จุดสิ้นสุดของส่วน เรขาคณิตของหลักสูตรผู้ติดต่อของคุณปลอมแปลงคำแนะนำ Loseva สำหรับการทำงานกับการนำเสนอ

วงกลมก็เท่ากัน หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ส่วนหนึ่ง. เส้นทแยงมุม จัตุรัส. สี่เหลี่ยมด้านขนาน. มุม ศูนย์กลางของวงกลม วงกลม. การพิสูจน์. สามเหลี่ยม วงกลมสองวง คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรขาคณิต. สี่เหลี่ยม. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ความเท่าเทียมกันของกลุ่ม จุด งาน สัมผัสกันเป็นวงกลม มุมแหลม. สายกลาง. สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

“มุมไดฮีดรัล ความตั้งฉากของระนาบ” - ใบหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ระยะห่างระหว่างเส้นที่ตัดกัน สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของระนาบสองระนาบ หาระยะทาง. มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น หามุม. ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นตรง ระนาบ มุมไดฮีดรัล เส้น a ตั้งฉากกับระนาบ ขอบของลูกบาศก์ วางขนานกัน ส่วน. ระนาบ ABC1 และ A1B1D ตั้งฉากกัน ค้นหาแทนเจนต์ของมุม เส้นทแยงมุม

“ผลที่ตามมาจากสัจพจน์ของสามมิติ” - หมวดเรขาคณิต จุดตัดของเส้นและระนาบ แบนและตรง เครื่องบิน. สร้างภาพลูกบาศก์ มีกี่หน้าผ่านไปหนึ่ง สอง สาม สี่แต้ม คำอธิบายของวัสดุใหม่ วาดเส้นตรง การพิสูจน์. สารละลาย. งานช่องปาก- งบ. สัจพจน์ของ Stereometry และผลที่ตามมาบางประการ สเตอริโอเมทรีคืออะไร? สัจพจน์ของระนาบ ค้นหาเส้นตัดกันของเครื่องบิน

“แนวคิดของปิรามิด” - ใบหน้าของปิรามิด คำถามเพื่อความปลอดภัย- ซี่โครงด้านข้างของปิรามิด สิ่งมหัศจรรย์แห่งกิซ่า รูปทรงหลายเหลี่ยม มุมเท่ากัน. ปิรามิดในสาขาเศรษฐศาสตร์ เส้นทางการเดินทาง. ที่ฐานของปิรามิดมีมัสตาบา ขอบด้านข้าง. ปิรามิดอียิปต์- ปิรามิดในวิชาเคมี ฐานของปิรามิด ปิรามิดขั้นบันได รูปแบบขององค์กรอุตสาหกรรมสมัยใหม่ การเดินทางเสมือนจริงสู่โลกแห่งปิรามิด ซี่โครงด้านข้าง. โครงสร้างของโมเลกุลมีเทน ใบหน้าด้านข้างที่อยู่ติดกัน

“ตัวอย่างสมมาตรส่วนกลาง” - ลวดลายบนพรม เซ็กเมนต์ มุมที่มีหน่วยวัดระดับที่กำหนด เครื่องบิน. เซ็กเมนต์ ความยาวที่กำหนด- สมมาตรกลางดาวหกแฉก สมมาตรกลาง สมมาตรกลางเป็นรูปสี่เหลี่ยม โรงแรมปริบอลตีสกายา ดอกคาโมไมล์ ตัวอย่างความสมมาตรในพืช ตรง. สมมาตรกลางในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม สมมาตรกลางในการขนส่ง สัจพจน์ของสามมิติ สมมาตรกลางในสัตววิทยา

“สัจพจน์ของสามมิติ เกรด 10” - สัจพจน์ของสามมิติ เอ บี ซี? เส้นตรง A, B, C หนึ่งเส้น? - - - เครื่องบินลำเดียว เครื่องบินลำหนึ่งแล่นผ่านเส้นตัดกันสองเส้น และมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น ปัญหา เมื่อพิจารณาจาก MABC ทรงจัตุรมุข ซึ่งแต่ละขอบมีขนาด 6 ซม. ตั้งชื่อเส้นที่ระนาบตัดกัน: A) (MAB) และ (MFC) B) (MCF) และ (ABC) ข้อพิสูจน์จากสัจพจน์ของสามมิติ 4. คำนวณความยาวของเซ็กเมนต์ AK และ AB1 ถ้า AD=a 2. ค้นหาความยาวของส่วน CF และพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC

5. ภาพวงกลม:

รูปภาพของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O1 คือวงรีที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O ซึ่งอยู่ในระนาบการฉายภาพ α

เส้นตั้งฉากร่วมของเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันเรียกว่าส่วนที่มีปลายอยู่บนเส้นเหล่านี้ตั้งฉากกับแต่ละส่วน

ระยะห่างระหว่างเส้นข้ามเรียกว่าความยาวของเส้นตั้งฉากร่วม เท่ากับระยะห่างระหว่างระนาบขนานที่ผ่านเส้นเหล่านี้

มุมระหว่างเส้นตัดกันมุมระหว่างเส้นตัดกันขนานกับเส้นตัดที่กำหนดเรียกว่า

ทฤษฎีบทสามตั้งฉากทั่วไป

เส้นตรงใดๆ บนระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นโครงของเส้นเอียงบนระนาบนี้ก็ตั้งฉากกับเส้นเอียงเช่นกัน

และในทางกลับกัน: ถ้าเส้นตรงในระนาบตั้งฉากกับเส้นเอียง มันก็จะตั้งฉากกับเส้นโครงของเส้นเอียงด้วย

มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบเรียกว่ามุมระหว่างเส้นตรงกับการฉายภาพบนระนาบ (มุม φ)

มุมระหว่างระนาบสองระนาบที่ตัดกันเรียกว่ามุมระหว่างเส้นตรงของจุดตัดของระนาบเหล่านี้ด้วย

ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นตัดของระนาบเหล่านี้ (มุม φ')

พื้นที่ฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเท่ากับผลคูณของพื้นที่และโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและพื้นที่ฉายภาพ

ปัญหาที่ 1. เมื่อผ่านจุด O ของจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD จะมีการวาด MO ตั้งฉากยาว 15 ซม. ไปยังระนาบของมัน ค้นหาระยะห่างจากจุด M ถึงด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหากด้านข้างคือ 16 ซม.

คำตอบ: 17 ซม.

ปัญหาที่ 2 ส่วน AS เท่ากับ 12 ซม. ตั้งฉากกับระนาบของสามเหลี่ยม ABC โดยที่ AB=AC=20 ซม., BC=24 ซม. จงหาระยะห่างจากจุด S ถึงเส้นตรง BC

คำตอบ: 20 ซม.

ปัญหาที่ 3 ไปยังระนาบของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD ซึ่งมีพื้นที่ 180 cm2 ให้วาด SD ตั้งฉาก SD = 12 cm, BC = 20 cm ค้นหาระยะห่างจากจุด S ถึงด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คำตอบ: 12 ซม. 12 ซม. 15 ซม. 4 34 ซม.

ปัญหาที่ 4. AC ขา สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ a มุม B เท่ากับ φ ผ่านจุดยอดของมุมฉาก MC ตั้งฉากที่มีความยาว a จะถูกลากไปยังระนาบของสามเหลี่ยมนี้ หาระยะทางจากปลายของตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

คำตอบ: cosϕ; เอ 1+ cos2 ϕ

ปัญหาที่ 5 ในรูปสามเหลี่ยม ABC ด้าน AB = 13 ซม., BC = 14 ซม., AC = 15 ซม. จากจุดยอด A จะมีการวาดเส้น AD ตั้งฉากยาว 5 ซม. ไปยังระนาบของมัน

คำตอบ: 13 ซม.

ปัญหาที่ 6. ให้ลาก MC ตั้งฉากยาว 7 ซม. ไปยังระนาบของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยที่ Ð A = 45°, AB = 8 ซม. จงหาระยะห่างจากจุด M ถึงด้านข้างของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

คำตอบ: 7 ซม. 7 ซม. 9 ซม. 9 ซม.

ภารกิจที่ 7 สร้างเส้นตั้งฉากทั่วไปกับเส้นตรง AB และ CD บนรูปภาพของลูกบาศก์

ปัญหาที่ 8. ผ่านฝั่งแอร์ สามเหลี่ยมด้านเท่า ABC เป็นระนาบ α มุมระหว่างความสูง BD ของสามเหลี่ยมกับระนาบนี้เท่ากับ φ ค้นหามุมระหว่างเส้น AB และระนาบ α

คำตอบ: arcsinç				บาปϕ ۞

ปัญหาที่ 9. ลาก ABC สามเหลี่ยมปกติผ่านจุดศูนย์กลาง O ไปที่ระนาบของมัน

ตั้งฉากกับ MO เอบี=ก 3. มุมระหว่างเส้นตรง MA และระนาบของสามเหลี่ยมคือ 45° ค้นหามุมระหว่างระนาบ: 1) AMO และ VMO; 2) ห่วงอนามัยและเอบีซี

คำตอบ: 1) 60°; 2) ส่วนโค้ง 2

ปัญหาที่ 10 ระนาบของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC และ ABD ตั้งฉากกัน ค้นหามุม:

1) ระหว่างเส้นตรง DC และระนาบ ABC ระหว่างระนาบ ADC และ BDC

คำตอบ: 1) 45°; 2) อาร์คคอส 1 5 .

