน (1) ถูกละเมิด

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดและตั้งฉากกับเวกเตอร์

สารละลาย. ลองใช้สูตร (1) แล้วดูอีกครั้ง:

ในสูตรนี้มีตัวเลข ก , บีและ คพิกัดเวกเตอร์และตัวเลข x0 , ย0 และ z0 - พิกัดของจุด

การคำนวณนั้นง่ายมาก: เราแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ลงในสูตรแล้วรับ

เราคูณทุกอย่างที่ต้องคูณแล้วบวกแค่ตัวเลข (ซึ่งไม่มีตัวอักษร) ผลลัพธ์:

.

สมการที่ต้องการของระนาบในตัวอย่างนี้กลายเป็นสมการทั่วไปของระดับแรกเทียบกับพิกัดตัวแปร x, y, zจุดใดก็ได้ของเครื่องบิน

ดังนั้นสมการของแบบฟอร์ม

เรียกว่า สมการระนาบทั่วไป .

ตัวอย่างที่ 2สร้างระนาบที่กำหนดโดยสมการในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม .

สารละลาย. ในการสร้างเครื่องบิน จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่จะทราบจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เช่น จุดตัดกันของเครื่องบินที่มีแกนพิกัด

จะหาจุดเหล่านี้ได้อย่างไร? การหาจุดตัดกับแกน ออนซ์คุณต้องแทนที่ศูนย์สำหรับ X และ Y ในสมการที่ให้ไว้ในคำสั่งปัญหา: x = ย= 0 . ดังนั้นเราจึงได้ z= 6. ดังนั้นระนาบที่กำหนดจะตัดแกน ออนซ์ตรงจุด ก(0; 0; 6) .

ในทำนองเดียวกัน เราจะหาจุดตัดของระนาบกับแกนได้ เฮ้ย- ที่ x = z= 0 เราได้ ย= −3 นั่นคือจุด บี(0; −3; 0) .

และสุดท้าย เราก็พบจุดตัดของระนาบกับแกน วัว- ที่ ย = z= 0 เราได้ x= 2 นั่นคือจุด ค(2; 0; 0) . จากสามคะแนนที่ได้รับในการแก้ปัญหาของเรา ก(0; 0; 6) , บี(0; −3; 0) และ ค(2; 0; 0) สร้างระนาบที่กำหนด

ตอนนี้เรามาพิจารณากัน กรณีพิเศษของสมการระนาบทั่วไป- กรณีเหล่านี้เป็นกรณีที่สัมประสิทธิ์สมการ (2) กลายเป็นศูนย์

1. เมื่อไหร่ ด= 0 สมการ กำหนดระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดเนื่องจากพิกัดของจุด 0 (0; 0; 0) เป็นไปตามสมการนี้

2. เมื่อไหร่ ก= 0 สมการ กำหนดระนาบขนานกับแกน วัวเนื่องจากเวกเตอร์ปกติของระนาบนี้ตั้งฉากกับแกน วัว(การฉายภาพลงบนแกน วัวเท่ากับศูนย์) ในทำนองเดียวกันเมื่อ บี= 0 เครื่องบิน ขนานกับแกน เฮ้ยและเมื่อใด ค= 0 เครื่องบิน ขนานกับแกน ออนซ์.

3. เมื่อไหร่ ก=ง=สมการ 0 กำหนดระนาบที่ผ่านแกน วัวเนื่องจากมันขนานกับแกน วัว (ก=ด= 0) ในทำนองเดียวกันเครื่องบินก็วิ่งผ่านแกน เฮ้ยและระนาบผ่านแกน ออนซ์.

4. เมื่อไหร่ ก=ข=สมการ 0 กำหนดระนาบขนาน ประสานงานเครื่องบิน xOyเนื่องจากมันขนานกับแกน วัว (ก= 0) และ เฮ้ย (บี= 0) ในทำนองเดียวกัน เครื่องบินจะขนานกับเครื่องบิน คุณออซและเครื่องบินก็คือเครื่องบิน xออซ.

5. เมื่อไหร่ ก=ข=ง= 0 สมการ (หรือ ซี = 0) กำหนดระนาบพิกัด xOyเพราะมันขนานกับระนาบ xOy (ก=ข= 0) และผ่านจุดกำเนิด ( ด= 0) ในทำนองเดียวกันสมการ ย= 0 ในช่องว่างกำหนดระนาบพิกัด xออซและสมการ x= 0 - ระนาบพิกัด คุณออซ.

ตัวอย่างที่ 3สร้างสมการของระนาบ ป, ผ่านแกน เฮ้ยและช่วงเวลา

สารละลาย. เครื่องบินจึงวิ่งผ่านแกน เฮ้ย- ดังนั้นในสมการของเธอ ย= 0 และสมการนี้มีรูปแบบ เพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ กและ คเรามาใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าจุดนั้นเป็นของเครื่องบินกันดีกว่า ป .

ดังนั้นในบรรดาพิกัดของมันจึงมีพิกัดที่สามารถแทนที่เป็นสมการระนาบที่เราได้รับมาแล้ว () ลองดูพิกัดของจุดอีกครั้ง:

ม0 (2; −4; 3) .

ในหมู่พวกเขา x = 2 , z= 3 . แทนพวกมันเข้าไปในสมการ มุมมองทั่วไปและเราได้สมการสำหรับกรณีเฉพาะของเรา:

2ก + 3ค = 0 .

ออก 2 กทางด้านซ้ายของสมการ ให้เลื่อน 3 ควี ด้านขวาและเราได้รับ

ก = −1,5ค .

แทนค่าที่พบ กลงในสมการ เราได้

หรือ .

นี่คือสมการที่ต้องการในเงื่อนไขตัวอย่าง

แก้โจทย์สมการระนาบด้วยตัวเอง แล้วค่อยดูผลเฉลย

ตัวอย่างที่ 4กำหนดระนาบ (หรือระนาบ หากมีมากกว่าหนึ่ง) ที่เกี่ยวข้องกับแกนพิกัดหรือระนาบพิกัด หากระนาบถูกกำหนดโดยสมการ

แนวทางแก้ไขปัญหาทั่วไปที่เกิดขึ้นใน การทดสอบ- ในคู่มือ “ปัญหาระนาบ: ความขนาน ความตั้งฉาก จุดตัดของระนาบสามระนาบที่จุดเดียว”

สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุด

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการสร้างเครื่องบิน นอกเหนือจากจุดหนึ่งและเวกเตอร์ปกติแล้ว ยังมีจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันอีกด้วย

ให้จุดที่แตกต่างกันสามจุด และ โดยไม่อยู่ในบรรทัดเดียวกัน เนื่องจากจุดสามจุดที่ระบุไม่ได้อยู่บนเส้นเดียวกัน เวกเตอร์จึงไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน ดังนั้นจุดใดๆ ในระนาบจึงอยู่ในระนาบเดียวกันกับจุดเหล่านั้น และถ้าและเพียงเวกเตอร์เท่านั้น และ coplanar เช่น แล้วและเมื่อเท่านั้น ผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับศูนย์

การใช้นิพจน์ ผลิตภัณฑ์ผสมในพิกัดเราจะได้สมการของระนาบ

(3)

หลังจากเปิดเผยดีเทอร์มิแนนต์แล้ว สมการนี้จะกลายเป็นสมการในรูปแบบ (2) เช่น สมการทั่วไปของระนาบ

ตัวอย่างที่ 5เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด 3 จุดซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน:

และกำหนดกรณีพิเศษของสมการทั่วไปของเส้นตรง ถ้ามี

สารละลาย. ตามสูตร (3) เรามี:

สมการระนาบปกติ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

สมการปกติของระนาบคือสมการที่เขียนอยู่ในรูปแบบ

สมการของเครื่องบิน จะเขียนสมการของระนาบได้อย่างไร?
การจัดเครื่องบินร่วมกัน งาน

เรขาคณิตเชิงพื้นที่ไม่ได้ซับซ้อนกว่าเรขาคณิต "แบน" มากนัก และการบินในอวกาศของเราเริ่มต้นด้วยบทความนี้ หากต้องการเชี่ยวชาญหัวข้อนี้ คุณต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดี เวกเตอร์นอกจากนี้ขอแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับเรขาคณิตของเครื่องบิน - จะมีความคล้ายคลึงกันมากมายการเปรียบเทียบหลายอย่างดังนั้นข้อมูลจะถูกย่อยได้ดีขึ้นมาก ในชุดบทเรียนของฉัน โลก 2 มิติเริ่มต้นด้วยบทความ สมการของเส้นตรงบนระนาบ- แต่ตอนนี้แบทแมนออกจากจอทีวีแล้วและกำลังออกเดินทางจาก Baikonur Cosmodrome

เริ่มจากภาพวาดและสัญลักษณ์กันก่อน ในทางแผนผังเครื่องบินสามารถวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งสร้างความประทับใจให้กับพื้นที่:

เครื่องบินนั้นไม่มีที่สิ้นสุด แต่เรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงชิ้นส่วนของมันเท่านั้น ในทางปฏิบัตินอกเหนือจากสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว ยังวาดรูปวงรีหรือแม้แต่เมฆด้วย ฉันไม่สนใจ เหตุผลทางเทคนิคจะสะดวกกว่าในการพรรณนาเครื่องบินในลักษณะนี้และในตำแหน่งนี้อย่างแน่นอน เครื่องบินจริงที่เราจะพิจารณา ตัวอย่างการปฏิบัติสามารถวางตำแหน่งในลักษณะใดก็ได้ - วาดภาพในมือของคุณแล้วหมุนในอวกาศโดยให้เครื่องบินมีความโน้มเอียงทุกมุม

การกำหนด: เครื่องบินมักจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีกตัวเล็ก ๆ เพื่อไม่ให้เกิดความสับสน เส้นตรงบนเครื่องบินหรือด้วย เส้นตรงในอวกาศ- ฉันคุ้นเคยกับการใช้ตัวอักษร ในรูปวาดเป็นตัวอักษร "ซิกมา" ไม่ใช่รูเลย แม้ว่าเครื่องบินที่มีโพรงนั้นค่อนข้างตลกอย่างแน่นอน

ในบางกรณี การใช้สัญลักษณ์เดียวกันเพื่อกำหนดระนาบก็สะดวก ตัวอักษรกรีกพร้อมตัวห้อย เช่น .

เห็นได้ชัดว่าระนาบถูกกำหนดอย่างมีเอกลักษณ์ด้วยจุดที่แตกต่างกันสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นเดียวกัน ดังนั้นการกำหนดตัวอักษรสามตัวของเครื่องบินจึงค่อนข้างได้รับความนิยม - ตามจุดที่เป็นของพวกเขา ฯลฯ บ่อยครั้งตัวอักษรจะอยู่ในวงเล็บ: เพื่อไม่ให้เครื่องบินสับสนกับรูปทรงเรขาคณิตอื่น

สำหรับผู้อ่านที่มีประสบการณ์ฉันจะให้ เมนูการเข้าถึงด่วน:

• จะสร้างสมการของระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์สองตัวได้อย่างไร?
• จะสร้างสมการของระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

และเราจะไม่อิดโรยในการรอคอยอันยาวนาน:

สมการระนาบทั่วไป

สมการทั่วไปของระนาบมีรูปแบบ โดยที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน

การคำนวณทางทฤษฎีและปัญหาเชิงปฏิบัติจำนวนหนึ่งนั้นใช้ได้ทั้งสำหรับพื้นฐานออร์โธนอร์มอลปกติและสำหรับพื้นฐานสัมพัทธ์ของอวกาศ (หากน้ำมันเป็นน้ำมัน ให้กลับไปที่บทเรียน การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์- เพื่อความง่าย เราจะถือว่าเหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้นในรูปแบบออร์โธนอร์มอลและระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน

ตอนนี้เรามาฝึกกันหน่อย จินตนาการเชิงพื้นที่- ไม่เป็นไรถ้าของคุณแย่ ตอนนี้เราจะพัฒนามันสักหน่อย แม้แต่การเล่นบนประสาทก็ต้องได้รับการฝึกฝน

ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ เมื่อตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์ ระนาบจะตัดแกนพิกัดทั้งสามแกน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเครื่องบินยังคงดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดในทุกทิศทาง และเรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงบางส่วนเท่านั้น

พิจารณาสมการที่ง่ายที่สุดของเครื่องบิน:

จะเข้าใจสมการนี้ได้อย่างไร? ลองคิดดู: "z" อยู่เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "x" และ "y" จะเท่ากับศูนย์ นี่คือสมการของระนาบพิกัด "ดั้งเดิม" แท้จริงแล้วสมการอย่างเป็นทางการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: จากจุดที่คุณเห็นได้ชัดเจนว่าเราไม่สนใจว่าค่า "x" และ "y" จะใช้ค่าใดสิ่งสำคัญคือ "z" จะต้องเท่ากับศูนย์

เช่นเดียวกัน:
– สมการของระนาบพิกัด
– สมการของระนาบพิกัด

เรามาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นอีกหน่อย พิจารณาระนาบ (ที่นี่และต่อไปในย่อหน้า เราถือว่าค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์) ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ: . จะเข้าใจได้อย่างไร? “ X” อยู่เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "y" และ "z" จะเท่ากับจำนวนที่แน่นอน ระนาบนี้ขนานกับระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่น ระนาบขนานกับระนาบและผ่านจุดหนึ่ง

เช่นเดียวกัน:
– สมการของระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด
– สมการของระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

มาเพิ่มสมาชิกกัน: . สามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้: นั่นคือ "zet" สามารถเป็นอะไรก็ได้ มันหมายความว่าอะไร? “X” และ “Y” เชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์ซึ่งวาดเส้นตรงเส้นหนึ่งบนระนาบ (คุณจะพบ สมการของเส้นตรงในระนาบ- เนื่องจาก "z" สามารถเป็นอะไรก็ได้ เส้นตรงนี้จึง "จำลอง" ไว้ที่ระดับความสูงเท่าใดก็ได้ ดังนั้นสมการจึงกำหนดระนาบขนานกับแกนพิกัด

เช่นเดียวกัน:
– สมการของระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด
– สมการของระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด

หากเงื่อนไขอิสระเป็นศูนย์ ระนาบจะผ่านแกนที่เกี่ยวข้องโดยตรง ตัวอย่างเช่น "สัดส่วนโดยตรง" แบบคลาสสิก: วาดเส้นตรงในระนาบแล้วคูณในใจขึ้นและลง (เนื่องจาก "Z" เป็นอะไรก็ได้) สรุป: เครื่องบิน, กำหนดโดยสมการ, ผ่านแกนพิกัด

เราทำการทบทวนเสร็จแล้ว: สมการของระนาบ ผ่านจุดกำเนิด ตรงนี้ชัดเจนว่าประเด็นนี้เป็นไปตามสมการนี้

และสุดท้าย กรณีที่แสดงในภาพวาด: - เครื่องบินเป็นมิตรกับทุกคน แกนประสานงานในขณะที่มันจะ "ตัด" สามเหลี่ยมออกเสมอ ซึ่งสามารถอยู่ในเลขแปดออคแทนต์ใดก็ได้

อสมการเชิงเส้นในอวกาศ

เพื่อให้เข้าใจข้อมูลที่คุณต้องศึกษาให้ดี อสมการเชิงเส้นในระนาบเพราะหลายอย่างจะคล้ายกัน ย่อหน้านี้จะมีลักษณะเป็นภาพรวมโดยย่อพร้อมตัวอย่างหลายตัวอย่าง เนื่องจากในทางปฏิบัติมีเนื้อหาค่อนข้างน้อย

หากสมการกำหนดระนาบ แสดงว่าความไม่เท่าเทียมกัน
ถาม ครึ่งช่องว่าง- ถ้าอสมการไม่เข้มงวด (สองอันสุดท้ายในรายการ) คำตอบของอสมการนั้น นอกเหนือจากฮาล์ฟสเปซแล้ว ยังรวมถึงระนาบด้วย

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาหน่วยเวกเตอร์ปกติของระนาบ .

สารละลาย: เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 มาแสดงกันเถอะ เวกเตอร์ที่กำหนดผ่าน . เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน:

ขั้นแรก เราลบเวกเตอร์ปกติออกจากสมการของระนาบ:

จะหาเวกเตอร์หน่วยได้อย่างไร? คุณต้องหาเวกเตอร์หน่วยก่อน ทั้งหมดหารพิกัดเวกเตอร์ด้วยความยาวเวกเตอร์.

ลองเขียนเวกเตอร์ปกติในรูปแบบใหม่และค้นหาความยาวของมัน:

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น:

คำตอบ:

การยืนยัน: สิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการตรวจสอบ

ผู้อ่านที่ศึกษาย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียนอย่างถี่ถ้วนอาจสังเกตเห็นว่า พิกัดของเวกเตอร์หน่วยคือโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ทุกประการ:

เรามาพักจากปัญหาที่เกิดขึ้นกันเถอะ: เมื่อคุณได้รับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตามใจชอบและตามเงื่อนไขจะต้องค้นหาโคไซน์ทิศทาง (ดูปัญหาสุดท้ายของบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์) แล้วคุณก็หาเวกเตอร์หน่วยที่ตรงกับอันนี้ จริงๆ แล้วมีสองงานในขวดเดียว

ความจำเป็นในการค้นหาเวกเตอร์ปกติของหน่วยเกิดขึ้นในปัญหาบางประการของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

เราได้ทราบวิธีการหาเวกเตอร์ปกติแล้ว ทีนี้มาตอบคำถามตรงกันข้ามกัน:

จะสร้างสมการของระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

โครงสร้างที่แข็งแกร่งของเวกเตอร์ปกติและจุดนี้เป็นที่รู้จักกันดีในกระดานปาเป้า โปรดเหยียดมือไปข้างหน้าและเลือกจุดในอวกาศตามอำเภอใจ เช่น แมวตัวเล็กในตู้ข้าง แน่นอนว่าเมื่อผ่านจุดนี้ไปแล้ว คุณสามารถวาดระนาบเดียวตั้งฉากกับมือของคุณได้

สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์แสดงโดยสูตร: