รากเลขคณิตและสมบัติของมัน การกำหนดรากที่ n อินทิกรัลของฟังก์ชันกำลัง

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "คุณสมบัติของรากที่ n ทฤษฎีบท"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

คุณสมบัติของรากที่ n ทฤษฎีบท

พวกเรายังคงศึกษารากที่ n ของจำนวนจริงต่อไป เช่นเดียวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด รากของระดับที่ n มีคุณสมบัติบางอย่าง วันนี้เราจะมาศึกษาพวกมันกัน
คุณสมบัติทั้งหมดที่เราจะพิจารณานั้นได้รับการกำหนดและพิสูจน์แล้วสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรูทเท่านั้น
ในกรณีของเลขชี้กำลังรูตที่เป็นเลขคี่ เลขชี้กำลังดังกล่าวจะถูกดำเนินการกับตัวแปรลบด้วย

ทฤษฎีบท 1 รากที่ n ของผลคูณของจำนวนที่ไม่เป็นลบสองตัว เท่ากับสินค้ารากที่ n ของตัวเลขเหล่านี้: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](b)$

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน
การพิสูจน์. เพื่อนๆ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท ขอแนะนำตัวแปรใหม่ แทนพวกมัน:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
เราต้องพิสูจน์ว่า $x=y*z$
โปรดทราบว่าข้อมูลระบุตัวตนต่อไปนี้ยังมีอยู่:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
ดังนั้นเอกลักษณ์ต่อไปนี้จะคงอยู่: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$
กำลังของจำนวนที่ไม่เป็นลบสองตัวและเลขชี้กำลังเท่ากัน จากนั้นฐานของตัวยกกำลังก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่า $x=y*z$ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2 ถ้า $а≥0$, $b>0$ และ n – จำนวนธรรมชาติซึ่งมากกว่า 1 ดังนั้นความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b ))$.

นั่นคือ รากที่ n ของผลหาร เท่ากับผลหารของรากที่ n

การพิสูจน์.
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้แผนภาพแบบง่ายในรูปแบบของตาราง:

ตัวอย่างการคำนวณรากที่ n

ตัวอย่าง.
คำนวณ: $\sqrt(16*81*256)$
สารละลาย. ลองใช้ทฤษฎีบท 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$

ตัวอย่าง.
คำนวณ: $\sqrt(7\frac(19)(32))$
สารละลาย. ให้เราแสดงการแสดงออกที่รุนแรงในรูปแบบ เศษส่วนเกิน: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
ลองใช้ทฤษฎีบท 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

ตัวอย่าง.
คำนวณ:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
สารละลาย:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ ตร.ม.(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

ทฤษฎีบท 3 ถ้า $a≥0$, k และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$

หากต้องการหยั่งรากลึกสู่พลังธรรมชาติ ก็เพียงพอแล้วที่จะยกระดับการแสดงออกถึงความรุนแรงให้กับพลังนี้

การพิสูจน์.
ลองดูที่กรณีพิเศษสำหรับ $k=3$ ลองใช้ทฤษฎีบท 1 กัน
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
เช่นเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้สำหรับกรณีอื่น ๆ เพื่อนๆ พิสูจน์ด้วยตัวคุณเองในกรณีที่ $k=4$ และ $k=6$

ทฤษฎีบท 4 ถ้า $a≥0$ bn,k เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$

หากต้องการแยกรากออกจากรากก็เพียงพอที่จะคูณตัวบ่งชี้ของรากได้

การพิสูจน์.
เรามาพิสูจน์กันสั้นๆ อีกครั้งโดยใช้ตาราง เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้แผนภาพแบบง่ายในรูปแบบของตาราง:

ตัวอย่าง.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

ทฤษฎีบท 5 ถ้าเลขยกกำลังของรากและนิพจน์รากคูณด้วยจำนวนธรรมชาติเท่ากัน ค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

การพิสูจน์.
หลักการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเราก็เหมือนกับตัวอย่างอื่นๆ มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ตามคำจำกัดความ)
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ตามคำจำกัดความ)
ขอให้เราเพิ่มความเท่าเทียมกันสุดท้ายกับยกกำลัง p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
ได้รับ:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
นั่นคือ $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (หารตัวบ่งชี้ด้วย 5)
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (หารตัวบ่งชี้ด้วย 2)
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (ตัวชี้วัดคูณด้วย 3)

ตัวอย่าง.
ดำเนินการ: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$
สารละลาย.
เลขชี้กำลังของรากเป็นตัวเลขต่างกัน ดังนั้นเราจึงใช้ทฤษฎีบท 1 ไม่ได้ แต่เมื่อใช้ทฤษฎีบท 5 เราจะได้เลขชี้กำลังเท่ากัน
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (ตัวชี้วัดคูณด้วย 3)
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (ตัวชี้วัดคูณด้วย 4)
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. คำนวณ: $\sqrt(32*243*1024)$
2. คำนวณ: $\sqrt(7\frac(58)(81))$
3. คำนวณ:
ก) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. ลดความซับซ้อน:
ก) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ข) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ค) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. ดำเนินการ: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$

ขอแสดงความยินดี: วันนี้เราจะดูที่ราก - หนึ่งในหัวข้อที่น่าเหลือเชื่อที่สุดในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 :)

หลายคนสับสนเกี่ยวกับราก ไม่ใช่เพราะมันซับซ้อน (ซึ่งมีความซับซ้อนมากเกี่ยวกับมัน - คำจำกัดความสองสามข้อและคุณสมบัติอีกสองสามอย่าง) แต่เนื่องจากในตำราเรียนส่วนใหญ่รากถูกกำหนดผ่านป่าที่มีเพียงผู้เขียนหนังสือเรียนเท่านั้น ตนเองก็สามารถเข้าใจงานเขียนนี้ได้ และถึงอย่างนั้นก็มีเพียงวิสกี้ดีๆ สักขวดเท่านั้น :)

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะให้คำจำกัดความของรูทที่ถูกต้องและมีความสามารถมากที่สุด - สิ่งเดียวที่คุณควรจำจริงๆ จากนั้นฉันจะอธิบาย: เหตุใดจึงจำเป็นทั้งหมดนี้และจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

แต่ก่อนอื่นจำไว้อย่างหนึ่ง จุดสำคัญซึ่งคอมไพเลอร์ตำราเรียนหลายเล่มด้วยเหตุผลบางประการ "ลืม":

รากสามารถเป็นระดับคู่ได้ ($\sqrt(a)$ ที่เราชื่นชอบ เช่นเดียวกับ $\sqrt(a)$ ทุกประเภทและแม้แต่ $\sqrt(a)$) และระดับคี่ (ทุกประเภทของ $\sqrt (ก)$, $\ sqrt(ก)$ ฯลฯ) และคำจำกัดความของรากของดีกรีคี่นั้นค่อนข้างแตกต่างไปจากอันที่เป็นเลขคู่

อาจเป็นไปได้ว่า 95% ของข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับรากเหง้าถูกซ่อนอยู่ใน "ค่อนข้างแตกต่าง" นี้ ดังนั้นเรามาทำความเข้าใจคำศัพท์กันให้ชัดเจน:

คำนิยาม. แม้กระทั่งราก nจากจำนวน $a$ เป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ ไม่เป็นลบตัวเลข $b$ เป็นเช่นนั้น $((b)^(n))=a$ และรากที่เป็นคี่ของตัวเลขเดียวกัน $a$ โดยทั่วไปจะเป็นตัวเลข $b$ ใดๆ ที่มีความเท่าเทียมกันเท่ากัน: $((b)^(n))=a$

ไม่ว่าในกรณีใด รูทจะแสดงดังนี้:

\(ก)\]

จำนวน $n$ ในสัญลักษณ์ดังกล่าวเรียกว่าเลขชี้กำลังราก และจำนวน $a$ เรียกว่านิพจน์ราก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ $n=2$ เราได้รับ "รายการโปรด" ของเรา รากที่สอง(นี่คือรากของดีกรีคู่) และสำหรับ $n=3$ มันคือลูกบาศก์ (ดีกรีคี่) ซึ่งมักพบในโจทย์และสมการเช่นกัน

ตัวอย่าง. ตัวอย่างคลาสสิก รากที่สอง:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(จัดแนว)\]

อย่างไรก็ตาม $\sqrt(0)=0$ และ $\sqrt(1)=1$ ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจาก $((0)^(2))=0$ และ $((1)^(2))=1$

รากของคิวบ์ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน - ไม่จำเป็นต้องกลัวมัน:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(จัดแนว)\]

“ตัวอย่างที่แปลกใหม่” สองสามอย่าง:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(จัดแนว)\]

หากคุณไม่เข้าใจความแตกต่างระหว่างระดับคู่และระดับคี่ ให้อ่านคำจำกัดความอีกครั้ง นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก!

ในระหว่างนี้ เราจะพิจารณาคุณลักษณะหนึ่งที่ไม่พึงประสงค์ของราก เนื่องจากเราจำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความที่แยกจากกันสำหรับเลขชี้กำลังคู่และเลขคี่

เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีราก?

หลังจากอ่านคำจำกัดความแล้ว นักเรียนหลายคนจะถามว่า “นักคณิตศาสตร์สูบบุหรี่อะไรเมื่อพวกเขาคิดเรื่องนี้ขึ้นมา” และจริงๆ แล้ว: เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีรากเหล่านี้ทั้งหมด?

เพื่อตอบคำถามนี้ให้ย้อนกลับไปสักครู่เพื่อ ชั้นเรียนประถมศึกษา- ข้อควรจำ: ในสมัยที่ห่างไกล เมื่อต้นไม้เขียวขจีและเกี๊ยวอร่อยมากขึ้น ความกังวลหลักของเราคือการคูณตัวเลขให้ถูกต้อง ก็ประมาณ "ห้าคูณห้า - ยี่สิบห้า" แค่นั้นเอง แต่คุณสามารถคูณตัวเลขได้ไม่ใช่เป็นคู่ แต่คูณเป็นแฝด สี่เท่า และโดยทั่วไปคือทั้งเซต:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่ประเด็น เคล็ดลับนั้นแตกต่างออกไป นักคณิตศาสตร์เป็นคนเกียจคร้าน ดังนั้นพวกเขาจึงเป็นเรื่องยากลำบากในการเขียนการคูณสิบห้าดังนี้:

นั่นเป็นเหตุผลที่พวกเขาได้รับปริญญา ทำไมไม่เขียนจำนวนปัจจัยเป็นตัวยกแทนสตริงยาวล่ะ บางสิ่งเช่นนี้:

สะดวกมาก! การคำนวณทั้งหมดลดลงอย่างมาก และคุณไม่จำเป็นต้องเปลืองแผ่นหนังและสมุดโน้ตจำนวนมากเพื่อเขียนลงไปถึง 5,183 แผ่น บันทึกนี้เรียกว่ากำลังของตัวเลข พบคุณสมบัติมากมายในนั้น แต่ความสุขกลับกลายเป็นว่ามีอายุสั้น

หลังจากงานเลี้ยงสังสรรค์สุดอลังการซึ่งจัดขึ้นเพื่อ "การค้นพบ" องศาเท่านั้น ทันใดนั้นนักคณิตศาสตร์หัวแข็งบางคนก็ถามขึ้นมาว่า "จะเป็นอย่างไรถ้าเรารู้ระดับของตัวเลขแต่ไม่ทราบตัวเลขนั้นเอง" ทีนี้ หากเรารู้ว่าจำนวน $b$ ยกกำลังที่ 5 ให้ 243 แล้วเราจะเดาได้อย่างไรว่าจำนวน $b$ นั้นเท่ากับเท่าใด

ปัญหานี้กลายเป็นปัญหาระดับโลกมากกว่าที่เห็นในครั้งแรก เพราะปรากฎว่าสำหรับพาวเวอร์ "สำเร็จรูป" ส่วนใหญ่ไม่มีตัวเลข "เริ่มต้น" ดังกล่าว ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\ลูกศรขวา b=3\cdot 3\cdot 3\ลูกศรขวา b=3; \\ & ((b)^(3))=64\ลูกศรขวา b=4\cdot 4\cdot 4\ลูกศรขวา b=4 \\ \end(จัดแนว)\]

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า $((b)^(3))=50$? ปรากฎว่าเราต้องหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเอง 3 ครั้ง ก็จะได้ 50 แต่จำนวนนี้คืออะไร? มันมากกว่า 3 อย่างชัดเจน เนื่องจาก 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. นั่นคือ ตัวเลขนี้อยู่ระหว่างสามถึงสี่ แต่คุณจะไม่เข้าใจว่ามันเท่ากับอะไร

นี่คือเหตุผลว่าทำไมนักคณิตศาสตร์ถึงมีรากที่ $n$th นี่เป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีการใช้สัญลักษณ์ราก $\sqrt(*)$ เพื่อกำหนดจำนวน $b$ ซึ่งในระดับที่ระบุจะทำให้เราทราบค่าที่ทราบก่อนหน้านี้

\[\sqrt[n](a)=b\ลูกศรขวา ((b)^(n))=a\]

ฉันไม่เถียง: บ่อยครั้งที่รากเหล่านี้คำนวณได้ง่าย - เราเห็นตัวอย่างหลายประการข้างต้น แต่ในกรณีส่วนใหญ่ หากคุณนึกถึงตัวเลขใดๆ ก็ตามแล้วพยายามแยกรากของระดับใดๆ ออกมา คุณจะต้องเจอกับความเลวร้ายอย่างยิ่ง

มีอะไรอยู่! แม้แต่ $\sqrt(2)$ ที่ง่ายที่สุดและคุ้นเคยที่สุดก็ไม่สามารถแสดงในรูปแบบปกติของเราได้ - เป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน และถ้าคุณใส่ตัวเลขนี้ลงในเครื่องคิดเลข คุณจะเห็นสิ่งนี้:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

อย่างที่คุณเห็น หลังจากจุดทศนิยมจะมีลำดับตัวเลขที่ไม่สิ้นสุดซึ่งไม่เป็นไปตามตรรกะใดๆ แน่นอนว่าคุณสามารถปัดเศษตัวเลขนี้เพื่อเปรียบเทียบกับตัวเลขอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น:

\[\sqrt(2)=1.4142...\ประมาณ 1.4 \lt 1.5\]

หรือนี่คืออีกตัวอย่างหนึ่ง:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ประมาณ 1.7 \gt 1.5\]

แต่ประการแรกการปัดเศษทั้งหมดนี้ค่อนข้างหยาบ และประการที่สอง คุณต้องสามารถทำงานกับค่าโดยประมาณได้ ไม่เช่นนั้นคุณจะพบข้อผิดพลาดที่ไม่ชัดเจนมากมาย (โดยวิธีการนี้ ทักษะในการเปรียบเทียบและการปัดเศษจะต้องได้รับการตรวจสอบในโปรไฟล์ Unified State Examination)

ดังนั้น ในทางคณิตศาสตร์แบบจริงจัง คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีราก - พวกมันเป็นตัวแทนที่เท่ากันของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด $\mathbb(R)$ เช่นเดียวกับเศษส่วนและจำนวนเต็มที่เราคุ้นเคยมานานแล้ว

การไม่สามารถแสดงรากเป็นเศษส่วนของรูปแบบ $\frac(p)(q)$ หมายความว่าเช่นนั้น ให้รากไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ และไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำ ยกเว้นด้วยความช่วยเหลือของโครงสร้างรากหรือการออกแบบอื่นๆ ที่ออกแบบมาโดยเฉพาะสำหรับสิ่งนี้ (ลอการิทึม ยกกำลัง ขีดจำกัด ฯลฯ) แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

ลองพิจารณาหลายๆ ตัวอย่างที่หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้ว จำนวนอตรรกยะจะยังคงอยู่ในคำตอบ

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ประมาณ 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ประมาณ -1.2599... \\ \end(align)\]

ตามธรรมชาติแล้วตาม รูปร่างรูต แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเดาว่าตัวเลขใดจะอยู่หลังจุดทศนิยม อย่างไรก็ตาม คุณสามารถไว้วางใจในเครื่องคิดเลขได้ แต่แม้แต่เครื่องคำนวณวันที่ที่ทันสมัยที่สุดก็ยังให้แค่ตัวเลขสองสามหลักแรกของจำนวนอตรรกยะเท่านั้น ดังนั้นจึงถูกต้องกว่ามากถ้าเขียนคำตอบในรูปแบบ $\sqrt(5)$ และ $\sqrt(-2)$

นี่คือเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงถูกประดิษฐ์ขึ้น เพื่อบันทึกคำตอบได้อย่างสะดวก

เหตุใดจึงต้องมีคำจำกัดความสองคำ?

ผู้อ่านที่สนใจอาจสังเกตเห็นแล้วว่ารากที่สองทั้งหมดที่ระบุในตัวอย่างนั้นนำมาจากจำนวนบวก ก็เข้า. เป็นทางเลือกสุดท้ายตั้งแต่เริ่มต้น แต่รากที่สามสามารถแยกออกจากจำนวนใดก็ได้อย่างใจเย็นไม่ว่าจะเป็นค่าบวกหรือค่าลบ

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? ดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(2))$:

กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสองให้รากสองประการ: บวกและลบ

ลองคำนวณ $\sqrt(4)$ โดยใช้กราฟนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เส้นแนวนอน $y=4$ จะถูกวาดบนกราฟ (ทำเครื่องหมายด้วยสีแดง) ซึ่งตัดกับพาราโบลาที่จุดสองจุด: $((x)_(1))=2$ และ $((x )_(2)) =-2$. นี่ค่อนข้างสมเหตุสมผลเนื่องจาก

ทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลขแรก - เป็นบวกดังนั้นจึงเป็นราก:

แต่แล้วจะทำอย่างไรกับประเด็นที่สอง? เหมือนสี่มีสองรากพร้อมกันเหรอ? ท้ายที่สุด ถ้าเรายกกำลังสองจำนวน −2 เราก็จะได้ 4 ด้วย ทำไมไม่เขียน $\sqrt(4)=-2$ ล่ะ? แล้วทำไมครูถึงมองกระทู้แบบนี้เหมือนอยากกินเธอล่ะ :)

นั่นคือปัญหาถ้าคุณไม่สมัครเลย เงื่อนไขเพิ่มเติมจากนั้นสี่เท่าจะมีรากที่สองสองอัน - บวกและลบ และจำนวนบวกใดๆ ก็จะมีสองตัวด้วย แต่จำนวนลบจะไม่มีรากเลย - เห็นได้จากกราฟเดียวกัน เนื่องจากพาราโบลาไม่เคยตกต่ำกว่าแกน ย, เช่น. ไม่ยอมรับค่าลบ

ปัญหาที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นกับรากทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่:

1. พูดอย่างเคร่งครัด แต่ละจำนวนบวกจะมีรากสองตัวที่มีเลขชี้กำลังคู่ $n$;
2. จากจำนวนลบ รากที่มีเลขคู่ $n$ จะไม่ถูกแยกออกมาเลย

นั่นคือสาเหตุว่าทำไมในคำจำกัดความรากของระดับเลขคู่ $n$ จึงกำหนดไว้โดยเฉพาะว่าคำตอบต้องเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ นี่คือวิธีที่เรากำจัดความคลุมเครือ

แต่สำหรับ $n$ แปลก ๆ ก็ไม่มีปัญหาดังกล่าว หากต้องการดูสิ่งนี้ ลองดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(3))$:

พาราโบลาลูกบาศก์สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้นรากที่สามจึงสามารถนำมาจากจำนวนใดก็ได้

จากกราฟนี้สามารถสรุปได้สองประการ:

1. กิ่งก้านของลูกบาศก์พาราโบลานั้นแตกต่างจากแบบปกติตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง - ทั้งขึ้นและลง ดังนั้นไม่ว่าเราจะวาดเส้นแนวนอนด้วยความสูงเท่าใด เส้นนี้จะตัดกับกราฟของเราอย่างแน่นอน ดังนั้น รากที่สามจึงสามารถนำมาจากจำนวนใดๆ ก็ได้เสมอ
2. นอกจากนี้ จุดตัดดังกล่าวจะไม่ซ้ำกันเสมอ ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องคิดว่าหมายเลขใดที่ถือว่าเป็นรากที่ "ถูกต้อง" และหมายเลขใดที่จะเพิกเฉย นั่นคือเหตุผลว่าทำไมการหารากของดีกรีคี่จึงง่ายกว่าการหาดีกรีคู่ (ไม่มีข้อกำหนดสำหรับการไม่ลบ)

น่าเสียดายที่เรื่องง่ายๆ เหล่านี้ไม่ได้อธิบายไว้ในหนังสือเรียนส่วนใหญ่ ในทางกลับกัน สมองของเราเริ่มทะยานขึ้นด้วยรากทางคณิตศาสตร์ทุกประเภทและคุณสมบัติของมัน

ใช่ ฉันไม่เถียง: คุณต้องรู้ด้วยว่ารูตเลขคณิตคืออะไร และฉันจะพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดในบทเรียนแยกต่างหาก วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องนี้ด้วย เพราะถ้าไม่มีความคิดทั้งหมดเกี่ยวกับรากของการคูณ $n$-th ก็จะไม่สมบูรณ์

แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจคำจำกัดความที่ฉันให้ไว้ข้างต้นอย่างชัดเจน มิฉะนั้นเนื่องจากคำศัพท์มากมาย ความยุ่งเหยิงดังกล่าวจะเริ่มต้นขึ้นในหัวของคุณซึ่งสุดท้ายแล้วคุณจะไม่เข้าใจอะไรเลย

สิ่งที่คุณต้องทำคือเข้าใจความแตกต่างระหว่างตัวบ่งชี้คู่และคี่ ดังนั้น มารวบรวมทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับรูทอีกครั้ง:

1. รากของดีกรีคู่นั้นมาจากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น และตัวมันเองจะเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอ สำหรับจำนวนลบ รากดังกล่าวไม่ได้ถูกกำหนดไว้
2. แต่รากของระดับคี่นั้นมาจากจำนวนใดๆ ก็ตามและตัวมันเองสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ สำหรับจำนวนบวกก็จะเป็นค่าบวก และสำหรับจำนวนลบ ดังที่ตัวหมวกบอกเป็นนัย มันเป็นค่าลบ

มันยากไหม? ไม่ มันไม่ใช่เรื่องยาก มันชัดเจน? ใช่ มันชัดเจนมาก! ตอนนี้เราจะมาฝึกการคำนวณกันสักหน่อย

คุณสมบัติพื้นฐานและข้อจำกัด

รากมีคุณสมบัติและข้อจำกัดแปลกๆ มากมาย ซึ่งจะอธิบายเพิ่มเติมในภายหลัง บทเรียนแยกต่างหาก- ดังนั้นตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะ "เคล็ดลับ" ที่สำคัญที่สุดซึ่งใช้เฉพาะกับรูทที่มีดัชนีคู่เท่านั้น ลองเขียนคุณสมบัตินี้เป็นสูตร:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ซ้าย| x\ขวา|\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเรายกจำนวนขึ้นเป็นกำลังคู่แล้วหารากของกำลังเดียวกันนั้น เราจะไม่ได้จำนวนเดิม แต่เป็นโมดูลัสของมัน นี่เป็นทฤษฎีบทง่ายๆ ที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย (ก็เพียงพอที่จะพิจารณา $x$ ที่ไม่ใช่ค่าลบแยกกัน และแยกค่าลบออกจากกัน) ครูก็พูดถึงเรื่องนี้อยู่เรื่อย ๆ ก็มีการสอนในทุก ๆ เรื่อง หนังสือเรียนของโรงเรียน- แต่ทันทีที่ต้องแก้สมการไร้เหตุผล (เช่น สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์) นักเรียนก็ลืมสูตรนี้ไปอย่างเป็นเอกฉันท์

เพื่อให้เข้าใจปัญหาโดยละเอียด เราจะลืมสูตรทั้งหมดสักครู่แล้วลองคำนวณตัวเลขสองตัวตรงๆ กัน:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

นี้เป็นอย่างมาก ตัวอย่างง่ายๆ- คนส่วนใหญ่จะแก้ตัวอย่างแรก แต่หลายๆ คนกลับติดอยู่กับตัวอย่างที่สอง หากต้องการแก้ไขเรื่องไร้สาระโดยไม่มีปัญหา ให้พิจารณาขั้นตอนต่อไปนี้เสมอ:

1. ขั้นแรก ให้ยกจำนวนขึ้นเป็นยกกำลังที่สี่ มันเป็นเรื่องง่าย คุณจะได้รับหมายเลขใหม่ที่สามารถพบได้แม้ในตารางสูตรคูณ
2. และตอนนี้จากหมายเลขใหม่นี้จำเป็นต้องแยกรูทที่สี่ออก เหล่านั้น. ไม่มี "การลดลง" ของรากและพลังเกิดขึ้น - สิ่งเหล่านี้เป็นการกระทำตามลำดับ

ลองดูที่นิพจน์แรก: $\sqrt(((3)^(4)))$. แน่นอนว่าคุณต้องคำนวณนิพจน์ใต้รูทก่อน:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

จากนั้นเราก็แยกรากที่สี่ของหมายเลข 81:

ทีนี้ลองทำแบบเดียวกันกับนิพจน์ที่สองกัน ขั้นแรก เรายกเลข −3 ขึ้นเป็นกำลังที่สี่ ซึ่งต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ซ้าย(-3 \ขวา)=81\]

เราได้จำนวนบวกเนื่องจากจำนวน minuses ทั้งหมดของผลิตภัณฑ์คือ 4 และพวกมันทั้งหมดจะหักล้างกัน (เพราะว่าลบสำหรับลบจะให้บวก) จากนั้นเราก็แยกรากอีกครั้ง:

โดยหลักการแล้ว ไม่สามารถเขียนบรรทัดนี้ได้ เนื่องจากไม่ใช่เกมง่ายๆ ที่คำตอบจะเหมือนกัน เหล่านั้น. รากคู่ของพลังเท่ากัน "เผา" minuses และในแง่นี้ผลลัพธ์จึงแยกไม่ออกจากโมดูลปกติ:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \ขวา|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \ขวา|=3. \\ \end(จัดแนว)\]

การคำนวณเหล่านี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของรากของดีกรีคู่: ผลลัพธ์จะไม่เป็นลบเสมอ และภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ก็ไม่เสมอไปเช่นกัน จำนวนลบ- มิฉะนั้น รูทจะไม่ได้ถูกกำหนดไว้

หมายเหตุเกี่ยวกับขั้นตอน

1. สัญกรณ์ $\sqrt(((a)^(2)))$ หมายความว่าเราต้องยกกำลังสองตัวเลข $a$ ก่อนแล้วจึงหารากที่สองของค่าผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงมั่นใจได้ว่าจะมีจำนวนที่ไม่เป็นลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากเสมอ เนื่องจาก $((a)^(2))\ge 0$ ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม
2. แต่ในทางกลับกัน สัญกรณ์ $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ หมายความว่าเราหารากของจำนวน $a$ ก่อนแล้วจึงยกกำลังสองผลลัพธ์ ดังนั้นจำนวน $a$ จะเป็นค่าลบไม่ได้ไม่ว่าในกรณีใด นี่เป็นข้อกำหนดบังคับที่รวมอยู่ในคำจำกัดความ

ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใดเราไม่ควรลดรากและองศาโดยไม่ได้ตั้งใจดังนั้นจึงถูกกล่าวหาว่า "ทำให้ง่ายขึ้น" การแสดงออกดั้งเดิม เพราะถ้ารากมีจำนวนลบและเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ เราจะพบปัญหามากมาย

อย่างไรก็ตาม ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้คู่เท่านั้น

การลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรูท

โดยธรรมชาติแล้ว รากที่มีเลขชี้กำลังคี่ก็มีลักษณะเฉพาะของตัวเองเช่นกัน ซึ่งโดยหลักการแล้วไม่มีอยู่ในเลขคู่ กล่าวคือ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

กล่าวโดยสรุป คุณสามารถลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรากขององศาคี่ได้ นี่เป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากที่ช่วยให้คุณ "ทิ้ง" ข้อเสียทั้งหมด:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6 \end(จัดแนว)\]

คุณสมบัติอย่างง่ายนี้ทำให้การคำนวณหลายอย่างง่ายขึ้นอย่างมาก ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องกังวล: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการแสดงออกเชิงลบถูกซ่อนอยู่ใต้รูท แต่ระดับที่รูทกลับกลายเป็นเท่ากัน? มันก็เพียงพอแล้วที่จะ "โยน" minuses ทั้งหมดที่อยู่นอกรากออกไปหลังจากนั้นก็สามารถคูณซึ่งกันและกันแบ่งและทำสิ่งที่น่าสงสัยมากมายโดยทั่วไปซึ่งในกรณีของราก "คลาสสิก" รับประกันว่าจะนำเราไปสู่ ข้อผิดพลาด

และนี่คือคำจำกัดความอีกประการหนึ่งที่เข้ามาในฉาก - คำเดียวกับที่โรงเรียนส่วนใหญ่เริ่มศึกษาการแสดงออกที่ไม่มีเหตุผล และหากปราศจากซึ่งการสนทนาของเราก็จะไม่สมบูรณ์ พบปะ!

รากเลขคณิต

สมมติสักครู่ว่าภายใต้เครื่องหมายรูทจะมีได้เฉพาะจำนวนบวกเท่านั้น หรือในกรณีที่รุนแรง อาจเป็นศูนย์ก็ได้ ลืมตัวบ่งชี้คู่/คี่ ลืมคำจำกัดความทั้งหมดที่ให้ไว้ข้างต้น เราจะใช้เฉพาะกับตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แล้วไงล่ะ?

จากนั้นเราจะได้รากทางคณิตศาสตร์ซึ่งบางส่วนทับซ้อนกับคำจำกัดความ "มาตรฐาน" ของเรา แต่ก็ยังแตกต่างจากคำจำกัดความเหล่านั้น

คำนิยาม. รากเลขคณิตของระดับ $n$th ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ $a$ คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ $b$ โดยที่ $((b)^(n))=a$

ดังที่เราเห็น เราไม่สนใจเรื่องความเท่าเทียมอีกต่อไป กลับมีข้อจำกัดใหม่ปรากฏขึ้น: การแสดงออกที่รุนแรงตอนนี้ไม่เป็นลบเสมอ และรากเองก็ไม่เป็นลบเช่นกัน

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่ารากเลขคณิตแตกต่างจากรากปกติอย่างไร ลองดูกราฟของสแควร์และพาราโบลาลูกบาศก์ที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว:

พื้นที่ค้นหารากเลขคณิต - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบ

อย่างที่คุณเห็น จากนี้ไปเราจะสนใจเฉพาะกราฟที่อยู่ในไตรมาสพิกัดแรกเท่านั้น โดยที่พิกัด $x$ และ $y$ เป็นบวก (หรืออย่างน้อยเป็นศูนย์) คุณไม่จำเป็นต้องดูตัวบ่งชี้อีกต่อไปเพื่อทำความเข้าใจว่าเรามีสิทธิ์ใส่จำนวนลบไว้ใต้รากหรือไม่ เพราะจำนวนติดลบไม่ถือเป็นหลักการอีกต่อไป

คุณอาจถามว่า “ทำไมเราจึงต้องมีคำจำกัดความที่ทำหมันเช่นนี้?” หรือ: “เหตุใดเราจึงใช้คำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ข้างต้นไม่ได้”

ฉันจะให้คุณสมบัติเพียงรายการเดียวเนื่องจากคำจำกัดความใหม่มีความเหมาะสม ตัวอย่างเช่น กฎสำหรับการยกกำลัง:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

โปรดทราบ: เราสามารถเพิ่มนิพจน์รากให้เป็นกำลังใดก็ได้และในเวลาเดียวกันก็คูณเลขชี้กำลังรูตด้วยกำลังเดียวกัน - และผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกัน! นี่คือตัวอย่าง:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

แล้วเรื่องใหญ่คืออะไร? ทำไมเราไม่ทำเช่นนี้มาก่อน? นี่คือเหตุผล ลองพิจารณานิพจน์ง่ายๆ: $\sqrt(-2)$ - จำนวนนี้ค่อนข้างปกติในความเข้าใจแบบคลาสสิกของเรา แต่ยอมรับไม่ได้อย่างแน่นอนจากมุมมองของรากเลขคณิต ลองแปลงมันดู:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีแรกเราลบเครื่องหมายลบออกจากใต้ราก (เรามีสิทธิ์ทุกประการเนื่องจากเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่) และในกรณีที่สองเราใช้สูตรด้านบน เหล่านั้น. จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ทุกอย่างเป็นไปตามกฎเกณฑ์

ว้าย! จำนวนเดียวกันจะเป็นทั้งบวกและลบได้อย่างไร? ไม่มีทาง. เพียงแต่ว่าสูตรสำหรับการยกกำลังซึ่งใช้ได้ผลดีกับจำนวนบวกและศูนย์นั้น เริ่มก่อให้เกิดความบาปโดยสมบูรณ์ในกรณีของจำนวนลบ

มันเป็นเพื่อกำจัดความคลุมเครือที่พวกเขาคิดขึ้นมา รากเลขคณิต- มีบทเรียนใหญ่แยกต่างหากสำหรับพวกเขาโดยเราจะพิจารณาคุณสมบัติทั้งหมดอย่างละเอียด ดังนั้นเราจะไม่อยู่กับพวกเขาตอนนี้ - บทเรียนกลายเป็นเรื่องยาวเกินไปแล้ว

รากพีชคณิต: สำหรับผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม

ฉันคิดอยู่นานว่าจะแยกหัวข้อนี้ออกเป็นย่อหน้าแยกกันหรือไม่ ในที่สุดฉันก็ตัดสินใจทิ้งมันไว้ที่นี่ วัสดุนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเข้าใจรากเหง้าที่ดียิ่งขึ้น - ไม่ได้อยู่ในระดับ "โรงเรียน" โดยเฉลี่ยอีกต่อไป แต่อยู่ในระดับที่ใกล้เคียงกับระดับโอลิมปิก

ดังนั้น: นอกเหนือจากคำจำกัดความ "คลาสสิก" ของรากที่ $n$th ของตัวเลขและการหารที่เกี่ยวข้องกันเป็นเลขชี้กำลังคู่และคี่แล้ว ยังมีคำจำกัดความ "ผู้ใหญ่" อีกประเภทหนึ่งที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันและรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ เลย สิ่งนี้เรียกว่ารากพีชคณิต

คำนิยาม. รากพีชคณิต $n$th ของ $a$ ใดๆ คือเซตของตัวเลข $b$ ทั้งหมด โดยที่ $((b)^(n))=a$ ไม่มีการกำหนดไว้สำหรับรากดังกล่าว ดังนั้นเราจะใส่เส้นประไว้ด้านบน:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

ความแตกต่างพื้นฐานจากคำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ตอนต้นบทเรียนก็คือ รากพีชคณิตไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เป็นเซต และเนื่องจากเราทำงานกับจำนวนจริง ชุดนี้จึงมีเพียงสามประเภทเท่านั้น:

1. ชุดเปล่า. เกิดขึ้นเมื่อคุณต้องการค้นหารากพีชคณิตของระดับเลขคู่จากจำนวนลบ
2. ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว รากทั้งหมดของเลขยกกำลังคี่ เช่นเดียวกับรากของเลขยกกำลังคู่ของศูนย์ อยู่ในหมวดหมู่นี้
3. ในที่สุด เซตนี้สามารถมีตัวเลขสองตัวได้ - $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))=-((x)_(1))$ เดียวกันกับที่เราเห็นบน ฟังก์ชันกำลังสองของกราฟ ดังนั้นการจัดเรียงดังกล่าวจึงเป็นไปได้เฉพาะเมื่อแยกรากของระดับเลขคู่ออกจากจำนวนบวกเท่านั้น

กรณีสุดท้ายสมควรได้รับการพิจารณาโดยละเอียดยิ่งขึ้น ลองนับตัวอย่างสักสองสามตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่าง

ตัวอย่าง. ประเมินนิพจน์:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

สารละลาย. ด้วยสำนวนแรกทุกอย่างเป็นเรื่องง่าย:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

มันคือตัวเลขสองตัวที่เป็นส่วนหนึ่งของเซต เพราะแต่ละอันกำลังสองให้สี่

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

ตรงนี้เราเห็นชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว นี่เป็นตรรกะที่ค่อนข้างมาก เนื่องจากเลขชี้กำลังรูทเป็นเลขคี่

สุดท้ายนี้ สำนวนสุดท้าย:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

ได้รับ ชุดเปล่า- เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงสักตัวเดียวที่เมื่อยกกำลังสี่ (เช่น คู่!) จะทำให้เราได้จำนวนลบ −16

หมายเหตุสุดท้าย โปรดทราบ: ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันสังเกตเห็นทุกที่ที่เราทำงานกับจำนวนจริง เนื่องจากมีตัวเลขเชิงซ้อนด้วย จึงค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะคำนวณ $\sqrt(-16)$ ตรงนั้น และอื่นๆ อีกมากมายที่แปลกประหลาด

อย่างไรก็ตามในยุคปัจจุบัน หลักสูตรของโรงเรียนในทางคณิตศาสตร์ จำนวนเชิงซ้อนแทบไม่เคยพบเลย สิ่งเหล่านี้ถูกลบออกจากตำราเรียนส่วนใหญ่เนื่องจากเจ้าหน้าที่ของเราถือว่าหัวข้อนี้ “ยากเกินกว่าจะเข้าใจ”

นั่นคือทั้งหมดที่ ในบทต่อไป เราจะดูคุณสมบัติที่สำคัญทั้งหมดของราก และสุดท้ายจะเรียนรู้วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว :)

คำนิยาม
ฟังก์ชันยกกำลังพร้อมเลขชี้กำลัง pคือฟังก์ชัน f (x) = x พีซึ่งค่าที่จุด x เท่ากับค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน x ที่จุด p
นอกจากนี้ฉ (0) = 0 พิ = 0สำหรับพี > 0 .

สำหรับค่าธรรมชาติของเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันกำลังคือผลคูณของตัวเลข n เท่ากับ x:
.
มันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าที่ถูกต้องทั้งหมด

สำหรับค่าตรรกยะบวกของเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันกำลังคือผลคูณของ n รากของดีกรี m ของตัวเลข x:
.
สำหรับคี่ m มันถูกกำหนดให้กับ x จริงทั้งหมด

สำหรับเลขคู่ m ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าที่ไม่เป็นลบ
.
สำหรับค่าลบ ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตร:

ดังนั้นจึงไม่ได้กำหนดไว้ตรงจุด
,
สำหรับค่าที่ไม่ลงตัวของเลขชี้กำลัง p ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตร: โดยที่ a เป็นจำนวนบวกตามอำเภอใจ ไม่ใช่: .
เท่ากับหนึ่ง
เมื่อใด จะมีการกำหนดไว้สำหรับ

เมื่อ ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดไว้สำหรับความต่อเนื่อง

- ฟังก์ชันกำลังมีความต่อเนื่องในขอบเขตคำจำกัดความ

คุณสมบัติและสูตรของฟังก์ชันยกกำลังสำหรับ x ≥ 0 เราจะมาดูคุณสมบัติกันฟังก์ชั่นพลังงาน

สำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของอาร์กิวเมนต์ x
(1.1) ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สำหรับค่าบางค่าของเลขชี้กำลัง p ฟังก์ชันกำลังก็ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของ x ด้วย
ในกรณีนี้ คุณสมบัติสามารถรับได้จากคุณสมบัติของ โดยใช้เลขคู่หรือคี่ กรณีเหล่านี้จะมีการพูดคุยและแสดงรายละเอียดในหน้า ""
ฟังก์ชันยกกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลัง p มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
(1.2) กำหนดและต่อเนื่องบนชุด
ในกรณีนี้ คุณสมบัติสามารถรับได้จากคุณสมบัติของ โดยใช้เลขคู่หรือคี่ กรณีเหล่านี้จะมีการพูดคุยและแสดงรายละเอียดในหน้า ""
ฟังก์ชันยกกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลัง p มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
(1.3) ที่ ,
ที่ ;
(1.4) ฟังก์ชันยกกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลัง p มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
ฟังก์ชันยกกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลัง p มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

มีความหมายมากมาย

เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดด้วย ,

คำนิยาม
ลดลงอย่างเคร่งครัดเมื่อ ;หลักฐานคุณสมบัติแสดงอยู่ในหน้า “ฟังก์ชันกำลัง (หลักฐานความต่อเนื่องและคุณสมบัติ)”
.
ราก - ความหมาย สูตร คุณสมบัติ 2, 3, 4, ... รากของตัวเลข x ของดีกรี n

คือจำนวนที่เมื่อยกกำลัง n ให้ x:
.
ที่นี่ n=

- จำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหนึ่งคุณยังสามารถพูดได้ว่ารากของตัวเลข x ของดีกรี n คือราก (เช่น คำตอบ) ของสมการ

โปรดทราบว่าฟังก์ชันเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันรากที่สองของ x

เป็นรากของดีกรี 2:

รากที่สามของ x เป็นรากของดีกรี 3:รากถูกกำหนดไว้สำหรับ x ≥ 0 - สูตรที่มักใช้ใช้ได้กับทั้งค่าบวกและค่าลบ x:
.
สำหรับรากที่สอง:
.

ลำดับการดำเนินการมีความสำคัญที่นี่ นั่นคือ ขั้นแรกให้ดำเนินการกำลังสอง ส่งผลให้ได้จำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนั้นจึงนำรากออกมา (รากที่สองสามารถนำมาจากจำนวนที่ไม่เป็นลบได้ ). หากเราเปลี่ยนลำดับ: ดังนั้นสำหรับค่าลบ x รากก็จะไม่ได้ถูกกำหนดไว้ และด้วยค่านี้ นิพจน์ทั้งหมดก็จะไม่ได้ถูกกำหนดไว้

ระดับแปลก

สำหรับเลขยกกำลังคี่ รากถูกกำหนดไว้สำหรับ x ทั้งหมด:
;
.

สมบัติและสูตรของราก

รากของ x คือฟังก์ชันยกกำลัง:
.
เมื่อ x ≥ 0 ใช้สูตรต่อไปนี้:
;
;
, ;
.

สูตรเหล่านี้ยังสามารถนำไปใช้กับค่าลบของตัวแปรได้

คุณเพียงแค่ต้องแน่ใจว่าการแสดงออกถึงรากถึงค่าของเลขยกกำลังคู่นั้นไม่เป็นลบ

ค่านิยมส่วนตัว
รากของ 0 คือ 0:
รูท 1 เท่ากับ 1:
รากที่สองของ 0 คือ 0:

รากที่สองของ 1 คือ 1:

ตัวอย่าง. รากของราก
.
ลองดูตัวอย่างรากที่สองของราก:
.
มาแปลงรากที่สองด้านในโดยใช้สูตรด้านบน:
.
ทีนี้มาเปลี่ยนรูตดั้งเดิม:
.

ดังนั้น,

y = x p สำหรับค่าต่าง ๆ ของเลขชี้กำลัง p

นี่คือกราฟของฟังก์ชันสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของอาร์กิวเมนต์ x

กราฟของฟังก์ชันกำลังที่กำหนดไว้สำหรับค่าลบของ x จะได้รับในหน้า “ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ”

ฟังก์ชันผกผัน

ค่าผกผันของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลัง p คือฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลัง 1/p

ถ้าอย่างนั้น.
;

อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:

การหาสูตร > > > 1 ;
.

อินทิกรัลของฟังก์ชันกำลัง

ป ≠ - 1 < x < 1 การขยายซีรีย์พาวเวอร์

ที่ -

การสลายตัวต่อไปนี้เกิดขึ้น:
นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z:.
ฉ
(z) = z เสื้อ
ให้เราแสดงตัวแปรที่ซับซ้อน z ในรูปของโมดูลัส r และอาร์กิวเมนต์ φ (r = |z|): z = r e ฉัน φ .
จำนวนเชิงซ้อน
เสื้อ จะถูกแสดงในรูปแบบของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:

เสื้อ = p + ผมq .
,

เรามี: 0 ต่อไป เราจะพิจารณาว่าอาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ: ลองพิจารณากรณีที่ q =นั่นคือเลขชี้กำลัง -
.

จำนวนจริง
.
, เสื้อ = หน้า แล้วถ้า p เป็นจำนวนเต็ม แล้ว kp จะเป็นจำนวนเต็ม จากนั้น เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นระยะ:

ถ้า p เป็นจำนวนอตรรกยะ ผลคูณ kp สำหรับ k ใดๆ จะไม่สร้างจำนวนเต็ม เนื่องจาก k วิ่งผ่านชุดค่าอนันต์ เค = 0, 1, 2, 3, ...ดังนั้นฟังก์ชัน z p จะมีค่ามากมายนับไม่ถ้วน เมื่อใดก็ตามที่อาร์กิวเมนต์ z เพิ่มขึ้น 2π(หนึ่งรอบ) เราย้ายไปยังสาขาใหม่ของฟังก์ชัน

ถ้า p เป็นตรรกยะ ก็สามารถแสดงได้เป็น:
, ที่ไหน ม- จำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วม แล้ว
.
ค่า n แรก โดยที่ k = k 0 = 0, 1, 2, ...n-1ให้ค่า kp ที่แตกต่างกัน:
.
อย่างไรก็ตาม ค่าที่ตามมาจะให้ค่าที่แตกต่างจากค่าก่อนหน้าด้วยจำนวนเต็ม เช่น เมื่อ k = k 0+นเรามี:
.
ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งข้อโต้แย้งแตกต่างกันไปตามค่าที่เป็นทวีคูณของ 2πมีค่าเท่ากัน ดังนั้นเมื่อ k เพิ่มขึ้นอีก เราจะได้ค่า z p เช่นเดียวกับ k = k 0 = 0, 1, 2, ...n-1.

ดังนั้นฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลองศามีหลายค่าและมีค่า n ค่า (สาขา) เมื่อใดก็ตามที่อาร์กิวเมนต์ z เพิ่มขึ้น 2π(หนึ่งเทิร์น) เราย้ายไปยังสาขาใหม่ของฟังก์ชัน หลังจากการปฏิวัติดังกล่าว เราก็กลับไปยังสาขาแรกที่การนับถอยหลังเริ่มต้นขึ้น

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รากของดีกรี n มีค่า n ค่า เพื่อเป็นตัวอย่าง ให้พิจารณารากที่ n ของจำนวนบวกจำนวนจริง z = x ในกรณีนี้ φ, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
ดังนั้น สำหรับรากที่สอง n = สำหรับแม้แต่ k(- 1 ) k = 1 - สำหรับ k คี่.
(- 1 ) k = - 1

นั่นคือรากที่สองมีสองความหมาย: + และ -
วรรณกรรมที่ใช้:

ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552สูตรปริญญา

ใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนในการแก้สมการและอสมการ ตัวเลขค nเป็น - กำลังของตัวเลขก

เมื่อไร:

การดำเนินงานที่มีองศา 1. การคูณกำลังของ cพื้นฐานเดียวกัน

ตัวชี้วัดของพวกเขารวมกัน:เช้า

·a n = a m + n

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก: 3. กำลังของผลคูณ 2 หรือมากกว่า

ปัจจัยเท่ากับผลคูณของกำลังของปัจจัยเหล่านี้:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. ระดับของเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:

(ก/ข) n = n /b n

5. การยกกำลังให้เป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

(ก) n = ก ม n .

แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน. ตัวอย่างเช่น.

(2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากฐานของทัศนคติ เท่ากับอัตราส่วนเงินปันผลและตัวหารของราก:

3. เมื่อยกรากเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มเลขรากเป็นกำลังนี้:

4. หากเพิ่มระดับรากเข้าไป nครั้งหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็สร้างเป็น nยกกำลัง th เป็นจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5.ถ้าลดระดับรากลง nแยกรากไปพร้อมๆ กัน n- กำลังของจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบกำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นค่าที่หารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน โดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก:

สูตร ตัวชี้วัดของพวกเขารวมกัน::a n =a ม - nสามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ ม> nแต่ยังมี ม< n.

แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน. - กำลังของตัวเลข4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ให้เป็นสูตร ตัวชี้วัดของพวกเขารวมกัน::a n =a ม - nยุติธรรมเมื่อ ม.=นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์

องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์กำลังของจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์โดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนเพื่อเพิ่มจำนวนจริง กในระดับ ม./นคุณต้องแยกรากออก nระดับของ ม- ยกกำลังของเลขนี้ ก.