พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมมีพื้นที่เท่าใด วิธีการคำนวณพื้นที่ของปิรามิด: ฐาน ด้าน และผลรวม

เราเรียกตัวเลขใดว่าปิรามิด? ประการแรก มันคือรูปทรงหลายเหลี่ยม ประการที่สอง ที่ฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ และด้านข้างของปิรามิด (ใบหน้าด้านข้าง) จำเป็นต้องมีรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดยอดร่วมจุดเดียว เมื่อเข้าใจคำศัพท์แล้ว เรามาดูวิธีหาพื้นที่ผิวของปิรามิดกันดีกว่า

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ผิวของตัวเรขาคณิตนั้นประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด

การคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิด

การเลือกสูตรการคำนวณขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ใต้ปิรามิดของเรา มันอาจจะถูกต้องนั่นคือมีด้านข้าง ความยาวเท่ากันหรือไม่ถูกต้อง ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือก

ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

จาก หลักสูตรของโรงเรียนเป็นที่รู้จัก:

• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากับความยาวของด้านกำลังสอง
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับกำลังสองของด้านหารด้วย 4 แล้วคูณด้วย รากที่สองจากสาม

แต่ยังมีสูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ (Sn): คุณต้องคูณเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมนี้ (P) ด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในนั้น (r) แล้วหาร ผลลัพธ์สอง: Sn=1/2P*r

ที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติ

รูปแบบการหาพื้นที่คือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดออกเป็นรูปสามเหลี่ยมก่อน แล้วคำนวณพื้นที่ของแต่ละรูปโดยใช้สูตร: 1/2a*h (โดยที่ a คือฐานของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูงลดลงเหลือ ฐานนี้) รวมผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

ทีนี้ลองคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั่นคือ ผลรวมของพื้นที่ด้านข้างทั้งหมด นอกจากนี้ยังมี 2 ตัวเลือกที่นี่

1. ขอให้เรามีปิรามิดตามอำเภอใจเช่น สิ่งหนึ่งที่มีพื้นฐานมาจาก รูปหลายเหลี่ยมปกติ- จากนั้นคุณควรคำนวณพื้นที่ของแต่ละใบหน้าแยกกันและเพิ่มผลลัพธ์ เนื่องจากด้านข้างของปิรามิดตามคำนิยามแล้ว สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้เท่านั้น การคำนวณจึงดำเนินการโดยใช้สูตรข้างต้น: S=1/2a*h
2. ให้ปิรามิดของเราถูกต้องนั่นคือ ที่ฐานมีรูปหลายเหลี่ยมปกติ และมีเส้นโครงด้านบนของปิรามิดอยู่ตรงกลาง จากนั้น ในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง (Sb) ก็เพียงพอที่จะหาผลคูณของเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมฐาน (P) และความสูง (h) ของด้านข้าง (เท่ากัน) ครึ่งหนึ่ง (เท่ากันสำหรับทุกใบหน้า) ): Sb = 1/2 P*h เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยการบวกความยาวของด้านทั้งหมด

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดปกตินั้นหาได้จากการรวมพื้นที่ฐานกับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดหลายๆ อันโดยใช้พีชคณิตกัน

พื้นที่ผิวของปิรามิดสามเหลี่ยม

ที่ฐานของปิรามิดนั้นมีรูปสามเหลี่ยม โดยใช้สูตร So=1/2a*h เราจะหาพื้นที่ของฐาน เราใช้สูตรเดียวกันในการหาพื้นที่ของแต่ละหน้าของปิรามิดซึ่งมีรูปทรงสามเหลี่ยมด้วย และเราจะได้ 3 พื้นที่ คือ S1, S2 และ S3 พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ทั้งหมด: Sb = S1+ S2+ S3 เมื่อรวมพื้นที่ด้านข้างและฐานเข้าด้วยกัน เราจะได้พื้นที่ผิวรวมของปิรามิดที่ต้องการ: Sp= So+ Sb

พื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ผิวด้านข้างคือผลรวมของ 4 เทอม: Sb = S1+ S2+ S3+ S4 ซึ่งแต่ละเทอมคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม และจะต้องมองหาพื้นที่ของฐานขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - ปกติหรือไม่สม่ำเสมอ ได้พื้นที่ผิวรวมของปิรามิดอีกครั้งโดยการเพิ่มพื้นที่ฐานและพื้นที่ผิวรวมของปิรามิดที่กำหนด

คำนิยาม. ขอบด้านข้าง- นี่คือรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมหนึ่งอยู่ที่ด้านบนของปิรามิด และด้านตรงข้ามเกิดขึ้นพร้อมกับด้านข้างของฐาน (รูปหลายเหลี่ยม)

คำนิยาม. ซี่โครงด้านข้าง- นี่คือด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง ปิรามิดมีขอบเท่ากับมุมของรูปหลายเหลี่ยม

คำนิยาม. ความสูงของพีระมิด- นี่คือแนวตั้งฉากที่ลดลงจากด้านบนถึงฐานของปิรามิด

คำนิยาม. อะโพเทม- เป็นแนวตั้งฉากกับด้านข้างของปิรามิด โดยลดระดับจากด้านบนของปิรามิดลงไปที่ด้านข้างของฐาน

คำนิยาม. ส่วนแนวทแยง- นี่คือส่วนของปิรามิดโดยเครื่องบินที่วิ่งผ่านยอดปิรามิดและเส้นทแยงมุมของฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดที่ถูกต้องเป็นปิระมิดซึ่งมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและมีความสูงตกถึงจุดศูนย์กลางของฐาน

ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด

สูตร. ปริมาตรของปิรามิดผ่านพื้นที่ฐานและความสูง:

คุณสมบัติของปิรามิด

หากขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ก็จะสามารถวาดวงกลมรอบฐานของพีระมิดได้ และจุดศูนย์กลางของฐานจะตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม นอกจากนี้ เส้นตั้งฉากที่ตกลงมาจากด้านบนจะผ่านศูนย์กลางของฐาน (วงกลม)

หากขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ขอบเหล่านั้นจะเอียงไปที่ระนาบของฐานในมุมเดียวกัน

ขอบด้านข้างจะเท่ากันเมื่อทำมุมเท่ากันกับระนาบของฐาน หรือหากสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้

หากใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบของฐานในมุมเดียวกัน ก็สามารถเขียนวงกลมเข้าไปในฐานของปิรามิดได้ และด้านบนของปิรามิดจะถูกฉายเข้าตรงกลาง

ถ้าหน้าด้านข้างเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน แล้วจุดตั้งฉากของหน้าด้านข้างจะเท่ากัน

คุณสมบัติของปิระมิดปกติ

1. ยอดปิรามิดมีระยะห่างเท่ากันจากทุกมุมของฐาน

2. ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

3. ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงเป็นมุมเท่ากันกับฐาน

4. เส้นตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

5. พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

6. ใบหน้าทั้งหมดมีมุมไดฮีดรัล (แบน) เท่ากัน

7. สามารถอธิบายทรงกลมรอบๆ พีระมิดได้ จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้จะเป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากที่ผ่านตรงกลางของขอบ

8. คุณสามารถใส่ทรงกลมลงในปิรามิดได้ จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้จะเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งที่เล็ดลอดออกมาจากมุมระหว่างขอบกับฐาน

9. ถ้าจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดไว้ตรงกับจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดไว้แล้ว ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดจะเท่ากับ π หรือในทางกลับกัน มุมหนึ่งจะเท่ากับ π/n โดยที่ n คือตัวเลข มุมที่ฐานปิระมิด

การเชื่อมต่อระหว่างปิรามิดกับทรงกลม

ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด เมื่อที่ฐานของปิรามิดมีรูปทรงหลายเหลี่ยมรอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมคือจุดตัดของระนาบที่ผ่านตั้งฉากผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านข้างของปิรามิด

ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบปิรามิดสามเหลี่ยมหรือพีระมิดปกติเสมอ

ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในปิรามิดได้ ถ้าระนาบเส้นแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของปิรามิดตัดกันที่จุดหนึ่ง (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม

ความสัมพันธ์ระหว่างปิรามิดกับกรวย

กล่าวกันว่ากรวยจะถูกจารึกไว้ในปิรามิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด

กรวยสามารถเขียนไว้ในปิรามิดได้หากจุดกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากัน

กล่าวกันว่ากรวยจะถูกจำกัดขอบเขตรอบปิรามิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกจำกัดรอบฐานของปิรามิด

กรวยสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิดถ้าขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากัน

ความสัมพันธ์ระหว่างปิรามิดกับทรงกระบอก

ปิรามิดจะถูกเรียกว่าจารึกไว้ในทรงกระบอก หากส่วนบนของปิรามิดอยู่บนฐานด้านหนึ่งของทรงกระบอก และฐานของปิรามิดนั้นถูกจารึกไว้ในฐานอีกฐานหนึ่งของทรงกระบอก

ทรงกระบอกสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด ถ้าสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้

คำนิยาม. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน (ปริซึมปิรามิด)- นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ตั้งอยู่ระหว่างฐานของปิรามิดและระนาบส่วน ขนานกับฐาน- ดังนั้นปิระมิดจึงมีฐานที่ใหญ่และมีฐานที่เล็กกว่าซึ่งคล้ายกับฐานที่ใหญ่กว่า ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

คำนิยาม. ปิรามิดสามเหลี่ยม (จัตุรมุข)เป็นปิระมิดซึ่งมีหน้า 3 หน้าและฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมตามใจชอบ

จัตุรมุขมีสี่หน้าและสี่จุดยอดและมีขอบหกด้าน โดยที่ขอบทั้งสองนั้นไม่มีจุดยอดเดียวกันแต่ไม่ได้สัมผัสกัน

แต่ละจุดยอดประกอบด้วยสามใบหน้าและขอบที่ก่อตัว มุมสามเหลี่ยม.

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดศูนย์กลางของด้านตรงข้ามเรียกว่า ค่ามัธยฐานของจัตุรมุข(จีเอ็ม).

ไบมีเดียนเรียกว่าส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามที่ไม่สัมผัสกัน (KL)

ไบมีเดียนและมัธยฐานของจัตุรมุขทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่ง (S) ในกรณีนี้ ไบเมเดียนจะถูกแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานจะถูกแบ่งในอัตราส่วน 3:1 โดยเริ่มจากด้านบน

คำนิยาม. ปิรามิดเอียงคือปิรามิดซึ่งมีขอบด้านหนึ่งเป็นมุมป้าน (β) กับฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดสี่เหลี่ยมคือปิรามิดซึ่งมีด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดมุมแหลม- ปิรามิดซึ่งมีระยะเอโพเธมยาวมากกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวด้านข้างของฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดป้าน- ปิระมิดที่มีระยะเอโพเธมน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวด้านข้างของฐาน

คำนิยาม. จัตุรมุขปกติ- จัตุรมุขซึ่งมีใบหน้าทั้งสี่เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มันเป็นหนึ่งในห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ ในทรงจัตุรมุขปกติ มุมไดฮีดรัลทั้งหมด (ระหว่างใบหน้า) และมุมตรีฮีดรัล (ที่จุดยอด) จะเท่ากัน

คำนิยาม. จัตุรมุขสี่เหลี่ยมเป็นจัตุรมุขที่มีมุมฉากระหว่างขอบทั้งสามด้านที่ปลาย (ขอบจะตั้งฉากกัน) เป็นรูปหน้าทั้งสาม มุมสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและขอบก็อยู่ สามเหลี่ยมมุมฉากและฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมตามใจ ระยะกึ่งกลางของใบหน้าใดๆ เท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานที่จุดกึ่งกลางด้านอยู่

คำนิยาม. จัตุรมุข Isohedralเรียกว่าจัตุรมุขซึ่งมีด้านด้านข้างเท่ากันและมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ จัตุรมุขดังกล่าวมีใบหน้าที่เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คำนิยาม. จัตุรมุขออร์โธเซนตริกเรียกว่า จัตุรมุข ซึ่งความสูงทั้งหมด (ตั้งฉาก) ที่ลดระดับจากด้านบนไปยังด้านตรงข้ามจะตัดกันที่จุดหนึ่ง

คำนิยาม. ปิรามิดดาวเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นดาวฤกษ์

คำนิยาม. ปิรามิดแบบปิรามิด- รูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วยปิรามิดที่แตกต่างกัน 2 ชิ้น (สามารถตัดปิรามิดออกได้) มีฐานร่วม และจุดยอดอยู่ด้านตรงข้ามของระนาบฐาน

ก่อนที่จะศึกษาคำถามเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตนี้และคุณสมบัติของมัน คุณควรทำความเข้าใจคำศัพท์บางคำก่อน เมื่อมีคนได้ยินเกี่ยวกับปิรามิด เขาจะจินตนาการถึงอาคารขนาดใหญ่ในอียิปต์ นี่คือลักษณะที่ง่ายที่สุด แต่พวกมันเกิดขึ้น ประเภทต่างๆและรูปทรงซึ่งหมายความว่าสูตรการคำนวณรูปทรงเรขาคณิตจะแตกต่างกัน

พีระมิด – รูปทรงเรขาคณิต แสดงถึงและเป็นตัวแทนของใบหน้าหลายหน้า โดยพื้นฐานแล้วนี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมเดียวกันที่ฐานซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมอยู่และที่ด้านข้างมีรูปสามเหลี่ยมเชื่อมต่อกันที่จุดหนึ่ง - จุดยอด รูปมาในสองประเภทหลัก:

• ถูกต้อง;
• ถูกตัดทอน

ในกรณีแรก ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ทุกอย่างอยู่ที่นี่ พื้นผิวด้านข้างเท่ากันระหว่างพวกเขากับรูปร่างของตัวเองจะทำให้สายตาของผู้ชอบความสมบูรณ์แบบ

ในกรณีที่สองมีสองฐาน - ฐานใหญ่ที่ด้านล่างสุดและฐานเล็กระหว่างด้านบนโดยทำซ้ำรูปร่างของฐานหลัก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าตัดขนานกับฐาน

ข้อกำหนดและสัญลักษณ์

คำสำคัญ:

• สามเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่ากันหมด)- ร่างที่มีมุมสามมุมเหมือนกันและ ด้านที่เท่ากัน- ในกรณีนี้ มุมทั้งหมดจะมีขนาด 60 องศา รูปนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด หากรูปนี้อยู่ที่ฐาน รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวจะเรียกว่าสามเหลี่ยมปกติ ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พีระมิดจะเรียกว่าปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ
• จุดยอด– จุดสูงสุดที่ขอบบรรจบกัน ความสูงของยอดนั้นเกิดจากเส้นตรงที่ทอดยาวจากยอดถึงฐานของปิรามิด
• ขอบ– หนึ่งในระนาบของรูปหลายเหลี่ยม อาจอยู่ในรูปสามเหลี่ยมในกรณีปิรามิดสามเหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับ ปิรามิดที่ถูกตัดทอน.
• ส่วน – รูปร่างแบนเกิดขึ้นจากการผ่า ไม่ควรสับสนกับส่วน เนื่องจากส่วนจะแสดงสิ่งที่อยู่ด้านหลังส่วนด้วย
• อะโพเทม- ส่วนที่ลากจากด้านบนของปิรามิดถึงฐาน นอกจากนี้ยังเป็นความสูงของใบหน้าซึ่งเป็นที่ตั้งของความสูงที่สองด้วย คำจำกัดความนี้ยุติธรรมเท่านั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ- ตัวอย่างเช่น หากนี่ไม่ใช่ปิรามิดที่ถูกตัดทอน ใบหน้าก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยม ในกรณีนี้ ความสูงของสามเหลี่ยมนี้จะกลายเป็นเส้นตั้งฉากใน

สูตรพื้นที่

ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดประเภทใดก็ได้สามารถทำได้หลายวิธี หากตัวเลขไม่สมมาตรและเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านต่างกัน ในกรณีนี้จะคำนวณได้ง่ายกว่า พื้นที่ทั้งหมดทะลุผ่านทุกพื้นผิว กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณต้องคำนวณพื้นที่ของแต่ละใบหน้าแล้วบวกเข้าด้วยกัน

อาจจำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับการคำนวณสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ทราบ สูตรเองในกรณีต่างๆก็จะมีความแตกต่างเช่นกัน

ในกรณีของตัวเลขปกติ การค้นหาพื้นที่จะง่ายกว่ามาก การรู้พารามิเตอร์สำคัญเพียงไม่กี่ตัวก็เพียงพอแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่ การคำนวณจำเป็นสำหรับตัวเลขดังกล่าวโดยเฉพาะ ดังนั้นจะได้สูตรที่เกี่ยวข้องดังนี้ มิฉะนั้น คุณจะต้องเขียนทุกอย่างลงในหลายๆ หน้า ซึ่งมีแต่จะทำให้คุณสับสนและสับสนเท่านั้น

สูตรพื้นฐานสำหรับการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

S=½ Pa (P คือเส้นรอบวงของฐาน และเป็นเส้นตั้งฉากใน)

ลองดูตัวอย่างหนึ่ง รูปทรงหลายเหลี่ยมมีฐานที่มีส่วน A1, A2, A3, A4, A5 และทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 10 ซม. ปล่อยให้ระยะกึ่งกลางของฐานเท่ากับ 5 ซม. ก่อนอื่นคุณต้องหาเส้นรอบวง เนื่องจากฐานทั้งห้าด้านเหมือนกัน คุณจึงสามารถหาได้ดังนี้: P = 5 * 10 = 50 ซม. ต่อไปเราจึงใช้สูตรพื้นฐาน: S = ½ * 50 * 5 = 125 ซม. กำลังสอง

พื้นที่ผิวด้านข้างถูกต้อง ปิรามิดสามเหลี่ยม ง่ายที่สุดในการคำนวณ สูตรมีลักษณะดังนี้:

S =½* ab *3 โดยที่ a คือเส้นตั้งฉาก b คือหน้าฐาน ตัวประกอบของสามในที่นี้หมายถึงจำนวนหน้าของฐาน และส่วนแรกคือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง ลองดูตัวอย่าง เมื่อกำหนดระยะกึ่งกลางของฐาน 5 ซม. และขอบฐาน 8 ซม. เราคำนวณ: S = 1/2*5*8*3=60 ซม. กำลังสอง

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนการคำนวณยากขึ้นเล็กน้อย สูตรมีลักษณะดังนี้: S =1/2*(p_01+ p_02)*a โดยที่ p_01 และ p_02 คือเส้นรอบวงของฐาน และเป็นเส้นตั้งฉากในฐาน ลองดูตัวอย่าง สมมติว่าสำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขนาดของด้านข้างของฐานคือ 3 และ 6 ซม. ส่วนระยะกึ่งกลางของฐานคือ 4 ซม.

ที่นี่ก่อนอื่นคุณต้องหาเส้นรอบวงของฐาน: р_01 =3*4=12 ซม.; р_02=6*4=24 ซม. ยังคงทดแทนค่าลงในสูตรหลักและเราได้: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 ซม. กำลังสอง

ดังนั้นคุณสามารถค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติที่มีความซับซ้อนได้ คุณควรระมัดระวังและไม่สับสนการคำนวณเหล่านี้มีพื้นที่รวมของรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด และหากคุณยังจำเป็นต้องทำเช่นนี้ เพียงแค่คำนวณพื้นที่ของฐานที่ใหญ่ที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมแล้วบวกเข้ากับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของรูปทรงหลายเหลี่ยม

วีดีโอ

วิดีโอนี้จะช่วยคุณรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวิธีการค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดต่างๆ

ไม่ได้รับคำตอบสำหรับคำถามของคุณ? แนะนำหัวข้อให้กับผู้เขียน

คือรูปที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆ และใบหน้าด้านข้างแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยม จุดยอดของพวกเขาอยู่ที่จุดเดียวกันและตรงกับยอดปิรามิด

ปิรามิดสามารถเปลี่ยนแปลงได้ - สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, หกเหลี่ยม ฯลฯ สามารถกำหนดชื่อได้ขึ้นอยู่กับจำนวนมุมที่อยู่ติดกับฐาน
ปิรามิดที่ถูกต้องเรียกว่าปิระมิดซึ่งมีด้านฐาน มุม และขอบเท่ากัน นอกจากนี้ในปิรามิดดังกล่าวพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างจะเท่ากัน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด:
นั่นคือในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดตามอำเภอใจคุณต้องค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละอันแล้วบวกเข้าด้วยกัน หากปิรามิดถูกตัดทอน ใบหน้าของมันจะแสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีอีกสูตรหนึ่งสำหรับปิรามิดปกติ ในนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างจะคำนวณผ่านกึ่งปริมณฑลของฐานและความยาวของระยะกึ่งกลางของฐาน:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด
ให้พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติได้รับ ด้านฐาน ข= 6 ซม. ระยะกึ่งกลาง ก= 8 ซม. จงหาพื้นที่ผิวข้าง

ที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติจะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก่อนอื่น เรามาหาเส้นรอบวงกันก่อน:

ตอนนี้เราสามารถคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดของเราได้:

ในการหาพื้นที่รวมของรูปทรงหลายเหลี่ยม คุณจะต้องหาพื้นที่ฐานของมัน สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปิรามิดอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ที่ฐาน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานฯลฯ

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิดที่กำหนดโดยเงื่อนไขของเรา เนื่องจากปิระมิดเป็นแบบปกติ จึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐาน
พื้นที่สี่เหลี่ยมคำนวณโดยสูตร: ,
โดยที่ a คือด้านข้างของจัตุรัส สำหรับเราคือ 6 ซม. ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ฐานของปิรามิดคือ:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาพื้นที่รวมของรูปทรงหลายเหลี่ยม สูตรพื้นที่ของปิรามิดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

พื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

ในปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม มีใบหน้าสองประเภท ได้แก่ รูปสี่เหลี่ยมที่ฐาน และรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมซึ่งก่อตัวเป็นพื้นผิวด้านข้าง
ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง ในการทำเช่นนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือคุณยังสามารถใช้สูตรสำหรับพื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม (เฉพาะในกรณีที่รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแบบปกติ) ถ้าปิรามิดเป็นแบบปกติและทราบความยาวของขอบ a ของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน h ที่วาดลงไป แล้ว:

หากตามเงื่อนไขที่กำหนดความยาวของขอบ c ของปิรามิดปกติและความยาวของด้านของฐาน a คุณสามารถค้นหาค่าโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

หากกำหนดความยาวของขอบที่ฐานและมุมแหลมที่อยู่ตรงข้ามที่ด้านบน พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างสามารถคำนวณได้โดยอัตราส่วนของกำลังสองของด้าน a ต่อโคไซน์สองเท่าของครึ่งหนึ่ง มุม α:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมผ่านขอบด้านข้างและด้านข้างของฐาน

ปัญหา: ให้พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสธรรมดามา ความยาวขอบ b = 7 ซม. ความยาวด้านฐาน a = 4 ซม. แทนค่าที่กำหนดลงในสูตร:

เราแสดงการคำนวณพื้นที่หน้าด้านหนึ่งของปิรามิดปกติ ตามลำดับ ในการหาพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดคุณต้องคูณผลลัพธ์ด้วยจำนวนหน้าซึ่งก็คือ 4 หากปิรามิดเป็นแบบใดก็ได้และหน้าของมันไม่เท่ากันก็ต้องคำนวณพื้นที่ สำหรับแต่ละฝ่าย หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ควรจดจำคุณสมบัติของพวกมัน ด้านข้างของรูปเหล่านี้จะขนานกันเป็นคู่ ดังนั้นใบหน้าของปิรามิดก็จะเหมือนกันเป็นคู่ด้วย
สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมนั้นขึ้นอยู่กับว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านใดอยู่ที่ฐานโดยตรง หากปิรามิดถูกต้อง พื้นที่ของฐานจะคำนวณโดยใช้สูตร หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คุณจะต้องจำไว้ว่ามันตั้งอยู่อย่างไร หากมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ฐาน การหาพื้นที่จะค่อนข้างง่าย ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านข้างของฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

ปัญหา: ให้พีระมิดที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยมีด้าน a = 3 ซม., b = 5 ซม. h-a =4 ซม., h-b =6 ซม. ด้านบนของปิรามิดอยู่ในเส้นเดียวกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม หาพื้นที่ทั้งหมดของปิรามิด
สูตรหาพื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของทุกหน้าและพื้นที่ฐาน ก่อนอื่น มาหาพื้นที่ฐานกันก่อน:


ทีนี้มาดูด้านข้างของปิรามิดกัน พวกมันเหมือนกันเป็นคู่ เพราะความสูงของปิรามิดตัดกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม นั่นคือในปิรามิดของเรามีสามเหลี่ยมสองรูปที่มีฐาน a และ ส่วนสูง ฮ-เอเช่นเดียวกับสามเหลี่ยมสองรูปที่มีฐาน b และ ส่วนสูง hb- ตอนนี้เรามาหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี:


ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม ในปิระมิดของเราซึ่งมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ฐาน สูตรจะมีลักษณะดังนี้: