Tesseract และลูกบาศก์ n มิติโดยทั่วไป Cybercube - ก้าวแรกสู่มิติที่สี่ ลูกบาศก์ gif 4 มิติ

ในเรขาคณิต ไฮเปอร์คิวบ์- นี้ n- การเปรียบเทียบมิติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ( n= 2) และลูกบาศก์ ( n= 3) เป็นรูปนูนปิดที่ประกอบด้วยกลุ่มของเส้นคู่ขนานที่อยู่บนขอบด้านตรงข้ามของรูป และเชื่อมต่อกันเป็นมุมฉาก

ตัวเลขนี้เรียกอีกอย่างว่า เทสเซอร์แรค(เทสเซอร์แรคต์). เทสเซอร์แรกต์อยู่ที่ลูกบาศก์ในขณะที่ลูกบาศก์อยู่ที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างเป็นทางการมากขึ้น tesseract สามารถอธิบายได้ว่าเป็นโพลีโทปสี่มิตินูนปกติ (รูปทรงหลายเหลี่ยม) ซึ่งมีขอบเขตประกอบด้วยเซลล์แปดลูกบาศก์

ตามพจนานุกรมภาษาอังกฤษของ Oxford คำว่า "tesseract" ได้รับการประกาศเกียรติคุณในปี พ.ศ. 2431 โดย Charles Howard Hinton และใช้ในหนังสือของเขา "A New Era of Thought" คำนี้มาจากภาษากรีก "τεσσερες ακτινες" ("สี่รังสี") ในรูปแบบของแกนพิกัดสี่แกน นอกจากนี้ในบางแหล่งก็มีการเรียกตัวเลขเดียวกันนี้ เตตราคิวบ์(เตตร้าคิวบ์).

n-มิติไฮเปอร์คิวบ์เรียกอีกอย่างว่า n-คิวบ์.

จุดคือไฮเปอร์คิวบ์ที่มีมิติ 0 หากคุณเลื่อนจุดตามหน่วยความยาว คุณจะได้ส่วนของความยาวหน่วย - ไฮเปอร์คิวบ์ที่มีมิติ 1 นอกจากนี้ หากคุณเลื่อนจุดนั้นด้วยหน่วยความยาวในทิศทางตั้งฉาก ไปยังทิศทางของส่วนคุณจะได้ลูกบาศก์ - ไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ 2 เลื่อนสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามหน่วยความยาวในทิศทาง ตั้งฉากกับเครื่องบินสี่เหลี่ยมเราจะได้ลูกบาศก์ - ไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ 3 กระบวนการนี้สามารถสรุปได้กับมิติจำนวนเท่าใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณย้ายลูกบาศก์หนึ่งหน่วยความยาวในมิติที่สี่ คุณจะได้ค่าเทสเซอร์แรคต์

ตระกูลไฮเปอร์คิวบ์เป็นหนึ่งในรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงไม่กี่ชิ้นที่สามารถแสดงได้ทุกมิติ

องค์ประกอบของไฮเปอร์คิวบ์

มิติไฮเปอร์คิวบ์ nมี 2 n"ด้าน" (เส้นหนึ่งมิติมี 2 จุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติมี 4 ด้าน และสามด้าน ลูกบาศก์วัด- 6 ขอบ; tesseract สี่มิติ - 8 เซลล์) จำนวนจุดยอด (จุด) ของไฮเปอร์คิวบ์คือ 2 n(ตัวอย่างเช่นสำหรับคิวบ์ - 2 3 จุดยอด)

ปริมาณ ม-มิติไฮเปอร์คิวบ์บนขอบเขต n-คิวบ์เท่ากับ

ตัวอย่างเช่น บนขอบเขตของไฮเปอร์คิวบ์จะมีลูกบาศก์ 8 อัน สี่เหลี่ยม 24 อัน ขอบ 32 อัน และจุดยอด 16 อัน

องค์ประกอบของไฮเปอร์คิวบ์

n-คิวบ์	ชื่อ	จุดยอด (0-หน้า)	ขอบ (1 หน้า)	ขอบ (2 หน้า)	เซลล์ (3 หน้า)	(4 หน้า)	(5 หน้า)	(6 ด้าน)	(7 หน้า)	(8 หน้า)
0-คิวบ์	จุด	1
1 ลูกบาศก์	เซ็กเมนต์	2	1
2 ลูกบาศก์	สี่เหลี่ยม	4	4	1
3 ลูกบาศก์	คิวบ์	8	12	6	1
4 ลูกบาศก์	เทสเซอร์แรค	16	32	24	8	1
5 ลูกบาศก์	เพนเทอร์แรคท์	32	80	80	40	10	1
6 ลูกบาศก์	เฮกเซอร์แรคท์	64	192	240	160	60	12	1
7 คิวบ์	เฮปเทอแรคท์	128	448	672	560	280	84	14	1
8 ลูกบาศก์	ออคเตแรคท์	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9 ลูกบาศก์	เอเนเนอแรคท์	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

การฉายภาพบนเครื่องบิน

การก่อตัวของไฮเปอร์คิวบ์สามารถแสดงได้ดังนี้:

• สามารถเชื่อมต่อจุด A และ B สองจุดเพื่อสร้างส่วนของเส้นตรง AB
• ส่วนขนาน AB และ CD สองส่วนสามารถนำมาต่อกันเป็น ABCD สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้
• สามารถเชื่อมต่อสี่เหลี่ยมคู่ขนาน ABCD และ EFGH เข้าด้วยกันเป็นลูกบาศก์ ABCDEFGH
• ลูกบาศก์คู่ขนาน ABCDEFGH และ IJKLMNOP สามารถเชื่อมต่อกันเพื่อสร้างไฮเปอร์คิวบ์ ABCDEFGHIJKLMNOP

โครงสร้างหลังไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะเห็นภาพ แต่สามารถพรรณนาการฉายภาพในพื้นที่สองมิติหรือสามมิติได้ นอกจากนี้ การฉายภาพบนระนาบสองมิติยังมีประโยชน์มากกว่าโดยให้ตำแหน่งของจุดยอดที่ฉายสามารถจัดเรียงใหม่ได้ ในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะได้ภาพที่ไม่สะท้อนความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ขององค์ประกอบภายในเทสเซอร์แรคอีกต่อไป แต่แสดงให้เห็นโครงสร้างของการเชื่อมต่อจุดยอด ดังตัวอย่างด้านล่าง

ภาพประกอบแรกแสดงให้เห็นว่าตามหลักการแล้ว เทสเซอร์แรกต์เกิดขึ้นได้อย่างไรโดยการต่อลูกบาศก์สองลูกเข้าด้วยกัน โครงร่างนี้คล้ายกับโครงร่างการสร้างลูกบาศก์จากสองช่องสี่เหลี่ยม แผนภาพที่สองแสดงให้เห็นว่าขอบทั้งหมดของเทสเซอร์แรคมี ความยาวเท่ากัน- โครงการนี้ยังบังคับให้คุณมองหาลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อถึงกัน ในแผนภาพที่สาม จุดยอดของ tesseract จะอยู่ในตำแหน่งตามระยะห่างของใบหน้าที่สัมพันธ์กับจุดด้านล่าง โครงร่างนี้น่าสนใจเนื่องจากใช้เป็นโครงร่างพื้นฐานสำหรับโทโพโลยีเครือข่ายของการเชื่อมต่อโปรเซสเซอร์เมื่อจัดระบบคอมพิวเตอร์แบบขนาน: ระยะห่างระหว่างสองโหนดใดๆ จะต้องไม่เกิน 4 ความยาวขอบ และมีเส้นทางที่แตกต่างกันมากมายสำหรับการปรับสมดุลโหลด

ไฮเปอร์คิวบ์ในงานศิลปะ

ไฮเปอร์คิวบ์ปรากฏในวรรณกรรมนิยายวิทยาศาสตร์มาตั้งแต่ปี 1940 เมื่อ Robert Heinlein ในเรื่อง "And He Built a Crooked House" บรรยายถึงบ้านที่สร้างขึ้นในรูปทรงของการสแกนเทสเซอร์แรค ในเรื่องนี้ This Next บ้านหลังนี้พังทลายลงมากลายเป็นเทสเซอร์แรคสี่มิติ หลังจากนั้นไฮเปอร์คิวบ์ก็ปรากฏในหนังสือและเรื่องสั้นหลายเล่ม

ภาพยนตร์เรื่อง Cube 2: Hypercube เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับคนแปดคนที่ติดอยู่ในเครือข่ายของไฮเปอร์คิวบ์

ภาพวาดของซัลวาดอร์ ดาลีเรื่อง "การตรึงกางเขน (คอร์ปัส ไฮเปอร์คิวบัส)" ในปี 1954 แสดงให้เห็นพระเยซูถูกตรึงบนไม้กางเขนด้วยการสแกนเทสเซอร์แรค ภาพวาดนี้สามารถเห็นได้ในพิพิธภัณฑ์ศิลปะเมโทรโพลิทันในนิวยอร์ก

บทสรุป

ไฮเปอร์คิวบ์เป็นหนึ่งในวัตถุสี่มิติที่ง่ายที่สุดในตัวอย่างที่คุณสามารถเห็นความซับซ้อนและความผิดปกติทั้งหมด มิติที่สี่- และสิ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ในสามมิตินั้นเป็นไปได้ในสี่มิติ เช่น ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น แท่งของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ในสี่มิติจะเชื่อมต่อกันเป็นมุมฉาก และตัวเลขนี้จะมีลักษณะเช่นนี้จากทุกมุมมอง และจะไม่บิดเบี้ยว ต่างจากการนำสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ไปใช้ในพื้นที่สามมิติ (ดู

หากเกิดเหตุการณ์ผิดปกติกับคุณ คุณเห็นสิ่งมีชีวิตแปลก ๆ หรือปรากฏการณ์ที่ไม่สามารถเข้าใจได้ คุณฝันผิดปกติ คุณเห็นยูเอฟโอบนท้องฟ้า หรือตกเป็นเหยื่อของการลักพาตัวจากมนุษย์ต่างดาว คุณสามารถส่งเรื่องราวของคุณมาให้เราและจะมีการเผยแพร่ บนเว็บไซต์ของเรา ===> .

คำสอนเกี่ยวกับ ช่องว่างหลายมิติเริ่มปรากฏให้เห็นในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 ความคิด พื้นที่สี่มิตินักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์ที่ยืมมาจากนักวิทยาศาสตร์ ในงานของพวกเขาพวกเขาบอกโลกเกี่ยวกับความมหัศจรรย์อันน่าอัศจรรย์ของมิติที่สี่

วีรบุรุษในผลงานของพวกเขาโดยใช้คุณสมบัติของพื้นที่สี่มิติสามารถกินเนื้อหาของไข่ได้โดยไม่ทำลายเปลือกและดื่มเครื่องดื่มโดยไม่ต้องเปิดฝาขวด พวกโจรนำสมบัติออกจากตู้เซฟผ่านมิติที่สี่ ศัลยแพทย์ได้ทำการผ่าตัดเกี่ยวกับ อวัยวะภายในโดยไม่ต้องตัดเนื้อเยื่อร่างกายของผู้ป่วย

เทสเซอร์แรค

ในเรขาคณิต ไฮเปอร์คิวบ์เป็นการเปรียบเทียบแบบ n มิติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (n = 2) และลูกบาศก์ (n = 3) อะนาล็อกสี่มิติของลูกบาศก์ 3 มิติปกติของเราเรียกว่าเทสเซอร์แรคต์ เทสเซอร์แรกต์อยู่ที่ลูกบาศก์ในขณะที่ลูกบาศก์อยู่ที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างเป็นทางการมากขึ้น tesseract สามารถอธิบายได้ว่าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมสี่มิตินูนปกติซึ่งมีขอบเขตประกอบด้วยแปดลูกบาศก์เซลล์

ใบหน้า 3 มิติที่ไม่ขนานกันแต่ละคู่จะตัดกันเพื่อสร้างใบหน้า 2 มิติ (สี่เหลี่ยม) และอื่นๆ ในที่สุด tesseract มีใบหน้า 3 มิติ 8 หน้า, 2D 24 หน้า, 32 ขอบ และ 16 จุดยอด
อย่างไรก็ตาม ตามพจนานุกรม Oxford คำว่า tesseract ได้รับการประกาศเกียรติคุณและใช้ในปี 1888 โดย Charles Howard Hinton (1853-1907) ในหนังสือของเขา A New Age of Thought ต่อมาบางคนเรียกร่างเดียวกันว่า tetracube (กรีก tetra - สี่) - ลูกบาศก์สี่มิติ

การก่อสร้างและคำอธิบาย

ลองจินตนาการว่าไฮเปอร์คิวบ์จะมีลักษณะอย่างไรโดยไม่ทิ้งพื้นที่สามมิติ
ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะ L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานไปกับมันและเชื่อมต่อปลายทั้งสองเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำซ้ำการดำเนินการนี้กับเครื่องบิน เราจะได้ลูกบาศก์สามมิติ CDBAGHFE และโดยการขยับลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะห่าง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ CDBAGHFEKLJIOPNM

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถให้เหตุผลสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ต่อไปได้ มากกว่ามิติข้อมูล แต่มันน่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมีลักษณะอย่างไรสำหรับพวกเราผู้อาศัยอยู่ในอวกาศสามมิติ

ลองใช้ลูกบาศก์ลวด ABCDHEFG แล้วมองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของขอบ เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองอันบนระนาบ (ขอบใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในพื้นที่สามมิติจะมีลักษณะเหมือน "กล่อง" ลูกบาศก์สองลูกบาศก์ที่เสียบเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายลงบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะยืดออกไปในทิศทางของแกนที่สี่ คุณยังสามารถลองจินตนาการถึงลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่อยู่ในภาพเชิงพื้นที่

เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่ถูกสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกเลื่อนไปตามความยาวของหน้ามัน ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนเข้าไปในมิติที่สี่ก็จะก่อให้เกิดไฮเปอร์คิวบ์ มันถูกจำกัดด้วยแปดลูกบาศก์ ซึ่งเมื่อมองจากมุมมองจะดูเหมือนร่างที่ค่อนข้างซับซ้อน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นสามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์จำนวนอนันต์ได้ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่สามารถ "ตัด" ให้เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนอนันต์ได้

ด้วยการตัดหน้าทั้งหกของลูกบาศก์สามมิติ คุณสามารถแยกย่อยมันเป็นได้ รูปแบน- สแกน มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่แต่ละด้านของใบหน้าเดิม และอีก 1 อันคือหน้าที่อยู่ตรงข้ามกัน และการพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม หกลูกบาศก์ "เติบโต" จากนั้นบวกอีกหนึ่งก้อน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย

ไฮเปอร์คิวบ์ในงานศิลปะ

Tesseract เป็นบุคคลที่น่าสนใจมากจนดึงดูดความสนใจของนักเขียนและผู้สร้างภาพยนตร์ซ้ำแล้วซ้ำเล่า
Robert E. Heinlein กล่าวถึงไฮเปอร์คิวบ์หลายครั้ง ในบ้านที่สร้างด้วยนกเป็ดน้ำ (พ.ศ. 2483) เขาบรรยายถึงบ้านที่สร้างขึ้นเป็นเทสเซอร์แร็กต์ที่ยังไม่ได้ห่อ จากนั้นเนื่องจากแผ่นดินไหว จึง "พับ" ในมิติที่สี่จนกลายเป็นเทสเซอร์แร็กต์ "ของจริง" Glory Road นวนิยายของไฮน์ไลน์ บรรยายถึงกล่องไฮเปอร์ไซส์ที่ด้านในใหญ่กว่าด้านนอก

เรื่องราวของ Henry Kuttner "All Tenali Borogov" บรรยายถึงของเล่นเพื่อการศึกษาสำหรับเด็กจากอนาคตอันไกลโพ้นซึ่งมีโครงสร้างคล้ายกับ tesseract

เนื้อเรื่องของ Cube 2: Hypercube มีศูนย์กลางอยู่ที่คนแปลกหน้าแปดคนที่ติดอยู่ใน "ไฮเปอร์คิวบ์" หรือเครือข่ายของลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อกัน

โลกคู่ขนาน

นามธรรมทางคณิตศาสตร์ทำให้เกิดแนวคิดเรื่องการมีอยู่ของโลกคู่ขนาน สิ่งเหล่านี้เข้าใจว่าเป็นความจริงที่มีอยู่พร้อมกันกับเรา แต่เป็นอิสระจากมัน โลกคู่ขนานอาจมีขนาดแตกต่างกัน ตั้งแต่พื้นที่ทางภูมิศาสตร์เล็กๆ ไปจนถึงทั้งจักรวาล ในโลกคู่ขนาน เหตุการณ์ต่างๆ เกิดขึ้นในแบบของตัวเอง อาจแตกต่างไปจากโลกของเรา ทั้งในรายละเอียดส่วนบุคคลและในแทบทุกอย่าง ยิ่งไปกว่านั้น กฎทางกายภาพของโลกคู่ขนานไม่จำเป็นต้องเหมือนกับกฎของจักรวาลของเราเสมอไป

หัวข้อนี้เป็นประโยชน์สำหรับนักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์

ภาพวาด "The Crucifixion" ของซัลวาดอร์ ดาลี เป็นรูปเทสเซอร์แร็กส์ “การตรึงกางเขนหรือร่างกายลูกบาศก์” เป็นภาพวาดโดยศิลปินชาวสเปน ซัลวาดอร์ ดาลี วาดในปี 1954 แสดงให้เห็นพระเยซูคริสต์ผู้ถูกตรึงบนไม้กางเขนด้วยการสแกนเทสเซอร์แรค ภาพวาดนี้ถูกเก็บไว้ในพิพิธภัณฑ์ศิลปะเมโทรโพลิทันในนิวยอร์ก

ทุกอย่างเริ่มต้นในปี 1895 เมื่อ H.G. Wells พร้อมด้วยเรื่องราวของเขาเรื่อง "The Door in the Wall" ค้นพบการมีอยู่ของโลกคู่ขนานในนิยายวิทยาศาสตร์ ในปีพ. ศ. 2466 เวลส์กลับไปสู่แนวคิดเรื่องโลกคู่ขนานและวางหนึ่งในนั้นให้เป็นประเทศในอุดมคติที่ตัวละครในนวนิยายเรื่อง Men Like Gods ไป

นวนิยายเรื่องนี้ไม่ได้ไม่มีใครสังเกตเห็น ในปี 1926 เรื่องราวของ G. Dent เรื่อง “The Emperor of the Country “If” ปรากฏขึ้น ในเรื่องราวของ Dent เป็นครั้งแรกที่มีแนวคิดว่าอาจมีประเทศ (โลก) ที่ประวัติศาสตร์อาจแตกต่างไปจากประวัติศาสตร์ของประเทศที่แท้จริง ในโลกของเรา และโลกเหล่านี้ก็มีจริงไม่น้อยไปกว่าโลกของเรา

ในปี 1944 Jorge Luis Borges ตีพิมพ์เรื่องราว "The Garden of Forking Paths" ในหนังสือ Fictional Stories ของเขา ในที่สุดแนวคิดเรื่องเวลาแตกแขนงก็แสดงออกมาอย่างชัดเจนที่สุด
แม้จะมีการปรากฏตัวของผลงานที่กล่าวข้างต้น แต่ความคิดของโลกหลายแห่งเริ่มพัฒนาอย่างจริงจังในนิยายวิทยาศาสตร์เฉพาะในช่วงปลายทศวรรษที่สี่สิบของศตวรรษที่ 20 ในเวลาเดียวกันโดยประมาณเมื่อมีความคิดที่คล้ายกันเกิดขึ้นในวิชาฟิสิกส์

หนึ่งในผู้บุกเบิกทิศทางใหม่ในนิยายวิทยาศาสตร์คือ John Bixby ผู้ซึ่งแนะนำในเรื่อง "One Way Street" (1954) ว่าระหว่างโลกต่างๆ คุณสามารถเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวเท่านั้น - เมื่อคุณไปจากโลกของคุณไปยังโลกคู่ขนาน คุณจะไม่กลับมา แต่คุณจะย้ายจากโลกหนึ่งไปอีกโลกหนึ่ง อย่างไรก็ตาม การกลับไปสู่โลกของตัวเองก็ไม่ได้รับการยกเว้น - ด้วยเหตุนี้ จึงจำเป็นต้องปิดระบบของโลก

นวนิยายของคลิฟฟอร์ด ซิมัก เรื่อง A Ring Around the Sun (1982) บรรยายถึงดาวเคราะห์หลายดวงที่โลกแต่ละดวงมีอยู่ในโลกของมันเอง แต่อยู่ในวงโคจรเดียวกัน โลกเหล่านี้และดาวเคราะห์เหล่านี้ต่างกันเพียงการเปลี่ยนแปลงของเวลาเพียงเล็กน้อย (ไมโครวินาที) โลกจำนวนมากที่พระเอกของนวนิยายมาเยือนนั้นก่อตัวเป็นระบบของโลกเดียว

อัลเฟรด เบสเตอร์แสดงมุมมองที่น่าสนใจเกี่ยวกับการแตกแขนงของโลกในเรื่องราวของเขาเรื่อง “The Man Who Killed Mohammed” (1958) “ด้วยการเปลี่ยนอดีต” พระเอกของเรื่องแย้ง “คุณเปลี่ยนมันเพื่อตัวคุณเองเท่านั้น” กล่าวอีกนัยหนึ่ง หลังจากการเปลี่ยนแปลงในอดีต สาขาหนึ่งของประวัติศาสตร์เกิดขึ้นซึ่งการเปลี่ยนแปลงนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะกับตัวละครที่ทำการเปลี่ยนแปลงเท่านั้น

เรื่องราวของพี่น้อง Strugatsky "วันจันทร์เริ่มต้นในวันเสาร์" (1962) บรรยายถึงการเดินทางของตัวละครไปยัง ตัวเลือกที่แตกต่างกันอนาคตที่นักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์บรรยาย - ตรงกันข้ามกับการเดินทางไปยังอดีตหลายเวอร์ชันที่มีอยู่ในนิยายวิทยาศาสตร์

อย่างไรก็ตาม แม้แต่การเรียบเรียงผลงานทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับโลกคู่ขนานก็อาจใช้เวลานานเกินไป และถึงแม้ว่าตามกฎแล้วนักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์ไม่ได้ยืนยันสมมติฐานของความเป็นหลายมิติทางวิทยาศาสตร์ แต่พวกเขาก็มีความถูกต้องเกี่ยวกับสิ่งหนึ่ง - นี่คือสมมติฐานที่มีสิทธิ์ที่จะดำรงอยู่
มิติที่สี่ของเทสเซอร์แรกต์ยังรอให้เราไปเยือนอยู่

วิคเตอร์ ซาวินอฟ

ไฮเปอร์คิวบ์และของแข็งพลาโตนิก

จำลองรูปทรงไอโคซาฮีดรอนที่ถูกตัดทอน (“ลูกฟุตบอล”) ในระบบ “เวกเตอร์”
โดยที่รูปห้าเหลี่ยมแต่ละอันล้อมรอบด้วยรูปหกเหลี่ยม

icosahedron ที่ถูกตัดทอนสามารถทำได้โดยการตัดจุดยอด 12 จุดออกเพื่อสร้างใบหน้าในรูปแบบ รูปห้าเหลี่ยมปกติ- ในกรณีนี้ จำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมใหม่เพิ่มขึ้น 5 เท่า (12×5=60) ใบหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้าจะกลายเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ (รวมทั้งหมด ใบหน้ากลายเป็น 20+12=32) อ จำนวนขอบเพิ่มขึ้นเป็น 30+12×5=90.

ขั้นตอนในการสร้าง icosahedron ที่ถูกตัดทอนในระบบเวกเตอร์

ตัวเลขในอวกาศ 4 มิติ

--à

--à ?

ตัวอย่างเช่น ให้ลูกบาศก์และไฮเปอร์คิวบ์ ไฮเปอร์คิวบ์มี 24 ใบหน้า ซึ่งหมายความว่าทรงแปดหน้า 4 มิติจะมีจุดยอด 24 จุด แม้ว่าจะไม่ใช่ แต่ไฮเปอร์คิวบ์ก็มีลูกบาศก์ 8 หน้า แต่ละหน้ามีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอด ซึ่งหมายความว่าทรงแปดหน้า 4 มิติจะมีจุดยอด 8 จุด ซึ่งเบากว่าด้วยซ้ำ

ทรงแปดหน้า 4 มิติ- ประกอบด้วยจัตุรมุขด้านเท่ากันหมดแปดด้านและเท่ากัน
เชื่อมต่อกันด้วยสี่จุดยอดแต่ละจุด

ข้าว. ความพยายามที่จะจำลอง
ไฮเปอร์บอล-ไฮเปอร์สเฟียร์ ในระบบ "เวกเตอร์"

หน้า-หลัง-ลูกไม่บิดเบี้ยว. อีกหกลูกสามารถกำหนดได้ผ่านทรงรีหรือพื้นผิวกำลังสอง (ผ่านเส้นชั้นความสูง 4 เส้นเป็นตัวกำเนิด) หรือผ่านใบหน้า (กำหนดครั้งแรกผ่านตัวกำเนิด)

เทคนิคเพิ่มเติมในการ “สร้าง” ไฮเปอร์สเฟียร์
- “ลูกฟุตบอล” แบบเดียวกันในอวกาศ 4 มิติ

ภาคผนวก 2

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน มีคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของจุดยอด ขอบ และหน้าของมัน ซึ่งพิสูจน์ในปี 1752 โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และเรียกว่าทฤษฎีบทของออยเลอร์

ก่อนที่จะจัดทำสูตร ให้พิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมที่เรารู้จักและกรอกตารางต่อไปนี้ โดยที่ B คือจำนวนจุดยอด ขอบ P และ G - ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด:

ชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยม
ปิรามิดสามเหลี่ยม
ปิรามิดสี่เหลี่ยม
ปริซึมสามเหลี่ยม
ปริซึมสี่เหลี่ยม
ไม่มีปิรามิดถ่านหิน	n+1	2n	n+1
ไม่มีปริซึมคาร์บอน	2n	3n	n+2
ไม่มีถ่านหินถูกตัดทอน ปิรามิด	2n	3n	n+2

จากตารางนี้เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เลือกทั้งหมดจะมีความเท่าเทียมกัน B - P + G = 2 ปรากฎว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงไม่เพียง แต่สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้เท่านั้น แต่ยังสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนโดยพลการด้วย

ทฤษฎีบทของออยเลอร์ สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ จะมีความเท่าเทียมกัน

ข - พี + ​​จี = 2,

โดยที่ B คือจำนวนจุดยอด P คือจำนวนขอบ และ G คือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด

การพิสูจน์.เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันนี้ ลองจินตนาการถึงพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ที่ทำจากวัสดุยืดหยุ่น ลองลบ (ตัด) ใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งออกแล้วยืดพื้นผิวที่เหลือลงบนเครื่องบิน เราได้รูปหลายเหลี่ยม (เกิดจากขอบของใบหน้าที่ถูกถอดออกของรูปทรงหลายเหลี่ยม) โดยแบ่งออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมขนาดเล็กกว่า (เกิดจากใบหน้าที่เหลือของรูปทรงหลายเหลี่ยม)

โปรดทราบว่ารูปหลายเหลี่ยมสามารถเปลี่ยนรูป ขยาย ลดขนาด หรือแม้แต่ทำให้ด้านข้างโค้งงอได้ ตราบใดที่ไม่มีช่องว่างด้านข้าง จำนวนจุดยอด ขอบ และใบหน้าจะไม่เปลี่ยนแปลง

ให้เราพิสูจน์ว่าผลลัพธ์ของการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีขนาดเล็กกว่านั้นเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน

(*)B - P + G " = 1,

โดยที่ B – จำนวนทั้งหมดจุดยอด P คือจำนวนขอบทั้งหมด และ Г " คือจำนวนรูปหลายเหลี่ยมที่รวมอยู่ในพาร์ติชัน เห็นได้ชัดว่า Г " = Г - 1 โดยที่ Г คือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด

ให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกัน (*) จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการลากเส้นทแยงมุมเป็นรูปหลายเหลี่ยมของพาร์ติชันที่กำหนด (รูปที่ 5, a) หลังจากวาดเส้นทแยงมุมดังกล่าวแล้ว พาร์ติชันใหม่จะมีจุดยอด B ขอบ P+1 และจำนวนรูปหลายเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นหนึ่งอัน ดังนั้นเราจึงมี

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ เราจะวาดเส้นทแยงมุมเพื่อแบ่งรูปหลายเหลี่ยมขาเข้าออกเป็นรูปสามเหลี่ยม และสำหรับพาร์ติชันผลลัพธ์ เราจะแสดงความเป็นไปได้ของความเท่าเทียมกัน (*) (รูปที่ 5, b) ในการทำเช่นนี้ เราจะลบขอบภายนอกตามลำดับ เพื่อลดจำนวนรูปสามเหลี่ยม ในกรณีนี้เป็นไปได้สองกรณี:

ก) เพื่อลบรูปสามเหลี่ยม เอบีซีในกรณีของเราจำเป็นต้องถอดซี่โครงสองซี่ออก เอบีและ บี.ซี.;

b) เพื่อลบรูปสามเหลี่ยมเอ็มเคเอ็นในกรณีของเราจำเป็นต้องลบขอบด้านหนึ่งออกมน.

ในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน (*) จะไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น ในกรณีแรก หลังจากลบสามเหลี่ยมออกแล้ว กราฟจะประกอบด้วยจุดยอด B - 1, P - 2 ขอบ และ G " - 1 รูปหลายเหลี่ยม:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G "

พิจารณากรณีที่สองด้วยตัวคุณเอง

ดังนั้น การลบสามเหลี่ยมออกหนึ่งอันจะไม่เปลี่ยนความเท่าเทียมกัน (*) ดำเนินการตามขั้นตอนการลบรูปสามเหลี่ยมนี้ต่อไป ในที่สุดเราก็จะมาถึงฉากกั้นที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมรูปเดียว สำหรับพาร์ติชันดังกล่าว B = 3, P = 3, Г " = 1 และดังนั้น B – Р + Г " = 1 ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกัน (*) ยังคงอยู่สำหรับพาร์ติชันดั้งเดิมซึ่งในที่สุดเราก็ได้รับสิ่งนั้น สำหรับพาร์ติชั่นของความเท่าเทียมกันของรูปหลายเหลี่ยม (*) นี้เป็นจริง ดังนั้น สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนดั้งเดิม ความเท่าเทียมกัน B - P + G = 2 เป็นจริง

ตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งไม่มีความสัมพันธ์ของออยเลอร์แสดงในรูปที่ 6 รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีจุดยอด 16 จุด ขอบ 32 ด้าน และหน้า 16 หน้า ดังนั้น สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ ความเท่าเทียมกัน B – P + G = 0 ยังคงอยู่

ภาคผนวก 3

Film Cube 2: Hypercube เป็นภาพยนตร์นิยายวิทยาศาสตร์ ซึ่งเป็นภาคต่อของภาพยนตร์เรื่อง Cube

คนแปลกหน้าแปดคนตื่นขึ้นมาในห้องรูปทรงลูกบาศก์ ห้องพักต่างๆ ตั้งอยู่ภายในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ห้องต่างๆ มีการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องผ่าน "การเทเลพอร์ตควอนตัม" และหากคุณปีนเข้าไปในห้องถัดไป ก็ไม่น่าจะกลับไปที่ห้องก่อนหน้าได้ ตัดกันในไฮเปอร์คิวบ์ โลกคู่ขนานเวลาผ่านไปไม่เหมือนกันในบางห้องและบางห้องเป็นกับดักแห่งความตาย

เนื้อเรื่องของภาพยนตร์เรื่องนี้เน้นย้ำเรื่องราวของภาคแรกเป็นส่วนใหญ่ซึ่งสะท้อนให้เห็นในภาพของตัวละครบางตัวด้วย ตายในห้องของไฮเปอร์คิวบ์ ผู้ได้รับรางวัลโนเบล Rosenzweig ผู้คำนวณ เวลาที่แน่นอนการทำลายไฮเปอร์คิวบ์.

การวิพากษ์วิจารณ์

หากในภาคแรกผู้คนที่ถูกขังอยู่ในเขาวงกตพยายามช่วยเหลือซึ่งกันและกัน ในหนังเรื่องนี้ ทุกคนก็เพื่อตัวเขาเอง มีเอฟเฟกต์พิเศษที่ไม่จำเป็นมากมาย (หรือที่เรียกว่ากับดัก) ที่ไม่ได้เชื่อมโยงส่วนนี้ของภาพยนตร์กับส่วนก่อนหน้าอย่างมีเหตุผล นั่นคือปรากฎว่าภาพยนตร์เรื่อง Cube 2 เป็นเขาวงกตในอนาคตปี 2563-2573 แต่ไม่ใช่ปี 2543 ในส่วนแรกตามทฤษฎีแล้วบุคคลสามารถสร้างกับดักทุกประเภทได้ ในส่วนที่สอง กับดักเหล่านี้คือโปรแกรมคอมพิวเตอร์ชนิดหนึ่งที่เรียกว่า "ความจริงเสมือน"

Tesseract เป็นไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ - ลูกบาศก์ในอวกาศสี่มิติ
ตามพจนานุกรม Oxford คำว่า tesseract ได้รับการประกาศเกียรติคุณและใช้ในปี พ.ศ. 2431 โดย Charles Howard Hinton (พ.ศ. 2396-2450) ในหนังสือของเขา A New Age of Thought ต่อมาบางคนเรียกร่างเดียวกันว่า tetracube (กรีก τετρα - สี่) - ลูกบาศก์สี่มิติ
เทสเซอร์แรคธรรมดาในปริภูมิสี่มิติแบบยุคลิดถูกกำหนดให้เป็นจุดนูน (±1, ±1, ±1, ±1) กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันสามารถแสดงเป็นชุดต่อไปนี้:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = เทสเซอร์แรคถูกจำกัดด้วยไฮเปอร์เพลนแปดอัน x_i= +- 1, i=1,2,3,4 ซึ่งเป็นจุดตัดกัน โดยตัวเทสเซอร์แรคจะกำหนดใบหน้าสามมิติ (ซึ่งเป็นลูกบาศก์ธรรมดา) แต่ละคู่ของใบหน้าสามมิติที่ไม่ขนานกันจะตัดกันเป็นใบหน้าสองมิติ (สี่เหลี่ยม) และต่อๆ ไป ในที่สุด เทสเซอร์แรคก็มี 8 มิติ ใบหน้า, ใบหน้าสองมิติ 24 ใบหน้า, ขอบ 32 ด้าน และจุดยอด 16 จุด
คำอธิบายยอดนิยม
ลองจินตนาการว่าไฮเปอร์คิวบ์จะมีลักษณะอย่างไรโดยไม่ทิ้งพื้นที่สามมิติ
ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะ L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานไปกับมันและเชื่อมต่อปลายทั้งสองเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำซ้ำการดำเนินการนี้กับเครื่องบิน เราจะได้ลูกบาศก์สามมิติ CDBAGHFE และโดยการขยับลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะห่าง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ CDBAGHFEKLJIOPNM
AB ส่วนด้านเดียวทำหน้าที่เป็นด้านข้างของ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ สี่เหลี่ยมจัตุรัส - เป็นด้านข้างของลูกบาศก์ CDBAGHFE ซึ่งในทางกลับกัน จะเป็นด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ส่วนของเส้นตรงมีขอบเขต 2 จุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดยอด 4 จุด ลูกบาศก์มี 8 จุด ในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ จะมีจุดยอด 16 จุด โดยเป็น 8 จุดยอดของลูกบาศก์เดิม และ 8 จุดยอดเลื่อนไปในมิติที่ 4 มีขอบ 32 ด้าน แต่ละด้านมี 12 ด้านเป็นตำแหน่งเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของลูกบาศก์เดิม และอีก 8 ขอบจะ "วาด" จุดยอดทั้ง 8 จุด ซึ่งได้ย้ายไปยังมิติที่สี่แล้ว การให้เหตุผลแบบเดียวกันนี้สามารถทำได้กับใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์ ในพื้นที่สองมิติจะมีเพียงหน้าเดียว (ตัวสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอง) ลูกบาศก์มี 6 หน้า (หน้าสองหน้าจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกย้าย และอีกสี่หน้าซึ่งอธิบายด้านของมัน) ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติมีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 หน้า โดยเป็นลูกบาศก์ดั้งเดิม 12 ช่องในสองตำแหน่ง และ 12 ช่องจากขอบทั้งสิบสอง
เช่นเดียวกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีส่วนในหนึ่งมิติ 4 ส่วน และด้านข้าง (หน้า) ของลูกบาศก์ก็มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ 6 ชิ้น ดังนั้นสำหรับ "ลูกบาศก์สี่มิติ" (เทสเซอร์แรค) ด้านข้างจึงมีลูกบาศก์สามมิติ 8 ชิ้น . ช่องว่างของลูกบาศก์เทสเซอร์แรกต์คู่ตรงข้าม (นั่นคือ ช่องว่างสามมิติที่มีลูกบาศก์เหล่านี้อยู่) จะขนานกัน ในรูปเหล่านี้คือลูกบาศก์: CDBAGHFE และ KLJIOPNM, CDBAKLJI และ GHFEOPNM, EFBAMNJI และ GHDCOPLK, CKIAGOME และ DLJBHPNF
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถให้เหตุผลต่อไปสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ในจำนวนมิติที่มากขึ้นได้ แต่มันก็น่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมองหาเราผู้อาศัยอยู่ในอวกาศสามมิติอย่างไร สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้วิธีการเปรียบเทียบที่คุ้นเคยอยู่แล้ว
ลองใช้ลูกบาศก์ลวด ABCDHEFG แล้วมองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของขอบ เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองอันบนระนาบ (ขอบใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในพื้นที่สามมิติจะมีลักษณะเหมือน "กล่อง" ลูกบาศก์สองลูกบาศก์ที่เสียบเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายลงบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะยืดออกไปในทิศทางของแกนที่สี่ คุณยังสามารถลองจินตนาการถึงลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่อยู่ในภาพเชิงพื้นที่
เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่ถูกสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกเลื่อนไปตามความยาวของหน้ามัน ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนเข้าไปในมิติที่สี่ก็จะก่อให้เกิดไฮเปอร์คิวบ์ มันถูกจำกัดด้วยแปดลูกบาศก์ ซึ่งเมื่อมองจากมุมมองจะดูเหมือนร่างที่ค่อนข้างซับซ้อน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นประกอบด้วยลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่สามารถ "ตัด" ให้เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนอนันต์ได้
ด้วยการตัดใบหน้าทั้งหกของลูกบาศก์สามมิติ คุณสามารถแยกย่อยมันให้เป็นรูปแบน - การพัฒนา มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่แต่ละด้านของใบหน้าเดิม และอีก 1 อันคือหน้าที่อยู่ตรงข้ามกัน และการพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม หกลูกบาศก์ "เติบโต" จากนั้นบวกอีกหนึ่งก้อน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย
คุณสมบัติของเทสเซอร์แรคเป็นส่วนขยายของคุณสมบัติ รูปทรงเรขาคณิตมิติที่เล็กลงให้เป็นพื้นที่สี่มิติ

วิวัฒนาการของสมองมนุษย์เกิดขึ้นในอวกาศสามมิติ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะจินตนาการถึงช่องว่างที่มีมิติมากกว่าสามมิติ ในความเป็นจริง สมองของมนุษย์ไม่สามารถจินตนาการถึงวัตถุทางเรขาคณิตที่มีมิติมากกว่าสามมิติได้ และในเวลาเดียวกัน เราก็สามารถจินตนาการถึงวัตถุทางเรขาคณิตที่มีมิติไม่เพียงแต่สามมิติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงมิติที่สองและหนึ่งด้วย

ความแตกต่างและความคล้ายคลึงระหว่างปริภูมิหนึ่งมิติและสองมิติ ตลอดจนความแตกต่างและความคล้ายคลึงระหว่างปริภูมิสองมิติและสามมิติ ทำให้เราสามารถเปิดฉากแห่งความลึกลับที่กั้นเราออกจากอวกาศที่มีมิติสูงกว่าได้เล็กน้อย เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการใช้การเปรียบเทียบนี้ ให้พิจารณาวัตถุสี่มิติที่เรียบง่ายมาก - ไฮเปอร์คิวบ์ นั่นคือลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวให้เจาะจง สมมติว่าเราต้องการแก้ปัญหาเฉพาะ กล่าวคือ นับจำนวนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์สี่มิติ การพิจารณาเพิ่มเติมทั้งหมดจะหละหลวมมากโดยไม่มีหลักฐานใด ๆ โดยการเปรียบเทียบล้วนๆ

หากต้องการทำความเข้าใจว่าไฮเปอร์คิวบ์ถูกสร้างขึ้นจากลูกบาศก์ปกติอย่างไร คุณต้องดูวิธีการสร้างลูกบาศก์ปกติจากสี่เหลี่ยมปกติก่อน เพื่อประโยชน์ของความคิดริเริ่มในการนำเสนอเนื้อหานี้เราจะเรียกจัตุรัสธรรมดาว่า SubCube (และจะไม่สับสนกับซัคคิวบัส)

ในการสร้างลูกบาศก์จากลูกบาศก์ย่อย คุณจะต้องขยายลูกบาศก์ย่อยในทิศทางตั้งฉากกับระนาบของลูกบาศก์ย่อยในทิศทางของมิติที่สาม ในกรณีนี้ จากแต่ละด้านของลูกบาศก์ย่อยเริ่มต้น ลูกบาศก์ย่อยจะโตขึ้น ซึ่งเป็นด้านที่มีหน้าสองมิติของลูกบาศก์ ซึ่งจะจำกัดปริมาตรสามมิติของลูกบาศก์สี่ด้าน โดยสองลูกบาศก์ตั้งฉากกับแต่ละทิศทางใน ระนาบของคิวบ์ย่อย และตามแกนที่สามใหม่นั้น ยังมีลูกบาศก์ย่อยอีกสองลูกบาศก์ที่จำกัดปริมาตรสามมิติของลูกบาศก์อีกด้วย นี่คือหน้าสองมิติที่ซับคิวบ์ของเราตั้งอยู่แต่แรก และหน้าสองมิติของลูกบาศก์ที่ซับคิวบ์มาในตอนท้ายของการสร้างลูกบาศก์

สิ่งที่คุณเพิ่งอ่านมีการนำเสนอในรายละเอียดมากเกินไปและมีการชี้แจงมากมาย และด้วยเหตุผลที่ดี ตอนนี้เราจะทำเคล็ดลับนี้ เราจะแทนที่คำบางคำในข้อความก่อนหน้าอย่างเป็นทางการในลักษณะนี้:
คิวบ์ -> ไฮเปอร์คิวบ์
คิวบ์ย่อย -> คิวบ์
เครื่องบิน -> ปริมาตร
สาม -> ที่สี่
สองมิติ -> สามมิติ
สี่ -> หก
สามมิติ -> สี่มิติ
สอง -> สาม
เครื่องบิน -> อวกาศ

ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้ข้อความที่มีความหมายต่อไปนี้ ซึ่งดูเหมือนจะไม่มีรายละเอียดมากเกินไปอีกต่อไป

ในการสร้างไฮเปอร์คิวบ์จากลูกบาศก์ คุณต้องขยายลูกบาศก์ในทิศทางตั้งฉากกับปริมาตรของลูกบาศก์ในทิศทางของมิติที่สี่ ในกรณีนี้ ลูกบาศก์จะเติบโตจากแต่ละด้านของลูกบาศก์ดั้งเดิม ซึ่งเป็นหน้าสามมิติด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งจะจำกัดปริมาตรสี่มิติของไฮเปอร์คิวบ์ทั้งหกด้าน โดยสามลูกบาศก์ตั้งฉากกับแต่ละทิศทางใน พื้นที่ของลูกบาศก์ และตามแกนที่สี่ใหม่นี้ ยังมีลูกบาศก์สองลูกบาศก์ที่จำกัดปริมาตรสี่มิติของไฮเปอร์คิวบ์ นี่คือหน้าสามมิติที่ลูกบาศก์ของเราตั้งอยู่แต่แรก และหน้าสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์ ที่ซึ่งลูกบาศก์มาอยู่ที่จุดสิ้นสุดของการสร้างไฮเปอร์คิวบ์

เหตุใดเราจึงมั่นใจว่าเราได้รับคำอธิบายที่ถูกต้องเกี่ยวกับการสร้างไฮเปอร์คิวบ์? ใช่ เพราะด้วยการแทนที่คำอย่างเป็นทางการแบบเดียวกันทุกประการ เราได้คำอธิบายเกี่ยวกับการสร้างลูกบาศก์จากคำอธิบายของการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ตรวจสอบด้วยตัวคุณเอง)

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าถ้าลูกบาศก์สามมิติอีกอันหนึ่งเติบโตจากแต่ละด้านของลูกบาศก์ ใบหน้าก็ควรเติบโตจากแต่ละขอบของลูกบาศก์เริ่มต้น โดยรวมแล้ว ลูกบาศก์มี 12 ขอบ ซึ่งหมายความว่าจะมีใบหน้าใหม่ (ลูกบาศก์ย่อย) อีก 12 หน้า (ลูกบาศก์ย่อย) ปรากฏบนลูกบาศก์ 6 ก้อนที่จำกัดปริมาตรสี่มิติตามแกนทั้งสามของพื้นที่สามมิติ และยังมีลูกบาศก์เหลืออีกสองลูกบาศก์ที่จำกัดปริมาตรสี่มิตินี้จากด้านล่างและด้านบนตามแนวแกนที่สี่ แต่ละลูกบาศก์เหล่านี้มี 6 หน้า

โดยรวมแล้ว เราพบว่าไฮเปอร์คิวบ์มีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 12+6+6=24 หน้า

รูปภาพต่อไปนี้แสดงโครงสร้างเชิงตรรกะของไฮเปอร์คิวบ์ นี่เป็นเหมือนการฉายภาพไฮเปอร์คิวบ์ไปยังพื้นที่สามมิติ สิ่งนี้จะสร้างโครงซี่โครงสามมิติ ในภาพนี้ คุณจะเห็นการฉายภาพของเฟรมนี้บนเครื่องบิน

ในเฟรมนี้ ลูกบาศก์ด้านในเป็นเหมือนลูกบาศก์เริ่มต้นที่การก่อสร้างเริ่มต้นขึ้น และจำกัดปริมาตรสี่มิติของไฮเปอร์คิวบ์ตามแนวแกนที่สี่จากด้านล่าง เรายืดลูกบาศก์เริ่มต้นนี้ขึ้นไปตามแกนการวัดที่สี่ และมันจะเข้าไปในลูกบาศก์ด้านนอก ดังนั้นลูกบาศก์ด้านนอกและด้านในจากรูปนี้จะจำกัดไฮเปอร์คิวบ์ตามแกนที่สี่ของการวัด

และระหว่างสองลูกบาศก์นี้ คุณจะเห็นลูกบาศก์ใหม่อีก 6 ก้อน ซึ่งสัมผัสใบหน้าทั่วไปกับสองก้อนแรก ลูกบาศก์ทั้งหกนี้ผูกไฮเปอร์คิวบ์ของเราไปตามแกนสามแกนของปริภูมิสามมิติ อย่างที่คุณเห็น พวกมันไม่เพียงแต่สัมผัสกับลูกบาศก์สองอันแรกเท่านั้น ซึ่งเป็นลูกบาศก์ด้านในและด้านนอกของเฟรมสามมิตินี้เท่านั้น แต่ยังสัมผัสกันอีกด้วย

คุณสามารถนับในรูปได้โดยตรง และตรวจสอบให้แน่ใจว่าไฮเปอร์คิวบ์มี 24 หน้าจริงๆ แต่คำถามนี้ก็เกิดขึ้น เฟรมไฮเปอร์คิวบ์ในพื้นที่สามมิตินี้เต็มไปด้วยลูกบาศก์สามมิติแปดลูกบาศก์โดยไม่มีช่องว่าง ในการสร้างไฮเปอร์คิวบ์จริงจากการฉายภาพสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์ คุณต้องหมุนเฟรมนี้ด้านในออกเพื่อให้ลูกบาศก์ทั้ง 8 ก้อนผูกปริมาตร 4 มิติไว้

ก็ทำแบบนี้ เราเชิญผู้อาศัยในพื้นที่สี่มิติมาเยี่ยมเราและขอให้เขาช่วยเรา เขาคว้าลูกบาศก์ด้านในของเฟรมนี้แล้วเคลื่อนไปในทิศทางของมิติที่สี่ซึ่งตั้งฉากกับพื้นที่สามมิติของเรา ในพื้นที่สามมิติของเรา เรารับรู้ราวกับว่ากรอบภายในทั้งหมดหายไป และเหลือเพียงกรอบของลูกบาศก์ด้านนอกเท่านั้น

นอกจากนี้ ผู้ช่วยสี่มิติของเรายังให้ความช่วยเหลือในโรงพยาบาลคลอดบุตรสำหรับการคลอดบุตรที่ไม่เจ็บปวด แต่หญิงตั้งครรภ์ของเรากลับหวาดกลัวกับโอกาสที่ทารกจะหายไปจากท้องและจบลงในอวกาศสามมิติคู่ขนาน ดังนั้นบุคคลสี่มิติจึงถูกปฏิเสธอย่างสุภาพ

และเรารู้สึกงุนงงกับคำถามว่าลูกบาศก์บางอันของเราแยกออกจากกันหรือไม่ เมื่อเรากลับด้านเฟรมไฮเปอร์คิวบ์กลับด้านในออก ท้ายที่สุดแล้ว หากลูกบาศก์สามมิติที่อยู่รอบๆ ไฮเปอร์คิวบ์สัมผัสใบหน้าของเพื่อนบ้านบนเฟรม พวกเขาจะสัมผัสด้วยใบหน้าเดียวกันด้วยหรือไม่หากลูกบาศก์สี่มิติกลับด้านกรอบด้านในออก

ให้เราหันไปใช้การเปรียบเทียบกับช่องว่างในมิติที่ต่ำกว่าอีกครั้ง เปรียบเทียบภาพของเฟรมไฮเปอร์คิวบ์กับการฉายภาพของลูกบาศก์สามมิติบนระนาบที่แสดงในภาพต่อไปนี้

ผู้อาศัยในพื้นที่สองมิติสร้างกรอบบนเครื่องบินเพื่อฉายภาพลูกบาศก์บนเครื่องบิน และเชิญพวกเราซึ่งเป็นผู้อยู่อาศัยสามมิติ ให้กลับด้านกรอบนี้กลับด้านในออก เราใช้จุดยอดทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมด้านในแล้วเลื่อนไปตั้งฉากกับระนาบ ผู้อยู่อาศัยในสองมิติมองเห็นการหายตัวไปของกรอบภายในทั้งหมด และเหลือเพียงกรอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอกเท่านั้น ด้วยการดำเนินการดังกล่าว สี่เหลี่ยมทั้งหมดที่สัมผัสกับขอบจะยังคงสัมผัสกับขอบเดียวกันต่อไป

ดังนั้นเราจึงหวังว่ารูปแบบลอจิคัลของไฮเปอร์คิวบ์จะไม่ถูกละเมิดเมื่อหมุนเฟรมของไฮเปอร์คิวบ์เข้าออกและจำนวนหน้าสี่เหลี่ยมของไฮเปอร์คิวบ์จะไม่เพิ่มขึ้นและจะยังคงเท่ากับ 24 แน่นอนว่านี่ ไม่ใช่การพิสูจน์เลย แต่เป็นเพียงการคาดเดาโดยการเปรียบเทียบเท่านั้น

หลังจากทุกสิ่งที่คุณได้อ่านที่นี่ คุณสามารถวาดกรอบงานเชิงตรรกะของลูกบาศก์ห้ามิติได้อย่างง่ายดาย และคำนวณจำนวนจุดยอด ขอบ ใบหน้า ลูกบาศก์ และไฮเปอร์คิวบ์ที่มี มันไม่ใช่เรื่องยากเลย