การกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุโดยพลการโดยการเพิ่มแรงที่กระทำต่อแต่ละส่วนตามลำดับนั้นเป็นงานที่ยาก มันจะง่ายขึ้นสำหรับรูปร่างที่ค่อนข้างเรียบง่ายเท่านั้น

ปล่อยให้ร่างกายประกอบด้วยมวลเพียงสองมวลและเชื่อมต่อกันด้วยไม้เรียว (รูปที่ 125) ถ้ามวลของแท่งมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับมวล และ ก็อาจถูกละเลยได้ มวลแต่ละก้อนถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงที่เท่ากันและตามลำดับ ทั้งสองมีทิศทางลงในแนวตั้งนั่นคือขนานกัน อย่างที่เราทราบกันดีว่าผลลัพธ์ของแรงขนานสองแรงถูกนำมาใช้ที่จุดซึ่งกำหนดจากเงื่อนไข

ข้าว. 125. การหาจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ประกอบด้วยสองภาระ

ด้วยเหตุนี้ จุดศูนย์ถ่วงจึงแบ่งระยะห่างระหว่างสิ่งของสองชิ้นในอัตราส่วนผกผันกับอัตราส่วนของมวลของวัตถุทั้งสอง ถ้าร่างนี้ถูกแขวนไว้ที่จุด มันก็จะคงอยู่ในสภาวะสมดุล

เนื่องจากมวลที่เท่ากันสองอันมีจุดศูนย์ถ่วงร่วม ณ จุดที่แบ่งระยะห่างระหว่างมวลเหล่านี้ จึงชัดเจนทันทีว่า ตัวอย่างเช่น จุดศูนย์ถ่วงของแท่งที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นอยู่ตรงกลางของแท่งนั้น (รูปที่ 126)

เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ ของจานทรงกลมที่เป็นเนื้อเดียวกันจะแบ่งออกเป็นสองส่วนที่สมมาตรเหมือนกันหมด (รูปที่ 127) จุดศูนย์ถ่วงจะต้องอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางแต่ละอันของจาน นั่นคือ ที่จุดตัดกันของเส้นผ่านศูนย์กลาง - ในศูนย์กลางทางเรขาคณิตของ ดิสก์ ในทำนองเดียวกัน เราจะพบว่าจุดศูนย์ถ่วงของลูกบอลที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต จุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สม่ำเสมออยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของมัน เป็นต้น จุดศูนย์ถ่วงของห่วง หรือวงแหวนอยู่ตรงกลาง ตัวอย่างสุดท้ายแสดงให้เห็นว่าจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายสามารถอยู่นอกร่างกายได้

ข้าว. 126. จุดศูนย์ถ่วงของแท่งที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ตรงกลาง

ข้าว. 127. จุดศูนย์กลางของจานเนื้อเดียวกันอยู่ที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต

หากร่างกายมีรูปร่างผิดปกติหรือต่างกัน (เช่น มีช่องว่าง) การคำนวณตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงมักจะเป็นเรื่องยาก และสะดวกกว่าในการค้นหาตำแหน่งนี้ผ่านการทดลอง ตัวอย่างเช่น คุณต้องการค้นหาจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นไม้อัด แขวนไว้บนด้าย (รูปที่ 128) เห็นได้ชัดว่าในตำแหน่งสมดุล จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายจะต้องอยู่บนส่วนขยายของด้าย มิฉะนั้นแรงโน้มถ่วงจะมีโมเมนต์สัมพันธ์กับจุดแขวนลอย ซึ่งจะเริ่มหมุนร่างกาย ดังนั้น โดยการวาดเส้นตรงบนแผ่นไม้อัดของเรา ซึ่งแสดงถึงความต่อเนื่องของเส้นด้าย เราสามารถพูดได้ว่าจุดศูนย์ถ่วงอยู่บนเส้นตรงนี้

แท้จริงแล้ว โดยการแขวนลำตัวไว้ที่จุดต่างๆ แล้ววาดเส้นแนวตั้ง เราจะทำให้แน่ใจว่าพวกมันทั้งหมดตัดกันที่จุดเดียว จุดนี้เป็นจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย (เนื่องจากจะต้องนอนพร้อมกันบนเส้นดังกล่าวทั้งหมด) ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงได้ ไม่ใช่แค่รูปร่างแบนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงวัตถุที่ซับซ้อนกว่าด้วย ตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของเครื่องบินถูกกำหนดโดยการกลิ้งล้อไปบนแท่นชั่งน้ำหนัก ผลลัพธ์ของแรงน้ำหนักที่กระทำต่อล้อแต่ละล้อจะถูกกำหนดทิศทางในแนวตั้ง และเส้นที่มันกระทำนั้นสามารถพบได้โดยใช้กฎการบวกของแรงคู่ขนาน

ข้าว. 128. จุดตัดของเส้นแนวตั้งที่ลากผ่านจุดแขวนคือจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

เมื่อมวลของแต่ละส่วนของร่างกายเปลี่ยนแปลงหรือเมื่อรูปร่างของร่างกายเปลี่ยนแปลง ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงก็จะเปลี่ยนไป ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของเครื่องบินจะเคลื่อนที่เมื่อมีการใช้เชื้อเพลิงจากถัง เมื่อบรรทุกสัมภาระ ฯลฯ สำหรับการทดลองด้วยภาพที่แสดงให้เห็นการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์ถ่วงเมื่อรูปร่างของร่างกายเปลี่ยนแปลง จะสะดวกในการถ่ายสองแบบ แถบเดียวกันที่เชื่อมต่อกันด้วยบานพับ (รูปที่ 129) ในกรณีที่แท่งเหล็กลากต่อกัน จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่บนแกนของแท่งแท่ง ถ้าคานงออยู่ที่บานพับ จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่นอกคาน บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่พวกมันก่อตัว หากคุณวางน้ำหนักเพิ่มเติมบนคานอันใดอันหนึ่ง จุดศูนย์ถ่วงจะเคลื่อนไปทางน้ำหนักนี้

ข้าว. 129. ก) จุดศูนย์ถ่วงของแท่งที่เชื่อมต่อด้วยบานพับซึ่งอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวจะอยู่บนแกนของแท่ง ข) จุดศูนย์ถ่วงของระบบแท่งที่โค้งงออยู่ด้านนอกแท่ง

81.1. จุดศูนย์ถ่วงของแท่งบาง ๆ สองอันที่เหมือนกันซึ่งมีความยาว 12 ซม. และยึดเป็นรูปตัวอักษร T อยู่ที่ไหน?

81.2. พิสูจน์ว่าจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นสามเหลี่ยมเนื้อเดียวกันอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน

ข้าว. 130. สำหรับการออกกำลังกาย 81.3

81.3. กระดานเนื้อเดียวกันมวล 60 กก. วางอยู่บนฐานรองรับ 2 อัน ดังแสดงในรูปที่ 1 130. กำหนดแรงที่กระทำต่อส่วนรองรับ

คำแนะนำ

ลองหาศูนย์ดูครับ แรงโน้มถ่วงแบน ตัวเลขเชิงประจักษ์ นำดินสออันใหม่ที่ไม่เหลามาวางในแนวตั้ง วางร่างแบนไว้ด้านบน ทำเครื่องหมายจุดบนร่างที่มั่นคงบนดินสอ นี่จะเป็นศูนย์กลาง แรงโน้มถ่วงของคุณ ตัวเลข- แทนที่จะใช้ดินสอ ก็แค่ใช้นิ้วชี้ชี้ขึ้นด้านบน แต่เป็นเพราะคุณต้องแน่ใจว่านิ้วตั้งตรงไม่แกว่งหรือสั่น

เพื่อแสดงให้เห็นว่าจุดที่เกิดคือจุดศูนย์กลางมวล ให้ใช้เข็มเจาะรูเข้าไป ร้อยด้ายผ่านรูและผูกปมที่ปลายด้านหนึ่งเพื่อไม่ให้ด้ายหลุดออกมา จับปลายด้ายอีกด้านแล้วห้อยตัวออกจากมัน ถ้าเป็นศูนย์ แรงโน้มถ่วงถูกต้องแล้ว หุ่นจะอยู่ในตำแหน่งเป๊ะๆ ขนานกับพื้น ข้างของเธอจะไม่แกว่งไปมา

ค้นหาศูนย์ แรงโน้มถ่วง ตัวเลขทางเรขาคณิต หากคุณได้รับรูปสามเหลี่ยม ให้สร้าง . ส่วนเหล่านี้เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับตรงกลางของด้านตรงข้าม จุดจะกลายเป็น ศูนย์มวลสามเหลี่ยม หากต้องการหาจุดกึ่งกลางของด้าน คุณสามารถพับครึ่งได้ แต่โปรดจำไว้ว่าการทำเช่นนี้จะรบกวนความสม่ำเสมอ ตัวเลข.

เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับในเชิงเรขาคณิตและเชิงทดลอง รายงานความคืบหน้าของการทดลอง ข้อผิดพลาดเล็กๆ น้อยๆ ถือว่าเป็นเรื่องปกติ พวกเขาอธิบายด้วยความไม่สมบูรณ์ ตัวเลข, ความไม่ถูกต้องของเครื่องมือ, ปัจจัยของมนุษย์ (ข้อบกพร่องเล็กน้อยในการทำงาน, ความไม่สมบูรณ์ของสายตามนุษย์ ฯลฯ )

แหล่งที่มา:

• การคำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงแบน

ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ จุดศูนย์ถ่วงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางมวล ในเรขาคณิต แนวคิดเรื่อง "จุดศูนย์ถ่วง" และ "จุดศูนย์กลางมวล" ก็เท่าเทียมกันเช่นกัน เนื่องจากไม่พิจารณาถึงการมีอยู่ของสนามโน้มถ่วง จุดศูนย์กลางมวลเรียกอีกอย่างว่าจุดศูนย์กลางของความเฉื่อยและแบรีเซ็นเตอร์ (จากภาษากรีก บารัส - หนัก, เคนตรอน - ศูนย์กลาง) เป็นลักษณะการเคลื่อนที่ของร่างกายหรือระบบของอนุภาค ดังนั้นในระหว่างการตกอย่างอิสระ วัตถุจะหมุนรอบจุดศูนย์กลางความเฉื่อย

คำแนะนำ

ให้ระบบประกอบด้วยสองจุดที่เหมือนกัน เห็นได้ชัดว่าตั้งอยู่ตรงกลางระหว่างพวกเขา ถ้าจุดที่มีพิกัด x1 และ x2 มีมวล m1 และ m2 ต่างกัน ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลคือ x(c)=(m1 x1+m2 x2)/(m1+m2) ขึ้นอยู่กับ "ศูนย์" ที่เลือกของระบบอ้างอิง พิกัดอาจเป็นค่าลบได้เช่นกัน

จุดบนระนาบมีพิกัดสองจุด: x และ y เมื่อระบุในช่องว่าง พิกัด z ที่สามจะถูกเพิ่ม เพื่อไม่ให้อธิบายแต่ละพิกัดแยกกัน จะสะดวกในการพิจารณาเวกเตอร์รัศมีของจุด: ร=x ฉัน+ย เจ+z· เค, ที่ไหน ฉัน,เจ,เค- เวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัด

ให้ระบบประกอบด้วยจุดสามจุดซึ่งมีมวล m1, m2 และ m3 เวกเตอร์รัศมี ตามลำดับ r1, r2และ r3- จากนั้นเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์ถ่วง ร(ค)=(ม1· r1+m2· r2+ม3 r3)/(ม1+ม2+ม3)

หากระบบประกอบด้วยจุดตามใจชอบ สูตรจะพบเวกเตอร์รัศมีตามคำนิยาม:
ร(ค)=∑ม(ผม) ร(ฉัน)/∑m(i) การรวมจะดำเนินการโดยใช้ดัชนี i (เขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม ∑) ที่นี่ m(i) คือระบบ i-th บางส่วน ร(ฉัน)− เวกเตอร์รัศมี

หากร่างกายมีมวลเป็นเนื้อเดียวกัน ผลรวมจะเข้าเป็นอินทิกรัล แบ่งร่างกายออกเป็นชิ้นเล็กๆ มวล dm อย่างไม่สิ้นสุด เนื่องจากวัตถุเป็นเนื้อเดียวกัน มวลของแต่ละชิ้นจึงสามารถเขียนเป็น dm=ρ·dV โดยที่ dV คือปริมาตรเบื้องต้นของชิ้นส่วนนี้ ρ คือความหนาแน่น (เท่ากันตลอดปริมาตรทั้งหมดของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน)

