เครื่องหมายสำหรับเปรียบเทียบการลู่เข้าของอินทิกรัล อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม ทฤษฎีบทเปรียบเทียบอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม

อนุกรมสลับ คือ อนุกรมที่มีพจน์เป็นบวกและลบสลับกัน - บ่อยครั้งที่มีการพิจารณาอนุกรมการสลับ โดยคำศัพท์จะสลับกันทีละรายการ โดยแต่ละค่าบวกจะตามด้วยค่าลบ และค่าลบแต่ละค่าจะตามด้วยค่าบวก แต่มีแถวสลับกันซึ่งสมาชิกจะสลับกันเป็นสองสามแถวไปเรื่อยๆ

ลองพิจารณาตัวอย่างซีรีส์สลับกันซึ่งมีจุดเริ่มต้นดังนี้:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

และทันที กฎทั่วไปบันทึกการสลับแถว

เช่นเดียวกับซีรี่ส์อื่นๆ หากต้องการดำเนินการต่อซีรีส์ที่กำหนด คุณต้องระบุฟังก์ชันที่กำหนดคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นั้น ในกรณีของเรามันเป็น n + 2 .

จะตั้งค่าการสลับสัญญาณของสมาชิกของซีรีส์ได้อย่างไร? การคูณฟังก์ชันด้วยลบหนึ่งได้ระดับหนึ่ง ขนาดไหน? ให้เราเน้นย้ำทันทีว่าไม่ใช่ทุกระดับจะรับประกันการสลับสัญญาณสำหรับเงื่อนไขของซีรีส์

สมมติว่าเราต้องการให้เทอมแรกของอนุกรมสลับกันมีเครื่องหมายบวก ดังตัวอย่างข้างต้น จากนั้นลบหนึ่งจะต้องยกกำลัง n− 1 . เริ่มแทนที่ตัวเลขโดยเริ่มจากหนึ่งเป็นนิพจน์นี้แล้วคุณจะได้ เป็นเลขชี้กำลังที่ลบ 1 จะเป็นเลขคู่หรือไม่ก็ได้ เลขคู่- นี่คือมัน สภาพที่จำเป็นป้ายสลับ! เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันเมื่อ n+ 1 . ถ้าเราต้องการให้เทอมแรกของอนุกรมการสลับมีเครื่องหมายลบ เราก็สามารถกำหนดอนุกรมนี้ได้โดยการคูณฟังก์ชันของเทอมทั่วไปด้วย 1 ยกกำลัง n- เราได้เลขคู่ เลขคี่ และอื่นๆ ดังที่เราเห็นเงื่อนไขที่อธิบายไว้แล้วสำหรับสัญญาณสลับนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขแล้ว

ดังนั้น เราสามารถเขียนอนุกรมการสลับข้างต้นในรูปแบบทั่วไปได้:

หากต้องการสลับเครื่องหมายของสมาชิกอนุกรม กำลังลบ 1 อาจเป็นผลรวมได้ nและจำนวนบวกหรือลบ จำนวนคู่หรือคี่ เช่นเดียวกับ 3 n , 5n, ... นั่นคือการสลับสัญญาณของสมาชิกของอนุกรมสลับกันจะให้ระดับที่ลบ 1 ในรูปของผลรวม nคูณด้วยจำนวนคี่และจำนวนใดๆ

พลังใดที่ลบหนึ่งไม่รับประกันการสลับสัญญาณของเงื่อนไขของซีรีส์? สิ่งที่มีอยู่ในรูปแบบ nคูณด้วยเลขคู่ใดๆ ที่ได้บวกเลขใดๆ รวมทั้งศูนย์ คู่หรือคี่ลงไปด้วย ตัวอย่างตัวบ่งชี้ระดับดังกล่าว: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... ในกรณียกกำลังดังกล่าวขึ้นอยู่กับจำนวน "en" ที่บวกเข้ากับเลขคู่คูณด้วยเลขคู่จะได้เฉพาะเลขคู่หรือเลขคี่เท่านั้นซึ่งตามที่เราทราบแล้วไม่ได้ ให้สลับเครื่องหมายของข้อกำหนดของซีรีส์

ซีรีย์สลับ - กรณีพิเศษ ซีรีย์สลับกัน . อนุกรมสลับกันเป็นอนุกรมที่มีเงื่อนไขของสัญญาณตามอำเภอใจ นั่นคือสิ่งที่สามารถเป็นบวกและลบในลำดับใดก็ได้ ตัวอย่างซีรีย์สลับ:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

ต่อไปเราจะพิจารณาสัญญาณของการบรรจบกันของอนุกรมสลับและสลับกัน การบรรจบกันแบบมีเงื่อนไขของชุดสัญญาณที่สลับกันสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้การทดสอบไลบ์นิซ และสำหรับอนุกรมที่กว้างกว่า - อนุกรมแบบสลับ (รวมถึงอนุกรมแบบสลับ) - จะใช้เกณฑ์ของการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

การบรรจบกันของชุดสัญญาณสลับกัน บททดสอบของไลบ์นิซ

สำหรับชุดสัญญาณสลับกัน เกณฑ์การบรรจบกันต่อไปนี้ถือเป็นเกณฑ์ - เกณฑ์ไลบ์นิซ

ทฤษฎีบท (ทดสอบไลบ์นิซ)อนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมจะไม่เกินเทอมแรกหากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้พร้อมกัน:

• ค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขของอนุกรมสลับลดลง: คุณ1 > คุณ 2 > คุณ 3 > ... > คุณน>...;
• ขีดจำกัดของคำทั่วไปโดยเพิ่มขึ้นไม่จำกัด nเท่ากับศูนย์

ผลที่ตามมา หากเรานำผลรวมของอนุกรมสลับมาเป็นผลรวมของอนุกรมนั้น nเงื่อนไข ข้อผิดพลาดที่อนุญาตจะไม่เกินค่าสัมบูรณ์ของคำแรกที่ถูกละทิ้ง

ตัวอย่างที่ 1ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย. นี่เป็นซีรีย์สลับกัน ค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกลดลง:

และขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไป

เท่ากับศูนย์:

ทั้งสองเงื่อนไขของการทดสอบไลบ์นิซเป็นที่น่าพอใจ ดังนั้นอนุกรมจึงมาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 2ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย. นี่เป็นซีรีย์สลับกัน ก่อนอื่นเราพิสูจน์ว่า:

, .

ถ้า เอ็น= 1 แล้วสำหรับทั้งหมด n > เอ็นความไม่เท่าเทียมกัน 12 ถือ n − 7 > n- ในทางกลับกันสำหรับทุกคน n- ดังนั้นนั่นคือเงื่อนไขของอนุกรมจะลดลงในค่าสัมบูรณ์ ให้เราค้นหาขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้ (โดยใช้ กฎของโลปิตาล):

ขีดจำกัดของคำทั่วไปคือศูนย์ ทั้งสองเงื่อนไขของเกณฑ์ไลบ์นิซเป็นที่พอใจ ดังนั้นคำตอบสำหรับคำถามเรื่องการลู่เข้าจึงเป็นไปในเชิงบวก

ตัวอย่างที่ 3ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย. เพราะมีซีรีย์สลับกัน ให้เราดูว่าเป็นไปตามเงื่อนไขแรกของเกณฑ์ไลบ์นิซหรือไม่นั่นคือข้อกำหนด เพื่อให้เป็นไปตามข้อกำหนดจำเป็นต้องมีสิ่งนั้น

เราได้ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับทุกคน n > 0 - เกณฑ์แรกของไลบ์นิซเป็นที่พอใจ เรามาค้นหาขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้กัน:

.

ขีดจำกัดไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น เงื่อนไขที่สองของเกณฑ์ไลบ์นิซจึงไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้นการลู่เข้าจึงไม่เป็นปัญหา

ตัวอย่างที่ 4ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย. ในชุดนี้ มีพจน์ที่เป็นลบ 2 พจน์ที่ตามด้วยพจน์บวก 2 พจน์ ชุดนี้ก็มีสลับกัน มาดูกันว่าเป็นไปตามเงื่อนไขแรกของการทดสอบของไลบ์นิซหรือไม่

เป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับทุกคน n > 1 - เกณฑ์แรกของไลบ์นิซเป็นที่พอใจ มาดูกันว่าขีดจำกัดของเทอมทั่วไปเท่ากับศูนย์หรือไม่ (ใช้กฎของโลปิตาล):

.

เราได้ศูนย์ ดังนั้น ทั้งสองเงื่อนไขของการทดสอบของไลบ์นิซจึงเป็นที่พอใจ การบรรจบกันกำลังเกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 5ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย. นี่เป็นซีรีย์สลับกัน มาดูกันว่าเป็นไปตามเงื่อนไขแรกของการทดสอบของไลบ์นิซหรือไม่ เพราะ

,

เพราะ n ≥ 0 จากนั้น 3 n+ 2 > 0 . ในทางกลับกันสำหรับทุกคน nเพราะเหตุนั้น. ดังนั้นเงื่อนไขของอนุกรมจึงลดลงในค่าสัมบูรณ์ เกณฑ์แรกของไลบ์นิซเป็นที่พอใจ ลองดูว่าขีดจำกัดของพจน์ทั่วไปของอนุกรมนี้เท่ากับศูนย์หรือไม่ (ใช้กฎของโลปิตัล):

.

เราได้ค่าเป็นศูนย์ เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองของการทดสอบของไลบ์นิซ ดังนั้นชุดข้อมูลนี้จึงมาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 6ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย. ให้เราดูว่าเงื่อนไขแรกของการทดสอบไลบ์นิซเป็นไปตามชุดสลับนี้หรือไม่:

เงื่อนไขของอนุกรมจะลดลงในค่าสัมบูรณ์ เกณฑ์แรกของไลบ์นิซเป็นที่พอใจ มาดูกันว่าขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่:

.

ขีดจำกัดของคำทั่วไปไม่ใช่ศูนย์ เงื่อนไขที่สองของเกณฑ์ของไลบ์นิซไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้นซีรีย์นี้จึงแตกต่าง

บททดสอบของไลบ์นิซเป็นสัญญาณ การบรรจบกันแบบมีเงื่อนไขแถว- ซึ่งหมายความว่าสามารถเสริมข้อสรุปเกี่ยวกับการลู่เข้าและความแตกต่างของอนุกรมการสลับที่พิจารณาข้างต้นได้: อนุกรมเหล่านี้มาบรรจบกัน (หรือแยกออก) แบบมีเงื่อนไข

การบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ของซีรีย์สลับกัน

ปล่อยให้แถว

– ป้ายสลับ. ให้เราพิจารณาชุดที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิก:

คำนิยาม. กล่าวกันว่าซีรีส์จะบรรจบกันอย่างแน่นอนหากซีรีส์ที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกมาบรรจบกัน ถ้าอนุกรมสลับมาบรรจบกันและอนุกรมที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกแยกออกจากกัน อนุกรมสลับดังกล่าวจะถูกเรียกว่า บรรจบกันอย่างมีเงื่อนไขหรือไม่โดยสิ้นเชิง .

ทฤษฎีบท.หากอนุกรมมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง มันก็จะบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 7ตรวจสอบว่าอนุกรมมาบรรจบกันหรือไม่

สารละลาย. ที่สอดคล้องกับซีรี่ส์นี้ถัดจากแง่บวกคือซีรีส์นี้ อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปซึ่งในซีรีส์นี้จึงมีความแตกต่างกัน ให้เราตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขของการทดสอบไลบ์นิซหรือไม่

ลองเขียนค่าสัมบูรณ์ของห้าเทอมแรกของอนุกรม:

.

ดังที่เราเห็น เงื่อนไขของอนุกรมจะลดลงในค่าสัมบูรณ์ เกณฑ์แรกของไลบ์นิซเป็นที่พอใจ มาดูกันว่าขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่:

เราได้ค่าเป็นศูนย์ เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองของเกณฑ์ของไลบนิซ นั่นคือตามเกณฑ์ของไลบ์นิซการบรรจบกันเกิดขึ้น และอนุกรมที่สอดคล้องกันซึ่งมีพจน์เชิงบวกต่างกัน ดังนั้นซีรี่ส์นี้จึงมาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 8ตรวจสอบว่าอนุกรมมาบรรจบกันหรือไม่

โดยสิ้นเชิง มีเงื่อนไข หรือแตกต่างออกไป

สารละลาย. ที่สอดคล้องกับอนุกรมนี้ถัดจากเทอมบวกคืออนุกรม นี่คืออนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป ซึ่งอนุกรมจะแยกออกไป ตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขของการทดสอบไลบ์นิซหรือไม่

แถว

เลยแจกซีรีย์. ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n))และ α = ลิม วาง n → ∞ ⁡ | n |

n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))) - แล้วและ ข้อความเกี่ยวกับการลู่เข้าในการทดสอบ Cauchy และ d'Alembert ได้มาจากการเปรียบเทียบกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (พร้อมตัวส่วนลิม Â n → ∞ ⁡ |

n + 1 n |

(\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)

เลยแจกซีรีย์. α (\displaystyle \alpha )ตามลำดับ) เกี่ยวกับความแตกต่าง - จากข้อเท็จจริงที่ว่าคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมไม่ได้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ การทดสอบของ Cauchy นั้นแข็งแกร่งกว่าการทดสอบของ D'Alembert ในแง่ที่ว่า ถ้าการทดสอบของ D'Alembert บ่งชี้ถึงการลู่เข้า การทดสอบของ Cauchy บ่งชี้ถึงการลู่เข้า ถ้าการทดสอบของ Cauchy ไม่อนุญาตให้ใครได้ข้อสรุปเกี่ยวกับการลู่เข้า การทดสอบของ D'Alembert ก็ไม่อนุญาตให้ใครได้ข้อสรุปใดๆ มีชุดการทดสอบหลายชุดที่การทดสอบของ Cauchy บ่งชี้ถึงการลู่เข้า แต่การทดสอบของ D'Alembert ไม่ได้บ่งชี้ถึงการลู่เข้ากันการทดสอบอินทิกรัลคอชี-แมคคลอริน

∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) และฟังก์ชั่น f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) เช่นนั้น:แล้วซีรีย์ ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))

และอินทิกรัล

เลยแจกซีรีย์. ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)และ มาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกันและ.

∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

สัญญาณของราเบ้

n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)

R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)) การทดสอบของ Raabe เป็นการเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป- สำหรับแถวนี้:

ดังนั้น การทดสอบของ Cauchy บ่งชี้ถึงการลู่เข้า ในขณะที่การทดสอบของ D'Alembert ไม่อนุญาตให้เราสรุปผลใดๆ ได้

R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)) ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

ดังนั้น การทดสอบของ Cauchy บ่งบอกถึงความแตกต่าง ในขณะที่การทดสอบของ D'Alembert ไม่อนุญาตให้เราสรุปผลใดๆ ได้

แถว ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha ))))มาบรรจบกันที่ α > 1 (\displaystyle \alpha >1)และแตกต่างออกไปที่ α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), อย่างไรก็ตาม:

ดังนั้นสัญญาณของ Cauchy และ d'Alembert จึงไม่อนุญาตให้เราสรุปได้

แถว ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))มาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไขตามเกณฑ์ของไลบ์นิซ แต่ไม่ทั้งหมด เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิก ∑ n = 1 ∞ |(- 1) ไม่มี |

= ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) แตกต่างไม่จำกัดบริเวณด้านซ้ายของจุด ข (\displaystyle b)- อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมของประเภทที่สอง ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)เรียกว่า บรรจบกันอย่างแน่นอน.

ถ้าอินทิกรัลมาบรรจบกัน

∫ เป็น ข |

ฉ(x) |

d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx)

ตอนนี้เรามาดูการศึกษาซีรีส์ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงของสัญลักษณ์ใด ๆ

คำจำกัดความ 1. เราจะเรียกซีรีส์นี้ว่า

บรรจบกันอย่างแน่นอนหากซีรีส์มาบรรจบกัน

โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับว่าซีรีส์ (1.49) นั้นจะถือว่ามาบรรจบกันหรือไม่ ปรากฎว่าสมมติฐานดังกล่าวไม่จำเป็น เนื่องจากทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 1.9 การบรรจบกันของอนุกรม (1.50) หมายถึงการบรรจบกันของอนุกรม (1.49)

การพิสูจน์. ให้เราใช้เกณฑ์ Cauchy สำหรับอนุกรมนี้ (เช่น ทฤษฎีบท 1.1) จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนใดๆ จะต้องมีจำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไข และสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ อสมการต่อไปนี้จะเป็นจริง:

เราแก้ไขใดๆ. เนื่องจากอนุกรม (1.50) มาบรรจบกัน ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1.1 จึงมีจำนวนจำนวนหนึ่งที่ตรงตามเงื่อนไข และสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ จะมีค่าอสมการดังต่อไปนี้:

ซีรีส์นี้มาบรรจบกันอย่างแน่นอนเพราะเมื่อซีรีส์ (1.33) มาบรรจบกัน

ให้เรายกตัวอย่างอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ให้เราพิสูจน์การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขของอนุกรมนี้

เนื่องจากอนุกรมของโมดูลที่สอดคล้องกัน (อนุกรมฮาร์มอนิก) ดังที่เราทราบอยู่แล้ว แยกออก จากนั้นเพื่อพิสูจน์การลู่เข้าตามเงื่อนไขของอนุกรม (1.54) ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าอนุกรมนี้มาบรรจบกัน ให้เราพิสูจน์ว่าอนุกรม (1.54) มาบรรจบกันเป็นจำนวน . ในวรรค 2 § 9 ช. 6 ส่วนที่ 1 เราได้การสลายตัวตามสูตร Maclaurin ของฟังก์ชัน

ที่นั่น สำหรับ x ทั้งหมดจากเซ็กเมนต์ จะได้ค่าประมาณของระยะเวลาที่เหลือดังต่อไปนี้