ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการกับเวกเตอร์อีกสองรายการ: ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์ (ลิงค์ทันทีสำหรับผู้ที่ต้องการมัน)- ไม่เป็นไร บางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจากนั้น ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จำเป็นต้องมีมากขึ้นเรื่อยๆ นี่คือการเสพติดเวกเตอร์ อาจดูเหมือนว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าแห่งเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นี่เป็นสิ่งที่ผิด ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงส่วนนี้ โดยทั่วไปแล้วจะมีไม้เพียงเล็กน้อย ยกเว้นบางทีอาจจะเพียงพอสำหรับพินอคคิโอ ในความเป็นจริงวัสดุนี้เป็นเรื่องธรรมดาและเรียบง่าย - แทบจะไม่ซับซ้อนไปกว่านี้อีกแล้ว ผลิตภัณฑ์ดอทจะมีงานทั่วไปน้อยลงด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเชื่อหรือเชื่ออยู่แล้ว ไม่ใช่การทำผิดพลาดในการคำนวณ ทำซ้ำเหมือนมนต์สะกดแล้วคุณจะมีความสุข =)

หากเวกเตอร์ส่องแสงอยู่ที่ไหนสักแห่งที่อยู่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ก็ไม่สำคัญ ให้เริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเพื่อฟื้นฟูหรือรับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลแบบเลือกสรรได้ ฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่มักพบได้ครบถ้วนที่สุด งานภาคปฏิบัติ

อะไรจะทำให้คุณมีความสุขทันที? เมื่อตอนที่ฉันยังเป็นเด็ก ฉันสามารถโยนลูกบอลสองสามลูกได้ มันได้ผลดี ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องเล่นปาหี่เลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์เชิงพื้นที่เท่านั้นและเวกเตอร์แฟลตที่มีพิกัดสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม นี่คือที่มาของการกระทำเหล่านี้ - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงาน พื้นที่สามมิติ- ง่ายกว่านี้แล้ว!

การดำเนินการนี้เหมือนกับผลคูณสเกลาร์ที่เกี่ยวข้อง เวกเตอร์สองตัว- ปล่อยให้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอักษรที่ไม่เน่าเปื่อย

การกระทำนั้นเอง แสดงโดยดังนี้: . มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันคุ้นเคยกับการแทนผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายกากบาท

และทันที คำถาม: ถ้าเข้า. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และตรงนี้เวกเตอร์สองตัวก็คูณด้วย อะไรคือความแตกต่าง- ความแตกต่างที่ชัดเจนประการแรกคือในผลลัพธ์:

ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:

ผลลัพธ์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คือ VECTOR: นั่นคือเราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรปิด. ที่จริงแล้วนี่คือที่มาของชื่อของการดำเนินการ ในด้านต่างๆ วรรณกรรมการศึกษาการกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้ตัวอักษร

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

อันดับแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น

คำนิยาม: สินค้าเวกเตอร์ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาวซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และได้รับการกำกับเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:

เรามาแจกแจงคำจำกัดความกันดีกว่า มีสิ่งที่น่าสนใจมากมายที่นี่!

ดังนั้นจึงสามารถเน้นประเด็นสำคัญต่อไปนี้ได้:

1) เวกเตอร์ดั้งเดิม ระบุด้วยลูกศรสีแดง ตามคำจำกัดความ ไม่ใช่แนวตรง- จะเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลังเล็กน้อย

2) ถ่ายเวกเตอร์ ตามลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: – "a" คูณด้วย "เป็น"และไม่ใช่ "เป็น" กับ "a" ผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งระบุด้วยสีน้ำเงิน หากคูณเวกเตอร์ในลำดับย้อนกลับ เราจะได้เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม (สีราสเบอร์รี่) นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นจริง .

3) ตอนนี้เรามาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันดีกว่า นี่เป็นจุดสำคัญมาก! ความยาวของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเวกเตอร์สีแดงเข้ม) จึงเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีเทาดำ

บันทึก : การวาดภาพเป็นแผนผังและโดยธรรมชาติแล้วความยาวเล็กน้อยของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เรามาจำกันอย่างหนึ่ง สูตรเรขาคณิต: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านั้น- ดังนั้น จากสูตรข้างต้น สูตรคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:

ฉันขอย้ำว่าสูตรนี้เกี่ยวกับ LENGTH ของเวกเตอร์ และไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์นั้นเอง ความหมายเชิงปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

มาอันที่สองกันดีกว่า สูตรสำคัญ- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน ดังนั้นจึงสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) ได้โดยใช้สูตร:

4) ข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่แพ้กันก็คือ เวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นก็คือ - แน่นอนว่า เวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรราสเบอร์รี่) ก็มีตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน

5) เวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางเช่นนั้น พื้นฐานมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ การเปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันพูดรายละเอียดเพียงพอเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายบนนิ้วของคุณ มือขวา - ประสานจิต นิ้วชี้ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางและนิ้วก้อยกดมันลงบนฝ่ามือของคุณ ส่งผลให้ นิ้วหัวแม่มือ– ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหาขึ้น นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (นี่คืออันนี้ในรูป) ตอนนี้เปลี่ยนเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางสถานที่ ผลก็คือ นิ้วหัวแม่มือจะหมุน และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลงมาแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้องเช่นกัน คุณอาจมีคำถาม: พื้นฐานใดที่ออกจากการปฐมนิเทศ? “กำหนด” ให้เป็นนิ้วเดียวกัน มือซ้ายเวกเตอร์ และรับพื้นฐานด้านซ้ายและการวางแนวด้านซ้ายของปริภูมิ (ในกรณีนี้นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ด้านล่าง)- หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง ฐานเหล่านี้จะ "บิด" หรือปรับทิศทางพื้นที่ไปในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถือเป็นสิ่งที่ลึกซึ้งหรือเป็นนามธรรม - ตัวอย่างเช่น การวางแนวของอวกาศถูกเปลี่ยนโดยกระจกธรรมดาที่สุด และหากคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกจากกระจกมอง" ในกรณีทั่วไป จะไม่สามารถรวมเข้ากับ "ต้นฉบับ" ได้ ยังไงก็ตาม ชูสามนิ้วขึ้นไปที่กระจกแล้ววิเคราะห์การสะท้อน ;-)

...ตอนนี้คุณรู้ดีแค่ไหนแล้ว ไปทางขวาและซ้ายฐานเพราะคำพูดของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการวางแนวนั้นน่ากลัว =)

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์

มีการพูดคุยถึงคำจำกัดความโดยละเอียดแล้ว ยังคงต้องค้นหาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ก็สามารถวางพวกมันบนเส้นตรงเส้นเดียวได้ และสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราก็จะ "พับ" ให้เป็นเส้นตรงเส้นเดียวด้วย ดังที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามสูตรเดียวกัน - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์

ดังนั้น ถ้า แล้ว - พูดอย่างเคร่งครัด ผลคูณเวกเตอร์นั้นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติมักถูกละเลยและเขียนไว้ว่ามันเท่ากับศูนย์

กรณีพิเศษคือผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเอง:

เมื่อใช้ผลคูณไขว้ คุณสามารถตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สามมิติได้ และ งานนี้เราจะวิเคราะห์ด้วย

เพื่อแก้ปัญหา ตัวอย่างการปฏิบัติอาจจำเป็น ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของไซน์จากมัน

มาจุดไฟกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 1

ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ถ้า

b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ถ้า

สารละลาย: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันจงใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในส่วนคำสั่งเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!

ก) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลคูณข้าม) ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

เนื่องจากคำถามเกี่ยวกับความยาว เราจึงระบุมิติในหน่วยคำตอบ

b) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นตัวเลขเท่ากับความยาวของผลคูณเวกเตอร์:

คำตอบ:

โปรดทราบว่าคำตอบไม่ได้พูดถึงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เลย พื้นที่ของรูปดังนั้น มิติข้อมูลจึงเป็นหน่วยสี่เหลี่ยม

เรามักจะมองหาสิ่งที่เราต้องค้นหาตามเงื่อนไข และจากสิ่งนี้ เราจึงกำหนดสูตรขึ้นมา ชัดเจนคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นวรรณกรรมตามตัวอักษร แต่มีนักวรรณกรรมมากมายในหมู่ครูและงานด้วย โอกาสที่ดีจะกลับมาแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่การพูดเล่นที่ลึกซึ้งนัก แต่หากคำตอบไม่ถูกต้อง เราก็จะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจ สิ่งง่ายๆและ/หรือไม่เข้าใจสาระสำคัญของงาน ประเด็นนี้จะต้องถูกควบคุมเสมอเมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงและในวิชาอื่นๆ ด้วย

ตัวอักษรตัวใหญ่ “en” หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะแนบมากับโซลูชันเพิ่มเติมได้ แต่เพื่อที่จะย่อรายการให้สั้นลง ฉันไม่ได้ทำเช่นนี้ ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลคูณเวกเตอร์มีระบุไว้ในความคิดเห็นต่อคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้ว รูปสามเหลี่ยมสามารถทรมานคุณได้

เพื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ เราจะต้อง:

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว แต่ฉันจะรวมคุณสมบัติเหล่านี้ไว้ในรายการนี้

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขที่กำหนดเอง คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ในแหล่งข้อมูลอื่นๆ รายการนี้มักจะไม่ได้เน้นในคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในแง่การปฏิบัติ ดังนั้นปล่อยให้มันเป็นไป

2) – ทรัพย์สินดังกล่าวยังกล่าวถึงข้างต้นบางครั้งเรียกว่า การต่อต้านคอมมิวทิตี- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ

3) – เชื่อมโยงหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถเคลื่อนย้ายออกไปนอกผลคูณเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริงๆ แล้วพวกเขาควรทำอะไรที่นั่น?

4) – การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหาในการเปิดวงเล็บเช่นกัน

เพื่อสาธิต ลองดูตัวอย่างสั้นๆ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาว่า

สารละลาย:เงื่อนไขนี้จำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาวาดภาพจิ๋วของเรากันเถอะ:

(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เราใช้ค่าคงที่อยู่นอกขอบเขตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

(2) เราใช้ค่าคงที่ภายนอกโมดูล และโมดูล "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวต้องไม่เป็นลบ

(3) ส่วนที่เหลือชัดเจน

คำตอบ:

ถึงเวลาเพิ่มฟืนลงในกองไฟแล้ว:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า

สารละลาย: หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร - สิ่งที่จับได้ก็คือเวกเตอร์ "tse" และ "de" นั้นถูกนำเสนอเป็นผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมที่นี่เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างหมายเลข 3 และ 4 ของบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์- เพื่อความชัดเจน เราจะแบ่งวิธีแก้ปัญหาออกเป็นสามขั้นตอน:

1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านผลคูณเวกเตอร์ อันที่จริง ลองเขียนเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์กัน- ยังไม่มีคำว่ายาว!

(1) แทนนิพจน์ของเวกเตอร์

(2) ใช้กฎการกระจาย เราจะเปิดวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม

(3) การใช้กฎเชื่อมโยง เราย้ายค่าคงที่ทั้งหมดไปไกลกว่าผลคูณเวกเตอร์ ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อยก็สามารถดำเนินการขั้นตอนที่ 2 และ 3 พร้อมกันได้

(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่ดี ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติของการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

(5) เรานำเสนอข้อกำหนดที่คล้ายกัน

เป็นผลให้เวกเตอร์กลายเป็นเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นจะต้องทำให้สำเร็จ:

2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การดำเนินการนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:

3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:

ขั้นที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาสามารถเขียนเป็นบรรทัดเดียวได้

คำตอบ:

ปัญหาที่พิจารณาค่อนข้างบ่อยใน การทดสอบนี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน มาดูกันว่าคุณใส่ใจแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในพิกัด

ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:

สูตรนั้นง่ายมาก: ในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มิแนนต์เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดที่สองและสามเรา "ใส่" พิกัดของเวกเตอร์แล้วใส่ ตามลำดับที่เข้มงวด– ขั้นแรกพิกัดของเวกเตอร์ “ve” ตามด้วยพิกัดของเวกเตอร์ “double-ve” หากจำเป็นต้องคูณเวกเตอร์ในลำดับอื่น ควรสลับแถว:

ตัวอย่างที่ 10

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้เป็นเส้นตรงหรือไม่:
ก)
ข)

สารละลาย: การตรวจสอบจะขึ้นอยู่กับข้อความใดข้อความหนึ่งในบทเรียนนี้: ถ้าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ผลคูณของเวกเตอร์จะเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .

ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

คำตอบ: ก) ไม่ใช่เส้นตรง b)

นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยในการใช้ผลคูณของเวกเตอร์ผสม ที่จริงแล้วทุกอย่างจะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิตและสูตรการทำงานสองสามสูตร

ชิ้นผสมเวกเตอร์คือ ผลิตภัณฑ์ของสามเวกเตอร์:

ดังนั้นพวกเขาจึงเข้าแถวเหมือนรถไฟและแทบรอไม่ไหวที่จะถูกระบุตัวตน

ประการแรก อีกครั้ง คำจำกัดความและรูปภาพ:

คำนิยาม: งานผสม ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้, เรียกว่า ปริมาตรที่ขนานกันสร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย “+” หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย “–” หากเหลือฐาน

มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นถูกวาดด้วยเส้นประ:

มาดำดิ่งสู่คำจำกัดความ:

2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือการจัดเรียงเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์ใหม่ตามที่คุณอาจเดาได้จะไม่เกิดขึ้นโดยไม่มีผลกระทบ

3) ก่อนที่จะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะทราบข้อเท็จจริงที่ชัดเจน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER- ในวรรณกรรมด้านการศึกษาการออกแบบอาจแตกต่างกันเล็กน้อย ฉันคุ้นเคยกับการแสดงถึงผลิตภัณฑ์แบบผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"

ตามคำนิยาม ผลคูณที่ผสมคือปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่กำหนด

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง

4) ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่อีกต่อไป ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบลงในโวลุ่มได้ ด้วยคำพูดง่ายๆผลิตภัณฑ์ผสมอาจเป็นค่าลบ:

โดยตรงจากคำจำกัดความตามสูตรในการคำนวณปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และมุมของมุมที่อยู่ระหว่างพวกมัน

จะดีกว่าเมื่อเงื่อนไขให้ความยาวของเวกเตอร์เดียวกันนี้ อย่างไรก็ตามมันก็เกิดขึ้นเช่นกันว่าสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์สามารถใช้ได้หลังจากการคำนวณโดยใช้พิกัดเท่านั้น
หากคุณโชคดีและเงื่อนไขกำหนดความยาวของเวกเตอร์ คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตรซึ่งเราได้พูดคุยไปแล้วในรายละเอียดในบทความ พื้นที่จะเท่ากับผลคูณของโมดูลและไซน์ของมุมระหว่างโมดูลเหล่านี้:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์

งาน:สี่เหลี่ยมด้านขนานถูกสร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ ค้นหาพื้นที่ถ้า และมุมระหว่างพวกมันคือ 30°
ลองแสดงเวกเตอร์ผ่านค่าของมัน:

บางทีคุณอาจมีคำถาม - ศูนย์มาจากไหน? เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การจดจำว่าเรากำลังทำงานกับเวกเตอร์และเพื่อพวกมัน - โปรดทราบว่าหากผลลัพธ์เป็น มันจะถูกแปลงเป็น ตอนนี้เราทำการคำนวณขั้นสุดท้าย:

กลับไปสู่ปัญหาเมื่อไม่ได้ระบุความยาวของเวกเตอร์ในเงื่อนไข ถ้าสี่เหลี่ยมด้านขนานของคุณอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน คุณจะต้องทำดังต่อไปนี้

การคำนวณความยาวของด้านข้างของรูปที่กำหนดโดยพิกัด

ขั้นแรก เราจะค้นหาพิกัดของเวกเตอร์และลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นจากพิกัดสิ้นสุด สมมติว่าพิกัดของเวกเตอร์ a คือ (x1;y1;z1) และเวกเตอร์ b คือ (x3;y3;z3)
ตอนนี้เราพบความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัวแล้ว ในการทำเช่นนี้ แต่ละพิกัดจะต้องถูกยกกำลังสอง จากนั้นจะต้องเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้รับและแยกรากออกจากตัวเลขสุดท้าย ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์ของเรา จะมีการคำนวณดังต่อไปนี้:


ตอนนี้เราต้องหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ของเรา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ พิกัดที่เกี่ยวข้องจะถูกคูณและเพิ่ม

ด้วยความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เราสามารถหาโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างพวกมันได้ .
ตอนนี้เราสามารถหาไซน์ของมุมเดียวกันได้:
ตอนนี้เรามีปริมาณที่จำเป็นทั้งหมดแล้วและเราสามารถค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรที่ทราบอยู่แล้ว

สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นบน เวกเตอร์คำนวณเป็นผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ หากทราบเพียงพิกัดของเวกเตอร์ ก็ต้องใช้วิธีพิกัดในการคำนวณ รวมถึงการกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์ด้วย

คุณจะต้อง

• - แนวคิดของเวกเตอร์
• - คุณสมบัติของเวกเตอร์
• - พิกัดคาร์ทีเซียน;
• - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คำแนะนำ

• หากทราบความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น เพื่อที่จะหาพื้นที่ สี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นบน เวกเตอร์ให้ค้นหาผลคูณของโมดูล (ความยาวเวกเตอร์) ด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน S=│a│ │ b│ sin(α)
• หากให้เวกเตอร์ไว้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เพื่อค้นหาพื้นที่ สี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นบนนั้น ให้ทำดังต่อไปนี้:
• ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์หากไม่ได้ระบุทันที โดยลบพิกัดจากจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดที่สอดคล้องกันของปลายเวกเตอร์ เช่นถ้าพิกัด จุดเริ่มต้นเวกเตอร์ (1;-3;2) และอันสุดท้าย (2;-4;-5) จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์จะเป็น (2-1;-4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7 ) ปล่อยให้พิกัดของเวกเตอร์ a(x1;y1;z1), เวกเตอร์ b(x2;y2;z2)
• ค้นหาความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว ยกกำลังสองพิกัดเวกเตอร์แต่ละพิกัดแล้วหาผลรวม x1²+y1²+z1² หารากที่สองของผลลัพธ์ สำหรับเวกเตอร์ตัวที่สอง ให้ทำขั้นตอนเดียวกัน ดังนั้นเราจึงได้ │a│และ│b│
• ค้นหาผลคูณดอทของเวกเตอร์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณพิกัดที่สอดคล้องกันและเพิ่มผลคูณ │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2
• หาโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน โดยที่ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ได้จากขั้นตอนที่ 3 หารด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่คำนวณในขั้นตอนที่ 2 (Cos(α)= │a b│/(│a │ │ ข│))
• ไซน์ของมุมที่ได้จะเท่ากับรากที่สองของผลต่างระหว่างเลข 1 กับกำลังสองของโคไซน์ของมุมเดียวกัน ซึ่งคำนวณในขั้นตอนที่ 4 (1-Cos²(α))
• คำนวณพื้นที่ สี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นบน เวกเตอร์เมื่อพบผลคูณของความยาวแล้วคำนวณในขั้นตอนที่ 2 แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยจำนวนที่ได้รับหลังจากการคำนวณในขั้นตอนที่ 5
• ในกรณีที่ระบุพิกัดของเวกเตอร์บนระนาบ พิกัด z จะถูกละทิ้งไปในระหว่างการคำนวณ การคำนวณนี้เป็นการแสดงออกเชิงตัวเลขของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว