การแจกแจงแบบปกติในสถิติ การแจกแจงแบบปกติและพารามิเตอร์ แผนการแจกแจงแบบปกติที่ไม่แปรผัน

การแจกแจงแบบปกติเป็นประเภทการแจกแจงที่พบบ่อยที่สุด สิ่งหนึ่งที่พบได้เมื่อวิเคราะห์ข้อผิดพลาดในการวัดและการตรวจสอบ กระบวนการทางเทคโนโลยีและรูปแบบตลอดจนการวิเคราะห์และการพยากรณ์ปรากฏการณ์ต่างๆ ค่ะ ชีววิทยา , ยาและความรู้ด้านอื่นๆ

คำว่า "การแจกแจงแบบปกติ" ถูกใช้ในความหมายที่มีเงื่อนไขตามที่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปในวรรณกรรม แม้ว่าจะไม่ประสบความสำเร็จทั้งหมดก็ตาม ดังนั้น ข้อความที่ว่าคุณลักษณะบางอย่างเป็นไปตามกฎการกระจายแบบปกติไม่ได้หมายถึงการมีอยู่ของบรรทัดฐานที่ไม่สั่นคลอนใดๆ ที่คาดคะเนว่าเป็นรากฐานของปรากฏการณ์ที่คุณลักษณะดังกล่าวเป็นเพียงภาพสะท้อน และการยอมจำนนต่อกฎหมายการกระจายอื่นๆ ไม่ได้หมายความถึงบางประเภท ถึงความผิดปกติของปรากฏการณ์นี้

คุณลักษณะหลักของการแจกแจงแบบปกติคือเป็นขีดจำกัดของการแจกแจงแบบอื่น พบการแจกแจงแบบปกติเป็นครั้งแรก มูฟร์ในปี 1733 เฉพาะตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเท่านั้นที่เป็นไปตามกฎปกติ ความหนาแน่นของกฎการกระจายตัวแบบปกติจะมีรูปแบบ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับกฎการแจกแจงแบบปกติคือ ความแปรปรวนเท่ากับ

คุณสมบัติพื้นฐานของการแจกแจงแบบปกติ

1. ฟังก์ชันการกระจายความหนาแน่นถูกกำหนดไว้บนแกนตัวเลขทั้งหมด โอ้ นั่นคือแต่ละค่า เอ็กซ์ สอดคล้องกับค่าเฉพาะของฟังก์ชัน

2. สำหรับค่าทั้งหมด เอ็กซ์ (ทั้งบวกและลบ) ฟังก์ชันความหนาแน่นรับค่าบวก กล่าวคือ เส้นโค้งปกติจะอยู่เหนือแกน โอ้ .

3. ขีดจำกัดของฟังก์ชันความหนาแน่นโดยเพิ่มขึ้นไม่จำกัด เอ็กซ์ เท่ากับศูนย์ .

4. ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติที่จุดหนึ่งจะมีค่าสูงสุด .

5. กราฟของฟังก์ชันความหนาแน่นมีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง

6. เส้นโค้งการกระจายมีจุดเปลี่ยนเว้าสองจุดพร้อมพิกัด และ .

7. โหมดและค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบปกติตรงกับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ก .

8. รูปร่างของเส้นโค้งปกติจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ก .

9. อัตราต่อรอง ความไม่สมดุลและ ส่วนเกินการแจกแจงแบบปกติมีค่าเท่ากับศูนย์

ความสำคัญของการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้สำหรับซีรีย์การแจกแจงเชิงประจักษ์นั้นชัดเจน เนื่องจากพวกมันแสดงถึงลักษณะความเบ้และความชันของซีรีย์นี้เมื่อเปรียบเทียบกับซีรีย์ปกติ

ความน่าจะเป็นที่จะตกลงไปในช่วงเวลานั้นหาได้จากสูตร , ที่ไหน ฟังก์ชันตารางคี่

ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นที่การแจกแจงแบบปกติ ตัวแปรสุ่มเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนที่น้อยกว่า นั่นคือ เราจะหาความน่าจะเป็นของความไม่เท่าเทียมกัน หรือความน่าจะเป็นของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า เมื่อแทนลงในสูตรเราจะได้

การแสดงค่าเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ ในรูปเศษส่วนของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน นั่นคือ เมื่อใส่ความเท่าเทียมกันสุดท้าย เราจะได้

แล้วเมื่อเราได้

เมื่อเราได้รับ

เมื่อเราได้รับ.

จากความไม่เท่าเทียมกันครั้งล่าสุด พบว่ามีการกระเจิงของตัวแปรสุ่มแบบกระจายตามปกติในพื้นที่ ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะไม่ตกอยู่ในพื้นที่นี้มีน้อยมาก คือเท่ากับ 0.0027 กล่าวคือ เหตุการณ์นี้สามารถเกิดขึ้นได้เพียง 3 กรณีจาก 1,000 กรณีเท่านั้น เหตุการณ์ดังกล่าวถือว่าแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย ตามเหตุผลข้างต้น กฎสามข้อซิกมาซึ่งมีการกำหนดไว้ดังนี้: หากตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบปกติ ค่าเบี่ยงเบนของค่านี้จากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในค่าสัมบูรณ์จะไม่เกินสามเท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน.

ตัวอย่างที่ 28 ชิ้นส่วนที่ผลิตโดยเครื่องจักรอัตโนมัติถือว่าเหมาะสมหากความเบี่ยงเบนของขนาดที่ควบคุมจากการออกแบบนั้นไม่เกิน 10 มม. การเบี่ยงเบนแบบสุ่มของขนาดที่ควบคุมจากการออกแบบจะขึ้นอยู่กับกฎการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นมม. และค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เครื่องจักรผลิตชิ้นส่วนที่เหมาะสมได้กี่เปอร์เซ็นต์?

สารละลาย. พิจารณาตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ - การเบี่ยงเบนของขนาดจากการออกแบบอย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนจะถือว่าถูกต้องหากตัวแปรสุ่มอยู่ในช่วงเวลา ความน่าจะเป็นในการผลิตชิ้นส่วนที่เหมาะสมสามารถดูได้จากสูตร - ดังนั้นเปอร์เซ็นต์ของชิ้นส่วนที่เหมาะสมที่เครื่องจักรผลิตได้คือ 95.44%

การแจกแจงแบบทวินาม

ทวินามคือการกระจายความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้น ม จำนวนเหตุการณ์ใน n การทดลองอิสระ ซึ่งในแต่ละการทดลองมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคงที่และเท่ากับ ร - ความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้คำนวณโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี:

ที่ไหน . ถาวร n และ ร ที่รวมอยู่ในนิพจน์นี้คือพารามิเตอร์ของกฎทวินาม การแจกแจงทวินามอธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ลักษณะตัวเลขพื้นฐานของการแจกแจงแบบทวินาม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ การกระจายตัวเท่ากับ - ค่าสัมประสิทธิ์ของความเบ้และความโด่งเท่ากันและ - ด้วยจำนวนการทดสอบที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด ก และ อี มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าการแจกแจงแบบทวินามมาบรรจบกันเป็นปกติเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 29 การทดสอบอิสระจะดำเนินการโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากันในการเกิดเหตุการณ์ ก ในทุกการทดสอบ ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ก ในการทดลองหนึ่งครั้ง ถ้าความแปรปรวนของจำนวนครั้งที่เกิดขึ้นในการทดลองสามครั้งคือ 0.63

สารละลาย. สำหรับการแจกแจงแบบทวินาม - ลองแทนค่าที่เราได้รับ จากที่นี่ หรือ แล้ว และ .

การกระจายปัวซอง

กฎการกระจายปรากฏการณ์ที่หายาก

การกระจายปัวซองอธิบายจำนวนเหตุการณ์ ม เกิดขึ้นในช่วงเวลาเท่ากัน โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างเป็นอิสระต่อกันด้วยความเข้มข้นเฉลี่ยคงที่ อีกทั้งจำนวนการทดสอบ n สูงและมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้ง ร เล็ก ดังนั้นการแจกแจงแบบปัวซองจึงเรียกว่ากฎของเหตุการณ์ที่หายากหรือการไหลที่ง่ายที่สุด พารามิเตอร์การแจกแจงแบบปัวซองคือค่าที่แสดงถึงความรุนแรงของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น n การทดสอบ สูตรการกระจายปัวซง .

การแจกแจงปัวซองอธิบายจำนวนการเรียกร้องสำหรับการชำระค่าประกันต่อปีจำนวนการโทรที่ได้รับจากการแลกเปลี่ยนทางโทรศัพท์ในช่วงเวลาหนึ่งจำนวนความล้มเหลวขององค์ประกอบระหว่างการทดสอบความน่าเชื่อถือจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ชำรุดและอื่น ๆ .

ลักษณะตัวเลขพื้นฐานสำหรับการแจกแจงแบบปัวซอง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับความแปรปรวนและเท่ากับ ก - นั่นก็คือ - นี่คือ คุณสมบัติที่โดดเด่นการกระจายนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของความเบ้และความโด่งเท่ากันตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 30 จำนวนการชำระค่าประกันโดยเฉลี่ยต่อวันคือสอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่คุณจะต้องจ่ายภายในห้าวัน: 1) 6 จำนวนเงินประกัน; 2) น้อยกว่าหกจำนวน; 3) อย่างน้อยหก หรือ เอ็กซ์โปเนนเชียลการกระจาย.

การกระจายนี้มักสังเกตได้เมื่อศึกษาอายุการใช้งานของอุปกรณ์ต่างๆ สถานะการออนไลน์ แต่ละองค์ประกอบบางส่วนของระบบและระบบโดยรวม เมื่อพิจารณาช่วงเวลาสุ่มระหว่างการเกิดเหตุการณ์ที่หายากสองเหตุการณ์ติดต่อกัน

ความหนาแน่นของการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ที่เรียกว่า อัตราความล้มเหลว- คำนี้เกี่ยวข้องกับขอบเขตการใช้งานเฉพาะ - ทฤษฎีความน่าเชื่อถือ

นิพจน์สำหรับฟังก์ชันอินทิกรัลของการแจกแจงเลขชี้กำลังสามารถพบได้โดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันอนุพันธ์:

ความคาดหวังของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังนั้นจึงเป็นคุณลักษณะของการแจกแจงนี้ว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากับตัวเลขที่คาดหวังทางคณิตศาสตร์ สำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์ ค่าสัมประสิทธิ์ของความไม่สมมาตรและความโด่งคือ ค่าคงที่.

ตัวอย่างที่ 31 เวลาทำงานเฉลี่ยของทีวีก่อนเกิดความล้มเหลวครั้งแรกคือ 500 ชั่วโมง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ทีวีที่เลือกแบบสุ่มจะทำงานโดยไม่มีการเสียเป็นเวลานานกว่า 1,000 ชั่วโมง

สารละลาย. เนื่องจากเวลาทำงานเฉลี่ยถึงความล้มเหลวครั้งแรกคือ 500 ดังนั้น - เราค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการโดยใช้สูตร

คำจำกัดความ 1

ตัวแปรสุ่ม $X$ มีการแจกแจงแบบปกติ (การแจกแจงแบบเกาส์เซียน) หากความหนาแน่นของการกระจายถูกกำหนดโดยสูตร:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

โดยที่ $aϵR$ คือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และ $\sigma >0$ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติ

ให้เราแสดงว่าฟังก์ชันนี้เป็นความหนาแน่นของการแจกแจงจริงๆ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตรวจสอบเงื่อนไขต่อไปนี้:

ลองพิจารณาดู อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม$\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)( 2(\ซิกมา )^2))dx)$

มาแทนที่กัน: $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$

เนื่องจาก $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ เป็นฟังก์ชันคู่ ดังนั้น

ความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ ซึ่งหมายถึงฟังก์ชัน $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2 )(2 (\sigma )^2))$ คือความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มบางตัว

ลองพิจารณาคุณสมบัติง่ายๆ บางประการของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปกติ $\varphi \left(x\right)$:

1. กราฟของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปกติมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง $x=a$
2. ฟังก์ชัน $\varphi \left(x\right)$ ไปถึงค่าสูงสุดที่ $x=a$ และ $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
3. ฟังก์ชัน $\varphi \left(x\right)$ ลดลงเป็น $x>a$ และเพิ่มขึ้นเป็น $x
4. ฟังก์ชัน $\varphi \left(x\right)$ มีจุดเปลี่ยนที่ $x=a+\sigma $ และ $x=a-\sigma $
5. ฟังก์ชัน $\varphi \left(x\right)$ เข้าใกล้แกน $Ox$ แบบเชิงเส้นกำกับเป็น $x\to \pm \infty $
6. กราฟแผนผังมีลักษณะเช่นนี้ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 มะเดื่อ 1. กราฟความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติ

โปรดทราบว่าหาก $a=0$ กราฟของฟังก์ชันจะสมมาตรเกี่ยวกับแกน $Oy$ ดังนั้น ฟังก์ชัน $\varphi \left(x\right)$ จึงเป็นเลขคู่

ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ

ในการค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจงแบบปกติ เราใช้สูตรต่อไปนี้:

เพราะฉะนั้น,

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชัน $F(x)$ เรียกว่าการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ถ้า $a=0,\ \sigma =1$ นั่นคือ:

ที่นี่ $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ - ฟังก์ชั่นลาปลาซ

คำจำกัดความ 3

ฟังก์ชัน $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ เรียกว่าอินทิกรัลความน่าจะเป็น

ลักษณะเชิงตัวเลขของการแจกแจงแบบปกติ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: $M\left(X\right)=a$

ความแปรปรวน: $D\left(X\right)=(\sigma )^2$

การกระจายกำลังสองเฉลี่ย: $\sigma \left(X\right)=\sigma $

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างการแก้ปัญหาแนวคิดการแจกแจงแบบปกติ

ปัญหาที่ 1: ความยาวเส้นทาง $X$ เป็นตัวแปรต่อเนื่องแบบสุ่ม $X$ มีการกระจายตามกฎการกระจายแบบปกติ ซึ่งค่าเฉลี่ยจะเท่ากับ $4$ กิโลเมตร และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $100$ เมตร

1. ค้นหาฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจง $X$
2. วาดแผนผังความหนาแน่นของการแจกแจง
3. ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม $X$
4. ค้นหาความแปรปรวน

1. ขั้นแรก ลองจินตนาการถึงปริมาณทั้งหมดในมิติเดียว: 100ม.=0.1กม

จากคำจำกัดความ 1 เราได้รับ:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0.1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0.02 ))\]

(เนื่องจาก $a=4\ km,\ \sigma =0.1\ km)$

1. จากการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจง เราจะพบว่ากราฟของฟังก์ชัน $\varphi \left(x\right)$ มีความสมมาตรเทียบกับเส้นตรง $x=4$

ฟังก์ชันถึงจุดสูงสุดที่จุด $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt( 2\pi )))$

กราฟแผนผังมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ 2.

1. ตามคำจำกัดความของฟังก์ชันการแจกแจง $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty )(e^(\frac( -( (t-a))^2)(2(\sigma )^2))dt)$ เรามี:

\

1. $D\left(X\right)=(\sigma )^2=0.01$.

บทความนี้แสดงรายละเอียดว่ามันคืออะไร กฎหมายปกติการแจกแจงตัวแปรสุ่มและวิธีใช้ตัวแปรสุ่มในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

การแจกแจงแบบปกติในสถิติ

ประวัติศาสตร์กฎหมายย้อนกลับไป 300 ปี ผู้ค้นพบคนแรกคือ Abraham de Moivre ซึ่งคิดค่าประมาณได้ในปี 1733 หลายปีต่อมา Carl Friedrich Gauss (1809) และ Pierre-Simon Laplace (1812) ได้รับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์

ลาปลาซยังค้นพบรูปแบบที่น่าทึ่งและกำหนดสูตรขึ้นมา ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง (พท) ตามจำนวนเงิน ปริมาณมากปริมาณน้อยและเป็นอิสระมีการแจกแจงแบบปกติ

กฎปกติไม่ใช่สมการคงที่ของการพึ่งพาตัวแปรหนึ่งกับอีกตัวแปรหนึ่ง มีการบันทึกเฉพาะลักษณะของการพึ่งพาอาศัยกันนี้เท่านั้น รูปแบบการกระจายเฉพาะระบุโดยพารามิเตอร์พิเศษ ตัวอย่างเช่น, y = ขวาน + ขคือสมการของเส้นตรง อย่างไรก็ตาม พารามิเตอร์จะกำหนดมุมใดและมุมใด กและ ข- เช่นเดียวกับการแจกแจงแบบปกติ เป็นที่ชัดเจนว่านี่คือฟังก์ชันที่อธิบายแนวโน้มของค่าที่มีความเข้มข้นสูงรอบจุดศูนย์กลาง แต่รูปร่างที่แน่นอนนั้นถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์พิเศษ

เส้นโค้งการกระจายตัวแบบปกติแบบเกาส์เซียนมีลักษณะเช่นนี้

กราฟการแจกแจงแบบปกติจะมีลักษณะคล้ายระฆัง ซึ่งเป็นสาเหตุว่าทำไมคุณถึงเห็นชื่อนี้ โค้งระฆัง- กราฟมี "โหนก" อยู่ตรงกลางและมีความหนาแน่นลดลงอย่างมากที่ขอบ นี่คือสาระสำคัญของการแจกแจงแบบปกติ ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะอยู่ใกล้จุดศูนย์กลางนั้นสูงกว่าที่จะเบี่ยงเบนไปจากจุดศูนย์กลางอย่างมาก

รูปด้านบนแสดงพื้นที่สองส่วนใต้เส้นโค้งเกาส์เซียน: สีน้ำเงินและสีเขียว เหตุผลเช่น ช่วงเวลาเท่ากันสำหรับทั้งสองส่วน แต่ส่วนสูงต่างกันอย่างเห็นได้ชัด ส่วนสีน้ำเงินอยู่ไกลจากศูนย์กลางและมีความสูงต่ำกว่าส่วนสีเขียวซึ่งอยู่ตรงกลางของการกระจายอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นพื้นที่ซึ่งก็คือความน่าจะเป็นที่จะตกลงไปในช่วงเวลาที่กำหนดก็แตกต่างกันเช่นกัน

สูตรการกระจายตัวแบบปกติ (ความหนาแน่น) มีดังนี้

สูตรประกอบด้วยค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์สองตัว:

π – หมายเลขไพ 3.142;

จ– ฐานลอการิทึมธรรมชาติ 2.718;

พารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลงได้สองตัวที่กำหนดรูปร่างของเส้นโค้งเฉพาะ:

ม– ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (นิ้ว แหล่งต่างๆอาจใช้สัญลักษณ์อื่นๆ เช่น µ หรือ ก);

ซิ 2– การกระจายตัว;

และตัวแปรนั้นเอง xซึ่งคำนวณความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

รูปแบบเฉพาะของการแจกแจงแบบปกติขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ 2 ตัว: ( ม) และ ( ซิ 2- ระบุโดยย่อ ยังไม่มีข้อความ(ม., σ 2)หรือ ยังไม่มีข้อความ(ม., σ)- พารามิเตอร์ ม(ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) กำหนดจุดศูนย์กลางของการแจกแจงที่สอดคล้อง ความสูงสูงสุดกราฟิก การกระจายตัว ซิ 2กำหนดลักษณะขอบเขตของการเปลี่ยนแปลง ซึ่งก็คือ “ความเปื้อน” ของข้อมูล

พารามิเตอร์ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเลื่อนจุดศูนย์กลางของการแจกแจงไปทางขวาหรือซ้าย โดยไม่ส่งผลกระทบต่อรูปร่างของเส้นโค้งความหนาแน่น

แต่การกระจายตัวจะกำหนดความคมของเส้นโค้ง เมื่อข้อมูลมีการกระจายเล็กน้อย มวลทั้งหมดจะมีความเข้มข้นที่ศูนย์กลาง หากข้อมูลมีการกระจายขนาดใหญ่ ข้อมูลนั้นจะ "กระจายออก" ในวงกว้าง

ความหนาแน่นของการกระจายไม่มีทางตรง การประยุกต์ใช้จริง- ในการคำนวณความน่าจะเป็น คุณต้องรวมฟังก์ชันความหนาแน่นเข้าด้วยกัน

ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะน้อยกว่าค่าที่กำหนด xถูกกำหนดแล้ว ฟังก์ชันการกระจายแบบปกติ:

การใช้คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบต่อเนื่องใดๆ ทำให้ง่ายต่อการคำนวณความน่าจะเป็นอื่นๆ เนื่องจาก

P(ก ≤ X< b) = Ф(b) – Ф(a)

การกระจายตัวแบบปกติมาตรฐาน

การแจกแจงแบบปกติขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้มองเห็นคุณสมบัติของมันได้ไม่ดี คงจะดีถ้ามีมาตรฐานการแจกจ่ายที่ไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของข้อมูล และมันมีอยู่จริง เรียกว่า การกระจายตัวแบบปกติมาตรฐาน- อันที่จริง นี่คือการแจกแจงแบบปกติธรรมดา เฉพาะกับพารามิเตอร์ที่คาดหวังทางคณิตศาสตร์ 0 และความแปรปรวน 1 ซึ่งเขียนโดยย่อว่า N(0, 1)

การแจกแจงแบบปกติใดๆ สามารถแปลงเป็นการแจกแจงแบบมาตรฐานได้อย่างง่ายดายโดยการปรับให้เป็นมาตรฐาน:

ที่ไหน z– ตัวแปรใหม่ที่ใช้แทน เอ็กซ์;
ม– ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
σ – ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สำหรับข้อมูลตัวอย่าง จะมีการประมาณดังนี้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของตัวแปรใหม่ zตอนนี้ยังเป็น 0 และ 1 ตามลำดับ สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้การแปลงพีชคณิตเบื้องต้น

ชื่อปรากฏในวรรณคดี คะแนน z- นี่คือข้อมูลที่ทำให้เป็นมาตรฐาน คะแนน Zสามารถเปรียบเทียบได้โดยตรงกับความน่าจะเป็นทางทฤษฎีเพราะว่า ขนาดของมันสอดคล้องกับมาตรฐาน

ตอนนี้เรามาดูกันว่าความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานจะเป็นอย่างไร (สำหรับ คะแนน z- ฉันขอเตือนคุณว่าฟังก์ชันเกาส์เซียนมีรูปแบบ:

เรามาทดแทนกัน (x-m)/σจดหมาย zและแทน σ - หนึ่งเราได้รับ ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน:

แผนภูมิความหนาแน่น:

จุดศูนย์กลางตามที่คาดไว้อยู่ที่จุด 0 ณ จุดเดียวกัน ฟังก์ชันเกาส์เซียนถึงค่าสูงสุด ซึ่งสอดคล้องกับตัวแปรสุ่มที่ยอมรับค่าเฉลี่ยของมัน (เช่น x-m=0- ความหนาแน่น ณ จุดนี้คือ 0.3989 ซึ่งสามารถคำนวณได้แม้กระทั่งในหัวของคุณเพราะว่า e 0 =1 และที่เหลือก็แค่คำนวณอัตราส่วน 1 ต่อรากของ 2 pi

ดังนั้นกราฟจึงแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าค่าที่มีการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากค่าเฉลี่ยจะปรากฏบ่อยกว่าค่าอื่น ๆ และค่าที่อยู่ไกลจากศูนย์กลางมากจะเกิดขึ้นน้อยกว่ามาก สเกลแกน x วัดเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งช่วยให้คุณกำจัดหน่วยการวัดและรับโครงสร้างสากลของการแจกแจงแบบปกติ เส้นโค้งเกาส์เซียนสำหรับข้อมูลที่ทำให้เป็นมาตรฐานแสดงให้เห็นคุณสมบัติอื่นๆ ของการแจกแจงแบบปกติได้อย่างสมบูรณ์แบบ ตัวอย่างเช่น มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด ค่าส่วนใหญ่ทั้งหมดจะกระจุกตัวอยู่ภายใน ±1σ จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต (ตอนนี้เราประมาณด้วยตา) ข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ภายใน ±2σ ข้อมูลเกือบทั้งหมดอยู่ภายใน ±3σ คุณสมบัติสุดท้ายเป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายว่า กฎสามซิกมาเพื่อการกระจายตัวแบบปกติ

ฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานช่วยให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นได้

เป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีใครนับด้วยตนเอง ทุกอย่างได้รับการคำนวณและวางไว้ในตารางพิเศษซึ่งอยู่ท้ายตำราเรียนสถิติ

ตารางการแจกแจงแบบปกติ

ตารางการแจกแจงแบบปกติมีสองประเภท:

- โต๊ะ ความหนาแน่น;

- โต๊ะ ฟังก์ชั่น(อินทิกรัลของความหนาแน่น)

โต๊ะ ความหนาแน่นไม่ค่อยได้ใช้ อย่างไรก็ตาม เรามาดูกันว่ามีลักษณะอย่างไร สมมุติว่าเราต้องได้ความหนาแน่นมา ซี = 1, เช่น. ความหนาแน่นของค่าที่อยู่ห่างจากความคาดหวัง 1 ซิกมา ด้านล่างเป็นชิ้นส่วนของตาราง

ขึ้นอยู่กับการจัดระเบียบข้อมูลที่เราต้องการ ค่าที่ต้องการตามชื่อคอลัมน์และแถว ในตัวอย่างของเรา เราใช้เส้นนี้ 1,0 และคอลัมน์ 0 , เพราะ ไม่มีหนึ่งในร้อย ค่าที่คุณกำลังมองหาคือ 0.2420 (ละเว้น 0 ก่อน 2420)

ฟังก์ชันเกาส์เซียนมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด นั่นเป็นเหตุผล φ(z)= φ(-z), เช่น. ความหนาแน่นสำหรับ 1 มีค่าเท่ากับความหนาแน่นของ -1 ซึ่งเห็นได้ชัดเจนในรูป

เพื่อหลีกเลี่ยงการสิ้นเปลืองกระดาษ ตารางจะพิมพ์เฉพาะค่าบวกเท่านั้น

ในทางปฏิบัติมีการใช้ค่าบ่อยกว่า ฟังก์ชั่นการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน z.

ตารางดังกล่าวมีเพียงค่าบวกเท่านั้น ดังนั้นเพื่อทำความเข้าใจและค้นหา ใดๆคุณควรรู้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ คุณสมบัติของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน.

การทำงาน เอฟ(ซ)สมมาตรเกี่ยวกับค่าของมัน 0.5 (และไม่ใช่แกนพิกัดเช่นความหนาแน่น) ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง:

ข้อเท็จจริงนี้แสดงไว้ในภาพ:

ค่าฟังก์ชัน เอฟ(-z)และ เอฟ(ซ)แบ่งกราฟออกเป็น 3 ส่วน นอกจากนี้ส่วนบนและส่วนล่างยังเท่ากัน (ระบุด้วยเครื่องหมายถูก) เพื่อเสริมความน่าจะเป็น เอฟ(ซ)เป็น 1 เพียงบวกค่าที่หายไป เอฟ(-z)- คุณได้รับความเท่าเทียมกันที่ระบุไว้ด้านบน

หากต้องการหาความน่าจะเป็นที่จะตกอยู่ในช่วง (0;z)นั่นคือความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนจากศูนย์ในทิศทางบวกไปจนถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจำนวนหนึ่งก็เพียงพอที่จะลบ 0.5 จากค่าของฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน:

เพื่อความชัดเจนคุณสามารถดูภาพวาดได้

บนเส้นโค้งแบบเกาส์เซียน สถานการณ์เดียวกันนี้จะดูเหมือนพื้นที่จากจุดศูนย์กลางขวาไป z.

บ่อยครั้งที่นักวิเคราะห์สนใจความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนจากศูนย์ทั้งสองทิศทาง และเนื่องจากฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดศูนย์กลาง สูตรก่อนหน้าจึงต้องคูณด้วย 2:

รูปภาพด้านล่าง.

อยู่ใต้เส้นโค้งเกาส์เซียน ภาคกลางจำกัดอยู่ที่ค่าที่เลือก –zซ้ายและ zขวา.

ควรคำนึงถึงคุณสมบัติเหล่านี้ด้วยเพราะว่า ค่าที่ทำเป็นตารางไม่ค่อยสอดคล้องกับช่วงเวลาที่สนใจ

เพื่อให้งานง่ายขึ้น หนังสือเรียนมักจะเผยแพร่ตารางสำหรับฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

หากคุณต้องการความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนจากศูนย์ทั้งสองทิศทาง ดังที่เราได้เห็นไปแล้ว ค่าตารางสำหรับฟังก์ชันนี้จะถูกคูณด้วย 2

ทีนี้เรามาดูกันดีกว่า ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- ด้านล่างนี้เป็นตารางการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน มาหาค่าตารางสำหรับสามกัน z: 1.64, 1.96 และ 3

จะเข้าใจความหมายของตัวเลขเหล่านี้ได้อย่างไร? เริ่มต้นด้วย z=1.64ซึ่งค่าของตารางคือ 0,4495 - วิธีอธิบายความหมายที่ง่ายที่สุดคือในรูป

นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติที่เป็นมาตรฐานจะอยู่ภายในช่วงเวลาจาก 0 ถึง 1,64 มีค่าเท่ากัน 0,4495 - เมื่อแก้ไขปัญหา โดยปกติคุณจะต้องคำนวณความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนทั้งสองทิศทาง ดังนั้นลองคูณค่ากัน 0,4495 คูณ 2 แล้วเราจะได้ประมาณ 0.9 พื้นที่ครอบครองใต้เส้นโค้งเกาส์เซียนแสดงไว้ด้านล่าง

ดังนั้น 90% ของค่าที่แจกแจงแบบปกติทั้งหมดจึงอยู่ภายในช่วงเวลานั้น ±1.64σจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันเลือกความหมาย z=1.64, เพราะ พื้นที่ใกล้เคียงรอบๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งครอบครอง 90% ของพื้นที่ทั้งหมด บางครั้งใช้ในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่น หากค่าที่กำลังทดสอบไม่ตกอยู่ในพื้นที่ที่กำหนด ก็ไม่น่าจะเกิดขึ้นได้ (เพียง 10%)

อย่างไรก็ตาม เพื่อทดสอบสมมติฐาน มักใช้ช่วงที่ครอบคลุม 95% ของค่าทั้งหมดบ่อยกว่า มีโอกาสครึ่งหนึ่ง 0,95 - นี้ 0,4750 (ดูค่าที่ไฮไลต์ที่สองในตาราง)

สำหรับความน่าจะเป็นนี้ ซ=1.96.เหล่านั้น. ภายในเกือบ ±2σ 95% ของค่ามาจากค่าเฉลี่ย มีเพียง 5% เท่านั้นที่อยู่นอกขีดจำกัดเหล่านี้

ค่าตารางที่น่าสนใจและใช้บ่อยอีกประการหนึ่งสอดคล้องกับ ซ=3ก็เท่ากับตามตารางของเรา 0,4986 - คูณด้วย 2 แล้วได้ 0,997 - ดังนั้นภายใน ±3σค่าเกือบทั้งหมดได้มาจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต

นี่คือลักษณะของกฎ 3 ซิกมาสำหรับการแจกแจงแบบปกติในแผนภาพ

การใช้ตารางสถิติจะทำให้คุณได้รับความน่าจะเป็น อย่างไรก็ตามวิธีนี้ช้ามาก ไม่สะดวก และล้าสมัยมาก วันนี้ทุกอย่างทำบนคอมพิวเตอร์ ต่อไปเราจะไปที่การฝึกคำนวณใน Excel

การแจกแจงแบบปกติใน Excel

Excel มีฟังก์ชันหลายอย่างสำหรับคำนวณความน่าจะเป็นหรือค่าผกผันของการแจกแจงแบบปกติ

ฟังก์ชัน DIST ปกติ

การทำงาน NORM.ST.DIST.ออกแบบมาเพื่อคำนวณความหนาแน่น ϕ(ซ)หรือความน่าจะเป็น Φ(z)ตามข้อมูลที่ทำให้เป็นมาตรฐาน ( z).

=NORM.ST.DIST(z;จำนวนเต็ม)

z– ค่าของตัวแปรมาตรฐาน

บูรณาการ– ถ้าเป็น 0 แสดงว่าความหนาแน่นจะถูกคำนวณϕ(ซ) ถ้า 1 คือค่าของฟังก์ชัน Ф(z) เช่น ความน่าจะเป็น P(Z

ลองคำนวณความหนาแน่นและค่าฟังก์ชันต่างๆ กัน ซี: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3(เราจะระบุไว้ในเซลล์ A2)

ในการคำนวณความหนาแน่น คุณจะต้องใช้สูตร =NORM.ST.DIST(A2;0) ในแผนภาพด้านล่าง นี่คือจุดสีแดง

ในการคำนวณค่าของฟังก์ชัน =NORM.ST.DIST(A2;1) แผนภาพแสดงพื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติ

ในความเป็นจริง บ่อยครั้งจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะไม่เกินขีดจำกัดที่กำหนดจากค่าเฉลี่ย (ในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่สอดคล้องกับตัวแปร z), เช่น. ป(|Z| .

ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่อยู่ภายในขีดจำกัด ±1z, ±2z และ ±3zจากศูนย์ จำเป็นต้องมีสูตร 2Ф(z)-1ใน Excel =2*NORM.ST.DIST(A2;1)-1

แผนภาพแสดงคุณสมบัติพื้นฐานหลักของการแจกแจงแบบปกติอย่างชัดเจน รวมถึงกฎสามซิกมา การทำงาน NORM.ST.DIST.เป็นตารางอัตโนมัติของค่าฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติใน Excel

อาจมีปัญหาผกผัน: ตามความน่าจะเป็นที่มีอยู่ พี(ซ หาค่ามาตรฐาน zนั่นคือควอไทล์ของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

ฟังก์ชั่น REV ปกติ

NORM.ST.REVคำนวณค่าผกผันของฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ไวยากรณ์ประกอบด้วยพารามิเตอร์เดียว:

=NORM.ST.REV(ความน่าจะเป็น)

ความน่าจะเป็นคือความน่าจะเป็น

สูตรนี้ใช้บ่อยเหมือนกับสูตรก่อนหน้า เนื่องจากการใช้ตารางเดียวกัน คุณไม่เพียงแต่ต้องดูความน่าจะเป็นเท่านั้น แต่ยังรวมถึงควอนไทล์ด้วย

ตัวอย่างเช่น เมื่อคำนวณช่วงความเชื่อมั่น จะมีการระบุความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นตามที่จำเป็นในการคำนวณค่า z.

เนื่องจากช่วงความเชื่อมั่นประกอบด้วยขีดจำกัดบนและล่าง และการแจกแจงแบบปกติมีความสมมาตรรอบศูนย์ จึงเพียงพอที่จะได้ขีดจำกัดบน (ค่าเบี่ยงเบนบวก) ขีดจำกัดล่างมีเครื่องหมายลบ ให้เราแสดงความน่าจะเป็นของความมั่นใจเป็น γ (แกมมา) จากนั้นขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่นจะคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้

มาคำนวณค่าใน Excel กัน z(ซึ่งสอดคล้องกับค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยในหน่วยซิกมา) สำหรับความน่าจะเป็นหลายประการ รวมถึงความน่าจะเป็นที่นักสถิติรู้ด้วยใจจริง: 90%, 95% และ 99% ในเซลล์ B2 เราระบุสูตร: =NORM.ST.REV((1+A2)/2) โดยการเปลี่ยนค่าของตัวแปร (ความน่าจะเป็นในเซลล์ A2) เราจะได้ขอบเขตที่แตกต่างกันของช่วงเวลา

ช่วงความเชื่อมั่น 95% คือ 1.96 ซึ่งก็คือเกือบ 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากตรงนี้ มันเป็นเรื่องง่าย แม้จะอยู่ในจิตใจก็ตามที่จะประมาณการแพร่กระจายที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มปกติ โดยทั่วไป ช่วงความเชื่อมั่น 90%, 95% และ 99% สอดคล้องกับช่วงความเชื่อมั่น ±1.64, ±1.96 และ ±2.58σ

โดยทั่วไป ฟังก์ชัน NORM.ST.DIST และ NORM.ST.REV ช่วยให้คุณสามารถคำนวณใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบปกติได้ แต่เพื่อทำให้สิ่งต่างๆ ง่ายขึ้นและซับซ้อนน้อยลง Excel จึงมีฟีเจอร์อื่นๆ มากมาย ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ CONFIDENCE NORM เพื่อคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยได้ ในการตรวจสอบค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะมีสูตร Z.TEST

ลองดูสูตรที่มีประโยชน์อีกสองสามสูตรพร้อมตัวอย่าง

ฟังก์ชัน DIST ปกติ

การทำงาน ระยะทางปกติแตกต่างจาก NORM.ST.DIST.เพียงเพราะมันใช้ในการประมวลผลข้อมูลทุกขนาด ไม่ใช่แค่ข้อมูลมาตรฐานเท่านั้น พารามิเตอร์การแจกแจงแบบปกติระบุไว้ในรูปแบบไวยากรณ์

=NORM.DIST(x,ค่าเฉลี่ย,ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน,จำนวนเต็ม)

เฉลี่ย– ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ใช้เป็นพารามิเตอร์แรกของแบบจำลองการแจกแจงแบบปกติ

มาตรฐาน_ปิด– ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน – พารามิเตอร์ตัวที่สองของแบบจำลอง

บูรณาการ– ถ้าเป็น 0 ความหนาแน่นจะถูกคำนวณ ถ้า 1 – แล้วค่าของฟังก์ชัน เช่น พี(เอ็กซ์

ตัวอย่างเช่น ความหนาแน่นของค่า 15 ซึ่งดึงมาจากตัวอย่างปกติโดยมีค่าคาดหวัง 10 ซึ่งเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 จะถูกคำนวณดังนี้

หากตั้งค่าพารามิเตอร์สุดท้ายเป็น 1 เราจะได้ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มปกติจะน้อยกว่า 15 สำหรับพารามิเตอร์การแจกแจงที่กำหนด ดังนั้นจึงสามารถคำนวณความน่าจะเป็นได้โดยตรงจากข้อมูลต้นฉบับ

ฟังก์ชัน NORM.REV

นี่คือปริมาณของการแจกแจงแบบปกติ กล่าวคือ ค่าของฟังก์ชันผกผัน ไวยากรณ์มีดังนี้

=NORM.REV(ความน่าจะเป็น,ค่าเฉลี่ย,ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

ความน่าจะเป็น- ความน่าจะเป็น

เฉลี่ย– ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

มาตรฐาน_ปิด– ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

จุดประสงค์ก็เหมือนกับ NORM.ST.REVมีเพียงฟังก์ชันเท่านั้นที่ใช้งานได้กับข้อมูลทุกขนาด

ตัวอย่างแสดงในวิดีโอท้ายบทความ

การสร้างแบบจำลองการแจกแจงแบบปกติ

ปัญหาบางอย่างจำเป็นต้องสร้างตัวเลขสุ่มปกติ ไม่มีฟังก์ชันสำเร็จรูปสำหรับสิ่งนี้ อย่างไรก็ตาม Excel มีสองฟังก์ชันที่ส่งคืนตัวเลขสุ่ม: กรณีระหว่างและ แรนด์รายการแรกสร้างจำนวนเต็มแบบสุ่มและกระจายสม่ำเสมอภายในขีดจำกัดที่ระบุ ฟังก์ชันที่สองสร้างตัวเลขสุ่มที่กระจายสม่ำเสมอระหว่าง 0 ถึง 1 หากต้องการสร้างตัวอย่างเทียมด้วยการแจกแจงที่กำหนด คุณต้องมีฟังก์ชัน แรนด์.

สมมติว่าในการทำการทดลองจำเป็นต้องได้รับตัวอย่างจากประชากรที่แจกแจงตามปกติโดยมีค่าคาดหวัง 10 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 สำหรับค่าสุ่มหนึ่งค่า เราจะเขียนสูตรใน Excel

NORM.INV(แรนด์();10;3)

ขยายออกไปตามจำนวนเซลล์ที่ต้องการและตัวอย่างปกติก็พร้อม

เพื่อสร้างแบบจำลองข้อมูลมาตรฐาน คุณควรใช้ NORM.ST.REV

กระบวนการแปลงตัวเลขสม่ำเสมอให้เป็นตัวเลขปกติสามารถแสดงได้ในแผนภาพต่อไปนี้ จากความน่าจะเป็นสม่ำเสมอที่สร้างโดยสูตร RAND เส้นแนวนอนจะถูกลากไปที่กราฟของฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติ จากนั้น จากจุดตัดกันของความน่าจะเป็นกับกราฟ เส้นโครงจะลดลงไปที่แกนนอน