ลำดับฟีโบนัชชีเป็นสัญลักษณ์ของความก้าวหน้าของศิลปะและสังคม ตัวเลขฟีโบนัชชี: การนำไปใช้จริง ประวัติการใช้สัดส่วนทองคำ

เขาจะพูดถึงแนวคิดของอนุกรมฟีโบนัชชี และความสัมพันธ์ของมันกับทฤษฎีคลื่นอย่างไร และจะหักล้างการบังคับใช้ของอนุกรมนี้กับ กระบวนการทางธรรมชาติ.
ซึ่งปรมาจารย์ได้พัฒนาขึ้นในช่วงทศวรรษที่ 30 ของศตวรรษที่ผ่านมา เป็นหนึ่งในส่วนที่น่าตื่นเต้นที่สุด ในตัวมันเอง มันถูกแยกออกเป็นวิทยาศาสตร์บทใหม่ซึ่งศึกษากราฟ ขึ้นอยู่กับการพัฒนาของผู้เชี่ยวชาญคนอื่นๆ ในสาขาทฤษฎี (ฉันแนะนำให้คุณอ่านหนังสือของผู้เขียน)
ตัวอย่างเช่น Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้ยิ่งใหญ่ถือเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ (ซึ่งฉันได้พูดไปแล้วในบทความ -) ซึ่งเป็นผู้สร้างพื้นฐานสำหรับทฤษฎีของ Eliot

โบรกเกอร์ที่ดีที่สุด

ซีรีส์ดิจิทัล ตัวเลขฟีโบนัชชี– อัตราส่วนทองคำและค่าสัมประสิทธิ์หรือระดับการแก้ไข + วิดีโอ ตัวเลขฟีโบนัชชีในธรรมชาติ

ผู้เชี่ยวชาญคนนี้มีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 13 นักวิทยาศาสตร์ได้ตีพิมพ์ผลงานชื่อ “The Book of Calculations” หนังสือเล่มนี้แนะนำให้ยุโรปรู้จักกับการค้นพบที่สำคัญและไม่เพียงแต่ในยุคนั้นเท่านั้น นั่นก็คือระบบเลขทศนิยม ระบบนี้นำตัวเลขที่คุ้นเคยตั้งแต่ศูนย์ถึงเก้ามาหมุนเวียน

การปรากฏตัวของระบบนี้เป็นครั้งแรก ความสำเร็จที่สำคัญยุโรปตั้งแต่การล่มสลายของกรุงโรม Fibonacci อนุรักษ์ศาสตร์แห่งตัวเลขไว้ตั้งแต่ยุคกลาง นอกจากนี้เขายังวางรากฐานที่ลึกซึ้งสำหรับการพัฒนาวิทยาศาสตร์อื่นๆ เช่น คณิตศาสตร์ขั้นสูง ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และวิศวกรรมเครื่องกล

ชมวิดีโอ

ตัวเลขและอนุพันธ์ปรากฏอย่างไร

กำลังตัดสินใจ ปัญหาที่ใช้เลโอนาร์โดก็เจอ ชุดตัวเลขฟีโบนัชชีที่น่าสงสัยในตอนต้นมีสองหน่วย

แต่ละเทอมต่อมาคือผลรวมของสองเทอมก่อนหน้า สิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือ ชุดตัวเลขฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่น่าทึ่ง โดยหากเทอมใดหารด้วยลำดับก่อนหน้า ผลลัพธ์ที่ได้ก็คือตัวเลขที่ใกล้กับ 0.618 หมายเลขนี้ถูกตั้งชื่อว่า " อัตราส่วนทองคำ».

ปรากฎว่าตัวเลขนี้เป็นที่รู้จักของมนุษยชาติมาเป็นเวลานาน ตัวอย่างเช่น ในอียิปต์โบราณพวกเขาสร้างปิรามิดโดยใช้มัน และชาวกรีกโบราณสร้างวิหารของพวกเขาโดยใช้มัน Leonardo da Vinci แสดงให้เห็นว่าโครงสร้างของร่างกายมนุษย์เป็นไปตามตัวเลขนี้อย่างไร

ธรรมชาติใช้ตัวเลขฟีโบนัชชีในพื้นที่ที่ใกล้ชิดและก้าวหน้าที่สุด ตั้งแต่โครงสร้างอะตอมและรูปแบบขนาดเล็กอื่นๆ เช่น โมเลกุล DNA และไมโครแคปิลลารีของสมอง ไปจนถึงโมเลกุลขนาดใหญ่ เช่น วงโคจรของดาวเคราะห์และโครงสร้างกาแล็กซี จำนวนตัวอย่างมีขนาดใหญ่มากจนต้องโต้แย้งว่ามีกฎพื้นฐานบางประการเกี่ยวกับสัดส่วนในธรรมชาติ

ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่ชุด Fibonacci และอัตราส่วนทองคำได้เข้ามาสู่แผนภูมิหุ้น และไม่ใช่แค่เลข 0.618 เท่านั้น แต่ยังรวมถึงอนุพันธ์ของมันด้วย

หากคุณเพิ่มจำนวนอัตราส่วนทองคำยกกำลังหนึ่ง สอง สาม และสี่ และลบผลลัพธ์ออกจากความสามัคคี คุณจะได้ แถวใหม่ซึ่งเรียกว่า " อัตราส่วน Fibonacci retracement- สิ่งที่เหลืออยู่คือเพิ่มเครื่องหมายห้าในสิบ - นี่คือห้าสิบเปอร์เซ็นต์

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ทั้งหมดที่สามารถทำได้ด้วยอัตราส่วนทองคำ ถ้าเราหารหนึ่งด้วย 0.618 เราจะได้ 1.618 ถ้าเรายกกำลังสอง เราจะได้ 2.618 ถ้าเรายกกำลังสาม เราจะได้ 4.236 นี่คืออัตราส่วนการขยายฟีโบนัชชี ตัวเลขที่ขาดหายไปเพียงตัวเดียวในที่นี้คือ 3,236 ซึ่งเสนอโดยจอห์น เมอร์ฟี่

ผู้เชี่ยวชาญคิดอย่างไรเกี่ยวกับความสม่ำเสมอ?

บางคนอาจบอกว่าตัวเลขเหล่านี้คุ้นเคยอยู่แล้วเนื่องจากใช้ในโปรแกรมการวิเคราะห์ทางเทคนิคเพื่อกำหนดขนาดของการแก้ไขและการขยาย นอกจากนี้ ซีรีส์เดียวกันนี้มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีคลื่นของเอเลียต พวกมันเป็นพื้นฐานเชิงตัวเลข

ผู้เชี่ยวชาญของเรา Nikolay เป็นผู้จัดการพอร์ตโฟลิโอที่ได้รับการพิสูจน์แล้วของบริษัทการลงทุน Vostok

• – นิโคเลย์ คุณคิดว่าการปรากฏของตัวเลขฟีโบนัชชีและอนุพันธ์ของมันบนกราฟของตราสารต่างๆ เป็นเรื่องบังเอิญหรือไม่? และเราสามารถพูดได้ว่า: “ชุดฟีโบนัชชี การประยุกต์ใช้จริง“เกิดขึ้นเหรอ?
• – ฉันมีทัศนคติที่ไม่ดีต่อเวทย์มนต์ และยิ่งไปกว่านั้นในแผนภูมิตลาดหลักทรัพย์ ทุกสิ่งทุกอย่างมีเหตุผลของมัน ในหนังสือ “Fibonacci Levels” เขาได้บรรยายไว้อย่างสวยงามว่าอัตราส่วนทองคำปรากฏที่ใด โดยเขาไม่แปลกใจเลยที่อัตราส่วนดังกล่าวจะปรากฏบนกราฟราคาของตลาดหลักทรัพย์ แต่เปล่าประโยชน์! ในหลายตัวอย่างที่เขาให้ไว้ ตัวเลข Pi ปรากฏขึ้นบ่อยครั้ง แต่ด้วยเหตุผลบางประการจึงไม่รวมอยู่ในอัตราส่วนราคา
• – คุณไม่เชื่อในประสิทธิผลของหลักการคลื่นของเอเลียตใช่ไหม?
• - ไม่ นั่นไม่ใช่ประเด็น หลักการของคลื่น- นั่นคือสิ่งหนึ่ง อัตราส่วนตัวเลขจะแตกต่างกัน และเหตุผลที่ปรากฏบนกราฟราคาคือเหตุผลที่สาม
• – คุณคิดว่าอะไรเป็นสาเหตุที่ทำให้อัตราส่วนทองคำปรากฏบนแผนภูมิหุ้น
• – คำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้อาจได้รับ รางวัลโนเบลในสาขาเศรษฐศาสตร์ ในตอนนี้เราสามารถเดาเหตุผลที่แท้จริงได้ เห็นได้ชัดว่าไม่สอดคล้องกับธรรมชาติ การกำหนดราคาแลกเปลี่ยนมีหลายรูปแบบ พวกเขาไม่ได้อธิบายปรากฏการณ์ที่กำหนด แต่การไม่เข้าใจธรรมชาติของปรากฏการณ์ก็ไม่ควรปฏิเสธปรากฏการณ์ดังกล่าว
• – และหากกฎหมายนี้เคยเปิดขึ้นมาจะสามารถทำลายกระบวนการแลกเปลี่ยนได้หรือไม่?
• – ดังที่ทฤษฎีคลื่นเดียวกันแสดงให้เห็น กฎแห่งการเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้นนั้นเป็นจิตวิทยาล้วนๆ สำหรับฉันดูเหมือนว่าความรู้เกี่ยวกับกฎหมายนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรและไม่สามารถทำลายตลาดหลักทรัพย์ได้

เนื้อหาจัดทำโดยบล็อกของผู้ดูแลเว็บ Maxim

ความบังเอิญของหลักการพื้นฐานของคณิตศาสตร์ในทฤษฎีต่างๆ ดูน่าเหลือเชื่อ อาจเป็นจินตนาการหรือปรับแต่งเพื่อผลลัพธ์สุดท้าย รอดูได้เลย สิ่งที่ก่อนหน้านี้ถือว่าผิดปกติหรือเป็นไปไม่ได้ส่วนใหญ่ เช่น การสำรวจอวกาศ กลายเป็นเรื่องธรรมดาและไม่ทำให้ใครแปลกใจ อีกด้วย ทฤษฎีคลื่นอาจไม่สามารถเข้าใจได้เมื่อเวลาผ่านไปจะเข้าถึงและเข้าใจได้มากขึ้น สิ่งที่ไม่จำเป็นก่อนหน้านี้อยู่ในมือของนักวิเคราะห์ที่มีประสบการณ์ จะกลายเป็นเครื่องมืออันทรงพลังในการทำนายพฤติกรรมในอนาคต

ตัวเลขฟีโบนัชชีในธรรมชาติ

ดู

ทีนี้ เรามาพูดถึงวิธีที่คุณสามารถหักล้างสิ่งใดได้ ซีรีส์ดิจิทัล Fibonacci เกี่ยวข้องกับรูปแบบบางอย่างในธรรมชาติ

ลองนำตัวเลขอีกสองตัวมาสร้างลำดับด้วยตรรกะเดียวกันกับตัวเลขฟีโบนัชชี นั่นคือสมาชิกตัวถัดไปของลำดับจะเท่ากับผลรวมของสองตัวก่อนหน้า ตัวอย่างเช่น ลองหาตัวเลขสองตัว: 6 และ 51 ตอนนี้เราจะสร้างลำดับที่เราจะเติมตัวเลขสองตัวคือ 1860 และ 3009 โปรดทราบว่าเมื่อหารตัวเลขเหล่านี้ เราจะได้ตัวเลขที่ใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำ

ในขณะเดียวกัน ตัวเลขที่ได้รับเมื่อหารคู่อื่นๆ ลดลงจากคู่แรกไปคู่สุดท้าย ซึ่งทำให้เราสามารถพูดได้ว่าหากอนุกรมนี้ดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด เราก็จะได้ตัวเลขที่เท่ากับอัตราส่วนทองคำ

ดังนั้นตัวเลขฟีโบนัชชีจึงไม่โดดเด่นแต่อย่างใด มีลำดับตัวเลขอื่นๆ ซึ่งมีจำนวนอนันต์ที่ให้ผลลัพธ์จากการดำเนินการเดียวกัน หมายเลขทองฟิ

Fibonacci ไม่ใช่นักลึกลับ เขาไม่ต้องการใส่ความลึกลับใดๆ เข้าไปในตัวเลข เขาเพียงแค่แก้ปัญหาธรรมดาๆ เกี่ยวกับกระต่ายเท่านั้น และเขาเขียนลำดับตัวเลขตามปัญหาของเขาในเดือนแรก สอง และเดือนอื่นๆ ว่าหลังจากผสมพันธุ์แล้วจะมีกระต่ายกี่ตัว ภายในหนึ่งปี เขาได้รับลำดับเดียวกันนั้น และฉันไม่ได้มีความสัมพันธ์ ไม่มีการพูดถึงสัดส่วนทองหรือความสัมพันธ์อันศักดิ์สิทธิ์ใดๆ ทั้งหมดนี้ถูกประดิษฐ์ขึ้นตามเขาในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา

เมื่อเปรียบเทียบกับคณิตศาสตร์แล้ว ข้อดีของ Fibonacci นั้นมีมากมายมหาศาล เขานำระบบตัวเลขจากชาวอาหรับมาใช้และพิสูจน์ความถูกต้องของมัน มันเป็นการต่อสู้ที่ยากลำบากและยาวนาน จากระบบเลขโรมัน: หนักและไม่สะดวกในการนับ เธอหายไปหลังจากนั้น การปฏิวัติฝรั่งเศส- Fibonacci ไม่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ

เกลียวมีไม่จำกัดจำนวน เกลียวที่ได้รับความนิยมมากที่สุด ได้แก่ เกลียวลอการิทึมธรรมชาติ เกลียวอาร์คิมิดีส และเกลียวไฮเปอร์โบลิก

Fibonacci มีอายุยืนยาว โดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงเวลาของเขา ซึ่งเขาอุทิศให้กับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง โดยกำหนดปัญหาเหล่านี้ไว้ในผลงานชิ้นใหญ่เรื่อง "The Book of Abacus" (ต้นศตวรรษที่ 13) เขาสนใจเรื่องเวทย์มนต์ของตัวเลขมาโดยตลอด - เขาอาจจะฉลาดไม่น้อยไปกว่าอาร์คิมิดีสหรือยุคลิด ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสองถูกวางและแก้ไขได้บางส่วนก่อนหน้านี้ เช่น โดย Omar Khayyam ผู้โด่งดัง นักวิทยาศาสตร์และกวี อย่างไรก็ตาม ฟีโบนัชชีได้กำหนดปัญหาของการสืบพันธุ์ของกระต่าย ซึ่งเป็นข้อสรุปที่ทำให้ชื่อของเขาสูญหายไปตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมา

โดยสรุปภารกิจมีดังนี้ กระต่ายคู่หนึ่งถูกวางไว้ในที่ที่มีกำแพงล้อมรอบทุกด้าน และแต่ละคู่จะออกลูกอีกตัวทุกเดือน เริ่มตั้งแต่เดือนที่สองของการดำรงอยู่ การสืบพันธุ์ของกระต่ายในเวลาจะมีการอธิบายโดยชุดต่อไปนี้: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 เป็นต้น ชุดนี้เรียกว่าลำดับฟีโบนักชี หรือเรียกอีกอย่างว่าสูตรหรือตัวเลขฟีโบนักชี จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ลำดับกลายเป็นลำดับที่ไม่ซ้ำใคร เนื่องจากมีคุณสมบัติที่โดดเด่นหลายประการ:

• ผลรวมของตัวเลขสองตัวติดต่อกันคือตัวเลขถัดไปในลำดับ

• อัตราส่วนของตัวเลขแต่ละตัวในลำดับเริ่มต้นจากหมายเลขที่ห้าถึงหมายเลขก่อนหน้าคือ 1.618

• ผลต่างระหว่างกำลังสองของตัวเลขใดๆ กับกำลังสองของตำแหน่งสองตำแหน่งทางซ้ายจะเป็นเลขฟีโบนัชชี

• ผลรวมกำลังสองของเลขติดกันจะเป็นเลขฟีโบนัชชีซึ่งเป็น 2 ตำแหน่งหลังเลขยกกำลังสองที่ใหญ่ที่สุด

อัตราส่วนทองคำฟีโบนัชชี

จากการค้นพบเหล่านี้ ข้อที่สองน่าสนใจที่สุดเนื่องจากใช้ตัวเลข 1.618 หรือที่เรียกว่า “อัตราส่วนทองคำ” ชาวกรีกโบราณรู้จักหมายเลขนี้ซึ่งใช้หมายเลขนี้ในระหว่างการก่อสร้างวิหารพาร์เธนอน (ตามแหล่งข้อมูลบางแห่งใช้เป็นธนาคารกลาง) สิ่งที่น่าสนใจไม่น้อยคือหมายเลข 1.618 สามารถพบได้ในธรรมชาติทั้งในระดับจุลภาคและระดับมหภาค ตั้งแต่ขดบนเปลือกหอยทากไปจนถึงกังหันขนาดใหญ่ของกาแลคซีจักรวาล

ปิรามิดที่กิซ่าสร้างขึ้นโดยชาวอียิปต์โบราณ ยังมีพารามิเตอร์หลายอย่างของชุดฟีโบนัชชีในระหว่างการก่อสร้าง สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านหนึ่งใหญ่กว่าอีกด้าน 1.618 เท่าดูสบายตาที่สุด - อัตราส่วนนี้ถูกใช้โดย Leonardo da Vinci สำหรับภาพวาดของเขา และในแง่ในชีวิตประจำวันมากขึ้น มันถูกใช้อย่างสังหรณ์ใจในการสร้างหน้าต่างหรือทางเข้าประตู แม้แต่คลื่นก็สามารถแสดงเป็นเกลียวฟีโบนัชชีได้

ในธรรมชาติของสิ่งมีชีวิต ลำดับฟีโบนัชชีปรากฏขึ้นไม่บ่อยนัก โดยสามารถพบได้ในกรงเล็บ ฟัน ดอกทานตะวัน ใยแมงมุม และแม้แต่การเจริญเติบโตของแบคทีเรีย หากต้องการ ความสม่ำเสมอจะพบได้ในเกือบทุกอย่าง รวมถึงใบหน้าและร่างกายของมนุษย์ อย่างไรก็ตาม คำกล่าวอ้างหลายข้อที่พบว่าอัตราส่วนทองคำของฟีโบนัชชีในปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและประวัติศาสตร์นั้นไม่เป็นความจริงอย่างชัดเจน - มันเป็นความเชื่อทั่วไปที่กลายเป็นความไม่ถูกต้องที่สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ต้องการ มีภาพวาดการ์ตูนที่เขียนเกลียว Fibonacci ไว้ในกระดูกสันหลังคดหรือทรงผมของคนดัง

ตัวเลขฟีโบนัชชีในตลาดการเงิน

หนึ่งในคนกลุ่มแรกๆ ที่มีส่วนร่วมอย่างใกล้ชิดที่สุดในการประยุกต์ใช้หมายเลขฟีโบนัชชีกับ ตลาดการเงินคือ อาร์. เอลเลียต งานของเขาไม่ได้ไร้ประโยชน์ในแง่ที่ว่าคำอธิบายตลาดโดยใช้ชุด Fibonacci มักถูกเรียกว่า "Elliottwaves" พื้นฐานในการค้นหารูปแบบตลาดคือรูปแบบการพัฒนามนุษย์จากซูเปอร์ไซเคิลที่มีก้าวไปข้างหน้าสามก้าวและถอยหลังสองก้าว ด้านล่างนี้คือตัวอย่างวิธีที่คุณสามารถลองใช้ระดับ Fibonacci:

ความจริงที่ว่ามนุษยชาติกำลังพัฒนาแบบไม่เชิงเส้นนั้นชัดเจนสำหรับทุกคน - ตัวอย่างเช่นการสอนแบบอะตอมมิกของพรรคเดโมคริตุสก็สูญหายไปอย่างสิ้นเชิงจนกระทั่งสิ้นสุดยุคกลางนั่นคือ ถูกลืมไปเป็นเวลา 2,000 ปี อย่างไรก็ตาม แม้ว่าเราจะยอมรับทฤษฎีของขั้นตอนและจำนวนเป็นความจริง ขนาดของแต่ละขั้นตอนก็ยังไม่ชัดเจน ซึ่งทำให้คลื่นเอลเลียตเทียบได้กับพลังการทำนายของหัวและก้อย จุดเริ่มต้นและการคำนวณจำนวนคลื่นที่ถูกต้องคือและเห็นได้ชัดว่าจะเป็นจุดอ่อนหลักของทฤษฎี

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีนี้ประสบความสำเร็จในท้องถิ่น Bob Pretcher ซึ่งถือได้ว่าเป็นลูกศิษย์ของ Elliott ทำนายตลาดกระทิงในช่วงต้นทศวรรษ 1980 ได้อย่างถูกต้อง และมองว่าปี 1987 เป็นจุดเปลี่ยน สิ่งนี้เกิดขึ้นจริง หลังจากนั้น Bob ก็รู้สึกเหมือนเป็นอัจฉริยะ อย่างน้อยในสายตาของคนอื่น เขาก็กลายเป็นกูรูด้านการลงทุนอย่างแน่นอน ความสนใจทั่วโลกในระดับ Fibonacci เพิ่มขึ้น

การสมัครรับข้อมูลจาก Elliott Wave Theorist ของ Prechter เพิ่มขึ้นเป็น 20,000 รายในปีนั้น แต่ลดลงในช่วงต้นทศวรรษ 1990 เนื่องจากการคาดการณ์ "ความหายนะและความเศร้าหมอง" สำหรับตลาดอเมริกาถูกระงับไว้ อย่างไรก็ตาม มันได้ผลสำหรับตลาดญี่ปุ่น และผู้สนับสนุนทฤษฎีจำนวนหนึ่งซึ่ง "มาสาย" ไปที่นั่นเพียงระลอกเดียว สูญเสียเงินทุนหรือเงินทุนของลูกค้าบริษัทของตนไป

Elliott Waves ครอบคลุมช่วงเวลาการซื้อขายที่หลากหลาย ตั้งแต่รายสัปดาห์ซึ่งทำให้คล้ายกับกลยุทธ์การวิเคราะห์ทางเทคนิคมาตรฐาน ไปจนถึงการคำนวณมานานหลายทศวรรษ เช่น เข้าสู่ขอบเขตของการทำนายขั้นพื้นฐาน สิ่งนี้เป็นไปได้โดยการเปลี่ยนแปลงจำนวนคลื่น จุดอ่อนของทฤษฎีที่กล่าวถึงข้างต้นทำให้ผู้นับถือไม่ได้พูดถึงความไม่สอดคล้องกันของคลื่น แต่เกี่ยวกับการคำนวณผิดของพวกเขาเองและคำจำกัดความที่ไม่ถูกต้องของตำแหน่งเริ่มต้น

มันเหมือนกับเขาวงกต แม้ว่าคุณจะมีแผนที่ที่ถูกต้อง คุณก็สามารถติดตามมันได้ก็ต่อเมื่อคุณเข้าใจว่าคุณอยู่ที่ไหนเท่านั้น ไม่เช่นนั้นบัตรจะไม่มีประโยชน์ ในกรณีของคลื่น Elliott มีสัญญาณแห่งความสงสัยทุกประการ ไม่เพียงแต่ความถูกต้องของตำแหน่งของคุณเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความแม่นยำของแผนที่ด้วย

ข้อสรุป

การพัฒนาคลื่นของมนุษยชาติมีพื้นฐานที่แท้จริง - ในยุคกลาง คลื่นของภาวะเงินเฟ้อและภาวะเงินฝืดสลับกันเมื่อสงครามทำให้ชีวิตค่อนข้างสงบสุข การสังเกตลำดับฟีโบนัชชีโดยธรรมชาติ อย่างน้อยในบางกรณีก็ไม่ทำให้เกิดข้อสงสัยเช่นกัน ดังนั้นทุกคนมีสิทธิ์ที่จะให้คำตอบของตนเองสำหรับคำถามที่ว่าพระเจ้าคือใคร: นักคณิตศาสตร์หรือเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่ม ความเห็นส่วนตัวของฉัน: แม้ว่าประวัติศาสตร์ของมนุษย์และตลาดทั้งหมดสามารถนำเสนอได้ในแนวคิดของคลื่น แต่ความสูงและระยะเวลาของแต่ละคลื่นไม่สามารถคาดเดาได้โดยใครก็ตาม

อย่าสูญเสียมันไปสมัครสมาชิกและรับลิงค์ไปยังบทความในอีเมลของคุณ

แน่นอนว่าคุณคุ้นเคยกับแนวคิดที่ว่าคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญที่สุดของวิทยาศาสตร์ทั้งหมด แต่หลายคนอาจไม่เห็นด้วยกับเรื่องนี้เพราะ... บางครั้งดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์เป็นเพียงปัญหา ตัวอย่าง และเรื่องน่าเบื่อที่คล้ายกัน อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์สามารถแสดงให้เราเห็นสิ่งที่คุ้นเคยจากด้านที่ไม่คุ้นเคยโดยสิ้นเชิงได้อย่างง่ายดาย นอกจากนี้เธอยังสามารถเปิดเผยความลับของจักรวาลได้อีกด้วย ยังไง? มาดูตัวเลขฟีโบนัชชีกัน

ตัวเลขฟีโบนัชชีคืออะไร?

ตัวเลขฟีโบนัชชีเป็นองค์ประกอบของลำดับตัวเลข โดยที่แต่ละลำดับที่ตามมาจะต้องรวมตัวเลขสองตัวก่อนหน้าเข้าด้วยกัน เช่น 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... ตามกฎแล้วลำดับดังกล่าวเขียนโดยสูตร: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

หมายเลขฟีโบนัชชีสามารถเริ่มต้นด้วยค่าลบของ "n" แต่ในกรณีนี้ลำดับจะเป็นแบบสองทาง - มันจะครอบคลุมทั้งค่าบวกและ ตัวเลขติดลบมุ่งสู่อนันต์ในสองทิศทาง ตัวอย่างของลำดับดังกล่าวจะเป็น: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34 และสูตรจะเป็น: F n = F n+1 - F n+2 หรือ F -n = (-1) n+1 Fn

ผู้สร้างตัวเลขฟีโบนัชชีเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์กลุ่มแรกๆ ของยุโรปในยุคกลางชื่อเลโอนาร์โดแห่งปิซา ซึ่งในความเป็นจริงรู้จักกันในชื่อฟีโบนักชี - เขาได้รับชื่อเล่นนี้หลายปีหลังจากการตายของเขา

ในช่วงชีวิตของเขา Leonardo of Pisa ชอบการแข่งขันทางคณิตศาสตร์มากซึ่งเป็นสาเหตุที่ในงานของเขา (“ Liber abaci” /“ Book of Abacus”, 1202; “ Practica geometriae” / “ Practice of Geometry”, 1220, “ Flos” / “ดอกไม้”, 1225) – วิจัยในหัวข้อ สมการลูกบาศก์และ “Liber quadratorum” / “Book of squares”, 1225 – ปัญหาเกี่ยวกับความไม่แน่นอน สมการกำลังสอง) มักจะวิเคราะห์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทุกประเภทบ่อยครั้งมาก

เกี่ยวกับ เส้นทางชีวิตไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับ Fibonacci เลย แต่สิ่งที่แน่นอนก็คือปัญหาของเขาได้รับความนิยมอย่างมากในแวดวงคณิตศาสตร์ในศตวรรษต่อๆ มา เราจะพิจารณาสิ่งใดสิ่งหนึ่งเพิ่มเติม

ปัญหาฟีโบนัชชีกับกระต่าย

เพื่อให้งานนี้สำเร็จผู้เขียนได้ตั้งเงื่อนไขดังต่อไปนี้: มีกระต่ายแรกเกิดคู่หนึ่ง (ตัวเมียและตัวผู้) ที่แตกต่างกัน คุณสมบัติที่น่าสนใจ- ตั้งแต่เดือนที่สองของชีวิตพวกมันจะออกกระต่ายคู่ใหม่ - ทั้งตัวเมียและตัวผู้ กระต่ายถูกเก็บไว้ในพื้นที่จำกัดและผสมพันธุ์อย่างต่อเนื่อง และไม่มีกระต่ายตัวเดียวตาย

งาน: กำหนดจำนวนกระต่ายในหนึ่งปี

สารละลาย:

เรามี:

• กระต่ายคู่หนึ่งในช่วงต้นเดือนแรก ซึ่งจะผสมพันธุ์ในช่วงปลายเดือน
• กระต่ายสองคู่ในเดือนที่สอง (คู่แรกและลูก)
• กระต่ายสามคู่ในเดือนที่สาม (คู่แรก ลูกของคู่แรกจากเดือนก่อนและลูกใหม่)
• กระต่ายห้าคู่ในเดือนที่สี่ (คู่ที่หนึ่ง ลูกที่หนึ่งและลูกที่สองของคู่ที่หนึ่ง ลูกที่สามของคู่ที่หนึ่ง และลูกที่หนึ่งของคู่ที่สอง)

จำนวนกระต่ายต่อเดือน “n” = จำนวนกระต่ายในเดือนที่แล้ว + จำนวนกระต่ายคู่ใหม่ หรืออีกนัยหนึ่งคือสูตรข้างต้น: F n = F n-1 + F n-2 ซึ่งส่งผลให้เกิดลำดับตัวเลขที่เกิดซ้ำ (เราจะพูดถึงการเรียกซ้ำในภายหลัง) โดยที่ตัวเลขใหม่แต่ละตัวจะสอดคล้องกับผลรวมของตัวเลขสองตัวก่อนหน้า:

1 เดือน: 1 + 1 = 2

2 เดือน: 2 + 1 = 3

3 เดือน: 3 + 2 = 5

4 เดือน: 5 + 3 = 8

5 เดือน: 8 + 5 = 13

6 เดือน: 13 + 8 = 21

เดือนที่ 7: 21 + 13 = 34

เดือนที่ 8: 34 + 21 = 55

9 เดือน: 55 + 34 = 89

เดือนที่ 10: 89 + 55 = 144

เดือนที่ 11: 144 + 89 = 233

12 เดือน: 233+ 144 = 377

และลำดับนี้สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด แต่เมื่อพิจารณาว่าภารกิจคือการหาจำนวนกระต่ายหลังจากหนึ่งปี ผลลัพธ์ที่ได้คือ 377 คู่

สิ่งสำคัญที่ควรทราบตรงนี้คือหนึ่งในคุณสมบัติของตัวเลขฟีโบนัชชีก็คือ หากคุณเปรียบเทียบสองคู่ติดต่อกันแล้วหารคู่ที่ใหญ่กว่าด้วยคู่ที่เล็กกว่า ผลลัพธ์จะเคลื่อนไปสู่อัตราส่วนทองคำ ซึ่งเราจะพูดถึงด้านล่างนี้ด้วย .

ในระหว่างนี้ เราขอเสนอปัญหาเพิ่มเติมอีกสองข้อให้กับคุณเกี่ยวกับตัวเลขฟีโบนัชชี:

• กำหนด เลขกำลังสองซึ่งเรารู้แค่ว่าถ้าคุณลบ 5 ออกหรือบวก 5 เข้าไป คุณจะได้เลขกำลังสองอีกครั้ง
• กำหนดจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตัว แต่มีเงื่อนไขว่าหารด้วย 2, 3, 4, 5 หรือ 6 จะเหลือเศษ 1

งานดังกล่าวจะไม่เพียงแต่เป็นวิธีที่ดีในการพัฒนาจิตใจเท่านั้น แต่ยังเป็นงานอดิเรกที่สนุกสนานอีกด้วย คุณยังสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ด้วยการค้นหาข้อมูลบนอินเทอร์เน็ต เราจะไม่มุ่งเน้นไปที่พวกเขา แต่จะดำเนินเรื่องราวของเราต่อไป

การเรียกซ้ำและอัตราส่วนทองคำคืออะไร?

การเรียกซ้ำ

การเรียกซ้ำคือคำอธิบาย คำจำกัดความ หรือรูปภาพของวัตถุหรือกระบวนการใดๆ ที่มีอยู่ในตัวมันเอง วัตถุนี้หรือกระบวนการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง วัตถุหรือกระบวนการสามารถเรียกได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของตัวมันเอง

การเรียกซ้ำมีการใช้กันอย่างแพร่หลายไม่เพียงแต่ในวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิทยาการคอมพิวเตอร์ วัฒนธรรมสมัยนิยม และศิลปะด้วย ใช้ได้กับตัวเลขฟีโบนัชชี เราสามารถพูดได้ว่าหากตัวเลขคือ “n>2” แล้ว “n” = (n-1)+(n-2)

อัตราส่วนทองคำ

อัตราส่วนทองคำคือการแบ่งส่วนทั้งหมดออกเป็นส่วน ๆ ที่สัมพันธ์กันตามหลักการ ยิ่งมากสัมพันธ์กับส่วนเล็กในลักษณะเดียวกับมูลค่ารวมสัมพันธ์กับส่วนที่ใหญ่กว่า

อัตราส่วนทองคำถูกกล่าวถึงครั้งแรกโดย Euclid (บทความ "องค์ประกอบ" ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งพูดถึงการสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติ อย่างไรก็ตาม Martin Ohm นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้นำแนวคิดที่คุ้นเคยมากกว่านี้มาใช้

โดยประมาณ อัตราส่วนทองคำสามารถแสดงเป็นการหารตามสัดส่วนออกเป็นสองส่วนที่แตกต่างกัน เช่น 38% และ 68% การแสดงออกเชิงตัวเลขของอัตราส่วนทองคำมีค่าประมาณ 1.6180339887

ในทางปฏิบัติ อัตราส่วนทองคำถูกใช้ในสถาปัตยกรรม วิจิตรศิลป์(ดูผลงาน) โรงภาพยนตร์ และพื้นที่อื่นๆ เป็นเวลานานแล้วที่อัตราส่วนทองคำถือเป็นสัดส่วนทางสุนทรียศาสตร์แม้ว่าคนส่วนใหญ่จะมองว่ามันไม่สมส่วน - ยาวก็ตาม

คุณสามารถลองประมาณอัตราส่วนทองคำได้ด้วยตัวเองตามสัดส่วนต่อไปนี้:

• ความยาวของส่วน a = 0.618
• ความยาวของส่วน b= 0.382
• ความยาวของส่วน c = 1
• อัตราส่วนของ c และ a = 1.618
• อัตราส่วนของ c และ b = 2.618

ตอนนี้ ลองใช้อัตราส่วนทองคำกับตัวเลขฟีโบนัชชี: เราหาเทอมสองเทอมที่อยู่ติดกันของลำดับของมัน และหารค่าที่ใหญ่กว่าด้วยค่าที่น้อยกว่า เราได้ประมาณ 1.618 ถ้าเราเอาเหมือนกัน จำนวนที่มากขึ้นแล้วหารด้วยค่าที่มากกว่าถัดไป เราจะได้ประมาณ 0.618 ลองด้วยตัวเอง: "เล่น" ด้วยตัวเลข 21 และ 34 หรืออย่างอื่น หากเราทำการทดลองนี้โดยใช้ตัวเลขแรกของลำดับฟีโบนัชชี ผลลัพธ์ดังกล่าวจะไม่มีอีกต่อไป เนื่องจาก อัตราส่วนทองคำ "ไม่ทำงาน" ที่จุดเริ่มต้นของลำดับ อย่างไรก็ตาม หากต้องการระบุหมายเลขฟีโบนัชชีทั้งหมด คุณเพียงแค่ต้องทราบตัวเลขสามตัวแรกติดต่อกันเท่านั้น

และสรุปว่ายังมีอาหารทางความคิดอีกบ้าง

สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำและเกลียวฟีโบนัชชี

“สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ” เป็นอีกหนึ่งความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนทองคำกับตัวเลขฟีโบนัชชี เนื่องจาก... อัตราส่วนภาพคือ 1.618 ต่อ 1 (จำหมายเลข 1.618 ไว้!)

นี่คือตัวอย่าง: เรานำตัวเลขสองตัวจากลำดับฟีโบนัชชี เช่น 8 และ 13 แล้ววาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง 8 ซม. และความยาว 13 ซม. ต่อไป เราจะแบ่งสี่เหลี่ยมหลักออกเป็นส่วนเล็ก ๆ ความยาวและความกว้างควรสอดคล้องกับตัวเลขฟีโบนัชชี - ความยาวของขอบด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่ควรเท่ากับความยาวสองเท่าของขอบของด้านที่เล็กกว่า

หลังจากนั้น เราจะเชื่อมต่อมุมของสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่เรามีด้วยเส้นเรียบ และรับกรณีพิเศษของเกลียวลอการิทึม - เกลียวฟีโบนัชชี คุณสมบัติหลักคือไม่มีขอบเขตและการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง กังหันดังกล่าวมักพบได้ในธรรมชาติ ตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดคือเปลือกหอย พายุไซโคลนในภาพดาวเทียม และแม้แต่กาแลคซีหลายแห่ง แต่สิ่งที่น่าสนใจกว่านั้นก็คือ DNA ของสิ่งมีชีวิตก็ปฏิบัติตามกฎเดียวกันเช่นกัน เพราะคุณจำได้ไหมว่ามันมีรูปร่างเป็นเกลียว

ความบังเอิญที่ "บังเอิญ" เหล่านี้และอื่นๆ อีกมากมายแม้กระทั่งทุกวันนี้ยังกระตุ้นจิตสำนึกของนักวิทยาศาสตร์และแนะนำว่าทุกสิ่งในจักรวาลอยู่ภายใต้อัลกอริธึมเดียว ยิ่งไปกว่านั้นคืออัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์นี้ซ่อนความลับและความลึกลับที่น่าเบื่อจำนวนมากไว้

คุณเคยได้ยินว่าคณิตศาสตร์ถูกเรียกว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" หรือไม่? คุณเห็นด้วยกับข้อความนี้หรือไม่? ตราบใดที่คณิตศาสตร์ยังมีปัญหาน่าเบื่อในหนังสือเรียน คุณแทบจะไม่สามารถสัมผัสกับความงดงาม ความเก่งกาจ และแม้แต่อารมณ์ขันของวิทยาศาสตร์นี้

แต่มีหัวข้อในวิชาคณิตศาสตร์ที่ช่วยสังเกตสิ่งที่น่าสนใจและปรากฏการณ์ที่เราพบเห็นได้ทั่วไป และแม้กระทั่งพยายามเจาะทะลุม่านแห่งความลึกลับแห่งการสร้างจักรวาลของเรา มีรูปแบบที่น่าสนใจในโลกที่สามารถอธิบายได้โดยใช้คณิตศาสตร์

ขอแนะนำตัวเลขฟีโบนัชชี

ตัวเลขฟีโบนัชชีตั้งชื่อองค์ประกอบของลำดับตัวเลข ในนั้น แต่ละหมายเลขถัดไปในชุดจะได้มาโดยการรวมตัวเลขสองตัวก่อนหน้า

ลำดับตัวอย่าง: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

คุณสามารถเริ่มต้นชุดตัวเลข Fibonacci ด้วยค่าลบได้ n- ยิ่งไปกว่านั้น ลำดับในกรณีนี้เป็นแบบสองทาง (นั่นคือ ครอบคลุมทั้งจำนวนลบและจำนวนบวก) และมีแนวโน้มว่าจะไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง

ตัวอย่างของลำดับดังกล่าว: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

สูตรในกรณีนี้มีลักษณะดังนี้:

Fn = Fn+1 - Fn+2หรือคุณสามารถทำสิ่งนี้: F -n = (-1) n+1 Fn.

สิ่งที่เรารู้จักกันในชื่อ “ตัวเลขฟีโบนัชชี” เป็นที่รู้จักของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณมานานก่อนที่จะเริ่มใช้ในยุโรป และด้วยชื่อนี้โดยทั่วไปจะมีชื่อต่อเนื่องกัน เรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ ทางประวัติศาสตร์- เริ่มต้นด้วยความจริงที่ว่า Fibonacci ไม่เคยเรียกตัวเองว่า Fibonacci ในช่วงชีวิตของเขา - ชื่อนี้เริ่มนำไปใช้กับ Leonardo of Pisa เพียงไม่กี่ศตวรรษหลังจากการตายของเขา แต่มาพูดถึงทุกสิ่งตามลำดับ

เลโอนาร์โดแห่งปิซา หรือที่รู้จักกันในชื่อฟีโบนัชชี

ลูกชายของพ่อค้าที่กลายมาเป็นนักคณิตศาสตร์ และต่อมาได้รับการยอมรับจากรุ่นหลังว่าเป็นนักคณิตศาสตร์รายใหญ่คนแรกของยุโรปในยุคกลาง ไม่ท้ายสุดต้องขอบคุณตัวเลขฟีโบนัชชี (ซึ่งเราจำได้ว่ายังไม่ได้เรียกอย่างนั้น) ซึ่งเขาอธิบายไว้เมื่อต้นศตวรรษที่ 13 ในงานของเขาเรื่อง Liber abaci (“Book of Abacus”, 1202)

ฉันเดินทางไปกับพ่อไปทางทิศตะวันออก Leonardo ศึกษาคณิตศาสตร์กับครูชาวอาหรับ (และในสมัยนั้นพวกเขาอยู่ในสาขานี้และในสาขาวิทยาศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมายหนึ่งในนั้น ผู้เชี่ยวชาญที่ดีที่สุด- ผลงานของนักคณิตศาสตร์แห่งยุคโบราณและ อินเดียโบราณเขาอ่านเป็นฉบับแปลภาษาอาหรับ

หลังจากเข้าใจทุกสิ่งที่เขาอ่านอย่างถี่ถ้วนและใช้ความคิดที่อยากรู้อยากเห็นของตนเอง Fibonacci ได้เขียนบทความทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์หลายฉบับ รวมถึง "Book of Abacus" ที่กล่าวถึงข้างต้น นอกจากนี้ฉันยังสร้าง:

• "Practica geometriae" ("การฝึกเรขาคณิต", 1220);
• "Flos" ("ดอกไม้", 1225 - การศึกษาสมการลูกบาศก์);
• "Liber quadratorum" ("Book of Squares", 1225 - ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองไม่แน่นอน)

เขาเป็นแฟนตัวยงของการแข่งขันทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นในบทความของเขา เขาจึงให้ความสนใจเป็นอย่างมากกับการวิเคราะห์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่างๆ

มีข้อมูลชีวประวัติเหลือน้อยมากเกี่ยวกับชีวิตของเลโอนาร์โด สำหรับชื่อฟีโบนัชชีที่เขาเข้าสู่ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์นั้น ชื่อนี้ถูกกำหนดให้กับเขาในศตวรรษที่ 19 เท่านั้น

ฟีโบนัชชีและปัญหาของเขา

หลังจากที่ Fibonacci ยังคงอยู่ จำนวนมากปัญหาที่นักคณิตศาสตร์นิยมกันมากในศตวรรษต่อมา เราจะมาดูปัญหากระต่ายซึ่งแก้ไขโดยใช้ตัวเลขฟีโบนัชชี

กระต่ายไม่ได้เป็นเพียงขนที่มีคุณค่าเท่านั้น

Fibonacci กำหนดเงื่อนไขดังต่อไปนี้: มีกระต่ายแรกเกิดคู่หนึ่ง (ตัวผู้และตัวเมีย) ที่มีสายพันธุ์ที่น่าสนใจซึ่งพวกมันจะออกลูกเป็นประจำ (เริ่มตั้งแต่เดือนที่สอง) - จะมีกระต่ายคู่ใหม่หนึ่งคู่เสมอ อย่างที่คุณอาจเดาได้ว่าเป็นชายและหญิง

กระต่ายตามเงื่อนไขเหล่านี้ถูกวางไว้ในพื้นที่จำกัดและผสมพันธุ์ด้วยความกระตือรือร้น มีการกำหนดด้วยว่าไม่มีกระต่ายตัวเดียวตายจากโรคกระต่ายลึกลับ

เราต้องคำนวณว่าเราจะได้กระต่ายกี่ตัวในหนึ่งปี

• เมื่อต้นเดือนที่ 1 เรามีกระต่าย 1 คู่ เมื่อสิ้นเดือนพวกเขาจะผสมพันธุ์กัน
• เดือนที่สอง - เรามีกระต่าย 2 คู่แล้ว (คู่หนึ่งมีพ่อแม่ + 1 คู่คือลูกหลาน)
• เดือนที่สาม คู่แรกให้กำเนิดคู่ใหม่ คู่ที่สองออกคู่ รวม - กระต่าย 3 คู่
• เดือนที่สี่ คู่แรกออกคู่ใหม่ คู่ที่สองไม่เสียเวลาและยังออกคู่ใหม่ คู่ที่สามเพิ่งผสมพันธุ์ รวม - กระต่าย 5 คู่

จำนวนกระต่ายเข้า nเดือนที่ 3 = จำนวนกระต่ายคู่จากเดือนก่อน + จำนวนคู่แรกเกิด (มีจำนวนกระต่ายคู่เท่ากับกระต่ายคู่เมื่อ 2 เดือนก่อนตอนนี้) และทั้งหมดนี้อธิบายไว้ในสูตรที่เราให้ไว้ข้างต้น: Fn = Fn-1 + Fn-2.

ดังนั้นเราจึงได้รับการกำเริบ (คำอธิบายเกี่ยวกับ การเรียกซ้ำ- ด้านล่าง) ลำดับหมายเลข- โดยแต่ละหมายเลขถัดไปจะเท่ากับผลรวมของสองตัวก่อนหน้า:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

คุณสามารถทำลำดับต่อไปได้เป็นเวลานาน: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>- แต่เนื่องจากเราได้กำหนดระยะเวลาไว้ - หนึ่งปี เราจึงสนใจผลลัพธ์ที่ได้รับในวันที่ 12 "ย้าย" เหล่านั้น. สมาชิกคนที่ 13 ของลำดับ: 377

คำตอบของปัญหา: จะได้รับกระต่าย 377 ตัวหากตรงตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ทั้งหมด

คุณสมบัติอย่างหนึ่งของลำดับเลขฟีโบนัชชีนั้นน่าสนใจมาก หากคุณนำสองคู่ติดต่อกันจากอนุกรมและหารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่า ผลลัพธ์จะค่อยๆ เข้าใกล้ อัตราส่วนทองคำ(คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความ)

ในแง่คณิตศาสตร์ “ขีดจำกัดของความสัมพันธ์ n+1ถึง หนึ่งเท่ากับอัตราส่วนทองคำ”.

ปัญหาทฤษฎีจำนวนเพิ่มเติม

1. ค้นหาตัวเลขที่สามารถหารด้วย 7 ได้ นอกจากนี้ หากคุณหารด้วย 2, 3, 4, 5, 6 เศษที่เหลือจะเป็นหนึ่ง
2. หาเลขยกกำลังสอง. เป็นที่รู้กันว่าถ้าคุณบวก 5 หรือลบ 5 คุณจะได้เลขกำลังสองอีกครั้ง

เราขอแนะนำให้คุณค้นหาคำตอบสำหรับปัญหาเหล่านี้ด้วยตัวเอง คุณสามารถปล่อยให้เรามีตัวเลือกของคุณในความคิดเห็นในบทความนี้ จากนั้นเราจะบอกคุณว่าการคำนวณของคุณถูกต้องหรือไม่

คำอธิบายของการเรียกซ้ำ

การเรียกซ้ำ– คำจำกัดความ คำอธิบาย รูปภาพของวัตถุหรือกระบวนการที่มีวัตถุนี้หรือตัวกระบวนการเอง โดยพื้นฐานแล้ว วัตถุหรือกระบวนการเป็นส่วนหนึ่งของตัวมันเอง

การเรียกซ้ำมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ และแม้แต่ในศิลปะและวัฒนธรรมสมัยนิยม

หมายเลขฟีโบนัชชีถูกกำหนดโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ สำหรับเบอร์ n>2 n-จำนวน e เท่ากัน (น – 1) + (น – 2).

คำอธิบายของอัตราส่วนทองคำ

อัตราส่วนทองคำ- การแบ่งส่วนทั้งหมด (เช่น ส่วน) ออกเป็นส่วน ๆ ที่เกี่ยวข้องกันตามหลักการต่อไปนี้ ส่วนที่ใหญ่กว่าเกี่ยวข้องกับส่วนที่เล็กกว่าในลักษณะเดียวกับมูลค่าทั้งหมด (เช่น ผลรวมของสองส่วน) คือ ไปสู่ส่วนที่ใหญ่กว่า

การกล่าวถึงอัตราส่วนทองคำครั้งแรกสามารถพบได้ใน Euclid ในบทความเรื่อง "องค์ประกอบ" ของเขา (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) ในบริบทของการสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติ

คำที่เราคุ้นเคยเริ่มแพร่หลายในปี พ.ศ. 2378 โดย Martin Ohm นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

หากเราอธิบายอัตราส่วนทองคำโดยประมาณ จะแสดงถึงการแบ่งตามสัดส่วนออกเป็นสองส่วนที่ไม่เท่ากัน: ประมาณ 62% และ 38% ในแง่ตัวเลข อัตราส่วนทองคำคือตัวเลข 1,6180339887 .

อัตราส่วนทองคำนั้นนำไปใช้ได้จริงในวิจิตรศิลป์ (ภาพวาดของ Leonardo da Vinci และจิตรกรยุคเรอเนซองส์คนอื่นๆ) สถาปัตยกรรม ภาพยนตร์ (“Battleship Potemkin” โดย S. Esenstein) และพื้นที่อื่นๆ เชื่อกันมานานแล้วว่าอัตราส่วนทองคำเป็นสัดส่วนที่สวยงามที่สุด ความคิดเห็นนี้ยังคงเป็นที่นิยมในปัจจุบัน แม้ว่าจากผลการวิจัยคนส่วนใหญ่มองว่าสัดส่วนนี้เป็นตัวเลือกที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดและคิดว่ามันยาวเกินไป (ไม่สมส่วน)

• ความยาวส่วน กับ = 1, ก = 0,618, ข = 0,382.
• ทัศนคติ กับถึง ก = 1, 618.
• ทัศนคติ กับถึง ข = 2,618

ตอนนี้เรากลับมาที่ตัวเลขฟีโบนัชชี ลองเอาเทอมสองเทอมติดต่อกันจากลำดับของมันกัน หารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่า จะได้ประมาณ 1.618 และตอนนี้เราใช้ตัวเลขที่ใหญ่กว่าเท่าเดิมและสมาชิกตัวถัดไปของชุดข้อมูล (นั่นคือ ตัวเลขที่ใหญ่กว่านี้อีก) - อัตราส่วนของพวกมันอยู่ที่ช่วงต้นของ 0.618

นี่คือตัวอย่าง: 144, 233, 377

233/144 = 1.618 และ 233/377 = 0.618

อย่างไรก็ตาม หากคุณพยายามทำการทดลองเดียวกันกับตัวเลขตั้งแต่ต้นลำดับ (เช่น 2, 3, 5) จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น เกือบแล้ว แทบจะไม่ปฏิบัติตามกฎอัตราส่วนทองคำในช่วงเริ่มต้นของลำดับ แต่เมื่อคุณเลื่อนดูซีรีส์ไปเรื่อยๆ และตัวเลขเพิ่มขึ้น มันก็ใช้งานได้ดี

และเพื่อที่จะคำนวณชุดตัวเลขฟีโบนัชชีทั้งหมด ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้คำศัพท์สามคำในลำดับที่มาทีละคำ คุณสามารถเห็นสิ่งนี้ได้ด้วยตัวคุณเอง!

สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำและเกลียวฟีโบนัชชี

เส้นขนานที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งระหว่างตัวเลขฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำคือสิ่งที่เรียกว่า "สี่เหลี่ยมสีทอง" ซึ่งด้านข้างมีสัดส่วน 1.618 ต่อ 1 แต่เรารู้แล้วว่าตัวเลข 1.618 คืออะไรใช่ไหม

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาอนุกรม Fibonacci สองเทอมติดต่อกัน - 8 และ 13 - และสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้: width = 8, length = 13

จากนั้นเราจะแบ่งสี่เหลี่ยมใหญ่ออกเป็นส่วนเล็ก ๆ วิชาบังคับก่อน: ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมต้องสอดคล้องกับตัวเลขฟีโบนัชชี เหล่านั้น. ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าใหญ่ต้องเท่ากับผลรวมของด้านของสี่เหลี่ยมเล็กสองด้าน

วิธีการทำในรูปนี้ (เพื่อความสะดวก ตัวเลขจะเซ็นด้วยตัวอักษรละติน)

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมในลำดับย้อนกลับได้ เหล่านั้น. เริ่มสร้างด้วยสี่เหลี่ยมที่มีด้าน 1 โดยทำตามหลักการข้างต้นแล้วจึงต่อตัวเลขที่มีด้าน ตัวเลขเท่ากันฟีโบนัชชี. ตามทฤษฎีแล้ว สิ่งนี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่จำกัด อย่างไรก็ตาม ซีรีส์ Fibonacci นั้นไม่มีที่สิ้นสุดอย่างเป็นทางการ

หากเราเชื่อมต่อมุมของสี่เหลี่ยมที่ได้รับในรูปด้วยเส้นเรียบ เราจะได้เกลียวลอการิทึม หรือในกรณีพิเศษคือเกลียวฟีโบนัชชี โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันมีลักษณะที่ว่ามันไม่มีขอบเขตและไม่เปลี่ยนรูปร่าง

เกลียวที่คล้ายกันมักพบในธรรมชาติ เปลือกหอยเป็นตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดอย่างหนึ่ง นอกจากนี้กาแลคซีบางแห่งที่สามารถมองเห็นได้จากโลกยังมีรูปร่างเป็นเกลียวอีกด้วย หากคุณใส่ใจกับการพยากรณ์อากาศในทีวี คุณอาจสังเกตเห็นว่าพายุไซโคลนมีรูปร่างเป็นเกลียวคล้ายกันเมื่อถ่ายภาพจากดาวเทียม

เป็นที่สงสัยว่าเกลียว DNA นั้นก็เป็นไปตามกฎของส่วนสีทองเช่นกัน - รูปแบบที่สอดคล้องกันสามารถเห็นได้ในช่วงเวลาของการโค้งงอ

"ความบังเอิญ" ที่น่าทึ่งเช่นนี้ไม่สามารถกระตุ้นความคิดและก่อให้เกิดการพูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริธึมเดียวที่ปรากฏการณ์ทั้งหมดในชีวิตของจักรวาลเชื่อฟัง ตอนนี้คุณเข้าใจแล้วว่าทำไมบทความนี้ถึงถูกเรียกเช่นนี้? และประตูไหน. โลกที่น่าตื่นตาตื่นใจคณิตศาสตร์สามารถเปิดใจให้กับคุณได้ไหม?

ตัวเลขฟีโบนัชชีในธรรมชาติ

ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำแสดงให้เห็นรูปแบบที่น่าสนใจ น่าแปลกใจมากที่พยายามค้นหาลำดับที่คล้ายกับตัวเลขฟีโบนัชชีในธรรมชาติและแม้แต่ในระหว่างนั้น เหตุการณ์ทางประวัติศาสตร์- และธรรมชาติก็ก่อให้เกิดสมมติฐานเช่นนั้นจริงๆ แต่ทุกสิ่งในชีวิตของเราสามารถอธิบายและอธิบายโดยใช้คณิตศาสตร์ได้หรือไม่?

ตัวอย่างสิ่งมีชีวิตที่สามารถอธิบายได้โดยใช้ลำดับฟีโบนักชี:

• การจัดเรียงใบ (และกิ่งก้าน) ในพืช - ระยะห่างระหว่างใบไม้มีความสัมพันธ์กับหมายเลขฟีโบนัชชี (ฟิลโลแทกซิส)

• การจัดเรียงเมล็ดทานตะวัน (เมล็ดจะเรียงเป็นเกลียวสองแถวบิดเข้า) ทิศทางที่แตกต่างกัน: หนึ่งแถวตามเข็มนาฬิกา, อีกแถวทวนเข็มนาฬิกา);

• การจัดเรียงเกล็ดโคนต้นสน
• กลีบดอกไม้
• เซลล์สับปะรด
• อัตราส่วนความยาวของช่วงนิ้วบนมือมนุษย์ (โดยประมาณ) เป็นต้น

ปัญหาเชิงผสมผสาน

หมายเลขฟีโบนัชชีถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาเชิงร่วม

เชิงผสมเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาการเลือกองค์ประกอบจำนวนหนึ่งจากเซตที่กำหนด การแจงนับ ฯลฯ

ลองดูตัวอย่างปัญหาเชิงผสมผสานที่ออกแบบมาสำหรับระดับนั้น โรงเรียนมัธยมปลาย(ที่มา - http://www.problems.ru/)

งาน #1:

Lesha ปีนบันได 10 ขั้น คราวหนึ่งเขากระโดดขึ้นขั้นหนึ่งหรือสองขั้น Lesha สามารถขึ้นบันไดได้กี่วิธี?

จำนวนวิธีที่ Lesha สามารถขึ้นบันไดได้ nขั้นตอนที่เรามาแสดงกัน และ nมันเป็นไปตามนั้น 1 = 1, 2= 2 (ท้ายที่สุด Lesha กระโดดหนึ่งหรือสองก้าว)

มีการตกลงกันว่า Lesha กระโดดขึ้นบันไดจาก น> 2 ขั้นตอน สมมติว่าเขากระโดดสองก้าวในครั้งแรก ซึ่งหมายความว่าตามเงื่อนไขของปัญหา เขาจำเป็นต้องกระโดดอีกอันหนึ่ง n – 2ขั้นตอน จากนั้นอธิบายจำนวนวิธีในการปีนให้สำเร็จดังนี้ n–2- และถ้าเราคิดว่าครั้งแรกที่ Lesha กระโดดเพียงก้าวเดียว เราก็จะอธิบายจำนวนวิธีที่จะปีนให้สำเร็จเป็น n–1.

จากที่นี่เราได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: n = n–1 + n–2(ดูคุ้นเคยใช่ไหมล่ะ?)

เนื่องจากเรารู้ 1และ 2และจำไว้ว่าตามเงื่อนไขของปัญหามี 10 ขั้นตอน คำนวณทั้งหมดตามลำดับ หนึ่ง: 3 = 3, 4 = 5, 5 = 8, 6 = 13, 7 = 21, 8 = 34, 9 = 55, 10 = 89.

คำตอบ: 89 วิธี

งาน #2:

คุณต้องค้นหาจำนวนคำที่มีความยาว 10 ตัวอักษรที่ประกอบด้วยตัวอักษร "a" และ "b" เท่านั้น และต้องไม่มีตัวอักษร "b" สองตัวติดกัน

เรามาแสดงแทนด้วย หนึ่งความยาวจำนวนคำ nตัวอักษรที่มีเฉพาะตัวอักษร “a” และ “b” และไม่มีตัวอักษร “b” สองตัวติดกัน วิธี, 1= 2, 2= 3.

ตามลำดับ 1, 2, <…>, หนึ่งเราจะแสดงสมาชิกแต่ละคนถัดไปผ่านสมาชิกก่อนหน้านี้ ดังนั้นจำนวนคำที่มีความยาวคือ nตัวอักษรที่ไม่มีตัวอักษรคู่ "b" และขึ้นต้นด้วยตัวอักษร "a" คือ n–1- และถ้าคำนั้นยาว nตัวอักษรเริ่มต้นด้วยตัวอักษร "b" มันเป็นเหตุผลที่ตัวอักษรถัดไปในคำดังกล่าวคือ "a" (ท้ายที่สุดแล้วไม่สามารถมี "b" สองตัวได้ตามเงื่อนไขของปัญหา) ดังนั้นจำนวนคำที่มีความยาวคือ nในกรณีนี้เราแสดงว่าตัวอักษรเป็น n–2- ทั้งในกรณีแรกและกรณีที่สอง คำใดๆ (ความยาวของ n – 1และ n – 2ตัวอักษรตามลำดับ) โดยไม่มี "b" สองตัว

เราสามารถให้เหตุผลได้ว่าทำไม n = n–1 + n–2.

ให้เราคำนวณตอนนี้ 3= 2+ 1= 3 + 2 = 5, 4= 3+ 2= 5 + 3 = 8, <…>, 10= 9+ 8= 144 และเราได้ลำดับฟีโบนัชชีที่คุ้นเคย

คำตอบ: 144.

งาน #3:

ลองนึกภาพว่ามีเทปแบ่งออกเป็นเซลล์ มันไปทางขวาและคงอยู่ตลอดไป วางตั๊กแตนไว้ที่ช่องแรกของเทป ไม่ว่าเขาจะอยู่ในเซลล์ใดของเทป เขาสามารถเลื่อนไปทางขวาได้เท่านั้น: เซลล์เดียวหรือสองเซลล์ มีกี่วิธีที่ตั๊กแตนสามารถกระโดดจากจุดเริ่มต้นของเทปไปถึงได้ n-th เซลล์?

ให้เราแสดงจำนวนวิธีในการเคลื่อนย้ายตั๊กแตนไปตามสายพาน n-th เซลล์ชอบ หนึ่ง- ในกรณีนั้น 1 = 2= 1. เข้าด้วย n+1ตั๊กแตนสามารถเข้าสู่เซลล์ -th ได้จาก n-th เซลล์หรือโดยการกระโดดข้ามมัน จากที่นี่ n + 1 = n – 1 + หนึ่ง- ที่ไหน หนึ่ง = เอฟเอ็น – 1.

คำตอบ: เอฟเอ็น – 1.

คุณสามารถสร้างปัญหาที่คล้ายกันได้ด้วยตัวเองและพยายามแก้ไขในบทเรียนคณิตศาสตร์กับเพื่อนร่วมชั้น

ตัวเลขฟีโบนัชชีในวัฒนธรรมสมัยนิยม

แน่นอนว่าปรากฏการณ์ที่ไม่ธรรมดาเช่นตัวเลข Fibonacci ไม่สามารถดึงดูดความสนใจได้ ยังมีบางสิ่งที่น่าดึงดูดและลึกลับในรูปแบบที่ได้รับการตรวจสอบอย่างเข้มงวดนี้ จึงไม่น่าแปลกใจที่ลำดับฟีโบนัชชีจะ "สว่างขึ้น" ในงานสมัยใหม่หลายชิ้น วัฒนธรรมสมัยนิยมหลากหลายประเภท

เราจะบอกคุณเกี่ยวกับบางส่วนของพวกเขา และคุณพยายามค้นหาตัวเองอีกครั้ง หากคุณพบมัน แบ่งปันกับเราในความคิดเห็น – เราก็อยากรู้เหมือนกัน!

• หมายเลขฟีโบนัชชีถูกกล่าวถึงในหนังสือขายดีของแดน บราวน์ รหัสดาวินชี: ลำดับฟีโบนักชีทำหน้าที่เป็นรหัสที่ตัวละครหลักของหนังสือใช้เพื่อเปิดตู้เซฟ
• ในภาพยนตร์อเมริกันปี 2009 เรื่อง Mr.Nobody ในตอนหนึ่งที่อยู่ของบ้านเป็นส่วนหนึ่งของลำดับฟีโบนัชชี - 12358 นอกจากนี้ ในอีกตอนหนึ่ง ตัวละครหลักจะต้องโทรไปยังหมายเลขโทรศัพท์ที่เหมือนกันแต่บิดเบี้ยวเล็กน้อย ( หลักพิเศษหลังหมายเลข 5) ลำดับ: 123-581-1321
• ในซีรีส์ปี 2012 เรื่อง Connection ตัวละครหลักซึ่งเป็นเด็กชายที่ป่วยเป็นโรคออทิสติก สามารถแยกแยะรูปแบบในเหตุการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้นในโลกได้ รวมถึงผ่านเลขฟีโบนัชชี และจัดการกิจกรรมเหล่านี้ผ่านตัวเลขด้วย
• นักพัฒนาเกม Java สำหรับ โทรศัพท์มือถือ Doom RPG วางอยู่บนระดับใดระดับหนึ่ง ประตูลับ- รหัสที่เปิดขึ้นมาคือลำดับฟีโบนัชชี
• ในปี 2012 วงร็อคชาวรัสเซีย Splin ได้เปิดตัวอัลบั้มแนวคิด "Optical Deception" แทร็กที่แปดเรียกว่า “ฟีโบนัชชี” โองการของผู้นำกลุ่ม Alexander Vasiliev เล่นตามลำดับเลขฟีโบนัชชี สำหรับแต่ละเทอมเก้าติดต่อกันจะมีจำนวนบรรทัดที่สอดคล้องกัน (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 รถไฟออกเดินทางแล้ว

1 ข้อต่อหนึ่งหัก

1 แขนเสื้อข้างหนึ่งสั่น

2 นั่นสิ ไปเอาของมา

นั่นสิ ไปเอาของมา

3 ขอน้ำเดือด

รถไฟไปที่แม่น้ำ

รถไฟวิ่งผ่านไทกา<…>.

• โคลง (บทกวีสั้นในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง โดยปกติแล้วจะมีห้าบรรทัดที่มีรูปแบบสัมผัสเฉพาะ มีเนื้อหาที่ตลกขบขัน โดยบรรทัดแรกและบรรทัดสุดท้ายซ้ำหรือซ้ำกันบางส่วน) โดย James Lyndon ยังใช้การอ้างอิงถึง Fibonacci ลำดับเป็นบรรทัดฐานที่ตลกขบขัน:

อาหารอันหนาแน่นของภรรยาของฟีโบนัชชี

มันเป็นเพียงเพื่อผลประโยชน์ของพวกเขาเท่านั้นไม่มีอะไรอื่นใด

ภรรยาก็ชั่งน้ำหนักตามข่าวลือ

แต่ละคนก็เหมือนสองคนก่อนหน้า

มาสรุปกัน

เราหวังว่าเราจะสามารถบอกคุณถึงสิ่งที่น่าสนใจและมีประโยชน์มากมายในวันนี้ ตัวอย่างเช่น ตอนนี้คุณสามารถมองหาเกลียว Fibonacci ในธรรมชาติรอบตัวคุณได้ บางทีคุณอาจจะเป็นคนที่สามารถไข "ความลับของชีวิต จักรวาล และโดยทั่วไป" ได้

ใช้สูตรสำหรับตัวเลขฟีโบนัชชีในการแก้ปัญหาเชิงรวมกัน คุณสามารถพึ่งพาตัวอย่างที่อธิบายไว้ในบทความนี้ได้

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา