สมการระนาบปกติ

1.

4.

ระนาบแทนเจนต์และพื้นผิวปกติ

ให้พื้นผิวถูกกำหนดไว้ A คือจุดคงที่ของพื้นผิว และ B คือ จุดตัวแปรพื้นผิว,

(รูปที่ 1)

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์

→

n

เรียกว่า เวกเตอร์ปกติ ไปยังพื้นผิวที่จุด A ถ้า

ลิม บี → ก เจ = π 2 .

จุดพื้นผิว F (x, y, z) = 0 เรียกว่าจุดปกติหาก ณ จุดนี้

1. อนุพันธ์บางส่วน F " x , F " y , F " z มีความต่อเนื่อง;
2. (ฟ " x )2 + (ฟ " ย )2 + (ฟ " z )2 ≠ 0 .

หากมีการละเมิดเงื่อนไขเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งข้อ จุดพื้นผิวจะถูกเรียก จุดพิเศษของพื้นผิว .

ทฤษฎีบท 1ถ้า M(x 0 , y 0 , z 0 ) คือจุดธรรมดาของพื้นผิว F (x , y , z) = 0 แล้วเวกเตอร์

→ n = ผู้สำเร็จการศึกษา F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → ฉัน + ฉ " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → เจ + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → เค

(1)

เป็นเรื่องปกติของพื้นผิวนี้ที่จุด M (x 0 , y 0 , z 0 )

การพิสูจน์มอบให้ในหนังสือโดย I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. โปรโคเรนโก, V.F. Safonova ``หลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง: แคลคูลัสอินทิกรัล ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว สมการเชิงอนุพันธ์- อ.: สำนักพิมพ์ MPEI, 2545 (หน้า 128)

ปกติกับพื้นผิวณ จุดหนึ่งจะมีเส้นตรงซึ่งมีเวกเตอร์ทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว ณ จุดนี้และที่ผ่านจุดนี้ไป

เป็นที่ยอมรับ สมการปกติสามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้

x - x 0 ฉ " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y - y 0 ฉ " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z - z 0 ฉ " z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

เครื่องบินแทนเจนต์สู่พื้นผิว ณ จุดหนึ่งคือระนาบที่ผ่านจุดนี้ตั้งฉากกับพื้นโลกถึงพื้นผิว ณ จุดนี้

จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามนั้น สมการระนาบแทนเจนต์มีรูปแบบ:

(3)

ถ้าจุดบนพื้นผิวเป็นเอกพจน์ ณ จุดนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวอาจไม่มีอยู่ ดังนั้นพื้นผิวจึงอาจไม่มีระนาบปกติและแทนเจนต์

ความหมายทางเรขาคณิตของผลต่างรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

ปล่อยให้ฟังก์ชัน z = f (x, y) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด a (x 0, y 0) กราฟของมันคือพื้นผิว

f (x, y) - z = 0

ลองใส่ z 0 = f (x 0 , y 0 ) . จากนั้นจุด A (x 0 , y 0 , z 0 ) เป็นของพื้นผิว

อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน F (x, y, z) = f (x, y) − z คือ

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

และที่จุด A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. มันต่อเนื่องกัน
2. F "2 x + F "2 ปี + F "2 z = f "2 x + f "2 ปี + 1 ≠ 0

ดังนั้น A จึงเป็นจุดธรรมดาของพื้นผิว F (x, y, z) และ ณ จุดนี้ จะมีระนาบสัมผัสกันที่พื้นผิว ตาม (3) สมการระนาบแทนเจนต์มีรูปแบบดังนี้

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0

การกระจัดในแนวตั้งของจุดบนระนาบแทนเจนต์เมื่อเคลื่อนที่จากจุด a (x 0, y 0) ไปยังจุดใดก็ได้ p (x, y) คือ B Q (รูปที่ 2) การเพิ่มขึ้นของแอปพลิเคชันที่สอดคล้องกันคือ

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

ทางด้านขวาจะมีส่วนต่างอยู่ งฟังก์ชัน z z = f (x, y) ที่จุด a (x 0, x 0) เพราะฉะนั้น,
งฉ (x 0 , ย 0 ). คือการเพิ่มขึ้นของการประยุกต์ของระนาบแทนเจนต์ที่ชี้ไปที่กราฟของฟังก์ชัน f (x, y) ที่จุดนั้น (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0))

จากนิยามของดิฟเฟอเรนเชียล ระยะห่างระหว่างจุด P บนกราฟของฟังก์ชันกับจุด Q บนระนาบแทนเจนต์นั้นมีค่ามากกว่าเล็กน้อย ลำดับสูงกว่าระยะทางจากจุด p ถึงจุด a

กราฟของฟังก์ชันของ 2 ตัวแปร z = f(x,y) เป็นพื้นผิวที่ฉายบนระนาบ XOY เข้าไปในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน D
พิจารณาพื้นผิว σ , กำหนดโดยสมการ z = f(x,y) โดยที่ f(x,y) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ และให้ M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) เป็นจุดคงที่บนพื้นผิว σ กล่าวคือ z 0 = ฉ(x 0 ,y 0) วัตถุประสงค์. เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้รับการออกแบบมาเพื่อค้นหา ระนาบแทนเจนต์และสมการปกติของพื้นผิว- วิธีแก้ปัญหาถูกวาดขึ้นในรูปแบบ Word หากคุณต้องการค้นหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง (y = f(x)) คุณต้องใช้บริการนี้

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น:

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น:

1. ตัวแปรทั้งหมดแสดงผ่าน x,y,z

ระนาบสัมผัสพื้นผิว σ ที่จุดของเธอ ม 0 คือระนาบที่เส้นสัมผัสเส้นโค้งทั้งหมดที่วาดบนพื้นผิวอยู่ σ ผ่านจุด ม 0 .
สมการของระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ z = f(x,y) ที่จุด M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) มีรูปแบบ:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

เวกเตอร์นี้เรียกว่าเวกเตอร์ปกติของพื้นผิว σ ที่จุด M 0 เวกเตอร์ตั้งฉากตั้งฉากกับระนาบแทนเจนต์
ปกติกับพื้นผิว σ ตรงจุด ม 0 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้และมีทิศทางของเวกเตอร์ N
สมการมาตรฐานของเส้นปกติถึงพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ z = f(x,y) ที่จุด M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) โดยที่ z 0 = f(x 0 ,y 0) มีแบบฟอร์ม:

ตัวอย่างหมายเลข 1 พื้นผิวได้มาจากสมการ x 3 +5y จงหาสมการของระนาบสัมผัสพื้นผิวที่จุด M 0 (0;1)
สารละลาย- ให้เราเขียนสมการแทนเจนต์ลงไป มุมมองทั่วไป: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
ตามเงื่อนไขของปัญหา x 0 = 0, y 0 = 1 จากนั้น z 0 = 5
มาหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน z = x^3+5*y:
ฉ" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
ฉ" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
ณ จุด M 0 (0,1) ค่าของอนุพันธ์บางส่วนคือ:
ฉ" x (0;1) = 0
ฉ" ย (0;1) = 5
เมื่อใช้สูตร เราจะได้สมการของระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิวที่จุด M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) หรือ -5 y+z = 0

ตัวอย่างหมายเลข 2 พื้นผิวถูกกำหนดโดยปริยาย y 2 -1/2*x 3 -8z จงหาสมการของระนาบสัมผัสพื้นผิวที่จุด M 0 (1;0;1)
สารละลาย- การหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน เนื่องจากมีการระบุฟังก์ชันโดยปริยาย เราจึงมองหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร:

สำหรับฟังก์ชั่นของเรา:

แล้ว:

ณ จุด M 0 (1,0,1) ค่าของอนุพันธ์บางส่วน:
ฉ" x (1;0;1) = -3 / 16
ฉ" ย (1;0;1) = 0
เมื่อใช้สูตรเราจะได้สมการของระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิวที่จุด M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) หรือ 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

ตัวอย่าง. พื้นผิว σ กำหนดโดยสมการ z= ใช่/x + เอ็กซ์ซี – 5x 3. ค้นหาสมการของระนาบแทนเจนต์และตั้งฉากกับพื้นผิว σ ตรงจุด ม 0 (x 0 ,ย 0 ,z 0) เป็นของเธอถ้า x 0 = –1, ย 0 = 2.
ลองหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันกัน z= ฉ(x,ย) = ใช่/x + เอ็กซ์ซี – 5x 3:
ฉ x ’( x,ย) = (มี/x + เอ็กซ์ซี – 5x 3)’ x = – ใช่/x 2 + ย – 15x 2 ;
ใช่แล้ว ’ ( x,ย) = (มี/x + เอ็กซ์ซี – 5x 3)’ y = 1/x + x.
จุด ม 0 (x 0 ,ย 0 ,z 0) เป็นของพื้นผิว σ เราก็เลยคำนวณได้ z 0 แทนค่าที่กำหนด x 0 = –1 และ ย 0 = 2 ในสมการพื้นผิว:

z= ใช่/x + เอ็กซ์ซี – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
ตรงจุด ม 0 (–1, 2, 1) ค่าอนุพันธ์บางส่วน:
ฉ x ’( ม 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; ใช่แล้ว '( ม 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
การใช้สูตร (5) เราได้สมการของระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิว σ ตรงจุด ม 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(ย – 2) z – 1= –15x – 15 – 2ใช่ + 4 15x + 2ย + z + 10 = 0.
การใช้สูตร (6) เราได้สมการมาตรฐานของเส้นปกติกับพื้นผิว σ ตรงจุด ม 0: .
คำตอบ: สมการระนาบแทนเจนต์: 15 x + 2ย + z+ 10 = 0; สมการปกติ: .

ตัวอย่างหมายเลข 1 รับฟังก์ชัน z=f(x,y) และจุดสองจุด A(x 0, y 0) และ B(x 1, y 1) จำเป็น: 1) คำนวณค่า z 1 ของฟังก์ชันที่จุด B; 2) คำนวณค่าโดยประมาณ z 1 ของฟังก์ชันที่จุด B ตามค่า z 0 ของฟังก์ชันที่จุด A แทนที่การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเมื่อย้ายจากจุด A ไปยังจุด B ด้วยส่วนต่าง 3) สร้างสมการสำหรับระนาบสัมผัสพื้นผิว z = f(x,y) ที่จุด C(x 0 ,y 0 ,z 0)
สารละลาย.
ให้เราเขียนสมการแทนเจนต์ในรูปแบบทั่วไป:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
ตามเงื่อนไขของปัญหา x 0 = 1, y 0 = 2 จากนั้น z 0 = 25
มาหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
ฉ" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
ฉ" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
ณ จุด M 0 (1,2) ค่าของอนุพันธ์บางส่วนคือ:
ฉ" x (1;2) = 26
ฉ" ย (1;2) = 36
เมื่อใช้สูตรเราจะได้สมการของระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิวที่จุด M 0:
ซี - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
หรือ
-26 x-36 y+z+73 = 0

ตัวอย่างหมายเลข 2 เขียนสมการของระนาบแทนเจนต์และตั้งฉากกับพาราโบลอยด์ทรงรี z = 2x 2 + y 2 ที่จุด (1;-1;3)

ระนาบแทนเจนต์มีบทบาทสำคัญในเรขาคณิต การสร้างระนาบแทนเจนต์ในทางปฏิบัติได้ สำคัญเนื่องจากการมีอยู่ของพวกมันทำให้เราสามารถกำหนดทิศทางของเส้นปกติไปยังพื้นผิว ณ จุดที่สัมผัสได้ ปัญหานี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการปฏิบัติงานด้านวิศวกรรม เครื่องบินแทนเจนต์ยังใช้ในการสร้างภาพร่างด้วย รูปทรงเรขาคณิตถูกจำกัดด้วยพื้นผิวปิด ใน ในทางทฤษฎีระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิวใช้ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เพื่อศึกษาคุณสมบัติของพื้นผิวในบริเวณจุดสัมผัส

แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

ระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิวควรถือเป็นตำแหน่งจำกัดของระนาบตัดตัด (โดยการเปรียบเทียบกับเส้นสัมผัสกันกับเส้นโค้ง ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดตัดด้วย)

ระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิว ณ จุดที่กำหนดบนพื้นผิวคือเซตของเส้นตรงทั้งหมด - แทนเจนต์ที่ลากไปยังพื้นผิวผ่าน จุดนี้.

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าแทนเจนต์ทั้งหมดกับพื้นผิวที่วาดที่จุดธรรมดานั้นเป็นระนาบระนาบเดียวกัน (อยู่ในระนาบเดียวกัน)

เรามาดูวิธีการวาดเส้นตรงสัมผัสพื้นผิวกัน เส้นสัมผัส t กับพื้นผิว β ที่จุด M ที่ระบุบนพื้นผิว (รูปที่ 203) แสดงถึงตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดขวาง l j ที่ตัดกันพื้นผิวที่จุดสองจุด (MM 1, MM 2, ..., MM n) เมื่อ จุดตัดตรง (M ≡ M n , l n ≡ l M) แน่นอน (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g เนื่องจาก g ⊂ β จากที่กล่าวมาข้างต้นมีคำจำกัดความดังต่อไปนี้: สัมผัสพื้นผิวคือเส้นตรงสัมผัสเส้นโค้งใดๆ ที่เป็นของพื้นผิว.

เนื่องจากระนาบถูกกำหนดโดยเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน เพื่อกำหนดระนาบที่สัมผัสกับพื้นผิวด้านใน จุดที่กำหนดก็เพียงพอแล้วที่จะวาดเส้นสองเส้นโดยพลการที่เป็นของพื้นผิว (ควรมีรูปร่างเรียบง่าย) ผ่านจุดนี้และสร้างเส้นสัมผัสกันให้กับแต่ละเส้นที่จุดตัดกันของเส้นเหล่านี้ แทนเจนต์ที่สร้างขึ้นจะกำหนดระนาบแทนเจนต์โดยเฉพาะ การแสดงภาพของการวาดระนาบ α แทนเจนต์กับพื้นผิว β ที่จุดที่กำหนด M แสดงไว้ในรูปที่ 1 204. รูปนี้ยังแสดงค่า n ปกติของพื้นผิว β ด้วย

เส้นตั้งฉากกับพื้นผิว ณ จุดที่กำหนดจะเป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบแทนเจนต์และผ่านจุดสัมผัสกัน

เส้นตัดของพื้นผิวกับระนาบที่ผ่านเส้นปกติเรียกว่าส่วนปกติของพื้นผิว ระนาบสัมผัสสามารถมีจุด (เส้น) หนึ่งจุดหรือหลายจุดกับพื้นผิวก็ได้ ขึ้นอยู่กับประเภทของพื้นผิว เส้นสัมผัสสามารถเป็นเส้นตัดกันของพื้นผิวกับระนาบในเวลาเดียวกันได้

นอกจากนี้ยังมีบางกรณีที่มีจุดบนพื้นผิวซึ่งไม่สามารถวาดเส้นสัมผัสลงบนพื้นผิวได้ จุดดังกล่าวเรียกว่าเอกพจน์ เป็นตัวอย่าง จุดเอกพจน์เราสามารถอ้างอิงจุดที่ขอบกลับของพื้นผิวลำตัวหรือจุดตัดของเส้นลมปราณของพื้นผิวการปฏิวัติด้วยแกนของมัน ถ้าเส้นลมปราณและแกนไม่ตัดกันเป็นมุมฉาก

ประเภทของการสัมผัสขึ้นอยู่กับลักษณะของความโค้งของพื้นผิว

ความโค้งของพื้นผิว

ปัญหาความโค้งของพื้นผิวได้รับการศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส F. Dupin (พ.ศ. 2327-2416) ซึ่งเสนอวิธีการมองเห็นเพื่อพรรณนาถึงการเปลี่ยนแปลงความโค้งของส่วนปกติของพื้นผิว

ในการทำเช่นนี้ในระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่พิจารณาที่จุด M (รูปที่ 205, 206) ส่วนที่เท่ากับรากที่สองของค่าของรัศมีที่สอดคล้องกันของความโค้งของส่วนเหล่านี้จะถูกวางบนแทนเจนต์ ส่วนปกติทั้งสองด้านของจุดนี้ ชุดของจุด - ส่วนปลายของส่วนกำหนดเส้นโค้งที่เรียกว่า อินดิคาทริกซ์ของดูปิน- อัลกอริธึมสำหรับการสร้าง Dupin indicatrix (รูปที่ 205) สามารถเขียนได้:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

โดยที่ R คือรัศมีความโค้ง

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) คืออินดิคาทริกซ์ดูแปง

ถ้าอินดิคาทริกซ์ดูแปงของพื้นผิวเป็นรูปวงรี จุด M จะเรียกว่ารี และพื้นผิวจะเรียกว่าพื้นผิวที่มีจุดรี(รูปที่ 206) ในกรณีนี้ ระนาบแทนเจนต์มีจุดร่วมกับพื้นผิวเพียงจุดเดียว และเส้นทั้งหมดที่เป็นของพื้นผิวและจุดตัดกันที่จุดที่พิจารณาจะอยู่ที่ด้านหนึ่งของระนาบแทนเจนต์ ตัวอย่างของพื้นผิวที่มีจุดรูปไข่ ได้แก่ พาราโบลาของการปฏิวัติ ทรงรีของการปฏิวัติ ทรงกลม (ในกรณีนี้ Dupin indicatrix เป็นวงกลม ฯลฯ )

เมื่อวาดระนาบสัมผัสพื้นผิวลำตัว เครื่องบินจะสัมผัสพื้นผิวนี้ตามแนวเส้นตรง จุดบนบรรทัดนี้เรียกว่า พาราโบลา และพื้นผิวเป็นพื้นผิวที่มีจุดพาราโบลา- อินดิคาทริกซ์ของ Dupin ในกรณีนี้คือเส้นขนานสองเส้น (รูปที่ 207*)

ในรูป 208 แสดงพื้นผิวที่ประกอบด้วยจุดต่างๆ

* เส้นโค้งลำดับที่สอง - พาราโบลา - ที่ เงื่อนไขบางประการสามารถแยกออกเป็นเส้นขนานจริงสองเส้น เส้นขนานจินตภาพสองเส้น เส้นตรงสองเส้นที่ตรงกัน ในรูป 207 เรากำลังเผชิญกับเส้นขนานจริงสองเส้น

ระนาบแทนเจนต์ใดๆ ตัดกับพื้นผิว พื้นผิวดังกล่าวเรียกว่า ซึ่งเกินความจริงและจุดที่เป็นของมันก็คือ จุดไฮเปอร์โบลิก อินดิคาทริกซ์ของ Dupin ในกรณีนี้คืออติพจน์

พื้นผิว ซึ่งจุดทั้งหมดเป็นแบบไฮเปอร์โบลิก มีรูปร่างเหมือนอาน (ระนาบเฉียง ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว พื้นผิวเว้าแห่งการปฏิวัติ ฯลฯ)

พื้นผิวหนึ่งอาจมีจุด ประเภทต่างๆตัวอย่างเช่น ใกล้พื้นผิวลำตัว (รูปที่ 209) จุด M เป็นรูปวงรี จุด N คือพาราโบลา จุด K คือไฮเปอร์โบลิก

ในหลักสูตรเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าส่วนปกติซึ่งค่าความโค้ง K j = 1/ R j (โดยที่ R j คือรัศมีความโค้งของส่วนที่พิจารณา) มีค่าสุดขั้วอยู่ในสอง ระนาบตั้งฉากซึ่งกันและกัน

ความโค้งดังกล่าว K 1 = 1/R สูงสุด K 2 = 1/R min เรียกว่า เงินต้น และค่า H = (K 1 + K 2)/2 และ K = K 1 K 2 ตามลำดับคือความโค้งเฉลี่ยของพื้นผิวและผลรวม (เกาส์เซียน) ความโค้งของพื้นผิว ณ จุดที่เป็นปัญหา สำหรับจุดวงรี K > 0 จุดไฮเปอร์โบลิก K

การระบุระนาบสัมผัสพื้นผิวบนแผนภาพ Monge

ด้านล่าง โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ เราจะแสดงการสร้างระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิวที่มีจุดวงรี (ตัวอย่างที่ 1) พาราโบลา (ตัวอย่างที่ 2) และไฮเปอร์โบลิก (ตัวอย่างที่ 3)

ตัวอย่าง 1. สร้างระนาบ α แทนเจนต์กับพื้นผิวการปฏิวัติ β ด้วยจุดวงรี ลองพิจารณาสองทางเลือกในการแก้ปัญหานี้: a) จุด M ∈ β และ b) จุด M ∉ β

ตัวเลือก ก (รูปที่ 210)

ระนาบแทนเจนต์ถูกกำหนดโดยแทนเจนต์สองตัว t 1 และ t 2 ที่ลากที่จุด M ไปยังเส้นขนานและเส้นแวงของพื้นผิว β

เส้นโครงของแทนเจนต์ t 1 กับ h ขนานของพื้นผิว β จะเป็น t" 1 ⊥ (S"M") และ t" 1 || แกน x เส้นโครงแนวนอนของเส้นสัมผัสกัน t" 2 ถึงเส้นลมปราณ d ของพื้นผิว β ที่ผ่านจุด M จะตรงกับเส้นโครงในแนวนอนของเส้นลมปราณ หากต้องการหาเส้นโครงด้านหน้าของเส้นสัมผัสกัน t" 2 ให้ระนาบเส้นเมอริเดียน γ(γ(γ) ∋ M) โดยการหมุนรอบแกนของพื้นผิว β จะถูกถ่ายโอนไปยังตำแหน่ง γ 1 ขนานไปกับเครื่องบินพาย 2. ในกรณีนี้ จุด M → M 1 (M" 1, M" 1) เส้นโครงของแทนเจนต์ t" 2 rarr; t" 2 1 ถูกกำหนดโดย (M" 1 S") หากตอนนี้เราคืนระนาบ γ 1 กลับสู่ตำแหน่งเดิม จุด S" จะยังคงอยู่ (ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของแกนการหมุน) และ M" 1 → M" และการฉายภาพด้านหน้าของแทนเจนต์ t" 2 จะ ถูกกำหนด (M" S")

แทนเจนต์สองตัว t 1 และ t 2 ตัดกันที่จุด M ∈ β ให้นิยามระนาบ α แทนเจนต์กับพื้นผิว β

ตัวเลือก b (รูปที่ 211)

ในการสร้างระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิวที่ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่ในพื้นผิว จะต้องดำเนินการตามข้อควรพิจารณาต่อไปนี้: ผ่านจุดที่อยู่นอกพื้นผิวซึ่งประกอบด้วยจุดทรงรี ทำให้สามารถวาดระนาบหลายระนาบที่สัมผัสกับพื้นผิวได้ เปลือกของพื้นผิวเหล่านี้จะเป็นพื้นผิวทรงกรวยบางส่วน ดังนั้น หากไม่มีคำแนะนำเพิ่มเติม ปัญหาก็มีวิธีแก้ปัญหามากมาย และในกรณีนี้ ลดเหลือเพียงการวาดพื้นผิวทรงกรวย γ แทนเจนต์กับพื้นผิวที่กำหนด β

ในรูป 211 แสดงการสร้างพื้นผิวทรงกรวย γ สัมผัสกับทรงกลม β ระนาบ α ใดๆ สัมผัสกับพื้นผิวทรงกรวย γ จะต้องสัมผัสกับพื้นผิว β

ในการสร้างเส้นโครงของพื้นผิว γ จากจุด M" และ M" เราวาดเส้นสัมผัสของวงกลม h" และ f" ซึ่งเป็นเส้นโครงของทรงกลม ทำเครื่องหมายจุดสัมผัส 1 (1" และ 1"), 2 (2" และ 2"), 3 (3" และ 3") และ 4 (4" และ 4") การฉายภาพในแนวนอนของวงกลม - เส้นสัมผัสของพื้นผิวทรงกรวยและทรงกลมถูกฉายเข้าไปใน [ 1"2"] เพื่อค้นหาจุดของวงรีที่วงกลมนี้จะถูกฉายลงบนระนาบส่วนหน้าของการฉายภาพ เราจะใช้ เส้นขนานของทรงกลม

ในรูป 211 ด้วยวิธีนี้ เส้นโครงด้านหน้าของจุด E และ F (E" และ F") จะถูกกำหนด เมื่อมีพื้นผิวทรงกรวย γ เราจึงสร้างระนาบแทนเจนต์ α ให้กับมัน ลักษณะและลำดับของกราฟิก

โครงสร้างที่ต้องดำเนินการสำหรับสิ่งนี้แสดงไว้ในตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2 สร้างระนาบ α แทนเจนต์กับพื้นผิว β ด้วยจุดพาราโบลา

ดังในตัวอย่างที่ 1 เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสองวิธี: a) จุด N ∈ β; b) จุด N ∉ β

ตัวเลือก ก (รูปที่ 212)

พื้นผิวทรงกรวยหมายถึงพื้นผิวที่มีจุดพาราโบลา (ดูรูปที่ 207) ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวทรงกรวยสัมผัสเป็นเส้นตรง จำเป็นต้องมี:

1) ผ่านจุดที่กำหนด N วาดตัวกำเนิด SN (S"N" และ S"N");

2) ทำเครื่องหมายจุดตัดของเจเนราทริกซ์ (SN) ด้วยคำแนะนำ d: (SN) ∩ d = A;

3) จะพัดไปที่แทนเจนต์ t ถึง d ที่จุด A ด้วย

เจเนราทริกซ์ (SA) และแทนเจนต์ t ที่ตัดกันจะกำหนดระนาบ α แทนเจนต์กับพื้นผิวทรงกรวย β ที่จุดที่กำหนด N*

ในการวาดระนาบ α ซึ่งสัมผัสกับพื้นผิวทรงกรวย β และผ่านจุด N นั้นไม่เป็นส่วนหนึ่งของ

* เนื่องจากพื้นผิว β ประกอบด้วยจุดพาราโบลา (ยกเว้นจุดยอด S) ระนาบแทนเจนต์ α จึงจะมีจุดร่วมกันไม่ใช่จุด N หนึ่งจุด แต่เป็นเส้นตรง (SN)

การกดพื้นผิวที่กำหนดจำเป็น:

1) ผ่านจุดที่กำหนด N และจุดยอด S ของพื้นผิวทรงกรวย β วาดเส้นตรง a (a" และ a") ;

2) กำหนดร่องรอยแนวนอนของเส้นตรงนี้ H a;

3) ผ่าน H วาดแทนเจนต์ t" 1 และ t" 2 ของเส้นโค้ง h 0β - ร่องรอยแนวนอนของพื้นผิวทรงกรวย;

4) เชื่อมต่อจุดสัมผัส A (A" และ A") และ B (B" และ B") กับจุดยอดของพื้นผิวทรงกรวย S (S" และ S")

เส้นตัดกัน t 1, (AS) และ t 2, (BS) กำหนดระนาบแทนเจนต์ที่ต้องการ α 1 และ α 2

ตัวอย่าง 3 สร้างระนาบ α แทนเจนต์กับพื้นผิว β ด้วยจุดไฮเปอร์โบลิก

จุด K (รูปที่ 214) ตั้งอยู่บนพื้นผิวของทรงกลม (พื้นผิวด้านในของวงแหวน)

ในการกำหนดตำแหน่งของระนาบแทนเจนต์ α จำเป็น:

1) วาดเส้นขนานกับพื้นผิว β h(h", h") ผ่านจุด K;

2) ผ่านจุด K" วาดแทนเจนต์ t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) เพื่อกำหนดทิศทางของการฉายภาพแทนเจนต์ไปยังส่วนเส้นเมอริเดียนจำเป็นต้องวาดระนาบ γ ผ่านจุด K และแกนของพื้นผิว การฉายภาพแนวนอน t" 2 จะตรงกับ h 0γ; เพื่อสร้าง การฉายภาพด้านหน้าของแทนเจนต์ t "2 ก่อนอื่นเราจะแปลระนาบ γ โดยการหมุนรอบแกนของพื้นผิวการหมุนไปยังตำแหน่ง γ 1 || พาย 2. ในกรณีนี้ ส่วนเส้นเมริเดียนตามระนาบ γ จะอยู่ในแนวเดียวกันกับส่วนโค้งด้านซ้ายของเส้นโครงส่วนหน้า - ครึ่งวงกลม g"

จุด K (K", K") ที่อยู่ในส่วนโค้งของเส้นเมอริเดียนจะเคลื่อนไปที่ตำแหน่ง K 1 (K" 1, K" 1) ผ่าน K" 1 เราวาดรูปส่วนหน้าของแทนเจนต์ t" 2 1 รวมกับระนาบ γ 1 || π 2 ตำแหน่งและทำเครื่องหมายจุดตัดด้วยการฉายภาพด้านหน้าของแกนหมุน S" 1. เราคืนระนาบ γ 1 กลับสู่ตำแหน่งเดิม จุด K" 1 → K" (จุด S" 1 ≡ S") . การฉายภาพด้านหน้าของแทนเจนต์ t "2 ถูกกำหนดโดยจุด K" และ S"

แทนเจนต์ t 1 และ t 2 กำหนดระนาบแทนเจนต์ที่ต้องการ α ซึ่งตัดกับพื้นผิว β ตามเส้นโค้ง l

ตัวอย่าง 4 สร้างระนาบ α แทนเจนต์กับพื้นผิว β ที่จุด K จุด K ตั้งอยู่บนพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติแผ่นเดียว (รูปที่ 215)

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยปฏิบัติตามอัลกอริธึมที่ใช้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ แต่คำนึงถึงว่าพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติเป็นพื้นผิวที่มีการควบคุมซึ่งมีเครื่องกำเนิดเส้นตรงสองตระกูลและแต่ละเครื่องกำเนิดของหนึ่ง ครอบครัวตัดกันเครื่องกำเนิดทั้งหมดของอีกครอบครัวหนึ่ง (ดู§ 32 รูปที่ . 138) ผ่านแต่ละจุดของพื้นผิวนี้สามารถวาดเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน - เครื่องกำเนิดไฟฟ้าซึ่งจะสัมผัสกับพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติแผ่นเดียวพร้อมกัน

แทนเจนต์เหล่านี้กำหนดระนาบแทนเจนต์ กล่าวคือ ระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติตัดกันพื้นผิวนี้ตามเส้นตรงสองเส้น g 1 และ g 2 การสร้างเส้นโครงของเส้นเหล่านี้ก็เพียงพอแล้ว การฉายภาพแนวนอนจุด K วาดแทนเจนต์ t" 1 และ t" 2 ไปที่แนวนอน

การฉายภาพของวงกลม d" 2 - คอของพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติ กำหนดจุดที่ 1" และ 2 โดยที่ t" 1 และ t" 2 ตัดกันหนึ่งและพื้นผิวทิศทาง d 1 จาก 1" และ 2" เราพบ 1" และ 2" ซึ่งร่วมกับ K" จะกำหนดเส้นโครงด้านหน้าของเส้นที่ต้องการ

ณ จุดหนึ่งและมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องกันอย่างน้อยหนึ่งอันที่ไม่หายไป จากนั้นในบริเวณใกล้จุดนี้ พื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ (1) จะเป็น พื้นผิวที่ถูกต้อง.

นอกเหนือจากที่กล่าวมาข้างต้น วิธีการระบุโดยนัยสามารถกำหนดพื้นผิวได้ อย่างชัดเจนถ้าตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง เช่น z สามารถแสดงในรูปของตัวแปรอื่นๆ ได้:

ก็มีเช่นกัน พารามิเตอร์วิธีการมอบหมายงาน ในกรณีนี้ พื้นผิวถูกกำหนดโดยระบบสมการ:

แนวคิดของพื้นผิวที่เรียบง่าย

แม่นยำยิ่งขึ้น พื้นผิวที่เรียบง่าย เรียกว่ารูปภาพของการทำแผนที่แบบชีวมอร์ฟิก (นั่นคือ การทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งและต่อเนื่องร่วมกัน) ของภายในของหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส คำจำกัดความนี้สามารถให้การแสดงออกเชิงวิเคราะห์ได้

ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกกำหนดไว้บนระนาบที่มีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม u และ v ซึ่งเป็นพิกัดของจุดภายในที่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

ตัวอย่าง พื้นผิวที่เรียบง่ายคือซีกโลก ทรงกลมทั้งหมดไม่ได้ พื้นผิวที่เรียบง่าย- สิ่งนี้จำเป็นต้องมีการสรุปแนวคิดเรื่องพื้นผิวเพิ่มเติม

เซตย่อยของพื้นที่ แต่ละจุดมีพื้นที่ใกล้เคียง พื้นผิวที่เรียบง่าย, เรียกว่า พื้นผิวที่ถูกต้อง .

พื้นผิวในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เฮลิคอยด์

คาทีนอยด์

ตัวชี้วัดไม่ได้กำหนดรูปร่างของพื้นผิวโดยเฉพาะ ตัวอย่างเช่น หน่วยเมตริกของเฮลิคอยด์และคาทีนอยด์ซึ่งมีการกำหนดพารามิเตอร์ตามลำดับนั้นเกิดขึ้นพร้อมกัน กล่าวคือ มีความสอดคล้องกันระหว่างบริเวณที่รักษาความยาวทั้งหมดไว้ (ไอโซเมตรี) เรียกว่าคุณสมบัติที่คงไว้ภายใต้การแปลงแบบสามมิติ เรขาคณิตภายในพื้นผิว รูปทรงภายในไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของพื้นผิวในอวกาศ และไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อโค้งงอโดยไม่มีแรงตึงหรือแรงอัด (เช่น เมื่อทรงกระบอกโค้งงอเป็นกรวย)

ค่าสัมประสิทธิ์เมตริกไม่เพียงแต่กำหนดความยาวของเส้นโค้งทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลลัพธ์ของการวัดทั้งหมดภายในพื้นผิวโดยทั่วไปด้วย (มุม พื้นที่ ความโค้ง ฯลฯ) ดังนั้น ทุกสิ่งที่ขึ้นอยู่กับหน่วยเมตริกเท่านั้นจึงหมายถึงเรขาคณิตภายใน

ส่วนปกติและส่วนปกติ

เวกเตอร์ปกติที่จุดผิว

ลักษณะสำคัญอย่างหนึ่งของพื้นผิวก็คือ ปกติ- เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับระนาบแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนด:

.

