ช่างตัดผมจะโกนทุกคนที่ไม่โกนตัวเอง Paradox ของรัสเซลล์ช่างตัดผม ดูว่า "Barber's Paradox" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร

เจ้าของร้านตัดผมในหมู่บ้านแห่งหนึ่งโพสต์ข้อความว่า “ฉันโกนขนพวกนั้น และเฉพาะชาวบ้านที่ไม่โกนตัวเองเท่านั้น” คำถามคือใครโกนช่างตัดผม?

การพัฒนา ตรรกะทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในศตวรรษที่ 20 เกี่ยวข้องกับการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรม

Ø ตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็นรูปแบบตรรกะสมัยใหม่ที่อาศัยวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการทั้งหมด ศึกษาเฉพาะการอนุมานด้วยวัตถุประสงค์และการตัดสินที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด ซึ่งสามารถตัดสินใจได้อย่างชัดเจนว่าเป็นจริงหรือเท็จ

แนวคิดหลัก (ไม่ได้กำหนด) ของตรรกะทางคณิตศาสตร์คือแนวคิด “ คำสั่งง่ายๆ- ประโยคที่เป็นประโยคเดียวมักเรียกว่าประโยคธรรมดาหรือประโยคพื้นฐาน

Ø คำนิยาม- นี้ ประโยคที่ประกาศซึ่งสามารถพูดได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ข้อความอาจเป็นจริง I หรือเท็จ L

ตัวอย่าง: โลก - ดาวเคราะห์ ระบบสุริยะ- (จริง); สี่เหลี่ยมด้านขนานทุกอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (เท็จ)

มีข้อความที่ไม่สามารถพูดได้อย่างแน่นอนว่าเป็นจริงหรือเท็จ “วันนี้อากาศดี” (แล้วแต่ใคร)

ตัวอย่างคำแถลง "ฝนตก"- เรียบง่าย และจะจริงหรือเท็จ ขึ้นอยู่กับสภาพอากาศภายนอกหน้าต่างว่าเป็นอย่างไร ถ้าฝนตกจริงๆ ข้อความนั้นก็เป็นจริง และถ้าแดดออกและไม่มีประโยชน์ที่จะรอฝน ก็ข้อความนั้น "ฝนตก"จะเป็นเท็จ

ตัวอย่าง“ ” ไม่ใช่ข้อความ (ไม่ทราบว่าต้องใช้ความหมายอะไร)

“นักศึกษาปีสอง” ไม่ใช่คำกล่าว

Ø คำนิยามประถมศึกษาคำพูดไม่สามารถแสดงออกผ่านคำพูดอื่นได้

Ø คำนิยามคอมโพสิตข้อความสั่งเป็นข้อความที่สามารถแสดงได้โดยใช้ข้อความพื้นฐาน

ตัวอย่าง“เลข 22 เป็นเลขคู่” เป็นข้อความง่ายๆ

มีสองวิธีหลักในการสร้างความจริงของข้อความ: เชิงประจักษ์ (เชิงทดลอง) และเชิงตรรกะ

ที่ วิธีการเชิงประจักษ์ความจริงของข้อความถูกสร้างขึ้นผ่านการสังเกต การวัด และการทดลอง

วิธีการเชิงตรรกะอยู่ในความจริงที่ว่าความจริงของข้อความนั้นถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของความจริงของข้อความอื่น ๆ นั่นคือโดยไม่ต้องอาศัยข้อเท็จจริงกับเนื้อหานั่นคืออย่างเป็นทางการ วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับการระบุและการใช้การเชื่อมต่อเชิงตรรกะระหว่างคำสั่งที่รวมอยู่ในอาร์กิวเมนต์

2.2 ตรรกะเชิงประพจน์

ก่อนอื่น คุณต้องกำหนดแนวคิด เนื่องจากส่วนเดียวกันมักถูกเรียกต่างกัน: ตรรกะทางคณิตศาสตร์ ตรรกะเชิงประพจน์ ตรรกะสัญลักษณ์ ตรรกะสองค่า ตรรกะเชิงประพจน์ พีชคณิตบูลีน...

Ø คำนิยามตรรกะเชิงประพจน์- สาขาวิชาตรรกวิทยาที่พิจารณาและตัดสินคำถามเกี่ยวกับความจริงหรือเท็จของข้อความโดยศึกษาวิธีสร้างข้อความจาก e ระดับประถมศึกษา(ยังไม่แยกย่อยและไม่ได้วิเคราะห์เพิ่มเติม) ข้อความที่ใช้การดำเนินการเชิงตรรกะของการร่วม ("และ"), การแยกออก ("หรือ"), การปฏิเสธ ("ไม่"), ความหมายโดยนัย ("ถ้า..., แล้ว..."), ฯลฯ .

Ø คำจำกัดความของแคลคูลัสเชิงประพจน์- นี่เป็นสัจธรรม ระบบลอจิคัลการตีความซึ่งเป็นพีชคณิตเชิงประพจน์

สิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือการสร้างระบบที่เป็นทางการซึ่งในบรรดาข้อความที่เป็นไปได้ทั้งหมด ระบุสิ่งเหล่านั้นที่เป็นกฎเชิงตรรกะ (การให้เหตุผลที่สร้างขึ้นอย่างถูกต้อง ข้อสรุปเชิงตรรกะ การซ้ำซาก ข้อความที่ใช้ได้โดยทั่วไป)

ทฤษฎีที่เป็นทางการโดยไม่ต้องใช้ภาษาธรรมชาติ (พูด) จำเป็นต้องมีภาษาที่เป็นทางการของตัวเองซึ่งมีการเขียนสำนวนที่พบในนั้น

Ø คำนิยามระบบที่เป็นทางการที่สร้างคำสั่งที่ซ้ำซากและเรียกเฉพาะเท่านั้น แคลคูลัสเชิงประพจน์(IV)

ระบบ IW อย่างเป็นทางการถูกกำหนดโดย:

สัญลักษณ์ใดที่ใช้ดีที่สุดเพื่อแสดงถึงการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ?

ให้เราอาศัยสัญกรณ์ต่อไปนี้: การปฏิเสธ การร่วม การแตกแยก การมีความหมาย และความเท่าเทียมกัน โดยทั่วไปแล้วค่าตรรกะของผลลัพธ์ของการใช้การเชื่อมต่อจะถูกเขียนในรูปแบบของตาราง (ที่เรียกว่าตารางความจริง)

2.3การเชื่อมต่อแบบลอจิคัล................................................ ..... ...

ในภาษาธรรมชาติ บทบาทของการเชื่อมโยงในการแต่งเพลง ประโยคที่ซับซ้อนวิธีการทางไวยากรณ์ต่อไปนี้มีความเรียบง่าย:

คำสันธาน "และ", "หรือ", "ไม่";

คำว่า "ถ้า ... แล้ว", "อย่างใดอย่างหนึ่ง ... หรือ"

“ถ้าและก็ต่อเมื่อ” ฯลฯ

ในตรรกะเชิงประพจน์ ความสัมพันธ์เชิงตรรกะที่ใช้ในการสร้างข้อความที่ซับซ้อนจะต้องถูกกำหนดไว้อย่างแม่นยำ

ให้เราพิจารณาการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ (การดำเนินการ) กับข้อความที่ค่าความจริงของข้อความประกอบถูกกำหนดโดยค่าความจริงของข้อความที่เป็นส่วนประกอบเท่านั้นและไม่ใช่ตามความหมาย

มีการเชื่อมต่อเชิงตรรกะที่ใช้กันอย่างแพร่หลายห้าประการ

การปฏิเสธ (แสดงด้วยเครื่องหมาย)

ร่วม (เครื่องหมาย)

การแยกทาง (เครื่องหมาย v)

นัย (เครื่องหมาย)

ความเท่าเทียมกัน (เครื่องหมาย)

Ø คำนิยามการปฏิเสธคำสั่ง P - คำสั่งที่เป็นจริงก็ต่อเมื่อคำสั่ง P เป็นเท็จ

Ø คำนิยามการเชื่อมต่อสองคำสั่ง P และ Q - ข้อความที่เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองข้อความเป็นจริง

Ø คำนิยามการแยกทางสองคำสั่ง P และ Q - ข้อความที่เป็นเท็จหากทั้งสองข้อความเป็นเท็จ

Ø คำนิยามความหมายโดยนัยสองประโยค P และ Q - ข้อความที่เป็นเท็จก็ต่อเมื่อ P เป็นจริงและ Q เป็นเท็จ คำสั่ง P เรียกว่า โดยพัสดุความหมายและคำสั่ง Q คือ บทสรุปความหมาย

Ø คำนิยามความเท่าเทียมกันสองประโยค P และ Q - ข้อความที่เป็นจริงก็ต่อเมื่อค่าความจริงของ P และ Q ตรงกัน

การใช้คำว่า "ถ้า..." "แล้ว..." ในพีชคณิตของตรรกศาสตร์แตกต่างจากการใช้คำพูดในชีวิตประจำวัน โดยตามกฎแล้ว เราเชื่อว่าหากข้อความดังกล่าว เอ็กซ์เป็นเท็จ แล้วข้อความ “ถ้า. เอ็กซ์, ที่ ที่" ไม่สมเหตุสมผลเลย นอกจากนี้ การสร้างประโยคให้อยู่ในรูป “ถ้า” เอ็กซ์, ที่ ที่“ในการพูดในชีวิตประจำวัน เรามักจะหมายถึงประโยคนั้นเสมอ ที่ตามมาจากประโยค เอ็กซ์- การใช้คำว่า "ถ้าอย่างนั้น" ในตรรกะทางคณิตศาสตร์ไม่ต้องการสิ่งนี้ เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงความหมายของข้อความในคำนั้น

2.4การดำเนินการเชิงตรรกะ

พื้นฐานของเทคโนโลยีดิจิทัลคือการดำเนินการเชิงตรรกะสามประการที่รองรับเอาท์พุตของคอมพิวเตอร์ทั้งหมด นี่คือการดำเนินการเชิงตรรกะสามประการ: AND, OR, NOT ซึ่งเรียกว่า "สามเสาหลักของตรรกะของเครื่องจักร"

คุณสามารถใช้การเชื่อมต่อเชิงตรรกะหรือการดำเนินการเชิงตรรกะที่รู้จักจากหลักสูตรคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องกับข้อความสั่งได้ ในกรณีนี้ปรากฎว่า สูตร- สูตรจะกลายเป็นคำสั่งเมื่อมีการแทนที่ค่าตัวอักษรทั้งหมด

ตารางความจริงของการดำเนินการเชิงตรรกะขั้นพื้นฐาน

ตัวแปรหลายตัวที่เกี่ยวข้องกันโดยใช้การดำเนินการเชิงตรรกะเรียกว่าฟังก์ชันเชิงตรรกะ

คำอธิบายของแคลคูลัสใดๆ รวมถึงคำอธิบายสัญลักษณ์ของแคลคูลัส (ตัวอักษร) สูตรที่เป็นการกำหนดค่าขั้นสุดท้ายของสัญลักษณ์ และคำจำกัดความของสูตรที่ได้รับ

2.5 ตัวอักษรของแคลคูลัสเชิงประพจน์

ตัวอักษรแคลคูลัสเชิงประพจน์ประกอบด้วยสัญลักษณ์สามประเภท:

ประการแรกคือสัญลักษณ์ของการแตกแยกหรือการบวกเชิงตรรกะ ประการที่สองคือเครื่องหมายของการรวมกันหรือการคูณเชิงตรรกะ ประการที่สามคือเครื่องหมายของความหมายโดยนัยหรือผลลัพธ์เชิงตรรกะ และประการที่สี่คือเครื่องหมายของการปฏิเสธ

แคลคูลัสเชิงประพจน์ไม่มีสัญลักษณ์อื่น

2.6 สูตร ซ้ำซาก

สูตรแคลคูลัสเชิงประพจน์คือลำดับของสัญลักษณ์จากอักษรแคลคูลัสเชิงประพจน์

เพื่อแสดงถึงสูตรที่เราใช้ ตัวพิมพ์ใหญ่ ตัวอักษรละติน- ตัวอักษรเหล่านี้ไม่ใช่สัญลักษณ์แคลคูลัส เป็นเพียงสัญลักษณ์ของสูตรเท่านั้น

Ø สูตรคำจำกัดความ–คำสั่งผสมที่สร้างขึ้นอย่างถูกต้อง:

1) ทุกตัวอักษรคือ สูตร.

2) ถ้า , เป็นสูตร ดังนั้น , , , , ก็เป็นสูตรด้วย

แน่นอนว่าคำว่า: ) ไม่ใช่สูตร (คำที่สามของคำเหล่านี้ไม่มีวงเล็บปิด และคำที่สี่ไม่มีวงเล็บ)

โปรดทราบว่าแนวคิดของการเชื่อมต่อแบบลอจิคัลไม่ได้ระบุไว้ที่นี่ในทางใดทางหนึ่ง โดยปกติแล้ว การเขียนสูตรจะมีการลดความซับซ้อนบางประการ ตัวอย่างเช่น ในการเขียนสูตร วงเล็บจะถูกละไว้ตามกฎเดียวกันกับในพีชคณิตเชิงประพจน์

Ø คำนิยาม.สูตรนี้มีชื่อว่า ซ้ำซาก, หากยอมรับเฉพาะค่าจริงสำหรับค่าตัวอักษรใด ๆ

Ø คำนิยามเรียกว่าสูตรที่เป็นเท็จสำหรับค่าตัวอักษรใดๆ ความขัดแย้ง

Ø คำนิยามสูตรนี้มีชื่อว่า เป็นไปได้ถ้าในชุดการแจกแจงค่าความจริงของตัวแปรชุดหนึ่งจะใช้ค่า AND

Ø คำนิยามสูตรนี้มีชื่อว่า หักล้างได้ถ้าภายใต้การแจกแจงค่าความจริงของตัวแปรที่แน่นอนก็จะรับค่า L

ตัวอย่างเป็นสูตรตามคำจำกัดความข้อ 2

ด้วยเหตุผลเดียวกัน คำต่างๆ จะเป็นสูตร:

ควบคู่ไปกับแนวคิดเรื่องสูตรแนวคิด สูตรย่อยหรือส่วนของสูตร

1. สูตรย่อย สูตรเบื้องต้นเธอเองก็ปรากฏตัวขึ้น

2. ถ้าสูตรมีรูปแบบ สูตรย่อยของสูตรจะเป็น: ตัวมันเอง สูตร A และสูตรย่อยทั้งหมดของสูตร A

3. หากสูตรมีรูปแบบ (A*B) (ต่อไปนี้จะใช้สัญลักษณ์ * เราหมายถึงสัญลักษณ์ใดๆ ในทั้งสาม) สูตรย่อยของสูตรนั้นได้แก่ ตัวมันเอง สูตร A และ B และสูตรย่อยทั้งหมดของสูตร A และ B

ตัวอย่างสำหรับสูตร สูตรย่อยจะเป็น:

- สูตรย่อยของความลึกเป็นศูนย์

สูตรย่อยของความลึกแรก

สูตรย่อยของความลึกที่สอง

สูตรย่อยของความลึกที่สาม

สูตรย่อยของความลึกที่สี่

ดังนั้น เมื่อเรา "เจาะลึกลงไปในโครงสร้างของสูตร" เราจะเน้นสูตรย่อยที่มีความลึกเพิ่มขึ้น

จากหลักสูตรคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง เรารู้ความเท่าเทียมเชิงตรรกะพื้นฐาน (การเทียบเท่า) ซึ่งเป็นตัวอย่างของการใช้ซ้ำซ้อน กฎเชิงตรรกะทั้งหมดจะต้องเป็นแบบซ้ำซาก

บางครั้งเรียกว่ากฎหมาย กฎของการอนุมานซึ่งกำหนดข้อสรุปที่ถูกต้องจากสถานที่

2.7 กฎตรรกศาสตร์เชิงประพจน์

พีชคณิตของตรรกศาสตร์มีกฎการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการของการเชื่อมโยงและการแตกแยก และกฎการกระจายของการรวมกันเกี่ยวกับการแยกส่วน กฎเดียวกันนี้ยังใช้กับพีชคณิตของตัวเลขด้วย

ดังนั้นการแปลงแบบเดียวกันนี้สามารถทำได้ในสูตรของพีชคณิตของตรรกะที่ดำเนินการในพีชคณิตของตัวเลข (วงเล็บเปิด, วางไว้ในวงเล็บ, ใส่ตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ)

ลองพิจารณากฎพื้นฐานของตรรกะเชิงประพจน์

1. การสับเปลี่ยน:

, .

2. การเชื่อมโยง:

3. การกระจายสินค้า:

4. ความเป็นตัวตน: , .

5. กฎแห่งการปฏิเสธสองครั้ง: .

6. กฎแห่งการยกเว้นข้อที่สาม: .

7. กฎแห่งความขัดแย้ง: .

8. กฎของเดอมอร์แกน:

9. กฎแห่งความเป็นอมตะ(คุณสมบัติของการดำเนินการที่มีค่าคงที่เชิงตรรกะ)

ในพีชคณิตของตรรกะไม่มีเลขยกกำลังและสัมประสิทธิ์ การรวมกันของ "ปัจจัย" ที่เหมือนกันจะเทียบเท่ากับหนึ่งในนั้น

ที่นี่และมีตัวอักษรใด ๆ

ตัวอย่าง.สูตรเป็นเรื่องซ้ำซาก

ในส่วนใหญ่ ทั่วไปรูปแบบของความขัดแย้ง เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ดูเหมือนว่านี้:

ให้ M เป็นเซตของเซตทั้งหมดที่ไม่มีตัวเองเป็นองค์ประกอบ คำถาม: M มีตัวเองเป็นองค์ประกอบหรือไม่?

หากคำตอบคือ "ใช่" ตามคำจำกัดความของ M ก็ไม่ควรจะเป็นองค์ประกอบของ M และเรามีความขัดแย้งกัน

หากคำตอบคือ "ไม่" - ตามคำจำกัดความของ M จะต้องเป็นองค์ประกอบของ M - เป็นความขัดแย้งอีกครั้ง...

“แก่นแท้ของความขัดแย้งคืออะไร? ชั้นเรียนเป็นบางครั้งและบางครั้งก็ไม่ใช่สมาชิกของตัวเอง " ระดับเช่น ช้อนชาก็ไม่ใช่ช้อนชาอื่น แต่สิ่งที่ไม่ใช่ช้อนชาก็เป็นประเภทหนึ่งของสิ่งที่ไม่ใช่ช้อนชา”

ความขัดแย้งของรัสเซลเกี่ยวข้องกับการใช้แนวคิดเรื่องคลาสของคลาสที่เหมาะสมทั้งหมด คลาสที่ไม่มีตัวเองเป็นองค์ประกอบเรียกว่า “ของตัวเอง” "ไม่เหมาะสม" เป็นคลาสที่ควรจะมีตัวเองเป็นองค์ประกอบ นี่ควรจะเป็นคลาสของทุกคลาส เกี่ยวกับคลาสของคลาสที่เหมาะสมทั้งหมด (“คลาส Russell”) คำถามเกิดขึ้น: มันคืออะไร - เหมาะสมหรือไม่เหมาะสม? หากเราคิดว่ามันเหมาะสม ก็จะต้องจัดประเภทเป็นคลาสที่ไม่เหมาะสม และในทางกลับกัน

ในรูปแบบกึ่งล้อเล่น รัสเซลล์นำเสนอความขัดแย้งนี้ผ่านรูปแบบเดียวกัน ซึ่งเรียกว่าความขัดแย้งแบบ "ช่างตัดผม" ใน "An Introduction to the Philosophy of Mathematics" (1919) ช่างตัดผมประจำหมู่บ้านจะต้องโกนทั้งหมด เฉพาะผู้ที่อาศัยอยู่ในหมู่บ้านที่ไม่โกนเองเท่านั้น เขาควรโกนตัวเองไหม? ถ้าเขาโกนตัวเขาก็โกนตัวและไม่มีสิทธิ์โกนตัว แต่ถ้าเขาไม่โกนตัวเขาก็มีสิทธิที่จะโกนตัวได้ ด้วยวิธีนี้ เราสามารถแสดงให้เห็นธรรมชาติที่ขัดแย้งกันของ “เซตของเซตทั้งหมดที่ไม่ใช่องค์ประกอบของตัวเอง” ควรสังเกตว่า “ช่างตัดผม” ไม่ใช่ “ความขัดแย้งที่แท้จริง” เพราะมันตามมาเพียงว่าช่างตัดผมดังกล่าวไม่สามารถดำรงอยู่ได้เลย กล่าวคือ “โดยหลักการแล้ว ไม่พบคำจำกัดความที่ชัดเจนและสอดคล้องกันสำหรับจำนวนทั้งสิ้นนี้ ซึ่งมีองค์ประกอบที่สามารถกำหนดได้เท่านั้น ในแง่ของจำนวนทั้งสิ้นนี้ เช่นเดียวกับองค์ประกอบที่รวมหรือสันนิษฐานว่าจำนวนทั้งสิ้นนี้” ความขัดแย้งนี้ถูกขจัดออกไปโดยข้อสรุปว่า ถ้าหลักเหตุผลบางประการทำให้เกิดข้อขัดแย้ง แสดงว่าข้อขัดแย้งนั้นไม่จริง

ปฏิปักษ์ของรัสเซลล์มีบทบาทสำคัญในการพัฒนารากฐานของคณิตศาสตร์ มันบ่อนทำลายรากฐานของทฤษฎีเซต ตรรกะใหม่ และกลายเป็นหายนะที่แท้จริงและการล่มสลายของความหวังของผู้ที่จัดการกับปัญหาของการพิสูจน์คณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 19-20

รัสเซลล์ไม่ยอมรับอย่างเปิดเผยในปี 1903 ว่าเขาได้ค้นพบวิธีแก้ปัญหาความขัดแย้งนี้แล้ว ใน "คำนำ" ของ "หลักการทางคณิตศาสตร์" เขาตั้งข้อสังเกตว่าเหตุผลเดียวในการเผยแพร่ผลงานที่มีคำถามที่ยังไม่ได้ตอบจำนวนหนึ่งก็คือ การศึกษาครั้งนี้เปิดโอกาสให้ได้รับข้อมูลเชิงลึกที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับธรรมชาติของชั้นเรียน เพื่อเป็นแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ ในภาคผนวก B ของงานนี้ รัสเซลล์ได้เสนอทฤษฎีประเภทง่ายๆ ต่อมาเขาเกิดความเชื่อมั่นว่าเป็นทฤษฎีนี้ที่พัฒนาเป็นระบบ ที่ทำให้สามารถขจัดความขัดแย้งนี้ได้”

Kolesnikov A. S. ปรัชญาของ Bertrand Russell, L. สำนักพิมพ์ มหาวิทยาลัยเลนินกราด, 1991, น. 84-85.

คุณสามารถเข้าใจความไม่สอดคล้องกันของ "ความขัดแย้ง" ของช่างตัดผมได้โดยใช้ตัวอย่างที่นำมาใช้เพื่อจุดประสงค์นี้ การดำเนินชีวิต ร่างกายมนุษย์- ลองนึกภาพว่าอวัยวะแต่ละส่วนในร่างกายมนุษย์ และแขนขาแต่ละส่วน นั้นเป็นชุดที่เหมือนกันของทุกชุด และอวัยวะแต่ละอย่างของร่างกายมนุษย์นี้ และแต่ละส่วนของแขนขาแต่ละส่วนก็เป็นส่วนย่อยของกันและกัน . ในกรณีนี้ ถ้าเราจินตนาการถึงสิ่งที่อธิบายไว้ข้างต้น ความจริงก็ชัดเจน โดยที่ช่างตัดผมคนเดียวกันนั้นจาก "ความขัดแย้ง" ของช่างตัดผมนั้นเชื่อมโยงกับโลกปัจจุบันที่เป็นสากลทั้งหมดที่เขาอาศัยอยู่ร่วมกับเขา รวมกันและในเวลาเดียวกันก็แยกออกจากกันไม่ได้โดยสิ้นเชิง เช่นเดียวกับที่อวัยวะทั้งหมดของร่างกายมนุษย์ที่มีชีวิตและแขนขาใด ๆ ของมันไม่สามารถแยกออกจากกันได้ ดังนั้นหากให้มีชีวิตอยู่ ร่างกายมนุษย์สามารถยังคงเป็นสิ่งมีชีวิตและทำงานได้อย่างสมบูรณ์ตามกฎของวิทยาศาสตร์ที่มีอยู่ และในขณะที่อาศัยอยู่ในโลกสากลนี้ ช่างตัดผมคนนี้ก็เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับโลกสากลนี้ในโครงสร้างเดียวที่มีอยู่ร่วมกับโลกนี้ และเขาก็เป็นช่างตัดผมคนนี้ในเวลาเดียวกัน ซึ่งก่อตัวเป็นชุดย่อย โดยมีฉากต่างๆ มากมายปรากฏอยู่ทั่วโลกของจักรวาล จากสิ่งที่ช่างตัดผมคนนี้มีโอกาสเป็นไปได้เสมอที่จะมีประสิทธิภาพ โดยที่เขาไม่สามารถละทิ้งไปได้ ณ จุดหนึ่งจากนั้น การตั้งถิ่นฐาน ซึ่งเขาอาศัยอยู่ ณ ท้องที่อื่น และได้ไปอยู่ท้องที่นั้นซึ่งตนไปอยู่นั้น โกนขนโดยคนในท้องที่นั้นเหมือนกันกับตัวเขา แต่โกนขนตัวเองไม่ได้ ช่างตัดผม ยิ่งกว่านั้นการจากไปของเขาทางอ้อมคือการกระทำของเขาและนำเขาไปสู่ความจริงที่ว่าในขณะเดียวกันเขาโกนผมเป็นช่างตัดผมคล้ายกับเขาและในเวลาเดียวกันก็อยู่ในท้องที่นี้ซึ่ง เขามาในเวลาเดียวกัน ซึ่งช่างตัดผมอีกคนนี้ ช่างตัดผมคนนี้ที่มาที่นั่น แน่นอนว่าเขาเองก็โกนได้พร้อมๆ กันด้วย แต่เนื่องจากเครื่องมือที่ช่างตัดผมคนนี้ต้องโกนนั้นแตกต่างจากมือของเขาเอง ดังนั้นมันจึงไม่เลิกเป็นเครื่องมือของเขาอีกต่อไป และนำไปสู่ความจริงที่ว่าเขาและเริ่มที่จะเป็นช่างตัดผมโกนขนเช่นนี้ . ดังนั้น นี่หมายความว่าช่างตัดผมคนนี้ ถ้าเขาไม่โกนตัวเองด้วยมือของตัวเอง เขาก็สามารถทำได้โดยใช้วิธีการ เครื่องมือ อื่นที่มีอยู่ ซึ่งเขามี ดังนั้นเขาจะโกนตัวเองด้วยวิธีนี้ เพราะเขาและช่างตัดผมอีกคนหนึ่งที่มาหาเขาจากอีกเมืองหนึ่งนั้นเชื่อมโยงถึงกันโดยโลกสากลที่พวกเขาอาศัยอยู่ด้วยกัน!!! ในทำนองเดียวกัน “ความขัดแย้ง” ของทฤษฎีบทของโกเดลเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ของเซตของเซตทั้งหมดก็คลี่คลายลง!!! ดังนั้น "ความขัดแย้ง" ของช่างตัดผมนี้จึงมีสาระสำคัญคล้ายคลึงกับสถานการณ์ โดยที่คนสองคนต้องมาพบกันเพื่อทำซุปซึ่งทั้งสองคนต้องการร่วมกัน แต่ในขณะเดียวกัน คนหนึ่งก็มี ในการทำเช่นนี้มีผลิตภัณฑ์ที่จำเป็นเกือบทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการปรุงอาหารยกเว้นน้ำ แต่เขาไม่มีภาชนะที่จำเป็นสำหรับการทำซุปนี้และเตาไฟที่สามารถปรุงซุปนี้ได้ และอีกคนหนึ่งหนึ่งในสองคนนี้ ในทางกลับกัน บุคคลนี้มีน้ำ เตาไฟ และภาชนะที่จำเป็นสำหรับการทำซุปนี้ แต่ในขณะเดียวกัน เขาก็ไม่มีผลิตภัณฑ์อื่นที่จำเป็นสำหรับการทำซุปนี้ . จากนั้นชายคนที่สองก็มอบน้ำ เตาไฟ และภาชนะที่จำเป็นสำหรับการปรุงซุปนี้แก่ชายคนแรก และชายคนแรกก็มอบส่วนที่เหลือที่จำเป็นสำหรับการปรุงซุปนี้แก่ชายคนที่สอง และด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงสามารถปรุงได้ ซุปที่พวกเขาทั้งสองต้องการร่วมกันซึ่งพวกเขาร่วมกันและในเวลาเดียวกันก็บริโภคเป็นอาหารของพวกเขา .. นอกจากนี้ยังมีตัวเลือกที่สองอีกด้วย การตัดสินใจที่ถูกต้อง วิธีแก้ปัญหาสำหรับ "ความขัดแย้งของช่างตัดผม" นี้โดยพื้นฐานแล้วช่างตัดผมคนนี้ก็สามารถโกนตัวเองได้โดยไม่ละเมิดคำสั่งของนายกเทศมนตรีของเมือง! นี่คือวิธีแก้ปัญหา "ความขัดแย้งของช่างตัดผม" รุ่นที่สอง: ช่างตัดผมจะโกนตัวเอง จากนั้นเมื่อเขาโกนตัวเอง หรือไม่โกนตัวเอง และเมื่อเขาไม่โกนตัวเอง เพราะเขาโกนไม่ได้และไม่โกนเลย โกนตัวเอง ด้วยเหตุนี้ ในการที่จะโกนขนตัวเองได้นั้น คุณจะต้องเริ่มโกนขนตัวเองด้วยวิธีการทางกายภาพจริงๆ ไม่ใช่ด้วยคำพูดแต่เป็นการกระทำ และโดยที่ไม่ต้องโกนขนตัวเองในความเป็นจริงด้วยซ้ำ นั่นหมายถึงการไม่โกนขนตัวเองด้วยซ้ำ ในเวลานี้เอง ดังนั้นจึงสามารถเริ่มโกนขนตัวเองได้ โดยไม่ละเมิดคำสั่งแรกที่นายกเทศมนตรีของเมืองมอบให้เขา (ให้โกนขนทั้งหมด และเฉพาะผู้ที่ไม่โกนขนเท่านั้น) สิ่งนี้พิสูจน์ความเป็นไปได้ของการโกนตัวเอง ช่างตัดผมคนนี้ ในความเป็นจริง เพราะเขาสามารถเริ่มโกนได้ในความเป็นจริง และจุดเริ่มต้นของการโกนในความเป็นจริงนี้จะเริ่มเกิดขึ้นเฉพาะในช่วงเวลาที่เขาสามารถโกนได้แม้แต่เคราขนาดเล็ก ไว้บนหนวดเคราของเขา ซึ่งจริงๆ แล้วเขาจะไม่ฝ่าฝืนคำสั่งแรกที่นายกเทศมนตรีเมืองมอบให้เขา (ให้โกนขนทั้งหมด เฉพาะคนที่ไม่โกนเท่านั้น) เอง) เนื่องจากเขากลายเป็นช่างตัดผมที่โกนตัวเองเขาจึงไม่สามารถทำได้ในทันที แต่เพียงในขณะที่โกนขนบนเคราอย่างน้อยส่วนหนึ่งส่วนใดส่วนหนึ่งของเขาออกและฝ่าฝืนคำสั่งที่สองที่นายกเทศมนตรีมอบให้เขา ของเมือง (ไม่ต้องโกนทุกคนที่โกนเอง) ดังนั้นเขาจึงไม่สามารถเริ่มโกนด้วยความพยายามของตัวเองนี้ได้เพราะมันถูกต้องตามหลักตรรกะถือว่าทุกครั้งที่ช่างตัดผมไม่รู้จักตัวเองบางทีเขาอาจจะ จะสามารถโกนตัวเองได้และเริ่มโกนตัวเองได้ หรือไม่ก็ทำไม่ได้และจะทำไม่ได้ และช่างตัดผมที่ไม่รู้ตัวเองเลยประการแรกคือตัวเขาเอง ความสามารถทั้งในความสามารถในการโกนตัวเองและในทางกลับกันไม่ใช่ความสามารถในการโกนตัวเองไม่สามารถพิจารณาได้ด้วยเหตุผลนี้ล่วงหน้าทันทีโดยเฉพาะช่างตัดผมซึ่งรู้กันว่าเขาโกนตัวเองและบางทีเขาสามารถทำได้ โกนตัวเอง! เมื่อช่างตัดผมที่ "เพิกเฉย" รายนี้โกนขนบนหนวดเคราออกอย่างน้อยหนึ่งส่วน ขณะนั้นเขาจะสามารถเข้าใจตัวเองได้ว่ายังสามารถโกนตัวเองได้ แต่ในขณะนี้ เขา จะไม่ฝ่าฝืนคำสั่งที่สองของนายกเทศมนตรีเมือง (ห้ามโกนขนทุกคน) เนื่องจากเขาไม่รู้ตัวเองและไม่เคยรู้ล่วงหน้าว่าเขาจะโกนตัวเองได้ตลอดเวลาหรือไม่ อนาคตหรือไม่เขาก็จะทำได้ และนี่คือความไม่รู้ถึงความเป็นไปได้ในอนาคตของเขาเอง และทำให้เขากลายเป็นช่างตัดผมที่ไม่ฝ่าฝืนคำสั่งที่สองของนายกเทศมนตรีนี้ โดยพื้นฐานแล้วเขาไม่ควรโกนสิ่งเหล่านั้นทั้งหมด ผู้โกนตัวเองแล้วจึงรู้ตัวว่าเริ่มโกนตัวเองในขณะนั้น เพียงรักษากฎข้อที่สองนี้ซึ่งห้ามมิให้โกนทุกคนที่โกนตัวเองแล้ว เขาก็จะหยุดโกนตัวเองชั่วครู่หนึ่งแล้ว จะหยุดโกนตัวเองด้วยสิ่งนี้และรู้ทันทีว่าเขาจำเป็นต้องเริ่มปฏิบัติตามคำสั่งแรกที่นายกเทศมนตรีมอบให้เขานั่นคือคำสั่งเกี่ยวกับหน้าที่ของเขาที่จะโกนทั้งหมดนั้นและเฉพาะคนที่ไม่โกนเท่านั้น ตัวเองจะพยายามเริ่มโกนตัวเองใหม่เพื่อไม่ให้เป็นการฝ่าฝืนมันอีก และรอบนี้ เขาหยุดโกนขนเองแล้วเริ่มโกนใหม่อีกครั้ง ต่อไปจนโกนเคราจนเกลี้ยง เขาจะสามารถโกนเคราทั้งหมดด้วยมือของเขาเองได้โดยไม่ละเมิดคำสั่งของนายกเทศมนตรีของเมือง! - นี่ก็เป็นอีกหนึ่งวิธีแก้ปัญหาของ “barber paradox” นี้!!!

ช่างตัดผมจะโกนเฉพาะคนที่ไม่โกนเองเท่านั้น
ช่างตัดผมจะโกนเองเหรอ?

คำตอบ: ช่างตัดผมจะทำการโกนขนจนกระทั่ง
จนกว่าตัวเขาเองจะเข้าใจว่าเขากำลังทำอะไรอยู่ ตัวอย่างเช่น
ตัดผมอย่างน้อยหนึ่งเส้น เหล่านั้น. มีบางอย่างเกิดขึ้น
ผลลัพธ์หลังจากประเมินแล้วว่าช่างตัดผมสามารถทำอะไรได้บ้าง
ข้อสรุปเชิงตรรกะไม่ว่าเขาจะโกนหรือไม่ก็ตาม หลังจากนั้นเขา
จะหยุดโกนด้วยธงและเมื่อมาถึงเขาแล้ว
ความจริงที่ว่าใน ในขณะนี้เขาไม่โกนเขาจะทำซ้ำ
การกระทำของคุณ ส่งผลให้ความเร็วในการโกนจะอยู่ที่
ขึ้นอยู่กับความเร็วของช่างตัดผมเอง
ทำงานเป็นระบบวิเคราะห์ และสุดท้ายก็ตัดสินใจ
จะมีความขัดแย้งเกิดขึ้นในเวลานั่นคือ โกนไม่โกน
โกน ไม่โกน ฯลฯ กล่าวคือ วงจร และโดย
เครื่องกำเนิดไฟฟ้าของเรา

แล้วช่างตัดผมจะโกนเสร็จเหรอ?

ขึ้นอยู่กับเกณฑ์ความจริงสำหรับคำว่าโกน (ใน
ไม่ได้ระบุสำหรับงาน ซึ่งเป็นผลมาจากการที่งานไม่ได้
วางอย่างถูกต้อง)

ดังนั้นฉันจึงมีอิสระในการติดตั้งมันเพื่อให้งาน
ได้ตัดสินใจแนะนำนิยามของคำว่า "โกน"
ความจริงของการโกนคือการตัดผมทีละเส้น
เวลา t1-t2

คัดลอกและวางจากฟอรัมอื่น:

"ลองจุด E ทั้งหมดกันเถอะ!"
ความจริงที่ว่าการโกนนั้นเป็นจริงนั้นเจ๋งมาก! แล้วใครจะติดตั้งจริง???"

ช่างตัดผมเองแน่นอน!
ท้ายที่สุดเขาตัดสินใจด้วยตัวเองว่าเขาปฏิบัติตามเงื่อนไขของงานในช่วงเวลาที่กำหนดหรือไม่
ถ้าเขาไม่โกนตอนนี้ เขาก็จะเริ่มโกนได้อย่างใจเย็น ในขณะนี้เขาไม่ใช่ช่างตัดผมเพื่อตัวเอง
เงื่อนไขไม่ได้บอกว่าห้ามเริ่มโกนหรือโกน
เขาไม่สามารถรับรู้ถึงกระบวนการโกนหนวดของตัวเองได้ไม่เช่นนั้นเขาจะฝ่าฝืนสภาพ
เหล่านั้น. ถ้าเขาไม่เข้าใจ แสดงว่าเขาไม่ได้ละเมิดเงื่อนไขของภารกิจ!
และในกรอบอ้างอิงของเขา ตามกฎหมายว่าด้วยคนกลางที่ถูกกีดกัน สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้

เพราะเขาไม่มีเวลาที่จะตระหนักถึงการกระทำของการตัดผมในเวลา t1-t2

ปรากฎว่ามีการกระทำเกิดขึ้นและช่างตัดผมก็ไม่ต้องตำหนิ ใช่ เขารู้ดีว่าเขาได้โกนขนแล้ว แต่เมื่อถึงเวลาที่ยังไม่ได้โกน เขามีสิทธิ์ทุกประการที่จะเริ่มขั้นตอนการโกนตามเงื่อนไข! เขาไม่ใช่ช่างตัดผมใน ISO ของเขา และเมื่อเขาโกนแล้ว มโนธรรมของเขาก็กลับมาสดใสอีก เพราะเขาไม่ได้โกนตัวเองอีก และความจริงของการโกนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ใน ISO เลย
จากมุมมองของผู้อยู่อาศัยในหมู่บ้านช่างตัดผมก็ไม่ได้ละเมิดเงื่อนไขเพราะทุกสิ่งที่เขาทำในช่วงเวลาสั้น ๆ ไม่ได้ถูกกำหนดจาก ISO ของพวกเขา ยิ่งกว่านั้นอีก พวกเขาทั้งสองเห็นแต่ผลลัพธ์: เขาไม่ได้โกน แต่ตอนนี้เขาโกนแล้ว

หากคุณใช้ "ช่างตัดผมเร็ว" ที่สามารถระบุความจริงของการโกนของเขาในขณะที่ตัดผมไปครึ่งหนึ่งได้เขาก็จะหยุดเพื่อไม่ให้ละเมิดสภาพและจะโกนต่อทันทีเนื่องจากเขา จะเลิกเป็นช่างตัดผมอีกแล้ว

ไม่ว่าในกรณีใดช่างตัดผมจะถูกโกนและการตระหนักว่าเขาฝ่าฝืนเงื่อนไขจะไม่มาหาเขาเลยแม้ว่าในความเป็นจริงก็ตาม

มันไม่ได้เกิดขึ้นกับคุณหรอกที่ร่างกายเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและมีความเร่งสม่ำเสมอในสุญญากาศด้วยเหตุผลหลังจากความเป็นจริงใช่หรือไม่? คุณถือว่าสิ่งนี้ถือเป็นปาฏิหาริย์ใช่ไหม? อ๊ะ! ร่างกายเคลื่อนไหว ไม่มีการใช้พลังงาน แต่ใครเป็นคนเคลื่อนย้าย? ใครใช้พลังงาน?
ช่างตัดผมก็จะต้องเผชิญกับข้อเท็จจริงเช่นเดียวกัน อ๊ะ! ปาบริลซี! สิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร? แน่นอนว่านี่คือถ้าความทรงจำของเขาหายไปและเขาจำไม่ได้ว่าเขาทำอะไรไปเมื่อครู่ที่แล้ว

และในกรณีของกฎข้อที่ 1 ของนิวตัน คุณแค่ไม่ทำ แค่นั้นเอง

และเนื่องจากความจริงที่ว่าช่างตัดผมจำสิ่งที่เขาทำเมื่อครู่ก่อนได้และไม่ได้โกนด้วย เขาจึงสามารถสรุปได้ว่าตัวเขาเองโกนและละเมิดสภาพนั้น
ไม่สามารถระบุความจริงของการโกนได้ แต่มันเกิดขึ้นอย่างแน่นอน
เราใช้กฎแห่งตรรกะของการผกผันของสาเหตุ:
ข้อสรุปแบบนิรนัยกลายเป็นข้อสรุปแบบอุปนัยในกรณีที่พิสูจน์ได้ว่าไม่มีข้อสรุปแบบนิรนัยอื่นอีก แต่ไม่สามารถมีได้ไม่มีใครอยู่ใกล้ ๆ ดังนั้นช่างตัดผมเองก็โกนและไม่มีปาฏิหาริย์โกนเขาและความจริงของ การละเมิดได้ถูกสร้างขึ้นโดยอุปนัยแล้ว
(ฉันขอให้คุณรู้สึกในช่วงเวลานี้เพราะฉันแสดงให้คุณเห็นที่นี่ว่ากฎของการผกผันของเวรกรรมทำงานอย่างไรสำหรับแนวคิดเรื่องการเหนี่ยวนำและการนิรนัย ฉันจะแสดงให้คุณดูที่ไหนได้อีก)

แต่สิ่งนี้ไม่ได้ละเมิดเงื่อนไขของปัญหาอีกครั้งเนื่องจากปัญหาไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับว่าช่างตัดผมจะต้องทนทุกข์ทรมานจากสิ่งนี้หลังจากข้อเท็จจริงหรือไม่ มีคำถามว่าจะโกนหรือไม่โกน

แม้ว่าช่างตัดผมจะสรุปว่าเขาฝ่าฝืนสภาพหลังจากโกนผมไปหนึ่งเส้นและการพยายามโกนอีกครั้งจะทำให้เขาฝ่าฝืนสภาพงานครั้งต่อไป แต่สิ่งนี้กลับไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลยเนื่องจากงานไม่ได้บ่งชี้ถึงการคำนึงถึง ข้อเสนอแนะเชิงลบในเวลาเช่น โดยค่าเริ่มต้น เราละเลยไปตามเงื่อนไข

“ผู้สังเกตการณ์เหรอ นี่คือ ISO อื่น”

งานนี้มีไว้สำหรับช่างตัดผม ไม่ใช่สำหรับผู้สังเกตการณ์ภายนอกที่สามารถวัดขั้นตอนการโกนผมเส้นหนึ่งได้ ให้ระบุปริมาณการกระทำนี้ในรายละเอียดมากกว่าช่างตัดผมให้เป็นส่วนประกอบใน ISO อื่น (สโลว์โมชัน) และตระหนักถึงกระบวนการโกน หลุดผมไปครึ่งหนึ่งแล้วบอกว่าช่างตัดผมทำผิดเงื่อนไข ใช่แล้ว ช่างตัดผมจะฝ่าฝืนตำแหน่งของเขาจากตำแหน่งของเขา แต่สิ่งนี้ไม่ได้ขัดแย้งกับเงื่อนไขของปัญหา

ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงที่สุดที่ค้นพบในศตวรรษของเราคือสิ่งที่ตรงกันข้ามที่ค้นพบโดย B. Russell แนวคิดนี้แพร่กระจายไปในอากาศ และการตีพิมพ์ก็ทำให้เกิดการระเบิดขึ้น ความขัดแย้งนี้เกิดขึ้นในคณิตศาสตร์ ตามที่ D. Hilbert กล่าว "ผลของภัยพิบัติครั้งใหญ่" วิธีการทางตรรกะที่ง่ายที่สุดและสำคัญที่สุด แนวคิดที่พบบ่อยและมีประโยชน์ที่สุดกำลังถูกคุกคาม เห็นได้ชัดว่าทั้งในด้านตรรกะและคณิตศาสตร์ตลอดประวัติศาสตร์อันยาวนานของการดำรงอยู่ของพวกเขา ไม่มีสิ่งใดได้รับการพัฒนาเลยที่จะทำหน้าที่เป็นพื้นฐานในการกำจัดปฏิปักษ์ การละทิ้งวิธีคิดแบบเดิมๆ เป็นสิ่งจำเป็นอย่างชัดเจน

ความขัดแย้งของรัสเซลล์ในรูปแบบดั้งเดิมมีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องฉากหรือคลาส เราสามารถพูดถึงเซตของวัตถุต่างๆ ได้ เช่น เซตของคนทั้งหมดหรือเซตของจำนวนธรรมชาติ องค์ประกอบของชุดแรกจะเป็นทุกๆ รายบุคคลองค์ประกอบของวินาที - แต่ละรายการ จำนวนธรรมชาติ- นอกจากนี้ยังอนุญาตให้พิจารณาเซตเหล่านั้นว่าเป็นวัตถุบางอย่างและพูดคุยเกี่ยวกับเซตของเซตได้ คุณยังสามารถแนะนำแนวคิด เช่น เซตของทุกเซตหรือเซตของแนวคิดทั้งหมดก็ได้ เกี่ยวกับชุดที่กำหนดเองใด ๆ ดูเหมือนว่าสมเหตุสมผลที่จะถามว่ามันเป็นองค์ประกอบของตัวเองหรือไม่ เซตที่ไม่มีตัวเองเป็นองค์ประกอบจะเรียกว่าเซตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของคนทุกคนไม่ใช่บุคคล เช่นเดียวกับเซตของอะตอมที่ไม่ใช่อะตอม ชุดที่มีองค์ประกอบของตัวเองจะไม่ธรรมดา ตัวอย่างเช่น ชุดที่รวมชุดทั้งหมดเข้าด้วยกันคือชุดหนึ่งและมีตัวเองเป็นองค์ประกอบ แน่นอนว่าทุกชุดจะธรรมดาหรือไม่ธรรมดา

ตอนนี้เรามาดูเซตของเซตธรรมดาทั้งหมดกัน เนื่องจากมีจำนวนมากใครๆ ก็สามารถถามได้ไม่ว่าจะเป็นเรื่องธรรมดาหรือผิดปกติก็ตาม แต่คำตอบ กลับกลายเป็นว่าน่าท้อใจ ถ้ามันเป็นเรื่องธรรมดา ตามคำจำกัดความ มันจะต้องมีตัวเองเป็นองค์ประกอบ เนื่องจากมีเซตสามัญทั้งหมด แต่นี่หมายความว่ามันเป็นชุดที่ไม่ธรรมดา สมมติฐานที่ว่าเซตของเราเป็นเซตธรรมดาจึงทำให้เกิดข้อขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่ามันไม่ธรรมดา ในทางกลับกัน ก็ไม่ใช่เรื่องผิดปกติเช่นกัน ชุดที่ไม่ปกติจะมีตัวเองเป็นองค์ประกอบ และองค์ประกอบของชุดของเราก็เป็นเพียงชุดธรรมดาเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้ข้อสรุปว่าเซตของเซตธรรมดาทั้งหมดไม่สามารถเป็นได้ทั้งเซตธรรมดาหรือเซตผิดปกติ

ดังนั้น เซตของเซตทั้งหมดที่ไม่ใช่องค์ประกอบที่เหมาะสมจะเป็นองค์ประกอบของตัวเอง ถ้าหากไม่ใช่องค์ประกอบดังกล่าวเท่านั้น นี่เป็นความขัดแย้งที่ชัดเจน

ข้อขัดแย้งชี้ให้เห็นว่าไม่มีชุดดังกล่าวอยู่จริง แต่ทำไมถึงอยู่ไม่ได้ล่ะ? ท้ายที่สุดแล้ว มันประกอบด้วยวัตถุที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน และตัวเงื่อนไขเองก็ดูเหมือนจะไม่พิเศษหรือไม่ชัดเจนแต่อย่างใด หากเซตที่กำหนดไว้อย่างเรียบง่ายและชัดเจนไม่สามารถมีอยู่ได้ แล้วอะไรคือความแตกต่างระหว่างเซตที่เป็นไปได้และเซตที่เป็นไปไม่ได้? ข้อสรุปเกี่ยวกับการไม่มีฉากที่เป็นปัญหาฟังดูเป็นเรื่องที่ไม่คาดคิดและทำให้เกิดความกังวล เขาทำของเรา แนวคิดทั่วไปฝูงชนไม่มีรูปร่างและวุ่นวาย และไม่มีการรับประกันว่าจะไม่สามารถสร้างความขัดแย้งใหม่ๆ ได้

ความขัดแย้งของรัสเซลล์มีความโดดเด่นในเรื่องความทั่วไปสุดขีด ในการสร้างมันคุณไม่จำเป็นต้องซับซ้อนใดๆ แนวคิดทางเทคนิคเช่นเดียวกับในกรณีของความขัดแย้งอื่นๆ แนวคิดเรื่อง "เซต" และ "องค์ประกอบของเซต" ก็เพียงพอแล้ว แต่ความเรียบง่ายนี้แค่พูดถึงธรรมชาติพื้นฐานของมัน: มันสัมผัสกับรากฐานที่ลึกที่สุดของการให้เหตุผลของเราเกี่ยวกับเซต เนื่องจากมันไม่ได้พูดถึงกรณีพิเศษบางกรณี แต่เกี่ยวกับเซตโดยทั่วไป

ความขัดแย้งของรัสเซลไม่ได้มีลักษณะเฉพาะทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ ใช้แนวคิดของเซต แต่ไม่ได้กล่าวถึงคุณสมบัติพิเศษใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ สิ่งนี้จะชัดเจนถ้าเราปรับโครงสร้างความขัดแย้งใหม่ในแง่ตรรกะล้วนๆ

สำหรับทรัพย์สินแต่ละแห่ง เราสามารถถามได้ว่าทรัพย์สินดังกล่าวใช้กับตัวมันเองหรือไม่ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติของการร้อนนั้นใช้ไม่ได้กับตัวมันเอง เพราะว่ามันไม่ร้อนในตัวมันเอง คุณสมบัติของความเป็นรูปธรรมไม่ได้หมายถึงตัวมันเองด้วย เพราะมันเป็นสมบัติเชิงนามธรรม แต่คุณสมบัติของความเป็นนามธรรม ความเป็นนามธรรม ย่อมใช้ได้กับตนเอง ให้เราเรียกคุณสมบัติที่ไม่เกี่ยวข้องด้วยตนเองเหล่านี้ว่าไม่เกี่ยวข้อง ทรัพย์สินที่ไม่สามารถใช้บังคับกับตัวเองได้หรือไม่? ปรากฎว่าการบังคับใช้นั้นใช้ไม่ได้ก็ต่อเมื่อไม่ใช่เท่านั้น แน่นอนว่าสิ่งนี้ขัดแย้งกัน เวอร์ชันเชิงตรรกะที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของแอนติโนมีของรัสเซลล์นั้นขัดแย้งพอ ๆ กับเวอร์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเซต

บี. รัสเซลล์ยังได้เสนอความขัดแย้งที่เขาค้นพบในเวอร์ชันยอดนิยมดังต่อไปนี้ “ช่างตัดผมจะโกนทุกคน เฉพาะชาวเมืองที่ไม่โกนเองเท่านั้น ใครโกนช่างตัดผม? ความขัดแย้งของช่างตัดผมอยู่ที่ว่าเป็นไปไม่ได้เลยที่จะตอบคำถามนี้

เพื่อให้เข้าใจถึงสถานการณ์นี้ ให้แบ่งชาวเมืองออกเป็นสามกลุ่ม รายละเอียดนี้แสดงในรูปด้านซ้าย: ผู้ที่โกนขนจะอยู่ด้านบน; คนที่ถูกโกนก็มาจากข้างล่าง ผู้ที่ไม่โกนเลย (พระ เด็ก ผู้หญิง...) จะอยู่นอกวงรี

ให้เราพิจารณาผลกระทบของเงื่อนไข (1) ก่อน ให้ช่างตัดผมโกนทุกคนที่ไม่ได้โกนตัวเอง นั่นคือครึ่งล่างของวงรีทั้งหมด (การแรเงาหมายถึงลูกค้าของช่างตัดผม) แต่เงื่อนไข (1) อนุญาตให้เขาโกนคนที่โกนตัวเองได้นั่นคือตัวเขาเอง เงื่อนไข (1) อนุญาตให้เขาวางตำแหน่งตัวเองในครึ่งบนของวงรีซึ่งผู้อยู่อาศัยโกนขนและโกนขนตัวเองที่นั่น ดังแสดงในภาพตรงกลาง

หากเป็นไปตามเงื่อนไข (2) และผู้ตัดผมจะโกนเฉพาะผู้ที่ไม่ได้โกนตัวเองเท่านั้น หมายความว่าเขาโกนครึ่งล่างของวงรีและไม่โกนตัวเอง กล่าวคือ เขาไม่ได้อยู่ในครึ่งบนของวงรี วงรี แต่ผู้อยู่อาศัยในครึ่งล่างสามารถโกนได้โดยบุคคลอื่นที่ไม่ใช่ช่างตัดผม และช่างตัดผมก็อาจจะอยู่ในหมู่คนเหล่านี้ (ภาพขวา) ดังนั้นเพื่อนของเขาจึงสามารถโกนช่างตัดผมได้ และผู้ตัดผมจะโกนส่วนที่แรเงาครึ่งล่างของวงรี

แต่หากเป็นไปตามเงื่อนไข (1) และ (2) แสดงว่าช่างตัดผมไม่มีตำแหน่งในวงรี นั่นหมายความว่าเขาไม่โกนเลย และไม่มีความขัดแย้งที่นี่ เขาจึงเป็นพระภิกษุ เป็นหุ่นยนต์ เป็นเด็ก เป็นผู้หญิง หรือไม่เป็นชาวเมือง... และถ้าในเมืองนั้นไม่มีใครนอกจากผู้ชายโกนผมแล้วจึงมีรูปร่างหน้าตา ของวงรีนั้นว่างเปล่า ดังนั้นจึงไม่มีช่างตัดผมที่ตรงตามเงื่อนไข (1) และ (2) เลย มันไร้สาระที่จะถามว่าในกรณีนี้ใครโกนมัน ช่างตัดผมจำนวนมากว่างเปล่า

และที่นี่เราสังเกตเห็นว่า ถามคำถาม“ใครโกนหนวด” ผิดตั้งแต่แรก เช่นเดียวกับคำถามคลาสสิก: “ทำไมคุณถึงทุบตีพ่อของคุณ” ก่อนที่จะถามว่าใครโกนหนวด คุณต้องตกลงกันว่ามีคนโกนเขาก่อน

ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับช่างทำผมสามารถเรียกได้ว่าเป็นความขัดแย้งเทียม โดยธรรมชาติแล้ว มันคล้ายคลึงกับความขัดแย้งของรัสเซลอย่างเคร่งครัด และนี่คือเหตุผลว่าทำไมมันจึงน่าสนใจ แต่มันก็ยังไม่ใช่ความขัดแย้งที่แท้จริง

อีกตัวอย่างหนึ่งของความขัดแย้งเทียมที่เหมือนกันคือการโต้แย้งที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับแค็ตตาล็อก

ห้องสมุดบางแห่งตัดสินใจที่จะรวบรวมแคตตาล็อกบรรณานุกรม ซึ่งจะรวมเฉพาะแคตตาล็อกบรรณานุกรมเหล่านั้นเท่านั้นที่ไม่มีลิงก์ไปยังตัวมันเอง ไดเร็กทอรีดังกล่าวควรมีลิงก์ไปยังตัวมันเองหรือไม่? ไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงให้เห็นว่าแนวคิดในการสร้างแคตตาล็อกดังกล่าวนั้นทำไม่ได้ มันไม่สามารถดำรงอยู่ได้เพราะมันจะต้องรวมการอ้างอิงถึงตัวมันเองพร้อมกันและไม่รวมมันไว้ด้วย เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าการจัดรายการไดเร็กทอรีทั้งหมดที่ไม่มีการอ้างอิงถึงตัวเองนั้นถือเป็นกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุด

สมมติว่า ณ จุดหนึ่งไดเร็กทอรีถูกคอมไพล์ เช่น K1 ซึ่งรวมถึงไดเร็กทอรีทั้งหมดที่แตกต่างจากไดเร็กทอรีที่ไม่มีลิงก์ไปยังตัวมันเอง ด้วยการสร้าง K1 ไดเร็กทอรีอื่นปรากฏขึ้นซึ่งไม่มีลิงก์ไปยังตัวมันเอง เนื่องจากปัญหาคือการสร้างแค็ตตาล็อกที่สมบูรณ์ของไดเร็กทอรีทั้งหมดที่ไม่ได้กล่าวถึงตัวเอง จึงชัดเจนว่า K1 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เขาไม่ได้กล่าวถึงหนึ่งในไดเร็กทอรีเหล่านั้น - ตัวเขาเอง การรวมการกล่าวถึงตัวเองนี้ไว้ใน K1 ทำให้เราได้รับแคตตาล็อก K2 มันกล่าวถึง K1 แต่ไม่ใช่ K2 เอง เมื่อเพิ่มการกล่าวถึง K2 เราได้รับ K3 ซึ่งไม่สมบูรณ์อีกครั้งเนื่องจากไม่ได้กล่าวถึงตัวเอง และอื่นๆอย่างไม่สิ้นสุด