มวลของระบบ ศูนย์กลางของมวล การหาจุดศูนย์กลางมวล สูตรหามวลของผลรวมมวลของจุดวัสดุ

ระบบเครื่องกล

ระบบกลไกคือชุดของจุดวัสดุ:- เคลื่อนที่ตามกฎของกลศาสตร์คลาสสิก และ - มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างกันและกับเนื้อหาที่ไม่รวมอยู่ในชุดนี้

น้ำหนัก

มวลปรากฏในธรรมชาติได้หลายวิธี

มวลแรงโน้มถ่วงแบบพาสซีฟแสดงให้เห็นแรงที่ร่างกายมีปฏิกิริยากับสนามโน้มถ่วงภายนอก ที่จริงแล้ว มวลนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการวัดมวลโดยการชั่งน้ำหนักในมาตรวิทยาสมัยใหม่

มวลความโน้มถ่วงเชิงแอคทีฟแสดงให้เห็นว่าสนามโน้มถ่วงที่ร่างกายนี้สร้างขึ้นเอง - มวลโน้มถ่วงปรากฏในกฎแรงโน้มถ่วงสากล

มวลเฉื่อยแสดงถึงลักษณะความเฉื่อยของวัตถุและปรากฏในกฎข้อที่สองของนิวตันข้อใดข้อหนึ่ง ถ้าแรงตามอำเภอใจในกรอบอ้างอิงไวเนเชียลเร่งวัตถุที่ไม่เคลื่อนไหวตั้งแต่แรกต่างกันเท่ากัน วัตถุเหล่านี้จะมีมวลเฉื่อยเท่ากัน

มวลความโน้มถ่วงและมวลเฉื่อยมีค่าเท่ากัน (ด้วยความแม่นยำสูง - ประมาณ 10 −13 - ในเชิงทดลองและในทฤษฎีกายภาพส่วนใหญ่ รวมถึงทั้งหมดที่ได้รับการยืนยันจากการทดลอง - อย่างแน่นอน) ดังนั้นในกรณีที่เราไม่ได้พูดถึง “ ฟิสิกส์ใหม่” พวกเขาแค่พูดถึงมวลโดยไม่ได้ระบุว่าหมายถึงอะไร

ในกลศาสตร์คลาสสิก มวลของระบบร่างกายเท่ากันผลรวมของมวลของวัตถุที่เป็นส่วนประกอบ ในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ มวลไม่ใช่ปริมาณทางกายภาพที่บวก กล่าวคือ มวลของระบบในกรณีทั่วไปไม่เท่ากับผลรวมของมวลของส่วนประกอบต่างๆ แต่รวมถึงพลังงานยึดเหนี่ยวด้วยและขึ้นอยู่กับลักษณะของการเคลื่อนที่ของ อนุภาคที่สัมพันธ์กัน

จุดศูนย์กลางมวล - (ในกลศาสตร์) จุดเรขาคณิตที่แสดงลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุหรือระบบของอนุภาคโดยรวม มันไม่เหมือนกับแนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วง (แม้ว่าส่วนใหญ่มักจะเกิดขึ้นพร้อมกันก็ตาม)

ตำแหน่งศูนย์กลางมวล (ศูนย์กลางความเฉื่อย) ของระบบจุดวัสดุในกลศาสตร์คลาสสิกถูกกำหนดดังนี้:

โดยที่เวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวลคือเวกเตอร์รัศมี ฉันจุดของระบบ - มวล ฉันจุดที่

สำหรับกรณีการกระจายมวลอย่างต่อเนื่อง:

โดยที่มวลรวมของระบบ คือปริมาตร และคือความหนาแน่น จุดศูนย์กลางมวลจึงเป็นลักษณะการกระจายตัวของมวลเหนือวัตถุหรือระบบของอนุภาค

สามารถแสดงได้ว่าหากระบบไม่ได้ประกอบด้วยจุดวัสดุ แต่ประกอบด้วยวัตถุที่ขยายออกด้วยมวล แล้วเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวลของระบบดังกล่าวจะสัมพันธ์กับเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุโดย ความสัมพันธ์:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในกรณีของวัตถุที่ขยายออก สูตรนี้ใช้ได้ โครงสร้างของมันสอดคล้องกับที่ใช้สำหรับจุดวัสดุ

ในด้านกลศาสตร์!!!

แนวคิดเรื่องจุดศูนย์กลางมวลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในกลศาสตร์และฟิสิกส์

การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งถือได้ว่าเป็นการซ้อนทับของการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลและการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายรอบจุดศูนย์กลางมวล ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางมวลจะเคลื่อนที่ในลักษณะเดียวกับวัตถุที่มีมวลเท่ากัน แต่ขนาดที่เล็กมาก (จุดวัสดุ) จะเคลื่อนที่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอย่างหลังหมายความว่ากฎของนิวตันทั้งหมดมีผลบังคับใช้ในการอธิบายการเคลื่อนไหวนี้ ในหลายกรณี คุณสามารถเพิกเฉยต่อขนาดและรูปร่างของร่างกายได้โดยสิ้นเชิง และพิจารณาเฉพาะการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลเท่านั้น

การพิจารณาการเคลื่อนที่ของระบบปิดในกรอบอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับจุดศูนย์กลางมวลมักจะสะดวก ระบบอ้างอิงดังกล่าวเรียกว่าศูนย์กลางของระบบมวล (C-system) หรือศูนย์กลางของระบบเฉื่อย ในนั้น โมเมนตัมรวมของระบบปิดจะยังคงเท่ากับศูนย์เสมอ ซึ่งทำให้สมการการเคลื่อนที่ของระบบปิดง่ายขึ้น

จุดศูนย์กลางมวลของร่างเนื้อเดียวกัน

ส่วนนี้มีตรงกลาง

สำหรับรูปหลายเหลี่ยม (ทั้งรูปทรงแบนทึบและกรอบ):

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีจุดตัดกันของเส้นทแยงมุม

สามเหลี่ยมมีจุดตัดกันของค่ามัธยฐาน ( เซนทรอยด์).

รูปหลายเหลี่ยมปกติมีจุดศูนย์กลางของสมมาตรในการหมุน

ครึ่งวงกลมมีจุดที่แบ่งรัศมีตั้งฉากในอัตราส่วน 4:3π จากจุดศูนย์กลางของวงกลม

โมเมนตัม = แรงกระตุ้น

ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบ (แรงกระตุ้นของระบบ)

ปริมาณการเคลื่อนไหว (แรงกระตุ้นของร่างกาย)– ปริมาณทางกายภาพเวกเตอร์ เท่ากับผลคูณของมวลของร่างกายและความเร็ว:

แรงกระตุ้น (ปริมาณการเคลื่อนไหว) เป็นหนึ่งในลักษณะพื้นฐานที่สุดของการเคลื่อนไหวของร่างกายหรือระบบของร่างกาย

ลองเขียนกฎข้อที่ 2 ของนิวตันในรูปแบบอื่น โดยคำนึงถึงความเร่งนั้นด้วยเหตุนี้

ผลคูณของแรงและเวลาของการกระทำนั้นเท่ากับการเพิ่มขึ้นของโมเมนตัมของร่างกาย (รูปที่ 1):

แรงกระตุ้นอยู่ที่ไหน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ของแรงนั้นไม่เพียงขึ้นอยู่กับค่าของมันเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับระยะเวลาของการกระทำด้วย

รูปที่ 1

ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบ (แรงกระตุ้น) จะเรียกว่าปริมาณเวกเตอร์เท่ากับผลรวมเรขาคณิต (เวกเตอร์หลัก) ของปริมาณการเคลื่อนที่ (แรงกระตุ้น) ของทุกจุดของระบบ(รูปที่ 2):

จากภาพวาดชัดเจนว่าไม่ว่าค่าของความเร็วของจุดของระบบจะเป็นอย่างไร (เว้นแต่ว่าความเร็วเหล่านี้จะขนานกัน) เวกเตอร์สามารถรับค่าใด ๆ และกลายเป็นศูนย์ได้เมื่อ รูปหลายเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์จะปิดลง ด้วยเหตุนี้ จึงไม่สามารถใช้ขนาดเพื่อตัดสินธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของระบบได้อย่างเต็มที่

รูปที่ 2

เรามาค้นหาสูตรที่ทำให้คำนวณค่าได้ง่ายขึ้นมากและเข้าใจความหมายของมันด้วย

จากความเท่าเทียมกัน

มันเป็นไปตามนั้น

เราหาอนุพันธ์ของเวลาของทั้งสองข้างมา

จากที่นี่เราพบว่า

ปริมาณการเคลื่อนที่ (โมเมนตัม) ของระบบเท่ากับผลคูณของมวลของระบบทั้งหมดและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล . ผลลัพธ์นี้สะดวกเป็นพิเศษเมื่อคำนวณปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง

จากสูตรเป็นที่ชัดเจนว่าหากวัตถุ (หรือระบบ) เคลื่อนที่ในลักษณะที่จุดศูนย์กลางมวลยังคงนิ่ง โมเมนตัมของร่างกายจะเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น โมเมนตัมของวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่ที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลจะเป็นศูนย์

หากการเคลื่อนไหวของร่างกายมีความซับซ้อน ค่านั้นจะไม่แสดงถึงลักษณะการหมุนของการเคลื่อนไหวรอบจุดศูนย์กลางมวล ตัวอย่างเช่น สำหรับล้อกลิ้ง ไม่ว่าล้อจะหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลอย่างไรก็ตาม กับ.

ดังนั้น, โมเมนตัมเป็นเพียงลักษณะการเคลื่อนที่ของระบบเท่านั้น ในการเคลื่อนที่เชิงซ้อน ปริมาณจะแสดงลักษณะเฉพาะเฉพาะส่วนที่แปลของการเคลื่อนที่ของระบบร่วมกับจุดศูนย์กลางมวล

ประเด็นหลักคือปริมาณ เอสทีวี ดีวี การปล่อย (แรงกระตุ้น) ของระบบ

โมเมนตัมหลักของโมเมนตัม (หรือโมเมนตัมจลน์) ของระบบสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางที่กำหนด เกี่ยวกับเรียกว่าปริมาณเท่ากับผลรวมเรขาคณิตของโมเมนต์ของปริมาณการเคลื่อนที่ของทุกจุดของระบบที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางนี้

โมเมนต์ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบสัมพันธ์กับแกนพิกัดจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน:

ในกรณีนี้ พวกมันจะแสดงเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนพิกัดพร้อมกัน

โมเมนตัมของระบบเป็นคุณลักษณะหนึ่งของการเคลื่อนที่เชิงแปลของมันฉันใด โมเมนตัมหลักของระบบคือลักษณะของการเคลื่อนที่แบบหมุนของระบบ

รูปที่ 6

เพื่อทำความเข้าใจความหมายเชิงกลของปริมาณ ล 0 และมีสูตรที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา เราคำนวณโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่ (รูปที่ 6) ยิ่งไปกว่านั้น ตามปกติแล้ว คำจำกัดความของเวกเตอร์ ลงมาเพื่อกำหนดการคาดการณ์

ก่อนอื่นให้เราหาสูตรที่สำคัญที่สุดสำหรับการใช้งานซึ่งจะกำหนดปริมาณ ล z เช่น โมเมนต์จลน์ของวัตถุที่กำลังหมุนสัมพันธ์กับแกนการหมุน

สำหรับจุดใดๆ บนตัวเครื่องที่อยู่ห่างจากแกนหมุน ความเร็วจะเท่ากับ ดังนั้นสำหรับจุดนี้ จากนั้นสำหรับทั้งร่างกาย เราได้นำปัจจัยร่วม ω ออกจากวงเล็บ

ค่าในวงเล็บแสดงถึงโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกน z- ในที่สุดเราก็พบ

ดังนั้น, โมเมนต์จลน์ของวัตถุที่กำลังหมุนสัมพันธ์กับแกนของการหมุนนั้นเท่ากับผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่สัมพันธ์กับแกนนี้และความเร็วเชิงมุมของวัตถุ

หากระบบประกอบด้วยวัตถุหลายชิ้นที่หมุนรอบแกนเดียวกันก็จะมีแน่นอน

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นความคล้ายคลึงระหว่างสูตรกับ: ปริมาณการเคลื่อนที่เท่ากับผลคูณของมวล (ปริมาณที่แสดงถึงความเฉื่อยของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปล) และความเร็ว โมเมนต์จลน์เท่ากับผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อย (ค่าที่แสดงถึงความเฉื่อยของวัตถุระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน) และความเร็วเชิงมุม

ในส่วนนี้เราจะพิจารณารายละเอียดเกี่ยวกับกรณีพิเศษของระบบแรงขนานจริงๆ กล่าวคือ ตัววัตถุหรือระบบของจุดวัตถุ (อนุภาคแยก) ที่ตั้งอยู่บนโลกจะขึ้นอยู่กับการกระทำของแรงโน้มถ่วง ดังนั้นแต่ละอนุภาคของระบบกลไกดังกล่าวจึงได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วงของมัน พูดอย่างเคร่งครัด กองกำลังทั้งหมดเหล่านี้มุ่งตรงไปยังจุดหนึ่งไปยังศูนย์กลางของโลก แต่เนื่องจากขนาดของวัตถุบนโลกนั้นเล็กมากเมื่อเทียบกับรัศมีของโลก (เราถือว่าปริมาตรที่มีอนุภาคแยกกันนั้นมีขนาดเล็กเช่นกัน) ดังนั้นด้วยความแม่นยำในระดับสูงแรงเหล่านี้จึงถือได้ว่าขนานกัน ย่อหน้านี้เน้นไปที่การนำระบบกำลังนี้มาพิจารณา

ความถ่วงจำเพาะ

ให้เราเลือกอนุภาคมูลฐานในร่างกายที่มีปริมาตรน้อยจนสามารถกำหนดตำแหน่งได้ด้วยเวกเตอร์รัศมีหนึ่งตัว ให้น้ำหนักของอนุภาคนี้เป็นปริมาณ

เรียกว่าความถ่วงจำเพาะและปริมาณ

ความหนาแน่นของร่างกาย

ในระบบหน่วย SI น้ำหนักเฉพาะจะมีมิติ

และความหนาแน่น

โดยทั่วไป ความถ่วงจำเพาะและความหนาแน่นเป็นฟังก์ชันของพิกัดของจุดของร่างกาย ถ้าเหมือนกันทุกจุด ร่างกายจะเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน

ผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงเบื้องต้นทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมและแสดงถึงน้ำหนักของร่างกาย จุดศูนย์กลางของแรงขนานเหล่านี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

แน่นอนว่าตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงในร่างกายไม่ได้ขึ้นอยู่กับการวางแนวของร่างกายในอวกาศ ข้อความนี้ต่อจากข้อสังเกตก่อนหน้านี้ว่าจุดศูนย์กลางของแรงขนานไม่เปลี่ยนตำแหน่งเมื่อแรงทั้งหมดหมุนรอบจุดกระทำด้วยมุมเดียวกัน

สูตรที่กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายและระบบอนุภาคที่แยกจากกัน

ในการหาจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย เราจะแบ่งมันออกเป็นอนุภาคเล็กๆ ที่มีปริมาตร . เราใช้แรงโน้มถ่วงเท่ากันกับแต่ละอัน

ผลลัพธ์ของแรงขนานเหล่านี้เท่ากับน้ำหนักของร่างกายซึ่งเราแสดงด้วย

เวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายซึ่งเราแสดงด้วย ถูกกำหนดโดยสูตรของย่อหน้าก่อนหน้าซึ่งเป็นศูนย์กลางของแรงขนาน เท่านี้เราก็จะได้

ถ้าจุดศูนย์ถ่วงของระบบอนุภาคที่แยกจากกันถูกกำหนดไว้ ความถ่วงจำเพาะของอนุภาค V ก็คือปริมาตร ซึ่งเป็นเวกเตอร์รัศมีที่กำหนดตำแหน่งของอนุภาค สูตรสุดท้ายจะกำหนดจุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาคที่แยกจากกันในกรณีนี้

หากระบบกลไกเป็นวัตถุที่เกิดจากการรวมตัวกันของอนุภาคอย่างต่อเนื่องจากนั้นในขอบเขตของผลรวมของสูตรสุดท้ายพวกมันจะกลายเป็นปริพันธ์และเวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

โดยที่อินทิกรัลขยายไปทั่วปริมาตรของร่างกาย

หากร่างกายเป็นเนื้อเดียวกันสูตรสุดท้ายจะมีรูปแบบ:

โดยที่ V คือปริมาตรของทั้งร่างกาย

ดังนั้น เมื่อร่างกายเป็นเนื้อเดียวกัน การกำหนดจุดศูนย์ถ่วงจึงลดลงเป็นปัญหาทางเรขาคณิตล้วนๆ ในกรณีนี้ เราพูดถึงจุดศูนย์ถ่วงของปริมาตร

จุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย

แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงที่นำมาใช้นั้นเหมาะสมสำหรับวัตถุต่างๆ เท่านั้น (เล็กเมื่อเทียบกับขนาดของโลก) ซึ่งตั้งอยู่ใกล้กับพื้นผิวโลก ในเวลาเดียวกันวิธีการคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงทำให้สามารถใช้คำนวณพิกัดของจุดที่แสดงลักษณะการกระจายตัวของสสารในร่างกายได้ ในการทำเช่นนี้ เราไม่ควรคำนึงถึงน้ำหนักของอนุภาค แต่พิจารณามวลของอนุภาคด้วย แต่ละอนุภาคของร่างกายที่มีปริมาตรจะมีมวล

และแทนที่สูตรที่ได้รับก่อนหน้านี้ด้วยเราจะได้ความเท่าเทียมกัน:

ซึ่งกำหนดจุดที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางมวลหรือจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของร่างกาย

ถ้าระบบประกอบด้วยจุดวัสดุที่มีมวล จุดศูนย์กลางมวลของระบบจะพบตามสูตร:

มวลของระบบทั้งหมดอยู่ที่ไหน เวกเตอร์รัศมีของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายขึ้นอยู่กับการเลือกต้นกำเนิดของพิกัด O หากเลือกจุดศูนย์กลางความเฉื่อยเป็นจุดเริ่มต้นของพิกัด มันจะเท่ากับศูนย์:

แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงสามารถนำเสนอได้โดยอิสระจากแนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วง ด้วยเหตุนี้จึงสามารถใช้ได้กับระบบกลไกต่างๆ

ช่วงเวลาที่คงที่

นิพจน์นี้เรียกว่าโมเมนต์คงที่ของน้ำหนัก ปริมาตร และมวลของร่างกายตามลำดับซึ่งสัมพันธ์กับจุด O ถ้าเราเลือกจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายเป็นจุด (ต้นกำเนิดของพิกัด) จากนั้นโมเมนต์คงที่ของร่างกาย สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวลจะเท่ากับศูนย์ซึ่งจะถูกนำมาใช้ซ้ำๆ ในอนาคต

วิธีการคำนวณจุดศูนย์กลางมวล

ในกรณีของวัตถุที่มีรูปร่างซับซ้อน การหาพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลโดยใช้สูตรทั่วไปที่ให้ไว้ข้างต้น มักจะต้องใช้การคำนวณที่ต้องใช้ความอุตสาหะ ในบางกรณี อาจทำให้ง่ายขึ้นอย่างมากหากคุณใช้วิธีการต่อไปนี้

1) วิธีสมมาตร ให้ร่างกายมีศูนย์กลางของความสมมาตรของวัตถุ ซึ่งหมายความว่าแต่ละอนุภาคที่มีเวกเตอร์มวลและรัศมีที่ดึงมาจากจุดศูนย์กลางนี้จะสอดคล้องกับอนุภาคที่มีเวกเตอร์มวลและรัศมีเท่ากัน ในกรณีนี้ โมเมนต์คงที่ของมวลกายจะหายไปและ

ด้วยเหตุนี้ จุดศูนย์กลางมวลจะตรงกับจุดศูนย์กลางมวลสมมาตรของร่างกายในกรณีนี้ สำหรับวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน หมายความว่าจุดศูนย์กลางมวลเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตของปริมาตรของร่างกาย หากวัตถุมีระนาบสมมาตรของวัตถุ จุดศูนย์กลางมวลก็จะอยู่ในระนาบนี้ หากวัตถุสมมาตรรอบแกน จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่บนแกนนี้

จุดศูนย์ถ่วง(หรือ ศูนย์กลางของมวล) ของร่างใดร่างหนึ่งเป็นจุดที่มีคุณสมบัติว่าหากร่างนั้นถูกระงับจากจุดนี้ก็จะคงตำแหน่งไว้

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาปัญหาสองมิติและสามมิติที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาจุดศูนย์กลางมวลต่างๆ - ส่วนใหญ่มาจากมุมมองของเรขาคณิตเชิงคำนวณ

ในแนวทางแก้ไขที่กล่าวถึงด้านล่าง สามารถแยกแยะได้ 2 วิธีหลัก: ข้อเท็จจริง- ประการแรกคือจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัตถุเท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัดของมัน โดยคำนวณด้วยสัมประสิทธิ์สัดส่วนกับมวลของมัน ข้อเท็จจริงประการที่สองคือ ถ้าเรารู้จุดศูนย์กลางมวลของตัวเลขที่ไม่ตัดกันสองตัว จุดศูนย์กลางมวลของสหภาพจะอยู่บนส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองนี้ และมันจะหารมันในอัตราส่วนเดียวกันกับมวลของ รูปที่สองเกี่ยวข้องกับมวลของรูปแรก

กรณีสองมิติ: รูปหลายเหลี่ยม

ที่จริงแล้ว เมื่อพูดถึงจุดศูนย์กลางมวลของรูปสองมิติ เราอาจหมายถึงหนึ่งในสามรูปต่อไปนี้ก็ได้ งาน:

• จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด - เช่น มวลทั้งหมดจะกระจุกตัวอยู่ที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเท่านั้น
• จุดศูนย์กลางมวลของเฟรม - เช่น มวลของรูปหลายเหลี่ยมจะกระจุกตัวอยู่ที่เส้นรอบรูป
• จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงของแข็ง - เช่น มวลของรูปหลายเหลี่ยมจะกระจายไปทั่วพื้นที่

ปัญหาเหล่านี้แต่ละปัญหามีวิธีแก้ไขที่แยกจากกัน และจะมีการหารือแยกกันด้านล่าง

จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด

นี่เป็นปัญหาที่ง่ายที่สุดจากสามปัญหา และวิธีการแก้คือสูตรทางกายภาพที่รู้จักกันดีสำหรับจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุ:

โดยที่มวลของจุดคือเวกเตอร์รัศมี (ระบุตำแหน่งที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด) และเป็นเวกเตอร์รัศมีที่ต้องการของจุดศูนย์กลางมวล

โดยเฉพาะถ้าทุกจุดมีมวลเท่ากัน พิกัดจุดศูนย์กลางมวลก็จะเป็นเช่นนี้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตพิกัดของจุด สำหรับ สามเหลี่ยมจุดนี้เรียกว่า เซนทรอยด์และเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของค่ามัธยฐาน:

สำหรับ การพิสูจน์สูตรเหล่านี้เพียงพอที่จะจำไว้ว่าความสมดุลจะเกิดขึ้น ณ จุดที่ผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ สิ่งนี้จะกลายเป็นเงื่อนไขว่าผลรวมของเวกเตอร์รัศมีของจุดทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุดนั้นคูณด้วยมวลของจุดที่สอดคล้องกันนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์:

และแสดงจากที่นี่ เราได้รับสูตรที่ต้องการ

กรอบศูนย์กลางมวล

แต่แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมสามารถถูกแทนที่ด้วยจุดหนึ่ง - จุดกึ่งกลางของส่วนนี้ (เนื่องจากศูนย์กลางของมวลของส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันคือจุดศูนย์กลางของส่วนนี้) โดยมีมวลเท่ากับความยาวของส่วนนี้

ตอนนี้เรามีปัญหาเกี่ยวกับระบบคะแนนวัตถุ และนำวิธีแก้ปัญหาจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ไปใช้ เราพบว่า:

โดยที่จุดกึ่งกลางของด้านที่ 1 ของรูปหลายเหลี่ยมคือความยาวของด้านที่ 1 คือเส้นรอบวง เช่น ผลรวมของความยาวของด้าน

สำหรับ สามเหลี่ยมสามารถแสดงคำสั่งต่อไปนี้: จุดนี้ก็คือ จุดตัดแบ่งครึ่งสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสามเหลี่ยมเดิม (เพื่อแสดงสิ่งนี้ คุณต้องใช้สูตรด้านบน จากนั้นสังเกตว่าเส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านข้างของสามเหลี่ยมที่ได้ในอัตราส่วนเดียวกันกับจุดศูนย์กลางมวลของด้านเหล่านี้)

จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงของแข็ง

เราเชื่อว่ามวลมีการกระจายสม่ำเสมอทั่วร่าง เช่น ความหนาแน่นในแต่ละจุดของรูปจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน

เคสสามเหลี่ยม

มีการแย้งว่าสำหรับรูปสามเหลี่ยมคำตอบจะเหมือนกัน เซนทรอยด์, เช่น. จุดที่เกิดจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอด:

กรณีสามเหลี่ยม: หลักฐาน

ต่อไปนี้เราจะให้ข้อพิสูจน์เบื้องต้นที่ไม่ได้ใช้ทฤษฎีปริพันธ์

อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว แต่มันก็ซับซ้อนมากด้วยโครงสร้างทางเรขาคณิตจำนวนมาก หลักฐานที่ให้ไว้ในที่นี้นำมาจากบทความ "Finding Centroids the Easy Way" โดย Apostol, Mnatsakanian

ข้อพิสูจน์สรุปได้ว่าจุดศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยมนั้นอยู่บนค่ามัธยฐานอันใดอันหนึ่ง โดยการทำซ้ำขั้นตอนนี้อีกสองครั้ง เราจะแสดงว่าจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานซึ่งก็คือเซนทรอยด์

ลองแบ่งสามเหลี่ยมนี้ออกเป็นสี่ส่วนโดยเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านข้างดังแสดงในรูป:

สามเหลี่ยมผลลัพธ์ทั้งสี่จะคล้ายกับสามเหลี่ยมที่มีค่าสัมประสิทธิ์

สามเหลี่ยมหมายเลข 1 และหมายเลข 2 รวมกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยมีจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดกันของเส้นทแยงมุม (เนื่องจากเป็นตัวเลขที่มีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อเส้นทแยงมุมทั้งสอง ดังนั้นจุดศูนย์กลางของ มวลจะต้องอยู่บนเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นแต่ละเส้น) จุดนั้นตั้งอยู่ตรงกลางด้านร่วมของสามเหลี่ยมหมายเลข 1 และหมายเลข 2 และยังอยู่บนค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมด้วย:

ให้เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่ดึงจากจุดยอดถึงจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมหมายเลข 1 และให้เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุดนั้น (ซึ่งจำได้ว่าคือจุดศูนย์กลางของด้านที่มันอยู่) : :

เป้าหมายของเราคือการแสดงว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน

ให้เราแสดงด้วย และจุดที่เป็นจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมหมายเลข 3 และหมายเลข 4 เห็นได้ชัดว่าจุดศูนย์กลางมวลของเซตของสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะเป็นจุดซึ่งอยู่ตรงกลางของเซ็กเมนต์ นอกจากนี้ เวกเตอร์จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งยังเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์อีกด้วย

จุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมที่ต้องการนั้นอยู่ตรงกลางส่วนที่เชื่อมต่อจุดต่างๆ และ (เนื่องจากเราแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนของพื้นที่เท่ากัน: หมายเลข 1-หมายเลข 2 และหมายเลข 3-หมายเลข 4):

ดังนั้น เวกเตอร์จากจุดยอดถึงเซนทรอยด์คือ ในทางกลับกันเพราะว่า สามเหลี่ยมหมายเลข 1 คล้ายกับสามเหลี่ยมที่มีค่าสัมประสิทธิ์ จากนั้นเวกเตอร์เดียวกันจะเท่ากับ จากที่นี่เราจะได้สมการ:

ที่เราพบ:

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าเวกเตอร์และอยู่ในแนวเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเซนทรอยด์ที่ต้องการนั้นอยู่บนค่ามัธยฐานที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอด

ยิ่งไปกว่านั้น ตลอดทางเราได้พิสูจน์ว่าเซนทรอยด์แบ่งค่ามัธยฐานแต่ละตัวเป็นอัตราส่วน นับจากจุดยอด

เคสรูปหลายเหลี่ยม

ตอนนี้เรามาดูกรณีทั่วไปกันดีกว่า - เช่น ถึงโอกาส รูปหลายเหลี่ยม- สำหรับเขา การใช้เหตุผลดังกล่าวใช้ไม่ได้อีกต่อไป ดังนั้นเราจึงลดปัญหาให้เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ เราแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม (นั่นคือ เป็นรูปสามเหลี่ยม) หาจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมแต่ละรูป แล้วหาจุดศูนย์กลางของ มวลของจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น

สูตรสุดท้ายมีดังนี้:

โดยที่เซนทรอยด์ของสามเหลี่ยมที่ th อยู่ในรูปสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดคือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ 3 ของรูปสามเหลี่ยมคือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด

การหาตำแหน่งสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นงานที่ไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้รูปสามเหลี่ยมได้ โดยที่ .

กรณีรูปหลายเหลี่ยม: ทางเลือกอื่น

ในทางกลับกันการใช้สูตรข้างต้นไม่สะดวกนัก รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนเนื่องจากการหาตำแหน่งสามเหลี่ยมนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายในตัวเอง แต่สำหรับรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว คุณสามารถหาวิธีที่ง่ายกว่านี้ได้ กล่าวคือลองวาดการเปรียบเทียบกับวิธีที่คุณสามารถค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ: เลือกจุดที่ต้องการจากนั้นจึงสรุปพื้นที่เครื่องหมายของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดนี้และจุดของรูปหลายเหลี่ยม: . เทคนิคที่คล้ายกันนี้สามารถใช้ในการค้นหาจุดศูนย์กลางมวล: ตอนนี้เราจะรวมจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมที่นำมาด้วยสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วนของพื้นที่ของมัน เช่น สูตรสุดท้ายสำหรับจุดศูนย์กลางมวลคือ:

โดยที่เป็นจุดใดก็ได้, คือจุดของรูปหลายเหลี่ยม, เป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม, คือพื้นที่ที่ลงนามของรูปสามเหลี่ยมนี้, คือพื้นที่ที่ลงนามของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด (เช่น)

กรณีสามมิติ: รูปทรงหลายเหลี่ยม

เช่นเดียวกับกรณีสองมิติ ในแบบ 3 มิติ เราสามารถพูดถึงสูตรที่เป็นไปได้ของปัญหาสี่สูตรได้ทันที:

• จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด - จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• จุดศูนย์กลางมวลของเฟรมคือขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• จุดศูนย์กลางมวลของพื้นผิว - เช่น มวลถูกกระจายไปทั่วพื้นที่ผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นของแข็ง - เช่น มวลจะกระจายไปทั่วรูปทรงหลายเหลี่ยม

จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด

เช่นเดียวกับในกรณีสองมิติ เราสามารถใช้สูตรทางกายภาพและได้ผลลัพธ์เดียวกัน:

ซึ่งในกรณีมีมวลเท่ากันจะกลายเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดทุกจุด

จุดศูนย์กลางมวลของโครงโพลีเฮดรอน

เช่นเดียวกับกรณีสองมิติ เราเพียงแค่แทนที่แต่ละขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยจุดวัสดุที่อยู่ตรงกลางของขอบนี้ และมีมวลเท่ากับความยาวของขอบนี้ เมื่อได้รับปัญหาเรื่องจุดวัตถุ เราก็หาวิธีแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายโดยเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของพิกัดของจุดเหล่านี้

จุดศูนย์กลางมวลของพื้นผิวรูปทรงหลายเหลี่ยม

แต่ละด้านของพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปสองมิติ ซึ่งเป็นศูนย์กลางของมวลที่เราสามารถค้นหาได้ เมื่อพบจุดศูนย์กลางมวลเหล่านี้แล้วแทนที่หน้าแต่ละหน้าด้วยจุดศูนย์กลางมวลของมัน เราก็ประสบปัญหากับจุดวัสดุ ซึ่งแก้ไขได้ง่ายอยู่แล้ว

จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงหลายเหลี่ยมตัน

กรณีของจัตุรมุข

เช่นเดียวกับในกรณีสองมิติ ก่อนอื่นให้เราแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด นั่นก็คือปัญหาของจัตุรมุข

กล่าวกันว่าจุดศูนย์กลางมวลของจัตุรมุขเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของค่ามัธยฐาน (ค่ามัธยฐานของจัตุรมุขคือส่วนที่ลากจากจุดยอดไปยังจุดศูนย์กลางมวลของด้านตรงข้าม ดังนั้น ค่ามัธยฐานของจัตุรมุข ผ่านจุดยอดและผ่านจุดตัดของค่ามัธยฐานของหน้ารูปสามเหลี่ยม)

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? ในกรณีนี้ การให้เหตุผลที่คล้ายกับกรณีสองมิตินั้นถูกต้อง: ถ้าเราตัดจัตุรเฮดรอนออกเป็นสองจัตุรมุขโดยใช้ระนาบที่ผ่านจุดยอดของจัตุรมุขและค่ามัธยฐานของด้านตรงข้าม ทั้งสองผลลัพธ์ที่ได้จะมีปริมาตรเท่ากัน (เนื่องจาก หน้าสามเหลี่ยมจะถูกแบ่งโดยค่ามัธยฐานเป็นสามเหลี่ยมสองอันที่มีพื้นที่เท่ากัน และความสูงของจัตุรมุขทั้งสองจะไม่เปลี่ยนแปลง) จากการกล่าวข้อโต้แย้งเหล่านี้หลายครั้ง เราพบว่าจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานจัตุรมุข

จุดนี้ - จุดตัดของค่ามัธยฐานของจัตุรมุข - เรียกว่ามัน เซนทรอยด์- มันสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าจริง ๆ แล้วมันมีพิกัดเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอดจัตุรมุข:

(สามารถอนุมานได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเซนทรอยด์แบ่งค่ามัธยฐานตามอัตราส่วน)

ดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างกรณีของจัตุรมุขและสามเหลี่ยม: จุดเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดยอดคือจุดศูนย์กลางของมวลในสองสูตรของปัญหา: ทั้งเมื่อมวลอยู่ที่จุดยอดเท่านั้น และเมื่อมวลกระจายไปทั่วพื้นที่/ปริมาตร ในความเป็นจริง ผลลัพธ์นี้สรุปเป็นมิติใดก็ได้: จุดศูนย์กลางมวลของมิติใดก็ได้ เริม(ซิมเพล็กซ์) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอด

กรณีของรูปทรงหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ

ตอนนี้เรามาดูกรณีทั่วไปกัน - กรณีของรูปทรงหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ

เช่นเดียวกับในกรณีสองมิติ เราลดปัญหานี้ให้เหลือเป็นปัญหาที่ได้รับการแก้ไขแล้ว: เราแบ่งรูปทรงหลายเหลี่ยมออกเป็นทรงจัตุรมุข (เช่น เราสร้างทรงสี่หน้า) ค้นหาจุดศูนย์กลางมวลของแต่ละทรง และรับคำตอบสุดท้าย ปัญหาในรูปของผลรวมถ่วงน้ำหนักของศูนย์ที่พบโดยน้ำหนัก

จุดศูนย์กลางมวลคือจุดทางเรขาคณิตที่อยู่ภายในวัตถุซึ่งกำหนดการกระจายตัวของมวลของร่างกายนี้ เนื้อความใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของจุดวัสดุจำนวนหนึ่งได้ ในกรณีนี้ ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลจะเป็นตัวกำหนดเวกเตอร์รัศมี

สูตร 1 - รัศมีของจุดศูนย์กลางของเวกเตอร์มวล

mi คือมวลของจุดนี้

ri คือเวกเตอร์รัศมีของจุด

ถ้าคุณรวมมวลของจุดวัตถุทั้งหมด คุณจะได้มวลของวัตถุทั้งหมด ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลได้รับผลกระทบจากความสม่ำเสมอของการกระจายมวลเหนือปริมาตรของร่างกาย จุดศูนย์กลางมวลสามารถอยู่ได้ทั้งภายในและภายนอกร่างกาย สมมติว่าวงแหวน จุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ที่ไหนไม่มีสาระ. โดยทั่วไป สำหรับวัตถุสมมาตรที่มีการกระจายมวลสม่ำเสมอ จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ที่ศูนย์กลางของสมมาตรหรือบนแกนของมันเสมอ

รูปที่ 1 - จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุสมมาตร

หากมีการใช้แรงบางอย่างกับร่างกาย ร่างกายจะเริ่มเคลื่อนไหว ลองนึกภาพแหวนที่วางอยู่บนพื้นผิวโต๊ะ หากคุณออกแรงกดและเริ่มดัน มันจะเลื่อนไปตามพื้นผิวโต๊ะ แต่ทิศทางการเคลื่อนที่จะขึ้นอยู่กับบริเวณที่แรงกระทำ

ถ้าแรงถูกส่งจากขอบด้านนอกไปยังจุดศูนย์กลาง ตั้งฉากกับพื้นผิวด้านนอก วงแหวนจะเริ่มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงไปตามพื้นผิวโต๊ะในทิศทางของการใช้แรง ถ้าแรงถูกกระทำในวงสัมผัสกับรัศมีด้านนอกของวงแหวน วงแหวนนั้นจะเริ่มหมุนสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวล ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุประกอบด้วยผลรวมของการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวล กล่าวคือ การเคลื่อนไหวของวัตถุใดๆ สามารถอธิบายได้ด้วยการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุซึ่งอยู่ที่ศูนย์กลางมวลและมีมวลของวัตถุทั้งหมด

รูปที่ 2 - การเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนของวงแหวน

นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงด้วย โดยทั่วไปแล้ว นี่ไม่เหมือนกับจุดศูนย์กลางมวล จุดศูนย์ถ่วงคือจุดที่สัมพันธ์กับโมเมนต์แรงโน้มถ่วงทั้งหมดเป็นศูนย์ หากคุณจินตนาการถึงไม้เรียว ให้บอกว่ายาว 1 เมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 ซม. และมีขนาดหน้าตัดเท่ากัน ลูกบอลโลหะที่มีมวลเท่ากันจะถูกจับจ้องอยู่ที่ปลายแท่ง จากนั้นจุดศูนย์กลางมวลของแท่งนี้จะอยู่ตรงกลาง หากวางแท่งนี้ไว้ในสนามโน้มถ่วงที่ไม่สม่ำเสมอ จุดศูนย์ถ่วงจะเลื่อนไปทางความแรงของสนามที่มากขึ้น

รูปที่ 3 - วัตถุในสนามโน้มถ่วงที่ไม่สม่ำเสมอและสม่ำเสมอ

บนพื้นผิวโลกซึ่งมีแรงโน้มถ่วงสม่ำเสมอ จุดศูนย์กลางมวลเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์ถ่วง สำหรับสนามโน้มถ่วงคงที่ใดๆ จุดศูนย์ถ่วงจะตรงกับจุดศูนย์กลางมวลเสมอ

ถ้าเราไม่ลบ แต่บวกสมการ (6.1) เราก็จะได้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

มันสามารถเขียนใหม่อย่างเป็นทางการล้วนๆ เป็นกฎแห่งความคงตัวในเวลาที่มีความเร็ว Vc:

มาดูระบบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วกัน (6.4) ความเร็วของอนุภาค 1 และ 2 จะถูกแปลงดังนี้:

นั่นคือในกรอบอ้างอิงใหม่ พวกมันจะแสดงออกมาในรูปของความเร็วของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ ให้เราเชื่อมโยงความเร็ว Vc กับเวกเตอร์รัศมีของจุดใดจุดหนึ่ง รกับ:

โปรดทราบว่าคำจำกัดความ (6.6) เกิดขึ้นพร้อมกับแนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงซึ่งเป็นที่รู้จักจากหลักสูตรฟิสิกส์ของโรงเรียน เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราย้ายจุดกำเนิดของพิกัดไปยังจุดนั้น รกับ. จากนั้นเราได้รับความคล้ายคลึงกับ (6.5) อย่างสมบูรณ์

ดังนั้น,

(จุดศูนย์ถ่วงถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกันของผลิตภัณฑ์ของมวลและ "ไหล่") แต่คำจำกัดความ (6.4) และ (6.6) มีความถูกต้องและเป็นสากลมากกว่าเนื่องจากสามารถสรุปได้โดยไม่มีปัญหาใด ๆ กับจุดวัสดุจำนวนเท่าใดก็ได้และดังนั้นจึงเป็นเนื้อหาที่มองเห็นด้วยตาเปล่า จุด C ในกลศาสตร์ และในฟิสิกส์โดยทั่วไป มักเรียกว่าจุดศูนย์กลางมวลหรือจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของระบบจุดวัสดุ

ปล่อยให้ในระบบพิกัดเฉื่อยบางระบบระบุตำแหน่งของจุดโต้ตอบระหว่างจุดวัสดุกับมวล m 1, m 2, m N ในแต่ละช่วงเวลา t ด้วยเวกเตอร์รัศมี ร 1(ท) ร 2(ท) รยังไม่มีข้อความ

(ดูรูปที่ 6.3 ก) จากนั้นจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุที่พิจารณาคือจุดที่มีรัศมีเวกเตอร์ ร ร 1(ท) ร 2(ท) ร N (t) คะแนนวัสดุตาม

เราเน้นย้ำว่าในกรณีทั่วไป ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลไม่ตรงกับตำแหน่งของจุดวัสดุใดๆ ของระบบ (ดูรูปที่ 6.3 b) แม้ว่าบางครั้งสิ่งนี้ก็สามารถเกิดขึ้นได้

ข้าว. 6.3 จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุคือจุดที่มีรัศมีเวกเตอร์ ร c(t) แสดงในรูปของเวกเตอร์รัศมี ร 1(ท) ร 2(ท) ร N(t) จุดวัสดุ

ให้เราแยกความแตกต่างด้านซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน (6.7) ตามเวลา

อนุพันธ์ของเวกเตอร์รัศมีเทียบกับเวลา ตามนิยามคือความเร็ว ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้ก็คือ

โดยที่ Vc คือความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล v 1, v 2, v N คือความเร็วของจุดวัตถุ ปริมาณ m 1 v 1 in (6.8) คือโมเมนตัมของจุดวัสดุจุดแรก m 2 V 2 คือโมเมนตัมของจุดที่สอง เป็นต้น ดังนั้น ในวงเล็บปีกกาของนิพจน์ (6.8) คือผลรวมของแรงกระตุ้นของระบบของจุดวัสดุที่กำลังพิจารณา นั่นคือ แรงกระตุ้น P ของทั้งระบบ

ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน (6.8) จึงสามารถเขียนใหม่เป็น P = (m 1 + m 2 + m N )V c (6.9)

ในกรอบอ้างอิงที่จุดศูนย์กลางมวลอยู่นิ่ง

หากเราไม่สนใจการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดวัสดุ แต่สนใจการเคลื่อนที่ของระบบโดยรวม ระบบทั้งหมดก็ถือได้ว่าเป็นจุดวัสดุจุดเดียวที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว Vc และมีโมเมนตัม P จำได้ว่ามวล ของจุดวัตถุ ตามคำนิยามแล้ว คือสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนระหว่างแรงกระตุ้นและความเร็ว ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนในความเท่าเทียมกัน (6.9) ซึ่งอยู่ในวงเล็บปีกกาคือมวล M ของระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา:

M = ม. 1 + ม. 2 + ม. N, (6.10)

นั่นคือมวลของระบบจุดวัตถุเท่ากับผลรวมของมวลของจุดเหล่านี้ ความสัมพันธ์ (6.10) ซึ่งมวลของร่างกายที่ซับซ้อนเท่ากับผลรวมของมวลของส่วนต่างๆ ดูเหมือนจะคุ้นเคยและชัดเจนสำหรับเรา อย่างไรก็ตาม ดังที่เราจะได้เห็นในภายหลัง ในกลไกเชิงสัมพัทธภาพ (เช่น ในกรณีทั่วไป) สถานการณ์จะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ในกรณีที่จำกัดของกลศาสตร์ของนิวตัน ความเท่าเทียมกัน (6.10) เป็นกรณีพิเศษของกฎฟิสิกส์บางประการ - กฎการอนุรักษ์มวล

ในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอก เช่น สำหรับระบบปิด ผลรวมของแรงกระตุ้นของส่วนต่างๆ ของระบบไม่ขึ้นอยู่กับเวลา จากนั้นจาก (6.9) เป็นไปตามคุณสมบัติที่สำคัญของการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบปิดของจุดวัสดุ:

เช่น. จุดศูนย์กลางมวลของระบบปิดของจุดวัตถุนั้นไม่มีการเคลื่อนที่หรือ เคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงแม้ว่าจุดวัสดุแต่ละจุดจะสามารถเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนได้ ข้อความข้างต้นบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล

ตอนนี้เราจะพิสูจน์คุณสมบัติที่สำคัญของพลังงานจลน์ดังต่อไปนี้:

พลังงานจลน์ T ของระบบจุดวัสดุเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของมวลทั้งหมดของระบบ ซึ่งมีสมาธิอยู่ที่ศูนย์กลางมวลและเคลื่อนที่ไปพร้อมกับมัน และพลังงานจลน์ T ของระบบเดียวกันในสัมพัทธ์ การเคลื่อนที่ตามระบบอ้างอิง เคลื่อนที่โดยมีจุดศูนย์กลางมวล :

โดยที่ M = ม. 1 + ม. 2 + ม. N. Vc คือความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลในกรอบอ้างอิงดั้งเดิม v i คือความเร็วของจุดวัสดุที่ i สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับจุด C ระบบดังกล่าวมักเรียกว่า "ศูนย์กลางของระบบมวล" , “ศูนย์กลางของระบบความเฉื่อย” หรือเรียกง่ายๆ ว่า “ระบบ c” (ระบบอ้างอิงที่เกิดปัญหา หากระบบนี้ไม่ตรงกับระบบ c มักจะเรียกว่าระบบอ้างอิงในห้องปฏิบัติการหรือระบบ l)

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ขั้นแรกเราจะได้รับความสัมพันธ์ทั่วไปที่มากขึ้นในการเชื่อมต่อพลังงานจลน์ในระบบอ้างอิงสองระบบ (ดูรูปที่ 6.4) สำหรับพิกัดและความเร็วของจุดในระบบเก่า R i, V i และในระบบใหม่ r i, v i เราเขียนการแปลงแบบกาลิเลียน:

โดยที่ R คือเวกเตอร์รัศมีของการเปลี่ยนจากระบบเก่าไปเป็นระบบใหม่ และ V คือความเร็วของการเคลื่อนที่ของระบบใหม่สัมพันธ์กับระบบเก่าตามลำดับ

ข้าว. 6.4 การเชื่อมต่อพิกัดในระบบอ้างอิงสองระบบ

จากนั้นพลังงานจลน์ในกรอบอ้างอิงแบบเก่าสามารถแสดงเป็นได้

(6.12)

ทางด้านขวาของ (6.12) สามารถแสดงเป็นผลรวมสามค่า:

โดยที่ P คือโมเมนตัมรวมของระบบจุดวัสดุในกรอบอ้างอิงใหม่ ความสัมพันธ์ (6.13) โดยทั่วไปเรียกว่าทฤษฎีบทของโคนิก หากระบบใหม่เกิดขึ้นพร้อมกับระบบ q โมเมนตัมรวมในระบบจะเท่ากับศูนย์ V = Vc ซึ่งหมายความว่าความสัมพันธ์ (6.11) ยังคงอยู่

เพื่อสรุปส่วนนี้ เราสังเกตคุณสมบัติสำคัญสองประการที่ตามมาจากคำจำกัดความของจุดศูนย์กลางมวล ประการแรก อนุภาคใน (6.7) สามารถรวมกันเป็นกลุ่มใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่น:

จากตรงนี้ ตามที่เข้าใจง่าย จะพบว่าจุดศูนย์กลางมวลของระบบใดๆ ของวัตถุที่มองเห็นด้วยตาเปล่าสามารถหาได้ว่าเป็นจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัตถุ ภายใต้สมมติฐานว่ามวลของวัตถุแต่ละชิ้นมีความเข้มข้นอยู่ใน ศูนย์กลางมวลของตัวเอง

และประการที่สอง การย้ายจากการบวกใน (6.7) ไปเป็นอินทิเกรตไม่ใช่เรื่องยาก หากเราคำนวณตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุโดยมีการกระจายความหนาแน่นของสสารอย่างต่อเนื่อง ρ(t):