ปัญหาที่ 11. พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ฉายภาพของรูปหลายเหลี่ยมสำหรับกรณีที่รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีด้านใดขนานกับระนาบการฉายภาพ

ปัญหาที่ 12. ขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a หาพื้นที่หน้าตัดของลูกบาศก์โดยระนาบที่ผ่านด้านบนของฐานเป็นมุม 30° ถึงฐานนี้แล้วตัดขอบด้านข้างทั้งหมด

ตอบ: 2 3 และ 2 .

ปัญหาที่ 13 ด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 20 และ 25 ซม. การฉายภาพบนระนาบจะคล้ายกัน ค้นหาเส้นรอบวงของการฉายภาพ

คำตอบ: 72 ซม. หรือ 90 ซม.

ปัญหาที่ 14 สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีความสูง 16 ซม. งอไปตามเส้นกึ่งกลาง MN ขนานกับฐาน AC เพื่อให้จุดยอด B อยู่ห่างจากระนาบของ ACNM รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 4 ซม.

ก) ค้นหามุมระหว่างระนาบ AMC และ MBN

b) สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล BMNC และหาค่าวัดเชิงมุมถ้า การฉายภาพออโธกราฟิกจุดยอด B บนระนาบของ AMNC รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ด้านนอก

c) เปรียบเทียบการวัดเชิงมุมของมุมไดฮีดรัล BMNC และมุม BMA d) จงหาระยะทางจากจุด B ถึงเส้นตรง AC

e) จงหาระยะทางจากเส้นตรง MN ถึงระนาบ ABC

f) สร้างเส้นตัดกันของระนาบ AMB และ BNC

3. งานควบคุมตนเอง

1. ขอบของลูกบาศก์คือ 10 ซม. จงหาระยะห่างระหว่างเส้น a และ b

2. เมื่อลากเส้นตรงผ่านจุด A ของสามเหลี่ยม ABC แล้ว ตั้งฉากกับเครื่องบินสามเหลี่ยม. ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้น a และ BC ถ้า AB = 13 ซม., BC = 14 ซม., AC = 15 ซม.

คำตอบ: 12 ซม.

3. ให้ลาก KD ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยม ABCD ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 5 ซม. ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้น: 1) AB และ KD; 2) KD และเอซี

คำตอบ: 1) 5 ซม.; 2) 5 2 2 ซม.

4. มุมระหว่างระนาบ α และ β คือ 30° จุด A ซึ่งอยู่ในระนาบ α อยู่ห่างจากเส้นตัดของระนาบ 12 ซม. จงหาระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ β

คำตอบ: 6 ซม.

5. ผ่านจุดศูนย์กลาง O ของสี่เหลี่ยม ABCD SO ตั้งฉากกับระนาบของมัน มุมระหว่างเส้นตรง SC และระนาบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 60°, AB = 18 ซม. ค้นหามุมระหว่างระนาบ ABC และ BSC

คำตอบ: arctg 6

6. สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 4 2 ซม. งอเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน M และ N ด้าน DC และ BC เพื่อให้จุดยอด C ถูกลบออกจากระนาบ

AMN สูง 1 ซม.

ก) ค้นหามุมระหว่างระนาบ ADM และ CMN

b) สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล BMNC และค้นหาการวัดเชิงมุมถ้าการฉายมุมตั้งฉากของจุดยอด C บนระนาบของรูปห้าเหลี่ยม ABNMD อยู่นอกขอบเขตของมัน

c) เปรียบเทียบการวัดเชิงมุมของมุมไดฮีดรัล BMNC และมุม CNB d) ค้นหาระยะทางจากจุด C ถึงเส้นตรง BD

e) หาระยะทางจากเส้นตรง MN ถึงระนาบ BDC

f) สร้างเส้นตัดกันของระนาบ BNC และ DMC

คำตอบ: ก) 30°; ง) 2 × 2 + 3 ซม. ง) 2 - 3 ซม.

7. จุดยอด A และ D ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD อยู่ในระนาบ α และอีกสองจุดอยู่นอกระนาบนี้ AB = 15 ซม., BC = 19 ซม. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานไปบนระนาบ α คือ 20 ซม และ 22 ซม. จงหาระยะห่างจากด้าน BC ถึงระนาบ α

ทิศทาง: ใช้ทฤษฎีบทกับผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำตอบ: 12 ซม.

8. จุด M ถูกลบออกจากแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่ระยะ 12 ซม. ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 18 ซม. และ 32 ซม. จงหาระยะห่างจากจุด M ถึงระนาบของสี่เหลี่ยมคางหมู

คำตอบ: จุด M อยู่ในระนาบของสี่เหลี่ยมคางหมู

9. ผ่านจุดยอด A ของสี่เหลี่ยม ABCD ค่า AM เอียงจะถูกลากไปที่ระนาบของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ทำมุม 50° โดยมีด้าน AD และ AB ค้นหามุมระหว่างระนาบเอียงนี้กับระนาบของสี่เหลี่ยม

คำตอบ: 32°57’

10. ปลายของส่วน AB=25 ซม. วางอยู่บนใบหน้าที่มีมุมไดฮีดรัลเท่ากับ 60° จากจุด A และ B เส้นตั้งฉาก AC และ BD จะตกลงไปที่ขอบของมุมไดฮีดรัล, AC = 5 ซม., BD = 8 ซม.

คำตอบ: 24 ซม.

บทเรียนหมายเลข 7

หัวข้อบทเรียน: “ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในอวกาศ”

- รวบรวมความรู้ของโรงเรียนของนักเรียนเกี่ยวกับระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในอวกาศ

- จัดระบบความรู้เกี่ยวกับสมการของตัวเลขในอวกาศ

- รวบรวมทักษะในการแก้ปัญหาการจัดทำสมการภาพเรขาคณิตในอวกาศ

1. สรุปวัสดุทางทฤษฎี

t.O – ที่มาของพิกัด วัว – แกนแอบซิสซา; Оу – แกนกำหนด; Оz – ใช้แกน xy , xz u yz – ระนาบพิกัด

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

พิกัดจุดกึ่งกลางของส่วน

รูป F ได้จากสมการนี้ในพิกัดสี่เหลี่ยมถ้าจุดนั้นเป็นของรูป F ก็ต่อเมื่อพิกัดของจุดนี้เป็นไปตามสมการที่กำหนด ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามเงื่อนไข 2 ข้อ:

1) หากจุดนั้นเป็นของรูป F พิกัดของมันจะเป็นไปตามสมการ

2) หากตัวเลข x, y, z เป็นไปตามสมการนี้ จุดที่มีพิกัดดังกล่าวจะเป็นของรูป F

สมการของทรงกลม ทรงกลมคือเซตของจุดในอวกาศซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนด

ระยะบวกที่กำหนด ในเวลาเดียวกัน จุดที่กำหนดเรียกว่าศูนย์กลางของทรงกลม และระยะนี้คือรัศมีของมัน

ทรงกลมรัศมี R โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A (a;b;c) กำหนดโดยสมการ (ตามคำจำกัดความ)

(x - ก) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2

หากจุดศูนย์กลางของทรงกลมตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด ดังนั้น a=b=c=0 และสมการของทรงกลมจะมีรูปแบบ: x 2 + y 2 + z 2 = R 2

สมการระนาบ

ทฤษฎีบท. ระนาบในอวกาศถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม x, y, z โดยสมการในรูปแบบ Ax+By+Cz+D=0 โดยมีเงื่อนไขว่า A2 +B2 +C2 >0

จริงและ คำสั่งสนทนา: สมการ Ax+By+Cz+D=0 โดยมีเงื่อนไขว่า A2 +B2 +C2 >0 ให้นิยามระนาบในอวกาศในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

สมการของเส้น

เส้นตรงในอวกาศคือเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

Ð A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; í î A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

ถ้าเส้น AB ผ่านจุด A (x1 ;y1 ;z1 ) และ B (x2 ;y2 ;z2 ) ไม่ขนานกับจุดใดๆ ประสานงานเครื่องบินแล้วสมการของมันก็จะมีรูปแบบ:

x−x1				y−y1				z - z1

2. ระบบงานการฝึกอบรมในชั้นเรียน

ปัญหาที่ 1 ด้านของลูกบาศก์คือ 10 จงหาพิกัดของจุดยอด

ปัญหาที่ 2. ค้นหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ABC ถ้า A(7;1;-5), B(4;-3;-4), C(1;3;-2)

คำตอบ: 14 + 26

ปัญหาที่ 3. ทำจุดสามจุด A, B, C อยู่บนเส้นเดียวกัน ถ้า A(3;2;2), B(1;1;1),

คำตอบ: ใช่

ปัญหาที่ 4. จุดใด – A(2;1;5) หรือ B(-2;1;6) – อยู่ใกล้จุดกำเนิดมากกว่า? คำตอบ: จุด A

ปัญหาที่ 5. ให้คะแนน K(0;2;1), P(2;0;3) และ T(-1;y;0) ค้นหาค่า y เพื่อให้ตรงตามเงื่อนไข: CT = RT

คำตอบ: -3.

ปัญหาที่ 6. ค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของด้านของสามเหลี่ยม ABC ถ้า A(2;0;2)

บี(2;2;0), ค(2;2;2)

คำตอบ: A1 (2;2;1), B1 (2;1;2), C1 (2;1;1)

ปัญหาที่ 7. จงหาความยาวของค่ามัธยฐาน AM ของสามเหลี่ยม ABC ถ้า A(2;1;3), B(2;1;5),

คำตอบ: AM=1.

ปัญหาที่ 8 สมการใดต่อไปนี้เป็นสมการของทรงกลม:

ก) x 2 − y 2				x 2 + y 2 + z 2 =1;	ค) x 2 + y 2 + z 2 = a 2;
ง) x 2 + ย 2		1+ x ;		2x 2 + y 2 + z 2 =1;	e) x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 3y − 4z =1?

ปัญหาที่ 9. เขียนสมการของระนาบที่ผ่าน: ก) แกนวัวและจุด A(1;1;1);

b) คะแนน O(0;0;0); เอ(1;2;-3) และ บี(2;-2;5)

ปัญหาที่ 10 ระนาบและทรงกลมกำหนดโดยสมการ 4x+3y–4=0 และ x2 +y2 +z2 –2x+8y+8=0 ศูนย์กลางของทรงกลมเป็นของระนาบนี้หรือไม่?

ปัญหาที่ 11. เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1;3;2) และ

ค้นหาจุดตัดของพวกเขา

ปัญหาที่ 13. จงหาระยะห่างจากจุดยอด D ของจัตุรมุข ABCD ถึงหน้า ABC

ถ้า AC=CB=10, AB=12, DA=7, DB= 145, DC= 29

คำตอบ: 3.

ปัญหาที่ 14. จงหาความยาวของขอบ AD ของจัตุรมุข ABCD ถ้า AB=AC=BC=10

DB=2 29, DC= 46 และระยะห่างจากจุดยอด D ถึงระนาบของหน้า ABC เท่ากับ

คำตอบ: 214 หรือ 206

3. งานควบคุมตนเอง

1. ให้คะแนน K(0;1;1); P(2;-1;3) และ T(-1;y;0) ค้นหาค่า y เพื่อให้ตรงตามเงื่อนไข: CT = RT

2. ให้คะแนน A (1;2;3) และ B (3;-6;7) ค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน AB

3. ค้นหาพิกัดของจุดที่อยู่บนแกน Oy และอยู่ห่างจากจุด A (4;-1;3) และ B (1;3;0) เท่าๆ กัน

4. หาจุดที่อยู่ห่างจากจุด A(0;0;1), B(0;1;0), C(1;0;0) และที่ระยะ 2 จากระนาบ yz ให้หาจุดที่มีระยะห่างเท่ากัน

5. จุด A(a;0;0), B(0;a;0),			С(0;0;а) – จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ค้นหาพิกัด
	จุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมนี้
	เป็นของ				ทรงกลมที่มีสมการ
	x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0?
	หาจุด	ทางแยกทรงกลม		ที่ให้ไว้	สมการ x 2 + y 2 + z 2 − 4 x = 12 วินาที

8. เขียนสมการของระนาบ ขนานไปกับเครื่องบิน xy และผ่านจุด A(2;3;4)

9. แต้ม O(0;0;0); เอ(3;0;0); B(0;4;0) และ O 1 (0;0;5) – จุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เขียนสมการของระนาบของใบหน้าทั้งหมด

10. เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1;1;2) และบี(-3;2;7).

11. ระยะทางจากฐานของลูกบาศก์คือส่วนที่มีความยาว b ซึ่งขนานกับฐาน ถ้าปลายด้านหนึ่งของด้านนั้นอยู่บนเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ ส่วนอีกด้านอยู่ในแนวทแยงของด้านที่ตัดกับด้านนั้น ความยาวของขอบลูกบาศก์ a

คำตอบ: (2a ± 5b 2 − a 2) ÷ 5

12. ABCDA1 B1 C1 D1 – ทรงลูกบาศก์, AB=BC=ก, AA1=2a ค้นหาความยาวของส่วน MK ขนานกับหน้า ABB1 A1 ถ้า M AD1, K DB1, AM:AD1 = 2:3

คำตอบ: ก 3 5 .

บทเรียนหมายเลข 8

หัวข้อของบทเรียน: “เวกเตอร์ในอวกาศและวิธีการเวกเตอร์สำหรับการแก้ปัญหาสามมิติ”

- สรุปและเพิ่มพูนความรู้ของโรงเรียนของนักเรียนเกี่ยวกับเวกเตอร์และการกระทำกับพวกเขา

- ศึกษาวิธีเวกเตอร์ต่อไปในการแก้ปัญหาเชิงระนาบและสามมิติสำหรับ "ก, ข.

คุณสมบัติ 2: (xa) × b = x(a × b) สำหรับ " a, b, x คุณสมบัติ 3: (a + b) × c = a × c + b × c สำหรับ " a, b, c

สองกรณีพิเศษ:

1) ก = ข; ก × ก = ก2 = ก 2

2) a × b = 0 ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ a และ b ตั้งฉากกัน ถ้า a หรือ b เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ดังนั้น ตามนิยามแล้ว มันจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ใดๆ

ถ้า =(a1;a2;a3); b =(b1 ;b2 ;b3 ) จากนั้น a × b = a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3

สไลด์ 2

บทเรียนเปิด: “มุมไดฮีดรัล” สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10-11 เรียนเรขาคณิตโดยใช้ตำราเรียนของแอล.เอส. อตานาเซียน

สไลด์ 3

คำแนะนำในการทำงานกับการนำเสนอ:

สไลด์จะแสดงโดยใช้เมาส์ คุณสามารถเริ่มทำงานจากสไลด์ใดก็ได้ คุณสามารถเลือกส่วนของสไลด์ได้ คุณสามารถคัดลอกเนื้อหาที่จำเป็นได้

สไลด์ 4

มุมไดฮีดรัล ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ปี 2551

สไลด์ 5

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:1. ขยายแนวคิด: “มุม” 2. หาคำจำกัดความของมุมไดฮีดรัล 3. เรียนรู้การวัดมุมไดฮีดรัล4. เรียนรู้การใช้คุณสมบัติของมุมไดฮีดรัลในการแก้ปัญหา

สไลด์ 6

การทำซ้ำ1. คำจำกัดความของมุมเชิงเส้น2.ทฤษฎีบทสามฉากตั้งฉาก3.ความชันและการฉายภาพ4.คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ4. คุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สไลด์ 7

เราแสดงมุมทีละน้อยตามคำสั่งของเมาส์ ดังนั้นเราจึงทำซ้ำคำจำกัดความและคุณสมบัติ มุมเชิงเส้น (เฉียบพลัน ขวา มุมป้าน) มุมแนวตั้ง มุมที่อยู่ติดกัน มุมกลาง มุมที่จารึกไว้

สไลด์ 8

สไลด์ 9

ตั้งฉาก เอียง และฉายภาพ ทฤษฎีบทของสามตั้งฉาก คุณสมบัติของเส้นเฉียงและเส้นโครง ทำซ้ำคำถามเหล่านี้ในปัญหา

สไลด์ 10

B S A K N ตั้งฉาก เอียง และเส้นโครงมีความสัมพันธ์กันโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทของเส้นตั้งฉากสามเส้นสำหรับเส้นตรง KS เครื่องบิน ABC KS ตัวเอียงเท่ากันมี …….. เอียงขนาดใหญ่………

สไลด์ 11

A B C D V H P N A B C D E F M H S O P R ค้นหามุมระหว่างเส้นตรง HD (AO) กับระนาบของฐานและหน้าด้านข้าง

สไลด์ 12

A D C B F วาดตั้งฉากกับ DC และ AD จากจุด F ABCD – สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เส้นโครงแนวตั้งฉากเฉียงและเฉียงมีความสัมพันธ์กันอย่างไร?

สไลด์ 13

A B C D F ดูได้ที่ไหน ทฤษฎีบทของสามตั้งฉาก?

สไลด์ 14

งาน.

BM ตั้งฉากถูกลากผ่านจุดยอด B ของสี่เหลี่ยม ABCD เป็นที่ทราบกันว่า MA=4ซม. MD=5ซม. จงหาระยะห่างจาก M ถึงระนาบ ระยะห่างระหว่าง MV และ DC เอ บี ซี ดี เอ็ม

สไลด์ 15

ส่วนหลักของบทเรียน

ภารกิจภาคปฏิบัติ: ทุกคนหยิบเอกสารไฟล์ขึ้นมา งอออกเป็นสองส่วนที่ไม่เท่ากัน แล้วสรุปว่าระนาบครึ่งระนาบสองอันที่ตัดกันโดยมีเส้นตรงร่วมเรียกว่ามุมไดฮีดรัล จะวัดได้อย่างไร? ลองวาดเส้นตรงทั่วไป จำสัจพจน์ของเครื่องบิน ทำเครื่องหมายจุดบนขอบกัน มาวาดตั้งฉากกับขอบจากจุดที่กำหนดในแต่ละหน้ากัน เราโค้งงอตามขอบอีกครั้งแล้วสรุปว่ามุมต่างกันต้องแยกแยะยังไง? เราใช้กรรไกรแล้วตัดตามแนวตั้งฉากใส่แผ่นเข้าไปในรอยแตกและดูมุมเชิงเส้น เราจะดูสไลด์ที่ให้คำตอบสำหรับข้อเสนอที่ได้รับ ให้เรากำหนดการวัดมุมไดฮีดรัล เราแสดงมุมสองเท่าบนแบบจำลองของปิรามิด ปริซึม และบนโต๊ะ

สไลด์ 16

มุมไดฮีดรัล เป็นที่ทราบกันว่าการวัดมุมไดฮีดรัลคือการวัดมุมเชิงเส้นของมัน หากเราทำเครื่องหมายจุดบนขอบของมุมไดฮีดรัลในแต่ละหน้าและวาดรังสีจากจุดนี้ตั้งฉากกับขอบ เราจะได้มุมเชิงเส้น ม

สไลด์ 17

จุดบนขอบสามารถกำหนดเองได้...

สไลด์ 18

คำนิยาม:

α β B A C M N P

สไลด์ 19

บางครั้ง การสร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลจะสะดวกดังนี้: จากจุด A เราวางหน้า α ลงบนขอบ AC┴a ซึ่งตั้งฉากกับหน้าอีกด้าน AB┴β CB จะเป็นเส้นโครงของ AC ไปยัง เครื่องบินβ ตั้งแต่ AC┴a แล้วก็ BC┴apo ทฤษฎีบทผกผันตั้งฉากประมาณ 3 อัน ACB คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่มีขอบ a A B C ถึง α β

สไลด์ 20

ระนาบตั้งฉาก ระนาบที่ตัดกันสองระนาบจะเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมระหว่างระนาบทั้งสองเป็น 90°

สไลด์ 21

คุณสมบัติ:

หากเครื่องบินแล่นผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบนั้นก็จะตั้งฉากกัน

สไลด์ 22

การแก้ปัญหา:

สไลด์ 23

หมายเหตุในการแก้ปัญหา

คุณสามารถแก้ไขได้บนคอมพิวเตอร์โดยใช้ "กำหนดค่าอัตโนมัติ" คุณสามารถแก้ไขได้บน "อินเตอร์บอร์ด" สามารถฉายลงบนกระดานธรรมดาหรือไวท์บอร์ดได้โดยตรง เราแสดงเงื่อนไขของปัญหาบนหน้าจอและวาดภาพให้เสร็จและแก้ไขโดยตรงบนเฟรม นักเรียนแต่ละคนสามารถบันทึกวิธีแก้ไขปัญหาได้ จากนั้นครูจะประเมินผล คุณสามารถแสดงวิธีแก้ปัญหาของนักเรียนบนหน้าจอทั่วไปและพิจารณาวิธีการต่างๆ ได้

สไลด์ 24

จุด M ตั้งอยู่บนใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งของมุมไดฮีดรัลเท่ากับ 30 ระยะห่างจากจุดถึงขอบของมุมไดฮีดรัลคือ 18 ซม. คำนวณระยะห่างจากการฉายภาพของจุด M บนหน้าที่สองถึงขอบของ มุมไดฮีดรัล

สไลด์ 25

ส่วน AC และ BC ที่วางอยู่บนใบหน้าของมุมไดฮีดรัลด้านขวาจะตั้งฉากกับขอบ คำนวณระยะห่างระหว่างจุด A และ B ถ้า AC = 10 ซม. BC = 24 ซม.

สไลด์ 26

จุด K บนใบหน้าของมุมไดฮีดรัลจะถูกลบออกจากด้านอื่น 12 ซม. และจากขอบโดยคำนวณค่าของมุมไดฮีดรัล

สไลด์ 27

จุด A ตั้งอยู่บนขอบของมุมไดฮีดรัลที่เท่ากัน บนใบหน้าจะมีตั้งฉากกับขอบ AB และ AC เท่ากับ 10 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ คำนวณระยะห่างระหว่างจุด B และ C

สไลด์ 28

หาระยะทางจากจุด D ถึงเส้น AB ถ้า AC = CB = 10, AB = 16, CD = 6 วาดเส้นตั้งฉากจากจุด D ถึงเส้น AB ค้นหามุมไดฮีดรัลที่ขอบ AB ▲เอบีซี ซีดี╨เอบีซี ดี

สไลด์ 29

▲เอบีซี ซีดี ╨ เอบีซี) ค้นหาระยะห่างจากจุด D ถึงเส้นตรง AB (หาค่าของมุมไดฮีดรัลที่ขอบ AB) ACB ตรง, AC = 15, CB = 20, CD = 35 เอ ดี

สไลด์ 30

จุด M และ K อยู่บนใบหน้าที่แตกต่างกันของมุมไดฮีดรัลที่ถูกต้อง ระยะห่างจากจุดเหล่านี้ถึงขอบคือ 20 ซม. และ 21 ซม. คำนวณระยะห่างระหว่างส่วนของ MC และขอบของมุมไดฮีดรัล

สไลด์ 31

ปลายของส่วนนั้นอยู่บนใบหน้าของมุมไดฮีดรัลและอยู่ห่างจากขอบ 6 ซม. ระยะห่างระหว่างส่วนนี้กับขอบคือ 3 ซม. คำนวณมุมไดฮีดรัล

สไลด์ 32

จุด K อยู่ห่างจากแต่ละด้านของสามเหลี่ยม ABC 8 ซม. AB = 24 ซม. คำนวณค่าของมุมไดฮีดรัลที่มีขอบเป็นเส้นตรง BC และใบหน้ามีจุด K และ A

เค เอ วี เอส เอ วี เอส

สไลด์ 33

a) ระนาบ M ผ่านด้าน AD ของสี่เหลี่ยม ABCD BD สร้างมุม 45 องศากับระนาบ M จงหามุมระหว่างระนาบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับระนาบ M b) ระนาบ M ผ่านด้าน AD ของสี่เหลี่ยม ABCD และเกิดมุม 30 องศากับระนาบ ค้นหามุมที่เส้นทแยงมุม BD ทำกับระนาบ M

สไลด์ 34

ฐานของพีระมิด PABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD ซึ่งแต่ละด้านเท่ากัน ระนาบ RAB และ RBC ตั้งฉากกับระนาบ ABC และระนาบ PAC จะเอียงทำมุมกัน ค้นหาความสูงและปริมาตรของปิรามิด

สไลด์ 35

คุณสมบัติของมุมสามเหลี่ยม

หากมุมระนาบสองมุมเท่ากัน ขอบร่วมของมุมทั้งสองจะถูกฉายลงบนเส้นแบ่งครึ่งของมุมระนาบที่สาม เอ บี ซี ดี

สไลด์ 36

ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันทุกด้าน โดยมีด้าน a และมุมแหลม จงหาความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สไลด์ 37

คำตอบ:

สไลด์ 38

*ฐานของปิระมิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ใบหน้าด้านข้างสองด้านตั้งฉากกับระนาบของฐาน และมุมไดฮีดรัลที่เกิดขึ้นคือ 120°; อีกสองหน้าเอียงไปที่ระนาบฐานที่มุม 30° ความสูงของปิรามิดคือ h หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด

สไลด์ 39

MABCD - พีระมิดที่กำหนด, ABCD - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน; (ABM)┴(ABC) และ (MSV)┴(ABC) หมายถึง MV┴ABC) MB=H,ABC - มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่มีขอบ MB, ABC=120° เอ บี ซี ดี