ค้นหาพื้นที่ของปิรามิดปกติ วิธีหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

คือรูปที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆ และใบหน้าด้านข้างแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยม จุดยอดของพวกเขาอยู่ที่จุดเดียวกันและตรงกับยอดปิรามิด

ปิรามิดสามารถเปลี่ยนแปลงได้ - สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, หกเหลี่ยม ฯลฯ ชื่อของมันสามารถกำหนดได้ขึ้นอยู่กับจำนวนมุมที่อยู่ติดกับฐาน
ปิรามิดที่ถูกต้องเรียกว่าปิระมิดซึ่งมีด้านฐาน มุม และขอบเท่ากัน นอกจากนี้ในปิรามิดดังกล่าวพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างจะเท่ากัน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด:
นั่นคือในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดตามอำเภอใจคุณต้องค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละอันแล้วบวกเข้าด้วยกัน หากปิรามิดถูกตัดทอน ใบหน้าของมันจะแสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู สำหรับ ปิรามิดปกติมีอีกสูตรหนึ่ง ในนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างจะคำนวณผ่านกึ่งปริมณฑลของฐานและความยาวของระยะกึ่งกลางของฐาน:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด
ให้อันที่ถูกต้องมา ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม- ด้านฐาน ข= 6 ซม. ระยะกึ่งกลาง ก= 8 ซม. จงหาพื้นที่ผิวข้าง

ที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติจะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก่อนอื่น เรามาหาเส้นรอบวงกันก่อน:

ตอนนี้เราสามารถคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดของเราได้:

เพื่อที่จะพบว่า เต็มพื้นที่รูปทรงหลายเหลี่ยมคุณต้องหาพื้นที่ฐานของมัน สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปิรามิดอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ที่ฐาน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานฯลฯ

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิดที่กำหนดโดยเงื่อนไขของเรา เนื่องจากปิระมิดเป็นแบบปกติ จึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐาน
พื้นที่สี่เหลี่ยมคำนวณโดยสูตร: ,
โดยที่ a คือด้านข้างของจัตุรัส สำหรับเราคือ 6 ซม. ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ฐานของปิรามิดคือ:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาพื้นที่รวมของรูปทรงหลายเหลี่ยม สูตรพื้นที่ของปิรามิดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

พื้นที่ผิวของปิรามิด ในบทความนี้เราจะดูปัญหาของปิรามิดปกติ ฉันขอเตือนคุณว่าปิรามิดปกติคือปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ด้านบนของปิรามิดถูกยื่นไปตรงกลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้

ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วความสูงของสามเหลี่ยมนี้ซึ่งดึงมาจากจุดยอดของปิรามิดปกติเรียกว่า apothem, SF - apothem:

ในประเภทของปัญหาที่นำเสนอด้านล่าง คุณต้องค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดทั้งหมดหรือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง บล็อกได้กล่าวถึงปัญหาหลายประการกับปิรามิดปกติแล้ว โดยมีคำถามในการค้นหาองค์ประกอบ (ความสูง ขอบฐาน ขอบด้านข้าง)

ใน งานสอบ Unified Stateตามกฎแล้วจะมีการพิจารณาปิรามิดรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยมปกติ ฉันไม่เห็นปัญหาใด ๆ กับปิรามิดห้าเหลี่ยมและปิรามิดเจ็ดเหลี่ยมทั่วไป

สูตรสำหรับพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดนั้นง่าย - คุณต้องหาผลรวมของพื้นที่ฐานของปิรามิดและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง:

พิจารณางาน:

ด้านข้างของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 72 ขอบด้านข้างคือ 164 จงหาพื้นที่ผิวของปิรามิดนี้

พื้นที่ผิวของปิรามิดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและฐาน:

*พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่อันที่มีพื้นที่เท่ากัน ฐานของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เราสามารถคำนวณพื้นที่ด้านข้างของปิรามิดได้โดยใช้:

ดังนั้น พื้นที่ผิวของปิรามิดคือ:

คำตอบ: 28224

ด้านข้างของฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 22 ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 61 ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้

ฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติคือฐานหกเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้ประกอบด้วยพื้นที่หกรูปสามเหลี่ยมเท่ากันโดยมีด้าน 61,61 และ 22:

มาหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรของเฮรอน:

ดังนั้น พื้นที่ผิวด้านข้างคือ:

คำตอบ: 3240

*จากปัญหาที่นำเสนอข้างต้น พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างสามารถหาได้โดยใช้สูตรสามเหลี่ยมอื่น แต่สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคำนวณระยะกึ่งกลางของด้าน

27155. ค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านฐานเป็น 6 และมีความสูงเป็น 4

ในการหาพื้นที่ผิวของปิรามิด เราต้องรู้พื้นที่ฐานและพื้นที่ผิวด้านข้าง:

พื้นที่ฐานคือ 36 เนื่องจากเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 6

พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วย สี่หน้าซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ในการที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้น คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูงของมัน (apothem):

*พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงที่วาดมายังฐานนี้

ฐานรู้แล้วว่ามีค่าเท่ากับหก มาหาความสูงกัน. ลองพิจารณาดู สามเหลี่ยมมุมฉาก(เน้นด้วยสีเหลือง):

ขาข้างหนึ่งมีค่าเท่ากับ 4 เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด ส่วนขาอีกข้างมีค่าเท่ากับ 3 เนื่องจากเท่ากับครึ่งหนึ่งของขอบฐาน เราสามารถหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ:

ดังนั้น พื้นที่ผิวของปิรามิดทั้งหมดคือ:

คำตอบ: 96

27069 ด้านข้างของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 10 ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 13 จงหาพื้นที่ผิวของปิรามิดนี้

27070 ด้านข้างของฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 10 ขอบด้านข้างเท่ากับ 13 จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้

นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติอีกด้วย ในพีระมิดปกติ ฐานคือ การฉายภาพมุมฉากพื้นผิวด้านข้าง ดังนั้น:

ป- เส้นรอบวงฐาน ล- แนวกึ่งกลางของปิรามิด

*สูตรนี้อิงจากสูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการได้มาของสูตรเหล่านี้ อย่าพลาด ติดตามการตีพิมพ์บทความต่างๆนั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

นักเรียนต้องเผชิญกับแนวคิดเรื่องปิระมิดมานานก่อนที่จะเรียนเรขาคณิต ความผิดอยู่ที่สิ่งมหัศจรรย์อันยิ่งใหญ่ของอียิปต์ที่มีชื่อเสียงของโลก ดังนั้นเมื่อเริ่มศึกษารูปทรงหลายเหลี่ยมอันมหัศจรรย์นี้ นักเรียนส่วนใหญ่ก็จินตนาการถึงมันอย่างชัดเจนอยู่แล้ว สถานที่ท่องเที่ยวที่กล่าวมาข้างต้นทั้งหมดมีรูปร่างที่ถูกต้อง เกิดอะไรขึ้น ปิรามิดปกติและมีคุณสมบัติอะไรบ้างและ เราจะคุยกันไกลออกไป.

ติดต่อกับ

คำนิยาม

ปิระมิดมีคำจำกัดความค่อนข้างมาก ตั้งแต่สมัยโบราณก็ได้รับความนิยมอย่างมาก

ตัวอย่างเช่น Euclid ให้นิยามว่ามันเป็นรูปร่างที่ประกอบด้วยระนาบซึ่งเริ่มจากจุดหนึ่งมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง

นกกระสาให้สูตรที่แม่นยำยิ่งขึ้น เขายืนยันว่านี่คือตัวเลขนั้น มีฐานและระนาบอยู่ภายใน ในรูปสามเหลี่ยม, มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง

ตามการตีความสมัยใหม่ ปิระมิดถูกแสดงเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงพื้นที่ซึ่งประกอบด้วยเคกอนและเคจำนวนหนึ่ง ตัวเลขแบนเป็นรูปสามเหลี่ยมมีจุดร่วมจุดเดียว

มาดูรายละเอียดกันดีกว่า ประกอบด้วยองค์ประกอบอะไรบ้าง:

• k-gon ถือเป็นพื้นฐานของรูปนี้
• รูปร่าง 3 เหลี่ยมยื่นออกมาตามขอบของส่วนด้านข้าง
• ส่วนบนซึ่งเป็นที่มาขององค์ประกอบด้านข้างเรียกว่าเอเพ็กซ์
• ทุกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดเรียกว่าขอบ
• ถ้าเส้นตรงลดลงจากจุดยอดถึงระนาบของร่างที่มุม 90 องศา ส่วนที่บรรจุอยู่ในช่องว่างภายในคือความสูงของปิรามิด
• ในองค์ประกอบด้านข้างใดๆ สามารถลากเส้นตั้งฉากเรียกว่าอะโพเธมไปไว้ที่ด้านข้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้

จำนวนขอบคำนวณโดยใช้สูตร 2*k โดยที่ k คือจำนวนด้านของ k-gon สามารถกำหนดหน้าหลายหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม เช่น พีระมิดได้โดยใช้นิพจน์ k+1

สำคัญ!พีระมิด แบบฟอร์มที่ถูกต้องเรียกว่ารูปสามมิติซึ่งมีระนาบฐานเป็นรูปเคกอนที่มีด้านเท่ากัน

คุณสมบัติพื้นฐาน

ปิรามิดที่ถูกต้อง มีคุณสมบัติมากมายซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของเธอ เรามาแสดงรายการกัน:

1. พื้นฐานคือรูปร่างที่ถูกต้อง
2. ขอบของปิรามิดที่จำกัดองค์ประกอบด้านข้างมีค่าตัวเลขเท่ากัน
3. องค์ประกอบด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
4. ฐานของความสูงของรูปจะอยู่ที่กึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยม ในขณะที่ฐานของความสูงของรูปนั้นอยู่ที่จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม ในขณะเดียวกันก็เป็นจุดศูนย์กลางของรูปที่ถูกจารึกไว้และถูกจำกัดขอบเขตไปพร้อมๆ กัน
5. ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน
6. พื้นผิวด้านข้างทั้งหมดมีมุมเอียงเท่ากันเมื่อเทียบกับฐาน

ด้วยคุณสมบัติทั้งหมดที่ระบุไว้ การคำนวณองค์ประกอบจึงง่ายกว่ามาก จากคุณสมบัติข้างต้นเราให้ความสนใจ สองสัญญาณ:

1. ในกรณีที่รูปหลายเหลี่ยมพอดีกับวงกลม ใบหน้าด้านข้างจะมีมุมเท่ากันกับฐาน
2. เมื่ออธิบายวงกลมรอบรูปหลายเหลี่ยม ขอบทั้งหมดของพีระมิดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดจะมีความยาวเท่ากันและมีมุมเท่ากับฐาน

ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ - รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

มีหน้าจั่วทั้งสี่ด้าน

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นภาพบนเครื่องบิน แต่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ

ตัวอย่างเช่น หากจำเป็นต้องเชื่อมโยงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับเส้นทแยงมุม ให้ใช้สูตรต่อไปนี้ เส้นทแยงมุมเท่ากับผลคูณของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรากที่ 2 ของทั้งสอง

มันขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยมปกติ

ปิระมิดสามเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นรูป 3 เหลี่ยมปกติ

หากฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติและขอบด้านข้างเท่ากับขอบของฐาน ก็จะเป็นรูปดังกล่าว เรียกว่าจัตุรมุข

ใบหน้าของจัตุรมุขทุกหน้ามี 3 เหลี่ยมด้านเท่ากันหมด ในกรณีนี้ คุณจำเป็นต้องรู้บางประเด็นและไม่ต้องเสียเวลาในการคำนวณ:

• มุมเอียงของซี่โครงกับฐานใด ๆ คือ 60 องศา
• ขนาดของใบหน้าภายในทั้งหมดก็คือ 60 องศาเช่นกัน
• ใบหน้าใด ๆ สามารถทำหน้าที่เป็นฐานได้
• เมื่อวาดอยู่ภายในร่าง สิ่งเหล่านี้คือองค์ประกอบที่เท่ากัน

ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ในรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ก็มี หลายประเภทแบน. มักจะเข้า. หลักสูตรของโรงเรียนรูปทรงเรขาคณิตทำงานร่วมกับสอง:

• แกน;
• ขนานไปกับพื้นฐาน

ส่วนตามแนวแกนได้มาจากการตัดรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบที่ผ่านจุดยอด ขอบด้านข้าง และแกน ในกรณีนี้ แกนคือความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด ระนาบการตัดถูกจำกัดด้วยเส้นตัดกับทุกหน้า ทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยม

ความสนใจ!ในปิรามิดปกติ ส่วนตามแนวแกนจะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

หากระนาบการตัดวิ่งขนานกับฐาน ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลือกที่สอง ในกรณีนี้ เรามีรูปหน้าตัดคล้ายกับฐาน

ตัวอย่างเช่น ถ้ามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐาน ส่วนที่ขนานกับฐานก็จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเช่นกัน ซึ่งมีขนาดเล็กกว่าเท่านั้น

เมื่อแก้ไขปัญหาภายใต้เงื่อนไขนี้ให้ใช้เครื่องหมายและคุณสมบัติของตัวเลขที่คล้ายคลึงกัน ตามทฤษฎีบทของทาเลส- ก่อนอื่น จำเป็นต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

หากระนาบถูกวาดขนานกับฐานและตัดส่วนบนของรูปทรงหลายเหลี่ยมออก จะได้ปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติในส่วนล่าง จากนั้นฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนจะเรียกว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน ในกรณีนี้ ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ส่วนตามแนวแกนก็เป็นหน้าจั่วเช่นกัน

เพื่อกำหนดความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน จำเป็นต้องวาดความสูงในส่วนแนวแกน ซึ่งก็คือ ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

พื้นที่ผิว

ขั้นพื้นฐาน ปัญหาทางเรขาคณิตที่ต้องแก้ในวิชาเรขาคณิตของโรงเรียนคือ การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปิรามิด

ค่าพื้นที่ผิวมีสองประเภท:

• พื้นที่ขององค์ประกอบด้านข้าง
• พื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด

จากชื่อก็ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงอะไร พื้นผิวด้านข้างมีเพียงองค์ประกอบด้านข้างเท่านั้น จากนี้ไปเพื่อค้นหามัน คุณเพียงแค่ต้องบวกพื้นที่ของระนาบข้าง ซึ่งก็คือพื้นที่ของหน้าจั่ว 3 เหลี่ยม ลองหาสูตรสำหรับพื้นที่ขององค์ประกอบด้านข้าง:

1. พื้นที่ของหน้าจั่ว 3 เหลี่ยมคือ Str=1/2(aL) โดยที่ a คือด้านข้างของฐาน L คือระยะแนบใน
2. จำนวนระนาบด้านข้างขึ้นอยู่กับประเภทของเคกอนที่ฐาน ตัวอย่างเช่น พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติมีระนาบด้านข้างสี่ระนาบ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องบวกพื้นที่ของตัวเลขสี่หลัก Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L นิพจน์ถูกทำให้ง่ายขึ้นด้วยวิธีนี้เนื่องจากค่าคือ 4a = Rosn โดยที่ Rosn คือเส้นรอบวงของฐาน และพจน์ 1/2*Rosn คือกึ่งเส้นรอบรูป
3. ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าพื้นที่ขององค์ประกอบด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับผลคูณของกึ่งปริมณฑลของฐานและจุดกึ่งกลางของฐาน: Sside = Rosn * L.

พื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของปิรามิดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของระนาบด้านข้างและฐาน: Sp.p = Sside + Sbas

ส่วนพื้นที่ฐานจะใช้สูตรตามประเภทของรูปหลายเหลี่ยมในที่นี้

ปริมาตรของปิระมิดปกติเท่ากับผลคูณของพื้นที่ของระนาบฐานและความสูงหารด้วยสาม: V=1/3*Sbas*H โดยที่ H คือความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ปิรามิดปกติในเรขาคณิตคืออะไร

คุณสมบัติของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ

คำแนะนำ

ประการแรก ควรทำความเข้าใจว่าพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั้นมีรูปสามเหลี่ยมหลายรูปแทน ซึ่งพื้นที่ดังกล่าวสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่างๆ ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบ:

S = (a*h)/2 โดยที่ h คือความสูงลดลงไปทางด้าน a;

S = a*b*sinβ โดยที่ a, b คือด้านของสามเหลี่ยม และ β คือมุมระหว่างด้านเหล่านี้

S = (r*(a + b + c))/2 โดยที่ a, b, c คือด้านของรูปสามเหลี่ยม และ r คือรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมนี้

S = (a*b*c)/4*R โดยที่ R คือรัศมีของสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบวงกลม

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (หากรูปสามเหลี่ยมมีมุมฉาก)

S = S = (a²*√3)/4 (หากสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด)

อันที่จริงนี่เป็นเพียงสูตรพื้นฐานที่สุดที่รู้จักกันดีในการค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่เป็นหน้าของปิรามิดโดยใช้สูตรข้างต้นแล้ว คุณสามารถเริ่มคำนวณพื้นที่ของปิรามิดนี้ได้ ทำได้ง่ายมาก คุณต้องบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ก่อตัวขึ้นมา พื้นผิวด้านข้างปิรามิด สิ่งนี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตร:

Sp = ΣSi โดยที่ Sp คือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง Si คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม i-th ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวด้านข้าง

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เราสามารถพิจารณาตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ได้ เมื่อพิจารณาจากปิรามิดปกติ ใบหน้าด้านข้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า และที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความยาวของขอบของปิรามิดนี้คือ 17 ซม. จำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้

วิธีแก้ปัญหา: ทราบความยาวของขอบของปิรามิดนี้ เป็นที่ทราบกันว่าใบหน้าของมันคือสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าทุกด้านของสามเหลี่ยมทั้งหมดบนพื้นผิวด้านข้างเท่ากับ 17 ซม. ดังนั้น ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ เหล่านี้ คุณจะต้องใช้สูตร:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 ซม.²

เป็นที่ทราบกันว่าที่ฐานของปิรามิดนั้นมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ จึงมีความชัดเจนว่าข้อมูล สามเหลี่ยมด้านเท่าสี่ จากนั้นคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดดังนี้:

125.137 ตร.ซม. * 4 = 500.548 ตร.ซม

คำตอบ: พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ 500.548 ตารางเซนติเมตร

ขั้นแรก เรามาคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดกันก่อน พื้นผิวด้านข้างคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด หากคุณกำลังเผชิญกับปิรามิดปกติ (นั่นคือปิรามิดที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานและจุดยอดถูกฉายไปที่กึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้) จากนั้นในการคำนวณพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะคูณเส้นรอบวงของ ฐาน (นั่นคือ ผลรวมของความยาวของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ฐานพีระมิด) ด้วยความสูงของหน้าด้านข้าง (หรือเรียกอีกอย่างว่าเส้นตั้งฉากในกึ่งกลาง) และหารค่าผลลัพธ์ด้วย 2: Sb = 1/2P* h โดยที่ Sb คือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง P คือเส้นรอบวงของฐาน h คือความสูงของใบหน้าด้านข้าง (apothem)

หากคุณมีปิรามิดใดๆ อยู่ตรงหน้า คุณจะต้องคำนวณพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดแยกกัน แล้วจึงบวกเข้าด้วยกัน เนื่องจากด้านข้างของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม ให้ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม: S=1/2b*h โดยที่ b คือฐานของสามเหลี่ยม และ h คือความสูง เมื่อคำนวณพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมดแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือบวกเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

จากนั้นคุณต้องคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิด การเลือกสูตรในการคำนวณขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ที่ฐานของปิรามิด: ปกติ (นั่นคือรูปที่มีทุกด้าน ความยาวเท่ากัน) หรือไม่ถูกต้อง สี่เหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถคำนวณได้โดยการคูณเส้นรอบวงด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมแล้วหารค่าผลลัพธ์ด้วย 2: Sn = 1/2P*r โดยที่ Sn คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม P คือเส้นรอบวง และ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยม

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นจากปิรามิดและหน้าตัดของมัน ขนานกับฐาน- การหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนั้นไม่ใช่เรื่องยากเลย ง่ายมาก: พื้นที่เท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานครึ่งหนึ่งด้วย ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้าง สมมติว่าเราได้รับปิรามิดปกติ ความยาวของฐานคือ b = 5 ซม., c = 3 ซม. Apothem a = 4 ซม. หากต้องการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคุณต้องหาเส้นรอบวงของฐานก่อน ในฐานขนาดใหญ่จะเท่ากับ p1=4b=4*5=20 ซม. ในฐานที่เล็กกว่าสูตรจะเป็นดังนี้: p2=4c=4*3=12 ซม : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 ซม.

เป็นรูปทรงที่มีหลายแง่มุม โดยมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือจะแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม

ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เรียกว่าปิระมิด รูปสี่เหลี่ยม, ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยม – แล้ว สามเหลี่ยม- ความสูงของปิรามิดนั้นวาดจากด้านบนตั้งฉากกับฐาน นอกจากนี้ยังใช้ในการคำนวณพื้นที่ ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง– ความสูงของใบหน้าด้านข้างลดลงจากด้านบน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดซึ่งมีค่าเท่ากัน อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณนี้ใช้น้อยมาก โดยพื้นฐานแล้ว พื้นที่ของปิรามิดจะคำนวณผ่านเส้นรอบวงของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด

ให้เราได้รับปิรามิดที่มีฐาน ABCDE และ F บนสุด AB =BC =CD =DE =EA =3 ซม. Apothem a = 5 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
ลองหาเส้นรอบวง. เนื่องจากขอบของฐานทั้งหมดเท่ากัน ดังนั้น เส้นรอบวงของรูปห้าเหลี่ยมจึงเท่ากับ:
ตอนนี้คุณสามารถหาได้แล้ว พื้นที่ด้านข้างปิรามิด:

พื้นที่ของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติประกอบด้วยฐานซึ่งมีรูปสามเหลี่ยมปกติและมีหน้าด้าน 3 ด้านที่มีพื้นที่เท่ากัน
สูตรพื้นที่ผิวข้างให้ถูกต้อง ปิรามิดสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้หลายวิธี คุณสามารถใช้สูตรการคำนวณตามปกติโดยใช้เส้นรอบวงและระยะกึ่งกลางของด้าน หรือคุณสามารถหาพื้นที่ของหน้าเดียวแล้วคูณด้วยสาม เนื่องจากหน้าของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม เราจึงใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม จะต้องมีระยะกึ่งกลางและความยาวของฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ให้พีระมิดที่มีเส้นกึ่งกลางของพีระมิด a = 4 ซม. และหน้าฐาน b = 2 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
ขั้นแรกให้หาพื้นที่ของใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง ในกรณีนี้จะเป็น:
แทนค่าลงในสูตร:
เนื่องจากในปิรามิดปกติทุกด้านจะเท่ากัน พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ทั้งสามหน้า ตามลำดับ:

พื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ถูกตัดทอนปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากปิรามิดและมีหน้าตัดขนานกับฐาน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นง่ายมาก พื้นที่เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน: