การคูณและการหารรากที่ n ฟังก์ชันกำลังและราก - คำจำกัดความ คุณสมบัติ และสูตร สมการ xn =a

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา: สร้างเงื่อนไขสำหรับการพัฒนานักเรียนเกี่ยวกับแนวคิดแบบองค์รวมของรากที่ n ทักษะในการใช้คุณสมบัติของรากอย่างมีสติและมีเหตุผลเมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ

พัฒนาการ: สร้างเงื่อนไขในการพัฒนาอัลกอริธึม ความคิดสร้างสรรค์ พัฒนาทักษะการควบคุมตนเอง

ทางการศึกษา: ส่งเสริมการพัฒนาความสนใจในเรื่อง กิจกรรม ปลูกฝังความถูกต้องในการทำงาน ความสามารถในการแสดงความคิดเห็นของตนเอง และให้คำแนะนำ

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

สวัสดีตอนบ่าย ชั่วโมงที่ดี!

ฉันดีใจมากที่ได้พบคุณ

ระฆังดังแล้ว

บทเรียนเริ่มต้นขึ้น

เราก็ยิ้ม เราตามทัน

เรามองหน้ากัน

และพวกเขาก็นั่งลงด้วยกันอย่างเงียบ ๆ

2. แรงจูงใจในบทเรียน

แบลส ปาสคาล นักปรัชญาและนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้โดดเด่น แย้งว่า “ความยิ่งใหญ่ของคนๆ หนึ่งอยู่ที่ความสามารถในการคิดของเขา” วันนี้เราจะพยายามรู้สึกเหมือนเป็นคนเก่งด้วยการค้นหาความรู้ด้วยตัวเราเอง คำขวัญสำหรับบทเรียนวันนี้คือคำพูดของ Thales นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ:

มีอะไรมากกว่าสิ่งใดในโลก? - ช่องว่าง.

อะไรเร็วที่สุด? - จิตใจ.

อะไรคือสิ่งที่ฉลาดที่สุด? - เวลา.

ส่วนที่ดีที่สุดคืออะไร? - บรรลุสิ่งที่คุณต้องการ

ข้าพเจ้าอยากให้ทุกท่านบรรลุผลตามที่ต้องการในบทเรียนวันนี้

3. การอัพเดตความรู้

1. ตั้งชื่อการดำเนินการพีชคณิตซึ่งกันและกันกับตัวเลข (การบวกและการลบ การคูณและการหาร)

2. เป็นไปได้ไหมที่จะดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต เช่น การหาร ? (ไม่ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)

3. คุณสามารถดำเนินการอื่นใดกับตัวเลขได้บ้าง? (การยกกำลัง)

4. การผ่าตัดอะไรจะตรงกันข้ามกับเธอ? (การสกัดราก)

5. คุณสามารถสกัดรากได้ระดับใด? (รากที่สอง)

6. คุณรู้คุณสมบัติอะไรของรากที่สอง? (การแยกรากที่สองของผลิตภัณฑ์ จากผลหาร จากราก ยกกำลัง)

7. ค้นหาความหมายของสำนวน:

จากประวัติศาสตร์เมื่อ 4,000 ปีก่อน นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนได้รวบรวมตารางการคูณและตารางส่วนกลับ (ซึ่งการหารตัวเลขลดลงเป็นการคูณ) ตารางกำลังสองของตัวเลข และรากที่สองของตัวเลข ในเวลาเดียวกัน พวกเขาสามารถหาค่าประมาณของรากที่สองของจำนวนเต็มใดๆ ได้

4. ศึกษาเนื้อหาใหม่

เห็นได้ชัดว่าตามคุณสมบัติพื้นฐานของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ จากจำนวนบวกใด ๆ มีค่ารากที่ตรงกันข้ามกันสองค่าของรากของกำลังคู่เช่นตัวเลข 4 และ -4 เป็นรากที่สองของ 16 เนื่องจาก ( -4) 2 = 42 = 16 และตัวเลข 3 และ -3 เป็นรากที่สี่ของ 81 เนื่องจาก (-3)4 = 34 = 81

ยิ่งไปกว่านั้น ไม่มีรากคู่ของจำนวนลบเนื่องจาก กำลังเลขคู่ของจำนวนจริงใดๆ ไม่เป็นลบ- สำหรับรากของดีกรีคี่ สำหรับจำนวนจริงใดๆ จะมีเพียงรากเดียวของดีกรีคี่จากจำนวนนี้ ตัวอย่างเช่น 3 คือรากที่สามของ 27 เนื่องจาก 33 = 27 และ -2 คือรากที่ห้าของ -32 เนื่องจาก (-2)5 = 32

เนื่องจากการมีอยู่ของรากสองตัวที่มีดีกรีคู่จากจำนวนบวก เราจึงแนะนำแนวคิดของการรูททางคณิตศาสตร์เพื่อกำจัดความคลุมเครือของรากนี้

ค่าที่ไม่เป็นลบของรากที่ n ของจำนวนที่ไม่เป็นลบเรียกว่ารากเลขคณิต

การกำหนด: - รากของระดับที่ n

จำนวน n เรียกว่ากำลังของรากเลขคณิต ถ้า n = 2 แสดงว่าระดับของรูทจะไม่ถูกระบุและเขียนไว้ รากของดีกรีที่สองมักเรียกว่ารากที่สอง และรากของดีกรีที่สามเรียกว่ารากที่สาม

B, b2 = ก, ก ≥ 0, ข ≥ 0

B, bп = a, p - แม้แต่ a ≥ 0, b ≥ 0

n - คี่ a, b - ใด ๆ

คุณสมบัติ

1. , ก ≥ 0, ข ≥ 0

2. , ก ≥ 0, b >0

3. , ≥ 0

4. , m, n, k - ตัวเลขธรรมชาติ

5. การรวมวัสดุใหม่

งานช่องปาก

ก) สำนวนใดที่สมเหตุสมผล?

b) นิพจน์มีความหมายสำหรับค่าใดของตัวแปร a?

แก้ข้อที่ 3, 4, 7, 9, 11

6. นาทีพลศึกษา.

จำเป็นต้องมีการกลั่นกรองในทุกเรื่อง

ปล่อยให้มันเป็นกฎหลัก

ทำยิมนาสติกเพราะคุณคิดมานานแล้ว

ยิมนาสติกไม่ทำให้ร่างกายอ่อนล้า

แต่ทำความสะอาดร่างกายได้หมดจด!

หลับตา ผ่อนคลายร่างกาย

ลองนึกภาพ - คุณเป็นนกคุณก็บินได้!

ตอนนี้คุณกำลังว่ายน้ำในมหาสมุทรเหมือนปลาโลมา

ตอนนี้คุณกำลังเก็บแอปเปิ้ลสุกในสวน

ซ้าย ขวา มองไปรอบๆ

เปิดตาของคุณและกลับไปทำธุรกิจ!

