การพิสูจน์.พื้นที่ฉายภาพของรูปสามเหลี่ยม
ก) ให้ด้านใดด้านหนึ่งเช่น AC ของสามเหลี่ยม ABC ที่ฉายไว้ขนานกับเส้นตรง l=α∩π (รูปที่ 9) หรือนอนทับไว้

ตามทฤษฎีบทของเส้นตั้งฉากสามเส้น เส้น B 1 H 1 - เส้นโครงตั้งฉากของเส้น BH - ตั้งฉากกับเส้น l ดังนั้นส่วน B 1 H 1 คือความสูงของสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 . นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม ดังนั้น, .
b) ไม่มีด้านใดของสามเหลี่ยม ABC ที่ออกแบบไว้ขนานกับเส้นตรง l (รูปที่ 10) ผมจะลากเส้นผ่านแต่ละจุดยอดของสามเหลี่ยมขนานกับเส้น l เส้นหนึ่งอยู่ระหว่างอีกสองเส้น (ในรูปคือเส้น m) ดังนั้น จึงแยกสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสามเหลี่ยม ABD และ ACD โดยมีความสูง BH และ CE ตามลำดับ โดยลากไปที่ด้านร่วมของ AD (หรือเส้นต่อเนื่อง) ซึ่งขนานกัน l เส้น m 1 - เส้นโครงตั้งฉากของเส้น m - ยังแยกสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 - เส้นโครงตั้งฉากของสามเหลี่ยม ABC - เป็นรูปสามเหลี่ยม A 1 B 1 D 1 และ A 1 C 1 D 1 โดยที่ เมื่อพิจารณา (9) และ (10) แล้ว ฉันก็เข้าใจแล้ว

พิจารณาเครื่องบิน พี และเส้นตรงที่ตัดกัน - อนุญาต ก - จุดใดก็ได้ในอวกาศ ลองวาดเส้นตรงผ่านจุดนี้กัน ขนานไปกับเส้น - อนุญาต . จุด เรียกว่าการฉายภาพจุด กไปที่เครื่องบิน พีโดยมีการออกแบบขนานกันตามเส้นตรงที่กำหนด . เครื่องบิน พี ซึ่งจุดของพื้นที่ถูกฉายไปนั้นเรียกว่าระนาบการฉายภาพ

p - ระนาบการฉายภาพ;

- การออกแบบโดยตรง -

; ; ;

การออกแบบมุมฉากเป็นกรณีพิเศษของการออกแบบแบบขนาน การออกแบบมุมฉากคือการออกแบบแบบขนานโดยเส้นการออกแบบตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ การออกแบบมุมฉากถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายใน การวาดภาพทางเทคนิคโดยที่ภาพถูกฉายลงบนระนาบสามระนาบ - แนวนอนและแนวตั้งสองระนาบ

คำนิยาม: การฉายภาพมุมฉากของจุด มไปที่เครื่องบิน พีเรียกว่าฐาน ม.1ตั้งฉาก มม.1, หลุดออกจากจุด มไปที่เครื่องบิน พี.

การกำหนด: , , .

คำนิยาม: การฉายภาพในมุมฉาก เอฟไปที่เครื่องบิน พีคือเซตของจุดทุกจุดของระนาบที่เป็นจุดฉายมุมฉากของเซตจุดของรูป เอฟไปที่เครื่องบิน พี.

การออกแบบมุมฉากเป็นกรณีพิเศษของการออกแบบขนาน มีคุณสมบัติเหมือนกัน:

p - ระนาบการฉายภาพ;

- การออกแบบโดยตรง -

1) ;

2) , .

1. เส้นโครงของเส้นคู่ขนานนั้นขนานกัน

พื้นที่ฉายภาพแบบแบน

ทฤษฎีบท: พื้นที่ของการฉายภาพของรูปหลายเหลี่ยมระนาบบนระนาบใดระนาบหนึ่งจะเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ฉายไว้คูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมกับระนาบการฉายภาพ

ขั้นที่ 1: ภาพที่ฉายเป็นรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งด้านที่ AC อยู่ในระนาบการฉาย a (ขนานกับระนาบการฉาย a)

ที่ให้ไว้:

พิสูจน์:

การพิสูจน์:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. ตามทฤษฎีบทของสามตั้งฉาก

BD – ความสูง; B 1 D – ความสูง;

5. – มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

6. ; ; ; ;

ขั้นที่ 2: ภาพที่ฉายเป็นรูปสามเหลี่ยม ABC โดยไม่มีด้านใดอยู่ในระนาบการฉาย a และไม่ขนานกับระนาบนั้น

ที่ให้ไว้:

พิสูจน์:

การพิสูจน์:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(ระยะที่ 1);

5. ; ; ;

(ระยะที่ 1);

เวที: รูปที่ออกแบบเป็นรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ

การพิสูจน์:

รูปหลายเหลี่ยมถูกหารด้วยเส้นทแยงมุมที่ลากจากจุดยอดหนึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมจำนวนจำกัด ซึ่งแต่ละรูปมีทฤษฎีบทเป็นจริง ดังนั้น ทฤษฎีบทนี้จะเป็นจริงสำหรับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ระนาบมีมุมเดียวกันกับระนาบฉายภาพ

ความคิดเห็น: ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วใช้ได้กับสิ่งใดๆ รูปร่างแบนล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิด

แบบฝึกหัด:

1. ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีระนาบเอียงกับระนาบการฉายภาพในมุมหนึ่ง หากการฉายภาพเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติที่มีด้าน a

2. หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีระนาบเอียงกับระนาบการฉายภาพเป็นมุม ถ้าการฉายภาพเป็น สามเหลี่ยมหน้าจั่วด้านข้าง 10 ซม. และฐาน 12 ซม.

3. ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีระนาบเอียงกับระนาบการฉายภาพเป็นมุม หากการฉายภาพเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 9, 10 และ 17 ซม.

4. คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งระนาบนั้นเอียงกับระนาบการฉายภาพในมุม หากการฉายภาพเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วฐานที่ใหญ่กว่าคือ 44 ซม. ด้านข้างคือ 17 ซม. และเส้นทแยงมุม คือ 39 ซม.

5. คำนวณพื้นที่ฉายภาพของรูปหกเหลี่ยมปกติโดยมีด้าน 8 ซม. ซึ่งระนาบนั้นเอียงกับระนาบการฉายภาพในมุมหนึ่ง

6. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านยาว 12 ซม. และมุมแหลมจะสร้างมุมด้วยระนาบที่กำหนด คำนวณพื้นที่ของการฉายภาพของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบนระนาบนี้

7. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้าน 20 ซม. และเส้นทแยงมุม 32 ซม. ก่อมุมกับระนาบที่กำหนด คำนวณพื้นที่ของการฉายภาพของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบนระนาบนี้

8. การฉายทรงพุ่มบนระนาบแนวนอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านข้าง และ ค้นหาพื้นที่ของทรงพุ่มหากใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากันโดยเอียงกับระนาบแนวนอนเป็นมุม และ ส่วนตรงกลางหลังคา - สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานกับระนาบการฉายภาพ

11. แบบฝึกหัดในหัวข้อ "เส้นและระนาบในอวกาศ":

ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับ 20 ซม., 65 ซม., 75 ซม. จากจุดยอดของมุมที่ใหญ่กว่าของรูปสามเหลี่ยม ให้ลากเส้นตั้งฉากเท่ากับ 60 ซม. ไปยังระนาบของมัน ด้านที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยม

2. จากจุดหนึ่งซึ่งอยู่ห่างจากระนาบ ซม. จะมีการดึงจุดเอียงสองอันเข้าด้วยกัน สร้างมุมโดยมีระนาบเท่ากับ และทำมุมฉากระหว่างจุดเหล่านั้น ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดตัดของระนาบเอียง

3. ด้านของสามเหลี่ยมปกติคือ 12 ซม. เลือกจุด M เพื่อให้ส่วนที่เชื่อมต่อจุด M กับจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมมีมุมกับระนาบ หาระยะทางจากจุด M ถึงจุดยอดและด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

4. ระนาบถูกลากผ่านด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยทำมุมกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หามุมที่ด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอียงกับระนาบ

5. ขาหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉากเอียงไประนาบที่ผ่านด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นมุม พิสูจน์ว่ามุมระหว่างระนาบ a และระนาบของสามเหลี่ยมเท่ากับ

6. มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบของสามเหลี่ยม ABC และ DBC เท่ากับ หา AD ถ้า AB = AC = 5 ซม., BC = 6 ซม., BD = DC = ซม.

ทดสอบคำถามในหัวข้อ “เส้นและระนาบในอวกาศ”

1. ระบุแนวคิดพื้นฐานของ Stereometry กำหนดสัจพจน์ของสามมิติ

2. พิสูจน์ผลที่ตามมาจากสัจพจน์

3. เส้นตรงสองเส้นในอวกาศมีตำแหน่งสัมพันธ์กันอย่างไร? ให้คำจำกัดความของเส้นตัดกัน เส้นขนาน และเส้นเบ้

4. พิสูจน์สัญญาณเส้นเบ้

5. ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นและระนาบเป็นเท่าใด? ให้คำจำกัดความของเส้นตัดกัน เส้นขนาน และระนาบ

6. พิสูจน์สัญลักษณ์แห่งความขนานระหว่างเส้นตรงและระนาบ

7. ตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบทั้งสองคืออะไร?

8. กำหนดระนาบขนาน พิสูจน์สัญญาณว่าระนาบสองระนาบขนานกัน ทฤษฎีบทของรัฐเกี่ยวกับระนาบขนาน

9. กำหนดมุมระหว่างเส้นตรง

10. พิสูจน์เครื่องหมายของการตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ

11. กำหนดฐานของเส้นตั้งฉาก ฐานของเส้นเอียง และเส้นโครงของเส้นเอียงบนระนาบ กำหนดคุณสมบัติของเส้นตั้งฉากและเส้นเอียงที่ตกลงบนระนาบจากจุดหนึ่ง

12. กำหนดมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

13. พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจุดตั้งฉากสามจุด

14. ให้คำจำกัดความของมุมไดฮีดรัล มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

15. พิสูจน์เครื่องหมายตั้งฉากของระนาบสองระนาบ

16. กำหนดระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่แตกต่างกัน

17. กำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

18. กำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

19. กำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับระนาบที่ขนานกับเส้นนั้น

20. กำหนดระยะห่างระหว่างระนาบขนาน

21. กำหนดระยะห่างระหว่างเส้นที่ตัดกัน

22. กำหนดการฉายภาพมุมฉากของจุดบนระนาบ

23. กำหนดเส้นโครงมุมฉากของรูปบนระนาบ

24. กำหนดคุณสมบัติของเส้นโครงบนระนาบ

25. กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ฉายภาพของรูปหลายเหลี่ยมระนาบ

ใน เมื่อเร็วๆ นี้ในงาน C2 มีปัญหาซึ่งจำเป็นต้องสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยระนาบและค้นหาพื้นที่ของมัน งานนี้เสนอในเวอร์ชันสาธิต มักจะสะดวกในการค้นหาพื้นที่หน้าตัดผ่านพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉาก การนำเสนอนี้เป็นสูตรสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวและ การวิเคราะห์โดยละเอียดงานซึ่งมาพร้อมกับชุดภาพวาด

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้ ดูตัวอย่างการนำเสนอ สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

การเตรียมตัวสอบ Unified State ประจำปี 2014 สาขาคณิตศาสตร์ การหาพื้นที่หน้าตัดผ่านพื้นที่ของการฉายภาพตั้งฉาก ภารกิจ C2 ครูคณิตศาสตร์ MBOU โรงเรียนมัธยมหมายเลข 143 แห่ง Krasnoyarsk Knyazkina T.V.

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้: B เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน- ส่วนของเส้นขนานที่ตัดผ่านจุด B และ D กลายเป็นมุมกับระนาบ ABC หาพื้นที่หน้าตัด. มักจะสะดวกในการค้นหาพื้นที่หน้าตัดผ่านพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉาก การค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากนั้นแสดงได้อย่างง่ายดายด้วยรูปต่อไปนี้:

CH คือความสูงของสามเหลี่ยม ABC, C 'H คือความสูงของสามเหลี่ยม ABC " ซึ่งเป็นเส้นโครงมุมฉากของสามเหลี่ยม ABC จากสามเหลี่ยมมุมฉาก CHC ": พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC" คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC คือ ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC จึงเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ' หารด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบของสามเหลี่ยม ABC กับสามเหลี่ยม ABC" ซึ่งเป็นเส้นโครงมุมฉากของสามเหลี่ยม ABC

เนื่องจากพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับพื้นที่ของเส้นโครงตั้งฉากบนระนาบหารด้วยโคไซน์ของมุมระหว่าง ระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและการฉายภาพของมัน เราใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่อแก้ไขปัญหาของเรา (ดูสไลด์ 2) แผนการแก้ปัญหามีดังนี้: A) สร้างส่วน B) ค้นหาเส้นโครงตั้งฉากบนระนาบของฐาน C) ค้นหาพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉาก D) ค้นหาพื้นที่หน้าตัด

1. ก่อนอื่นเราต้องสร้างส่วนนี้ เห็นได้ชัดว่าส่วน BD เป็นของระนาบส่วนและระนาบฐานนั่นคือมันอยู่ในเส้นตัดของระนาบ:

มุมระหว่างระนาบสองระนาบคือมุมระหว่างสองฉากตั้งฉากที่ลากไปยังเส้นตัดกันของระนาบและนอนอยู่ในระนาบเหล่านี้ ให้จุด O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน OC – ตั้งฉากกับเส้นตัดของระนาบซึ่งอยู่ในระนาบของฐาน:

2. กำหนดตำแหน่งของเส้นตั้งฉากซึ่งอยู่ในระนาบส่วน (โปรดจำไว้ว่าหากเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นโครงของเส้นเฉียง เส้นนั้นจะตั้งฉากกับเส้นเฉียงด้วย เรามองหาเส้นเฉียงโดยการฉายภาพ (OC) และมุมระหว่างเส้นโครงกับเส้นเฉียง) . ลองหาแทนเจนต์ของมุม COC ₁ ระหว่าง OC ₁ และ OC กัน

ดังนั้น มุมระหว่างระนาบการตัดและระนาบฐานจึงมากกว่ามุมระหว่าง OC ₁ และ OC นั่นคือส่วนนี้มีลักษณะดังนี้: K คือจุดตัดของ OP และ A ₁C₁, LM||B₁D₁

นี่คือส่วนของเรา: 3. เรามาค้นหาเส้นโครงของส่วน BLMD บนระนาบฐานกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะพบเส้นโครงของจุด L และ M

Quadrangle BL ₁M₁D – การฉายภาพส่วนบนระนาบฐาน 4. หาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม BL ₁M₁D เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบพื้นที่สามเหลี่ยม L ₁CM₁ จากพื้นที่สามเหลี่ยม BCD ค้นหาพื้นที่สามเหลี่ยม L ₁CM₁ สามเหลี่ยม L ₁CM₁ คล้ายกับสามเหลี่ยม BCD ลองหาสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้พิจารณาสามเหลี่ยม OPC และ OKK₁: ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม L₁CM₁ คือ 4/25 ของพื้นที่ของสามเหลี่ยม BCD (อัตราส่วนของพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันจะเท่ากับกำลังสองของค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน) . จากนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม BL₁M₁D เท่ากับ 1-4/25=21/25 ของพื้นที่สามเหลี่ยม BCD และเท่ากับ

5. ทีนี้มาหา 6 กัน และในที่สุดเราก็ได้: คำตอบ: 112

ในหัวข้อ: การพัฒนาระเบียบวิธี การนำเสนอ และบันทึกย่อ

งานทดสอบในสาขาวิชา "วิศวกรรมคอมพิวเตอร์กราฟฟิก" ประกอบด้วย 4 งาน งานทดสอบเพื่อสร้างการปฏิบัติตาม จัดสรรเวลา 15-20 นาทีเพื่อทำภารกิจให้เสร็จสิ้น....

การเตรียมตัวสอบ Unified State ประจำปี 2014 สาขาคณิตศาสตร์ การประยุกต์ใช้อนุพันธ์และแอนติเดริเวทีฟ (ต้นแบบ B8 จากธนาคารงาน Unified State Exam แบบเปิด)

นำเสนอด้วย หลักสูตรระยะสั้นทฤษฎีและคำตอบของต้นแบบ B8 ต่างๆ จาก เปิดธนาคารงานสอบ Unified State สามารถใช้บนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบหรือคอมพิวเตอร์ของนักเรียนเพื่อการเตรียมตนเอง...

การเตรียมตัวสอบ Unified State ประจำปี 2014 สาขาคณิตศาสตร์ คำตอบสำหรับงาน C1

วัสดุนี้ให้คำตอบสำหรับงาน C1 (สมการตรีโกณมิติ) และ 4 วิธีในการเลือกรากที่เป็นของช่วงเวลา: การใช้วงกลมตรีโกณมิติ การใช้กราฟของฟังก์ชัน การแจงนับ...