ผลรวมมวลของชิ้นส่วนทั้งหมดจะได้มวลของทั้งตัว: ∑m(i)=∫dm=M ดังนั้นปรากฎว่า ร(ค)=1/M·∫ρ·dV· ดร- ความหนาแน่นซึ่งเป็นค่าคงที่สามารถดึงออกมาจากใต้เครื่องหมายอินทิกรัลได้: ร(ค)=ρ/M·∫dV· ดร- หากต้องการบูรณาการโดยตรง คุณจะต้องตั้งค่าฟังก์ชันเฉพาะระหว่าง dV และ ดรซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของรูป

ตัวอย่างเช่น จุดศูนย์ถ่วงของเซ็กเมนต์ (แท่งยาวที่เป็นเนื้อเดียวกัน) อยู่ตรงกลาง จุดศูนย์กลางมวลของทรงกลมและลูกบอลอยู่ตรงกลาง ศูนย์กลางแบรีของกรวยตั้งอยู่ที่ความสูงของส่วนแนวแกน นับจากฐาน

สามารถกำหนดศูนย์กลางได้ด้วยการทดลอง ตัดรูปร่างใด ๆ ออกจากแผ่นกระดาษหนาหรือกระดาษแข็ง (เช่นสามเหลี่ยมเดียวกัน) ลองวางไว้บนปลายนิ้วที่เหยียดออกในแนวตั้ง สถานที่ที่สามารถทำได้คือศูนย์กลางของความเฉื่อยของร่างกาย

แหล่งที่มา:

• "กลศาสตร์", D.V. ศิวะคิน, 2549.
• การกำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของเรือ

ตามความหมายทั่วไป จุดศูนย์ถ่วงถือเป็นจุดที่สามารถใช้ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายได้ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือการแกว่งของเด็กในรูปแบบของกระดานธรรมดา หากไม่มีการคำนวณ เด็กคนใดจะเลือกส่วนรองรับของกระดานในลักษณะที่ทำให้สมดุล (และอาจมีมากกว่า) คนน้ำหนักมากบนชิงช้า ในกรณีของเนื้อหาและส่วนต่างๆ ที่ซับซ้อน การคำนวณที่แม่นยำและสูตรที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ แม้ว่าคุณจะมีการแสดงออกที่ยุ่งยาก แต่สิ่งสำคัญคือไม่ต้องกลัวพวกเขา แต่ต้องจำไว้ว่าในตอนแรกเรากำลังพูดถึงงานเบื้องต้น

คำแนะนำ

พิจารณาคันโยกที่ง่ายที่สุด (ดูรูปที่ 1) ในตำแหน่งสมดุล วาง x₁₂ บนแกนนอนด้วย abscissa และวางจุดวัสดุที่มีมวล m₁ และ m₂ ไว้ที่ขอบ พิจารณาพิกัดตามแนวแกน 0x ตามที่ทราบและเท่ากับ x₁ และ x₂ คันโยกอยู่ในตำแหน่งสมดุลหากโมเมนต์ของแรงน้ำหนัก Р₁=m₁g และ P₂=m₂g เท่ากัน โมเมนต์นั้นเท่ากับผลคูณของแรงจากแขนของมัน ซึ่งหาได้จากความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลดลงจากจุดที่ใช้แรงไปที่แนวตั้ง x=x₁₂ ดังนั้น ตามรูปที่ 1 m₁gë₁= m₂gë₂, ë₁=х₁₂-х₁, ë₂=х₂-х₁₂ จากนั้น m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂) แก้สมการนี้แล้วได้ x₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂)

หากต้องการหาพิกัด y₁₂ ให้ใช้เหตุผลและการคำนวณเดียวกันกับในขั้นตอนที่ 1 โดยยังคงทำตามภาพประกอบที่แสดงในรูปที่ 1 โดยที่ m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂ จากนั้น m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂) ผลลัพธ์คือ y₁₂=(m₁у₁+m₂у₂)/(m₁+m₂) ต่อไป ให้พิจารณาว่าแทนที่จะเป็นระบบสองจุด จะมีหนึ่งจุด M₁₂(x12,у12) ของมวลทั้งหมด (m₁+m₂)

ในระบบของจุดสองจุด ให้บวกมวลอีกอัน (m₃) ด้วยพิกัด (x₃, y₃) เมื่อคำนวณ คุณควรถือว่าคุณกำลังเผชิญกับสองจุด โดยที่จุดที่สองมีมวล (m₁+m₂) และพิกัด (x12,y12) ทำซ้ำการกระทำทั้งหมดของขั้นตอนที่ 1 และ 2 สำหรับสองจุดนี้ คุณจะมาที่จุดศูนย์กลางของจุดสามจุด x₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m₃), y₁₂₃=(m₁у₁+m₂у₂+m₃y₃)/( ม₁ +ม₂ +ม₃) จากนั้นให้เพิ่มจุดที่สี่ ห้า และอื่นๆ หลังจากทำซ้ำขั้นตอนเดียวกันหลายครั้ง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสำหรับระบบที่มี n จุด พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงจะคำนวณโดยใช้สูตร (ดูรูปที่ 2) สังเกตด้วยตัวคุณเองว่าระหว่างทำงาน ความเร่งของแรงโน้มถ่วง g ลดลง ดังนั้นพิกัดของศูนย์กลางมวลและแรงโน้มถ่วงจึงตรงกัน

ลองนึกภาพว่าในส่วนที่พิจารณานั้นมีขอบเขต D จำนวนหนึ่ง ซึ่งมีความหนาแน่นของพื้นผิวคือ ρ=1 จากด้านบนและด้านล่าง รูปนี้ถูกจำกัดด้วยกราฟของเส้นโค้ง y=φ(x) และ y=ψ(x), x є [a,b] แบ่งพื้นที่ D ด้วยแนวตั้ง x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) ออกเป็นแถบบางๆ เพื่อให้สามารถพิจารณาเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีฐาน ∆хi ได้โดยประมาณ (ดูรูปที่ 2) . .3) ในกรณีนี้ ให้พิจารณาว่าจุดกึ่งกลางของส่วน ∆хi ตรงกับจุดหักมุมของจุดศูนย์กลางมวล ξi=(1/2) พิจารณาความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้เท่ากับ [φ(ξi)-ψ(ξi)] โดยประมาณ จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของพื้นที่ประถมศึกษาคือ ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)]

เนื่องจากการกระจายความหนาแน่นสม่ำเสมอ สมมติว่าจุดศูนย์กลางมวลของแถบจะตรงกับจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต มวลเบื้องต้นที่สอดคล้องกัน ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi มีความเข้มข้นที่จุด (ξi,ηi) ถึงเวลาแล้วสำหรับการเปลี่ยนแปลงแบบย้อนกลับจากมวลที่แสดงในรูปแบบแยกเป็นมวลต่อเนื่อง ตามสูตรในการคำนวณพิกัด (ดูรูปที่ 2) ของจุดศูนย์ถ่วงจะมีการสร้างผลรวมอินทิกรัลดังแสดงในรูปที่ 4a เมื่อผ่านไปยังลิมิตที่ ∆xi→0 (ξi→xi) จากผลรวมไปจนถึงอินทิกรัลจำกัด จะได้คำตอบสุดท้าย (รูปที่ 4b) ไม่มีมวลในคำตอบ ความเท่าเทียมกัน S=M ควรเข้าใจในเชิงปริมาณเท่านั้น ขนาดที่นี่แตกต่างกัน

วิธีค้นหาจุดศูนย์ถ่วง

ผู้เขียน: มามีรูปร่างตามอำเภอใจกันเถอะ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแขวนไว้บนด้ายเพื่อที่ว่าหลังจากแขวนแล้วก็จะคงตำแหน่งไว้ (เช่น ไม่เริ่มหมุน) เมื่อใด ใดๆการวางแนวเริ่มต้น (รูปที่ 27.1)?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีจุดใดที่สัมพันธ์กับผลรวมของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อส่วนต่างๆ ของร่างกายจะเท่ากับศูนย์ที่ ใดๆการวางแนวร่างกายในอวกาศ?

ผู้อ่าน: ฉันคิดอย่างนั้น. จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

การพิสูจน์.เพื่อความเรียบง่ายให้เราพิจารณาร่างกายในรูปแบบของแผ่นแบนที่มีรูปร่างตามอำเภอใจซึ่งวางอยู่ในอวกาศโดยพลการ (รูปที่ 27.2) เรามาเอาระบบพิกัดกันดีกว่า เอ็กซ์ 0ที่โดยมีจุดเริ่มต้นที่จุดศูนย์กลางมวล - จุด กับ, แล้ว x ซี = 0, ที่ซี = 0.

ลองจินตนาการว่าวัตถุนี้เป็นกลุ่มของมวลจุดจำนวนมาก ฉันตำแหน่งของแต่ละตำแหน่งจะถูกระบุโดยเวกเตอร์รัศมี

ตามคำนิยาม จุดศูนย์กลางมวลคือ และพิกัด x ซี = .

เนื่องจากในระบบพิกัดที่เรานำมาใช้ x ซี= 0 แล้ว . ลองคูณความเท่าเทียมกันนี้ด้วย กและเราได้รับ

ดังที่เห็นได้จากรูป 27.2, | x ฉัน- – นี่คือไหล่แห่งอำนาจ และถ้า x ฉัน> 0 จากนั้นโมเมนต์แห่งแรง ม ฉัน> 0 และถ้า เอ็กซ์เจ < 0, то มจ < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x ฉันช่วงเวลาแห่งพลังจะเท่ากัน ม ผม = ม ผม กx ผม .จากนั้นความเท่าเทียมกัน (1) ก็เทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน โดยที่ ม ฉัน– ช่วงเวลาแห่งแรงโน้มถ่วง ซึ่งหมายความว่าด้วยการวางแนวของร่างกายตามอำเภอใจ ผลรวมของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อร่างกายจะเท่ากับศูนย์เมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล

เพื่อให้ร่างกายที่เรากำลังพิจารณาให้อยู่ในภาวะสมดุลนั้นจำเป็นต้องปฏิบัติให้ตรงจุด กับบังคับ ต = มกพุ่งขึ้นในแนวตั้ง โมเมนต์ของแรงนี้สัมพันธ์กับจุด กับเท่ากับศูนย์

เนื่องจากการให้เหตุผลของเราไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าร่างกายอยู่ในอวกาศอย่างไร เราจึงพิสูจน์ว่าจุดศูนย์ถ่วงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์

ปัญหา 27.1.หาจุดศูนย์ถ่วงของแท่งไร้น้ำหนักที่มีความยาว ลที่ปลายซึ่งมีมวลจุดสองจุดคงที่ ต 1 และ ต 2 .

ต 1 ต 2 ล	สารละลาย. เราจะไม่มองหาจุดศูนย์ถ่วง แต่มองหาจุดศูนย์กลางมวล (เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งเดียวกัน) เรามาแนะนำแกนกันดีกว่า เอ็กซ์(รูปที่ 27.3) ข้าว. 27.3
x ค =?

คำตอบ: อยู่ห่างจากมวล ต 1 .

หยุด! ตัดสินใจด้วยตัวเอง: B1–B3

คำชี้แจง 1 . หากวัตถุแบนที่เป็นเนื้อเดียวกันมีแกนสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่บนแกนนี้

แท้จริงแล้วสำหรับมวลจุดใดๆ ฉันซึ่งตั้งอยู่ทางด้านขวาของแกนสมมาตร มีมวลจุดเดียวกันซึ่งสัมพันธ์กับจุดแรกอย่างสมมาตร (รูปที่ 27.4) ในกรณีนี้ ผลรวมของโมเมนต์ของแรง .

เนื่องจากร่างกายทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นจุดคู่ที่คล้ายกัน โมเมนต์แรงโน้มถ่วงรวมที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกนสมมาตรจะเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายตั้งอยู่บนแกนนี้ . สิ่งนี้นำไปสู่ข้อสรุปที่สำคัญ: ถ้าวัตถุมีแกนสมมาตรหลายแกน จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ที่จุดตัดของแกนเหล่านี้(รูปที่ 27.5)

ข้าว. 27.5

คำชี้แจง 2- ถ้าสองร่างมีมวล ต 1 และ ต 2 เชื่อมต่อกันเป็นหนึ่งเดียว จากนั้นจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุนั้นจะอยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุตัวแรกและตัวที่สอง (รูปที่ 27.6)

ข้าว. 27.6 ข้าว. 27.7

การพิสูจน์.ให้เราวางตำแหน่งตัวถังคอมโพสิตเพื่อให้ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุอยู่ในแนวตั้ง จากนั้นผลรวมของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงของวัตถุแรกที่สัมพันธ์กับจุด กับ 1 เท่ากับศูนย์ และผลรวมของโมเมนต์แรงโน้มถ่วงของวัตถุชิ้นที่สองสัมพันธ์กับจุด กับ 2 เท่ากับศูนย์ (รูปที่ 27.7)

โปรดทราบว่า ไหล่แรงโน้มถ่วงของมวลจุดใดๆ ฉันเช่นเดียวกับจุดใดๆ ที่อยู่ในส่วนนั้น กับ 1 กับ 2 ดังนั้น โมเมนต์แรงโน้มถ่วงสัมพันธ์กับจุดใดๆ ที่วางอยู่บนส่วนนั้น กับ 1 กับ 2 เหมือนกัน. ด้วยเหตุนี้ แรงโน้มถ่วงของทั้งวัตถุจึงเป็นศูนย์เมื่อเทียบกับจุดใดๆ บนเซ็กเมนต์ กับ 1 กับ 2. ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของตัวคอมโพสิตจึงอยู่ที่ส่วนนั้น กับ 1 กับ 2 .

ข้อสรุปเชิงปฏิบัติที่สำคัญต่อจากข้อความที่ 2 ซึ่งมีการกำหนดไว้อย่างชัดเจนในรูปแบบของคำแนะนำ

คำแนะนำ,

จะหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุแข็งได้อย่างไรหากสามารถแตกหักได้

ในแต่ละส่วนจะทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละจุด

1. แต่ละชิ้นส่วนควรถูกแทนที่ด้วยมวลซึ่งอยู่ที่จุดศูนย์ถ่วงของชิ้นส่วนนั้น

2. ค้นหา ศูนย์กลางของมวล(และนี่ก็เหมือนกับจุดศูนย์ถ่วง) ของระบบมวลจุดที่เกิดขึ้นโดยเลือกระบบพิกัดที่สะดวก เอ็กซ์ 0ที่ตามสูตร:

ในความเป็นจริงให้เราจัดร่างกายประกอบเพื่อให้เซ็กเมนต์ กับ 1 กับ 2 อยู่ในแนวนอน และแขวนไว้บนด้ายตามจุดต่างๆ กับ 1 และ กับ 2 (รูปที่ 27.8, ก- ชัดเจนว่าร่างกายจะอยู่ในสภาวะสมดุล และความสมดุลนี้จะไม่ถูกรบกวนหากเราแทนที่แต่ละจุดด้วยมวลจุด ต 1 และ ต 2 (รูปที่ 27.8, ข).

ข้าว. 27.8

หยุด! ตัดสินใจด้วยตัวเอง: C3.

ปัญหา 27.2.ลูกบอลมวลวางอยู่ที่จุดยอดสองจุดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ตทั้งหมด. ลูกบอลมวล 2 วางอยู่ที่จุดยอดที่สาม ต(รูปที่ 27.9, ก- ด้านสามเหลี่ยม ก- หาจุดศูนย์ถ่วงของระบบนี้

ต 2ต ก	ข้าว. 27.9
x ซี = ? ที่ซี = ?

สารละลาย- ให้เราแนะนำระบบพิกัด เอ็กซ์ 0ที่(รูปที่ 27.9, ข- แล้ว

,

.

คำตอบ: x ซี = ก/2; - จุดศูนย์ถ่วงอยู่ที่ครึ่งหนึ่งของความสูง ค.ศ.

จุดศูนย์ถ่วงคือจุดที่แนวการกระทำของผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงเบื้องต้นผ่านไป มีคุณสมบัติเป็นศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน (E.M. Nikitin, § 42) นั่นเป็นเหตุผล สูตรกำหนดตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุต่างๆมีแบบฟอร์ม:
x ค = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

หากร่างกายที่ต้องกำหนดจุดศูนย์ถ่วงสามารถระบุได้ด้วยรูปร่างที่ประกอบด้วยเส้น (เช่นรูปร่างปิดหรือเปิดที่ทำจากลวดดังรูปที่ 173) ดังนั้นน้ำหนัก G i ของแต่ละส่วน l i สามารถแสดงเป็นสินค้าได้
G ฉัน = ฉัน d
โดยที่ d คือน้ำหนักคงที่ของความยาวหน่วยของวัสดุสำหรับทั้งรูป

หลังจากแทนค่า l i d ลงในสูตร (1) แทน G i แล้ว ปัจจัยคงที่ d ในแต่ละเทอมของตัวเศษและตัวส่วนสามารถนำออกจากวงเล็บ (เกินเครื่องหมายของผลรวม) และลดลงได้ ดังนั้น, สูตรกำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของภาพที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

หากร่างกายมีรูปทรงที่ประกอบด้วยระนาบหรือพื้นผิวโค้งที่จัดเรียงในรูปแบบต่างๆ (รูปที่ 174) น้ำหนักของระนาบ (พื้นผิว) แต่ละอันสามารถแสดงได้ดังนี้:
G i = ฉ ฉัน พี
โดยที่ F i คือพื้นที่ของแต่ละพื้นผิว และ p คือน้ำหนักต่อหน่วยพื้นที่ของรูป

หลังจากแทนค่า G i นี้เป็นสูตร (1) เราก็จะได้ สูตรพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของภาพที่ประกอบด้วยพื้นที่:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F ฉัน y ฉัน) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

หากร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันสามารถแบ่งออกเป็นส่วนที่เรียบง่ายของรูปทรงเรขาคณิตบางอย่างได้ (รูปที่ 175) ดังนั้นน้ำหนักของแต่ละส่วน
G i = V ฉัน γ
โดยที่ V i คือปริมาตรของแต่ละส่วน และ γ คือน้ำหนักต่อหน่วยปริมาตรของร่างกาย

หลังจากแทนค่า G i ลงในสูตร (1) เราก็จะได้ สูตรกำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ประกอบด้วยปริมาตรที่เป็นเนื้อเดียวกัน:
x ค = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V ฉัน y ฉัน) / ∑ V ฉัน ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i .

เมื่อแก้ไขปัญหาบางอย่างในการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย บางครั้งจำเป็นต้องรู้ว่าจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งของวงกลม เซกเตอร์วงกลม หรือสามเหลี่ยมอยู่ที่ใด

หากทราบรัศมีของส่วนโค้ง r และมุมศูนย์กลาง2αต่อด้วยส่วนโค้งและแสดงเป็นเรเดียน ดังนั้นตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง C (รูปที่ 176, a) สัมพันธ์กับศูนย์กลางของส่วนโค้ง O จะถูกกำหนดโดย สูตร:
(5) x c = (r บาป α)/α

หากให้คอร์ด AB=b ของส่วนโค้งแล้วในสูตร (5) คุณสามารถทำการแทนที่ได้
บาป α = b/(2r)
แล้ว
(5a) x c = b/(2α)

ในกรณีเฉพาะของครึ่งวงกลม ทั้งสองสูตรจะอยู่ในรูปแบบ (รูปที่ 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π

ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของเซกเตอร์วงกลมหากได้รับรัศมี r (รูปที่ 176, c) จะถูกกำหนดโดยใช้สูตร:
(6) x c = (2r ซิน α)/(3α)

หากได้รับคอร์ดเซกเตอร์แล้ว:
(6a) x c = b/(3α)

ในกรณีพิเศษของครึ่งวงกลม สูตรสุดท้ายทั้งสองสูตรจะอยู่ในรูปแบบ (รูปที่ 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π)

จุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ อยู่ที่ด้านใดด้านหนึ่งโดยมีระยะห่างเท่ากับหนึ่งในสามของความสูงที่สอดคล้องกัน

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นตั้งฉากที่ยกขึ้นไปที่ขาจากจุดที่อยู่ห่างจากหนึ่งในสามของความยาวของขา นับจากจุดยอดของมุมขวา (รูปที่ 177)

เมื่อแก้ไขปัญหาในการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งประกอบด้วยแท่งบาง ๆ (เส้น) หรือของแผ่น (พื้นที่) หรือปริมาตร แนะนำให้ปฏิบัติตามลำดับต่อไปนี้:

1) วาดร่างกายซึ่งจำเป็นต้องกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง เนื่องจากโดยปกติแล้วจะทราบขนาดร่างกายทั้งหมด จึงจำเป็นต้องสังเกตขนาด

2) แบ่งร่างกายออกเป็นส่วนประกอบ (ส่วนของเส้นหรือพื้นที่หรือปริมาตร) ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงจะพิจารณาจากขนาดของร่างกาย

3) กำหนดความยาวหรือพื้นที่หรือปริมาตรของชิ้นส่วนส่วนประกอบ

4) เลือกตำแหน่งของแกนพิกัด

5) กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนประกอบ

6) แทนที่ค่าที่พบของความยาวหรือพื้นที่หรือปริมาตรของแต่ละส่วนรวมถึงพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงลงในสูตรที่เหมาะสมและคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายทั้งหมด

7) ใช้พิกัดที่พบระบุตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายในรูป

§ 23. การกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ประกอบด้วยแท่งเนื้อเดียวกันบาง ๆ

§ 24. การกำหนดตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของร่างที่ประกอบด้วยแผ่นเปลือกโลก

ในปัญหาสุดท้าย เช่นเดียวกับปัญหาที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า การแบ่งตัวเลขออกเป็นส่วนต่างๆ ไม่ได้ทำให้เกิดปัญหาใดๆ เป็นพิเศษ แต่บางครั้งรูปร่างก็มีรูปแบบที่ทำให้สามารถแบ่งออกเป็นส่วนประกอบต่างๆ ได้หลายวิธี เช่น แผ่นสี่เหลี่ยมบางๆ ที่มีช่องเจาะรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 183) เมื่อกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นดังกล่าว พื้นที่ของมันสามารถแบ่งออกเป็นสี่สี่เหลี่ยม (1, 2, 3 และ 4) และสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งอัน 5 - ในหลายวิธี สองตัวเลือกจะแสดงในรูป 183 ก และ ข

วิธีที่มีเหตุผลที่สุดในการแบ่งรูปออกเป็นส่วนๆ ก็คือสิ่งที่สร้างชิ้นส่วนได้จำนวนน้อยที่สุด หากมีการตัดออกในภาพก็สามารถรวมไว้ในส่วนส่วนประกอบของภาพได้ แต่พื้นที่ของส่วนที่ตัดออกจะถือว่าเป็นลบ ดังนั้นการหารนี้จึงเรียกว่าวิธีหาพื้นที่ลบ

จานในรูป. 183 in แบ่งโดยใช้วิธีนี้ออกเป็นสองส่วนเท่านั้น คือ สี่เหลี่ยม 1 กับพื้นที่ของแผ่นทั้งแผ่นราวกับว่าเป็นทั้งแผ่น และสามเหลี่ยม 2 กับพื้นที่ ซึ่งเราถือว่าเป็นลบ

§ 26. การกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่มีรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย

ในการแก้ปัญหาการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่มีรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่าย คุณต้องมีทักษะในการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขที่ประกอบด้วยเส้นหรือพื้นที่

ในการปฏิบัติทางวิศวกรรมนั้นเกิดขึ้นว่ามีความจำเป็นต้องคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปแบนที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบง่าย ๆ ซึ่งทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง งานนี้เป็นส่วนหนึ่งของภารกิจกำหนด...

ลักษณะทางเรขาคณิตของภาคตัดขวางของคานและแท่งประกอบ บ่อยครั้งที่วิศวกรออกแบบแม่พิมพ์ตัดต้องเผชิญกับคำถามที่คล้ายกันเมื่อกำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางความดัน ผู้พัฒนาแผนการบรรทุกสำหรับยานพาหนะต่าง ๆ เมื่อวางสินค้า นักออกแบบอาคารโครงสร้างโลหะเมื่อเลือกส่วนขององค์ประกอบ และแน่นอนว่านักเรียนเมื่อ ศึกษาสาขาวิชา “กลศาสตร์เชิงทฤษฎี” และ “ความแข็งแกร่งของวัสดุ””

ห้องสมุดบุคคลเบื้องต้น

สำหรับรูประนาบสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางสมมาตร กลุ่มสมมาตรของวัตถุพื้นฐานประกอบด้วย: วงกลม, สี่เหลี่ยมผืนผ้า (รวมถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัส), สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รวมถึงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน), รูปหลายเหลี่ยมปกติ

จากตัวเลขทั้งสิบที่นำเสนอในรูปด้านบน มีเพียงสองตัวเท่านั้นที่เป็นพื้นฐาน นั่นคือการใช้สามเหลี่ยมและส่วนของวงกลมทำให้คุณสามารถรวมตัวเลขเกือบทุกตัวที่มีความสนใจในทางปฏิบัติได้ เส้นโค้งใดๆ ก็ตามสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ และแทนที่ด้วยส่วนโค้งวงกลมได้

ตัวเลขแปดตัวที่เหลือเป็นตัวเลขที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมตัวเลขเหล่านี้จึงถูกรวมไว้ในห้องสมุดที่มีเอกลักษณ์เฉพาะแห่งนี้ ในการจำแนกประเภทของเรา องค์ประกอบเหล่านี้ไม่ใช่องค์ประกอบพื้นฐาน สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมด้านขนาน และสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเกิดขึ้นได้จากรูปสามเหลี่ยมสองรูป หกเหลี่ยมคือผลรวมของสามเหลี่ยมสี่รูป ส่วนของวงกลมคือความแตกต่างระหว่างส่วนของวงกลมและสามเหลี่ยม ภาควงแหวนของวงกลมคือความแตกต่างระหว่างสองภาคส่วน วงกลมคือเซกเตอร์ของวงกลมที่มีมุม α=2*π=360˚ ดังนั้น ครึ่งวงกลมจึงเป็นเซกเตอร์ของวงกลมที่มีมุม α=π=180˚

การคำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของรูปประกอบใน Excel

การถ่ายทอดและรับรู้ข้อมูลโดยการพิจารณาตัวอย่างจะง่ายกว่าการศึกษาปัญหาโดยใช้การคำนวณทางทฤษฎีล้วนๆ เสมอ ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหา “จะหาจุดศูนย์ถ่วงได้อย่างไร” โดยใช้ตัวอย่างรูปประกอบตามรูปด้านล่างข้อความนี้

ส่วนประกอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (มีมิติ ก1 =80 มม. ข1 =40 มม.) โดยเพิ่มสามเหลี่ยมหน้าจั่วไว้ที่ด้านซ้ายบน (ด้วยขนาดของฐาน ก2 =24 มม.และสูง ชม.2 =42 มม.) และส่วนที่ตัดครึ่งวงกลมออกจากมุมขวาบน (โดยให้ศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่มีพิกัด x03 =50 มม. และ ย03 =40 มม. รัศมี ร3 =26 มม.)

เราจะใช้โปรแกรมช่วยคำนวณ เอ็มเอส เอ็กเซล หรือโปรแกรม อู๋ คำนวณ . พวกเขาจะรับมือกับงานของเราได้อย่างง่ายดาย!

ในเซลล์ด้วย สีเหลือง เราจะเติมมัน เบื้องต้นเสริม การคำนวณ .

เราคำนวณผลลัพธ์ในเซลล์ที่มีการเติมสีเหลืองอ่อน

สีฟ้า แบบอักษรคือ แหล่งข้อมูล .

สีดำ แบบอักษรคือ ระดับกลาง ผลการคำนวณ .

สีแดง แบบอักษรคือ สุดท้าย ผลการคำนวณ .

เราเริ่มแก้ไขปัญหา - เราเริ่มค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วน

ข้อมูลเริ่มต้น:

1. เราจะเขียนชื่อของบุคคลเบื้องต้นที่สร้างส่วนประกอบตามลำดับ

ไปที่เซลล์ D3: สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ไปที่เซลล์ E3: สามเหลี่ยม

ไปที่เซลล์ F3: ครึ่งวงกลม

2. การใช้ "Library of Elementary Figures" ที่นำเสนอในบทความนี้เราจะกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงขององค์ประกอบของส่วนประกอบ xciและ yciเป็นมม. สัมพันธ์กับแกนที่เลือกโดยพลการ 0x และ 0y และเขียน

ไปยังเซลล์ D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = ก 1 /2

ไปยังเซลล์ D5: =40/2 =20,000

ปี 1 = ข 1 /2

ไปที่เซลล์ E4: =24/2 =12,000

xc 2 = ก 2 /2

ไปยังเซลล์ E5: =40+42/3 =54,000

ปี 2 = ข 1 + ชม. 2 /3

ไปยังเซลล์ F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

ไปที่เซลล์ F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

ปี 3 = ย 03 -4* r3 /3/ π

3. มาคำนวณพื้นที่ขององค์ประกอบกัน เอฟ 1 , เอฟ 2 , เอฟ3 ในหน่วย mm2 อีกครั้งโดยใช้สูตรจากส่วน "ไลบรารีตัวเลขเบื้องต้น"

ในเซลล์ D6: =40*80 =3200

เอฟ1 = ก 1 * ข1

ในเซลล์ E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

ในเซลล์ F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

พื้นที่ขององค์ประกอบที่สาม - ครึ่งวงกลม - เป็นลบเพราะเป็นส่วนตัด - พื้นที่ว่าง!

การคำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วง:

4. เรามากำหนดพื้นที่รวมของรูปสุดท้ายกัน เอฟ0 ในหน่วย mm2

ในเซลล์ที่ผสาน D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

เอฟ0 = เอฟ 1 + เอฟ 2 + เอฟ3

5. ลองคำนวณโมเมนต์คงที่ของตัวเลขประกอบกัน สและ ซีในหน่วย mm3 สัมพันธ์กับแกนที่เลือก 0x และ 0y

ในเซลล์ที่ผสาน D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

ส = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

ในเซลล์ที่ผสาน D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

ซี = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. และสุดท้าย เรามาคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนประกอบกัน Xcและ ปีเป็น mm ในระบบพิกัดที่เลือก 0x - 0y

ในเซลล์ที่ผสาน D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = ซี / เอฟ0

ในเซลล์ที่ผสาน D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว การคำนวณใน Excel เสร็จสมบูรณ์ - พบพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนที่รวบรวมโดยใช้องค์ประกอบง่ายๆ สามประการ!

บทสรุป.

ตัวอย่างในบทความได้รับเลือกให้เรียบง่ายมากเพื่อให้เข้าใจวิธีการคำนวณจุดศูนย์ถ่วงของส่วนที่ซับซ้อนได้ง่ายขึ้น วิธีการคือให้แบ่งรูปร่างที่ซับซ้อนออกเป็นองค์ประกอบง่ายๆ โดยระบุตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงที่ทราบ และควรทำการคำนวณขั้นสุดท้ายสำหรับทั้งส่วน

หากส่วนนี้ประกอบด้วยโปรไฟล์แบบม้วน - มุมและช่อง ไม่จำเป็นต้องแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมโดยตัดส่วน "π/2" แบบวงกลมออก พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของโปรไฟล์เหล่านี้ได้รับในตาราง GOST นั่นคือทั้งมุมและช่องจะเป็นองค์ประกอบพื้นฐานในการคำนวณส่วนคอมโพสิตของคุณ (ไม่มีประโยชน์ที่จะพูดถึง I-beams ท่อ แท่ง และรูปหกเหลี่ยม - เป็นส่วนสมมาตรส่วนกลาง)

แน่นอนว่าตำแหน่งของแกนพิกัดไม่ส่งผลต่อตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างนั้นแน่นอน! ดังนั้นให้เลือกระบบพิกัดที่ทำให้การคำนวณของคุณง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น หากฉันต้องหมุนระบบพิกัด 45˚ ตามเข็มนาฬิกาในตัวอย่างของเรา การคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม และครึ่งวงกลม จะกลายเป็นขั้นตอนการคำนวณที่แยกจากกันและยุ่งยากซึ่งไม่สามารถทำได้” ในหัว”

ไฟล์การคำนวณ Excel ที่แสดงด้านล่างนี้ไม่ใช่โปรแกรมในกรณีนี้ แต่เป็นภาพร่างของเครื่องคิดเลข อัลกอริธึม และเทมเพลตที่ตามมาในแต่ละกรณี สร้างลำดับสูตรของคุณเองสำหรับเซลล์ที่มีการเติมสีเหลืองสดใส.

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาจุดศูนย์ถ่วงของส่วนใด ๆ แล้ว! การคำนวณที่สมบูรณ์ของลักษณะทางเรขาคณิตทั้งหมดของส่วนคอมโพสิตที่ซับซ้อนโดยพลการจะได้รับการพิจารณาในบทความที่กำลังจะมีขึ้นในส่วน "" ติดตามข่าวสารได้ที่บล็อก

สำหรับ การรับ ข้อมูลเกี่ยวกับการเปิดตัวบทความใหม่ และสำหรับ ดาวน์โหลดไฟล์โปรแกรมทำงาน ฉันขอให้คุณสมัครรับประกาศในหน้าต่างที่อยู่ท้ายบทความหรือในหน้าต่างที่ด้านบนของหน้า

หลังจากกรอกที่อยู่อีเมลของคุณและคลิกที่ปุ่ม “รับประกาศบทความ” อย่าลืม ยืนยันการสมัครสมาชิกของคุณ โดยคลิกที่ลิงค์ ในจดหมายที่จะถึงคุณทันทีตามที่อยู่อีเมลที่ระบุ (บางครั้งอยู่ในโฟลเดอร์ « สแปม » )!

คำสองสามคำเกี่ยวกับแก้ว เหรียญ และส้อมสองอันซึ่งปรากฎใน "ไอคอนภาพประกอบ" ในตอนต้นของบทความ หลายท่านคงคุ้นเคยกับ "เคล็ดลับ" นี้อย่างแน่นอน ซึ่งกระตุ้นให้เกิดสายตาชื่นชมจากเด็กและผู้ใหญ่ที่ไม่ได้ฝึกหัด หัวข้อของบทความนี้คือจุดศูนย์ถ่วง เขาและจุดศูนย์กลางกำลังเล่นกับจิตสำนึกและประสบการณ์ของเราที่หลอกจิตใจเรา!

จุดศูนย์ถ่วงของระบบ “fork+coin” จะอยู่ที่ตำแหน่งเสมอ ที่ตายตัวระยะทาง ในแนวตั้งลงจากขอบเหรียญซึ่งเป็นจุดศูนย์กลาง นี่คือตำแหน่งของสมดุลที่มั่นคง!หากคุณเขย่าส้อม จะเห็นได้ชัดทันทีว่าระบบพยายามที่จะยึดตำแหน่งที่มั่นคงก่อนหน้านี้! ลองนึกภาพลูกตุ้ม - จุดยึด (=จุดรองรับเหรียญบนขอบกระจก) แกนแกนของลูกตุ้ม (=ในกรณีของเรา แกนนั้นเป็นเสมือน เนื่องจากมีมวลของส้อมทั้งสอง กระจายไปในทิศทางต่างๆ ในอวกาศ) และโหลดที่ด้านล่างของแกน (=จุดศูนย์ถ่วงของระบบ “ส้อม” + เหรียญทั้งหมด") หากคุณเริ่มหันเหลูกตุ้มจากแนวตั้งไปในทิศทางใด ๆ (ไปข้างหน้า, ถอยหลัง, ซ้าย, ขวา) จากนั้นมันจะกลับสู่ตำแหน่งเดิมอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง สภาวะสมดุลที่มั่นคง(สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับส้อมและเหรียญของเรา)!

ถ้าไม่เข้าใจแต่อยากเข้าใจก็ลองคิดเอาเอง การ "ไปที่นั่น" ด้วยตัวเองเป็นเรื่องที่น่าสนใจมาก! ฉันจะเสริมว่ามีการใช้หลักการเดียวกันของการใช้สมดุลที่เสถียรในของเล่น Vanka-stand-up ด้วย เฉพาะจุดศูนย์ถ่วงของของเล่นชิ้นนี้เท่านั้นที่อยู่เหนือจุดศูนย์กลาง แต่อยู่ใต้จุดศูนย์กลางของซีกโลกของพื้นผิวรองรับ

ฉันดีใจเสมอที่ได้เห็นความคิดเห็นของคุณผู้อ่านที่รัก!!!

โปรด การเคารพ ผลงานของผู้เขียน ดาวน์โหลดไฟล์ หลังจากสมัครสมาชิก สำหรับการประกาศบทความ