พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วกับด้าน a วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม (สูตร)

มีหลายตัวเลือกในการค้นหาพื้นที่ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับประเภทของรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้ใช้สูตร S= a * b / 2 โดยที่ a และ b เป็นขาของมัน หากต้องการทราบพื้นที่ สามเหลี่ยมหน้าจั่วจากนั้นจึงจำเป็นต้องหารผลคูณของฐานและส่วนสูงเป็นสองเท่า นั่นคือ S= b*h / 2 โดยที่ b คือฐานของสามเหลี่ยม และ h คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม

ต่อไปคุณอาจต้องคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สูตรต่อไปนี้ช่วยได้: S = a* a / 2 โดยที่ขา "a" และ "a" จะต้องมีค่าเท่ากัน

นอกจากนี้เรามักจะต้องคำนวณพื้นที่ด้วย สามเหลี่ยมด้านเท่า. หาได้จากสูตร: S= a * h/ 2 โดยที่ a คือด้านของรูปสามเหลี่ยม และ h คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม หรือตามสูตรนี้: S= √3/ 4 *a^2 โดยที่ a คือด้าน

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คุณจำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่คำชี้แจงปัญหาไม่ได้ระบุขนาดของขาทั้งสองข้างพร้อมกันหรือไม่? จากนั้นเราจะใช้สูตรนี้ (S= a * b / 2) ไม่ได้โดยตรง

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้หลายประการ:

• หากคุณไม่ทราบความยาวของขาข้างหนึ่ง แต่บอกขนาดของด้านตรงข้ามมุมฉากและขาที่สองแล้ว เราจะหันไปหาพีทาโกรัสผู้ยิ่งใหญ่ และใช้ทฤษฎีบทของเขา (a^2+b^2=c^2) เราคำนวณความยาวของขาที่ไม่รู้จักแล้วใช้คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม
• หากระบุความยาวของขาข้างหนึ่งและความชันของมุมตรงข้าม เราจะหาความยาวของขาที่สองโดยใช้สูตร - a=b*ctg(C)
• ให้ไว้: ความยาวของขาข้างหนึ่งและความชันของมุมที่อยู่ติดกัน: เพื่อหาความยาวของขาที่สอง เราใช้สูตร - a=b*tg(C)
• และสุดท้าย เมื่อกำหนด: มุมและความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก: เราคำนวณความยาวของขาทั้งสองข้างโดยใช้สูตรต่อไปนี้ - b=c*sin(C) และ a=c*cos(C)

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วสามารถหาได้ง่ายและรวดเร็วโดยใช้สูตร S= b*h / 2 แต่หากไม่มีตัวบ่งชี้ตัวใดตัวหนึ่ง งานก็จะซับซ้อนมากขึ้น ท้ายที่สุดจำเป็นต้องดำเนินการเพิ่มเติม

ตัวเลือกงานที่เป็นไปได้:

• ให้ไว้: ความยาวของด้านใดด้านหนึ่งและความยาวของฐาน เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาความสูงซึ่งก็คือความยาวของขาที่สอง โดยมีเงื่อนไขว่าความยาวของฐานหารด้วยสองคือขา และด้านที่ทราบในตอนแรกคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ให้ไว้: ฐานและมุมระหว่างด้านข้างกับฐาน เราคำนวณความสูงโดยใช้สูตร h=c*ctg(B)/2 (อย่าลืมหารด้าน “c” ด้วยสอง)
• ให้ไว้: ความสูงและมุมที่เกิดจากฐานและด้านข้าง: เราใช้สูตร c=h*tg(B)*2 เพื่อค้นหาความสูง และคูณผลลัพธ์ด้วย 2 ต่อไปเราจะคำนวณพื้นที่
• ทราบ: ความยาวของด้านและมุมที่เกิดขึ้นระหว่างมันกับความสูง วิธีแก้: เราใช้สูตร - c=a*sin(C)*2 และ h=a*cos(C) เพื่อหาฐานและความสูง จากนั้นจึงคำนวณพื้นที่

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

หากทราบข้อมูลทั้งหมดแล้วใช้สูตรมาตรฐาน S= a* a / 2 เราจะคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แต่หากไม่ได้ระบุตัวบ่งชี้บางตัวในปัญหาก็จะมีการดำเนินการเพิ่มเติม

ตัวอย่างเช่น เราไม่ทราบความยาวของด้านทั้งสองข้าง (เราจำได้ว่าสามเหลี่ยมหน้าจั่วนั้นเท่ากัน) แต่ให้ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากไว้ ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อค้นหาด้าน "a" และ "a" ที่เหมือนกัน สูตรพีทาโกรัส: a^2+b^2=c^2 ในกรณีของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว มันจะแปลงเป็น: 2a^2 = c^2 ปรากฎว่าในการหาขา "a" คุณต้องหารความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยรากของ 2 ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาคือความยาวของขาทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ต่อไปเราจะหาพื้นที่

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

การใช้สูตร S= √3/ 4*a^2 คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างง่ายดาย ถ้ารู้รัศมีของวงกลมเส้นรอบวงของสามเหลี่ยม ก็จะหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร: S= 3√3/ 4*R^2 โดยที่ R คือรัศมีของวงกลม

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่น่าทึ่ง อย่างไรก็ตาม ความคิดดังกล่าวจะเกิดขึ้นเมื่อคุณเข้าใจเท่านั้น เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ คุณจะต้องแก้ปัญหาและยกตัวอย่าง วาดแผนภาพและรูปภาพ พิสูจน์ทฤษฎีบท

เส้นทางสู่การทำความเข้าใจเรขาคณิตนั้นอยู่ที่การแก้ปัญหา ตัวอย่างที่ดีคืองานที่คุณต้องค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วคืออะไร และแตกต่างจากสามเหลี่ยมอื่นอย่างไร

เพื่อไม่ให้ถูกคุกคามจากคำว่า "ความสูง" "พื้นที่" "ฐาน" "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว" และอื่นๆ คุณจะต้องเริ่มต้นด้วยรากฐานทางทฤษฎี

อันดับแรกเกี่ยวกับสามเหลี่ยม นี้ รูปร่างแบนซึ่งเกิดจากจุดสามจุด - จุดยอดในทางกลับกันเชื่อมต่อกันด้วยส่วนต่างๆ ถ้าสองอันเท่ากัน สามเหลี่ยมจะกลายเป็นหน้าจั่ว ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้างและส่วนที่เหลือกลายเป็นฐาน

มีกรณีพิเศษของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว - ด้านเท่ากันหมด เมื่อด้านที่สามเท่ากับด้านสองด้าน

คุณสมบัติรูปร่าง

พวกเขากลายเป็นผู้ช่วยที่ซื่อสัตย์ในการแก้ปัญหาที่ต้องค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้นจึงจำเป็นต้องรู้และจดจำไว้

• ประการแรก: มุมของสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งด้านหนึ่งเป็นฐานจะเท่ากันเสมอ
• ทรัพย์สินเกี่ยวกับการก่อสร้างเพิ่มเติมก็มีความสำคัญเช่นกัน ความสูง ค่ามัธยฐาน และเส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปยังด้านที่ไม่มีคู่ตรงกัน
• ส่วนเดียวกันที่วาดจากมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมจะมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ซึ่งมักจะช่วยให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาได้ง่ายขึ้น
• มุมที่เท่ากันสองมุมในนั้นจะมีค่าน้อยกว่า 90 องศาเสมอ
• และสุดท้าย: วงกลมที่ถูกจารึกไว้และวงกลมที่ล้อมรอบนั้นถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ระดับความสูงถึงฐานของรูปสามเหลี่ยม และด้วยเหตุนี้จึงเป็นค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่ง

จะจดจำสามเหลี่ยมหน้าจั่วในปัญหาได้อย่างไร

หากเมื่อแก้ไขปัญหาคำถามเกิดขึ้นว่าจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไรคุณต้องเข้าใจก่อนว่ามันเป็นของกลุ่มนี้ และสัญญาณบางอย่างจะช่วยในเรื่องนี้

• สองมุมหรือสองด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน
• เส้นแบ่งครึ่งก็เป็นค่ามัธยฐานเช่นกัน
• ความสูงของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นค่ามัธยฐานหรือเส้นแบ่งครึ่ง
• ส่วนสูง ค่ามัธยฐาน หรือเส้นแบ่งครึ่งของรูปทั้งสองมีค่าเท่ากัน

การกำหนดปริมาณที่นำมาใช้ในสูตรที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

เพื่อลดความซับซ้อนของวิธีการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยใช้สูตร จึงได้มีการแนะนำการแทนที่องค์ประกอบด้วยตัวอักษร

ความสนใจ! สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนระหว่าง "a" กับ "A" และ "b" กับ "B" เหล่านี้เป็นปริมาณที่แตกต่างกัน

สูตรที่สามารถนำไปใช้ในงานต่างๆ

ทราบความยาวของด้าน และคุณจำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ในกรณีนี้ คุณต้องยกกำลังสองค่าทั้งสอง คูณตัวเลขที่ได้จากการเปลี่ยนด้านด้วย 4 แล้วลบส่วนที่สองออก หารากที่สองของผลต่างที่ได้ หารความยาวของฐานด้วย 4. คูณตัวเลขทั้งสอง หากคุณเขียนการกระทำเหล่านี้ด้วยตัวอักษร คุณจะได้สูตรต่อไปนี้:

ให้บันทึกไว้ตามข้อ 1.

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยใช้ค่าด้านข้าง สูตรที่บางคนอาจพบว่าง่ายกว่าสูตรแรก

ขั้นตอนแรกคือการหาครึ่งหนึ่งของฐาน แล้วหาผลรวมและผลต่างของตัวเลขนี้จากด้านนั้น คูณสองค่าสุดท้ายแล้วหารากที่สอง ขั้นตอนสุดท้ายคือการคูณทุกอย่างด้วยครึ่งหนึ่งของฐาน ความเท่าเทียมกันตามตัวอักษรจะมีลักษณะดังนี้:

นี่คือสูตรหมายเลข 2

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วหากทราบฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยมนั้น

หนึ่งในสูตรที่สั้นที่สุด ในนั้นคุณต้องคูณปริมาณที่กำหนดทั้งสองแล้วหารด้วย 2 นี่คือวิธีการเขียน:

จำนวนสูตรนี้คือ 3

งานนี้ทราบด้านของรูปสามเหลี่ยมและค่าของมุมที่อยู่ระหว่างฐานและด้านข้าง

เพื่อหาว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากับเท่าใด สูตรจะประกอบด้วยปัจจัยหลายประการ ค่าแรกคือค่าไซน์ของมุม ที่สอง เท่ากับสินค้าด้านข้างถึงฐาน ตัวที่สามคือเศษส่วนของ ½ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ทั่วไป:

หมายเลขลำดับของสูตรคือ 4

โจทย์ที่ให้ไว้คือ ด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วและมุมที่อยู่ระหว่างด้านข้าง

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ พื้นที่จะพบโดยใช้ปัจจัย 3 ประการ อันแรกเท่ากับค่าไซน์ของมุมที่ระบุในเงื่อนไข ที่สองคือสี่เหลี่ยมด้านข้าง และอันสุดท้ายก็เท่ากับครึ่งหนึ่งด้วย ดังนั้นสูตรจะเขียนได้ดังนี้:

หมายเลขของเธอคือ 5

สูตรที่ช่วยให้คุณค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้หากทราบฐานและมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน

ขั้นแรก คุณต้องคำนวณแทนเจนต์ของครึ่งหนึ่งของมุมที่รู้จักก่อน คูณตัวเลขผลลัพธ์ด้วย 4. ยกกำลังสองความยาวของด้าน แล้วหารด้วยค่าก่อนหน้า ดังนั้นเราจึงได้สูตรดังนี้:

หมายเลขสูตรสุดท้ายคือ 6

ปัญหาตัวอย่าง

ภารกิจแรก: เป็นที่รู้กันว่าฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 10 ซม. และสูง 5 ซม. เราจำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของมัน

ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องเลือกสูตรหมายเลข 3 ทุกสิ่งในนั้นเป็นที่รู้จัก เสียบตัวเลขแล้วนับ ปรากฎว่าพื้นที่คือ 10 * 5/2 นั่นคือ 25 ซม. 2

ภารกิจที่สอง: สามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีด้านและฐานเท่ากับ 5 และ 8 ซม. ตามลำดับ ค้นหาพื้นที่ของมัน

วิธีแรก. ตามสูตรหมายเลข 1 เมื่อยกกำลังสองฐาน ผลลัพธ์คือ 64 และสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่เท่าของด้านข้างคือ 100 เมื่อลบอันแรกออกจากวินาที ผลลัพธ์คือ 36 รากจะถูกแยกออกมาอย่างสมบูรณ์จากสิ่งนี้ ซึ่งเท่ากับ 6 ฐานหารด้วย 4 เท่ากับ 2 ค่าสุดท้ายถูกกำหนดเป็นผลคูณของ 2 และ 6 นั่นคือ 12 นี่คือคำตอบ: พื้นที่ที่ต้องการคือ 12 ซม. 2

วิธีที่สอง. ตามสูตรหมายเลข 2 ครึ่งหนึ่งของฐานเท่ากับ 4 ผลรวมของด้านกับจำนวนที่พบได้ 9 ผลต่างคือ 1 หลังจากการคูณผลลัพธ์คือ 9 การสกัด รากที่สองให้ 3 และการกระทำสุดท้ายคูณ 3 ด้วย 4 ซึ่งให้ 12 ซม. 2 เท่าเดิม

ด้วยการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและการกำหนดวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คุณจะได้รับประสบการณ์อันล้ำค่า ยิ่งงานหลากหลายรูปแบบเสร็จสมบูรณ์เท่าใด การค้นหาคำตอบในสถานการณ์ใหม่ก็จะยิ่งง่ายขึ้นเท่านั้น ดังนั้นสม่ำเสมอและ การดำเนินการด้วยตนเองของงานทั้งหมดเป็นเส้นทางสู่การเรียนรู้เนื้อหาที่ประสบความสำเร็จ

มันเกิดขึ้นไม่เพียงแต่สำหรับเด็กนักเรียนหรือนักเรียนเท่านั้น แต่ยังเกิดขึ้นในชีวิตจริงด้วย ตัวอย่างเช่นในระหว่างการก่อสร้างจำเป็นต้องสร้างซุ้มที่อยู่ใต้หลังคาให้เสร็จ จะคำนวณปริมาณวัสดุที่ต้องการได้อย่างไร?

ช่างฝีมือที่ทำงานกับผ้าหรือหนังมักประสบปัญหาคล้ายกัน ท้ายที่สุดแล้ว ชิ้นส่วนหลายชิ้นที่ช่างฝีมือต้องตัดออกจะมีรูปทรงสามเหลี่ยมหน้าจั่วทุกประการ

มีหลายวิธีในการช่วยหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว อย่างแรกคือการคำนวณตามฐานและความสูง

ในการแก้ปัญหา เราจำเป็นต้องสร้าง MNP สามเหลี่ยมที่มีฐาน MN และความสูง PO เพื่อความชัดเจน ทีนี้มาทำอะไรบางอย่างในภาพวาดให้เสร็จ: ลากเส้นจากจุด P ขนานกับฐานและจากจุด M - เส้นขนานกับความสูง ลองเรียกจุดตัดกัน Q หากต้องการค้นหาวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคุณต้องพิจารณา MOPQ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ได้ซึ่งด้านด้านข้างของ MP สามเหลี่ยมที่มอบให้เรานั้นมีเส้นทแยงมุมอยู่แล้ว

ก่อนอื่นมาพิสูจน์ว่านี่คือสี่เหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากเราสร้างมันขึ้นมาเอง เราจึงรู้ว่าด้าน MO และ OQ นั้นขนานกัน และด้าน QM และ OP ก็ขนานกันเช่นกัน มุม POM ถูกต้อง ดังนั้นมุม OPQ ก็ถูกต้องเช่นกัน ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมที่ได้จึงเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก การหาพื้นที่นั้นไม่ยากเท่ากับผลคูณของ PO และ OM OM คือครึ่งหนึ่งของฐานของสามเหลี่ยม MPN นี้ ตามมาว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เราสร้างนั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากและฐานของมัน

ขั้นตอนที่สองของงานที่กำหนดไว้ต่อหน้าเรา วิธีกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยม คือการพิสูจน์ความจริงที่ว่าสี่เหลี่ยมที่เราได้รับในพื้นที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่กำหนด นั่นคือ พื้นที่ของ สามเหลี่ยมก็เท่ากับผลคูณครึ่งหนึ่งของฐานและความสูงด้วย

ก่อนอื่นเรามาเปรียบเทียบสามเหลี่ยม PON และ PMQ กันก่อน ทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจากมุมขวาในมุมหนึ่งเกิดจากความสูง และมุมฉากในอีกมุมหนึ่งคือมุมของสี่เหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากในนั้นคือด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้น พวกมันจึงเท่ากันเช่นกัน ด้าน PO และ QM ก็เท่ากับด้านขนานของสี่เหลี่ยมมุมฉากเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าทั้งพื้นที่ของสามเหลี่ยม PON และสามเหลี่ยม PMQ มีค่าเท่ากัน

พื้นที่สี่เหลี่ยม QPOM เท่ากับผลรวมของพื้นที่สามเหลี่ยม PQM และ MOP การแทนที่ QPM สามเหลี่ยมบิวด์ออนด้วยสามเหลี่ยม PON เราจะได้สามเหลี่ยมทั้งหมดที่มอบให้เราเพื่อหาทฤษฎีบท ตอนนี้เรารู้วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตามฐานและความสูงของมันแล้ว - คำนวณผลคูณครึ่งของมัน

แต่คุณสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้โดยใช้ฐานและด้านข้าง นอกจากนี้ยังมีสองตัวเลือกที่นี่: ทฤษฎีบทของนกกระสาและพีทาโกรัส ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น ลองใช้ PMN เดียวกันกับความสูง PO

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก POM MP คือด้านตรงข้ามมุมฉาก กำลังสองของมันเท่ากับผลรวมของกำลังสองของ PO และ OM และเนื่องจาก OM เป็นครึ่งหนึ่งของฐานที่เรารู้ เราจึงสามารถหา OM และยกกำลังสองตัวเลขได้อย่างง่ายดาย เมื่อลบตัวเลขผลลัพธ์ออกจากกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจะพบว่ากำลังสองของขาอีกข้างเท่ากับเท่าใด ซึ่งในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือความสูง เมื่อค้นพบจากความแตกต่างและทราบความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว เราก็สามารถให้คำตอบกับภารกิจที่อยู่ตรงหน้าเราได้

คุณเพียงแค่ต้องคูณความสูงด้วยฐานแล้วหารผลลัพธ์เป็นครึ่งหนึ่ง เราอธิบายว่าทำไมจึงควรทำเช่นนี้ในการพิสูจน์เวอร์ชันแรก

มันเกิดขึ้นที่คุณต้องทำการคำนวณด้านข้างและมุม จากนั้นเราจะหาความสูงและฐานโดยใช้สูตรที่มีไซน์และโคไซน์ แล้วคูณพวกมันและหารผลลัพธ์เป็นครึ่งหนึ่งอีกครั้ง

การกำหนดตัวอักษรของด้านข้างและมุมในรูปด้านบนสอดคล้องกับการกำหนดที่ระบุในสูตร นี่จะช่วยให้คุณจับคู่พวกมันกับองค์ประกอบของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ จากเงื่อนไขของปัญหา ให้พิจารณาว่าองค์ประกอบใดที่ทราบ ค้นหาการกำหนดในรูปวาดและเลือกสูตรที่เหมาะสม

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ดังต่อไปนี้ สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว: ทะลุด้านข้าง ด้านข้างและมุมระหว่างกัน ทะลุด้านข้าง ฐานและมุมที่ยอด ทะลุด้านข้างฐานและมุมที่ฐาน เป็นต้น เพียงค้นหาสิ่งที่เหมาะสมที่สุดในภาพด้านซ้าย สำหรับผู้ที่สงสัยมากที่สุด ข้อความทางด้านขวาจะอธิบายว่าเหตุใดสูตรจึงถูกต้อง และสามารถใช้หาพื้นที่ได้อย่างไร

1. สามารถพบได้ รู้ด้านและพื้นฐานของมัน. นิพจน์นี้ได้มาจากการทำให้นิพจน์ทั่วไปง่ายขึ้น สูตรสากล. หากเราใช้สูตรของเฮรอนเป็นพื้นฐาน แล้วพิจารณาว่าด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน นิพจน์ก็จะลดความซับซ้อนลงตามสูตรที่แสดงในรูปภาพ
   ตัวอย่างของการใช้สูตรดังกล่าวแสดงไว้ในตัวอย่างการแก้ปัญหาด้านล่าง
2. สูตรที่สองช่วยให้คุณหาพื้นที่ได้ ผ่านด้านข้างและมุมระหว่างพวกเขาคือครึ่งหนึ่งของด้านกำลังสอง คูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้าน
   หากเราลดความสูงลงที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วในใจ เราจะสังเกตว่าความยาวของมันจะเท่ากับ * sin β เนื่องจากเราทราบความยาวของด้านข้างแล้ว ความสูงที่ลดลงไปในตอนนี้จึงทราบแล้ว ครึ่งหนึ่งของผลิตภัณฑ์จะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่กำหนด (คำอธิบาย: ทำงานให้เสร็จให้พื้นที่สี่เหลี่ยมที่เห็นได้ชัดเจน ความสูงแบ่งสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ สองอัน โดยด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นเส้นทแยงมุม ซึ่งแบ่งครึ่งพอดี ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านข้างและความสูง) ดูเพิ่มเติมที่ สูตร 5
3. สูตรที่ 3 แสดงการหาพื้นที่ ผ่านมุมด้านข้าง ฐาน และยอด.
   พูดอย่างเคร่งครัดเมื่อรู้มุมใดมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คุณสามารถค้นหามุมอื่นได้ ดังนั้นการใช้สูตรนี้หรือสูตรก่อนหน้าจึงเป็นเรื่องของรสนิยม (อย่างไรก็ตาม นี่คือเหตุผลว่าทำไมคุณจึงจำได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น)
   สูตรที่สามยังมีคุณสมบัติที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งคือผลิตภัณฑ์ บาป αจะทำให้เราได้ความยาวของความสูงลดลงถึงฐาน ด้วยเหตุนี้เราจึงได้สูตร 5 ที่เรียบง่ายและชัดเจน
4. พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วนอกจากนี้ยังสามารถพบได้ ผ่านทางด้านข้างของฐานและมุมที่ฐาน(มุมที่ฐานเท่ากัน) เท่ากับกำลังสองของฐานหารด้วยแทนเจนต์สี่ตัวของมุมครึ่งหนึ่งที่เกิดจากด้านข้าง หากคุณมองใกล้ๆ จะเห็นได้ชัดว่าครึ่งหนึ่งของฐาน (b/2) คูณด้วย tan(β/2) ทำให้เราได้ความสูงของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากความสูงในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วในเวลาเดียวกันคือเส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐาน ดังนั้น tg(β/2) คืออัตราส่วนของครึ่งหนึ่งของฐาน (b/2) ต่อความสูง - tg(β/2) = (b/2)/ชม. จากไหน h = b / (2 tan(β/2)) เป็นผลให้สูตรจะลดลงเหลือสูตร 5 ที่ง่ายกว่าอีกครั้งซึ่งค่อนข้างชัดเจน
5. แน่นอน พื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วหาได้โดยการลดความสูงจากบนลงล่างทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน นอกจากนี้ - ทุกอย่างชัดเจน ครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและฐานและมีพื้นที่ที่ต้องการ สำหรับตัวอย่างการใช้สูตรนี้ ให้ดูปัญหาด้านล่าง (วิธีที่ 2)
6. จะได้สูตรนี้หากคุณพยายามหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส. ในการทำเช่นนี้ เราจะแสดงความสูงจากสูตรก่อนหน้า ซึ่งในเวลาเดียวกันคือขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้นจากด้านข้าง ครึ่งหนึ่งของฐานและความสูง ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้านข้างคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น จากกำลังสองของด้านข้าง (a) เราลบกำลังสองของขาที่สอง เนื่องจากมันเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน (b/2) กำลังสองของมันจะเท่ากับ b 2 /4 การแยกรากออกจากนิพจน์นี้จะทำให้เรามีส่วนสูง ดังที่เห็นในสูตร 6 หากตัวเศษและส่วนคูณด้วยสอง แล้วตัวเศษทั้งสองถูกป้อนไว้ใต้เครื่องหมายราก เราจะได้สูตรเดียวกันเวอร์ชันที่สอง ซึ่งเขียนผ่านเครื่องหมายเท่ากับ
   อย่างไรก็ตาม คนที่ฉลาดที่สุดจะเห็นว่าถ้าคุณเปิดวงเล็บในสูตร 1 มันจะเปลี่ยนเป็นสูตร 6 หรือในทางกลับกัน ผลต่างของกำลังสองของตัวเลขสองตัวที่แยกตัวประกอบแล้ว จะทำให้เราได้ค่าเดิมเป็นค่าแรก

การกำหนดซึ่งนำมาประยุกต์ใช้ตามสูตรในรูปนี้

ก- ความยาวของด้านใดด้านหนึ่งจากสองด้านที่เท่ากันของรูปสามเหลี่ยม

ข- ความยาวฐาน

α - ขนาดของมุมหนึ่งในสองมุมที่เท่ากันที่ฐาน

β - ขนาดของมุมระหว่าง ด้านที่เท่ากันสามเหลี่ยมและฐานตรงข้าม

ชม.- ความยาวของความสูงลดลงจากจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วถึงฐาน

สำคัญ. ให้ความสนใจกับการกำหนดตัวแปร! อย่าสับสน α และ β, และ กและ ข!

บันทึก. นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนเกี่ยวกับปัญหาเรขาคณิต (พื้นที่หน้าตัดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) นี่คือปัญหาที่แก้ไขได้ยาก หากคุณต้องการแก้ไขปัญหาเรขาคณิตที่ไม่มีอยู่ที่นี่ โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม เพื่อระบุการดำเนินการของการแยกรากที่สองในการแก้โจทย์ปัญหา จะใช้สัญลักษณ์ √ หรือ sqrt() โดยมีนิพจน์รากแสดงในวงเล็บ.

งาน

ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วยาว 13 ซม. และฐานยาว 10 ซม. ค้นหาพื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สารละลาย.

วิธีที่ 1. ลองใช้สูตรของเฮรอนกัน เนื่องจากสามเหลี่ยมเป็นแบบหน้าจั่ว จึงจะมีรูปแบบที่ง่ายกว่า (ดูสูตร 1 ในรายการสูตรด้านบน):

โดยที่ a คือความยาวของด้าน และ b คือความยาวของฐาน
เราได้รับค่าความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมจากข้อความปัญหา:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 ซม. 2

วิธีที่ 2. ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน
สมมติว่าเราจำสูตรที่ใช้ในวิธีแก้ปัญหาแรกไม่ได้ ดังนั้น ขอให้เราลดความสูง BK จากจุดยอด B ลงเป็น AC ฐาน
เนื่องจากความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วแบ่งฐานออกเป็นสองส่วน ความยาวของครึ่งหนึ่งของฐานจึงจะเท่ากับ
AK = เอซี / 2 = 10 / 2 = 5 ซม.

ความสูงที่มีฐานครึ่งหนึ่งและด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเกิดขึ้น สามเหลี่ยมมุมฉากเอบีเค. ในสามเหลี่ยมนี้ เรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB และ AK ขา ให้เราแสดงความยาวของขาที่สองผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส