พื้นผิวด้านข้างของสูตรทรงกระบอกออนไลน์ ตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ทรงกระบอก

ชื่อของวิทยาศาสตร์ "เรขาคณิต" แปลว่า "การวัดโลก" มันเกิดขึ้นจากความพยายามของผู้จัดการที่ดินโบราณกลุ่มแรก และมันก็เกิดขึ้นเช่นนี้: ในช่วงน้ำท่วมของแม่น้ำไนล์อันศักดิ์สิทธิ์ บางครั้งกระแสน้ำก็พัดพาขอบเขตของที่ดินของเกษตรกรออกไป และขอบเขตใหม่อาจไม่ตรงกับขอบเขตเดิม ชาวนาจ่ายภาษีให้กับคลังของฟาโรห์ตามสัดส่วนของการจัดสรรที่ดิน บุคคลพิเศษมีส่วนร่วมในการวัดพื้นที่เพาะปลูกภายในขอบเขตใหม่หลังการรั่วไหล เป็นผลมาจากกิจกรรมของพวกเขาที่ วิทยาศาสตร์ใหม่ซึ่งได้รับการพัฒนาในปี พ.ศ กรีกโบราณ- ที่นั่นได้รับชื่อและได้มาในทางปฏิบัติ ดูทันสมัย- ต่อมาคำนี้ได้กลายเป็นชื่อสากลสำหรับวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับรูปร่างแบนและสามมิติ

Planimetry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับการศึกษานี้ ตัวเลขแบน- วิทยาศาสตร์อีกสาขาหนึ่งคือ Stereometry ซึ่งตรวจสอบคุณสมบัติของตัวเลขเชิงพื้นที่ (ปริมาตร) ตัวเลขดังกล่าวรวมถึงตัวเลขที่อธิบายไว้ในบทความนี้ - ทรงกระบอก

ตัวอย่างการมีอยู่ของวัตถุทรงกระบอก ชีวิตประจำวันมากมาย. ชิ้นส่วนที่หมุนได้เกือบทั้งหมด - เพลา บุชชิ่ง เจอร์นัล เพลา ฯลฯ - มีรูปทรงทรงกระบอก (มักพบน้อยกว่ามาก - ทรงกรวย) กระบอกสูบยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการก่อสร้าง: หอคอย, เสารองรับ, เสาตกแต่ง และยังมีจาน บรรจุภัณฑ์บางประเภท ท่อขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางต่างๆ และสุดท้าย - หมวกชื่อดังซึ่งกลายเป็นสัญลักษณ์ของความสง่างามของผู้ชายมายาวนาน รายการดำเนินต่อไปและบน

ความหมายของทรงกระบอกในรูปเรขาคณิต

ทรงกระบอก (ทรงกระบอกกลม) มักจะเรียกว่ารูปที่ประกอบด้วยวงกลมสองวงซึ่งหากต้องการจะรวมกันโดยใช้การแปลแบบขนาน วงกลมเหล่านี้เป็นฐานของทรงกระบอก แต่เส้น (ส่วนตรง) ที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันนั้นเรียกว่า "เครื่องกำเนิดไฟฟ้า"

สิ่งสำคัญคือฐานของกระบอกสูบจะต้องเท่ากันเสมอ (หากไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้ เราก็จะได้ - กรวยที่ถูกตัดทอนอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ทรงกระบอก) และเข้าแล้ว ระนาบขนาน- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลมจะขนานและเท่ากัน

เซตขององค์ประกอบจำนวนอนันต์นั้นไม่มีอะไรมากไปกว่า พื้นผิวด้านข้างทรงกระบอก - หนึ่งในองค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิตนี้ องค์ประกอบที่สำคัญอีกประการหนึ่งของมันคือวงกลมที่กล่าวถึงข้างต้น พวกเขาเรียกว่าฐาน

ประเภทของกระบอกสูบ

กระบอกสูบที่ง่ายและธรรมดาที่สุดคือทรงกระบอก ประกอบด้วยวงกลมธรรมดา 2 วงที่ทำหน้าที่เป็นฐาน แต่อาจมีร่างอื่นแทนพวกเขา

ฐานของทรงกระบอกสามารถสร้างวงรี (นอกเหนือจากวงกลม) และรูปทรงปิดอื่นๆ ได้ แต่กระบอกสูบอาจไม่จำเป็นต้องมีรูปร่างปิดเสมอไป ตัวอย่างเช่น ฐานของทรงกระบอกอาจเป็นพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา หรือฟังก์ชันเปิดอื่นๆ กระบอกดังกล่าวจะถูกเปิดหรือใช้งาน

ตามมุมเอียงของกระบอกสูบที่สร้างฐานสามารถตั้งตรงหรือเอียงได้ สำหรับทรงกระบอกตรง เจเนราไทรซ์จะตั้งฉากกับระนาบของฐานอย่างเคร่งครัด หากมุมนี้แตกต่างจาก 90° แสดงว่ากระบอกสูบมีความเอียง

พื้นผิวของการปฏิวัติคืออะไร

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าทรงกระบอกตรงเป็นพื้นผิวการหมุนที่ใช้กันทั่วไปในงานวิศวกรรม บางครั้ง ด้วยเหตุผลทางเทคนิค มีการใช้พื้นผิวทรงกรวย ทรงกลม และพื้นผิวประเภทอื่นๆ แต่ 99% ของเพลา แกน ฯลฯ ที่หมุนได้ทั้งหมด จะทำเป็นรูปทรงกระบอก เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่าพื้นผิวของการปฏิวัติคืออะไร เราสามารถพิจารณาได้ว่าทรงกระบอกนั้นก่อตัวขึ้นอย่างไร

สมมติว่ามีเส้นตรงเส้นหนึ่ง กตั้งอยู่ในแนวตั้ง ABCD คือสี่เหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีด้านหนึ่ง (ส่วน AB) อยู่บนเส้นตรง ก- หากเราหมุนสี่เหลี่ยมรอบเส้นตรงดังแสดงในรูป ปริมาตรที่มันจะครอบครองขณะหมุนจะเป็นตัวที่เราหมุน - ทรงกระบอกทรงกลมด้านขวาที่มีความสูง H = AB = DC และรัศมี R = AD = BC

ในกรณีนี้อันเป็นผลมาจากการหมุนรูป - สี่เหลี่ยม - ได้ทรงกระบอก ด้วยการหมุนรูปสามเหลี่ยม คุณจะได้กรวย โดยการหมุนครึ่งวงกลม - ลูกบอล ฯลฯ

พื้นที่ผิวกระบอกสูบ

ในการคำนวณพื้นที่ผิวของทรงกระบอกกลมขวาธรรมดาจำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้าง

อันดับแรก มาดูวิธีการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างกัน นี่คือผลคูณของเส้นรอบวงของกระบอกสูบและความสูงของกระบอกสูบ ในทางกลับกัน เส้นรอบวงจะเท่ากับสองเท่าของผลคูณของเลขสากล ปตามรัศมีของวงกลม

เป็นที่รู้กันว่าพื้นที่ของวงกลมเท่ากับผลคูณ ปต่อรัศมีตารางเมตร ดังนั้นโดยการเพิ่มสูตรสำหรับพื้นที่ในการกำหนดพื้นผิวด้านข้างด้วยนิพจน์คู่สำหรับพื้นที่ของฐาน (มีอยู่สองรายการ) และทำการแปลงพีชคณิตอย่างง่ายเราจะได้นิพจน์สุดท้ายในการกำหนดพื้นผิว พื้นที่ของกระบอกสูบ

การกำหนดปริมาตรของรูป

ปริมาตรของทรงกระบอกถูกกำหนดตามรูปแบบมาตรฐาน: พื้นที่ผิวของฐานคูณด้วยความสูง

ดังนั้นสูตรสุดท้ายจึงมีลักษณะดังนี้: ค่าที่ต้องการถูกกำหนดให้เป็นผลคูณของความสูงของร่างกายด้วยจำนวนสากล ปและตามกำลังสองของรัศมีฐาน

ต้องบอกว่าสูตรผลลัพธ์นี้สามารถใช้ได้กับการแก้ปัญหาที่ไม่คาดคิดที่สุด เช่นเดียวกับปริมาตรของกระบอกสูบ ปริมาตรของสายไฟจะถูกกำหนด อาจจำเป็นในการคำนวณมวลของสายไฟ

ข้อแตกต่างในสูตรก็คือ แทนที่จะเป็นรัศมีของกระบอกสูบเดียว จะมีเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นลวดแบ่งออกเป็นสองส่วนและจำนวนเส้นลวดจะปรากฏในนิพจน์ เอ็น- นอกจากนี้แทนที่จะใช้ความสูงจะใช้ความยาวของเส้นลวด ด้วยวิธีนี้ปริมาตรของ "กระบอกสูบ" จะคำนวณไม่เพียงแค่หนึ่งเท่านั้น แต่ยังคำนวณตามจำนวนสายไฟในเปียด้วย

การคำนวณดังกล่าวมักจำเป็นในทางปฏิบัติ ท้ายที่สุดแล้วส่วนสำคัญของภาชนะบรรจุน้ำก็ถูกสร้างขึ้นมาในรูปแบบของท่อ และมักจำเป็นต้องคำนวณปริมาตรของกระบอกสูบแม้ในครัวเรือนก็ตาม

อย่างไรก็ตามดังที่ได้กล่าวไปแล้วรูปร่างของกระบอกสูบอาจแตกต่างกันไป และในบางกรณีจำเป็นต้องคำนวณปริมาตรของทรงกระบอกแบบเอียง

ความแตกต่างก็คือพื้นที่ผิวของฐานไม่ได้คูณด้วยความยาวของเจเนราทริกซ์เช่นเดียวกับในกรณีของทรงกระบอกตรง แต่ด้วยระยะห่างระหว่างระนาบ - ส่วนตั้งฉากที่สร้างขึ้นระหว่างพวกมัน

ดังที่เห็นได้จากรูปส่วนดังกล่าว เท่ากับสินค้าความยาวของเจเนราทริกซ์โดยไซน์ของมุมเอียงของเจเนราทริกซ์กับระนาบ

วิธีสร้างการพัฒนากระบอกสูบ

ในบางกรณีจำเป็นต้องตัดรีมกระบอกสูบออก รูปด้านล่างแสดงกฎที่ใช้สร้างช่องว่างสำหรับการผลิตกระบอกสูบที่มีความสูงและเส้นผ่านศูนย์กลางที่กำหนด

โปรดทราบว่าภาพวาดนี้แสดงโดยไม่มีตะเข็บ

ความแตกต่างระหว่างกระบอกสูบแบบเอียง

ลองจินตนาการถึงทรงกระบอกตรงเส้นหนึ่งที่ล้อมรอบด้วยระนาบตั้งฉากกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าในด้านหนึ่ง แต่ระนาบที่ล้อมรอบกระบอกสูบอีกด้านหนึ่งนั้นไม่ได้ตั้งฉากกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าและไม่ขนานกับระนาบแรก

รูปนี้แสดงทรงกระบอกที่มีมุมเอียง เครื่องบิน กที่มุมหนึ่งซึ่งต่างจาก 90° ถึงเครื่องกำเนิดไฟฟ้า จะตัดกับรูปนั้น

เช่น รูปทรงเรขาคณิตมักพบในทางปฏิบัติในรูปแบบของการเชื่อมต่อท่อ (ข้อศอก) แต่ก็มีอาคารที่สร้างเป็นรูปทรงกระบอกเอียงด้วยซ้ำ

ลักษณะทางเรขาคณิตของทรงกระบอกเอียง

ความเอียงของระนาบหนึ่งของกระบอกสูบที่เอียงเล็กน้อยจะเปลี่ยนขั้นตอนในการคำนวณทั้งพื้นที่ผิวของร่างและปริมาตรของมันเล็กน้อย

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก ในบทความนี้เราจะดูงานที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ผิว บล็อกได้ครอบคลุมงานที่มีการหมุนเช่นกรวยแล้ว ทรงกระบอกก็เป็นของร่างแห่งการปฏิวัติเช่นกัน สิ่งที่จำเป็นและจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับพื้นที่ผิวของทรงกระบอกคืออะไร? มาดูพัฒนาการของกระบอกสูบกัน:

ฐานบนและล่างเป็นวงกลมสองวงเท่ากัน:

พื้นผิวด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า นอกจากนี้ ด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมนี้เท่ากับความสูงของทรงกระบอก และอีกด้านหนึ่งเท่ากับเส้นรอบวงของฐาน ฉันขอเตือนคุณว่าเส้นรอบวงของวงกลมคือ:

ดังนั้น สูตรพื้นผิวทรงกระบอกคือ

*ไม่ต้องเรียนสูตรนี้! การรู้สูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลมและความยาวของเส้นรอบวงก็เพียงพอแล้วจากนั้นคุณสามารถเขียนสูตรที่ระบุได้ตลอดเวลา ความเข้าใจเป็นสิ่งสำคัญ! พิจารณางาน:

เส้นรอบวงฐานของทรงกระบอกคือ 3 พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 6 จงหาความสูงและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก (สมมติว่า Pi เท่ากับ 3.14 และปัดเศษผลลัพธ์ให้เป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุด)

พื้นที่ผิวทั้งหมดของกระบอกสูบ:

ให้เส้นรอบวงของฐานและพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก นั่นคือเราได้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและด้านใดด้านหนึ่งของมัน เราต้องค้นหาอีกด้านหนึ่ง (นี่คือความสูงของทรงกระบอก):

ต้องระบุรัศมีแล้วจึงหาพื้นที่ที่ระบุได้

เส้นรอบวงฐานเท่ากับสาม จากนั้นเราเขียน:

ดังนั้น

ปัดเศษเป็นสิบที่ใกล้ที่สุดเราจะได้ 7.4

คำตอบ: h = 2; ส = 7.4

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกคือ 72Pi และเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานคือ 9 จงหาความสูงของทรงกระบอก

วิธี

คำตอบ: 8

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกคือ 64Pi และความสูงคือ 8 ค้นหาเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

สูตรหาพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก:

เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับสองรัศมี ซึ่งหมายความว่า:

คำตอบ: 8

27058 รัศมีฐานของทรงกระบอกคือ 2 และความสูงคือ 3 จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกหารด้วยพาย

27133 เส้นรอบวงฐานของทรงกระบอกคือ 3 ความสูงคือ 2 จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก

การหมุนรอบตัวที่ศึกษาในโรงเรียน ได้แก่ ทรงกระบอก กรวย และลูกบอล

หากมีปัญหาในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์คุณต้องคำนวณปริมาตรของกรวยหรือพื้นที่ทรงกลมให้ถือว่าตัวเองโชคดี

ใช้สูตรปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก กรวย และทรงกลม ทั้งหมดอยู่ในตารางของเรา เรียนรู้ด้วยใจ นี่คือจุดเริ่มต้นของความรู้เรื่องสามมิติ

บางครั้งก็เป็นการดีที่จะดึงมุมมองจากด้านบน หรือในปัญหานี้จากด้านล่าง

2. ปริมาตรของกรวยที่อธิบายรอบๆ ถูกต้องมีกี่ครั้ง ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมมากกว่าปริมาตรของกรวยที่จารึกไว้ในปิรามิดนี้ใช่หรือไม่

ง่ายมาก - วาดมุมมองจากด้านล่าง เราจะเห็นว่ารัศมีของวงกลมที่ใหญ่กว่านั้นมากกว่ารัศมีของวงกลมที่เล็กกว่าหลายเท่า ความสูงของกรวยทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นปริมาตรของกรวยที่ใหญ่กว่าจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่า

อื่น จุดสำคัญ- จำไว้ว่าในปัญหาของภาคบี ตัวเลือกการสอบ Unified Stateในทางคณิตศาสตร์ คำตอบจะเขียนเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนจำกัด ทศนิยม- ดังนั้นจึงไม่ควรมีหรืออยู่ในคำตอบของคุณในส่วน ข. ไม่จำเป็นต้องทดแทนค่าโดยประมาณของตัวเลขเช่นกัน! มันต้องหดตัวแน่นอน! เพื่อจุดประสงค์นี้ในปัญหาบางอย่างจึงมีการกำหนดงานไว้ดังนี้: "ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกหารด้วย"

สูตรสำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิวของตัวการปฏิวัติใช้อยู่ที่ไหนอีก? แน่นอนในปัญหา C2 (16) เราจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วย

มีอยู่ จำนวนมากปัญหาที่เกี่ยวข้องกับกระบอกสูบ ในนั้นคุณจะต้องค้นหารัศมีและความสูงของร่างกายหรือประเภทของส่วนนั้น นอกจากนี้บางครั้งคุณต้องคำนวณพื้นที่ของทรงกระบอกและปริมาตรด้วย

ตัวไหนเป็นทรงกระบอก?

ในความรู้ หลักสูตรของโรงเรียนมีการศึกษาทรงกระบอกทรงกลมซึ่งก็คืออันหนึ่งที่ฐาน แต่ลักษณะรูปไข่ของร่างนี้ก็มีความโดดเด่นเช่นกัน จากชื่อเป็นที่ชัดเจนว่าฐานจะเป็นวงรีหรือวงรี

กระบอกสูบมีสองฐาน พวกมันมีค่าเท่ากันและเชื่อมต่อกันด้วยส่วนที่รวมจุดที่สอดคล้องกันของฐาน พวกมันถูกเรียกว่าเครื่องกำเนิดกระบอกสูบ เครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดขนานกันและเท่ากัน พวกมันประกอบขึ้นเป็นพื้นผิวด้านข้างของร่างกาย

โดยทั่วไปแล้วจะเป็นทรงกระบอก ร่างกายเอียง- ถ้าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทำมุมฉากกับฐาน เราก็จะพูดถึงรูปทรงตรง

สิ่งที่น่าสนใจคือทรงกระบอกทรงกลมคือตัวของการปฏิวัติ ได้มาจากการหมุนสี่เหลี่ยมรอบด้านใดด้านหนึ่ง

องค์ประกอบหลักของกระบอกสูบ

องค์ประกอบหลักของกระบอกสูบมีลักษณะดังนี้

1. ความสูง. เป็นระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างฐานของกระบอกสูบ หากเป็นเส้นตรง ความสูงจะตรงกับเจเนราทริกซ์
2. รัศมี. ตรงกับอันที่สามารถวาดได้ที่ฐาน
3. แกน. นี่คือเส้นตรงที่มีศูนย์กลางของฐานทั้งสอง แกนจะขนานกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดเสมอ ในทรงกระบอกตรงจะตั้งฉากกับฐาน
4. ส่วนตามแนวแกน มันเกิดขึ้นเมื่อทรงกระบอกตัดกับระนาบที่มีแกน
5. เครื่องบินแทนเจนต์ มันผ่านหนึ่งในยีนและตั้งฉากกับส่วนแกนซึ่งลากผ่านเจเนราทริกซ์นี้

ทรงกระบอกเชื่อมต่อกับปริซึมที่ถูกจารึกไว้หรืออธิบายไว้รอบๆ ปริซึมอย่างไร

บางครั้งมีปัญหาที่คุณต้องคำนวณพื้นที่ของทรงกระบอก แต่ทราบองค์ประกอบบางอย่างของปริซึมที่เกี่ยวข้อง ตัวเลขเหล่านี้เกี่ยวข้องกันอย่างไร?

ถ้าปริซึมเขียนไว้ในทรงกระบอก แสดงว่าฐานของมันเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน ยิ่งไปกว่านั้น พวกมันยังถูกจารึกไว้ที่ฐานที่สอดคล้องกันของกระบอกสูบอีกด้วย ขอบด้านข้างของปริซึมตรงกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า

ปริซึมที่อธิบายไว้มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน มีอธิบายไว้รอบๆ วงกลมของทรงกระบอกซึ่งเป็นฐานของมัน ระนาบที่มีใบหน้าของปริซึมสัมผัสกับกระบอกสูบพร้อมกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า

บนพื้นที่พื้นผิวด้านข้างและฐานสำหรับทรงกระบอกกลมด้านขวา

หากคุณแกะพื้นผิวด้านข้างออกคุณจะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านข้างจะตรงกับเจเนราทริกซ์และเส้นรอบวงของฐาน นั่นเป็นเหตุผล พื้นที่ด้านข้างทรงกระบอกจะเท่ากับผลคูณของปริมาณทั้งสองนี้ หากคุณเขียนสูตร คุณจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:

ด้าน S = l * n,

โดยที่ n คือตัวกำเนิด l คือเส้นรอบวง

นอกจากนี้พารามิเตอร์สุดท้ายยังคำนวณโดยใช้สูตร:

ล. = 2 π * r,

โดยที่ r คือรัศมีของวงกลม π คือตัวเลข “pi” เท่ากับ 3.14

เนื่องจากฐานเป็นวงกลม พื้นที่จึงคำนวณโดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้

S หลัก = π * r 2 .

บนพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกกลมขวา

เนื่องจากประกอบด้วยฐานสองฐานและพื้นผิวด้านข้าง คุณจึงต้องเพิ่มจำนวนทั้งสามนี้ นั่นคือพื้นที่รวมของทรงกระบอกจะคำนวณโดยสูตร:

ชั้น S = 2 π * r * n + 2 π * ร 2 .

มักเขียนในรูปแบบอื่น:

ชั้น S = 2 π * r (n + r)

บนพื้นที่ทรงกระบอกกลมเอียง

ส่วนฐานนั้นทุกสูตรเหมือนกันเพราะยังเป็นวงกลมอยู่ แต่พื้นผิวด้านข้างไม่ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกต่อไป

ในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกเอียง คุณจะต้องคูณค่าของเจเนราทริกซ์และเส้นรอบวงของส่วนซึ่งจะตั้งฉากกับเจเนราทริกซ์ที่เลือก

สูตรมีลักษณะดังนี้:

ด้าน S = x * P,

โดยที่ x คือความยาวของเจเนราทริกซ์ทรงกระบอก P คือเส้นรอบวงของส่วน

อย่างไรก็ตามควรเลือกส่วนที่เป็นวงรีจะดีกว่า จากนั้นการคำนวณเส้นรอบวงจะง่ายขึ้น ความยาวของวงรีคำนวณโดยใช้สูตรที่ให้คำตอบโดยประมาณ แต่มักจะเพียงพอสำหรับงานในหลักสูตรของโรงเรียน:

ล. = π * (ก + ข)

โดยที่ "a" และ "b" คือกึ่งแกนของวงรี นั่นคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดที่ใกล้ที่สุดและไกลที่สุด

ต้องคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดโดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

ชั้น S = 2 π * ร 2 + x * อาร์

ทรงกระบอกกลมขวามีกี่ส่วน?

เมื่อส่วนตัดผ่านแกน พื้นที่ของส่วนนั้นจะถูกกำหนดเป็นผลคูณของเจเนราทริกซ์และเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่ามันมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งด้านข้างตรงกับองค์ประกอบที่กำหนด

ในการหาพื้นที่หน้าตัดของทรงกระบอกที่ขนานกับแกน คุณจะต้องมีสูตรสำหรับสี่เหลี่ยมด้วย ในสถานการณ์เช่นนี้ ด้านใดด้านหนึ่งจะยังคงตรงกับความสูง และอีกด้านจะเท่ากับคอร์ดของฐาน ส่วนหลังเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นแบ่งตามฐาน

เมื่อส่วนตั้งฉากกับแกน จะมีลักษณะเป็นวงกลม อีกทั้งพื้นที่ของมันก็เท่ากับฐานของรูปด้วย

นอกจากนี้ยังสามารถตัดกันที่มุมหนึ่งกับแกนได้อีกด้วย จากนั้นส่วนตัดขวางจะทำให้เกิดวงรีหรือบางส่วน

ปัญหาตัวอย่าง

ภารกิจที่ 1ให้ทรงกระบอกตรงซึ่งมีพื้นที่ฐาน 12.56 ซม. 2 . จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่รวมของทรงกระบอกหากความสูง 3 ซม.

สารละลาย. คุณต้องใช้สูตรสำหรับ เต็มพื้นที่กระบอกตรงกลม แต่ขาดข้อมูลนั่นคือรัศมีของฐาน แต่รู้พื้นที่ของวงกลมแล้ว มันง่ายที่จะคำนวณรัศมีจากสิ่งนี้

ปรากฎว่าเท่ากับรากที่สองของผลหารซึ่งได้มาจากการหารพื้นที่ฐานด้วยพาย หลังจากหาร 12.56 ด้วย 3.14 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 4 รากที่สองจาก 4 คือ 2 ดังนั้น รัศมีจะมีค่าเท่านี้พอดี

ตอบ พื้น S = 50.24 ซม. 2.

ภารกิจที่ 2ทรงกระบอกที่มีรัศมี 5 ซม. ถูกตัดโดยระนาบขนานกับแกน ระยะห่างจากส่วนตัดถึงแกนคือ 3 ซม. ความสูงของทรงกระบอกคือ 4 ซม. คุณต้องหาพื้นที่หน้าตัด

สารละลาย. รูปร่างหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งตรงกับความสูงของกระบอกสูบ และอีกด้านเท่ากับคอร์ด ถ้าทราบปริมาณแรก ก็ต้องหาปริมาณที่สอง

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ต้องมีการก่อสร้างเพิ่มเติม ที่ฐานเราวาดสองส่วน ทั้งสองจะเริ่มต้นที่ศูนย์กลางของวงกลม อันแรกจะสิ้นสุดที่กึ่งกลางคอร์ดและเท่ากัน ระยะทางที่รู้จักไปที่แกน อันที่สองอยู่ที่ท้ายคอร์ด

คุณจะได้สามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากและขาข้างหนึ่งเป็นที่รู้จัก ด้านตรงข้ามมุมฉากเกิดขึ้นพร้อมกับรัศมี ขาที่สองเท่ากับครึ่งคอร์ด ขาที่ไม่รู้จักคูณด้วย 2 จะทำให้ได้ความยาวคอร์ดที่ต้องการ มาคำนวณมูลค่าของมันกัน

ในการค้นหาขาที่ไม่รู้จัก คุณจะต้องยกกำลังสองด้านตรงข้ามมุมฉากและขาที่รู้จัก ลบอันที่สองจากขาแรกแล้วหารากที่สอง กำลังสองคือ 25 และ 9 ผลต่างคือ 16 หลังจากหารากที่สองแล้ว จะเหลือ 4 ขา นี่คือขาที่ต้องการ

คอร์ดจะเท่ากับ 4 * 2 = 8 (ซม.) ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่หน้าตัดได้: 8 * 4 = 32 (ซม. 2)

คำตอบ: กากบาท S เท่ากับ 32 ซม. 2

ภารกิจที่ 3จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของกระบอกสูบ เป็นที่ทราบกันว่ามีลูกบาศก์ที่มีขอบ 10 ซม. ฝังอยู่ในนั้น

สารละลาย. ส่วนตามแนวแกนของทรงกระบอกเกิดขึ้นพร้อมกับสี่เหลี่ยมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสี่ของลูกบาศก์และมีเส้นทแยงมุมของฐานอยู่ ด้านข้างของลูกบาศก์คือเจเนราทริกซ์ของทรงกระบอก และเส้นทแยงมุมของฐานตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง ผลคูณของปริมาณทั้งสองนี้จะให้พื้นที่ที่คุณต้องค้นหาในปัญหา

ในการหาเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะต้องใช้ความรู้ที่ว่าฐานของลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์เป็นรูปด้านเท่ากันหมด สามเหลี่ยมมุมฉาก- ด้านตรงข้ามมุมฉากของมันคือเส้นทแยงมุมที่ต้องการ

ในการคำนวณ คุณจะต้องใช้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณต้องยกกำลังสองด้านข้างของลูกบาศก์ คูณด้วย 2 แล้วหารากที่สอง สิบยกกำลังสองได้หนึ่งร้อย คูณ 2 ได้ 200. รากที่สองของ 200 คือ 10√2

ส่วนนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกครั้งซึ่งมีด้าน 10 และ 10√2 พื้นที่ของมันสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยการคูณค่าเหล่านี้

คำตอบ. ส่วน S = 100√2 ซม. 2

พิจารณาทรงกระบอกของการหมุนรัศมี R และความสูง ชั่วโมง (รูปที่ 383) เราเขียนที่ฐานของทรงกระบอกนี้ รูปหลายเหลี่ยมปกติ(ในรูปที่ 383 - รูปหกเหลี่ยม) และด้วยความช่วยเหลือเราจะสร้างปริซึมปกติที่จารึกไว้ในกระบอกสูบ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถอธิบายปริซึมปกติรอบทรงกระบอกโดยพลการได้ จำนวนมากขอบด้านข้าง

ตามคำนิยาม พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกถือเป็นขีดจำกัดซึ่งพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมปกติที่จารึกและจำกัดขอบเขตรอบๆ มีแนวโน้มว่าจำนวนหน้าด้านข้างของพวกมันจะเพิ่มเป็นสองเท่าอย่างไม่สิ้นสุด (หรือโดยทั่วไปเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า) ).

ตอนนี้เราจะพิสูจน์ว่ามีขีดจำกัดดังกล่าวอยู่ หากเราใช้ปริซึมปกติที่ถูกจารึกไว้ซึ่งสร้างบนสามเหลี่ยมปกติเป็นฐาน จากนั้นเราจะได้นิพจน์สำหรับพื้นผิวด้านข้าง โดยที่เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมปกติจะถูกจารึกไว้ในวงกลมของฐานของทรงกระบอกโดยที่ ที่ . การคำนวณแบบเดียวกันสำหรับปริซึมที่อธิบายไว้จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันทุกประการ ดังนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกการหมุนจึงแสดงเป็นสูตร

พื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับผลคูณของความยาวของเจเนราทริกซ์และเส้นรอบวง (เช่น เส้นรอบวง) ของฐาน

ปัญหาที่ 1 ส่วนที่เชื่อมต่อจุด A และ B ตรงข้ามกันที่มีเส้นผ่าศูนย์ของฐานบนและล่างของทรงกระบอก (รูปที่ 384) อยู่ที่ 10 ซม. และเอียงกับระนาบของฐานที่มุม 60° หาพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก

สารละลาย. ให้เราวาดหน้าตัดผ่านส่วน L โดยมีระนาบตั้งฉากกับฐานของทรงกระบอก จากสามเหลี่ยมที่เรามี

โดยที่เราพบพื้นผิวด้านข้างของกระบอกสูบ

ปัญหาที่ 2 สามเหลี่ยม ABC จุดยอด A และ B เป็นปลายเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานล่างของทรงกระบอก และจุดยอด C คือจุดสิ้นสุดของเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานด้านบนตั้งฉากกับด้านเท่ากันหมด ด้าน a

ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างและพื้นผิวทั้งหมดของทรงกระบอก สารละลาย. รัศมีฐานของทรงกระบอกเท่ากับ ความสูงของสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 385) เท่ากับ และค่าเจเนราทริกซ์ของทรงกระบอกคำนวณได้ดังนี้

ดังนั้น พื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกจึงเท่ากับ

และพื้นที่ผิวรวม (เท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและพื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก) เท่ากับ

แบบฝึกหัด

1. เส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้าง เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันเอียงกับระนาบของฐานเป็นมุมตามลำดับเท่ากับ หามุมเอียงบนระนาบเดียวกันของเส้นทแยงมุมของเส้นขนาน

2. ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมฉาก มุมแหลมของฐานจะเท่ากับ a และด้านหนึ่งของฐานเท่ากับ a ส่วนที่ลากผ่านด้านนี้และขอบตรงข้ามของฐานด้านบนมีพื้นที่ Q และระนาบของมันจะเอียงกับระนาบของฐานเป็นมุม หาปริมาตรและพื้นผิวทั้งหมดของด้านขนาน

3. ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมเอียงคือสามเหลี่ยมหน้าจั่วและการฉายของขอบด้านใดด้านหนึ่งบนระนาบของฐานเกิดขึ้นพร้อมกับค่ามัธยฐาน m ของขาข้างใดข้างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม จงหามุมเอียงของโครงด้านข้างกับระนาบของฐาน ถ้าปริมาตรของปริซึมเท่ากับ V

4. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ จะมีการลากสองส่วนผ่านด้านข้างของฐาน: 1) มีด้านตรงข้ามของฐานบน 2) มีศูนย์กลางของฐานบน มุมระหว่างระนาบส่วนมีค่ามากที่สุดที่ความสูงของปริซึมเท่าใด และในกรณีนี้จะเท่ากับเท่าใด