เครื่องหมายของเส้นปกติขึ้นอยู่กับการเลือกพิกัด

ส่วนของพื้นผิวโดยระนาบที่มีเส้นปกติ (ณ จุดที่กำหนด) ก่อให้เกิดเส้นโค้งที่แน่นอนบนพื้นผิว ซึ่งเรียกว่า ส่วนปกติพื้นผิว ปกติหลักสำหรับส่วนปกติเกิดขึ้นพร้อมกับปกติกับพื้นผิว (ขึ้นอยู่กับการลงนาม)

หากเส้นโค้งบนพื้นผิวไม่ใช่ส่วนปกติ เส้นปกติหลักจะสร้างมุม θ กับเส้นปกติของพื้นผิว แล้วมีความโค้ง เคเส้นโค้งที่เกี่ยวข้องกับความโค้ง เค nส่วนปกติ (ที่มีแทนเจนต์เดียวกัน) ตามสูตรของมูเนียร์:

พิกัดของเวกเตอร์หน่วยปกติสำหรับวิธีการกำหนดพื้นผิวต่างๆ แสดงไว้ในตาราง:

	พิกัดปกติที่จุดพื้นผิว
การมอบหมายโดยนัย
การมอบหมายที่ชัดเจน
ข้อกำหนดพารามิเตอร์

ความโค้ง

สำหรับ ทิศทางที่แตกต่างกันณ จุดที่กำหนดบนพื้นผิวจะได้รับความโค้งที่แตกต่างกันของส่วนปกติซึ่งเรียกว่า ความโค้งปกติ- โดยจะมีการกำหนดให้เครื่องหมายบวกหากเส้นปกติหลักของเส้นโค้งไปในทิศทางเดียวกันกับเส้นปกติกับพื้นผิว หรือเครื่องหมายลบหากทิศทางของเส้นปกติตรงกันข้าม

โดยทั่วไปแล้ว ทุกจุดบนพื้นผิวจะมีทิศทางตั้งฉากกันสองทิศทาง จ 1 และ จ 2 ซึ่งความโค้งปกติใช้ค่าต่ำสุดและสูงสุด ทิศทางเหล่านี้เรียกว่า หลัก- ข้อยกเว้นคือกรณีที่ความโค้งปกติในทุกทิศทางเท่ากัน (เช่น ใกล้ทรงกลมหรือจุดสิ้นสุดของวงรีของวงรี) ทิศทางทั้งหมดที่จุดหนึ่งถือเป็นทิศทางหลัก

พื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบ (ซ้าย) ศูนย์ (กลาง) และโค้งบวก (ขวา)

ความโค้งปกติในทิศทางหลักเรียกว่า ความโค้งหลัก- ลองแสดงว่าพวกมัน κ 1 และ κ 2 กัน ขนาด:

เค= κ 1 κ 2

เรียกว่า ความโค้งแบบเกาส์เซียน, ความโค้งเต็มรูปแบบหรือเพียงแค่ ความโค้งพื้นผิว ยังมีคำว่า สเกลาร์ความโค้งซึ่งแสดงถึงผลลัพธ์ของการบิดของเทนเซอร์ความโค้ง ในกรณีนี้ สเกลาร์ความโค้งจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของความโค้งแบบเกาส์เซียน

ความโค้งแบบเกาส์เซียนสามารถคำนวณได้โดยใช้ระบบเมตริก และดังนั้นจึงเป็นวัตถุของเรขาคณิตภายในของพื้นผิว (โปรดทราบว่าความโค้งหลักไม่อยู่ในเรขาคณิตภายใน) คุณสามารถจำแนกจุดพื้นผิวตามสัญลักษณ์ของความโค้งได้ (ดูรูป) ความโค้งของเครื่องบินเป็นศูนย์ ความโค้งของทรงกลมรัศมี R เท่ากันทุกที่ นอกจากนี้ยังมีพื้นผิวที่มีความโค้งเชิงลบคงที่ - เทียมสเฟียร์

เส้น Geodesic ความโค้งของ Geodesic

ส่วนโค้งบนพื้นผิวเรียกว่า เส้นจีโอเดติกหรือเพียงแค่ จีโอเดติกถ้าจุดปกติของเส้นโค้งเกิดขึ้นพร้อมกันกับจุดปกติของพื้นผิว ตัวอย่าง: บนเครื่องบิน ภูมิสารสนเทศคือเส้นตรงและส่วนของเส้นตรง บนทรงกลม - วงกลมใหญ่และส่วนของพวกมัน

คำจำกัดความที่เทียบเท่า: สำหรับเส้นจีโอเดสิก เส้นโครงของเส้นปกติหลักบนระนาบการสั่นจะเป็นเวกเตอร์ศูนย์ หากเส้นโค้งไม่ใช่เนื้อที่ แสดงว่าเส้นโครงที่ระบุไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่ายาว ความโค้งของเนื้อที่ เค กโค้งบนพื้นผิว มีความสัมพันธ์:

,

ที่ไหน เค- ความโค้งของเส้นโค้งที่กำหนด เค n- ความโค้งของส่วนปกติที่มีแทนเจนต์เดียวกัน

เส้นเรขาคณิตหมายถึงเรขาคณิตภายใน ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของพวกเขา

• ผ่านจุดพื้นผิวที่กำหนดในทิศทางที่กำหนด geodesic หนึ่งเดียวเท่านั้น
• บนพื้นผิวที่มีขนาดเล็กเพียงพอ จุดสองจุดสามารถเชื่อมต่อกันด้วย geodesic ได้ตลอดเวลาและยิ่งไปกว่านั้นเพียงจุดเดียวเท่านั้น คำอธิบาย: บนทรงกลม ขั้วตรงข้ามเชื่อมต่อกันด้วยเส้นเมอริเดียนจำนวนอนันต์ และจุดปิดสองจุดสามารถเชื่อมต่อได้ไม่เพียงแต่ด้วยส่วนของวงกลมขนาดใหญ่เท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงการบวกเข้ากับวงกลมที่สมบูรณ์ด้วย เพื่อรักษาเอกลักษณ์เฉพาะไว้เท่านั้น ในขนาดเล็ก
• ภูมิสารสนเทศเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุด ที่เข้มงวดมากขึ้น: บนพื้นผิวชิ้นเล็กๆ เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดที่กำหนดจะทอดยาวไปตามเนื้อที่

สี่เหลี่ยม

คุณลักษณะที่สำคัญอีกประการหนึ่งของพื้นผิวก็คือ สี่เหลี่ยมซึ่งคำนวณโดยสูตร:

คือเกี่ยวกับสิ่งที่คุณเห็นในชื่อเรื่อง โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือ "อะนาล็อกเชิงพื้นที่" ปัญหาการค้นหาแทนเจนต์และ ปกติไปยังกราฟของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ดังนั้นจึงไม่มีปัญหาใดๆ เกิดขึ้น

เริ่มจากคำถามพื้นฐานกันก่อน: ระนาบแทนเจนต์คืออะไร และระนาบปกติคืออะไร หลายคนเข้าใจแนวคิดเหล่านี้ในระดับสัญชาตญาณ มากที่สุด โมเดลที่เรียบง่ายสิ่งที่อยู่ในใจคือลูกบอลซึ่งมีกระดาษแข็งแบนบางวางอยู่ กระดาษแข็งตั้งอยู่ใกล้กับทรงกลมมากที่สุดและสัมผัสที่จุดเดียว นอกจากนี้ ณ จุดที่สัมผัสกันจะถูกยึดด้วยเข็มที่ยื่นออกมาตรงๆ

ตามทฤษฎีแล้ว มีคำจำกัดความที่ค่อนข้างแยบยลของระนาบแทนเจนต์ ลองนึกภาพฟรี พื้นผิวและประเด็นที่เป็นของมัน เห็นได้ชัดว่าผ่านประเด็นไปมาก เส้นเชิงพื้นที่ซึ่งอยู่ในพื้นผิวนี้ ใครมีสมาคมอะไรบ้าง? =) ...โดยส่วนตัวแล้วจินตนาการถึงปลาหมึกยักษ์ ให้เราสมมติว่าแต่ละบรรทัดดังกล่าวมี แทนเจนต์เชิงพื้นที่ณ จุด

คำจำกัดความ 1: ระนาบแทนเจนต์สู่พื้นผิว ณ จุดหนึ่ง - นี่คือ เครื่องบินซึ่งมีแทนเจนต์ของเส้นโค้งทั้งหมดที่เป็นของพื้นผิวที่กำหนดและผ่านจุดนั้น

คำจำกัดความ 2: ปกติสู่พื้นผิว ณ จุดหนึ่ง - นี่คือ ตรงโดยผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับระนาบแทนเจนต์

เรียบง่ายและสง่างาม อย่างไรก็ตาม เพื่อที่คุณจะได้ไม่เบื่อหน่ายกับความเรียบง่ายของเนื้อหา หลังจากนั้นอีกหน่อยฉันจะแบ่งปันความลับอันสง่างามข้อหนึ่งที่ช่วยให้คุณลืมเกี่ยวกับการยัดเยียดคำจำกัดความต่าง ๆ เพียงครั้งเดียวและตลอดไป

เราจะมาทำความรู้จักกับสูตรการทำงานและอัลกอริธึมการแก้ปัญหาโดยตรงที่ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- ในปัญหาส่วนใหญ่ จำเป็นต้องสร้างทั้งสมการระนาบแทนเจนต์และสมการปกติ:

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย: ถ้าพื้นผิวถูกกำหนดโดยสมการ (กล่าวคือโดยปริยาย)จากนั้นสมการของระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิวที่กำหนด ณ จุดหนึ่งสามารถหาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ฉันให้ความสนใจเป็นพิเศษกับอนุพันธ์บางส่วนที่ผิดปกติ - พวกเขา ไม่ควรสับสนกับ อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย (แม้จะระบุพื้นผิวโดยปริยายก็ตาม)- เมื่อค้นหาอนุพันธ์เหล่านี้ จะต้องได้รับคำแนะนำจาก กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามนั่นคือเมื่อแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อตัวแปรใด ๆ ตัวอักษรอีกสองตัวจะถือเป็นค่าคงที่:

โดยไม่ต้องออกจากเครื่องบันทึกเงินสด เราจะพบอนุพันธ์บางส่วน ณ จุดนั้น:

เช่นเดียวกัน:

นี่เป็นช่วงเวลาที่ไม่พึงประสงค์ที่สุดในการตัดสินใจซึ่งข้อผิดพลาดหากไม่ได้รับอนุญาตก็จะปรากฏขึ้นอย่างต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามก็มี เทคนิคที่มีประสิทธิภาพตรวจสอบที่ฉันพูดถึงในชั้นเรียน อนุพันธ์เชิงทิศทางและการไล่ระดับสี.

พบ "ส่วนผสม" ทั้งหมดแล้ว และตอนนี้มันเป็นเรื่องของการทดแทนอย่างระมัดระวังด้วยการลดความซับซ้อนเพิ่มเติม:

– สมการทั่วไประนาบแทนเจนต์ที่ต้องการ

ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ตรวจสอบขั้นตอนการแก้ปัญหานี้ด้วย ขั้นแรก คุณต้องแน่ใจว่าพิกัดของจุดแทนเจนต์เป็นไปตามสมการที่พบจริงๆ:

- ความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

ตอนนี้เรา "ลบ" ค่าสัมประสิทธิ์ สมการทั่วไประนาบและตรวจสอบความบังเอิญหรือสัดส่วนด้วยค่าที่สอดคล้องกัน ในกรณีนี้พวกมันเป็นสัดส่วน ตามที่คุณจำได้จาก หลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์, - นี้ เวกเตอร์ปกติระนาบแทนเจนต์ และเขาก็เช่นกัน เวกเตอร์นำทางเส้นตรงปกติ มาเขียนกันเถอะ สมการบัญญัติบรรทัดฐานตามเวกเตอร์จุดและทิศทาง:

โดยหลักการแล้ว ตัวส่วนสามารถลดลงได้สองเท่า แต่ไม่มีความจำเป็นใดๆ เป็นพิเศษสำหรับสิ่งนี้

คำตอบ:

ห้ามมิให้กำหนดสมการด้วยตัวอักษรบางตัว แต่ทำไมอีกครั้ง? ที่นี่ชัดเจนแล้วว่าอะไรคืออะไร

สองตัวอย่างต่อไปนี้มีไว้สำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- “ทวิสเตอร์ลิ้นทางคณิตศาสตร์” เล็กๆ น้อยๆ:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาสมการของระนาบแทนเจนต์และเส้นตั้งฉากกับพื้นผิวที่จุดนั้น

และงานที่น่าสนใจจากมุมมองทางเทคนิค:

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของระนาบแทนเจนต์และตั้งฉากกับพื้นผิวที่จุดหนึ่ง

ตรงจุด.

มีโอกาสไม่เพียงแต่จะสับสน แต่ยังประสบปัญหาในการบันทึกอีกด้วย สมการมาตรฐานของเส้นตรง- และสมการปกติอย่างที่คุณคงเข้าใจ มักจะเขียนในรูปแบบนี้ แม้ว่าเนื่องจากการหลงลืมหรือไม่รู้ถึงความแตกต่างบางประการ แต่รูปแบบพาราเมตริกจึงเป็นที่ยอมรับมากกว่า

ตัวอย่างโดยประมาณของการดำเนินการแก้ไขปัญหาขั้นสุดท้ายในตอนท้ายของบทเรียน

มีระนาบสัมผัสกัน ณ จุดใด ๆ บนพื้นผิวหรือไม่? โดยทั่วไปแล้วไม่แน่นอน ตัวอย่างคลาสสิก- นี้ พื้นผิวทรงกรวย และจุด - แทนเจนต์ ณ จุดนี้ก่อตัวเป็นพื้นผิวทรงกรวยโดยตรง และแน่นอนว่าไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน มันง่ายที่จะตรวจสอบว่ามีบางอย่างผิดปกติในเชิงวิเคราะห์: .

แหล่งที่มาของปัญหาก็คือข้อเท็จจริง การไม่มีอยู่จริงอนุพันธ์ย่อยใดๆ ณ จุดหนึ่ง อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่า ณ จุดที่กำหนดจะไม่มีระนาบแทนเจนต์เส้นเดียว

แต่มันเป็นวิทยาศาสตร์ที่ได้รับความนิยมมากกว่าข้อมูลที่สำคัญในทางปฏิบัติ และเรากลับไปสู่เรื่องเร่งด่วน:

วิธีเขียนสมการของระนาบแทนเจนต์และเส้นปกติที่จุดหนึ่ง
ถ้าพื้นผิวถูกระบุโดยฟังก์ชันที่ชัดเจน?

ลองเขียนมันใหม่โดยปริยาย:

และใช้หลักการเดียวกันนี้เราจะพบอนุพันธ์บางส่วน:

ดังนั้น สูตรระนาบแทนเจนต์จึงถูกแปลงเป็นสมการต่อไปนี้:

ดังนั้นสมการปกติที่ยอมรับได้:

อย่างที่คุณอาจเดาได้ว่า - สิ่งเหล่านี้เป็น "ของจริง" อยู่แล้ว อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวณ จุดที่เราเคยแสดงด้วยตัวอักษร “z” และพบได้ 100,500 ครั้ง

โปรดทราบว่าในบทความนี้ก็เพียงพอที่จะจำสูตรแรกสุดซึ่งหากจำเป็นก็สามารถหาอย่างอื่นได้ง่าย (แน่นอนว่ามี. ระดับพื้นฐานการตระเตรียม)- นี่เป็นแนวทางที่ควรใช้ในการศึกษาวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนเช่น จากข้อมูลขั้นต่ำเราต้องพยายาม "ดึง" ข้อสรุปและผลที่ตามมาสูงสุด “การพิจารณา” และความรู้ที่มีอยู่จะช่วยได้! หลักการนี้ยังมีประโยชน์เพราะจะช่วยคุณประหยัดได้มาก สถานการณ์วิกฤติเมื่อคุณรู้น้อยมาก

มาดูสูตร "แก้ไข" ด้วยตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 4

เขียนสมการของระนาบแทนเจนต์และตั้งฉากกับพื้นผิว ณ จุด

มีการซ้อนทับเล็กน้อยที่นี่พร้อมสัญลักษณ์ - ตอนนี้ตัวอักษรหมายถึงจุดบนระนาบ แต่คุณจะทำอย่างไร - ตัวอักษรยอดนิยมเช่นนี้...

สารละลาย: ลองเขียนสมการของระนาบแทนเจนต์ที่ต้องการโดยใช้สูตร:

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น:

มาคำนวณกัน อนุพันธ์ย่อยอันดับ 1ณ จุดนี้:

ดังนั้น:

อย่างระมัดระวัง อย่ารีบเร่ง:

ให้เราเขียนสมการบัญญัติของภาวะปกติ ณ จุดนั้น:

คำตอบ:

และตัวอย่างสุดท้ายสำหรับโซลูชันของคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 5

เขียนสมการสำหรับระนาบแทนเจนต์และเส้นตั้งฉากกับพื้นผิวที่จุดนั้น

สุดท้าย - เนื่องจากฉันได้อธิบายประเด็นทางเทคนิคเกือบทั้งหมดแล้ว และไม่มีอะไรพิเศษที่จะเพิ่มเติม แม้แต่ฟังก์ชันที่เสนอในงานนี้ก็ยังน่าเบื่อและซ้ำซากจำเจ - ในทางปฏิบัติคุณเกือบจะรับประกันว่าจะเจอ "พหุนาม" และในแง่นี้ ตัวอย่างหมายเลข 2 ที่มีเลขชี้กำลังดูเหมือน "แกะดำ" อย่างไรก็ตาม มีแนวโน้มที่จะพบพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการมากกว่า และนี่คืออีกสาเหตุหนึ่งว่าทำไมฟังก์ชันนี้จึงถูกรวมไว้ในบทความเป็นหมายเลข 2

และสุดท้ายความลับที่สัญญาไว้: แล้วจะหลีกเลี่ยงการยัดเยียดคำจำกัดความได้อย่างไร? (แน่นอนว่าฉันไม่ได้หมายถึงสถานการณ์ที่นักเรียนกำลังยัดเยียดอะไรบางอย่างก่อนสอบ)

ประการแรก คำจำกัดความของแนวคิด/ปรากฏการณ์/วัตถุใดๆ จะให้คำตอบสำหรับคำถามต่อไปนี้: มันคืออะไร? (ใคร/เช่น/เช่น/เป็น). อย่างมีสติเมื่อตอบคำถามนี้คุณควรพยายามไตร่ตรอง สำคัญสัญญาณ, อย่างแน่นอนการระบุแนวคิด/ปรากฏการณ์/วัตถุเฉพาะ ใช่ในตอนแรกดูเหมือนจะค่อนข้างผูกลิ้นไม่ถูกต้องและซ้ำซ้อน (ครูจะแก้ไขคุณ =)) แต่เมื่อเวลาผ่านไปคำพูดทางวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างดีก็พัฒนาขึ้น

ตัวอย่างเช่นฝึกฝนกับวัตถุที่เป็นนามธรรมที่สุดตอบคำถาม: Cheburashka คือใคร? มันไม่ง่ายขนาดนั้น ;-) นี่คือ " ตัวละครในเทพนิยายมีหูใหญ่ มีตาและมีขนสีน้ำตาล"? ห่างไกลจากคำจำกัดความมาก - คุณไม่มีทางรู้เลยว่ามีตัวละครที่มีลักษณะเช่นนี้... แต่นี่ใกล้เคียงกับคำจำกัดความมากขึ้น: “ Cheburashka เป็นตัวละครที่คิดค้นโดยนักเขียน Eduard Uspensky ในปี 1966 ซึ่ง ... (รายชื่อหลัก คุณสมบัติที่โดดเด่น)» - สังเกตว่ามันเริ่มต้นได้ดีแค่ไหน