สมการของวงกลม สมการของวงกลมและเส้น สมการของวงกลมต่อจุดศูนย์กลางและจุด

ระดับ: 8

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:แนะนำสมการของวงกลม สอนให้นักเรียนเขียนสมการของวงกลมโดยใช้ภาพวาดสำเร็จรูป และสร้างวงกลมโดยใช้สมการที่กำหนด

อุปกรณ์: ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

แผนการสอน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร – ​​3 นาที
2. การทำซ้ำ องค์กร กิจกรรมจิต– 7 นาที
3. คำอธิบายของวัสดุใหม่ การหาสมการของวงกลม – 10 นาที
4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษา – 20 นาที
5. สรุปบทเรียน – 5 นาที

ความคืบหน้าของบทเรียน

2. การทำซ้ำ:

− (ภาคผนวก 1 สไลด์ 2) เขียนสูตรเพื่อค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน

− (สไลด์ 3) Zเขียนสูตรระยะห่างระหว่างจุด (ความยาวของส่วน)

3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่

(สไลด์ที่ 4 – 6)กำหนดสมการของวงกลม หาสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( ก;ข) และมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

(เอ็กซ์ – ก ) 2 + (ที่ – ข ) 2 = ร 2 – สมการของวงกลมกับจุดศูนย์กลาง กับ (ก;ข) , รัศมี ร , เอ็กซ์ และ ที่ – พิกัดของจุดใดก็ได้บนวงกลม .

เอ็กซ์ 2 + ย 2 = ร 2 – สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

(สไลด์ 7)

ในการสร้างสมการของวงกลม คุณต้อง:

• รู้พิกัดของศูนย์
• รู้ความยาวของรัศมี
• แทนพิกัดของจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีลงในสมการของวงกลม

4. การแก้ปัญหา

ในงานหมายเลข 1 - หมายเลข 6 ให้เขียนสมการของวงกลมโดยใช้ภาพวาดสำเร็จรูป

(สไลด์ 14)

№ 7. กรอกตาราง

(สไลด์ 15)

№ 8. สร้างวงกลมในสมุดบันทึกของคุณตามสมการ:

ก) ( เอ็กซ์ – 5) 2 + (ที่ + 3) 2 = 36;
ข) (เอ็กซ์ + 1) 2 + (ที่– 7) 2 = 7 2 .

(สไลด์ 16)

№ 9. ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีถ้า เอบี– เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

ที่ให้ไว้:		สารละลาย:
		ร	พิกัดกลาง
1	ก(0 ; -6) ใน(0 ; 2)	เอบี 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; เอบี 2 = 64; เอบี = 8 .	ก(0; -6) ใน(0 ; 2) กับ(0 ; – 2) – ศูนย์
2	ก(-2 ; 0) ใน(4 ; 0)	เอบี 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; เอบี 2 = 36; เอบี = 6.	ก (-2;0) ใน (4 ;0) กับ(1 ; 0) – ศูนย์

(สไลด์ 17)

№ 10. เขียนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและผ่านจุดนั้น ถึง(-12;5).

สารละลาย.

ร 2 = ตกลง 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
ร= 13;

สมการของวงกลม: x 2 + y 2 = 169 .

(สไลด์ 18)

№ 11. เขียนสมการของวงกลมที่ผ่านจุดกำเนิดและมีศูนย์กลางอยู่ที่ กับ(3; - 1).

สารละลาย.

R2= ระบบปฏิบัติการ 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

สมการของวงกลม: ( เอ็กซ์ - 3) 2 + (ใช่ + 1) 2 = 10.

(สไลด์ 19)

№ 12. เขียนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง ก(3;2) ผ่านไป ใน(7;5).

สารละลาย.

1. จุดศูนย์กลางวงกลม – ก(3;2);
2.ร = เอบี;
เอบี 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; เอบี = 5;
3. สมการของวงกลม ( เอ็กซ์ – 3) 2 + (ที่ − 2) 2 = 25.

(สไลด์ 20)

№ 13. ตรวจสอบว่าจุดอยู่หรือไม่ ก(1; -1), ใน(0;8), กับ(-3; -1) บนวงกลมที่กำหนดโดยสมการ ( เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่ − 4) 2 = 25.

สารละลาย.

ฉัน- ลองแทนพิกัดของจุดดู ก(1; -1) ลงในสมการของวงกลม:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – ความเท่าเทียมกันเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่า ก(1; -1) ไม่โกหกบนวงกลมที่กำหนดโดยสมการ ( เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่ − 4) 2 = 25.

ครั้งที่สอง- ลองแทนพิกัดของจุดดู ใน(0;8) ลงในสมการของวงกลม:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
ใน(0;8)คำโกหก เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่ − 4) 2 = 25.

III.ลองแทนพิกัดของจุดดู กับ(-3; -1) ลงในสมการของวงกลม:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ซึ่งหมายความว่า กับ(-3; -1) คำโกหกบนวงกลมที่กำหนดโดยสมการ ( เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่ − 4) 2 = 25.

สรุปบทเรียน

1. ทำซ้ำ: สมการของวงกลม สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด
2. (สไลด์ 21) การบ้าน.

หัวข้อบทเรียน: สมการของวงกลม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา: หาสมการของวงกลมโดยพิจารณาว่าวิธีแก้ปัญหานี้เป็นหนึ่งในความเป็นไปได้ของการใช้วิธีการพิกัด

สามารถ:

– รู้จักสมการของวงกลมโดยใช้สมการที่เสนอ สอนนักเรียนถึงวิธีสร้างสมการของวงกลมโดยใช้ภาพวาดสำเร็จรูป และสร้างวงกลมโดยใช้สมการที่กำหนด

ทางการศึกษา : การก่อตัวของการคิดอย่างมีวิจารณญาณ

พัฒนาการ : การพัฒนาความสามารถในการจัดทำคำสั่งอัลกอริธึมและความสามารถในการปฏิบัติตามอัลกอริธึมที่เสนอ

สามารถ:

– เห็นปัญหาและร่างแนวทางแก้ไข

– แสดงความคิดของคุณสั้นๆ ด้วยวาจาและเป็นลายลักษณ์อักษร

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้ความรู้ใหม่

อุปกรณ์ : พีซี, โปรเจคเตอร์มัลติมีเดีย, หน้าจอ

แผนการสอน:

1. กล่าวเปิดงาน– 3 นาที

2. การอัปเดตความรู้ – 2 นาที

3. การชี้แจงปัญหาและแนวทางแก้ไข – 10 นาที

4. การยึดวัสดุใหม่ด้านหน้า – 7 นาที

5. ทำงานอิสระเป็นกลุ่ม – 15 นาที

6. การนำเสนองาน: การอภิปราย – 5 นาที

7. สรุปบทเรียน การบ้าน – 3 นาที

ความคืบหน้าของบทเรียน

วัตถุประสงค์ของขั้นตอนนี้: อารมณ์ทางจิตวิทยาของนักเรียน ให้นักเรียนทุกคนมีส่วนร่วม กระบวนการศึกษาสร้างสถานการณ์แห่งความสำเร็จ

1. ช่วงเวลาขององค์กร

3 นาที

พวก! คุณคุ้นเคยกับวงกลมในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และ 8 คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเธอบ้าง?

คุณรู้มาก และข้อมูลนี้สามารถนำไปใช้ในการตัดสินใจได้ ปัญหาทางเรขาคณิต- แต่การแก้ปัญหาโดยใช้วิธีพิกัดยังไม่เพียงพอทำไม

จริงอย่างแน่นอน

ดังนั้นเป้าหมายหลักของบทเรียนวันนี้คือการได้สมการของวงกลมตาม คุณสมบัติทางเรขาคณิตเส้นที่กำหนดและการประยุกต์เพื่อแก้ปัญหาเรขาคณิต

และปล่อยให้คำขวัญบทเรียน จะเป็นคำพูดของอัล-บีรูนี นักสารานุกรมแห่งเอเชียกลางที่ว่า “ความรู้คือทรัพย์สมบัติอันล้ำเลิศที่สุด ทุกคนต่างดิ้นรนเพื่อมัน แต่มันก็ไม่ได้มาด้วยตัวเอง”

เขียนหัวข้อบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณ

ความหมายของวงกลม

รัศมี.

เส้นผ่านศูนย์กลาง

คอร์ด. ฯลฯ

เรายังไม่รู้เลย มุมมองทั่วไปสมการของวงกลม

นักเรียนเขียนทุกสิ่งที่พวกเขารู้เกี่ยวกับวงกลม

สไลด์ 2

สไลด์ 3

จุดประสงค์ของขั้นตอนนี้คือเพื่อให้เข้าใจถึงคุณภาพของการดูดซึมเนื้อหาของนักเรียนและเพื่อกำหนดความรู้พื้นฐาน

2. อัพเดทความรู้.

2 นาที

เมื่อได้สมการของวงกลม คุณจะต้องการแล้ว คำจำกัดความที่รู้จักกันดีวงกลมและสูตรที่ช่วยให้คุณค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดโดยใช้พิกัดของจุดเหล่านั้นเรามาจำข้อเท็จจริงเหล่านี้กันดีกว่า /nการทำซ้ำของวัสดุ เคยศึกษามาแล้ว/:

– เขียนสูตรในการหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนนั้น

– เขียนสูตรคำนวณความยาวของเวกเตอร์

– เขียนสูตรหาระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ (ความยาวของส่วน)

กำลังแก้ไขรายการ...

อุ่นเครื่องทางเรขาคณิต

มีการให้คะแนนเอ (-1;7) และใน (7; 1)

คำนวณพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน AB และความยาว

ตรวจสอบความถูกต้องของการดำเนินการ แก้ไขการคำนวณ...

นักเรียนคนหนึ่งอยู่ที่กระดานดำ และคนอื่นๆ กำลังเขียนสูตรลงในสมุดบันทึก

วงกลมเรียกว่า รูปทรงเรขาคณิตประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่อยู่ในระยะที่กำหนดจากจุดที่กำหนด

|AB|=√(x – x)²+(y – y)²

ม(x;y), ก(x;y)

คำนวณ: C (3; 4)

- เอบี|

กับ = 10

ตะกั่ว 4

3. สไลด์ 5

การก่อตัวของความรู้ใหม่

12 นาที

วัตถุประสงค์: การก่อตัวของแนวคิด - สมการของวงกลม

แก้ไขปัญหา:ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง A(x;y) จะถูกสร้างขึ้น M(x; y) - จุดใดก็ได้ของวงกลม

- หารัศมีของวงกลม.

พิกัดของจุดอื่นจะเป็นไปตามความเท่าเทียมกันนี้หรือไม่? ทำไมลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการกัน

ด้วยเหตุนี้เราจึงมี:

วัตถุประสงค์: การก่อตัวของแนวคิด - สมการของวงกลม

r² =(x – x)²+(y – y)²-สมการของวงกลม โดยที่ (x;y) คือพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม (x;y) คือพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งที่วางอยู่ บนวงกลม r คือรัศมีของวงกลม

สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดจะเป็นเท่าใด

แล้วคุณต้องรู้อะไรบ้างจึงจะสามารถสร้างสมการของวงกลมได้?

เสนออัลกอริทึมสำหรับการเขียนสมการของวงกลม

สรุป: ...เขียนลงในสมุดบันทึกของคุณ

รัศมีเป็นส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของวงกลมโดยมีจุดใดจุดหนึ่งอยู่บนวงกลม ดังนั้น r=|AM|=√(x – x)²+(y – y)²

จุดใดๆ บนวงกลมจะอยู่บนวงกลมนี้

นักเรียนจดบันทึกลงในสมุดบันทึก

(0;0) - พิกัดศูนย์กลางของวงกลม

x²+y²=r² โดยที่ r คือรัศมีของวงกลม

พิกัดจุดศูนย์กลางวงกลม รัศมี จุดใดๆ บนวงกลม...

พวกเขาเสนออัลกอริทึม...

เขียนอัลกอริทึมลงในสมุดบันทึก

สไลด์ 6

สไลด์ 7

สไลด์ 8

ครูบันทึกความเท่าเทียมกันไว้บนกระดาน

4. สไลด์ 9

การรวมหลัก

23 นาทีเป้า:. การทำซ้ำโดยนักเรียนของเนื้อหาที่เพิ่งเรียนรู้เพื่อป้องกันการสูญเสียความคิดและแนวความคิดที่เกิดขึ้นการรวบรวมความรู้ แนวคิด แนวคิดใหม่ ๆ บนพื้นฐานของความรู้เหล่านั้น

การใช้งาน

การควบคุมแสงแดด

ให้เรานำความรู้ที่ได้รับมาประยุกต์ใช้เพื่อแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ งาน:

จากสมการที่เสนอ ให้ตั้งชื่อตัวเลขที่เป็นสมการของวงกลม และถ้าสมการคือสมการของวงกลม ให้ตั้งชื่อพิกัดของจุดศูนย์กลางและระบุรัศมี

ไม่ใช่ทุกสมการระดับสองที่มีตัวแปรสองตัวจะกำหนดวงกลมได้4x²+y²=4-

สมการวงรีx²+y²=0-

จุดสมการนี้ไม่ได้กำหนดตัวเลขใดๆ

พวก! คุณต้องรู้อะไรบ้างจึงจะเขียนสมการวงกลมได้?

แก้ไขปัญหา เลขที่ 966 หน้า 245 (ตำราเรียน).

ครูเรียกนักเรียนไปที่กระดาน

ข้อมูลที่ให้ไว้ในคำชี้แจงปัญหาเพียงพอที่จะสร้างสมการของวงกลมหรือไม่?

ให้เรานำความรู้ที่ได้รับมาประยุกต์ใช้เพื่อแก้ไขปัญหาต่อไปนี้

เขียนสมการของวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 8

งาน : วาดวงกลม

ทางศูนย์มีพิกัดมั้ย?

กำหนดรัศมี...และสร้าง

ปัญหาในหน้า 243 (ตำราเรียน) มีการวิเคราะห์ด้วยปากเปล่า

การใช้แผนแก้ไขปัญหาจากหน้า 243 แก้ไขปัญหา:

เขียนสมการสำหรับวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด A(3;2) ถ้าวงกลมผ่านจุด B(7;5)

1) (x-5)²+(y-3)²=36 - สมการของวงกลม (5;3),r=6

2) (x-1)²+y²=49 - สมการของวงกลม (1;0),r=7

3) x²+y²=7 - สมการของวงกลม (0;0),r=√7

4) (x+3)²+(y-8)²=2 - สมการของวงกลม (-3;8),r=√2.

5) 4x²+y²=4 ไม่ใช่สมการของวงกลม

6) x²+y²=0- ไม่ใช่สมการของวงกลม

7) x²+y²=-4- ไม่ใช่สมการของวงกลม

รู้พิกัดของศูนย์กลางวงกลม.

ความยาวรัศมี

แทนพิกัดของจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีลงในสมการทั่วไปของวงกลม

แก้ปัญหาหมายเลข 966 หน้า 245 (ตำราเรียน)

มีข้อมูลเพียงพอ

พวกเขาแก้ปัญหา

เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมมีรัศมีเป็นสองเท่า ดังนั้น r=8÷2=4 ดังนั้น x²+y²=16

สร้างวงกลม

ทำงานตามตำราเรียน ปัญหาในหน้า 243

ให้ไว้: A(3;2) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม В(7;5)є(А;r)

ค้นหา: สมการของวงกลม

วิธีแก้: r² =(x –x)²+(y –y)²

ร² =(x –3)²+(y –2)²

r = AB, r² = AB²

ร² =(7-3)²+(5-2)²

ร² =25

(x –3)²+(y –2)²=25

คำตอบ: (x –3)²+(y –2)²=25

สไลด์ 10-13

การแก้ปัญหาทั่วไป การพูดวิธีแก้ปัญหาด้วยคำพูดเสียงดัง

ครูเรียกนักเรียนคนหนึ่งให้เขียนสมการผลลัพธ์

กลับไปที่สไลด์ 9

การอภิปรายแผนการแก้ไขปัญหานี้

สไลด์ 15. ครูเรียกนักเรียนคนหนึ่งไปที่กระดานเพื่อแก้ไขปัญหานี้

สไลด์ 16.

สไลด์ 17

5. สรุปบทเรียน

5 นาที

การสะท้อนกลับกิจกรรมในบทเรียน

การบ้าน: §3, ย่อหน้า 91, คำถามทดสอบ №16,17.

ปัญหาหมายเลข 959(b, d, d), 967

งานประเมินเพิ่มเติม (งานปัญหา): สร้างวงกลม กำหนดโดยสมการ

x²+2x+y²-4y=4.

เราคุยกันเรื่องอะไรในชั้นเรียน?

คุณอยากได้อะไร?

เป้าหมายของบทเรียนคืออะไร?

“การค้นพบ” ของเราช่วยให้เราแก้ปัญหาอะไรได้บ้าง?

มีกี่คนที่คิดว่าคุณบรรลุเป้าหมายที่ครูกำหนดไว้ในบทเรียน 100%, 50%; ไม่บรรลุเป้าหมาย...?

การให้เกรด

เขียนการบ้าน.

นักเรียนตอบคำถามที่ครูตั้งไว้ ดำเนินการวิเคราะห์ตนเองของกิจกรรมของตนเอง

นักเรียนต้องแสดงผลลัพธ์และวิธีการบรรลุผลสำเร็จด้วยคำพูด

สมการของเส้นตรงบนระนาบ

ก่อนอื่น เรามาแนะนำแนวคิดเรื่องสมการเส้นตรงในระบบพิกัดสองมิติกันก่อน ปล่อยให้เส้นตรง $L$ ถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 เส้นตามอำเภอใจในระบบพิกัด

คำจำกัดความ 1

สมการที่มีตัวแปรสองตัว $x$ และ $y$ เรียกว่าสมการของเส้นตรง $L$ ถ้าสมการนี้เป็นไปตามพิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของเส้น $L$ และไม่พอใจกับจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้น $L .$

สมการของวงกลม

ลองหาสมการของวงกลมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน $xOy$ กัน ให้จุดศูนย์กลางของวงกลม $C$ มีพิกัด $(x_0,y_0)$ และรัศมีของวงกลมเท่ากับ $r$ ให้จุด $M$ ที่มีพิกัด $(x,y)$ เป็นจุดใดก็ได้ของวงกลมนี้ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 วงกลมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ระยะทางจากศูนย์กลางของวงกลมถึงจุด $M$ มีการคำนวณดังนี้

แต่เนื่องจาก $M$ อยู่บนวงกลม เราจึงได้ $CM=r$ จากนั้นเราจะได้สิ่งต่อไปนี้

สมการ (1) คือสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(x_0,y_0)$ และรัศมี $r$

โดยเฉพาะถ้าจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิด สมการของวงกลมนั้นมีรูปแบบ

สมการของเส้นตรง

ขอให้เราได้สมการของเส้นตรง $l$ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน $xOy$ ให้จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ และ $\(x_2,\ y_2\)$ ตามลำดับ และจุด $A$ และ $B$ คือ เลือกเพื่อให้เส้น $l$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน $AB$ ให้เราเลือกจุดใดก็ได้ $M=\(x,y\)$ ที่เป็นเส้นตรง $l$ (รูปที่ 3)

เนื่องจากเส้น $l$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน $AB$ ดังนั้นจุด $M$ จึงมีระยะห่างเท่ากันจากปลายส่วนนี้ นั่นคือ $AM=BM$

ลองหาความยาวของด้านเหล่านี้โดยใช้สูตรระยะห่างระหว่างจุด:

เพราะฉะนั้น

ให้เราแสดงด้วย $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1) ^2 -(y_1)^2$ เราพบว่าสมการของเส้นตรงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมีรูปแบบดังนี้:

ตัวอย่างโจทย์การหาสมการเส้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(2,\ 4)$ ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดและเป็นเส้นตรงขนานกับแกน $Ox,$ ที่ผ่านจุดศูนย์กลาง

สารละลาย.

ก่อนอื่นเรามาหาสมการของวงกลมนี้กันก่อน ในการทำสิ่งนี้ เราจะใช้สมการทั่วไปของวงกลม (ที่ได้มาจากด้านบน) เนื่องจากจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุด $(2,\ 4)$ เราจึงได้

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

ลองหารัศมีของวงกลมเป็นระยะทางจากจุด $(2,\ 4)$ ถึงจุด $(0,0)$

เราพบว่าสมการของวงกลมมีรูปแบบดังนี้

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

ตอนนี้ให้เราค้นหาสมการของวงกลมโดยใช้กรณีพิเศษ 1 เราได้มา

เส้นรอบวงคือเซตของจุดบนระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดที่กำหนดที่เรียกว่าจุดศูนย์กลาง

ถ้าจุด C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม R คือรัศมีของมัน และ M เป็นจุดใดก็ได้บนวงกลม จากนั้นตามคำจำกัดความของวงกลม

ความเท่าเทียมกัน (1) คือ สมการของวงกลมรัศมี R โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C

ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม (รูปที่ 104) และจุด C( ก; ข) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี R ให้ M( เอ็กซ์; ที่) เป็นจุดใดก็ได้ของวงกลมนี้

ตั้งแต่ |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) จากนั้นสมการ (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(เอ็กซ์เอ) 2 + (ย - ข) 2 = ร 2 (2)

สมการ (2) เรียกว่า สมการทั่วไปวงกลมหรือสมการของวงกลมรัศมี R โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( ก; ข- ตัวอย่างเช่นสมการ

(x - ล) 2 + ( ย + 3) 2 = 25

คือสมการของวงกลมรัศมี R = 5 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (1; -3)

หากจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด สมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ

x 2 + ที่ 2 = ร 2 . (3)

สมการ (3) เรียกว่า สมการบัญญัติของวงกลม .

ภารกิจที่ 1เขียนสมการของวงกลมรัศมี R = 7 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

โดยการแทนที่ค่ารัศมีโดยตรงลงในสมการ (3) ที่เราได้รับ

x 2 + ที่ 2 = 49.

ภารกิจที่ 2เขียนสมการของวงกลมรัศมี R = 9 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C(3; -6)

เราได้รับค่าของพิกัดของจุด C และค่ารัศมีเป็นสูตร (2)

(เอ็กซ์ - 3) 2 + (ที่- (-6)) 2 = 81 หรือ ( เอ็กซ์ - 3) 2 + (ที่ + 6) 2 = 81.

ภารกิจที่ 3ค้นหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม

(เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่-5) 2 =100.

การเปรียบเทียบ สมการที่กำหนดด้วยสมการทั่วไปของวงกลม (2) เราจะเห็นอย่างนั้น ก = -3, ข= 5, R = 10 ดังนั้น C(-3; 5), R = 10

ภารกิจที่ 4พิสูจน์ว่าสมการ

x 2 + ที่ 2 + 4เอ็กซ์ - 2ย - 4 = 0

คือสมการของวงกลม ค้นหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของมัน

ลองแปลงด้านซ้ายของสมการนี้:

x 2 + 4เอ็กซ์ + 4- 4 + ที่ 2 - 2ที่ +1-1-4 = 0

(เอ็กซ์ + 2) 2 + (ที่ - 1) 2 = 9.

สมการนี้เป็นสมการของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ (-2; 1); รัศมีของวงกลมคือ 3

ภารกิจที่ 5เขียนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C(-1; -1) แทนเจนต์กับเส้น AB ถ้า A (2; -1), B(- 1; 3)

ลองเขียนสมการของเส้นตรง AB:

หรือ 4 เอ็กซ์ + 3ย-5 = 0.

เนื่องจากวงกลมสัมผัสกับเส้นที่กำหนด รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสจึงตั้งฉากกับเส้นนี้ ในการหารัศมี คุณต้องหาระยะทางจากจุด C(-1; -1) - จุดศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรง 4 เอ็กซ์ + 3ย-5 = 0:

เรามาเขียนสมการของวงกลมที่ต้องการกัน

(x +1) 2 + (ย +1) 2 = 144 / 25

ให้วงกลมอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม x 2 + ที่ 2 = ร 2 . พิจารณาจุดใดก็ได้ M( เอ็กซ์; ที่) (รูปที่ 105)

ปล่อยให้เวกเตอร์รัศมี โอม> จุด M สร้างมุมขนาด ทีโดยมีทิศทางบวกของแกน O เอ็กซ์จากนั้น abscissa และลำดับของจุด M จะเปลี่ยนไปตาม ที

(0 ที x และ y ผ่าน ทีเราพบ

x= อาร์คอส ที ; ย= บาป ที , 0 ที

สมการ (4) ถูกเรียก สมการพาราเมตริกวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด.

ภารกิจที่ 6วงกลมได้มาจากสมการ

x= \(\sqrt(3)\)คอส ที, ย= \(\sqrt(3)\)บาป ที, 0 ที

เขียนสมการบัญญัติของวงกลมนี้ลงไป

มันเป็นไปตามเงื่อนไข x 2 = 3 คอส 2 ที, ที่ 2 = 3 บาป 2 ที- เมื่อบวกความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอม เราจะได้

x 2 + ที่ 2 = 3(คอส 2 ที+ บาป 2 ที)

หรือ x 2 + ที่ 2 = 3