7. งานอิสระ

ทำงานคู่กับ. 178 หมายเลข 1 หมายเลข 2

8. ดี/ซ.เรียนข้อ 10 (หน้า 160-161) แก้ข้อ 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2)

9. สรุปบทเรียน ภาพสะท้อนของกิจกรรม

บทเรียนบรรลุเป้าหมายหรือไม่

คุณได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

สคริปต์บทเรียนสำหรับเกรด 11 ในหัวข้อ:

“รากที่ n ของจำนวนจริง -

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:การพัฒนานักเรียนให้มีความเข้าใจแบบองค์รวมถึงรากเหง้า n- องศาและรากเลขคณิตของระดับที่ n การก่อตัวของทักษะการคำนวณทักษะในการใช้คุณสมบัติของรูตอย่างมีสติและมีเหตุผลเมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ ที่มีราก ตรวจสอบระดับความเข้าใจของนักเรียนต่อคำถามในหัวข้อ

เรื่อง:สร้างเงื่อนไขที่มีความหมายและเป็นองค์กรสำหรับการเรียนรู้เนื้อหาในหัวข้อ “นิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร » ในระดับการรับรู้ ความเข้าใจ และการท่องจำเบื้องต้น พัฒนาความสามารถในการใช้ข้อมูลนี้เมื่อคำนวณรากที่ n ของจำนวนจริง

Meta-หัวเรื่อง:ส่งเสริมการพัฒนาทักษะด้านคอมพิวเตอร์ ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป สรุปผล

ส่วนตัว:ปลูกฝังความสามารถในการแสดงมุมมอง ฟังคำตอบของผู้อื่น มีส่วนร่วมในการสนทนา และพัฒนาความสามารถในการร่วมมือเชิงบวก

ผลลัพธ์ที่วางแผนไว้

เรื่อง: สามารถประยุกต์ใช้คุณสมบัติของรากที่ n ของจำนวนจริงในสถานการณ์จริงเมื่อคำนวณรากและแก้สมการ

ส่วนตัว: เพื่อพัฒนาความเอาใจใส่และความแม่นยำในการคำนวณ ทัศนคติที่เรียกร้องต่อตนเองและงานของตนเอง และเพื่อปลูกฝังความรู้สึกช่วยเหลือซึ่งกันและกัน

ประเภทบทเรียน: บทเรียนเกี่ยวกับการศึกษาและรวบรวมความรู้ใหม่เบื้องต้น

แรงจูงใจในกิจกรรมการศึกษา:

ภูมิปัญญาตะวันออกกล่าวว่า: “คุณสามารถจูงม้าไปลงน้ำได้ แต่คุณไม่สามารถบังคับม้าให้ดื่มได้” และเป็นไปไม่ได้ที่จะบังคับให้บุคคลเรียนหนังสือให้ดีหากตัวเขาเองไม่พยายามเรียนรู้เพิ่มเติมและไม่มีความปรารถนาที่จะพัฒนาจิตใจของเขา ท้ายที่สุดแล้ว ความรู้ก็คือความรู้ก็ต่อเมื่อได้มาโดยผ่านความพยายามของความคิด ไม่ใช่จากความทรงจำเพียงอย่างเดียว

บทเรียนของเราจะจัดขึ้นภายใต้คติประจำใจ: “เราจะพิชิตยอดเขาใดๆ หากเรามุ่งมั่นเพื่อมัน” ในระหว่างบทเรียน คุณและฉันต้องมีเวลาเอาชนะยอดเขาหลายแห่ง และพวกคุณแต่ละคนจะต้องทุ่มเทความพยายามทั้งหมดเพื่อพิชิตยอดเขาเหล่านี้

“วันนี้เรามีบทเรียนที่ต้องทำความคุ้นเคยกับแนวคิดใหม่: “รากที่ N” และเรียนรู้วิธีการนำแนวคิดนี้ไปประยุกต์ใช้กับการเปลี่ยนแปลงสำนวนต่างๆ

เป้าหมายของคุณคือการกระตุ้นความรู้ที่มีอยู่ผ่านงานรูปแบบต่างๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาเนื้อหาและได้เกรดที่ดี”
เราศึกษารากที่สองของจำนวนจริงในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 รากที่สองเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของแบบฟอร์ม ย=x 2. เพื่อนๆ คุณจำได้ไหมว่าเราคำนวณสแควร์รูทอย่างไร และมันมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?
ก) การสำรวจรายบุคคล:

นี่เป็นการแสดงออกแบบไหน

สิ่งที่เรียกว่ารากที่สอง

สิ่งที่เรียกว่ารากที่สองทางคณิตศาสตร์

แสดงรายการคุณสมบัติของรากที่สอง

b) ทำงานเป็นคู่: คำนวณ

-

2. การอัพเดตความรู้และสร้างสถานการณ์ปัญหา:แก้สมการ x 4 = 1 เราจะแก้ปัญหาได้อย่างไร? (การวิเคราะห์และกราฟิก) ลองแก้มันแบบกราฟิกกัน ในการทำเช่นนี้ ในระบบพิกัดเดียว เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = x 4 เส้นตรง y = 1 (รูปที่ 164 a) ตัดกันที่จุดสองจุด: A (-1;1) และ B(1;1) Abscissas ของจุด A และ B เช่น x 1 = -1,

x 2 = 1 คือรากของสมการ x 4 = 1
เมื่อใช้เหตุผลในลักษณะเดียวกันทุกประการ เราพบรากของสมการ x 4 =16: ทีนี้มาลองแก้สมการ x 4 =5 กัน ภาพประกอบทางเรขาคณิตจะแสดงในรูปที่ 164 บ. เห็นได้ชัดว่าสมการมีสองราก x 1 และ x 2 และตัวเลขเหล่านี้เช่นเดียวกับในสองกรณีก่อนหน้านี้ตรงกันข้ามกัน แต่สำหรับสมการสองสมการแรกนั้นพบรากได้โดยไม่ยาก (สามารถพบได้โดยไม่ต้องใช้กราฟ) แต่ด้วยสมการ x 4 = 5 มีปัญหา: จากการวาดเราไม่สามารถระบุค่าของรากได้ แต่เรา สามารถพิสูจน์ได้ว่ารากหนึ่งอยู่ที่จุดซ้าย -1 และรากที่สองอยู่ทางด้านขวาของจุดที่ 1

x 2 = - (อ่าน: “รากที่สี่ของห้า”)

เราพูดถึงสมการ x 4 = a โดยที่ 0 เราก็พูดถึงสมการ x 4 = a ได้ดีพอๆ กัน โดยที่ 0 และ n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ ตัวอย่างเช่น การแก้สมการแบบกราฟิก x 5 = 1 เราจะพบ x = 1 (รูปที่ 165) การแก้สมการ x 5 "= 7 เราพิสูจน์ได้ว่าสมการนั้นมีหนึ่งรูท x 1 ซึ่งตั้งอยู่บนแกน x ทางด้านขวาของจุดที่ 1 เล็กน้อย (ดูรูปที่ 165) สำหรับตัวเลข x 1 เราแนะนำ สัญกรณ์

คำจำกัดความ 1.รากที่ n ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a (n = 2, 3,4, 5,...) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ซึ่งเมื่อยกกำลัง n จะทำให้เกิดผลลัพธ์เป็นจำนวน a

หมายเลขนี้เขียนแทนไว้ ตัวเลข a เรียกว่าจำนวนราก และตัวเลข n คือเลขชี้กำลังของราก
ถ้า n=2 พวกเขามักจะไม่พูดว่า "รากที่สอง" แต่พูดว่า "รากที่สอง" ในกรณีนี้ พวกเขาจะไม่เขียนสิ่งนี้ นี่เป็นกรณีพิเศษที่คุณเรียนโดยเฉพาะในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8 .

ถ้า n = 3 แทนที่จะเป็น "รากที่สาม" มักจะพูดว่า "รากที่สาม" ความคุ้นเคยครั้งแรกของคุณกับรากที่สามเกิดขึ้นในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 8 เช่นกัน เราใช้รากที่สามในพีชคณิตเกรด 9

ดังนั้น ถ้า ≥0, n= 2,3,4,5,… แล้ว 1) ≥ 0; 2) () n = ก.

โดยทั่วไป =b และ b n =a เป็นความสัมพันธ์เดียวกันระหว่างจำนวนที่ไม่เป็นลบ a และ b แต่มีเพียงจำนวนที่สองเท่านั้นที่อธิบายในภาษาที่ง่ายกว่า (ใช้สัญลักษณ์ที่ง่ายกว่า) มากกว่าจำนวนแรก

การดำเนินการค้นหารากของจำนวนที่ไม่เป็นลบมักเรียกว่าการแยกราก การดำเนินการนี้ตรงกันข้ามกับการยกกำลังให้เหมาะสม เปรียบเทียบ:

โปรดทราบอีกครั้ง: มีเพียงตัวเลขบวกเท่านั้นที่ปรากฏในตาราง เนื่องจากระบุไว้ในคำจำกัดความ 1 และถึงแม้ว่าตัวอย่าง (-6) 6 = 36 เป็นความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ให้เปลี่ยนจากตัวเลขเป็นสัญกรณ์โดยใช้รากที่สอง เช่น เขียนว่ามันเป็นไปไม่ได้ ตามคำจำกัดความ จำนวนบวกหมายถึง = 6 (ไม่ใช่ -6) ในทำนองเดียวกัน แม้ว่า 2 4 =16, t (-2) 4 =16 เมื่อเคลื่อนที่ไปที่สัญญาณของราก เราต้องเขียน = 2 (และในเวลาเดียวกัน ≠-2)

บางครั้งการแสดงออกนี้เรียกว่าหัวรุนแรง (จากคำภาษาละติน gadix - "root") ในภาษารัสเซียคำว่า Radical ถูกใช้ค่อนข้างบ่อยเช่น "การเปลี่ยนแปลงที่รุนแรง" ซึ่งหมายถึง "การเปลี่ยนแปลงที่รุนแรง" อย่างไรก็ตามการกำหนดรากนั้นชวนให้นึกถึงคำว่า gadix: สัญลักษณ์คือตัวอักษรเก๋ ๆ r

การดำเนินการแยกรากยังถูกกำหนดสำหรับจำนวนรากที่เป็นลบ แต่เฉพาะในกรณีของเลขชี้กำลังรากที่เป็นคี่เท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเท่าเทียมกัน (-2) 5 = -32 สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบที่เทียบเท่ากับ =-2 มีการใช้คำจำกัดความต่อไปนี้

คำจำกัดความ 2รากคี่ n ของจำนวนลบ a (n = 3.5,...) คือจำนวนลบที่เมื่อยกกำลัง n จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวน a

จำนวนนี้ตามคำจำกัดความที่ 1 เขียนแทนด้วย จำนวน a คือจำนวนราก และจำนวน n คือเลขชี้กำลังของราก
ดังนั้น ถ้า a , n=,5,7,… ดังนั้น: 1) 0; 2) () n = ก.

ดังนั้นรากคู่จึงมีความหมาย (กล่าวคือ ถูกกำหนดไว้) สำหรับนิพจน์รากที่ไม่เป็นลบเท่านั้น รากที่แปลกเหมาะสมสำหรับการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

5. การรวมความรู้เบื้องต้น:

1. คำนวณ: หมายเลข 33.5; 33.6; 33.74 33.8 ทางปาก ก) ; ข) ; วี) ; ช) .

d) ต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราไม่สามารถระบุค่าที่แน่นอนของตัวเลขได้ เพียงแต่ชัดเจนว่ามากกว่า 2 แต่น้อยกว่า 3 เนื่องจาก 2 4 = 16 (ซึ่งน้อยกว่า 17) และ 3 4 = 81 (อันนี้มากกว่า 17) เราสังเกตว่า 24 อยู่ใกล้ 17 มากกว่า 34 มาก ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะใช้เครื่องหมายความเท่าเทียมกันโดยประมาณ:
2. จงหาความหมายของสำนวนต่อไปนี้

วางตัวอักษรที่เกี่ยวข้องไว้ข้างตัวอย่าง

ข้อมูลเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ เรอเน เดการ์ต (ค.ศ. 1596-1650) ขุนนาง นักคณิตศาสตร์ นักปรัชญา นักสรีรวิทยา นักคิด ชาวฝรั่งเศส Rene Descartes วางรากฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์และแนะนำการกำหนดตัวอักษร x 2, y 3 ทุกคนรู้พิกัดคาร์ทีเซียนที่กำหนดฟังก์ชันของตัวแปร

3 - แก้สมการ: ก) = -2; ข) = 1; ค) = -4

สารละลาย:ก) ถ้า = -2 ดังนั้น y = -8 ที่จริงแล้ว เราต้องยกกำลังสามทั้งสองข้างของสมการที่กำหนด เราได้: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) การใช้เหตุผลตามตัวอย่าง a) เรายกสมการทั้งสองข้างขึ้นเป็นกำลังที่สี่ เราได้รับ: x=1

c) ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสี่ สมการนี้ไม่มีคำตอบ ทำไม เพราะตามคำจำกัดความที่ 1 รากคู่เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ
มีงานหลายอย่างที่คุณสนใจ เมื่อคุณทำงานเหล่านี้เสร็จ คุณจะได้เรียนรู้ชื่อและนามสกุลของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ นักวิทยาศาสตร์คนนี้เป็นคนแรกที่แนะนำสัญลักษณ์รากในปี 1637

6. มาพักผ่อนกันหน่อย

ชั้นเรียนยกมือ - นี่คือ "หนึ่ง"

หันหัว - มันคือ "สอง"

ก้มลงมองไปข้างหน้า - นี่คือ "สาม"

มือหันกว้างไปด้านข้างเป็น "สี่"

การกดพวกมันลงบนมือของคุณอย่างแรงถือเป็นการ “ไฮไฟว์”

ผู้ชายทุกคนต้องนั่งลง - หกโมงแล้ว

7. งานอิสระ:

ตัวเลือก: ตัวเลือก 2:

ข) 3-. ข)12 -6.

2. แก้สมการ: ก) x 4 = -16; ข) 0.02x 6 -1.28=0; ก) x 8 = -3; ข)0.3x 9 – 2.4=0;

ค) = -2; ค)= 2

8. การทำซ้ำ:ค้นหารากของสมการ = - x ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนคำตอบด้วยรากที่เล็กกว่า

9. การสะท้อนกลับ:คุณเรียนรู้อะไรในบทเรียน? สิ่งที่น่าสนใจ? อะไรที่ยาก?

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "คุณสมบัติของรากที่ n ทฤษฎีบท"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

คุณสมบัติของรากที่ n ทฤษฎีบท

พวกเรายังคงศึกษารากที่ n ของจำนวนจริงต่อไป เช่นเดียวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด รากของระดับที่ n มีคุณสมบัติบางอย่าง วันนี้เราจะมาศึกษาพวกมันกัน
คุณสมบัติทั้งหมดที่เราจะพิจารณานั้นได้รับการกำหนดและพิสูจน์แล้วสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรูทเท่านั้น
ในกรณีของเลขชี้กำลังรูตที่เป็นเลขคี่ เลขชี้กำลังดังกล่าวจะถูกดำเนินการกับตัวแปรลบด้วย

ทฤษฎีบท 1 รากที่ n ของผลิตภัณฑ์ที่เป็นลบสองตัวจะเท่ากับผลคูณของรากที่ n ของตัวเลขเหล่านี้: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](ข)$ .

ลองพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน
การพิสูจน์. เพื่อนๆ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท ขอแนะนำตัวแปรใหม่ แทนพวกมัน:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
เราต้องพิสูจน์ว่า $x=y*z$
โปรดทราบว่าข้อมูลระบุตัวตนต่อไปนี้ยังมีอยู่:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
ดังนั้นเอกลักษณ์ต่อไปนี้จะคงอยู่: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$
กำลังของจำนวนที่ไม่ใช่ลบสองตัวและเลขยกกำลังเท่ากัน จากนั้นฐานของตัวยกกำลังเองก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่า $x=y*z$ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2 ถ้า $a≥0$, $b>0$ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 แล้วความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

นั่นคือ รากที่ n ของผลหาร เท่ากับผลหารของรากที่ n

การพิสูจน์.
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้แผนภาพแบบง่ายในรูปแบบของตาราง:

ตัวอย่างการคำนวณรากที่ n

ตัวอย่าง.
คำนวณ: $\sqrt(16*81*256)$
สารละลาย. ลองใช้ทฤษฎีบท 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$

ตัวอย่าง.
คำนวณ: $\sqrt(7\frac(19)(32))$
สารละลาย. ลองจินตนาการถึงนิพจน์รากว่าเป็นเศษส่วนเกิน: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$
ลองใช้ทฤษฎีบท 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

ตัวอย่าง.
คำนวณ:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
สารละลาย:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ ตร.ม.(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

ทฤษฎีบท 3 ถ้า $a≥0$, k และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$

หากต้องการหยั่งรากลึกสู่พลังธรรมชาติ ก็เพียงพอแล้วที่จะยกระดับการแสดงออกถึงความรุนแรงให้กับพลังนี้

การพิสูจน์.
ลองดูที่กรณีพิเศษสำหรับ $k=3$ ลองใช้ทฤษฎีบท 1 กัน
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
เช่นเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้สำหรับกรณีอื่น ๆ เพื่อนๆ พิสูจน์ด้วยตัวคุณเองในกรณีที่ $k=4$ และ $k=6$

ทฤษฎีบท 4 ถ้า $a≥0$ bn,k เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$

หากต้องการแยกรากออกจากรากก็เพียงพอที่จะคูณตัวบ่งชี้ของรากได้

การพิสูจน์.
เรามาพิสูจน์กันสั้นๆ อีกครั้งโดยใช้ตาราง เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้แผนภาพแบบง่ายในรูปแบบของตาราง:

ตัวอย่าง.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

ทฤษฎีบท 5 ถ้าเลขยกกำลังของรากและนิพจน์รากคูณด้วยจำนวนธรรมชาติเท่ากัน ค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

การพิสูจน์.
หลักการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเราก็เหมือนกับตัวอย่างอื่นๆ มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ตามคำจำกัดความ)
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ตามคำจำกัดความ)
ขอให้เราเพิ่มความเท่าเทียมกันสุดท้ายกับยกกำลัง p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
ได้รับ:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
นั่นคือ $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (หารตัวบ่งชี้ด้วย 5)
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (หารตัวบ่งชี้ด้วย 2)
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (ตัวชี้วัดคูณด้วย 3)

ตัวอย่าง.
ดำเนินการ: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$
สารละลาย.
เลขชี้กำลังของรากเป็นตัวเลขต่างกัน ดังนั้นเราจึงใช้ทฤษฎีบท 1 ไม่ได้ แต่เมื่อใช้ทฤษฎีบท 5 เราจะได้เลขชี้กำลังเท่ากัน
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (ตัวชี้วัดคูณด้วย 3)
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (ตัวชี้วัดคูณด้วย 4)
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. คำนวณ: $\sqrt(32*243*1024)$
2. คำนวณ: $\sqrt(7\frac(58)(81))$
3. คำนวณ:
ก) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. ลดความซับซ้อน:
ก) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ข) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ค) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. ดำเนินการ: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

รากn- องศาและคุณสมบัติของมัน

รากคืออะไรnปริญญาเหรอ? วิธีการแยกราก?

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 คุณคุ้นเคยแล้ว รากที่สอง- เราแก้ไขตัวอย่างทั่วไปที่มีรากโดยใช้คุณสมบัติบางอย่างของราก ตัดสินใจแล้วด้วย สมการกำลังสองโดยที่ไม่ต้องแยกรากที่สอง - ไม่มีทาง แต่รากที่สองเป็นเพียงกรณีพิเศษของแนวคิดที่กว้างกว่า - ราก n ปริญญา - นอกจากรากที่สองแล้ว ยังมีรากที่สาม เช่น กำลังสี่ ห้า และสูงกว่า เป็นต้น และเพื่อที่จะทำงานกับรากดังกล่าวได้สำเร็จ เป็นความคิดที่ดีที่จะอยู่ในเงื่อนไขที่คุ้นเคยกับรากที่สองก่อน) ดังนั้น ใครก็ตามที่มีปัญหากับรากเหล่านี้ ฉันขอแนะนำให้ทำซ้ำอีกครั้ง

การแยกรากเป็นหนึ่งในการดำเนินการที่ตรงกันข้ามกับการยกกำลัง) ทำไมต้อง "อย่างใดอย่างหนึ่ง"? เพราะเมื่อเราสกัดรากเรากำลังมองหา ฐานตามที่ทราบ ระดับและตัวบ่งชี้- และมีการดำเนินการผกผันอีกอย่างหนึ่งคือการค้นหา ตัวบ่งชี้ตามที่ทราบ ระดับและพื้นฐานการดำเนินการนี้เรียกว่าการค้นหา ลอการิทึมมีความซับซ้อนมากกว่าการสกัดราก และมีการศึกษาในโรงเรียนมัธยมปลาย)

เอาล่ะมาทำความรู้จักกันเถอะ!

ประการแรกการกำหนด รากที่สองดังที่เราทราบอยู่แล้วว่าแสดงดังนี้: ไอคอนนี้เรียกว่าสวยงามมากและเป็นวิทยาศาสตร์ - หัวรุนแรง- รากขององศาอื่นคืออะไร? ง่ายมาก: เหนือ "หาง" ของราก ให้เขียนเลขชี้กำลังของระดับที่ต้องการค้นหารากเพิ่มเติม หากคุณกำลังมองหารากที่สาม ให้เขียนสาม: หากรูตอยู่ในระดับที่สี่ ดังนั้น . เป็นต้น) โดยทั่วไปแล้วรูตที่ n จะแสดงดังนี้:

ที่ไหน .

ตัวเลขก เช่นเดียวกับในรากที่สองเรียกว่า การแสดงออกที่รุนแรง และนี่คือตัวเลขn นี่เป็นเรื่องใหม่สำหรับเรา และก็เรียกว่า ดัชนีราก .

จะแยกรากออกจากองศาใด ๆ ได้อย่างไร? เช่นเดียวกับกำลังสอง ลองหาว่าจำนวนใดยกกำลัง n ที่ให้จำนวนเราได้ก .)

ตัวอย่างเช่น คุณจะหารากที่สามของ 8 ได้อย่างไร? นั่นคือ? หมายเลขอะไร ลูกบาศก์ จะให้ 8 กับเราเหรอ? ผีสางโดยธรรมชาติ) ดังนั้นพวกเขาจึงเขียนว่า:

หรือ . เลขยกกำลังสี่ให้เลขอะไร 81? สาม.) ดังนั้น

แล้วรากที่สิบของ 1 ล่ะ? ไม่ใช่เรื่องง่ายที่หนึ่งต่อกำลังใดๆ (รวมถึงที่สิบด้วย) จะเท่ากับหนึ่งด้วย) นั่นคือ:

และโดยทั่วไปแล้ว

มันเป็นเรื่องเดียวกันกับศูนย์: ศูนย์ต่อพลังธรรมชาติใด ๆ ก็เท่ากับศูนย์ ดังนั้น, .

อย่างที่คุณเห็น เมื่อเทียบกับรากที่สอง มันยากกว่าที่จะคิดว่าจำนวนใดที่ให้จำนวนรากถึงหนึ่งหรืออย่างอื่นก - ยากขึ้น หยิบตอบและตรวจสอบความถูกต้องโดยยกกำลังn - สถานการณ์จะง่ายขึ้นอย่างมากหากคุณทราบพลังของตัวเลขยอดนิยมด้วยตนเอง ตอนนี้เรากำลังฝึกซ้อมอยู่ :) มารู้จักองศากันเถอะ!)

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):

ใช่ ใช่! มีคำตอบมากกว่างาน) เพราะเช่น 2 8, 4 4 และ 16 2 เป็นเลขเดียวกันทั้งหมด 256

คุณได้ฝึกฝนหรือไม่? ถ้าอย่างนั้นเรามาดูตัวอย่างกัน:

คำตอบ (ยังสับสนอยู่): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

มันได้ผลเหรอ? เลิศ! เดินหน้าต่อไปกันเถอะ)

ข้อจำกัดในราก รากเลขคณิตnปริญญา

รากที่ n เช่นเดียวกับรากที่สอง ก็มีข้อจำกัดและลูกเล่นของตัวเองเช่นกัน โดยพื้นฐานแล้ว มันไม่แตกต่างจากข้อจำกัดสำหรับรากที่สอง

มันไม่เข้ากันใช่ไหม? 3 คืออะไร อะไรคือ -3 ยกกำลังสี่ จะเป็น +81 :) และด้วยรูทใด ๆ สม่ำเสมอองศาจากเลขลบจะเป็นเพลงเดียวกัน และนี่หมายความว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากที่มีระดับเลขคู่ออกจากจำนวนลบ - นี่เป็นการกระทำที่ต้องห้ามในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นสิ่งต้องห้ามเช่นเดียวกับการหารด้วยศูนย์ ดังนั้นสำนวนเช่น และที่คล้ายกัน - ไม่สมเหตุสมผลเลย.

แต่ราก แปลกกำลังของจำนวนลบ – ได้โปรด!

ตัวอย่างเช่น, ; และอื่นๆ)

และจากจำนวนบวก คุณสามารถแยกรากใด ๆ ออกจากระดับใด ๆ ได้อย่างสบายใจ:

ฉันคิดว่าโดยทั่วไปแล้วมันก็เข้าใจได้) และโดยวิธีการนั้นไม่จำเป็นต้องแยกรากออกอย่างแน่นอน นี่เป็นเพียงตัวอย่างเพื่อความเข้าใจเท่านั้น) มันเกิดขึ้นว่าในกระบวนการแก้ (เช่นสมการ) มีรากที่ค่อนข้างไม่ดีเกิดขึ้น บางอย่างเช่น. รากที่สามสามารถแยกออกมาได้อย่างสมบูรณ์แบบจากเลขแปด แต่ใต้รากมีเลขเจ็ดอยู่ จะทำอย่างไร? ไม่เป็นไร. ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการเป็นตัวเลขที่เมื่อยกกำลังสามแล้วจะให้เรา 7 เบอร์นี้เท่านั้นที่น่าเกลียดและมีขนดกมาก นี่คือ:

นอกจากนี้ตัวเลขนี้ไม่มีวันสิ้นสุดและไม่มีจุด: ตัวเลขจะตามมาแบบสุ่มอย่างสมบูรณ์ มันไม่ลงตัว... ในกรณีเช่นนี้ คำตอบจะเหลืออยู่ในรูปของรูท) แต่หากรูทถูกแยกออกมาล้วนๆ (เช่น ) ดังนั้น ตามธรรมชาติแล้ว รูทจะต้องถูกคำนวณและเขียนลงไป:

เราใช้หมายเลขทดลอง 81 ของเราอีกครั้งและแยกรากที่สี่ออกมา:

เพราะสามในสี่จะเป็น 81 ดีเลย! แต่ยัง ลบสามในสี่ก็จะมี 81 ด้วย!

ส่งผลให้เกิดความคลุมเครือ:

และเพื่อที่จะกำจัดมันออกไป เช่นเดียวกับในรากที่สอง จึงมีการใช้คำพิเศษ: รากเลขคณิตnระดับจากหมู่ ก - นี่คือสิ่งที่มันเป็น ไม่เป็นลบตัวเลข,n- ระดับซึ่งเท่ากับ ก .

และคำตอบที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบเรียกว่าต่างกัน - รากพีชคณิตnปริญญา- กำลังเลขคู่ใดๆ ก็ตามมีรากพีชคณิต ตัวเลขตรงข้ามกันสองตัว- ที่โรงเรียนพวกเขาจะใช้แค่รากเลขคณิตเท่านั้น ดังนั้นจำนวนลบในรากเลขคณิตจึงถูกทิ้งไป ตัวอย่างเช่น พวกเขาเขียนว่า: . แน่นอนว่าเครื่องหมายบวกนั้นไม่ได้เขียนไว้: มัน บอกเป็นนัย.

ทุกอย่างดูเหมือนง่าย แต่... แล้วรากคี่ของจำนวนลบล่ะ? ท้ายที่สุดแล้ว เมื่อคุณแยกมันออกมา คุณจะได้จำนวนลบเสมอ! เนื่องจากจำนวนลบใดๆ ใน ระดับคี่ก็ให้จำนวนลบเช่นกัน และรากเลขคณิตใช้ได้กับตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น! นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมมันถึงเป็นเลขคณิต)

ในรากเช่นนี้ นี่คือสิ่งที่พวกเขาทำ: พวกเขาเอาเครื่องหมายลบออกจากใต้รากแล้ววางไว้หน้าราก แบบนี้:

ในกรณีเช่นนี้ว่ากันว่า แสดงผ่านรากเลขคณิต (เช่น ไม่เป็นลบอยู่แล้ว) .

แต่มีจุดหนึ่งที่อาจทำให้เกิดความสับสน - นี่คือคำตอบของสมการง่ายๆ ที่มีพลัง ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการ:

เราเขียนคำตอบ: . อันที่จริง คำตอบนี้เป็นเพียงการย่อของ สองคำตอบ:

ความเข้าใจผิดที่นี่คือฉันได้เขียนไว้สูงกว่าเล็กน้อยแล้วว่าที่โรงเรียนจะพิจารณาเฉพาะรากที่ไม่เป็นลบ (เช่นเลขคณิต) เท่านั้น และนี่คือหนึ่งในคำตอบที่มีเครื่องหมายลบ... ฉันควรทำอย่างไร? ไม่มีทาง! ป้ายนี่คือ ผลลัพธ์ของการแก้สมการ- ก รากนั้นเอง– ค่ายังคงเป็นลบ! ดูด้วยตัวคุณเอง:

ตอนนี้มันชัดเจนขึ้นแล้วเหรอ? พร้อมวงเล็บ?)

ด้วยระดับที่แปลกทุกอย่างจะง่ายกว่ามาก - มันจะได้ผลอยู่เสมอ หนึ่งราก. ด้วยการบวกหรือลบ ตัวอย่างเช่น:

ดังนั้นถ้าเรา แค่เราแยกราก (ของระดับคู่) ออกจากตัวเลข จากนั้นเราจะได้เสมอ หนึ่งผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบ เพราะมันคือรากเลขคณิต แต่ถ้าเราตัดสินใจ สมการด้วยดีกรีเท่ากัน เราก็จะได้ สองรากที่ตรงกันข้ามเนื่องจากนี่คือ คำตอบของสมการ.

ไม่มีปัญหากับรากที่แปลก (ลูกบาศก์, ห้า, ฯลฯ ) เรามาเอามันออกไปเองและไม่ต้องกังวลกับสัญญาณ เครื่องหมายบวกใต้รากหมายถึงผลลัพธ์ของการสกัดเป็นบวก ลบ แปลว่า ลบ)

และตอนนี้ก็ถึงเวลาพบกันแล้ว คุณสมบัติของราก- บางตัวอาจคุ้นเคยกับเราตั้งแต่รากที่สองแล้ว แต่จะมีการเพิ่มตัวใหม่บางตัวเข้าไป ไปกันเลย!

คุณสมบัติของราก ต้นตอของการทำงาน

คุณสมบัตินี้คุ้นเคยกับเราตั้งแต่รากที่สองแล้ว สำหรับรากขององศาอื่น ทุกอย่างจะคล้ายกัน:

นั่นคือ รากของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของรากของแต่ละปัจจัยแยกจากกัน.

ถ้าเป็นตัวบ่งชี้n แม้แต่อนุมูลทั้งสองก และข โดยธรรมชาติแล้วจะต้องไม่เป็นค่าลบ ไม่เช่นนั้นสูตรจะไม่สมเหตุสมผล ในกรณีของเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ ไม่มีข้อจำกัด: เราย้ายเครื่องหมายลบไปข้างหน้าจากใต้ราก จากนั้นจึงทำงานกับรากทางคณิตศาสตร์)

เช่นเดียวกับรากที่สอง สูตรนี้มีประโยชน์เท่ากันจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย การใช้สูตรจากซ้ายไปขวาจะทำให้คุณสามารถแยกรากได้ จากการทำงาน- ตัวอย่างเช่น:

สูตรนี้ใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับสองเท่านั้น แต่สำหรับปัจจัยหลายประการด้วย ตัวอย่างเช่น:

คุณยังสามารถใช้สูตรนี้เพื่อแยกรากออกจากตัวเลขจำนวนมาก โดยทำดังนี้ ตัวเลขที่อยู่ใต้รากจะถูกแยกย่อยออกเป็นตัวประกอบที่เล็กลง จากนั้นรากจะถูกแยกออกจากแต่ละปัจจัย

ตัวอย่างเช่น งานนี้:

จำนวนค่อนข้างมาก รากถูกสกัดออกมาหรือไม่? เรียบ– มันไม่ชัดเจนหากไม่มีเครื่องคิดเลข คงจะดีถ้าแยกตัวประกอบออกมา ตัวเลข 3375 หารด้วยอะไรกันแน่? ดูเหมือนว่า 5: หลักสุดท้ายคือห้า) หาร:

อ๊ะ หารด้วย 5 อีกแล้ว! 675:5 = 135 และ 135 หารด้วย 5 ลงตัวอีกครั้ง เมื่อไหร่จะจบแบบนี้!)

135:5 = 27. ด้วยหมายเลข 27 ทุกอย่างชัดเจนแล้ว - มันคือสามลูกบาศก์ วิธี,

แล้ว:

เราแยกรากออกทีละชิ้น ไม่เป็นไร)

หรือตัวอย่างนี้:

เราแยกตัวประกอบตามเกณฑ์การหารลงตัวอีกครั้ง อันไหน? ตอนตี 4 เพราะ. เลขสองสามหลักสุดท้าย 40 หารด้วย 4 ลงตัว และด้วย 10 เพราะ หลักสุดท้ายคือศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถหารด้วย 40 ได้ในคราวเดียว:

เรารู้แล้วว่าเลข 216 นั้นเป็นเลขหกลูกบาศก์ ดังนั้น,

และในทางกลับกัน 40 ก็สามารถขยายเป็น . แล้ว

แล้วในที่สุดเราก็ได้:

การแยกรากออกมาหมดจดไม่ได้ผล แต่ก็ไม่เป็นไร อย่างไรก็ตาม เราทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น: เรารู้ว่าภายใต้รูท (ไม่ว่าจะเป็นกำลังสอง แม้แต่ลูกบาศก์ อะไรก็ได้) เป็นเรื่องปกติที่จะปล่อยให้จำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้) ในตัวอย่างนี้ เราได้ดำเนินการอย่างหนึ่งที่มีประโยชน์มาก ซึ่งเราคุ้นเคยอยู่แล้วจาก รากที่สอง คุณจำได้ไหม? ใช่! เรา ดำเนินการตัวคูณจากราก ในตัวอย่างนี้ เราเอาสองและหกออกมา เช่น หมายเลข 12

จะนำตัวคูณออกจากเครื่องหมายรูทได้อย่างไร?

การหาตัวประกอบ (หรือปัจจัย) ที่อยู่นอกเหนือเครื่องหมายรากนั้นง่ายมาก เราแยกตัวประกอบการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงและแยกสิ่งที่สกัดออกมา) และสิ่งที่ไม่ได้สกัดออกมา เราก็ปล่อยไว้ใต้ราก ดู:

เราแยกตัวประกอบตัวเลข 9072 เนื่องจากเรามีรากกำลังที่สี่ อันดับแรกเราจึงพยายามแยกตัวประกอบให้เป็นกำลังที่สี่ของจำนวนธรรมชาติ เช่น 16, 81 เป็นต้น

ลองหาร 9072 ด้วย 16:

แชร์แล้ว!

แต่ 567 ดูเหมือนจะหารด้วย 81 ลงตัว:

วิธี, .

แล้ว

คุณสมบัติของราก การคูณราก

ให้เราพิจารณาการใช้สูตรแบบย้อนกลับ - จากขวาไปซ้าย:

เมื่อมองแวบแรก ไม่มีอะไรใหม่ แต่รูปลักษณ์ภายนอกกำลังหลอกลวง) การใช้สูตรแบบย้อนกลับจะขยายขีดความสามารถของเราอย่างมาก ตัวอย่างเช่น:

อืม แล้วมีอะไรผิดปกติล่ะ? พวกเขาคูณมัน ก็แค่นั้นแหละ. ไม่มีอะไรพิเศษจริงๆที่นี่ การคูณรากแบบปกติ นี่คือตัวอย่าง!

ไม่สามารถแยกรากออกจากปัจจัยอย่างหมดจดได้ แต่ผลลัพธ์ก็เยี่ยมมาก)

ขอย้ำอีกครั้งว่าสูตรนี้ใช้ได้กับปัจจัยจำนวนเท่าใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น คุณต้องคำนวณนิพจน์ต่อไปนี้:

สิ่งสำคัญที่นี่คือความสนใจ ตัวอย่างประกอบด้วย แตกต่างราก – ลูกบาศก์และระดับที่สี่ และไม่มีใครสกัดออกมาได้อย่างแน่นอน...

และสูตรสำหรับผลคูณของรากนั้นใช้ได้กับรากเท่านั้นด้วย เหมือนกันตัวชี้วัด ดังนั้น เราจะจัดกลุ่มรากที่สามออกเป็นกลุ่มที่แยกจากกัน และรากระดับที่ 4 เป็นกลุ่มที่แยกจากกัน แล้วคุณจะเห็นทุกอย่างจะเติบโตไปด้วยกัน))

และคุณไม่จำเป็นต้องมีเครื่องคิดเลข)

จะป้อนตัวคูณใต้เครื่องหมายรูทได้อย่างไร?

สิ่งที่มีประโยชน์ต่อไปก็คือ การเพิ่มตัวเลขให้กับรูท- ตัวอย่างเช่น:

เป็นไปได้ไหมที่จะลบทริปเปิลที่อยู่ในรูตออก? ประถมศึกษา! ถ้าเราเปลี่ยนสามให้เป็น รากจากนั้นสูตรสำหรับผลคูณของรากจะใช้ได้ ลองเปลี่ยนสามให้เป็นรากกัน เนื่องจากเรามีรากของดีกรีที่ 4 เราก็จะเปลี่ยนมันเป็นรากของดีกรีที่ 4 ด้วย) แบบนี้:

แล้ว

โดยวิธีการรูตสามารถสร้างได้จากจำนวนที่ไม่เป็นลบ และในระดับที่เราต้องการ (ทุกอย่างขึ้นอยู่กับตัวอย่างเฉพาะ) นี่จะเป็นรากที่ n ของจำนวนนี้:

และตอนนี้ - ความสนใจ!ที่มาของข้อผิดพลาดร้ายแรง! ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันพูดที่นี่ ไม่เป็นลบตัวเลข รากเลขคณิตใช้ได้กับสิ่งเหล่านี้เท่านั้น หากเรามีจำนวนลบที่ไหนสักแห่งในงาน เราก็จะทิ้งเครื่องหมายลบไว้แบบนั้นข้างหน้าราก (ถ้าอยู่ด้านนอก) หรือกำจัดเครื่องหมายลบใต้รากหากมันอยู่ข้างใน ฉันเตือนคุณถ้าอยู่ใต้ราก สม่ำเสมอองศาเป็นจำนวนลบแล้ว การแสดงออกไม่สมเหตุสมผล.

ยกตัวอย่างงานนี้ ป้อนตัวคูณใต้เครื่องหมายรูท:

หากเรานำเอารากนี้ไป ลบสองแล้วเราจะเข้าใจผิดอย่างร้ายแรง:

เกิดอะไรขึ้นที่นี่? และความจริงก็คือว่ากำลังที่สี่เนื่องจากความเท่าเทียมกันจึง "กิน" ลบนี้อย่างมีความสุขซึ่งเป็นผลมาจากการที่จำนวนลบอย่างเห็นได้ชัดกลายเป็นค่าบวก และวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องจะเป็นดังนี้:

ในรากขององศาคี่แม้ว่าค่าลบจะไม่ "กินหมด" แต่ก็เป็นการดีกว่าถ้าปล่อยไว้ข้างนอก:

ตรงนี้รากคี่คือลูกบาศก์ และเรามีสิทธิ์ทุกประการที่จะดันลบไปใต้รากด้วย แต่ในตัวอย่างนี้ เป็นการดีกว่าที่จะทิ้งเครื่องหมายลบไว้ข้างนอกและเขียนคำตอบที่แสดงผ่านรูททางคณิตศาสตร์ (ไม่เป็นลบ) เนื่องจากรูตถึงแม้ว่ามันจะมีสิทธิ์ในการมีชีวิตก็ตาม ไม่ใช่เลขคณิต.

หวังว่าเมื่อป้อนตัวเลขใต้รูท ทุกอย่างก็ชัดเจนเช่นกัน) เรามาดูคุณสมบัติถัดไปกันดีกว่า

คุณสมบัติของราก รากของเศษส่วน การแบ่งราก

คุณสมบัตินี้ยังจำลองคุณสมบัติของรากที่สองอย่างสมบูรณ์อีกด้วย ตอนนี้เราขยายมันไปสู่รากทุกระดับ:

รากของเศษส่วนเท่ากับรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน.

ถ้า n เป็นเลขคู่ แสดงว่าจำนวนนั้นก จะต้องไม่เป็นลบและตัวเลขข – บวกอย่างเคร่งครัด (ไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) ในกรณีที่ตัวบ่งชี้เป็นเลขคี่ ข้อจำกัดเพียงอย่างเดียวคือ

คุณสมบัตินี้ช่วยให้คุณแยกรากออกจากเศษส่วนได้อย่างง่ายดายและรวดเร็ว:

ฉันคิดว่าแนวคิดนี้ชัดเจน แทนที่จะทำงานกับเศษส่วนทั้งหมด เราย้ายไปทำงานแยกกันโดยใช้ตัวเศษและแยกกับตัวส่วน) หากเศษส่วนเป็นทศนิยมหรือน่ากลัวน่าสยดสยองเป็นจำนวนคละ ขั้นแรกเราจะย้ายไปยังเศษส่วนสามัญ:

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสูตรนี้ทำงานอย่างไรจากขวาไปซ้าย โอกาสที่เป็นประโยชน์มากมายก็เกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ตัวอย่างนี้:

ไม่สามารถแยกรากออกจากตัวเศษและตัวส่วนได้อย่างแน่นอน แต่จากเศษส่วนทั้งหมดก็ใช้ได้) คุณสามารถแก้ตัวอย่างนี้ได้ด้วยวิธีอื่น - ลบตัวประกอบออกจากใต้รากในตัวเศษแล้วลดขนาด:

ตามที่คุณต้องการ คำตอบจะเหมือนเดิมเสมอ – คำตอบที่ถูกต้อง ถ้าไม่ผิดพลาดไปตลอดทาง)

ดังนั้นเราจึงได้แยกการคูณ/หารของรากออกแล้ว มาดูขั้นตอนต่อไปแล้วพิจารณาคุณสมบัติที่สาม - หยั่งรากไปสู่พลัง และ รากแห่งพลัง .

รากถึงระดับ รากของปริญญา.

จะหยั่งรากไปสู่พลังได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีตัวเลข เลขนี้ยกกำลังได้ไหม? ในลูกบาศก์เป็นต้น? แน่นอน! คูณรากด้วยตัวมันเองสามครั้ง และ - ตามสูตรสำหรับผลคูณของราก:

นี่คือรากและระดับ ราวกับว่าถูกทำลายหรือชดเชยร่วมกัน อันที่จริง ถ้าเราบวกจำนวนที่เมื่อยกเป็นลูกบาศก์แล้วให้ 3 แก่เราในลูกบาศก์นี้ แล้วเราจะได้อะไร? แน่นอนเราจะได้สาม! และนี่จะเป็นกรณีของจำนวนที่ไม่เป็นลบ ในแง่ทั่วไป:

หากเลขยกกำลังและรากต่างกันก็ไม่มีปัญหาเช่นกัน ถ้าทราบคุณสมบัติขององศาแล้ว)

หากเลขชี้กำลังน้อยกว่าเลขชี้กำลังของราก เราก็เพียงแต่ดันดีกรีไว้ใต้ราก:

โดยทั่วไปมันจะเป็น:

แนวคิดนี้ชัดเจน: เรายกนิพจน์ที่รุนแรงขึ้นเป็นกำลัง จากนั้นทำให้ง่ายขึ้น โดยเอาปัจจัยต่างๆ ออกจากราก หากเป็นไปได้ ถ้าn แม้กระทั่งตอนนั้นก จะต้องไม่เป็นลบ ฉันคิดว่าทำไมจึงเข้าใจได้) และถ้าn แปลกแล้วไม่มีข้อจำกัดก ไม่สามารถใช้ได้อีกต่อไป:

มาจัดการกับตอนนี้กันดีกว่า รากของการศึกษาระดับปริญญา - นั่นคือไม่ใช่รากของมันเองที่จะถูกยกขึ้นสู่อำนาจ แต่ การแสดงออกที่รุนแรง- ไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่เช่นกัน แต่ยังมีช่องว่างให้ทำผิดพลาดอีกมากมาย ทำไม เพราะตัวเลขติดลบเข้ามามีบทบาทซึ่งอาจทำให้เกิดความสับสนในสัญญาณได้ ในตอนนี้ เรามาเริ่มกันที่รากของพลังแปลก ๆ ซึ่งง่ายกว่ามาก

ขอเลข 2 ไว้. ยกกำลังสามได้ไหม? แน่นอน!

ทีนี้ลองนำรากที่สามกลับมาจากเลขแปด:

เราเริ่มต้นด้วยสองและกลับมาเป็นสอง) ไม่น่าแปลกใจเลยที่ลูกบาศก์ได้รับการชดเชยโดยการดำเนินการย้อนกลับ - การแตกรากของลูกบาศก์

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

ทุกอย่างก็ดีที่นี่เช่นกัน ระดับและรากชดเชยซึ่งกันและกัน โดยทั่วไป สำหรับรากของเลขยกกำลังคี่ เราสามารถเขียนสูตรได้ดังนี้:

สูตรนี้ใช้ได้กับจำนวนจริงใดๆก - ไม่ว่าจะบวกหรือลบ

นั่นคือระดับคี่และรากของระดับเดียวกันจะชดเชยซึ่งกันและกันเสมอและได้รับการแสดงออกทางราก -

แต่ด้วย สม่ำเสมอเคล็ดลับนี้อาจใช้ไม่ได้อีกต่อไป ดูด้วยตัวคุณเอง:

ยังไม่มีอะไรพิเศษที่นี่ ระดับที่สี่และรากของระดับที่สี่ก็สมดุลกันและผลลัพธ์ก็เป็นเพียงสองนั่นคือ การแสดงออกที่รุนแรง และสำหรับใครก็ตาม ไม่เป็นลบตัวเลขจะเหมือนกัน ทีนี้ลองแทนที่ 2 ในรูทนี้ด้วยลบ 2 นั่นคือ ลองคำนวณรูทต่อไปนี้:

การลบของทั้งสองถูก "เผาไหม้" ได้สำเร็จเนื่องจากระดับที่สี่ และจากการแตกราก (เลขคณิต!) เราก็ได้ เชิงบวกตัวเลข. มันคือลบสอง ตอนนี้บวกสองแล้ว) แต่ถ้าเรา "ลด" ระดับและรากลงอย่างไม่คิดอะไร (เท่าเดิม!) เราก็จะได้

ซึ่งเป็นความผิดพลาดร้ายแรงใช่

ดังนั้นเพื่อ สม่ำเสมอเลขชี้กำลัง สูตรสำหรับรากของระดับมีลักษณะดังนี้:

ที่นี่เราได้เพิ่มเครื่องหมายโมดูลัสซึ่งหลายคนไม่มีใครชื่นชอบ แต่ก็ไม่มีอะไรน่ากลัวเกี่ยวกับมัน ด้วยเหตุนี้ สูตรนี้จึงใช้ได้กับจำนวนจริงใดๆ ก็ตามก. และโมดูลก็ตัดข้อเสียออก:

เฉพาะรากของระดับที่ n เท่านั้นที่มีความแตกต่างเพิ่มเติมระหว่างองศาคู่และคี่ปรากฏขึ้น อย่างที่เราเห็นแม้แต่องศาก็ไม่แน่นอนมากกว่าใช่)

ทีนี้ลองพิจารณาคุณสมบัติใหม่ที่มีประโยชน์และน่าสนใจมากซึ่งเป็นลักษณะของรากของระดับที่ n แล้ว: ถ้าเลขชี้กำลังของรากและเลขชี้กำลังของนิพจน์รากถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน ค่าของรูต จะไม่เปลี่ยนแปลง

มันค่อนข้างชวนให้นึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนใช่ไหม? ในเศษส่วน เราสามารถคูณ (หาร) ตัวเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันได้ (ยกเว้นศูนย์) ที่จริงแล้ว คุณสมบัติของรากนี้เป็นผลมาจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนด้วย เมื่อเราพบกัน องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะแล้วทุกอย่างจะชัดเจน อะไร อย่างไร และที่ไหน)

การใช้สูตรนี้โดยตรงช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของรากจากพลังใดๆ ลงได้อย่างแน่นอน รวมถึงถ้าเลขชี้กำลังของนิพจน์รากและรากนั้นเอง แตกต่าง- ตัวอย่างเช่น คุณต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์ต่อไปนี้:

มาทำกันง่ายๆ. ขั้นแรกเราเลือกกำลังสี่ของสิบใต้รูทแล้ว - เอาเลย! ยังไง? ตามคุณสมบัติขององศาแน่นอน! เรานำตัวคูณออกจากใต้รากหรือทำงานโดยใช้สูตรหารากของกำลัง

แต่มาทำให้มันง่ายขึ้นโดยใช้เพียงคุณสมบัตินี้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เรามาแทนทั้งสี่ภายใต้รูทเป็น:

และตอนนี้ - สิ่งที่น่าสนใจที่สุด - จิตใจสั้นลงดัชนีภายใต้รูท (สอง) กับดัชนีของรูท (สี่)! และเราได้รับ: