เซตของจำนวนจริง การดำเนินงานในชุด การแสดงเรขาคณิตของจำนวนจริง การเขียนเซตตัวเลข

จำนวนเชิงซ้อน

แนวคิดพื้นฐาน

ข้อมูลเริ่มต้นเกี่ยวกับจำนวนนี้มีอายุย้อนกลับไปถึงยุคหิน - ยุค Paleomelitic เหล่านี้คือ "หนึ่ง" "น้อย" และ "มากมาย" พวกเขาถูกบันทึกในรูปแบบของรอยบาก ปม ฯลฯ การพัฒนา กระบวนการแรงงานและการเกิดขึ้นของทรัพย์สินบังคับให้มนุษย์ประดิษฐ์ตัวเลขและชื่อของพวกเขา จำนวนธรรมชาติปรากฏก่อน เอ็นได้มาจากการนับสิ่งของ จากนั้น นอกจากความจำเป็นในการนับแล้ว ผู้คนยังจำเป็นต้องวัดความยาว พื้นที่ ปริมาตร เวลา และปริมาณอื่นๆ โดยต้องคำนึงถึงส่วนของการวัดที่ใช้ด้วย เศษส่วนจึงเกิดขึ้นมาเช่นนี้ เหตุผลอย่างเป็นทางการของแนวคิดเรื่องเศษส่วนและ จำนวนลบดำเนินการในศตวรรษที่ 19 เซตของจำนวนเต็ม ซี– คือ จำนวนธรรมชาติ จำนวนธรรมชาติที่มีเครื่องหมายลบและศูนย์ จำนวนเต็มและเศษส่วนประกอบกันเป็นชุดของจำนวนตรรกยะ ถามแต่ยังไม่เพียงพอสำหรับการศึกษาตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ปฐมกาลแสดงให้เห็นอีกครั้งถึงความไม่สมบูรณ์ของคณิตศาสตร์: ความเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการของรูปแบบ เอ็กซ์ 2 = 3 ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้จำนวนอตรรกยะปรากฏขึ้น ฉัน.ยูเนี่ยนของเซตของจำนวนตรรกยะ ถามและจำนวนอตรรกยะ ฉัน– เซตของจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง) ร- เป็นผลให้เส้นจำนวนเต็ม: จำนวนจริงแต่ละจำนวนสอดคล้องกับจุดบนเส้นจำนวน แต่กับหลาย ๆ คน รไม่มีทางแก้สมการของรูปได้ เอ็กซ์ 2 = – ก 2. ด้วยเหตุนี้ จึงมีความจำเป็นเกิดขึ้นอีกครั้งเพื่อขยายแนวคิดเรื่องตัวเลข นี่คือจำนวนเชิงซ้อนที่ปรากฏในปี 1545 ผู้สร้าง J. Cardano เรียกพวกเขาว่า "เชิงลบล้วนๆ" ชื่อ "จินตนาการ" ถูกนำมาใช้ในปี 1637 โดยชาวฝรั่งเศส R. Descartes ในปี 1777 ออยเลอร์เสนอโดยใช้อักษรตัวแรกของตัวเลขภาษาฝรั่งเศส ฉันเพื่อแสดงถึงหน่วยจินตภาพ สัญลักษณ์นี้ถูกนำมาใช้โดยทั่วไปโดย K. Gauss

ในช่วงศตวรรษที่ 17 และ 18 การอภิปรายเกี่ยวกับธรรมชาติทางคณิตศาสตร์ของจินตนาการและการตีความทางเรขาคณิตยังคงดำเนินต่อไป ชาวเดนมาร์ก จี. เวสเซล, เจ. อาร์แกน ชาวฝรั่งเศส และเค เกาส์ ชาวเยอรมัน เสนออย่างเป็นอิสระให้แสดงจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดบน ประสานงานเครื่องบิน- ต่อมาปรากฎว่าสะดวกกว่าในการแสดงตัวเลขไม่ใช่จากจุดนั้นเอง แต่เป็นเวกเตอร์ที่ไปยังจุดนี้จากจุดกำเนิด

เฉพาะในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 - ต้นศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่จำนวนเชิงซ้อนเข้ามาแทนที่อย่างถูกต้อง การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- การใช้งานครั้งแรกในทางทฤษฎี สมการเชิงอนุพันธ์และในทฤษฎีอุทกพลศาสตร์

คำจำกัดความ 1.จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์มโดยที่ xและ ย – ตัวเลขจริง, ก ฉัน– หน่วยจินตภาพ, .

จำนวนเชิงซ้อนสองตัวและ เท่ากันถ้าและหาก , .

ถ้า แสดงว่าหมายเลขนั้นถูกเรียก จินตนาการล้วนๆ- ถ้า แล้วตัวเลขนั้นเป็นจำนวนจริงแสดงว่าเซตนั้น ร กับ, ที่ไหน กับ– เซตของจำนวนเชิงซ้อน

ผันเป็นจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ สามารถแสดงด้วยจุดได้ ม(x, ย) เครื่องบิน อ็อกซี่.จำนวนจริงคู่หนึ่งยังแสดงถึงพิกัดของเวกเตอร์รัศมีด้วย , เช่น. ระหว่างเซตของเวกเตอร์บนระนาบและเซตของจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้:

คำจำกัดความ 2ส่วนจริง เอ็กซ์.

การกำหนด: x= เรื่อง z(จากภาษาละติน Realis)

คำจำกัดความ 3ส่วนจินตภาพ จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าจำนวนจริง ย.

การกำหนด: ย= ฉัน z(จากภาษาละติน Imaginarius)

อีกครั้ง zวางอยู่บนแกน ( โอ้)ฉัน zวางอยู่บนแกน ( โอ้) จากนั้นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อนคือเวกเตอร์รัศมีของจุด ม(x, ย), (หรือ ม(อีกครั้ง zฉัน z)) (รูปที่ 1)

คำจำกัดความที่ 4ระนาบที่มีจุดสัมพันธ์กับชุดของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน - เรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนจริงเพราะมันมีจำนวนจริง เรียกว่าแกน y แกนจินตภาพประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนจินตภาพล้วนๆ เซตของจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงแทน กับ.

คำจำกัดความที่ 5โมดูลจำนวนเชิงซ้อน z = (x, ย) เรียกว่าความยาวของเวกเตอร์: เช่น .

คำนิยาม 6การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อนคือมุมระหว่างทิศทางบวกของแกน ( โอ้) และเวกเตอร์: .

การแสดงเรขาคณิตที่แสดงออกของระบบจำนวนตรรกยะสามารถรับได้ดังนี้

ข้าว. 8. แกนจำนวน

บนเส้นตรงเส้นหนึ่ง "แกนตัวเลข" เราทำเครื่องหมายส่วนตั้งแต่ 0 ถึง 1 (รูปที่ 8) นี่เป็นการตั้งค่าความยาว ส่วนหน่วยซึ่งโดยทั่วไปแล้วสามารถเลือกได้ตามใจชอบ จากนั้นให้แสดงจำนวนเต็มบวกและลบโดยชุดของจุดที่เว้นระยะเท่ากันบนแกนตัวเลข กล่าวคือ ตัวเลขบวกจะถูกทำเครื่องหมายทางด้านขวา และตัวเลขลบจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุด 0 ในการพรรณนาตัวเลขด้วยตัวส่วน เราจะหารแต่ละค่าของ ส่วนผลลัพธ์ของความยาวหน่วยเป็นส่วนเท่า ๆ กัน จุดหารจะแสดงเศษส่วนด้วยตัวส่วน หากเราทำสิ่งนี้กับค่าที่สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนจะแสดงด้วยจุดใดจุดหนึ่งบนแกนจำนวน เราจะตกลงที่จะเรียกประเด็นเหล่านี้ว่า "มีเหตุผล" โดยทั่วไป เราจะใช้คำว่า "จำนวนตรรกยะ" และ "จุดจำนวนตรรกยะ" เป็นคำพ้องความหมาย

ในบทที่ 1 § 1 มีการกำหนดความสัมพันธ์อสมการสำหรับจำนวนธรรมชาติ บนแกนตัวเลขความสัมพันธ์นี้จะสะท้อนให้เห็นดังนี้: ถ้า จำนวนธรรมชาติ A น้อยกว่าจำนวนธรรมชาติ B จากนั้นจุด A อยู่ทางด้านซ้ายของจุด B เนื่องจากความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตที่ระบุถูกสร้างขึ้นสำหรับคู่ของจุดตรรกยะใดๆ จึงเป็นเรื่องปกติที่จะพยายามสรุปความสัมพันธ์ของอสมการทางคณิตศาสตร์ในลักษณะทั่วไป เช่น เพื่อรักษาลำดับทางเรขาคณิตนี้ไว้สำหรับประเด็นที่กำลังพิจารณา สิ่งนี้เป็นไปได้หากเรายอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้: เราบอกว่าจำนวนตรรกยะ A น้อยกว่าจำนวนตรรกยะ หรือจำนวน B มากกว่าตัวเลขหากผลต่างเป็นบวก ตาม (at) ว่าจุด (ตัวเลข) ระหว่างนั้นคือจุดนั้น

พร้อมกัน แต่ละคู่ของจุดดังกล่าวพร้อมกับจุดทั้งหมดระหว่างจุดเหล่านั้นเรียกว่าส่วน (หรือส่วน) และแสดงแทน (และชุดของจุดกึ่งกลางเพียงอย่างเดียวเรียกว่าช่วงเวลา (หรือช่วง) แสดงแทน

ระยะทางของจุดใดก็ได้ A จากจุดกำเนิด 0 ซึ่งถือเป็นจำนวนบวกเรียกว่าค่าสัมบูรณ์ของ A และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

แนวคิดของ “ค่าสัมบูรณ์” มีการกำหนดไว้ดังนี้ ถ้า แล้วถ้าเป็นเช่นนั้น เป็นที่ชัดเจนว่าหากตัวเลขมีเครื่องหมายเหมือนกัน ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงหากมีเครื่องหมายต่างกัน แล้ว เมื่อนำผลลัพธ์ทั้งสองนี้มารวมกัน เราก็จะพบความไม่เท่าเทียมกันโดยทั่วไป

ซึ่งเป็นเรื่องจริงไม่ว่าจะมีสัญญาณอะไรก็ตาม

ข้อเท็จจริงที่มีความสำคัญพื้นฐานแสดงออกมาด้วยประโยคต่อไปนี้: จุดตรรกยะมีอยู่อย่างหนาแน่นทุกที่บนเส้นจำนวน ความหมายของข้อความนี้คือทุกช่วง ไม่ว่าจะเล็กแค่ไหน ก็มีประเด็นที่เป็นเหตุเป็นผล ในการตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งที่ระบุ ก็เพียงพอที่จะใช้ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่จนช่วงเวลา ( จะน้อยกว่าช่วงเวลาที่กำหนด จากนั้นอย่างน้อยหนึ่งจุดของแบบฟอร์มจะอยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนด ดังนั้น ไม่มีช่วงเวลาดังกล่าวบนแกนจำนวน (แม้แต่ช่วงที่เล็กที่สุดเท่าที่จะจินตนาการได้) ซึ่งภายในนั้นจะไม่มีจุดที่เป็นเหตุผลอีกต่อไป ข้อพิสูจน์เพิ่มเติมดังต่อไปนี้: ทุกช่วงมีจำนวนจุดเหตุผลเป็นอนันต์ แท้จริงแล้ว หากช่วงใดช่วงหนึ่งมีเพียง a จำนวนตรรกยะที่จำกัด จากนั้นภายในช่วงที่เกิดจากจุดดังกล่าวสองจุดที่อยู่ติดกัน จะไม่มีจุดตรรกยะอีกต่อไป และสิ่งนี้ขัดแย้งกับสิ่งที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์

ตัวเลขจริง II

§ 37 การแสดงเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ

อนุญาต Δ คือส่วนที่นำมาเป็นหน่วยของความยาว และ ล - เส้นตรงโดยพลการ (รูปที่ 51) มาดูประเด็นกันและกำหนดด้วยตัวอักษร O

ทุกจำนวนตรรกยะบวก ม / n ลองจับคู่จุดกับเส้นตรงกัน ล นอนอยู่ทางขวาของ C ในระยะ ม / n หน่วยความยาว

เช่น หมายเลข 2 จะตรงกับจุด A ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของ O ที่ระยะ 2 หน่วย และหมายเลข 5/4 จะตรงกับจุด B ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของ O ที่ระยะ 5 /ความยาว 4 หน่วย จำนวนตรรกยะลบทุกตัว เค / ล ให้เราเชื่อมโยงจุดกับเส้นตรงที่อยู่ทางซ้ายของ O ที่ระยะห่าง | เค / ล - หน่วยความยาว ดังนั้น ตัวเลข - 3 จะตรงกับจุด C ซึ่งอยู่ทางซ้ายของ O ที่ระยะ 3 หน่วย และตัวเลข - 3/2 ถึงจุด D ซึ่งอยู่ทางซ้ายของ O ที่ระยะ 3/ ความยาว 2 หน่วย สุดท้าย เราเชื่อมโยงจำนวนตรรกยะ "ศูนย์" กับจุด O

แน่นอนว่าด้วยการติดต่อที่เลือก จำนวนตรรกยะที่เท่ากัน (เช่น 1/2 และ 2/4) จะสอดคล้องกับจุดเดียวกัน และจุดที่แตกต่างกันของเส้นจะไม่ตรงกับตัวเลขที่เท่ากัน สมมติว่าเป็นจำนวนนั้น ม / n จุด P สอดคล้องและจำนวน เค / ล จุด Q แล้วถ้า ม / n > เค / ล จากนั้นจุด P จะอยู่ทางด้านขวาของจุด Q (รูปที่ 52, a) ถ้า ม / n < เค / ล จากนั้นจุด P จะอยู่ทางด้านซ้ายของจุด Q (รูปที่ 52, b)

ดังนั้น จำนวนตรรกยะใดๆ ก็สามารถแสดงได้ในเชิงเรขาคณิตเป็นจุดที่กำหนดชัดเจนบนเส้นตรง จริงป้ะ คำสั่งสนทนา- ทุกจุดบนเส้นสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่งได้หรือไม่ เราจะเลื่อนการตัดสินใจของปัญหานี้ออกไปจนถึงมาตรา 44

การออกกำลังกาย

296. วาดจำนวนตรรกยะต่อไปนี้เป็นจุดบนเส้น:

3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.

297 เป็นที่ทราบกันว่าจุด A (รูปที่ 53) ทำหน้าที่เป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ 1/3 ตัวเลขใดแสดงถึงจุด B, C และ D?

298. เส้นกำหนดให้มีจุดสองจุด ซึ่งใช้แทนเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ ก และ ข ก + ข และ ก - ข .

299. เส้นกำหนดให้มีจุดสองจุด ซึ่งใช้แทนเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ ก + ข และ ก - ข - ค้นหาจุดที่แทนตัวเลขบนบรรทัดนี้ ก และ ข .

ตั๋ว 1

มีเหตุผลตัวเลข – ตัวเลขที่เขียนในรูปแบบ p/q โดยที่ q คือจำนวนธรรมชาติ ตัวเลข และ p เป็นจำนวนเต็ม

ตัวเลขสองตัว a=p1/q1 และ b=p2/q2 เรียกว่าเท่ากันถ้า p1q2=p2q1 และ p2q1 และ a>b ถ้า p1q2 โอดีเอ- สองการกระทำจะใส่ตัวเลข α = a0, a1, a2..., β = b0, b1, b2... พวกเขาบอกว่าตัวเลข α<β если a0β. โมดูลตัวเลข α ชื่อ |α|=|+-a0, a1, a2…an|= a0, a1, a2…an พวกเขาบอกว่าตัวเลข α = -a0, a1, a2 เป็นลบ< отриц числа β=-b0,b1,b2 если |α|>|β|. ถ้า β และ α เป็นจำนวนจริง และ α<β то сущ-ет рац число R такое что αการตีความทางเรขาคณิตการกระทำของตัวเลข แกนการกระทำ – แกนตัวเลข จุดเริ่มต้นของสายไฟคือ 0 แกนทั้งหมดคือ (-∞;+∞) ช่วงเวลาคือ xЄR ส่วน __,M1__,0__,__,M2__,__; ม1<0 x=a0,a1, M2>0 x=-a0,a1

ตั๋ว 2

จำนวนเชิงซ้อนจำนวนเชิงซ้อน

สมการพีชคณิตคือสมการของรูปแบบ: P n ( x) = 0 โดยที่ P n ( x) - พหุนาม n- โอ้ปริญญา จำนวนจริงสองสามจำนวน xและ ที่ลองเรียกมันว่าเรียงลำดับหากมีการระบุว่าอันไหนถือเป็นอันแรกและอันไหนถือเป็นอันที่สอง สัญกรณ์คู่ลำดับ: ( x, ย- จำนวนเชิงซ้อนคือคู่ของจำนวนจริงที่เรียงลำดับตามอำเภอใจ z = (x, ย)-จำนวนเชิงซ้อน.

x- ส่วนจริง z, ย- ส่วนจินตภาพ z- ถ้า x= 0 และ ย= 0 แล้ว z= 0 พิจารณา z 1 = (x 1 , y 1) และ z 2 = (x 2 , y 2)

คำจำกัดความ 1. z 1 = z 2 ถ้า x 1 = x 2 และ y 1 = y 2

แนวคิด > และ< для комплексных чисел не вводятся.

การแสดงเรขาคณิตและรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ม( x, ย) « z = x + ฉัน.

½ OM½ = ร =½ z½ = .(รูปภาพ)

r เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z.

j เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z- ถูกกำหนดด้วยความแม่นยำ ± 2p n.

เอ็กซ์= อาร์คอสเจ ย= อาร์ซิน

z= x+ ฉัน= r(cosj + ฉัน sinj) เป็นรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

คำชี้แจง 3

= (คอส + ฉันบาป),

= (คอส + ฉันบาป) แล้ว

= (คอส( ​​+ ) + ฉันบาป( + ))

= (คอส( ​​- )+ ฉันบาป( - )) ที่ ¹0

คำชี้แจง 4

ถ้า z=r(cosj+ ฉัน sinj) จากนั้น "เป็นธรรมชาติ n:

= (cos nj + ฉันบาป นิวเจอร์ซีย์),

ตั๋ว 3

อนุญาต เอ็กซ์- ชุดตัวเลขที่มีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัว (ชุดที่ไม่ว่างเปล่า)

xÎ เอ็กซ์- xบรรจุใน เอ็กซ์. ; xÏ เอ็กซ์- xไม่ได้อยู่ใน เอ็กซ์.

คำนิยาม: พวงของ เอ็กซ์เรียกว่ามีขอบเขตบน (ล่าง) ถ้ามีตัวเลข ม(ม) เช่นนั้นเพื่อสิ่งใดสิ่งหนึ่ง x Î เอ็กซ์ความไม่เท่าเทียมกันถือ x £ ม (x ³ ม) ในขณะที่ตัวเลข มเรียกว่าขอบเขตบน(ล่าง)ของเซต เอ็กซ์- พวงของ เอ็กซ์กล่าวกันว่ามีขอบเขตด้านบนถ้า $ ม, " x Î เอ็กซ์: x £ ม. คำนิยามไม่จำกัดชุดจากด้านบน พวงของ เอ็กซ์เรียกว่าไม่มีขอบเขตจากเบื้องบน ถ้า " ม $ x Î เอ็กซ์: x> ม. คำจำกัดความพวงของ เอ็กซ์เรียกว่ามีขอบเขตหากถูกผูกไว้ด้านบนและด้านล่างนั่นคือ $ ม, มดังนั้น " x Î เอ็กซ์: ม £ x £ ม.คำจำกัดความที่เทียบเท่าของ ogre mn-va: Set เอ็กซ์เรียกว่ามีขอบเขตถ้า $ ก > 0, " x Î เอ็กซ์: ½ x½£ ก- คำจำกัดความ: ขอบเขตบนที่เล็กที่สุดของเซตที่มีขอบเขตด้านบน เอ็กซ์เรียกว่า supremum และเขียนว่า Sup เอ็กซ์

(สูงสุด) =ซุป เอ็กซ์- ในทำนองเดียวกันเราสามารถกำหนดที่แน่นอนได้

ขอบด้านล่าง เทียบเท่า คำนิยามขอบเขตบนที่แน่นอน:

ตัวเลขนี้เรียกว่าตัวบนของเซต เอ็กซ์, ถ้า: 1) " x Î เอ็กซ์: เอ็กซ์£ (เงื่อนไขนี้แสดงว่าเป็นหนึ่งในขอบเขตบน) 2) " < $ x Î เอ็กซ์: เอ็กซ์> (เงื่อนไขนี้แสดงว่า -

ใบหน้าด้านบนที่เล็กที่สุด)

จีบ เอ็กซ์= :

1. " xÎ เอ็กซ์: x £ .

2. " < $ xÎ เอ็กซ์: x> .

ข้อมูล เอ็กซ์(infimum) คือ infimum ที่แน่นอน ให้เราตั้งคำถาม: เซตที่มีขอบเขตทุกเซตมีขอบที่แน่นอนหรือไม่?

ตัวอย่าง: เอ็กซ์= {x: x>0) ไม่มีจำนวนที่น้อยที่สุด

ทฤษฎีบทการมีอยู่ของใบหน้าด้านบน (ล่าง) ที่แน่นอน- ขีดจำกัดบน (ล่าง) ที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ xÎR มีด้านบน (ล่าง) ที่แน่นอน

ทฤษฎีบทว่าด้วยการแยกส่วนของตัวเลข:▀▀▄

ตั๋ว 4

หากจำนวนธรรมชาติแต่ละตัว n (n=1,2,3..) ได้รับการกำหนดให้เป็นจำนวน Xn ที่สอดคล้องกัน แล้วพวกเขาก็บอกว่ามันถูกกำหนดและให้มา ลำดับต่อมา x1, x2..., เขียน (Xn), (Xn) ตัวอย่าง: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...ชื่อของขีดจำกัด จากด้านบน (จากด้านล่าง) ถ้าเซตของจุด x=x1,x2,…xn ที่วางอยู่บนแกนตัวเลขถูกจำกัดจากด้านบน (จากด้านล่าง) กล่าวคือ $C:Xn£C" ขีดจำกัดลำดับ:จำนวน a เรียกว่าลิมิตของลำดับ ถ้าสำหรับ ε>0 $ : N (N=N/(ε)) ใดๆ "n>N อสมการ |Xn-a|<ε. Т.е. – εเอ–ε กเรียกว่า ขีดจำกัดของลำดับหมายเลข {หนึ่ง), ถ้า

ที่ n>เอ็น.

เอกลักษณ์ของขีดจำกัดลำดับขอบเขตและมาบรรจบกัน

คุณสมบัติ 1: ลำดับมาบรรจบกันมีขีดจำกัดเดียวเท่านั้น

พิสูจน์: โดยความขัดแย้งให้ กและ ขลิมิตของลำดับลู่เข้า (x n) และ a ไม่เท่ากับ b พิจารณาลำดับที่เล็กที่สุด (α n )=(x n -a) และ (β n )=(x n -b) เพราะ องค์ประกอบทั้งหมดข. ลำดับ (α n -β n ) มีค่าเท่ากัน b-a จากนั้นตามคุณสมบัติของ b.m ลำดับ b-a=0 เช่น b=a และเรามาถึงจุดขัดแย้งแล้ว

คุณสมบัติ 2: ลำดับมาบรรจบกันมีขอบเขต

พิสูจน์: ให้ a เป็นลิมิตของลำดับลู่เข้า (x n) ดังนั้น α n =x n -a จึงเป็นสมาชิกของ b.m ลำดับ ลองใช้ ε>0 ใดๆ แล้วใช้มันเพื่อค้นหา N ε: / x n -a/< ε при n>เอ็น ε . ให้เราแสดงด้วย b ซึ่งเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดของจำนวน ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε เห็นได้ชัดว่า /xn/

หมายเหตุ: ลำดับขอบเขตอาจไม่มาบรรจบกัน

ตั๋ว 6

ลำดับ a n เรียกว่า infinitesimal ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดของลำดับหลังนี้คือ 0

a n – น้อยมาก Û lim(n ® + ¥)a n =0 นั่นคือ สำหรับ ε>0 ใดๆ ก็มี N อยู่ โดยที่สำหรับ n>N |a n | ใดๆ<ε

ทฤษฎีบท.ผลรวมของค่าเล็กน้อยคือค่าน้อย

a n b n ®อนันต์ Þ a n +b n – อนันต์

การพิสูจน์.

a n - น้อยมาก Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε

b n - น้อยที่สุด Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε

ให้เราตั้งค่า N=max(N 1 ,N 2 ) จากนั้นสำหรับ n>N Þ ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองจะเป็นที่น่าพอใจพร้อมกัน:

|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>เอ็น

ให้เราตั้งค่า "ε 1 >0, ตั้ง ε=ε 1 /2 จากนั้นสำหรับ ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2 ใดๆ: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то

คือ a + bn – น้อยมาก

ทฤษฎีบทผลคูณของสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ก็คือสิ่งเล็กๆ น้อยๆ

a n ,b n – น้อยมาก Þ a n b n – น้อยมาก

หลักฐาน:

ลองตั้งค่า "ε 1 >0 ใส่ ε=Öε 1 เนื่องจาก a n และ b n มีค่าน้อยมากสำหรับสิ่งนี้ ε>0 ดังนั้นจะมี N 1: " n>N Þ |a n |<ε

$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε

สมมติว่า N=max (N 1 ;N 2 ) จากนั้น "n>N = |a n |<ε

|a nb n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1

" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1

lim a n b n =0 Û a n bn – น้อยมาก ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบทผลคูณของลำดับขอบเขตและลำดับที่น้อยที่สุดคือลำดับที่น้อยที่สุด

และ n เป็นลำดับที่มีขอบเขต

a n – ลำดับที่เล็กที่สุด Þ a n a n – ลำดับที่เล็กที่สุด

พิสูจน์: เนื่องจาก n มีขอบเขต Û $С>0: "nО เอ็นÞ |a n |£C

มาตั้งค่า "ε 1 >0; ใส่ ε=ε 1 /C; เนื่องจาก a n มีค่าไม่สิ้นสุด ดังนั้น ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n |

"ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – น้อยมาก

ลำดับที่เรียกว่า บีบีพี(ตามลำดับ) หากพวกเขาเขียน แน่นอนว่า BBP ไม่จำกัด ข้อความตรงกันข้ามมักเป็นเท็จ (ตัวอย่าง) ถ้าสำหรับคนตัวใหญ่ nสมาชิกแล้วเขียนข้อความนี้หมายความว่าทันทีที่

ความหมายของรายการถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

ลำดับขนาดใหญ่อนันต์ n = 2 n ; ข n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n

คำนิยาม(ลำดับขนาดใหญ่อนันต์)

1) lim(n ® ¥)a n =+¥ ถ้า "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε โดยที่ ε มีขนาดเล็กตามอำเภอใจ

2) lim(n ® ¥)a n =-¥, ถ้า "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε

3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε

ตั๋ว 7

ทฤษฎีบท “การบรรจบกันของเสียงเดียว ล่าสุด"

ลำดับโมโนโทนิกใดๆ จะมาบรรจบกัน เช่น มีขีดจำกัด เอกสารปล่อยให้ลำดับ (xn) เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ และถูกจำกัดจากด้านบน X คือชุดตัวเลขทั้งหมดที่ยอมรับองค์ประกอบของลำดับนี้ตามแบบแผน ทฤษฎีบทจึงมีจำนวนจำกัด ดังนั้นตาม ทฤษฎีบทมันมีขีดจำกัดบนที่แน่นอนที่แน่นอน face supX xn®supX (เราแทน supX ด้วย x*) เพราะ x* ด้านบนที่แน่นอน ใบหน้า จากนั้น xn£x* " n. " e >0 ออกจากเส้นประสาท $ xm (ให้ m เป็น n โดยมีฝาปิด): xm>x*-e ด้วย " n>m => จากอสมการ 2 ที่ระบุที่เราได้รับ อสมการที่สอง x*-e£xn£x*+e สำหรับ n>m เทียบเท่ากับ ½xn-x*1 ม. ซึ่งหมายความว่า x* เป็น ขีดจำกัดของลำดับ

ตั๋ว 8

เลขชี้กำลังหรือตัวเลข e

R-เลขโรมัน ลำดับที่มีคำทั่วไป xn=(1+1/n)^n (ยกกำลัง n)(1) ปรากฎว่าลำดับ (1) เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจมีขอบเขตจากด้านบนและมาบรรจบกัน ขีด จำกัด ของลำดับนี้เรียกว่าเลขชี้กำลังและแสดงด้วยสัญลักษณ์ e»2.7128... หมายเลขจ

ตั๋ว 9

หลักการของส่วนที่ซ้อนกัน

ให้เส้นจำนวนได้รับลำดับของส่วน ,,...,,...

นอกจากนี้ กลุ่มเหล่านี้ยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ เงื่อนไข:

1) แต่ละอันที่ตามมาจะซ้อนอยู่ในอันก่อนหน้านั่นคือ М, "n=1,2,…;

2) ความยาวของเซ็กเมนต์ ®0 เมื่อ n เพิ่มขึ้น เช่น ลิม(n®¥)(พันล้าน)=0. ลำดับที่มีนักบุญที่ระบุเรียกว่าซ้อนกัน

ทฤษฎีบทลำดับใด ๆ ของส่วนที่ซ้อนกันจะมี t-ku เดียวที่เป็นของทุกส่วนของลำดับพร้อมกัน จุดทั่วไปของทุกส่วนที่ได้รับสัญญา

เอกสาร(ก) - ลำดับของปลายด้านซ้ายของส่วนของปรากฏการณ์ ซ้ำซากไม่ลดลงและล้อมรอบด้วยหมายเลข b1

(bn) - ลำดับของปลายด้านขวาไม่ได้เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ดังนั้นลำดับของปรากฏการณ์เหล่านี้ มาบรรจบกันเช่น มีตัวเลข c1=lim(n®¥)an และ c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - ค่าทั่วไปของตัวเลขเหล่านั้น อันที่จริง มันมีขีดจำกัด lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) เนื่องจากเงื่อนไข 2) o= lim(n®¥) (บีเอ็น-อัน)=с2-с1=> с1=с2=с

เห็นได้ชัดว่า t.c เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับทุกกลุ่ม เนื่องจาก "n an£c£bn ตอนนี้เราจะพิสูจน์ว่าเป็นหนึ่งเดียว

สมมติว่า $ เป็นอีกหนึ่ง c' ซึ่งทุกเซ็กเมนต์ถูกย่อ หากเราหาส่วนที่ไม่ตัดกัน c และ c' แล้วด้านหนึ่ง "หาง" ทั้งหมดของลำดับ (an), (bn) ควรอยู่ในบริเวณใกล้เคียงกับจุด c'' (เนื่องจาก an และ bn มาบรรจบกันที่ c และ c' พร้อมกัน) ความขัดแย้งเป็นจริง

ตั๋ว 10

ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราส จากการตัดใดๆ หลังจากนั้นคุณสามารถเลือกการรวบรวมได้ หลักสูตรย่อย

1. เนื่องจากลำดับมีจำกัด ดังนั้น $ m และ M ดังนั้น " m£xn£M, " n

D1= – ส่วนที่มีลำดับ t-ki ทั้งหมดอยู่ แบ่งครึ่งกัน. อย่างน้อยครึ่งหนึ่งจะมีอนันต์ หมายเลข ต-เคหลังจาก.

D2 – ครึ่งหนึ่งที่มันอยู่ จำนวนอนันต์สุดท้ายนี้ เราแบ่งมันออกเป็นสองส่วน อย่างน้อยก็ในครึ่งหนึ่งของครึ่งหนึ่ง D2 มีลำดับจำนวนอนันต์ ครึ่งนี้คือ D3 แบ่งส่วน D3... ฯลฯ เราได้รับลำดับของส่วนที่ซ้อนกัน ซึ่งมีความยาวมีแนวโน้มเป็น 0 ตามกฎเกี่ยวกับส่วนที่ซ้อนกัน หน่วย $ ที-ก้า เอส แมว เป็นของ ทุกเซกเมนต์ D1, t-tu Dn1 ใดๆ ในส่วน D2 ฉันเลือกจุด xn2 ดังนั้น n2>n1 ในส่วน D3... ฯลฯ ผลที่ได้คือคำสุดท้ายคือ xnkÎDk

ตั๋ว 11

ตั๋ว 12

พื้นฐาน

โดยสรุป เราจะพิจารณาคำถามเกี่ยวกับเกณฑ์สำหรับการลู่เข้าของลำดับตัวเลข

ให้เช่น: นอกจากจำนวนธรรมชาติแล้ว คุณยังสามารถแทนที่จำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่งเป็นอสมการสุดท้ายได้ ,แล้ว

เราได้รับข้อความต่อไปนี้:

หากลำดับมาบรรจบกัน แสดงว่าเป็นไปตามเงื่อนไข คอชี่:

ลำดับหมายเลขเป็นไปตามเงื่อนไข Cauchy ที่เรียกว่า พื้นฐาน- สามารถพิสูจน์ได้ว่าการสนทนานั้นเป็นจริงเช่นกัน ดังนั้นเราจึงมีเกณฑ์ (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) สำหรับการลู่เข้าของลำดับ

เกณฑ์ Cauchy

เพื่อให้ลำดับมีขีดจำกัด จำเป็นและเพียงพอที่จะเป็นพื้นฐาน

ความหมายที่สองของเกณฑ์ Cauchyสมาชิกลำดับและที่ไหน nและ ม– การเข้าใกล้ใด ๆ โดยไม่มีขีดจำกัดที่

ตั๋ว 13

ข้อจำกัดด้านเดียว

คำนิยาม 13.11ตัวเลข กเรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน y = ฉ(x) ที่ เอ็กซ์มุ่งมั่นเพื่อ x 0ซ้าย (ขวา) หากเป็นเช่นนั้น | เอฟ(x)-เอ|<ε при x 0 – x< δ (x - x 0< δ ).

การกำหนด:

ทฤษฎีบท 13.1 (คำจำกัดความที่สองของขีดจำกัด)การทำงาน y=ฉ(x)มีที่ เอ็กซ์,มุ่งมั่นเพื่อ เอ็กซ์ 0 ขีดจำกัดเท่ากับ กถ้าหากว่าขีดจำกัดด้านเดียวทั้งสองของมัน ณ จุดนี้มีอยู่และเท่ากัน ก.

การพิสูจน์.

1) ถ้า แล้ว และ สำหรับ x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ |เอฟ(x) - เอ|<ε, то есть

1) ถ้า แสดงว่ามีอยู่ δ 1: | เอฟ(x) - เอ| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |เอฟ(x) - เอ| < ε при x - x 0< δ2. การเลือกอันที่เล็กกว่าจากตัวเลข δ 1 และ δ 2 แล้วใช้เป็น δ เราจะได้สิ่งนั้นสำหรับ | x - x 0| < δ |เอฟ(x) - เอ| < ε, то есть . Теорема доказана.

ความคิดเห็น เนื่องจากความเท่าเทียมกันของข้อกำหนดที่มีอยู่ในคำจำกัดความของขีดจำกัด 13.7 และเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่และความเท่าเทียมกันของขีดจำกัดด้านเดียวได้รับการพิสูจน์แล้ว เงื่อนไขนี้จึงถือได้ว่าเป็นคำจำกัดความที่สองของขีดจำกัด

คำจำกัดความที่ 4 (ตาม Heine)

ตัวเลข กเรียกว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชันหาก BBP ของค่าอาร์กิวเมนต์ใด ๆ ลำดับของค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องมาบรรจบกัน ก.

คำจำกัดความที่ 4 (ตาม Cauchy)

ตัวเลข กเรียกว่าถ้า ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าคำจำกัดความเหล่านี้เทียบเท่ากัน

ตั๋ว 14 และ 15

คุณสมบัติของขีดจำกัดฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

1) หากมีขีดจำกัดก็แสดงว่ามีอันเดียวเท่านั้น

2) ถ้าอยู่ใน tka x0 ขีดจำกัดของฟังก์ชัน f(x) lim(x®x0)f(x)=A

lim(x®x0)g(x)£B=> ดังนั้นในกรณีนี้ $ คือขีดจำกัดของผลรวม ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ และผลหาร การแยก 2 ฟังก์ชันนี้ออกจากกัน

ก) ลิม(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B

b) ลิม(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B

c) ลิม(x®x0)(f(x):g(x))=A/B

d) ลิม(x®x0)C=C

จ) ลิม(x®x0)C*f(x)=C*A

ทฤษฎีบท 3

ถ้า ( ตอบกลับ A ) จากนั้น $ บริเวณใกล้เคียงที่มีความไม่เท่าเทียมกัน >B (อื่นๆ อนุญาต เอ>บีให้เราใส่ว่า เมื่อเลือกแล้ว อสมการทางซ้ายมือจะมีรูปแบบ >ตัวแทนบีทฤษฎีบทส่วนที่ 2 ได้รับการพิสูจน์แล้ว เฉพาะในกรณีนี้เท่านั้นที่เราใช้ ข้อพิสูจน์ (การอนุรักษ์สัญญาณการทำงานที่มีขีดจำกัด)

สมมติในทฤษฎีบทที่ 3 บี=0เราได้รับ: ถ้า ( การตอบสนอง) จากนั้น $ ในทุกจุดซึ่งจะเป็น >0 (ทั่วไป<0), เหล่านั้น. ฟังก์ชันจะรักษาเครื่องหมายของขีดจำกัดไว้

ทฤษฎีบท 4(เมื่อก้าวไปสู่ขีดจำกัดของความไม่เท่าเทียมกัน)

หากในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดใดจุดหนึ่ง (ยกเว้นจุดนั้นเอง) เป็นไปตามเงื่อนไขและฟังก์ชันเหล่านี้มีขีดจำกัดที่จุด ดังนั้น ในภาษาและ. เรามาแนะนำฟังก์ชั่นกัน เป็นที่ชัดเจนว่าในบริเวณใกล้เคียงกับ จากนั้น ตามทฤษฎีบทว่าด้วยการอนุรักษ์ฟังก์ชัน เราจะได้ค่าลิมิตของมัน แต่

ทฤษฎีบท 5(บนขีดจำกัดของฟังก์ชันระดับกลาง)

(1) ถ้า และในพื้นที่ใกล้เคียงบางส่วนของจุด (ยกเว้นจุดนั้นเอง) เป็นไปตามเงื่อนไข (2) จากนั้นฟังก์ชันจะมีขีดจำกัดในจุดและขีดจำกัดนี้จะเท่ากับ ก.ตามเงื่อนไข (1) $ for (นี่คือย่านที่เล็กที่สุดของ point ) แต่แล้วโดยอาศัยเงื่อนไข (2) ค่าก็จะอยู่ใกล้จุดนั้นด้วย เอ,เหล่านั้น. -

ตั๋ว 16

คำนิยาม 14.1การทำงาน y=α(x) เรียกว่า infinitesim ที่ x → x 0,ถ้า

คุณสมบัติของสิ่งจิ๋ว

1. ผลรวมของสอง infinitesimals นั้นน้อยมาก

การพิสูจน์. ถ้า α(x) และ β(x) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0แล้วจะมี δ 1 และ δ 2 เช่นนั้น | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, , นั่นคือ α(x)+β(x) – ไม่มีที่สิ้นสุด

ความคิดเห็น ตามมาว่าผลรวมของจำนวนจำกัดใดๆ ของจำนวนที่จำกัดนั้นมีค่าน้อยมาก

2. ถ้า α( เอ็กซ์) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0, ก ฉ(x) – ฟังก์ชันที่ขอบเขตอยู่ในละแวกใกล้เคียงที่กำหนด x 0, ที่ α(x)ฉ(x) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0.

การพิสูจน์. มาเลือกเลขกัน มเช่นนั้น | ฉ(x)| ที่ | x-x 0 |< δ 1 และหา δ 2 โดยที่ | α(x)|<ε/M ที่ | x-x 0|<δ 2 . Тогда, если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ 1 и δ 2 , |α(x)·ฉ(x)| , นั่นคือ α(x) ฉ(x)– ไม่มีที่สิ้นสุด

ข้อพิสูจน์ 1. ผลคูณของค่าเล็กน้อยด้วยจำนวนจำกัดนั้นมีค่าน้อยมาก

ข้อพิสูจน์ที่ 2 ผลคูณของสิ่งเล็กจิ๋วสองตัวขึ้นไปนั้นมีขนาดเล็กมาก

ข้อพิสูจน์ที่ 3 ผลรวมเชิงเส้นของค่าเล็กน้อยนั้นมีค่าน้อยมาก

3. (คำจำกัดความที่สามของขีดจำกัด- ถ้า แล้วเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้ก็คือฟังก์ชัน ฉ(x) สามารถแสดงในรูปแบบได้ ฉ(x)=A+α(x), ที่ไหน α(x) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0.

การพิสูจน์.

1) ให้แล้ว | เอฟ(x)-เอ|<ε при x → x 0, นั่นคือ α(x)=ฉ(x)-A– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x → x 0 .เพราะฉะนั้น , ฉ(x)=A+α(x)

2) ให้ ฉ(x)=A+α(x- แล้ว หมายถึง | เอฟ(x)-เอ|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .

ความคิดเห็น ดังนั้นจึงได้รับคำจำกัดความอื่นของขีด จำกัด ซึ่งเทียบเท่ากับสองคำก่อนหน้า

ฟังก์ชั่นขนาดใหญ่อนันต์

คำจำกัดความ 15.1 ฟังก์ชัน f(x) บอกว่ามีขนาดใหญ่เป็นอนันต์สำหรับ x x 0 ถ้า

สำหรับขนาดใหญ่เป็นอนันต์ คุณสามารถนำระบบการจำแนกประเภทแบบเดียวกับระบบการจำแนกขนาดเล็กเป็นอนันต์ กล่าวคือ:

1. f(x) และ g(x) ที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ถือเป็นปริมาณในลำดับเดียวกันถ้า

2. ถ้า แล้ว f(x) ถือเป็นลำดับที่สูงกว่า g(x) ที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์

3. f(x) ที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์เรียกว่าปริมาณของลำดับ k เทียบกับปริมาณที่มากเป็นอนันต์ g(x) ถ้า

ความคิดเห็น โปรดทราบว่า x มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ (สำหรับ a>1 และ x) ซึ่งมีลำดับที่สูงกว่า xk สำหรับ k ใดๆ และบันทึก a x มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ของลำดับที่ต่ำกว่ากำลังของ x k ใดๆ

ทฤษฎีบท 15.1 ถ้า α(x) มีขนาดเล็กเป็นอนันต์เป็น x→x 0 แล้ว 1/α(x) จะมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์เป็น x→x 0

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно,

|1/α(x)|>เอ็ม ซึ่งหมายความว่า 1/α(x) มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์เท่ากับ x→x 0

ตั๋ว 17

ทฤษฎีบท 14.7 (ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง) -

การพิสูจน์. พิจารณาวงกลมที่มีหน่วยรัศมีโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และสมมติว่ามุม AOB เท่ากับ x (เรเดียน) ลองเปรียบเทียบพื้นที่ของสามเหลี่ยม AOB, เซกเตอร์ AOB และสามเหลี่ยม AOC โดยที่ OS เส้นตรงสัมผัสกับวงกลมที่ผ่านจุด (1;0) เห็นได้ชัดว่า.

จากการใช้สูตรทางเรขาคณิตที่สอดคล้องกันสำหรับพื้นที่ของตัวเลข เราได้มาจากสิ่งนี้ หรือซิน 0) เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ: . จากนั้นและตามทฤษฎีบท 14.4