วิธีค้นหาระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด วิธีหาระยะทางบนระนาบพิกัด การหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ตัวอย่างและวิธีแก้ไข

แผนการสอน

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรง

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน)

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรง

ทฤษฎีบท 3ถ้า A(x) และ B(y) เป็นจุดสองจุดใด ๆ ดังนั้น d - ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะถูกคำนวณโดยสูตร: d = lу - xl

การพิสูจน์.ตามทฤษฎีบทที่ 2 เรามี AB = y - x แต่ระยะห่างระหว่างจุด A และ B เท่ากับความยาวของส่วน AB นั่นคือ ความยาวของเวกเตอร์ AB ดังนั้น d = lАВl=lu-хl

เนื่องจากตัวเลข y-x และ x-y อยู่ในรูปแบบโมดูโล เราจึงสามารถเขียน d =lx-уl ได้ ดังนั้น ในการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด คุณจะต้องค้นหาโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างพิกัดเหล่านั้น

ตัวอย่างที่ 4- เมื่อพิจารณาจากจุด A(2) และ B(-6) จงหาระยะห่างระหว่างจุดเหล่านั้น

สารละลาย.ลองแทน x=2 และ y=-6 ลงในสูตร เราได้ AB=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8

ตัวอย่างที่ 5สร้างจุดสมมาตรกับจุด M(4) ที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด

สารละลาย.เพราะ จากจุด M ถึงจุด O มี 4 ส่วนของหน่วยวางไปทางขวา จากนั้นเพื่อสร้างจุดสมมาตร เราใส่ 4 ส่วนของหน่วยจากจุด O ไปทางซ้าย เราจะได้จุด M" (-4)

ตัวอย่างที่ 6สร้างจุด C(x) สมมาตรกับจุด A(-4) สัมพันธ์กับจุด B(2)

สารละลาย.ทำเครื่องหมายจุด A(-4) และ B(2) บนเส้นจำนวน ลองหาระยะห่างระหว่างจุดตามทฤษฎีบท 3 เราได้ 6 จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด B และ C ก็ควรจะเท่ากับ 6 ด้วย เราใส่ 6 ส่วนของหน่วยจากจุด B ไปทางขวา เราได้จุด C (8)

แบบฝึกหัด 1) ค้นหาระยะห่างระหว่างจุด A และ B: a) A(3) และ B(11), b) A(5) และ B(2), c) A(-1) และ B(3), d) A (-5) และ B(-3), e) A(-1) และ B(3), (คำตอบ: a)8, b)3, c)4, d)2, e)2)

2) สร้างจุด C(x) ซึ่งสมมาตรกับจุด A(-5) สัมพันธ์กับจุด B(-1) (คำตอบ: ค(3))

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน)

แกน Ox และ Oy สองแกนตั้งฉากกันซึ่งมีจุดกำเนิด O เหมือนกันและมีหน่วยสเกลเดียวกัน สี่เหลี่ยม(หรือ คาร์ทีเซียน) ระบบพิกัดระนาบ.

แกนวัวเรียกว่า แกน xและแกนออย - แกน y- เรียกว่าจุด O ของจุดตัดของแกน ต้นทาง- ระนาบซึ่งแกน Ox และ Oy ตั้งอยู่เรียกว่าระนาบพิกัดและถูกกำหนดให้เป็น Oxy

ให้ M เป็นจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน ให้เราปล่อยเส้นตั้งฉาก MA และ MB ตามลำดับ ไปยังแกน Ox และ Oy จุดตัด A และ B ของตั้งฉากกับแกนเหล่านี้เรียกว่า การคาดการณ์จุด M บนแกนพิกัด

จุด A และ B ตรงกับตัวเลขบางตัว x และ y - พิกัดบนแกน Ox และ Oy เรียกว่าเลข x แอบซิสซาจุด M หมายเลข y - มัน บวช.

ความจริงที่ว่าจุด M มีพิกัด x และ y นั้นเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ได้ดังนี้: M(x,y) ในกรณีนี้ Abscissa จะถูกระบุเป็นอันดับแรกในวงเล็บ และลำดับจะถูกระบุเป็นลำดับที่สอง ต้นทางมีพิกัด (0,0)

ดังนั้น ด้วยระบบพิกัดที่เลือก แต่ละจุด M ของระนาบจะสอดคล้องกับตัวเลขคู่หนึ่ง (x, y) - พิกัดสี่เหลี่ยมของมัน และในทางกลับกัน ตัวเลขแต่ละคู่ (x, y) สอดคล้องกัน และยิ่งไปกว่านั้นคือถึงจุดหนึ่ง M บนระนาบ Oxy โดยที่ Abscissa คือ x และพิกัดคือ y

ดังนั้น ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนเครื่องบินจะสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของจุดทุกจุดของระนาบและเซตของคู่ตัวเลข ซึ่งทำให้สามารถแก้ได้ ปัญหาทางเรขาคณิตใช้วิธีการพีชคณิต

แกนพิกัดแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วนเรียกว่า ไตรมาส, จตุภาคหรือ มุมประสานและมีหมายเลขเป็นเลขโรมัน I, II, III, IV ดังแสดงในรูป (ไฮเปอร์ลิงก์)

รูปภาพยังแสดงสัญลักษณ์พิกัดของจุดต่างๆ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดเหล่านั้น (เช่น ในไตรมาสแรกพิกัดทั้งสองเป็นค่าบวก)

ตัวอย่างที่ 7จุดก่อสร้าง: A(3;5), B(-3;2), C(2;-4), D (-5;-1)

สารละลาย.เรามาสร้างจุด A(3;5) กัน ก่อนอื่น เราขอแนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยม จากนั้น ตามแกนแอบซิสซา เราจะวางหน่วยสเกล 3 หน่วยทางด้านขวา และตามแกนกำหนดเราจะวางหน่วยสเกล 5 หน่วยขึ้นไป และเราจะวาดเส้นตรงขนานกับแกนพิกัดผ่านจุดแบ่งสุดท้าย จุดตัดของเส้นเหล่านี้คือจุดที่ต้องการ A(3;5) จุดที่เหลือจะถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน (ดูรูปไฮเปอร์ลิงก์)

แบบฝึกหัด

หากไม่มีจุดวาด A(2;-4) ให้ค้นหาว่าอยู่ในไตรมาสใด

จุดใดสามารถตั้งอยู่ได้หากพิกัดของมันเป็นบวก?

จุดที่มีพิกัด -5 จะถูกถ่ายบนแกน Oy พิกัดบนเครื่องบินคืออะไร? (คำตอบ: เนื่องจากจุดอยู่บนแกน Oy ค่า Abscissa ของจุดจึงเท่ากับ 0 พิกัดจึงถูกกำหนดตามเงื่อนไข ดังนั้นพิกัดของจุดคือ (0;-5))

ให้คะแนน: a) A(2;3), b) B(-3;2), c) C(-1;-1), d) D(x;y) ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกน Ox พล็อตประเด็นเหล่านี้ทั้งหมด (คำตอบ: ก) (2;-3), ข) (-3;-2), ค) (-1;1), ง) (x;-y))

ให้คะแนน: a) A(-1;2), b) B(3;-1), c) C(-2;-2), d) D(x;y) ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกน Oy พล็อตประเด็นเหล่านี้ทั้งหมด (คำตอบ: ก) (1;2), ข) (-3;-1), ค) (2;-2), ง) (-x;y))

ให้คะแนน: a) A(3;3), b) B(2;-4), c) C(-2;1), d) D(x;y) ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับจุดกำเนิด พล็อตประเด็นเหล่านี้ทั้งหมด (คำตอบ: ก) (-3;-3), ข) (-2;4), ค) (2;-1), ง) (-x;-y))

ให้จุด M(3;-1) ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกน Ox, แกน Oy และจุดกำเนิด พล็อตทุกจุด (คำตอบ: (3;1), (-3;-1), (-3;1))

พิจารณาว่าจุด M(x;y) สามารถอยู่ได้ในไตรมาสใด ถ้า: a) xy>0, b) xy< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

กำหนดพิกัดของจุดยอด สามเหลี่ยมด้านเท่าโดยมีด้านเท่ากับ 10 อยู่ในควอเตอร์แรกหากจุดยอดจุดใดจุดหนึ่งตรงกับที่มาของพิกัด O และฐานของรูปสามเหลี่ยมตั้งอยู่บนแกนวัว วาดรูป. (คำตอบ: (0;0), (10;0), (5;5v3))

ใช้วิธีพิกัดเพื่อกำหนดพิกัดของจุดยอดทั้งหมดของ ABCDEF รูปหกเหลี่ยมปกติ

(คำตอบ: A (0;0), B (1;0), C (1.5;v3/2), D (1;v3), E (0;v3), F (-0.5;v3 /2) คำแนะนำ: ใช้จุด A เป็นที่มาของพิกัด กำหนดแกน abscissa จาก A ถึง B ใช้ความยาวของด้าน AB เป็นหน่วยของมาตราส่วน สะดวกในการวาดเส้นทแยงมุมขนาดใหญ่ของรูปหกเหลี่ยม)

ระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัดคือเกรด 6

สูตรการหาระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด

อัลกอริทึมในการค้นหาพิกัดของจุด - จุดกึ่งกลางของส่วน

ขอขอบคุณเพื่อนร่วมงานทางอินเทอร์เน็ตของฉันที่ฉันใช้เนื้อหาในการนำเสนอนี้!

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง: หากต้องการใช้ดูตัวอย่าง

การนำเสนอ สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

ระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด x 0 1 AB AB = ρ (A, B)

ระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด วัตถุประสงค์ของบทเรียน: - ค้นหาวิธีการ (สูตร กฎ) เพื่อค้นหาระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด - เรียนรู้การหาระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัดโดยใช้กฎที่พบ

1.นับช่องปาก 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. แก้ปัญหาด้วยวาจาโดยใช้เส้นพิกัด: มีจำนวนเต็มระหว่างตัวเลข: a) – 8.9 และ 2 b) – 10.4 และ – 3.7 c) – 1.2 และ 4.6? ก) 10 ข) 8 ค) 6

0 1 2 7 เลขบวก -1 -5 เลขลบ ระยะทางจากบ้านถึงสนามกีฬา 6 ระยะทางจากบ้านไปโรงเรียน 6 เส้นพิกัด

0 1 2 7 -1 -5 ระยะทางจากสนามกีฬาถึงบ้าน 6 ระยะทางจากโรงเรียนไปบ้าน 6 หาระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (ก; ข) = ? - เอบี |

ระยะห่างระหว่างจุด a และ b เท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างในพิกัดของจุดเหล่านี้ ρ (ก; ข)= | เอบี | ระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด

ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูลัสของจำนวนจริง a b a a=b b x x x ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

0 1 2 7 -1 -5 จงหาระยะทางระหว่างจุดบนเส้นพิกัด - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 จงหาระยะทางระหว่างจุดบนเส้นพิกัด - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

เอาท์พุต: ค่านิพจน์ | ก – ข | และ | ข–ก | เท่ากับค่าใด ๆ ของ a และ b =

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. ระยะห่างระหว่างจุดของเส้นพิกัด

จงหา ρ(x; y) ถ้า: 1) x = – 14, y = – 23; ρ(x;y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5.9, y = –6.8; ρ(x; y)=|5, 9 –(– 6.8)|=|5.9+6.8|=| 12.7 |=12.7

ดำเนินการต่อประโยค 1. เส้นพิกัดเป็นเส้นตรงที่มี ... ระบุไว้ 2. ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือ ... 3. ตัวเลขตรงข้ามคือตัวเลข ... 4. เรียกโมดูลัสของตัวเลข X . .. 5. - เปรียบเทียบความหมายของสำนวน a – b V b – a สรุป... - เปรียบเทียบความหมายของสำนวน | ก – ข | วี | ข–ก | ค. หาข้อสรุป...

Vintik และ Shpuntik เดินไปตามลำแสงพิกัด Vintik ตั้งอยู่ที่จุด B (236) Shpuntik อยู่ที่จุด W (193) Vintik และ Shpuntik อยู่ห่างจากกันเท่าใด ρ (ข, ว) = 43

จงหาระยะห่างระหว่างจุด A(0), B(1) A(2), B(5) A(0), B (- 3) A(- 10), B(1) AB = 1 AB = 3 AB = 3 เอบี = 11

จงหาระยะห่างระหว่างจุด A(- 3.5), B(1.4) K(1.8), B(4.3) A(- 10), C(3)

ตรวจสอบ AB = KB = AC =

С(– 5) С(– 3) ค้นหาพิกัดของจุด - ตรงกลางของส่วน BA

จุด A (–3.25) และ B (2.65) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นพิกัด ค้นหาพิกัดของจุด O - จุดกึ่งกลางของส่วน AB วิธีแก้: 1) ρ(A;B)= |–3.25 – 2.65| = |–5.9| = 5.9 2) 5.9: 2 = 2.95 3) –3.25 + 2.95 = – 0.3 หรือ 2.65 – 2.95 = – 0.3 ตอบ: O(–0, 3)

จุด C(–5.17) และ D(2.33) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนเส้นพิกัด ค้นหาพิกัดของจุด A - จุดกึ่งกลางของซีดีส่วน วิธีแก้: 1) ρ(C; D)= |– 5, 17 – 2, 33 | = |– 7, 5 | = 7, 5 2) 7, 5: 2 = 3, 7 5 3) – 5, 17 + 3, 7 5 = – 1, 42 หรือ 2, 33 – 3, 7 5 = – 1, 42 ตอบ: A ( – 1, 42)

สรุป: อัลกอริธึมในการค้นหาพิกัดของจุด - จุดกึ่งกลางของส่วนที่กำหนด: 1. ค้นหาระยะห่างระหว่างจุด - ปลายของส่วนที่กำหนด = 2. หารผลลัพธ์ -1 ด้วย 2 (ครึ่งหนึ่งของค่า) = c 3 . เพิ่มผลลัพธ์-2 ไปยังพิกัด a หรือลบผลลัพธ์-2 จากพิกัด a + c หรือ - c 4. ผลลัพธ์-3 คือพิกัดของจุด - จุดกึ่งกลางของส่วนนี้

การทำงานกับหนังสือเรียน: §19, p.112, A. No. 573, 575 V. No. 578, 580 การบ้าน: §19, p.112, A. No. 574, 576, V. No. 579, 581 เตรียมแผ่นซีดีเรื่อง การบวกและการลบจำนวนตรรกยะ ระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด"

วันนี้ฉันพบว่า... น่าสนใจมาก... ฉันตระหนักได้ว่า... ตอนนี้ฉันทำได้... ฉันเรียนรู้แล้ว... ฉันทำได้... ฉันจะลอง... ฉันประหลาดใจ... ฉัน เป็นที่ต้องการ...

บทเรียนหมายเลข /3

หัวข้อ: ระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด

วัตถุประสงค์ของกิจกรรมของครู: สร้างเงื่อนไขสำหรับการเรียนรู้ทักษะในการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัดคำนวณโมดูลัสของความแตกต่างพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน

ผลที่วางแผนไว้ของการศึกษาหัวข้อ:

ส่วนตัว: แสดงความสนใจทางปัญญาในการศึกษาเรื่องนั้น

เรื่อง: สามารถหาระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัด คำนวณโมดูลัสของส่วนต่าง พิกัดของจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์

ผลลัพธ์ Meta-subject ของการศึกษาหัวข้อ (สากล กิจกรรมการเรียนรู้):

ทางการศึกษา: มุ่งเน้นไปที่วิธีการแก้ไขปัญหาที่หลากหลาย สามารถสรุปและจัดระบบข้อมูลได้

กฎระเบียบ: คำนึงถึงหลักเกณฑ์ในการวางแผนและควบคุมวิธีการแก้ปัญหา

การสื่อสาร: พวกเขาคำนึงถึงความคิดเห็นที่แตกต่างกันและมุ่งมั่นที่จะประสานงานตำแหน่งที่แตกต่างกันในความร่วมมือ

สคริปต์บทเรียน

ฉัน .Org ช่วงเวลา
สวัสดีทุกคน. วันนี้มีแขกมาทักทายกันหน่อย!

นั่งลง

บทเรียนของเราไม่ธรรมดาเลย บทเรียนเกี่ยวกับการสรุปความรู้ทั่วไป เราต้องแสดงสิ่งที่เราได้เรียนรู้สิ่งที่เราได้เรียนรู้

เรากำลังทำหัวข้ออะไรเมื่อเร็ว ๆ นี้ (การเปรียบเทียบการบวกจำนวนตรรกยะ)

ฉันเอาคำต่อไปนี้มาเป็นบทสรุปของบทเรียน: : วันนี้เราจะไปเที่ยววิทยาศาสตร์กัน

มาใช้จินตนาการช่วยกันเถอะ

เราจะไม่ปิดทางตรง

และเพื่อให้เราบรรลุเป้าหมายได้เร็วขึ้น

เราต้องปีนบันไดขึ้นไป!

2. การอัพเดตความรู้ .

งาน "บันได"

ทำงานกับตัวเลือก การตรวจสอบ และการประเมินตนเอง

3 ทำได้ดีเรายังคงก้าวขึ้นสู่ความรู้ต่อไปมาตรวจการบ้านของคุณกันดีกว่า

1. ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดของเส้นพิกัด: D/Z

ก) A(-4) และ B(-6); b) A(5) และ B(-7); ค) ก(3) และข(-18)

สารละลาย:ก) AB= |-6-(-4) |= |-2|=2

ข) เอบี =|-7-5|=12

ค) AB = |-18-3 |= 21

2. ค้นหาพิกัดของจุดที่อยู่ห่างจากจุด:

ก) A(-8) คูณ 5; ข) ข(6) คูณ -2.7; ค) C(4) ที่ -3.2

สารละลาย: ก) -8+5=-3 ก 1 (-3) และ -8-5=-13 ก 2 (-13)

ข)6+(-2.7) =3.3 ใน 1 (3,3) และ 6-(-2.7) =8.7 ใน 2 (8,7)

ค) 4+(-3.2) =0.8 กับ 1 (0,8) 4-(-3,2) = 7,2 กับ 2 (7,2)

3) ค้นหาพิกัดของจุด C ที่อยู่ตรงกลางของส่วนหาก:

ก) A(-12) B (1) b) A(-7) และ B(9) c) A(16) และ B (-8)

สารละลาย:

12+1=-11 ข) -7+9 =2 ข) 16+(-8) =8

11: 2=-5,5 2:2=1 8:2 =4

С(-5.5) С(1) С(4)

มีมาตรฐานอยู่บนโต๊ะของคุณ การบ้าน- ตรวจสอบและทำเครื่องหมายใบประเมินตนเอง

4 - แบบสำรวจแบบสายฟ้าแลบ :

1. เส้นพิกัดคืออะไร?

2.คุณรู้กฎอะไรในการเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ?

3.โมดูลัสของตัวเลขคืออะไร?

4. จะเพิ่มตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายเหมือนกันได้อย่างไร?

5. จะเพิ่มตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายต่างกันได้อย่างไร?

6. จะกำหนดระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นพิกัดได้อย่างไร?

ตอนนี้เราจะแสดงให้คุณเห็นว่าเราสามารถนำความรู้ของเราไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

5. แก้ไขข้อผิดพลาด

12+4 =-16 -12+(-18) =6 9-14=5

16 +(-10)=6 30 +(-10) =-20 5 –(-3)=2

6 –(-5) =11 -20 -14 =-34 -2 +7=9

11-28 =-39 -34 -5 =-29 9 -13=22

ทำการทดสอบตัวเอง

12+4 =--8 -12+(-18) =30 9-14= -5

16 +(-10)=-26 30 +(-10) =20 5 –(-3)=8

26 –(-5) =-21 -20 -14 =-34 -2 +7=5

11-28 =--17 -34 -5 =-41 9 -13=-4

6. กำหนดระยะห่างระหว่างจุด: และหาจุดกึ่งกลางของส่วน (ตามตัวเลือก)

(แลกเปลี่ยนสมุดบันทึกและตรวจสอบร่วมกัน)

7. เอาล่ะ เรามาพักผ่อนกันเถอะ ดวงตาของเราต้องพักผ่อน

8. การให้คะแนนงานอิสระ (ในสมุดบันทึก)

ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 2

1,5-4,6 0,8 -1,2

-2,8 +3,8 4-9,4

0,45 -1 -4,3 +(-1,2) (สไลด์ 9)

เป้า: ทดสอบความสามารถในการใช้กฎการบวกเพื่อแปลงนิพจน์ พัฒนาความสนใจและความเป็นอิสระทางปัญญา ปลูกฝังความเพียรและความเพียรในการบรรลุเป้าหมาย




ค้นหาความหมายของนิพจน์และระบายสีคำพังเพยตามผลลัพธ์ที่ได้รับตามตาราง (การ์ดที่มีคำพังเพยยังคงอยู่กับนักเรียนเป็นยันต์)

ทำได้ดีมาก!

คุณทำงานเสร็จแล้ว

และพวกเขาก็แสดงความรู้ออกมา

และกุญแจมหัศจรรย์ในการเรียนรู้ก็คือ

ความเพียรและความอดทนของคุณ!

ในบทความนี้เราจะดูวิธีกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งในทางทฤษฎีและใช้ตัวอย่างของงานเฉพาะ เริ่มต้นด้วยการแนะนำคำจำกัดความบางอย่าง

คำจำกัดความ 1

ระยะห่างระหว่างจุดคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อกันตามมาตราส่วนที่มีอยู่ จำเป็นต้องกำหนดมาตราส่วนจึงจะมีหน่วยวัดความยาวในการวัด ดังนั้น โดยพื้นฐานแล้วปัญหาในการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ได้รับการแก้ไขโดยใช้พิกัดบนเส้นพิกัด ในระนาบพิกัด หรืออวกาศสามมิติ

ข้อมูลเริ่มต้น: พิกัดเส้น O x และจุด A ใด ๆ ที่วางอยู่บนนั้น จำนวนจริง: ให้จุด A เป็นจำนวนที่แน่นอน x กยังเป็นพิกัดของจุด A อีกด้วย

โดยทั่วไป เราสามารถพูดได้ว่าความยาวของส่วนใดส่วนหนึ่งได้รับการประเมินโดยเปรียบเทียบกับส่วนที่ถือเป็นหน่วยของความยาวในระดับที่กำหนด

หากจุด A สอดคล้องกับจำนวนจริงจำนวนเต็ม โดยจัดเรียงตามลำดับจากจุด O ไปยังจุดตามแนวเส้นตรง O ส่วน A - หน่วยความยาว เราสามารถกำหนดความยาวของส่วน O A จากจำนวนรวมของส่วนของหน่วยที่แยกไว้

ตัวอย่างเช่น จุด A สอดคล้องกับหมายเลข 3 - หากต้องการไปจากจุด O คุณจะต้องเลิกจ้างสามส่วนของหน่วย ถ้าจุด A มีพิกัด - 4 – ส่วนเดียวจะถูกสะสมในลักษณะเดียวกัน แต่ไปในทิศทางลบที่ต่างออกไป ดังนั้นในกรณีแรก ระยะทาง O A เท่ากับ 3; ในกรณีที่สอง O A = 4

หากจุด A มีเลขตรรกยะเป็นพิกัด จากนั้นจากจุดกำเนิด (จุด O) เราจะพล็อตจำนวนเต็มของส่วนของหน่วย และจากนั้นส่วนที่จำเป็น แต่ในทางเรขาคณิต การวัดไม่สามารถทำได้ตลอดเวลา ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนว่ายากที่จะพล็อตเศษส่วน 4 111 บนเส้นพิกัด

เมื่อใช้วิธีการข้างต้น เป็นไปไม่ได้เลยที่จะพล็อตจำนวนอตรรกยะบนเส้นตรง เช่น เมื่อพิกัดของจุด A คือ 11 ในกรณีนี้เป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนเป็นนามธรรม: หากพิกัดที่กำหนดของจุด A มากกว่าศูนย์ดังนั้น O A = x A (ตัวเลขจะถูกนำมาเป็นระยะทาง) หากพิกัดน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น O A = - x A โดยทั่วไป ข้อความเหล่านี้เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง x A ใดๆ

โดยสรุป: ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดที่สอดคล้องกับจำนวนจริงบนเส้นพิกัดเท่ากับ:

• 0 ถ้าจุดนั้นตรงกับจุดกำเนิด

• x A ถ้า x A > 0;

• - x A ถ้า x A< 0 .

ในกรณีนี้เห็นได้ชัดว่าความยาวของเซ็กเมนต์นั้นไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้นเมื่อใช้เครื่องหมายโมดูลัสเราจึงเขียนระยะทางจากจุด O ถึงจุด A ด้วยพิกัด x ก: OA = xA

ข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งจะเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างของพิกัดเหล่านั้น. สำหรับจุด A และ B ที่อยู่ในเส้นพิกัดเดียวกันของสถานที่ใดๆ และมีพิกัดที่สอดคล้องกัน x กและ x ข: เอ ข = x ข - x ก .

ข้อมูลเริ่มต้น: จุด A และ B นอนอยู่บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y โดยมีพิกัดที่กำหนด: A (x A, y A) และ B (x B, y B)

ให้เราวาดเส้นตั้งฉากผ่านจุด A และ B ไปยังแกนพิกัด O x และ O y และได้ผลลัพธ์ที่ได้คือจุดฉายภาพ: A x, A y, B x, B y ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด A และ B ตัวเลือกต่อไปนี้จะเป็นไปได้:

หากจุด A และ B ตรงกัน ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะเป็นศูนย์

ถ้าจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน O x (แกนแอบซิสซา) จุดนั้นจะตรงกัน และ | เอ บี | - ก y ข y | - เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดนั้นเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างของพิกัด ดังนั้น A y B y = y B - y A และด้วยเหตุนี้ A B = A y B y = y B - y A

หากจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน O y (แกนพิกัด) - โดยการเปรียบเทียบกับย่อหน้าก่อนหน้า: A B = A x B x = x B - x A

หากจุด A และ B ไม่อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง เราจะค้นหาระยะห่างระหว่างแกนทั้งสองโดยหาสูตรการคำนวณ:

เราจะเห็นว่าสามเหลี่ยม A B C เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในการก่อสร้าง ในกรณีนี้ A C = A x B x และ B C = A y B y เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราสร้างความเท่าเทียมกัน: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 แล้วแปลงมัน: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

ลองสรุปจากผลลัพธ์ที่ได้รับ: ระยะทางจากจุด A ถึงจุด B บนระนาบถูกกำหนดโดยการคำนวณโดยใช้สูตรโดยใช้พิกัดของจุดเหล่านี้

AB = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

สูตรที่ได้ยังยืนยันข้อความที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้สำหรับกรณีของความบังเอิญของจุดหรือสถานการณ์ที่จุดนั้นอยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน ดังนั้น หากจุด A และ B ตรงกัน ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

สำหรับสถานการณ์ที่จุด A และ B อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

ในกรณีที่จุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนพิกัด:

AB = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

ข้อมูลเริ่มต้น: ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z โดยมีจุดใดๆ วางอยู่บนระบบพิกัด A (x A, y A, z A) และ B (x B, y B, z B) จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้

ลองพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อจุด A และ B ไม่อยู่ในระนาบขนานกับระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่ง ให้เราวาดระนาบตั้งฉากกับแกนพิกัดผ่านจุด A และ B และรับจุดฉายที่สอดคล้องกัน: A x , A y , A z , B x , B y , B z

ระยะห่างระหว่างจุด A และ B คือเส้นทแยงมุมของผลลัพธ์ที่เป็นรูปขนาน ตามการก่อสร้างการวัดของเส้นขนานนี้: A x B x , A y B y และ A z B z

จากหลักสูตรเรขาคณิต เรารู้ว่ากำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองของมิติของมัน จากข้อความนี้ เราได้รับความเท่าเทียมกัน: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

โดยใช้ข้อสรุปที่ได้รับก่อนหน้านี้เราเขียนสิ่งต่อไปนี้:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

มาแปลงนิพจน์กันเถอะ:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

สุดท้าย สูตรกำหนดระยะห่างระหว่างจุดในอวกาศจะมีลักษณะเช่นนี้:

A B = x B - x A 2 + y B - y 2 + (z B - z A) 2

สูตรผลลัพธ์ยังใช้ได้สำหรับกรณีที่:

ประเด็นตรงกัน;

นอนอยู่บนหนึ่ง แกนพิกัดหรือเส้นตรงขนานกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาระยะห่างระหว่างจุด

ตัวอย่างที่ 1

ข้อมูลเริ่มต้น: เส้นพิกัดและจุดที่วางอยู่บนนั้นด้วยพิกัดที่กำหนด A (1 - 2) และ B (11 + 2) จำเป็นต้องค้นหาระยะทางจากจุดกำเนิด O ถึงจุด A และระหว่างจุด A และ B

สารละลาย

1. ระยะห่างจากจุดอ้างอิงถึงจุดเท่ากับโมดูลัสของพิกัดของจุดนี้ ตามลำดับ O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. เรากำหนดระยะห่างระหว่างจุด A และ B เป็นโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างพิกัดของจุดเหล่านี้: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

คำตอบ: O A = 2 - 1, AB = 10 + 2 2

ตัวอย่างที่ 2

ข้อมูลเริ่มต้น: ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและจุดสองจุดที่วางอยู่บนนั้น A (1, - 1) และ B (แล + 1, 3) จะได้รับ lah คือจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง จำเป็นต้องค้นหาค่าทั้งหมดของตัวเลขนี้ซึ่งระยะทาง A B จะเท่ากับ 5

สารละลาย

ในการหาระยะห่างระหว่างจุด A และ B คุณต้องใช้สูตร A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

แทนค่าพิกัดจริงเราจะได้: AB = (แลม + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = แลม 2 + 16

นอกจากนี้เรายังใช้เงื่อนไขที่มีอยู่ว่า A B = 5 แล้วความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

แล 2 + 16 = 5 แล 2 + 16 = 25 แล = ± 3

คำตอบ: AB = 5 ถ้า แล = ± 3

ตัวอย่างที่ 3

ข้อมูลเริ่มต้น: ระบุ พื้นที่สามมิติในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z และจุด A (1, 2, 3) และ B - 7, - 2, 4 นอนอยู่ในนั้น

สารละลาย

ในการแก้ปัญหาเราใช้สูตร A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

แทนค่าจริงเราจะได้: AB = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

คำตอบ: | เอ บี | = 9

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter