ตัดสินจากความนิยมของคำถาม "ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ - หลักฐานสั้น ๆ", ปัญหาทางคณิตศาสตร์นี้สนใจคนจำนวนมากจริงๆ ทฤษฎีบทนี้ถูกกล่าวถึงครั้งแรกโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในปี 1637 บนขอบของสำเนาเลขคณิต ซึ่งเขาอ้างว่าเขามีวิธีแก้ปัญหาที่ใหญ่เกินกว่าจะวางลงบนขอบได้

การพิสูจน์ความสำเร็จครั้งแรกได้รับการตีพิมพ์ในปี 1995 ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์โดย Andrew Wiles ฉบับสมบูรณ์ ได้รับการอธิบายว่าเป็น "ความก้าวหน้าอันน่าทึ่ง" และทำให้ไวล์สได้รับรางวัลอาเบลในปี 2559 ในขณะที่อธิบายไว้ค่อนข้างสั้น การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ยังได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแบบโมดูลาร์อีกมาก และได้เปิดแนวทางใหม่ให้กับปัญหาอื่นๆ มากมายและ วิธีการที่มีประสิทธิภาพการเพิ่มขึ้นของโมดูลาร์ ความสำเร็จเหล่านี้ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไป 100 ปี การพิสูจน์ทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ไม่ใช่เรื่องแปลกในปัจจุบัน

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขได้กระตุ้นการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 19 และการค้นหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาร์ในศตวรรษที่ 20 นี่เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โดดเด่นที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ และก่อนที่จะมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ด้วยวิธีหารอย่างสมบูรณ์ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกลงในกินเนสบุ๊คว่าเป็น "ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุด" ซึ่งเป็นหนึ่งในคุณลักษณะของ ซึ่งมันก็มีอยู่ จำนวนมากที่สุดหลักฐานที่ไม่สำเร็จ

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

สมการพีทาโกรัส x 2 + y 2 = z 2 มีคำตอบจำนวนเต็มบวกจำนวนอนันต์สำหรับ x, y และ z คำตอบเหล่านี้เรียกว่าทรินิตี้พีทาโกรัส ประมาณปี ค.ศ. 1637 แฟร์มาต์เขียนไว้ตรงขอบหนังสือมากกว่านั้น สมการทั่วไป a n + b n = c n ไม่มีคำตอบ ตัวเลขธรรมชาติถ้า n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 แม้ว่าแฟร์มาต์เองก็อ้างว่ามีวิธีแก้ไขปัญหาของเขา แต่เขาก็ไม่ได้ทิ้งรายละเอียดใดๆ เกี่ยวกับการพิสูจน์ของมันไว้ ข้อพิสูจน์เบื้องต้นของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ที่ผู้สร้างระบุไว้ ค่อนข้างจะเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่น่าโอ้อวดของเขา หนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ถูกค้นพบ 30 ปีหลังจากการตายของเขา สมการนี้เรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งยังคงไม่มีใครแก้สมการในวิชาคณิตศาสตร์มาเป็นเวลาสามศตวรรษครึ่งแล้ว

ในที่สุดทฤษฎีบทก็กลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่น่าสังเกตมากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ความพยายามที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ได้จุดประกายการพัฒนาที่สำคัญในทฤษฎีจำนวน และเมื่อเวลาผ่านไป ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กลายเป็นที่รู้จักในฐานะปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้

ประวัติหลักฐานโดยย่อ

ถ้า n = 4 ตามที่แฟร์มาต์พิสูจน์ด้วยตัวเอง ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับดัชนี n ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะก็เพียงพอแล้ว ตลอดสองศตวรรษถัดมา (ค.ศ. 1637-1839) การคาดเดาได้รับการพิสูจน์สำหรับจำนวนเฉพาะ 3, 5 และ 7 เท่านั้น แม้ว่า Sophie Germain จะปรับปรุงและพิสูจน์วิธีการที่ใช้กับจำนวนเฉพาะทั้งกลุ่มก็ตาม ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เอิร์นส์ คุมเมอร์ขยายขอบเขตเรื่องนี้และพิสูจน์ทฤษฎีบทของจำนวนเฉพาะปกติทั้งหมด ทำให้ต้องวิเคราะห์จำนวนเฉพาะที่ไม่ปกติทีละตัว จากงานของ Kummer และใช้การวิจัยคอมพิวเตอร์ที่ซับซ้อน นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ สามารถขยายคำตอบให้กับทฤษฎีบทได้ โดยมีเป้าหมายเพื่อให้ครอบคลุมเลขยกกำลังหลักทั้งหมดได้มากถึงสี่ล้านตัว แต่การพิสูจน์สำหรับเลขชี้กำลังทั้งหมดยังไม่สามารถหาได้ (หมายความว่าโดยทั่วไปแล้วนักคณิตศาสตร์จะพิจารณาวิธีแก้ปัญหานี้ ทฤษฎีบทเป็นไปไม่ได้ ยากมาก หรือไม่สามารถบรรลุได้ด้วย ความรู้ที่ทันสมัย).

ผลงานของชิมูระและทานิยามะ

ในปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โกโระ ชิมูระ และยูทากะ ทานิยามะ สงสัยว่ามีความเชื่อมโยงระหว่างเส้นโค้งวงรีกับรูปแบบโมดูลาร์ ซึ่งเป็นพื้นที่ทางคณิตศาสตร์สองด้านที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง เป็นที่รู้จักในขณะนั้นในชื่อการคาดเดาของทานิยามา-ชิมูระ-ไวล์ และ (ในท้ายที่สุด) ว่าเป็นทฤษฎีบทโมดูลาร์ มันยืนอยู่ได้ด้วยตัวเอง โดยไม่มีความเชื่อมโยงที่ชัดเจนกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่สำคัญในตัวของมันเอง แต่ก็ถือว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ (เช่นเดียวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์) ในเวลาเดียวกัน การพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ (โดยวิธีการหารและการใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน) ได้ดำเนินการเพียงครึ่งศตวรรษต่อมา

ในปี 1984 Gerhard Frey สังเกตเห็นความเชื่อมโยงที่ชัดเจนระหว่างปัญหาทั้งสองที่ไม่เกี่ยวข้องและไม่ได้รับการแก้ไขก่อนหน้านี้ ข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ว่าทฤษฎีบททั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2529 โดย Ken Ribet ผู้ซึ่งต่อยอดการพิสูจน์บางส่วนโดย Jean-Pierre Serres ผู้พิสูจน์ทั้งหมดยกเว้นเพียงส่วนเดียว เรียกว่า "การคาดเดาเอปซิลอน" พูดง่ายๆ ก็คือ ผลงานเหล่านี้ของ Frey, Serres และ Ribe แสดงให้เห็นว่าหากทฤษฎีบทโมดูลาร์สามารถพิสูจน์ได้เป็นคลาสกึ่งเสถียรของเส้นโค้งวงรีเป็นอย่างน้อย การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็จะถูกค้นพบไม่ช้าก็เร็วเช่นกัน คำตอบใดๆ ที่สามารถขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็สามารถนำมาใช้เพื่อขัดแย้งกับทฤษฎีบทโมดูลาร์ได้เช่นกัน ดังนั้น หากทฤษฎีบทโมดูลาร์กลายเป็นจริง ตามคำจำกัดความแล้ว ก็ไม่มีทางแก้ปัญหาที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ ซึ่งหมายความว่ามันควรจะได้รับการพิสูจน์ในไม่ช้า

แม้ว่าทฤษฎีบททั้งสองจะเป็น ปัญหาที่ซับซ้อนสำหรับคณิตศาสตร์ที่ถือว่าแก้ไม่ได้ งานของชาวญี่ปุ่นสองคนถือเป็นข้อเสนอแนะแรกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สามารถขยายและพิสูจน์สำหรับตัวเลขทุกจำนวนได้อย่างไร ไม่ใช่แค่บางส่วนเท่านั้น สิ่งสำคัญสำหรับนักวิจัยที่เลือกหัวข้อการวิจัยคือความจริงที่ว่าทฤษฎีบทโมดูลาร์นั้นแตกต่างจากทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ตรงที่เป็นประเด็นสำคัญในการวิจัยซึ่งมีการพัฒนาข้อพิสูจน์แล้ว ไม่ใช่แค่เรื่องแปลกประหลาดทางประวัติศาสตร์เท่านั้น ดังนั้นเวลาที่ใช้ไป การทำงานกับเรื่องนี้อาจเป็นเรื่องที่สมเหตุสมผลจากมุมมองของมืออาชีพ อย่างไรก็ตาม ฉันทามติทั่วไปคือการแก้ปัญหาการคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระนั้นใช้ไม่ได้ผล

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์: หลักฐานของไวล์ส

หลังจากทราบว่าริเบต์ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเฟรย์ว่าถูกต้องแล้ว แอนดรูว์ ไวล์ส นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้สนใจทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มาตั้งแต่เด็กและมีประสบการณ์ในการทำงานกับเส้นโค้งวงรีและสาขาที่เกี่ยวข้อง ตัดสินใจลองพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระเป็นหนทางหนึ่งในการพิสูจน์ทฤษฎีของเฟรย์ พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในปี 1993 หกปีหลังจากประกาศเป้าหมายของเขา ขณะที่ทำงานอย่างลับๆ เกี่ยวกับปัญหาการแก้ทฤษฎีบท ไวล์สก็สามารถพิสูจน์การคาดเดาที่เกี่ยวข้องได้ ซึ่งจะช่วยเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ เอกสารของไวล์สมีขนาดและขอบเขตมหาศาล

ข้อบกพร่องนี้ถูกค้นพบในส่วนหนึ่งของรายงานต้นฉบับของเขาในระหว่างการทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ และจำเป็นต้องร่วมมือกับ Richard Taylor อีกหนึ่งปีเพื่อร่วมกันแก้ทฤษฎีบท ด้วยเหตุนี้ การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ของไวล์สจึงเกิดขึ้นไม่นานนัก ในปี 1995 มีการตีพิมพ์ในขนาดที่เล็กกว่าครั้งก่อนมาก งานคณิตศาสตร์ไวล์สแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเขาไม่ผิดในข้อสรุปก่อนหน้านี้เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท ความสำเร็จของไวล์สได้รับการรายงานอย่างกว้างขวางในสื่อยอดนิยม และแพร่หลายในหนังสือและรายการโทรทัศน์ ส่วนที่เหลือของการคาดเดาของทานิยามา-ชิมูระ-ไวล์ ซึ่งปัจจุบันได้รับการพิสูจน์แล้วและเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทโมดูลาร์ ได้รับการพิสูจน์ในเวลาต่อมาโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ที่สร้างผลงานของไวล์สระหว่างปี 1996 ถึง 2001 สำหรับความสำเร็จของเขา Wiles ได้รับเกียรติและได้รับรางวัลมากมาย รวมถึงรางวัล Abel Prize ประจำปี 2016

การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ของไวล์สเป็นกรณีพิเศษของการแก้ทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งวงรี อย่างไรก็ตาม นี่เป็นกรณีที่มีชื่อเสียงที่สุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่เช่นนี้ นอกจากการแก้ทฤษฎีบทของริเบต์แล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษยังได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อีกด้วย ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และทฤษฎีบทโมดูลาร์เกือบจะถูกมองว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระดับสากลโดยนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แต่แอนดรูว์ ไวล์สสามารถพิสูจน์ทุกสิ่งทุกอย่างได้ โลกวิทยาศาสตร์แม้แต่คนที่เรียนรู้ก็สามารถทำผิดพลาดได้

ไวล์สได้ประกาศการค้นพบของเขาครั้งแรกเมื่อวันพุธที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 ในการบรรยายที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ในหัวข้อ "รูปแบบโมดูลาร์ เส้นโค้งรูปไข่ และการนำเสนอแบบกาลัวส์" อย่างไรก็ตาม ในเดือนกันยายน พ.ศ. 2536 พบว่าการคำนวณของเขามีข้อผิดพลาด อีกหนึ่งปีต่อมา วันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2537 ในสิ่งที่เขาจะเรียกว่า "มากที่สุด" จุดสำคัญชีวิตการทำงานของเขา" ไวล์สสะดุดกับการเปิดเผยที่ทำให้เขาสามารถแก้ไขปัญหาจนถึงจุดที่สามารถตอบสนองชุมชนนักคณิตศาสตร์ได้

ลักษณะของงาน

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ของแอนดรูว์ ไวล์สใช้เทคนิคมากมายจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน และมีการแตกสาขามากมายในสาขาวิชาคณิตศาสตร์เหล่านี้ นอกจากนี้เขายังใช้โครงสร้างมาตรฐานของเรขาคณิตพีชคณิตสมัยใหม่ เช่น ประเภทของโครงร่างและทฤษฎีอิวาซาวะ ตลอดจนวิธีการอื่น ๆ ในศตวรรษที่ 20 ที่ปิแอร์ แฟร์มาต์ไม่มีให้ใช้

บทความทั้งสองประกอบด้วยหลักฐานทั้งหมด 129 หน้าและเขียนมานานกว่าเจ็ดปี จอห์น โคตส์ อธิบายว่าการค้นพบนี้เป็นหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของทฤษฎีจำนวน และจอห์น คอนเวย์ เรียกการค้นพบนี้ว่าเป็นความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญของศตวรรษที่ 20 Wiles เพื่อที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat โดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับกรณีพิเศษของเส้นโค้งวงรีกึ่งเสถียร ได้พัฒนาวิธีการอันทรงพลังในการยกความเป็นโมดูลาร์ขึ้น และค้นพบแนวทางใหม่ในการแก้ปัญหาอื่นๆ มากมาย สำหรับการแก้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เขาได้รับแต่งตั้งเป็นอัศวินและได้รับรางวัลอื่นๆ เมื่อมีข่าวว่า Wiles ได้รับรางวัล Abel Prize ทาง Norwegian Academy of Sciences กล่าวถึงความสำเร็จของเขาว่า "น่าชื่นชมและ หลักฐานเบื้องต้นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์"

มันเป็นอย่างไร

หนึ่งในผู้ที่วิเคราะห์ต้นฉบับดั้งเดิมของไวล์สเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของทฤษฎีบทคือนิค แคทซ์ ในระหว่างการทบทวน เขาได้ถามคำถามที่ทำให้กระจ่างแก่ชาวอังกฤษหลายชุด ซึ่งบังคับให้ Wiles ยอมรับว่างานของเขามีช่องว่างอย่างชัดเจน มีข้อผิดพลาดในส่วนสำคัญของการพิสูจน์ที่ให้การประมาณลำดับของกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง: ระบบออยเลอร์ที่ใช้ในการขยายวิธี Kolyvagin และ Flach นั้นไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดดังกล่าวไม่ได้ทำให้งานของเขาไร้ประโยชน์ งานแต่ละส่วนของไวล์สมีความสำคัญและเป็นนวัตกรรมในตัวเอง เช่นเดียวกับการพัฒนาและวิธีการต่างๆ มากมายที่เขาสร้างขึ้นระหว่างการทำงานของเขา ซึ่งส่งผลกระทบเพียงส่วนหนึ่งเท่านั้น ต้นฉบับ อย่างไรก็ตาม งานต้นฉบับนี้ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1993 ไม่ได้ให้ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แต่อย่างใด

ไวล์สใช้เวลาเกือบหนึ่งปีในการพยายามค้นพบคำตอบของทฤษฎีบทนี้อีกครั้ง โดยเริ่มจากลำพังก่อนแล้วจึงร่วมมือกับเขา อดีตนักเรียนริชาร์ด เทย์เลอร์ แต่ดูเหมือนทุกอย่างจะไร้ประโยชน์ ในตอนท้ายของปี 1993 มีข่าวลือแพร่สะพัดว่าการพิสูจน์ของ Wiles ล้มเหลวในการทดสอบ แต่ยังไม่ทราบถึงความล้มเหลวร้ายแรงเพียงใด นักคณิตศาสตร์เริ่มกดดันไวลส์ให้เปิดเผยรายละเอียดของงานของเขา ไม่ว่าจะเสร็จสมบูรณ์หรือไม่ก็ตาม เพื่อให้นักคณิตศาสตร์ในวงกว้างสามารถสำรวจและใช้ทุกสิ่งที่เขาประสบความสำเร็จได้ แทนที่จะแก้ไขข้อผิดพลาดอย่างรวดเร็ว ไวล์สกลับค้นพบแต่ความซับซ้อนเพิ่มเติมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และในที่สุดก็ตระหนักว่ามันยากเพียงใด

ไวล์สกล่าวว่าในเช้าวันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2537 เขาเกือบจะยอมแพ้และเกือบจะยอมแพ้แล้ว และเกือบจะยอมรับว่าเขาล้มเหลวแล้ว เขายินดีที่จะเผยแพร่งานที่ยังไม่เสร็จของเขาเพื่อที่คนอื่นจะได้ต่อยอดและค้นหาว่าเขาผิดพลาดตรงไหน นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษตัดสินใจให้โอกาสตัวเองเป็นครั้งสุดท้ายและ ครั้งสุดท้ายวิเคราะห์ทฤษฎีบทเพื่อพยายามทำความเข้าใจสาเหตุหลักว่าทำไมแนวทางของเขาจึงไม่ได้ผล เมื่อเขาตระหนักทันทีว่าแนวทางโคลิวากิน-ฟลัคจะไม่ได้ผลจนกว่าเขาจะรวมทฤษฎีของอิวาซาวะไว้ในกระบวนการพิสูจน์ด้วย จึงทำให้มันได้ผล

เมื่อวันที่ 6 ตุลาคม Wiles ขอให้เพื่อนร่วมงานสามคน (รวมถึง Faltins) ตรวจสอบเขา งานใหม่และในวันที่ 24 ตุลาคม พ.ศ. 2537 เขาได้ส่งต้นฉบับสองฉบับ - "เส้นโค้งรูปไข่แบบโมดูลาร์และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์" และ "คุณสมบัติทางทฤษฎีของวงแหวนของพีชคณิตเฮคเกบางรุ่น" ซึ่งฉบับที่สองที่ไวล์สเขียนร่วมกับเทย์เลอร์และพิสูจน์ว่าเงื่อนไขบางประการจำเป็น เพื่อชี้แจงขั้นตอนการแก้ไขในบทความหลัก

เอกสารทั้งสองนี้ได้รับการตรวจสอบและตีพิมพ์เป็นฉบับเต็มใน Annals of Mathematics ฉบับเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2538 การคำนวณใหม่ของแอนดรูว์ได้รับการวิเคราะห์อย่างกว้างขวางและได้รับการยอมรับจากชุมชนวิทยาศาสตร์ในที่สุด งานเหล่านี้ได้สร้างทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งรูปไข่กึ่งคงที่ ซึ่งเป็นขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ 358 ปีหลังจากที่ถูกสร้างขึ้น

ประวัติความเป็นมาของปัญหาใหญ่

การแก้ทฤษฎีบทนี้ถือเป็นปัญหาที่ใหญ่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์มานานหลายศตวรรษ ในปี ค.ศ. 1816 และอีกครั้งในปี ค.ศ. 1850 French Academy of Sciences เสนอรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทั่วไปเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในปี 1857 Academy ได้รับรางวัล 3,000 ฟรังก์และ เหรียญทองคัมเมอร์สำหรับการวิจัยเกี่ยวกับตัวเลขในอุดมคติ แม้ว่าเขาจะไม่ได้สมัครรับรางวัลก็ตาม รางวัลอื่นเสนอให้เขาในปี พ.ศ. 2426 โดย Academy of Brussel

รางวัลโวล์ฟสเคห์ล

ในปี 1908 Paul Wolfskehl นักอุตสาหกรรมและนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นชาวเยอรมันได้มอบเครื่องหมายทองคำ 100,000 มาร์ก (ซึ่งเป็นเงินจำนวนมากในขณะนั้น) ให้กับ Göttingen Academy of Sciences เพื่อเป็นรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat อย่างสมบูรณ์ เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2451 Academy ได้เผยแพร่กฎการมอบรางวัลเก้าข้อ เหนือสิ่งอื่นใด กฎเหล่านี้กำหนดให้มีการตีพิมพ์หลักฐานในวารสารที่ผ่านการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ จะไม่มีการมอบรางวัลจนกว่าจะถึงสองปีหลังจากการตีพิมพ์ การแข่งขันมีกำหนดสิ้นสุดในวันที่ 13 กันยายน พ.ศ. 2550 หรือประมาณหนึ่งศตวรรษหลังจากเริ่มต้นขึ้น เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2540 Wiles ได้รับเงินรางวัลของ Wolfschel และอีก 50,000 ดอลลาร์ ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2559 เขาได้รับเงินจำนวน 600,000 ยูโรจากรัฐบาลนอร์เวย์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของรางวัลอาเบลสำหรับ "ข้อพิสูจน์อันน่าทึ่งของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยใช้การคาดเดาแบบแยกส่วนสำหรับเส้นโค้งรูปไข่กึ่งคงที่ ซึ่งเป็นการเปิดศักราชใหม่ในทฤษฎีจำนวน" มันเป็นชัยชนะของโลกสำหรับชาวอังกฤษผู้ถ่อมตน

ก่อนการพิสูจน์ของไวล์ส ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ถือว่าไม่สามารถแก้ได้อย่างแน่นอนมานานหลายศตวรรษ หลักฐานที่ไม่ถูกต้องนับพันใน เวลาที่ต่างกันถูกนำเสนอต่อคณะกรรมการของ Wolfskehl ซึ่งมีความยาวการติดต่อประมาณ 10 ฟุต (3 เมตร) ในปีแรกของการได้รับรางวัลเพียงอย่างเดียว (พ.ศ. 2450-2451) มีการส่งใบสมัคร 621 ใบเพื่ออ้างสิทธิ์ในการแก้ทฤษฎีบท แม้ว่าในช่วงทศวรรษ 1970 จำนวนนี้จะลดลงเหลือประมาณ 3-4 ใบต่อเดือน ตามคำกล่าวของ F. Schlichting ผู้ตรวจสอบของ Wolfschel หลักฐานส่วนใหญ่อิงตามวิธีการขั้นพื้นฐานที่สอนในโรงเรียน และมักนำเสนอโดย "ผู้ที่มี การศึกษาด้านเทคนิคแต่อาชีพการงานที่ไม่ประสบความสำเร็จ” ตามที่นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ Howard Aves กล่าวไว้ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้สร้างบันทึกประเภทหนึ่ง - เป็นทฤษฎีบทที่มีการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องที่สุด

แฟร์มาต์ลอเรลตกเป็นของชาวญี่ปุ่น

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ประมาณปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โกโระ ชิมูระ และยูทากะ ทานิยามะ ค้นพบความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ระหว่างสองสาขาทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นเส้นโค้งรูปไข่และรูปแบบโมดูลาร์ ทฤษฎีบทโมดูลาร์ที่เกิดขึ้น (ซึ่งต่อมารู้จักกันในชื่อการคาดเดาของทานิยามา-ชิมูระ) จากการวิจัยระบุว่าเส้นโค้งรูปไข่ทุกอันเป็นแบบโมดูลาร์ ซึ่งหมายความว่าสามารถเชื่อมโยงกับรูปแบบโมดูลาร์ที่มีเอกลักษณ์เฉพาะได้

ในตอนแรกทฤษฎีนี้ถูกมองว่าไม่น่าเป็นไปได้หรือเป็นการคาดเดาสูง แต่กลับถูกมองว่าจริงจังมากขึ้นเมื่อนักทฤษฎีจำนวน อังเดร ไวล์ พบหลักฐานที่สนับสนุนการค้นพบของญี่ปุ่น ด้วยเหตุนี้ การคาดเดาจึงมักเรียกว่าการคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระ-ไวล์ กลายมาเป็นส่วนหนึ่งของโครงการ Langlands ซึ่งเป็นรายการสมมติฐานสำคัญที่ต้องมีการพิสูจน์ในอนาคต

แม้จะได้รับความสนใจอย่างจริงจัง นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็ยอมรับว่าการคาดเดานี้เป็นเรื่องยากมากหรืออาจเป็นไปไม่ได้เลยที่จะพิสูจน์ ตอนนี้เป็นทฤษฎีบทนี้ที่กำลังรอ Andrew Wiles ซึ่งสามารถสร้างความประหลาดใจให้กับคนทั้งโลกด้วยวิธีแก้ปัญหาของมัน

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: การพิสูจน์ของเพเรลมาน

แม้จะมีตำนานที่ได้รับความนิยม นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียสำหรับอัจฉริยะของเขา Grigory Perelman ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เลย ซึ่งอย่างไรก็ตามไม่ได้เบี่ยงเบนความสนใจจากบริการมากมายของเขาต่อชุมชนวิทยาศาสตร์ แต่อย่างใด

ไฟล์ FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

ใบรับรองของประเทศยูเครนหมายเลข 27312

หลักฐานโดยย่อของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มีสูตรดังนี้ สมการไดโอแฟนไทน์ (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

ก n + บี n = ค n * /1/

ที่ไหน n- จำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 จะไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มบวก ก , บี , กับ .

การพิสูจน์

จากการกำหนดทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จะได้ดังนี้: ถ้า nเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 แล้วกำหนดให้เป็นตัวเลข 2 ใน 3 ตัวนั้น ก , ในหรือ กับ- จำนวนเต็มบวก หนึ่งในจำนวนเหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก

เราสร้างการพิสูจน์ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต ซึ่งเรียกว่า "ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของการแยกตัวประกอบ" หรือ "ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของการสลายตัวให้เป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็ม" ตัวเลขประกอบ- เลขชี้กำลังคี่และเลขคู่ที่เป็นไปได้ n . ลองพิจารณาทั้งสองกรณี

1. กรณีที่หนึ่ง: เลขชี้กำลัง n - ไม่ เลขคู่.

ในกรณีนี้ นิพจน์ /1/ จะถูกแปลงตามสูตรที่ทราบดังต่อไปนี้:

ก n + ใน n = กับ n /2/

เราเชื่ออย่างนั้น กและ บี– จำนวนเต็มบวก

ตัวเลข ก , ในและ กับต้องเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน

จากสมการ /2/ เป็นไปตามนั้นสำหรับค่าตัวเลขที่กำหนด กและ บีปัจจัย ( ก + บี ) n , กับ.

สมมติว่าเป็นจำนวนนั้น กับ -จำนวนเต็มบวก โดยคำนึงถึงเงื่อนไขที่ยอมรับและทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข :

กับ n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

ปัจจัยอยู่ที่ไหน ดร ดี

จากสมการ /3/ จะได้ดังนี้:

จากสมการ /3/ จะได้ว่าตัวเลข [ ซีเอ็น = หนึ่ง + บีเอ็น ] โดยมีเงื่อนไขว่าหมายเลขนั้น กับ ( ก + บี ) n- อย่างไรก็ตามเป็นที่รู้กันว่า:

หนึ่ง + บีเอ็น < ( ก + บี ) n /5/

เพราะฉะนั้น:

- จำนวนเศษส่วนที่น้อยกว่าหนึ่ง /6/

จำนวนเศษส่วน

n

สำหรับเลขชี้กำลังคี่ n >2 ตัวเลข:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

จากการวิเคราะห์สมการ /2/ จะได้เป็นเลขชี้กำลังคี่ nตัวเลข:

กับ n = ก n + ใน n = (เอ+บี)

ประกอบด้วยปัจจัยพีชคณิตเฉพาะสองตัว และสำหรับค่าใดๆ ของเลขชี้กำลัง nปัจจัยพีชคณิตยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ( ก + บี ).

ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จึงไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มบวกสำหรับเลขชี้กำลังคี่ n >2.

2. กรณีที่ 2: เลขชี้กำลัง n - เลขคู่ .

แก่นแท้ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากเราเขียนสมการใหม่ /1/ ดังนี้

หนึ่ง = ซีเอ็น - บีเอ็น /7/

ในกรณีนี้ สมการ /7/ จะถูกแปลงดังนี้:

ก n = C n - B n = ( กับ +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ บีเอ็น -2 + บีเอ็น -1 ). /8/

เรายอมรับสิ่งนั้น กับและ ใน– จำนวนเต็ม

จากสมการ /8/ เป็นไปตามนั้นสำหรับค่าตัวเลขที่กำหนด บีและ คปัจจัย (ค+ บี ) มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใดๆ ของเลขชี้กำลัง n , จึงเป็นตัวหารของจำนวน ก .

สมมติว่าเป็นจำนวนนั้น ก– จำนวนเต็ม โดยคำนึงถึงเงื่อนไขที่ยอมรับและทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข :

ก n = ค n - บีเอ็น =(ค+ บี ) n ∙ ดร , / 9/

ปัจจัยอยู่ที่ไหน ดรต้องเป็นจำนวนเต็มและเป็นตัวเลขด้วย ดีต้องเป็นจำนวนเต็มด้วย

จากสมการ /9/ จะได้ดังนี้:

/10/

จากสมการ /9/ จะได้ว่าตัวเลข [ ก n = กับ n - บีเอ็น ] โดยมีเงื่อนไขว่าหมายเลขนั้น ก– จำนวนเต็มต้องหารด้วยตัวเลข (ค+ บี ) n- อย่างไรก็ตามเป็นที่รู้กันว่า:

กับ n - บีเอ็น < (С+ บี ) n /11/

เพราะฉะนั้น:

- จำนวนเศษส่วนที่น้อยกว่าหนึ่ง /12/

จำนวนเศษส่วน

ตามนั้นสำหรับค่าคี่ของเลขชี้กำลัง nสมการ /1/ ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

สำหรับเลขชี้กำลังคู่ n >2 ตัวเลข:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จึงไม่มีคำตอบสำหรับจำนวนเต็มบวกและเลขชี้กำลังคู่ n >2.

ข้อสรุปทั่วไปเป็นไปตามที่กล่าวไว้ข้างต้น: สมการ /1/ ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก เอ, บีและ กับโดยมีเงื่อนไขว่าเลขชี้กำลัง n >2

เหตุผลเพิ่มเติม

ในกรณีที่มีเลขชี้กำลัง n – เลขคู่ นิพจน์พีชคณิต ( ซีเอ็น - บีเอ็น ) สลายตัวเป็นปัจจัยพีชคณิต:

ค 2 – ข 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

ค 4 – ข 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

ค 6 – ข 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

ค 8 – บี 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

ลองยกตัวอย่างเป็นตัวเลข

ตัวอย่างที่ 1: B=11; ค=35.

ค 2 – บี 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

ค 4 – บี 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

ค 6 – บี 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ​​​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

ค 8 – บี 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

ตัวอย่างที่ 2: B=16; ค=25.

ค 2 – บี 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

ค 4 – บี 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

ค 6 – บี 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

ค 8 – บี 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833

จากการวิเคราะห์สมการ /13/, /14/, /15/ และ /16/ และสมการที่เกี่ยวข้องกัน ตัวอย่างเชิงตัวเลขดังต่อไปนี้:

สำหรับเลขชี้กำลังที่กำหนด n , ถ้าเป็นเลขคู่ก็คือตัวเลข ก n = ค n - บีเอ็นสลายตัวเป็นจำนวนปัจจัยเชิงพีชคณิตที่กำหนดไว้อย่างดี

สำหรับเลขชี้กำลังใดๆ n , ถ้าเป็นเลขคู่ ให้เข้า การแสดงออกทางพีชคณิต (ซีเอ็น - บีเอ็น ) มีตัวคูณอยู่เสมอ ( ค - บี ) และ ( ค + บี ) ;

ปัจจัยเชิงพีชคณิตแต่ละตัวสอดคล้องกับปัจจัยเชิงตัวเลขที่แน่นอนอย่างสมบูรณ์

สำหรับตัวเลขที่กำหนด ในและ กับตัวประกอบตัวเลขอาจเป็นจำนวนเฉพาะหรือตัวประกอบตัวเลขประกอบ

ตัวประกอบตัวเลขประกอบแต่ละตัวเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่ไม่มีตัวประกอบตัวเลขอื่นๆ บางส่วนหรือทั้งหมด

ขนาดของจำนวนเฉพาะในองค์ประกอบของตัวประกอบตัวเลขจะเพิ่มขึ้นตามการเพิ่มขึ้นของปัจจัยเหล่านี้

ตัวประกอบตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดซึ่งสอดคล้องกับตัวประกอบพีชคณิตที่ใหญ่ที่สุดจะรวมจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุดซึ่งมีกำลังน้อยกว่าเลขชี้กำลัง n(ส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระดับแรก)

สรุป: หลักฐานเพิ่มเติมสนับสนุนข้อสรุปว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มบวก

วิศวกรเครื่องกล

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซิงห์ ไซมอน

"ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้วหรือยัง"

นี่เป็นเพียงก้าวแรกในการพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระ แต่กลยุทธ์ของไวล์สเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่สมควรได้รับการเผยแพร่ แต่เนื่องจากไวล์สให้คำมั่นว่าจะเงียบงันด้วยตนเอง เขาจึงไม่สามารถบอกคนทั้งโลกเกี่ยวกับผลลัพธ์ของเขาได้ และไม่รู้ว่าใครจะสามารถสร้างความก้าวหน้าครั้งสำคัญที่เท่าเทียมกันได้

ไวล์สเล่าถึงทัศนคติเชิงปรัชญาของเขาที่มีต่อผู้ท้าชิง: “ไม่มีใครอยากใช้เวลาหลายปีในการพิสูจน์บางสิ่งบางอย่างและค้นพบว่ามีคนอื่นสามารถค้นหาข้อพิสูจน์ได้เมื่อสองสามสัปดาห์ก่อน แต่ที่น่าแปลกก็คือ เนื่องจากฉันพยายามแก้ไขปัญหาที่ถือว่าไม่สามารถแก้ไขได้ ฉันจึงไม่กลัวคู่แข่งมากนัก ฉันแค่ไม่คาดคิดว่าฉันหรือใครก็ตามจะมีความคิดที่จะนำไปสู่การพิสูจน์”

เมื่อวันที่ 8 มีนาคม พ.ศ. 2531 ไวล์สต้องตกใจเมื่อเห็นคำที่พิมพ์อยู่บนหน้าแรกของหนังสือพิมพ์ พิมพ์ใหญ่พาดหัวข่าวว่า: “ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้ว” วอชิงตันโพสต์และนิวยอร์กไทมส์รายงานว่าโยอิจิ มิยาโอกะ วัย 38 ปีจากมหาวิทยาลัยโตเกียวเมโทรโพลิแทนได้แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดในโลกได้ มิยาโอกะยังไม่ได้เผยแพร่หลักฐานของเขา แต่ได้สรุปความคืบหน้าในการสัมมนาที่สถาบันคณิตศาสตร์มักซ์พลังค์ในเมืองบอนน์ ดอน ซากีร์ ซึ่งเข้าร่วมในการเสวนาของมิยาโอกะ กล่าวถึงการมองโลกในแง่ดีของชุมชนคณิตศาสตร์ด้วยคำพูดต่อไปนี้: “ข้อพิสูจน์ที่มิยาโอกะนำเสนอนั้นน่าสนใจอย่างยิ่ง และนักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่ามีความเป็นไปได้สูงที่จะถูกต้อง เรายังไม่แน่ใจทั้งหมด แต่จนถึงขณะนี้หลักฐานดูน่าสนับสนุนมาก”

การพูดในการสัมมนาที่บอนน์ มิยาโอกะพูดถึงแนวทางของเขาในการแก้ปัญหา ซึ่งเขาพิจารณาจากมุมมองพีชคณิต-เรขาคณิตที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา เรขาคณิตมีความเข้าใจอย่างลึกซึ้งและลึกซึ้งเกี่ยวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะคุณสมบัติของพื้นผิว ในยุค 70 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย S. Arakelov พยายามสร้างความคล้ายคลึงระหว่างปัญหาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตกับปัญหาทฤษฎีจำนวน นี่เป็นหนึ่งในแนวทางหนึ่งของโปรแกรมของแลงแลนด์ และนักคณิตศาสตร์หวังว่าปัญหาที่ยังไม่แก้ในทฤษฎีจำนวนจะแก้ได้ด้วยการศึกษาปัญหาที่สอดคล้องกันในเรขาคณิต ซึ่งก็ยังไม่ได้รับการแก้ไขเช่นกัน โปรแกรมนี้เป็นที่รู้จักในนามปรัชญาแห่งความเท่าเทียม เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเหล่านั้นที่พยายามแก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวนเรียกว่า "เรขาคณิตพีชคณิตทางคณิตศาสตร์" ในปี 1983 พวกเขาประกาศชัยชนะครั้งสำคัญครั้งแรกเมื่อ Gerd Faltings จากสถาบัน Princeton การศึกษาระดับสูงมีส่วนสำคัญในการทำความเข้าใจทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จำได้ว่าตามสมการของแฟร์มาต์

ที่ nมากกว่า 2 จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม ฟอลติงส์ตัดสินใจว่าเขามีความก้าวหน้าในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยการศึกษาพื้นผิวทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับค่าต่างๆ n- พื้นผิวที่เกี่ยวข้องกับสมการของแฟร์มาต์สำหรับค่าต่างๆ nต่างกันแต่มีอย่างใดอย่างหนึ่ง ทรัพย์สินส่วนกลาง- พวกมันทั้งหมดมีรูทะลุหรือพูดง่ายๆ ก็คือรู พื้นผิวเหล่านี้เป็นสี่มิติ เช่นเดียวกับกราฟของรูปทรงโมดูลาร์ ส่วนสองมิติของพื้นผิวทั้งสองจะแสดงอยู่ในรูปที่. 23. พื้นผิวที่เกี่ยวข้องกับสมการแฟร์มาต์ดูคล้ายกัน ยิ่งมีค่ามากเท่าไร nในสมการ ยิ่งมีรูมากขึ้นบนพื้นผิวที่สอดคล้องกัน

ข้าว. 23. ใช้พื้นผิวทั้งสองนี้ โปรแกรมคอมพิวเตอร์"คณิตศาสตร์". แต่ละอันแสดงถึงตำแหน่งของจุดที่เป็นไปตามสมการ เอ็กซ์เอ็น + ใช่ = z n(สำหรับพื้นผิวด้านซ้าย n=3 สำหรับพื้นผิวด้านขวา n=5) ตัวแปร xและ ยถือว่าซับซ้อนที่นี่

ฟอลติงส์สามารถพิสูจน์ได้ว่าเนื่องจากพื้นผิวดังกล่าวมักจะมีรูหลายรูเสมอ สมการแฟร์มาต์ที่เกี่ยวข้องจึงสามารถมีชุดคำตอบจำนวนเต็มจำนวนจำกัดเท่านั้น จำนวนวิธีแก้ปัญหาอาจเป็นอะไรก็ได้ ตั้งแต่ศูนย์ตามที่แฟร์มาต์สันนิษฐานไว้ จนถึงหนึ่งล้านหรือพันล้าน ดังนั้น ฟอลติงส์จึงไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ แต่อย่างน้อยก็สามารถปฏิเสธความเป็นไปได้ที่สมการของแฟร์มาต์จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ห้าปีต่อมา มิยาโอกะรายงานว่าเขาได้ก้าวไปอีกขั้นหนึ่ง ตอนนั้นเขาอายุยี่สิบต้นๆ มิยาโอกะได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันบางประการ เห็นได้ชัดว่าการพิสูจน์การคาดเดาทางเรขาคณิตของเขาหมายถึงการพิสูจน์ว่าจำนวนคำตอบของสมการของแฟร์มาต์นั้นไม่ได้จำกัดอยู่เพียงเท่านั้น แต่เท่ากับศูนย์ แนวทางของมิยาโอกะคล้ายคลึงกับของไวล์สตรงที่ทั้งคู่พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยเชื่อมโยงทฤษฎีบทนี้กับสมมติฐานพื้นฐานในคณิตศาสตร์สาขาอื่น สำหรับมิยาโอกะ มันเป็นเรขาคณิตเชิงพีชคณิต สำหรับไวล์ส เส้นทางในการพิสูจน์จะวางผ่านเส้นโค้งรูปไข่และรูปแบบโมดูลาร์ ทำให้ไวล์สต้องผิดหวังอย่างมาก เขายังคงพยายามดิ้นรนเพื่อพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระ เมื่อมิยาโอกะอ้างว่ามีข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของการคาดเดาของเขาเอง และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

สองสัปดาห์หลังจากสุนทรพจน์ของเขาในเมืองบอนน์ มิยาโอกะตีพิมพ์การคำนวณห้าหน้าซึ่งเป็นแก่นแท้ของการพิสูจน์ของเขา และเริ่มการตรวจสอบอย่างละเอียด นักทฤษฎีจำนวนและผู้เชี่ยวชาญด้านเรขาคณิตพีชคณิตทั่วโลกได้ศึกษาการคำนวณที่เผยแพร่ทีละบรรทัด ไม่กี่วันต่อมา นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบความขัดแย้งอย่างหนึ่งในการพิสูจน์ที่ไม่สามารถทำให้เกิดความกังวลได้ งานส่วนหนึ่งของมิยาโอกะนำไปสู่ข้อความจากทฤษฎีจำนวน ซึ่งเมื่อแปลเป็นภาษาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแล้ว ก็ทำให้เกิดข้อความที่ขัดแย้งกับผลลัพธ์ที่ได้รับเมื่อหลายปีก่อน แม้ว่าสิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องทำให้การพิสูจน์ทั้งหมดของมิยาโอกะเป็นโมฆะ แต่ความขัดแย้งที่ถูกค้นพบนั้นไม่สอดคล้องกับปรัชญาของความเท่าเทียมระหว่างทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิต

อีกสองสัปดาห์ต่อมา เกิร์ด ฟัลติงส์ ซึ่งปูทางไปสู่มิยาโอเกะ ประกาศว่าเขาได้ค้นพบสาเหตุที่แท้จริงของการละเมิดความเท่าเทียมที่เห็นได้ชัด นั่นคือช่องว่างในการให้เหตุผล นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นคนนี้เป็นนักเรขาคณิตและไม่เข้มงวดนักในการแปลแนวคิดของเขาให้กลายเป็นขอบเขตของทฤษฎีตัวเลขที่ไม่ค่อยคุ้นเคย กองทัพนักทฤษฎีจำนวนพยายามอย่างบ้าคลั่งที่จะอุดช่องโหว่ในการพิสูจน์ของมิยาโอกะ แต่ก็ไร้ประโยชน์ สองเดือนหลังจากที่มิยาโอกะอ้างว่ามีการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อย่างสมบูรณ์ ชุมชนนักคณิตศาสตร์ก็ได้ข้อสรุปที่เป็นเอกฉันท์: การพิสูจน์ของมิยาโอกะถึงวาระที่จะล้มเหลว

เช่นเดียวกับการพิสูจน์ที่ล้มเหลวครั้งก่อน มิยาโอกะสามารถได้รับผลลัพธ์ที่น่าสนใจมากมาย ชิ้นส่วนของการพิสูจน์ของเขาสมควรได้รับความสนใจจากการประยุกต์เรขาคณิตกับทฤษฎีจำนวนอย่างชาญฉลาด และในปีต่อๆ มา นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ก็ใช้มันเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทบางทฤษฎี แต่ก็ไม่มีใครประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในลักษณะนี้

ความยุ่งยากเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็สงบลงในไม่ช้า และหนังสือพิมพ์ก็ตีพิมพ์ บันทึกย่อซึ่งระบุว่าปริศนาสามร้อยปียังคงไม่ได้รับการแก้ไข คำจารึกต่อไปนี้ปรากฏบนผนังสถานีรถไฟใต้ดิน Eighth Street ในนิวยอร์ก ไม่ต้องสงสัยเลยว่าได้รับแรงบันดาลใจจากการรายงานข่าวทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์: "Eq. xn + ยิน = สังกะสีไม่มีวิธีแก้ปัญหา ฉันได้พบข้อพิสูจน์ที่น่าทึ่งจริงๆ เกี่ยวกับข้อเท็จจริงข้อนี้ แต่ฉันไม่สามารถเขียนมันลงไปได้เพราะรถไฟของฉันมาถึงแล้ว”

บทที่สิบ ฟาร์มจระเข้ พวกเขาขับรถไปตามถนนที่งดงามราวกับภาพวาดในรถของจอห์นคันเก่า โดยนั่งอยู่ที่เบาะหลัง ที่พวงมาลัยมีคนขับสีดำสวมเสื้อเชิ้ตสีสดใสและมีศีรษะเกรียนแปลกประหลาด บนกระโหลกที่โกนแล้วของเขามีผมสีดำแข็งเป็นเส้นตั้งตระหง่านอยู่ ตรรกะ

การเตรียมตัวสำหรับการแข่งขัน อลาสกา ฟาร์ม Iditarod ของ Linda Pletner เป็นการแข่งขันสุนัขลากเลื่อนประจำปีในอลาสก้า ความยาวของเส้นทางคือ 1,150 ไมล์ (1,800 กม.) นี่คือการแข่งขันสุนัขลากเลื่อนที่ยาวที่สุดในโลก เริ่มต้น (พิธีการ) - 4 มีนาคม 2543 จากเมืองแองเคอเรจ เริ่ม

ฟาร์มแพะ ในหมู่บ้านจะมีงานมากมายในช่วงฤดูร้อน ตอนที่เราไปเยี่ยมชมหมู่บ้าน Khomutets หญ้าแห้งกำลังถูกเก็บเกี่ยวและคลื่นกลิ่นหอมจากสมุนไพรที่เพิ่งตัดใหม่ดูเหมือนจะซึมซับทุกสิ่งรอบตัว ต้องตัดหญ้าตรงเวลาเพื่อไม่ให้สุกเกินไป จากนั้นทุกสิ่งที่มีคุณค่าและมีคุณค่าทางโภชนาการจะถูกเก็บรักษาไว้ ในพวกเขา นี้

ฟาร์มฤดูร้อน ฟางเหมือนสายฟ้าฟาดมือถือแก้วลงไปในหญ้า อีกคนหนึ่งลงนามที่รั้วแล้วจุดไฟแก้วน้ำสีเขียวในรางม้า สู่พลบค่ำสีน้ำเงิน เป็ดเก้าตัวเร่ร่อนไปตามร่องในจิตวิญญาณของเส้นคู่ขนาน ที่นี่ไก่กำลังจ้องมองไม่มีอะไรเพียงอย่างเดียว

ฟาร์มที่พังทลาย ดวงอาทิตย์อันสงบนิ่งราวกับดอกไม้สีแดงเข้ม โน้มตัวลงสู่พื้น เติบโตไปสู่พระอาทิตย์ตกดิน แต่ม่านแห่งราตรีที่มีพลังว่างปิดโลกไว้ ถูกรบกวนด้วยการจ้องมอง ความเงียบปกคลุมทั่วฟาร์มที่ไม่มีหลังคา ราวกับว่ามีใครบางคนฉีกผมของเธอออก พวกเขากำลังต่อสู้กันเพื่อแย่งต้นกระบองเพชร

ฟาร์มหรือฟาร์ม? เมื่อวันที่ 13 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2501 หนังสือพิมพ์ใจกลางกรุงมอสโกและหนังสือพิมพ์ระดับภูมิภาคทั้งหมดได้ตีพิมพ์คำตัดสินของคณะกรรมการกลางของพรรคคอมมิวนิสต์แห่งยูเครน "เกี่ยวกับข้อผิดพลาดในการซื้อวัวจากเกษตรกรโดยรวมในภูมิภาค Zaporozhye" เราไม่ได้พูดถึงทั้งภูมิภาคด้วยซ้ำ แต่พูดถึงสองเขต: Primorsky

ปัญหาของแฟร์มาต์ ในปี 1963 เมื่อเขาอายุเพียง 10 ขวบ แอนดรูว์ ไวล์สหลงใหลในวิชาคณิตศาสตร์อยู่แล้ว “ที่โรงเรียนฉันชอบแก้ปัญหา ฉันพาพวกเขากลับบ้านและคิดหาปัญหาใหม่ๆ จากแต่ละปัญหา แต่ปัญหาที่ดีที่สุดที่ฉันเคยพบคือที่ท้องถิ่น

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและจำนวนอนันต์ พีทาโกรัสสามเท่าถูกกล่าวถึงในหนังสือโดย E.T. เบลล่า” ปัญหาใหญ่" - อันเดียวกัน หนังสือห้องสมุดซึ่งดึงดูดความสนใจของ Andrew Wiles และถึงแม้ว่าชาวพีทาโกรัสจะประสบความสำเร็จเกือบสมบูรณ์ก็ตาม

คณิตศาสตร์หลังจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ น่าแปลกที่ไวล์สเองก็รู้สึกเกี่ยวข้องกับรายงานของเขา ความรู้สึกผสม: “โอกาสในการกล่าวสุนทรพจน์ได้รับการคัดเลือกมาเป็นอย่างดี แต่ตัวการบรรยายกลับให้ความรู้สึกผสมปนเปกัน กำลังทำงานในการพิสูจน์

บทที่ 63 ฟาร์มของ Old McLennon ประมาณหนึ่งเดือนครึ่งหลังจากกลับมานิวยอร์ก ในเย็นวันหนึ่ง พฤศจิกายน โทรศัพท์ดังขึ้นในอพาร์ตเมนต์ของ Lennons โยโกะรับสายด้วยสำเนียงเปอร์โตริโกถามโยโกะ โอโนะ

ทฤษฎีบทของ Pontryagin ในเวลาเดียวกันกับ Conservatory พ่อของฉันเรียนที่ Moscow State University ศึกษากลศาสตร์และคณิตศาสตร์ เขาสำเร็จการศึกษาด้วยความสำเร็จและยังลังเลในการเลือกอาชีพอยู่พักหนึ่ง ดนตรีวิทยาชนะ เนื่องจากได้ประโยชน์จากแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของเขา

ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสิทธิของสมาคมศาสนาในการเลือกพระสงฆ์จำเป็นต้องมีข้อพิสูจน์ ข้อความมีข้อความดังนี้: “ชุมชนออร์โธดอกซ์ถูกสร้างขึ้น... ภายใต้การนำทางจิตวิญญาณของพระสงฆ์ที่ได้รับเลือกจากชุมชน และได้รับพรจากพระสังฆราชสังฆมณฑล”

I. ฟาร์ม (“ที่นี่ จากมูลไก่...”) ที่นี่ จากมูลไก่ ความรอดอย่างหนึ่งคือไม้กวาด ความรัก - อันไหน? - เธอพาฉันเข้าไปในเล้าไก่ การจิกเมล็ดข้าว, ไก่ร้องเจื้อยแจ้ว, ไก่ก้าวย่างที่สำคัญ และไม่มีขนาดและการเซ็นเซอร์ บทกวีก็แต่งขึ้นในใจ ประมาณช่วงบ่ายของแคว้นโพรวองซ์

ข่าววิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ยูดีซี 51:37;517.958

เอ.วี. โคนอฟโก, Ph.D.

สถาบันการศึกษาของรัฐ บริการดับเพลิงกระทรวงสถานการณ์ฉุกเฉินของรัสเซีย ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของ FERMA ได้รับการพิสูจน์แล้ว หรือไม่?

เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ว่าสมการ xn+yn=zn สำหรับ n>2 ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนเต็มด้วย ปัญหานี้เกิดขึ้นภายใต้การประพันธ์ของนักกฎหมายชาวฝรั่งเศส ปิแอร์ แฟร์มาต์ ซึ่งในขณะเดียวกันก็ทำงานด้านคณิตศาสตร์อย่างมืออาชีพ การตัดสินใจของเธอได้รับการยกย่องว่าเป็นครูคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Andrew Wiles การรับรู้นี้กินเวลาตั้งแต่ปี 1993 ถึง 1995

ทฤษฎีบทของเฟอร์มาอันยิ่งใหญ่ได้รับการพิสูจน์แล้ว หรือไม่?

ประวัติศาสตร์อันน่าทึ่งของการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ถือเป็นการพิจารณา ใช้เวลาเกือบสี่ร้อยปี ปิแอร์ แฟร์มาต์เขียนน้อย เขาเขียนในรูปแบบบีบอัด นอกจากนี้ เขายังไม่ได้เผยแพร่งานวิจัยของเขา ข้อความที่ว่าสมการ xn+yn=zn นั้นแก้ไม่ได้ บนเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนเต็ม ถ้า n>2 เข้าร่วมด้วยความเห็นของแฟร์มาต์ เขาก็พบว่าเป็นการพิสูจน์ที่น่าทึ่งอย่างยิ่งต่อข้อความนี้ การพิสูจน์นี้ไม่สามารถเข้าถึงลูกหลานได้ ต่อมาคำกล่าวนี้ถูกเรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ นักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดในโลกแหกทฤษฎีบทนี้โดยไม่มีผลลัพธ์ ในช่วงอายุเจ็ดสิบเศษ Andre Veil นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสของ Paris Academy of Sciences Andre Veil ได้วางแนวทางใหม่ในการแก้ปัญหา ในวันที่ 23 มิถุนายน ในปี 1993 ที่การประชุมทฤษฎีตัวเลขในเคมบริดจ์ นักคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน แอนดรูว์ ไวล์ส ประกาศว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เสร็จสมบูรณ์แล้ว อย่างไรก็ตาม ยังเร็วเกินไปที่จะคว้าชัยชนะ

ในปี 1621 นักเขียนชาวฝรั่งเศสและผู้ชื่นชอบคณิตศาสตร์ Claude Gaspard Bachet de Meziriak ได้ตีพิมพ์บทความภาษากรีก "เลขคณิต" ของ Diophantus พร้อมคำแปลภาษาละตินและคำอธิบาย “เลขคณิต” อันหรูหราซึ่งมีระยะขอบกว้างผิดปกติตกไปอยู่ในมือของแฟร์มาต์วัย 20 ปีและกลายเป็นหนังสืออ้างอิงของเขามาหลายปี ตรงขอบกระดาษเขาได้ทิ้งบันทึก 48 ฉบับซึ่งมีข้อเท็จจริงที่เขาค้นพบเกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขไว้ ในส่วนขอบของ "เลขคณิต" ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ได้รับการกำหนดขึ้น: "เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกลูกบาศก์ออกเป็นสองลูกบาศก์หรือไบควอเดรตเป็นสองไบควอเดรต หรือโดยทั่วไปแล้ว ยกกำลังที่มากกว่าสองเป็นสองยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกันไม่ได้ ฉันพบข้อพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริงเกี่ยวกับเรื่องนี้ ซึ่งเนื่องจากไม่มีพื้นที่จึงไม่สามารถรองรับสาขาเหล่านี้ได้" อย่างไรก็ตามในภาษาละตินดูเหมือนว่า: "Cubum autem ใน duos cubos, aut quadrato-quadratum ใน duos quadrato-quadratos, et Generaliter nullam ใน infinitum ultra quadratum potestatem ใน duas ejusdem nominis fas estdividere; cujus rei สาธิต mirabilem sane detexi Hanc Marginis Exiguitas ไม่ใช่ Caperet”

ปิแอร์ แฟร์มาต์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ (ค.ศ. 1601-1665) ได้พัฒนาวิธีการกำหนดพื้นที่และปริมาตรที่สร้างขึ้น วิธีการใหม่แทนเจนต์และสุดขั้ว ร่วมกับเดส์การตส์ เขากลายเป็นผู้สร้างเรขาคณิตวิเคราะห์ ร่วมกับปาสคาล เขายืนอยู่ที่จุดกำเนิดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ในสาขาวิธีการที่เล็กที่สุด กฎทั่วไปสร้างความแตกต่างและพิสูจน์แล้ว มุมมองทั่วไปกฎการรวม ฟังก์ชั่นพลังงาน... แต่ที่สำคัญที่สุด ชื่อนี้มีความเกี่ยวข้องกับเรื่องราวลึกลับและน่าทึ่งที่สุดเรื่องหนึ่งที่เคยทำให้คณิตศาสตร์ตกตะลึง - เรื่องราวการพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ ตอนนี้ทฤษฎีบทนี้แสดงออกมาในรูปของประโยคง่ายๆ: สมการ xn + yn = zn สำหรับ n>2 ไม่สามารถแก้ได้เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม สำหรับกรณี n = 3 นักคณิตศาสตร์ชาวเอเชียกลาง Al-Khojandi พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในศตวรรษที่ 10 แต่การพิสูจน์ของเขาไม่รอด

ปิแอร์ แฟร์มาต์ ซึ่งเป็นชนพื้นเมืองทางตอนใต้ของฝรั่งเศส ได้รับการศึกษาด้านกฎหมาย และตั้งแต่ปี 1631 ดำรงตำแหน่งที่ปรึกษารัฐสภาแห่งเมืองตูลูส (นั่นคือ ศาลสูงสุด) หลังจากทำงานภายในกำแพงรัฐสภามาทั้งวัน เขาก็เรียนวิชาคณิตศาสตร์และกระโจนเข้าสู่โลกที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงในทันที เงิน ศักดิ์ศรี การยอมรับจากสาธารณชน ทั้งหมดนี้ไม่สำคัญสำหรับเขา วิทยาศาสตร์ไม่เคยกลายเป็นรายได้สำหรับเขา ไม่ได้กลายเป็นงานฝีมือ เหลือเพียงเกมที่น่าตื่นเต้นในใจเสมอ มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่เข้าใจได้ พระองค์ทรงติดต่อกับพวกเขาต่อไป

ฟาร์มไม่เคยเขียน งานทางวิทยาศาสตร์ในความเข้าใจตามปกติของเรา และในการโต้ตอบของเขากับเพื่อน ๆ มักจะมีความท้าทายอยู่เสมอแม้กระทั่งการยั่วยุและไม่ได้นำเสนอปัญหาและวิธีแก้ไขทางวิชาการเลย นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจดหมายหลายฉบับของเขาจึงถูกเรียกว่าเป็นการท้าทายในเวลาต่อมา

บางทีนี่อาจเป็นเหตุผลว่าทำไมเขาถึงไม่เคยตระหนักถึงความตั้งใจที่จะเขียนเรียงความพิเศษเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน ในขณะเดียวกันนี่เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เขาชื่นชอบ สำหรับเธอแล้วแฟร์มาต์ได้อุทิศจดหมายของเขาที่ได้รับแรงบันดาลใจมากที่สุด เขาเขียนว่า “เลขคณิตมีสาขาเป็นของตัวเอง นั่นคือทฤษฎีจำนวนเต็ม ทฤษฎีนี้สัมผัสได้เพียงเล็กน้อยจากยุคลิดและผู้ติดตามของเขายังไม่ได้รับการพัฒนาอย่างเพียงพอ (เว้นแต่จะมีอยู่ในผลงานของไดโอแฟนทัสซึ่งการทำลายล้างของ เวลาทำให้เราขาดไป) นักคณิตศาสตร์จึงต้องพัฒนาและปรับปรุงใหม่"

เหตุใดแฟร์มาต์จึงไม่กลัวผลกระทบจากการทำลายล้างของเวลา เขาเขียนน้อยและกระชับมากเสมอ แต่ที่สำคัญที่สุดคือเขาไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานของเขา ในช่วงชีวิตของเขาพวกเขาเผยแพร่เฉพาะในต้นฉบับเท่านั้น ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่ผลลัพธ์ของแฟร์มาต์เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนมาถึงเราในรูปแบบที่กระจัดกระจาย แต่ Bulgakov น่าจะถูกต้อง: ต้นฉบับที่ยอดเยี่ยมไม่ไหม้! งานของแฟร์มาต์ยังคงอยู่ พวกเขายังคงอยู่ในจดหมายถึงเพื่อนของเขา: Jacques de Billy ครูสอนคณิตศาสตร์ของลียง, Bernard Freniquel de Bessy พนักงานโรงกษาปณ์, Marcenny, Descartes, Blaise Pascal... สิ่งที่เหลืออยู่คือ "เลขคณิต" ของ Diophantus พร้อมความคิดเห็นของเขาที่ขอบ ซึ่งหลังจากนั้น การเสียชีวิตของแฟร์มาต์ถูกรวมเข้ากับความคิดเห็นของบาเชต์ในไดโอแฟนทัสฉบับใหม่ ซึ่งจัดพิมพ์โดยซามูเอล ลูกชายคนโตของเขาในปี 1670 มีเพียงหลักฐานเท่านั้นที่ไม่รอด

เมื่อสองปีก่อนที่เขาจะเสียชีวิต แฟร์มาต์ส่งจดหมายพินัยกรรมให้คาร์คาวีเพื่อนของเขา ซึ่งมีชื่ออยู่ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ภายใต้ชื่อ "สรุปผลลัพธ์ใหม่ในศาสตร์แห่งตัวเลข" ในจดหมายฉบับนี้ แฟร์มาต์พิสูจน์ข้อความที่มีชื่อเสียงของเขาสำหรับกรณีที่ n = 4 แต่แล้วเขาก็มีแนวโน้มว่าจะไม่สนใจข้อความนั้น แต่ในวิธีการพิสูจน์ที่เขาค้นพบ ซึ่งแฟร์มาต์เองก็เรียกว่าการสืบเชื้อสายแบบไม่มีขอบเขตหรือไม่มีกำหนด

ต้นฉบับไม่ไหม้ แต่หากไม่ใช่เพราะการอุทิศของซามูเอล ซึ่งหลังจากบิดาของเขาเสียชีวิตได้รวบรวมภาพร่างทางคณิตศาสตร์และบทความเล็กๆ น้อยๆ ทั้งหมดของเขา แล้วตีพิมพ์ในปี 1679 ภายใต้ชื่อ “งานคณิตศาสตร์เบ็ดเตล็ด” นักคณิตศาสตร์ที่เรียนรู้จะต้องค้นพบและค้นพบใหม่อีกมาก . แต่แม้หลังจากการตีพิมพ์แล้ว ปัญหาที่เกิดจากนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ก็ยังคงนิ่งเฉยมานานกว่าเจ็ดสิบปี และนี่ก็ไม่น่าแปลกใจเลย ในรูปแบบที่ปรากฏในการพิมพ์ ผลลัพธ์ทางทฤษฎีเชิงตัวเลขของ P. Fermat ปรากฏต่อหน้าผู้เชี่ยวชาญในรูปแบบของปัญหาร้ายแรงซึ่งไม่ชัดเจนสำหรับคนรุ่นเดียวกันเสมอไป แทบไม่มีการพิสูจน์ และข้อบ่งชี้ของการเชื่อมโยงเชิงตรรกะภายในระหว่างพวกเขา บางที หากไม่มีทฤษฎีที่มีความคิดดีและสอดคล้องกัน คำตอบสำหรับคำถามที่ว่าเหตุใดแฟร์มาต์เองก็ไม่เคยตัดสินใจตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนเลย เจ็ดสิบปีต่อมา แอล. ออยเลอร์เริ่มสนใจผลงานเหล่านี้ และนี่เป็นการเกิดครั้งที่สองของพวกเขาอย่างแท้จริง...

คณิตศาสตร์ต้องจ่ายเงินมหาศาลสำหรับลักษณะเฉพาะของแฟร์มาต์ในการนำเสนอผลลัพธ์ของเขา ราวกับว่าจงใจละเว้นการพิสูจน์ของพวกเขา แต่ถ้าแฟร์มาต์อ้างว่าเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้หรือทฤษฎีนั้นแล้ว ทฤษฎีบทนี้ก็ได้รับการพิสูจน์ในเวลาต่อมา อย่างไรก็ตาม มีปัญหากับทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่

ความลึกลับกระตุ้นจินตนาการอยู่เสมอ ทั่วทั้งทวีปถูกพิชิตด้วยรอยยิ้มอันลึกลับของ Gioconda ทฤษฎีสัมพัทธภาพซึ่งเป็นกุญแจไขความลึกลับของการเชื่อมโยงระหว่างกาลอวกาศ ได้กลายเป็นทฤษฎีฟิสิกส์ที่ได้รับความนิยมมากที่สุดแห่งศตวรรษ และเราสามารถพูดได้อย่างปลอดภัยว่าไม่มีปัญหาทางคณิตศาสตร์อื่นใดที่ได้รับความนิยมเท่ากับ ___93

ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และการศึกษาของการคุ้มครองพลเรือน

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์คืออะไร? ความพยายามที่จะพิสูจน์ว่ามันนำไปสู่การสร้างสาขาคณิตศาสตร์ที่กว้างขวาง - ทฤษฎีของจำนวนพีชคณิต แต่ (อนิจจา!) ทฤษฎีบทนั้นยังคงไม่ได้รับการพิสูจน์ ในปี 1908 Wolfskehl นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันมอบคะแนน 100,000 แต้มให้กับใครก็ตามที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้ นี่เป็นจำนวนเงินมหาศาลในสมัยนั้น! ในช่วงเวลาหนึ่งคุณอาจไม่เพียงแต่มีชื่อเสียงเท่านั้น แต่ยังร่ำรวยอีกด้วย! ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่นักเรียนมัธยมปลายแม้แต่ในรัสเซียซึ่งห่างไกลจากเยอรมนีต่างแข่งขันกันเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ เราจะว่าอย่างไรเกี่ยวกับนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ! แต่...เปล่าประโยชน์! หลังสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง เงินก็ไร้ค่า และจดหมายที่มีหลักฐานหลอกก็เริ่มเหือดแห้ง แม้ว่าแน่นอนว่ามันไม่เคยหยุดนิ่งก็ตาม พวกเขาบอกว่านักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อดัง Edmund Landau เตรียมแบบฟอร์มที่พิมพ์เพื่อส่งให้ผู้เขียนพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: "มีข้อผิดพลาดในหน้า ... ในบรรทัด ... " (ผู้ช่วยศาสตราจารย์ได้รับความไว้วางใจให้ค้นหาข้อผิดพลาด) มีสิ่งแปลกประหลาดและเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยมากมายที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้จนใครๆ ก็สามารถเขียนหนังสือจากสิ่งเหล่านี้ได้ เกร็ดเล็กเกร็ดน้อยล่าสุดคือเรื่องราวนักสืบของ A. Marinina เรื่อง “A Coincidence of Circumstances” ซึ่งถ่ายทำและฉายทางจอโทรทัศน์ของประเทศในเดือนมกราคม พ.ศ. 2543 ในนั้น เพื่อนร่วมชาติของเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ไม่ได้รับการพิสูจน์จากบรรพบุรุษผู้ยิ่งใหญ่ของเขาและข้ออ้างของมัน รางวัลโนเบล- ดังที่ทราบกันดีว่าผู้ประดิษฐ์ไดนาไมต์เพิกเฉยต่อพินัยกรรมของนักคณิตศาสตร์ ดังนั้นผู้เขียนข้อพิสูจน์จึงทำได้เพียงคว้าเหรียญทอง Fields ซึ่งเป็นรางวัลระดับนานาชาติสูงสุดที่นักคณิตศาสตร์รับรองเองในปี 1936

ในงานคลาสสิกของ A.Ya นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวรัสเซีย Khinchin ซึ่งอุทิศให้กับทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของ Fermat ให้ข้อมูลเกี่ยวกับประวัติของปัญหานี้ และให้ความสนใจกับวิธีการที่ Fermat สามารถใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาได้ มีการให้หลักฐานสำหรับกรณี n = 4 และ ภาพรวมโดยย่อผลลัพธ์ที่สำคัญอื่นๆ

แต่เมื่อถึงเวลาที่เรื่องราวนักสืบถูกเขียนขึ้น และยิ่งไปกว่านั้นเมื่อถึงเวลาที่ถ่ายทำ ก็พบข้อพิสูจน์ทั่วไปของทฤษฎีบทนี้แล้ว เมื่อวันที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 ในการประชุมเรื่องทฤษฎีจำนวนในเมืองเคมบริดจ์ นักคณิตศาสตร์ชาวพรินซ์ตัน แอนดรูว์ ไวล์ส ประกาศว่าได้รับข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แล้ว แต่ไม่ใช่อย่างที่แฟร์มาต์เองก็ "สัญญา" ไว้ เส้นทางที่แอนดรูว์ ไวล์สเลือกไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการทางคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา เขาศึกษาทฤษฎีที่เรียกว่าเส้นโค้งรูปไข่

หากต้องการเข้าใจเส้นโค้งวงรี คุณต้องพิจารณาเส้นโค้งระนาบที่กำหนดโดยสมการระดับที่สาม

Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0 (1)

เส้นโค้งดังกล่าวทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท คลาสแรกประกอบด้วยเส้นโค้งที่มีจุดลับคม (เช่น พาราโบลากึ่งลูกบาศก์ y2 = a2-X ที่มีจุดที่ลับคม (0; 0)) จุดตัดกันในตัว (เช่น แผ่นคาร์ทีเซียน x3+y3-3axy = 0 ที่จุด (0; 0)) เช่นเดียวกับเส้นโค้งที่แสดงพหุนาม Dx,y) ในรูปแบบ

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

โดยที่ ^(x,y) และ ^(x,y) เป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า เส้นโค้งของชั้นนี้เรียกว่าเส้นโค้งเสื่อมของระดับที่สาม เส้นโค้งระดับที่สองเกิดขึ้นจากเส้นโค้งที่ไม่เสื่อมสภาพ เราจะเรียกพวกมันว่ารูปไข่ ซึ่งอาจรวมถึง Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0 เป็นต้น หากค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม (1) เป็นจำนวนตรรกยะ เส้นโค้งวงรีสามารถเปลี่ยนเป็นรูปแบบบัญญัติที่เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ

y2= x3 + ขวาน + b (2)

ในปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น Y. Taniyama (พ.ศ. 2470-2501) ซึ่งอยู่ในกรอบของทฤษฎีเส้นโค้งวงรีสามารถกำหนดสมมติฐานที่เปิดทางให้พิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้ แต่ทั้งตัวทานิยามะและเพื่อนร่วมงานของเขากลับไม่สงสัยเรื่องนี้เลยในตอนนั้น เป็นเวลาเกือบยี่สิบปีแล้วที่สมมติฐานนี้ไม่ได้ดึงดูดความสนใจอย่างจริงจังและได้รับความนิยมในช่วงกลางทศวรรษที่ 70 เท่านั้น ตามการคาดเดาของทานิยามะทุกรูปวงรี

เส้นโค้งค สัมประสิทธิ์เหตุผลเป็นแบบโมดูลาร์ อย่างไรก็ตาม จนถึงขณะนี้ การกำหนดสมมติฐานไม่ได้บอกอะไรแก่ผู้อ่านที่พิถีพิถันมากนัก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีคำจำกัดความบางประการ

เส้นโค้งรูปไข่แต่ละเส้นสามารถเชื่อมโยงกับลักษณะตัวเลขที่สำคัญได้ - แยกแยะได้ สำหรับเส้นโค้งที่กำหนดในรูปแบบมาตรฐาน (2) ค่าจำแนก A จะถูกกำหนดโดยสูตร

ก = -(4a + 27b2)

ให้ E เป็นเส้นโค้งวงรี กำหนดโดยสมการ(2) โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม

สำหรับจำนวนเฉพาะ p ให้พิจารณาการเปรียบเทียบ

y2 = x3 + ขวาน + b(ม็อด p), (3)

โดยที่ a และ b เป็นเศษเหลือจากการหารจำนวนเต็ม a และ b ด้วย p และเราแทนด้วย np ของจำนวนคำตอบของการเปรียบเทียบนี้ ตัวเลข pr มีประโยชน์มากในการศึกษาคำถามเกี่ยวกับความสามารถในการแก้สมการในรูปแบบ (2) ที่เป็นจำนวนเต็ม ถ้า pr บางตัวเท่ากับศูนย์ สมการ (2) ก็จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม คุณสามารถคำนวณตัวเลข pr ได้เฉพาะในหน่วยเท่านั้น ในกรณีที่หายากที่สุด- (ในขณะเดียวกันก็ทราบกันว่า р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

ให้เราพิจารณาจำนวนเฉพาะ p ที่หารค่า A ของเส้นโค้งวงรี (2) สามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับ p ดังกล่าว พหุนาม x3 + ax + b สามารถเขียนได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสองวิธี:

x3 + ขวาน + b = (x + a)2 (x + ß)(พอด P)

x3 + ขวาน + b = (x + y)3 (พอด p)

โดยที่ a, ß, y คือเศษที่เหลือจากการหารด้วย p ถ้าสำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมด p หารการแบ่งแยกของเส้นโค้ง ความเป็นไปได้แรกจากทั้งสองที่ระบุนั้นถูกรับรู้ จากนั้นเส้นโค้งรูปวงรีจะเรียกว่ากึ่งคงที่

จำนวนเฉพาะที่แบ่งส่วนการแบ่งแยกสามารถนำมารวมกันเป็นสิ่งที่เรียกว่าจิ๊กโค้งวงรี ถ้า E เป็นเส้นโค้งกึ่งคงที่ ดังนั้นตัวนำ N จะได้รับจากสูตร

โดยที่สำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมด p > 5 หาร A eP เลขชี้กำลังจะเท่ากับ 1 เลขยกกำลัง 82 และ 83 คำนวณโดยใช้อัลกอริทึมพิเศษ

โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือทั้งหมดที่จำเป็นในการทำความเข้าใจแก่นแท้ของการพิสูจน์ อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของ Taniyama มีความซับซ้อนและในกรณีของเรา แนวคิดหลักความเป็นโมดูลาร์ ดังนั้น ลองลืมเส้นโค้งวงรีสักครู่แล้วพิจารณาฟังก์ชันวิเคราะห์ f (นั่นคือ ฟังก์ชันที่สามารถแสดงด้วยอนุกรมกำลัง) ของอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อน z ซึ่งกำหนดไว้ในระนาบครึ่งบน

เราแสดงโดย H ว่าเป็นระนาบครึ่งเชิงซ้อนตอนบน ให้ N เป็นจำนวนธรรมชาติ และ k เป็นจำนวนเต็ม รูปแบบพาราโบลาโมดูลาร์ของน้ำหนัก k ของระดับ N คือฟังก์ชันการวิเคราะห์ f(z) ซึ่งกำหนดไว้ในระนาบครึ่งบนและเป็นไปตามความสัมพันธ์

ฉ = (cz + d)kf (z) (5)

สำหรับจำนวนเต็มใดๆ a, b, c, d โดยที่ ae - bc = 1 และ c หารด้วย N ลงตัว นอกจากนี้ สันนิษฐานว่า

ลิม f (r + มัน) = 0,

โดยที่ r คือจำนวนตรรกยะ และนั่น

ปริภูมิของรูปแบบพาราโบลาโมดูลาร์ของน้ำหนัก k ของระดับ N แสดงโดย Sk(N) แสดงว่ามันมีมิติอันจำกัด

ต่อไปนี้ เราจะสนใจเป็นพิเศษในรูปแบบพาราโบลาโมดูลาร์ของน้ำหนัก 2 สำหรับ N ขนาดเล็ก มิติของปริภูมิ S2(N) จะแสดงอยู่ในตาราง 1. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

ขนาดพื้นที่ S2(N)

ตารางที่ 1

เอ็น<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

จากเงื่อนไข (5) จะได้ว่า % + 1) = สำหรับแต่ละรูปแบบ f e S2(N) ดังนั้น f จึงเป็นฟังก์ชันคาบ ฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงเป็น

ให้เราเรียกรูปแบบพาราโบลาโมดูลาร์ A^) ใน S2(N) ที่เหมาะสม หากสัมประสิทธิ์ของมันคือจำนวนเต็มที่เป็นไปตามความสัมพันธ์:

a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 สำหรับ p อย่างง่ายที่ไม่หารจำนวน N; (8)

(ap) สำหรับจำนวนเฉพาะ p หารจำนวน N;

atn = ที่ an ถ้า (t,n) = 1

ตอนนี้ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่มีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ เส้นโค้งวงรีที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหตุผลและตัวนำ N เรียกว่าโมดูลาร์หากมีรูปแบบลักษณะเฉพาะดังกล่าว

ฉ (z) = ^anq" ก. S2(N)

ap = p - pr สำหรับจำนวนเฉพาะ p เกือบทั้งหมด โดยที่ n คือจำนวนโซลูชันการเปรียบเทียบ (3)

เป็นการยากที่จะเชื่อว่ามีเส้นโค้งดังกล่าวอยู่แม้แต่เส้นเดียว ค่อนข้างยากที่จะจินตนาการว่าจะมีฟังก์ชัน A(r) ที่เป็นไปตามข้อจำกัดที่เข้มงวดที่ระบุไว้ (5) และ (8) ซึ่งจะขยายออกเป็นอนุกรม (7) ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์จะสัมพันธ์กับค่าที่คำนวณไม่ได้ในทางปฏิบัติ ตัวเลขปร. แต่สมมติฐานที่ชัดเจนของ Taniyama ไม่ได้ทำให้เกิดความสงสัยในข้อเท็จจริงของการมีอยู่ของพวกมันเลย และเนื้อหาเชิงประจักษ์ที่สั่งสมมาตามกาลเวลาก็ยืนยันความถูกต้องได้อย่างยอดเยี่ยม หลังจากการลืมเลือนไปเกือบสองทศวรรษ สมมติฐานของทานิยามะได้รับกระแสลมแรงครั้งที่สองในผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส สมาชิกของ Paris Academy of Sciences Andre Weil

เกิดในปี 1906 ในที่สุด A. Weil ก็กลายเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งกลุ่มนักคณิตศาสตร์ที่ใช้นามแฝง N. Bourbaki ตั้งแต่ปี 1958 A. Weil ได้เป็นศาสตราจารย์ที่ Princeton Institute for Advanced Study และการเกิดขึ้นของความสนใจในเรขาคณิตพีชคณิตเชิงนามธรรมของเขาเกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวกันนี้ ในอายุเจ็ดสิบเขาหันไปใช้ฟังก์ชันรูปไข่และการคาดเดาของทานิยามะ เอกสารเกี่ยวกับฟังก์ชันรูปไข่ได้รับการแปลที่นี่ในรัสเซีย เขาไม่ได้อยู่คนเดียวในงานอดิเรกของเขา ในปี 1985 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน แกร์ฮาร์ด เฟรย์ เสนอว่าถ้าทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นเท็จ นั่นคือ ถ้ามีจำนวนเต็มสามเท่า a, b, c โดยที่ a" + bn = c" (n > 3) แล้วเส้นโค้งรูปไข่

y2 = x (x - a")-(x - cn)

ไม่สามารถเป็นแบบแยกส่วนได้ ซึ่งขัดแย้งกับการคาดเดาของทานิยามะ เฟรย์เองล้มเหลวในการพิสูจน์ข้อความนี้ แต่ในไม่ช้า เคนเนธ ริเบต์ นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันก็ได้รับข้อพิสูจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ริเบต์แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นผลมาจากการคาดเดาของทานิยามะ

เขากำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 1 (ริเบต) ให้ E เป็นเส้นโค้งวงรีที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะและมีการแบ่งแยก

และตัวนำ

สมมติว่า E เป็นแบบแยกส่วนและปล่อยให้

/ (r) = q + 2 aอี ^ (N)

เป็นรูปแบบที่เหมาะสมที่สอดคล้องกันของระดับ N เรากำหนดจำนวนเฉพาะ £ และ

р:еР =1;- " 8 р

แล้วก็มีรูปแบบพาราโบลาเช่นนี้

/(g) = 2 dnqn อี N)

ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม โดยที่ผลต่าง an - dn หารด้วย I ลงตัวสำหรับ 1 ทั้งหมด< п<ад.

เห็นได้ชัดว่าถ้าทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นเลขชี้กำลังจำนวนหนึ่ง ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าเลขชี้กำลังทั้งหมดที่หารด้วย n ลงตัว เนื่องจากทุกจำนวนเต็ม n > 2 หารด้วย 4 หรือจำนวนเฉพาะคี่ลงตัวได้ ดังนั้น เราจึงสามารถจำกัดตัวเองไว้ที่ กรณีที่เลขชี้กำลังเป็น 4 หรือจำนวนเฉพาะคี่ สำหรับ n = 4 การพิสูจน์เบื้องต้นของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้มาจากตัวแฟร์มาต์เองก่อน แล้วจึงได้รับโดยออยเลอร์ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะศึกษาสมการ

a1 + b1 = c1, (12)

โดยที่เลขชี้กำลัง I เป็นจำนวนเฉพาะคี่

ตอนนี้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์สามารถหาได้จากการคำนวณอย่างง่าย (2)

ทฤษฎีบทที่ 2 ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ตามมาจากการคาดเดาของทานิยามะในเรื่องเส้นโค้งวงรีกึ่งคงที่

การพิสูจน์. สมมติว่าทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นเท็จ และปล่อยให้มีตัวอย่างแย้งที่สอดคล้องกัน (ดังที่กล่าวข้างต้น ผมเป็นจำนวนเฉพาะคี่) ให้เราใช้ทฤษฎีบท 1 กับเส้นโค้งวงรี

y2 = x (x - ae) (x - c1)

การคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าสูตรกำหนดตัวนำของเส้นโค้งนี้

เมื่อเปรียบเทียบสูตร (11) และ (13) เราจะเห็นว่า N = 2 ดังนั้น ตามทฤษฎีบทที่ 1 จะมีรูปแบบพาราโบลา

นอนอยู่ในอวกาศ 82(2) แต่โดยอาศัยความสัมพันธ์ (6) ปริภูมินี้จึงเป็นศูนย์ ดังนั้น dn = 0 สำหรับ n ทั้งหมด ในเวลาเดียวกัน a^ = 1 ดังนั้น ผลต่าง ag - dl = 1 จึงหารด้วย I ลงตัวไม่ได้ และเราก็ได้ความขัดแย้งกัน ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทนี้เป็นกุญแจสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ แต่สมมติฐานเองก็ยังไม่ได้รับการพิสูจน์

หลังจากประกาศเมื่อวันที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 แอนดรูว์ ไวล์สก็รีบเร่งในการพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะสำหรับเส้นโค้งรูปไข่กึ่งคงที่ ซึ่งรวมถึงเส้นโค้งที่มีรูปทรง (8) ยังเร็วเกินไปที่นักคณิตศาสตร์จะเฉลิมฉลองชัยชนะ

ฤดูร้อนที่อบอุ่นสิ้นสุดลงอย่างรวดเร็ว ฤดูใบไม้ร่วงที่ฝนตกก็ถูกทิ้งไว้ข้างหลัง และฤดูหนาวก็มาถึง ไวล์สเขียนและเขียนข้อพิสูจน์ฉบับสุดท้ายของเขาใหม่ แต่เพื่อนร่วมงานที่พิถีพิถันกลับพบว่างานของเขามีความไม่ถูกต้องมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น ในช่วงต้นเดือนธันวาคม พ.ศ. 2536 ไม่กี่วันก่อนที่ต้นฉบับของไวล์สจะออกสู่สื่อ ก็มีการค้นพบช่องว่างร้ายแรงในหลักฐานของเขาอีกครั้ง แล้วไวล์สก็ตระหนักว่าเขาไม่สามารถแก้ไขอะไรได้เลยในหนึ่งหรือสองวัน สิ่งนี้จำเป็นต้องมีการปรับปรุงอย่างจริงจัง จึงจำเป็นต้องเลื่อนการเผยแพร่ผลงานออกไป ไวล์สหันไปขอความช่วยเหลือจากเทย์เลอร์ “การแก้ไขข้อผิดพลาด” ใช้เวลามากกว่าหนึ่งปี ฉบับสุดท้ายของข้อพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ ซึ่งเขียนโดยไวล์สร่วมกับเทย์เลอร์ ได้รับการตีพิมพ์ในฤดูร้อนปี 1995 เท่านั้น

ต่างจากฮีโร่ A. Marinina ตรงที่ Wiles ไม่ได้สมัครรับรางวัลโนเบล แต่ก็ยัง... เขาควรได้รับรางวัลบางประเภท แต่อันไหนล่ะ? ในเวลานั้น Wiles อายุได้ 50 ปีแล้ว และเหรียญทองของ Fields จะถูกมอบให้อย่างเคร่งครัดจนถึงอายุ 40 ปี ซึ่งเป็นช่วงที่กิจกรรมสร้างสรรค์ยังไม่ผ่านจุดสูงสุด จากนั้นพวกเขาก็ตัดสินใจสร้างรางวัลพิเศษสำหรับไวล์ส - ป้ายเงินของคณะกรรมการภาคสนาม ป้ายนี้ถูกนำเสนอต่อเขาในการประชุมคณิตศาสตร์ครั้งถัดไปที่กรุงเบอร์ลิน

ในบรรดาปัญหาทั้งหมดที่อาจจะเข้ามาแทนที่ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ไม่มากก็น้อย ปัญหาการบรรจุลูกบอลที่ใกล้ที่สุดจะมีโอกาสมากที่สุด ปัญหาของการบรรจุลูกบอลที่หนาแน่นที่สุดสามารถกำหนดได้ว่าเป็นปัญหาของการพับส้มให้เป็นปิรามิดอย่างประหยัดที่สุด นักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์สืบทอดงานนี้มาจากโยฮันเนส เคปเลอร์ ปัญหาเกิดขึ้นในปี 1611 เมื่อเคปเลอร์เขียนเรียงความสั้นเรื่อง “On Hexagonal Snowflakes” ความสนใจของเคปเลอร์ในการจัดเรียงและการจัดระเบียบอนุภาคของสสารด้วยตนเองทำให้เขาต้องหารือเกี่ยวกับประเด็นอื่นนั่นคือการอัดแน่นของอนุภาคที่หนาแน่นที่สุดซึ่งมีปริมาตรน้อยที่สุด หากเราสมมติว่าอนุภาคมีรูปร่างเหมือนลูกบอล มันก็ชัดเจนว่าไม่ว่าพวกมันจะอยู่ในอวกาศอย่างไร ก็จะมีช่องว่างระหว่างพวกมันอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ และคำถามคือต้องลดปริมาตรของช่องว่างให้เหลือน้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น ในงานมีการระบุไว้ (แต่ไม่ได้รับการพิสูจน์) ว่ารูปร่างดังกล่าวเป็นรูปจัตุรมุข ซึ่งเป็นแกนพิกัดที่อยู่ภายในซึ่งกำหนดมุมตั้งฉากพื้นฐานที่ 109°28" ไม่ใช่ 90° ปัญหานี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง สำหรับฟิสิกส์อนุภาค ผลึกศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสาขาอื่นๆ

วรรณกรรม

1. Weil A. ฟังก์ชัน Elliptic ตาม Eisenstein และ Kronecker - ม., 2521.

2. Soloviev Yu.P. การคาดเดาของทานิยามะและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ // วารสารการศึกษาของโซรอส - ลำดับที่ 2. - 2541. - หน้า 78-95.

3. ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Singh S. Fermat เรื่องราวความลึกลับที่ครอบครองจิตใจที่ดีที่สุดในโลกมาเป็นเวลา 358 ปี / ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ยุเอ ดานิโลวา. อ.: MTsNMO. 2000. - 260 น.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. พีชคณิตควอเทอร์เนียนและการหมุนสามมิติ // วารสารนี้หมายเลข 1(1), 2551 - หน้า 75-80

เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คนที่มีความคิดทางคณิตศาสตร์ ฉันจะพูดถึงการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ที่ใหญ่ที่สุด - การพิสูจน์เบื้องต้นของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ - ในภาษาโรงเรียนที่เข้าใจได้มากที่สุด

พบข้อพิสูจน์สำหรับกรณีพิเศษ (สำหรับระดับอย่างง่าย n>2) ซึ่ง (และสำหรับกรณี n=4) ทุกกรณีที่มีจำนวนประกอบ n สามารถลดลงได้อย่างง่ายดาย

ดังนั้น เราต้องพิสูจน์ว่าสมการ A^n=C^n-B^n ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม (เครื่องหมาย ^ ในที่นี้หมายถึงระดับ)

การพิสูจน์จะดำเนินการในระบบจำนวนที่มีฐานอย่างง่าย n ในกรณีนี้ ตัวเลขสุดท้ายในแต่ละตารางสูตรคูณจะไม่ซ้ำกัน ในระบบทศนิยมปกติ สถานการณ์จะแตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่น เมื่อคูณตัวเลข 2 ด้วยทั้ง 1 และ 6 ผลิตภัณฑ์ทั้งสอง - 2 และ 12 - จะลงท้ายด้วยตัวเลขเดียวกัน (2) และตัวอย่างเช่น ในระบบเซพเทนารีของเลข 2 ตัวเลขสุดท้ายทั้งหมดจะต่างกัน: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5 โดยมีชุดเลขท้าย 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5

ด้วยคุณสมบัตินี้ สำหรับตัวเลข A ใดๆ ที่ไม่ได้ลงท้ายด้วยศูนย์ (และในความเท่าเทียมกันของแฟร์มาต์ หลักสุดท้ายของตัวเลข A หรือ B หลังจากหารความเท่าเทียมกันด้วยตัวหารร่วมของตัวเลข A, B, C จะไม่ใช่ เท่ากับศูนย์) คุณสามารถเลือกปัจจัย g ได้ โดยที่ตัวเลข Ag จะมีจุดสิ้นสุดที่ยาวตามต้องการของแบบฟอร์ม 000...001 ด้วยจำนวน g นี้เองที่เราคูณเลขฐาน A, B, C ทั้งหมดในความเท่าเทียมกันของแฟร์มาต์ ในกรณีนี้เราจะทำให้หน่วยลงท้ายค่อนข้างยาว คือ ยาวกว่าเลข (k) ของศูนย์ที่อยู่ท้ายเลข U=A+B-C สองหลัก

ตัวเลข U ไม่เท่ากับศูนย์ - มิฉะนั้น C=A+B และ A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

อันที่จริงนี่คือการเตรียมความเท่าเทียมกันของแฟร์มาต์ทั้งหมดสำหรับการศึกษาสั้น ๆ และขั้นสุดท้าย สิ่งเดียวที่เราจะทำคือเขียนทางด้านขวามือของความเท่าเทียมกันของแฟร์มาต์ – C^n-B^n โดยใช้สูตรการสลายตัวแบบโรงเรียน: C^n-B^n=(C-B)P หรือ aP และเนื่องจากต่อไปเราจะดำเนินการ (คูณและเพิ่ม) ด้วยตัวเลขของ (k+2) - หลักที่ลงท้ายด้วยตัวเลข A, B, C เท่านั้น จากนั้นเราก็ไม่สามารถคำนึงถึงส่วนที่นำของพวกมันและทิ้งพวกมันไป (ปล่อยให้ ข้อเท็จจริงเพียงข้อเดียวในความทรงจำ: ทางด้านซ้ายของความเสมอภาคของแฟร์มาต์คือพลัง)

สิ่งเดียวที่ควรกล่าวถึงคือตัวเลขหลักสุดท้ายของตัวเลข a และ P ในความเท่าเทียมกันดั้งเดิมของแฟร์มาต์ ตัวเลข P จะลงท้ายด้วยเลข 1 ซึ่งตามมาจากสูตรทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ ซึ่งพบได้ในหนังสืออ้างอิง และหลังจากการคูณความเท่าเทียมกันของแฟร์มาต์ด้วยจำนวน g^n แล้ว จำนวน P จะถูกคูณด้วยจำนวน g ยกกำลัง n-1 ซึ่งตามทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ ก็ลงท้ายด้วยเลข 1 เช่นกัน ดังนั้นในความเท่าเทียมกันของแฟร์มาต์ที่เทียบเท่าใหม่ เลข P ลงท้ายด้วย 1 และถ้า A ลงท้ายด้วย 1 แล้ว A^n ก็ลงท้ายด้วย 1 ด้วย ดังนั้น ตัวเลข a จึงลงท้ายด้วย 1 ด้วย

ดังนั้นเราจึงมีสถานการณ์เริ่มต้น: ตัวเลขสุดท้าย A, a, P ของตัวเลข A, a, P ลงท้ายด้วยเลข 1

จากนั้น การดำเนินการที่น่ารักและน่าหลงใหลก็เริ่มต้นขึ้น เรียกตามความชอบว่า "โรงสี" โดยการนำตัวเลขตามมาคือ a"", a""" และอื่นๆ ตัวเลข a เราคำนวณได้อย่าง "ง่ายดาย" มากว่าพวกมันทั้งหมด เท่ากับศูนย์ด้วย! ฉันใส่คำว่า "ง่าย" ในเครื่องหมายคำพูดเพราะมนุษยชาติไม่สามารถหากุญแจสู่ "ง่าย" นี้เป็นเวลา 350 ปีแล้ว และกุญแจกลับกลายเป็นว่าดั้งเดิมอย่างไม่คาดคิดและน่าตกใจ: จะต้องแสดงตัวเลข P แบบฟอร์ม P=q^(n-1)+Qn! ^(k+2) มันไม่คุ้มค่าที่จะให้ความสนใจกับเทอมที่สองในผลรวมนี้ - อย่างไรก็ตามในการพิสูจน์เพิ่มเติมเราได้ละทิ้งตัวเลขทั้งหมดหลังจากนั้น (k +2) ในตัวเลข (และทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้นอย่างมาก) ดังนั้นหลังจากทิ้งส่วนหัวแล้ว ความเท่าเทียมกันของแฟร์มาต์จะอยู่ในรูปแบบ: ...1=aq^(n-1) โดยที่ a และ q ไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นเพียงการลงท้ายของตัวเลข a และ q!

คำถามเชิงปรัชญาสุดท้ายยังคงอยู่: เหตุใดจึงสามารถแสดงตัวเลข P เป็น P=q^(n-1)+Qn^(k+2) ได้ คำตอบนั้นง่ายมาก เนื่องจากจำนวนเต็ม P ที่มี 1 ต่อท้ายสามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้ และมีลักษณะเฉพาะตัว (สามารถแสดงได้หลายวิธี แต่เราไม่ต้องการสิ่งนั้น) อันที่จริง สำหรับ P=1 คำตอบนั้นชัดเจน: P=1^(n-1) สำหรับ Р=hn+1 คือตัวเลข q=(n-h)n+1 ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายด้วยการแก้สมการ [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 โดยใช้ตัวเลขสองหลัก ตอนจบ และอื่นๆ (แต่เราไม่ต้องการการคำนวณเพิ่มเติม เนื่องจากเราเพียงแต่ต้องแสดงตัวเลขในรูปแบบ P=1+Qn^t)

วุ้ย ปรัชญาจบลงแล้ว คุณสามารถไปสู่การคำนวณในระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 ได้ บางทีอาจแค่จำสูตรทวินามของนิวตันอีกครั้ง

ดังนั้น เรามาแนะนำตัวเลข a"" (ในตัวเลข a=a""n+1) และใช้มันเพื่อคำนวณตัวเลข q"" (ในตัวเลข q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1) หรือ...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ] จากไหน q""=a""

และตอนนี้ด้านขวาของความเสมอภาคของแฟร์มาต์สามารถเขียนใหม่ได้เป็น:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2) โดยที่เราไม่ได้สนใจค่าของตัวเลข D

ตอนนี้เรามาถึงข้อสรุปที่เด็ดขาด ตัวเลข a""n+1 คือการลงท้ายด้วยตัวเลขสองหลักของตัวเลข A ดังนั้น ตามบทแทรกง่ายๆ UNIQUELY จึงกำหนดตัวเลขหลักที่สามของระดับ A^n และยิ่งไปกว่านั้นจากการขยายตัวของทวินามของนิวตัน
(a""n+1)^n โดยคำนึงว่าแต่ละเทอมของการขยาย (ยกเว้นเทอมแรกซึ่งไม่สามารถเปลี่ยนสภาพอากาศได้!) จะมีการเพิ่มปัจจัยอย่างง่าย n (ฐานตัวเลข!) เข้าไปด้วย จึงชัดเจน ว่าหลักที่สามนี้เท่ากับ a"" แต่ด้วยการคูณความเท่าเทียมกันของแฟร์มาต์ด้วย g^n เราจะเปลี่ยน k+1 หลักก่อนเลข 1 ตัวสุดท้ายในเลข A ให้เป็น 0 ดังนั้น a""=0!!!

ดังนั้นเราจึงเสร็จสิ้นวงจร: เมื่อป้อน a"" เราก็พบว่า q""=a"" และสุดท้ายคือ a""=0!

ยังคงต้องบอกว่าหลังจากทำการคำนวณที่คล้ายกันโดยสิ้นเชิงและตัวเลข k หลักถัดไป เราจะได้ความเท่าเทียมกันสุดท้าย: (k + 2) - หลักที่ลงท้ายด้วยตัวเลข a หรือ C-B เช่นเดียวกับตัวเลข A นั้นเท่ากัน เป็น 1 แต่แล้วหลักที่ (k+2) ของตัวเลข C-A-B เท่ากับศูนย์ ในขณะที่มันไม่เท่ากับศูนย์!!!

อันที่จริงมันคือข้อพิสูจน์ทั้งหมด เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องมีการศึกษาระดับสูง และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเป็นนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ อย่างไรก็ตาม ผู้เชี่ยวชาญยังคงนิ่งเงียบ...

ข้อความที่สามารถอ่านได้ของหลักฐานฉบับเต็มอยู่ที่นี่:

รีวิว

สวัสดีวิคเตอร์ ฉันชอบเรซูเม่ของคุณ “อย่าปล่อยให้ตายก่อนตาย” ฟังดูดีแน่นอน พูดตามตรง ฉันรู้สึกทึ่งกับการเผชิญหน้ากับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ในร้อยแก้ว! เธออยู่ที่นี่เหรอ? มีสถานที่ทางวิทยาศาสตร์ วิทยาศาสตร์ยอดนิยม และกาน้ำชา มิฉะนั้นขอขอบคุณสำหรับงานวรรณกรรมของคุณ
ขอแสดงความนับถืออันย่า

เรียนคุณย่า แม้จะมีการเซ็นเซอร์ที่ค่อนข้างเข้มงวด แต่ร้อยแก้วก็อนุญาตให้คุณเขียนเกี่ยวกับทุกสิ่งได้ สถานการณ์ในทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นดังนี้: ฟอรัมทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่ปฏิบัติต่อความสงสัยของ Fermatists ด้วยความหยาบคาย และโดยทั่วไปจะปฏิบัติต่อพวกเขาอย่างดีที่สุดเท่าที่จะทำได้ อย่างไรก็ตาม ฉันนำเสนอข้อพิสูจน์เวอร์ชันล่าสุดในฟอรั่มรัสเซีย อังกฤษ และฝรั่งเศสขนาดเล็ก ยังไม่มีใครเสนอข้อโต้แย้งใด ๆ และฉันแน่ใจว่าจะไม่มีใครเสนอข้อโต้แย้งใด ๆ (หลักฐานได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบ) ในวันเสาร์ ฉันจะเผยแพร่บันทึกเชิงปรัชญาเกี่ยวกับทฤษฎีบท
แทบไม่มีคนร้อยแก้วเลย และถ้าคุณไม่ไปเที่ยวกับพวกเขา ในไม่ช้าพวกเขาก็จะหายไป
ผลงานของฉันเกือบทั้งหมดนำเสนอใน Prose ดังนั้นฉันจึงรวมหลักฐานไว้ที่นี่ด้วย
แล้วพบกันใหม่