วิธีคูณเมทริกซ์ 2x2 การคูณเมทริกซ์ การยกกำลังเมทริกซ์

ในบทเรียนที่แล้ว เราดูกฎสำหรับการบวกและการลบเมทริกซ์ นี่เป็นการดำเนินการง่ายๆ ที่นักเรียนส่วนใหญ่เข้าใจได้ทันที

อย่างไรก็ตาม คุณจะยินดีแต่เนิ่นๆ ของสมนาคุณจบลงแล้ว - มาดูการคูณกันดีกว่า ฉันจะเตือนคุณทันที: การคูณเมทริกซ์สองตัวนั้นไม่ใช่การคูณตัวเลขที่อยู่ในเซลล์ที่มีพิกัดเดียวกันเลยอย่างที่คุณคิด ทุกอย่างสนุกมากขึ้นที่นี่ และเราจะต้องเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความเบื้องต้น

เมทริกซ์ที่ตรงกัน

ลักษณะที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของเมทริกซ์คือขนาดของมัน เราได้พูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้มาแล้วเป็นร้อยครั้ง: สัญกรณ์ $A=\left[ m\times n \right]$ หมายความว่าเมทริกซ์มีแถว $m$ และคอลัมน์ $n$ พอดี เราได้พูดคุยไปแล้วถึงวิธีที่จะไม่สับสนระหว่างแถวกับคอลัมน์ สิ่งอื่นที่สำคัญในขณะนี้

คำนิยาม. เมทริกซ์ในรูปแบบ $A=\left[ m\times n \right]$ และ $B=\left[ n\times k \right]$ โดยที่จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรกตรงกับจำนวนแถว ประการที่สองเรียกว่าสม่ำเสมอ

อีกครั้ง: จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรกเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์ที่สอง! จากที่นี่เราได้ข้อสรุปสองประการพร้อมกัน:

1. ลำดับของเมทริกซ์มีความสำคัญสำหรับเรา ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $A=\left[ 3\times 2 \right]$ และ $B=\left[ 2\times 5 \right]$ มีความสอดคล้องกัน (2 คอลัมน์ในเมทริกซ์แรกและ 2 แถวในเมทริกซ์ที่สอง) แต่ในทางกลับกัน — เมทริกซ์ $B=\left[ 2\times 5 \right]$ และ $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ไม่สอดคล้องกันอีกต่อไป (5 คอลัมน์ในเมทริกซ์แรกไม่ใช่ 3 แถว ในวินาที)
2. สามารถตรวจสอบความสม่ำเสมอได้อย่างง่ายดายโดยการเขียนขนาดทั้งหมดทีละรายการ ใช้ตัวอย่างจากย่อหน้าก่อนหน้า: “3 2 2 5” - ตรงกลาง ตัวเลขเดียวกันดังนั้นเมทริกซ์จึงสม่ำเสมอ แต่ “2 5 3 2” ไม่สอดคล้องกันเนื่องจากมีตัวเลขตรงกลางต่างกัน

นอกจากนี้ Captain Obviousness ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่าเมทริกซ์จตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน $\left[ n\times n \right]$ มีความสอดคล้องกันเสมอ

ในทางคณิตศาสตร์ เมื่อลำดับของรายการวัตถุมีความสำคัญ (เช่น ในคำจำกัดความที่กล่าวถึงข้างต้น ลำดับของเมทริกซ์มีความสำคัญ) เรามักจะพูดถึงคู่อันดับ เราพบกันที่โรงเรียน ฉันคิดว่ามันไม่ใช่เรื่องง่ายเลยที่พิกัด $\left(1;0 \right)$ และ $\left(0;1 \right)$ กำหนด จุดที่แตกต่างกันบนพื้นผิว

ดังนั้น: พิกัดก็เรียงลำดับคู่ที่ประกอบด้วยตัวเลขเช่นกัน แต่ไม่มีอะไรขัดขวางไม่ให้คุณสร้างคู่ดังกล่าวจากเมทริกซ์ จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่า: “คู่ลำดับของเมทริกซ์ $\left(A;B \right)$ จะสอดคล้องกันถ้าจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรกเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์ที่สอง”

แล้วไงล่ะ?

คำจำกัดความของการคูณ

พิจารณาเมทริกซ์ที่สอดคล้องกันสองตัว: $A=\left[ m\times n \right]$ และ $B=\left[ n\times k \right]$ และเรากำหนดการดำเนินการคูณให้กับพวกมัน

คำนิยาม. ผลคูณของเมทริกซ์ที่ตรงกันสองตัว $A=\left[ m\times n \right]$ และ $B=\left[ n\times k \right]$ คือเมทริกซ์ใหม่ $C=\left[ m\times k \ ขวา] $ องค์ประกอบที่คำนวณโดยใช้สูตร:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวแสดงด้วยวิธีมาตรฐาน: $C=A\cdot B$

ผู้ที่เห็นคำจำกัดความนี้เป็นครั้งแรกจะมีคำถามสองข้อทันที:

1. นี่มันเกมดุเดือดประเภทไหนกันนะ?
2. ทำไมมันถึงยากขนาดนี้?

ก่อนอื่นสิ่งแรก เริ่มจากคำถามแรกกันก่อน ดัชนีทั้งหมดนี้หมายถึงอะไร? และจะไม่ทำผิดพลาดเมื่อทำงานกับเมทริกซ์จริงได้อย่างไร?

ก่อนอื่น เราสังเกตว่าเส้นยาวสำหรับการคำนวณ $((c)_(i;j))$ (ฉันใส่เครื่องหมายอัฒภาคระหว่างดัชนีเป็นพิเศษเพื่อไม่ให้สับสน แต่ไม่จำเป็นต้องใส่ไว้ที่ ทั้งหมด - ฉันเองก็เบื่อที่จะพิมพ์สูตรในคำจำกัดความ) จริงๆ แล้วมันเป็นกฎง่ายๆ:

1. ใช้แถว $i$th ในเมทริกซ์แรก
2. นำคอลัมน์ $j$th ในเมทริกซ์ที่สอง
3. เราได้ตัวเลขสองลำดับ เราคูณองค์ประกอบของลำดับเหล่านี้ด้วยตัวเลขเดียวกัน จากนั้นจึงบวกผลลัพธ์ที่ได้

กระบวนการนี้เข้าใจง่ายจากภาพ:

โครงการคูณเมทริกซ์สองตัว

อีกครั้ง: เราแก้ไขแถว $i$ ในเมทริกซ์แรก คอลัมน์ $j$ ในเมทริกซ์ที่สอง คูณองค์ประกอบด้วยตัวเลขเดียวกัน จากนั้นบวกผลลัพธ์ที่ได้ - เราจะได้ $((c)_(ij))$ . และอื่นๆ สำหรับ $1\le i\le m$ และ $1\le j\le k$ ทั้งหมด เหล่านั้น. “ความวิปริต” ดังกล่าวจะมีทั้งหมด $m\times k$

อันที่จริง เราพบการคูณเมทริกซ์แล้ว หลักสูตรของโรงเรียนในรูปแบบที่ลดลงอย่างมากเท่านั้น ให้เวกเตอร์ได้รับ:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right) \\ \end(จัดแนว)\]

จากนั้นผลคูณสเกลาร์จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์แบบคู่:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(ก))\cdot ((z)_(b))\]

โดยพื้นฐานแล้ว ย้อนกลับไปเมื่อต้นไม้เขียวขึ้นและท้องฟ้าสดใสขึ้น เราก็แค่คูณเวกเตอร์แถว $\overrightarrow(a)$ ด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ $\overrightarrow(b)$

วันนี้ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง เพียงแต่ตอนนี้มีเวกเตอร์แถวและคอลัมน์เหล่านี้มากขึ้น

แต่พอทฤษฎี! ลองดูตัวอย่างจริง เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน - เมทริกซ์จตุรัส

การคูณเมทริกซ์กำลังสอง

ภารกิจที่ 1. ทำการคูณ:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

สารละลาย. เรามีเมทริกซ์สองตัว: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ และ $B=\left[ 2\times 2 \right]$ เห็นได้ชัดว่ามีความสอดคล้องกัน (เมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดเท่ากันมีความสอดคล้องกันเสมอ) ดังนั้นเราจึงทำการคูณ:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ start(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ สิ้นสุด (อาร์เรย์) \ ขวา] \end(จัดแนว)\]

นั่นคือทั้งหมด!

คำตอบ: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$

ภารกิจที่ 2 ทำการคูณ:

\[\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(เมทริกซ์) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

สารละลาย. ขอย้ำอีกครั้งว่าเมทริกซ์มีความสอดคล้องกัน ดังนั้นเราจึงดำเนินการต่อไปนี้:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(เมทริกซ์) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(เมทริกซ์) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right ] . \end(จัดแนว)\]

อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์ที่เต็มไปด้วยเลขศูนย์

คำตอบ: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$

จากตัวอย่างข้างต้น เห็นได้ชัดว่าการคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การดำเนินการที่ซับซ้อน อย่างน้อยสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสขนาด 2 คูณ 2

ในกระบวนการคำนวณ เราได้รวบรวมเมทริกซ์ระดับกลาง โดยที่เราอธิบายโดยตรงว่าตัวเลขใดรวมอยู่ในเซลล์ใดเซลล์หนึ่ง นี่คือสิ่งที่ควรทำเมื่อแก้ไขปัญหาจริง

คุณสมบัติพื้นฐานของผลคูณเมทริกซ์

โดยสังเขป. การคูณเมทริกซ์:

1. ไม่สับเปลี่ยน: $A\cdot B\ne B\cdot A$ ในกรณีทั่วไป แน่นอนว่า มีเมทริกซ์พิเศษซึ่งมีความเท่าเทียมกัน $A\cdot B=B\cdot A$ (เช่น ถ้า $B=E$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์) แต่ในกรณีส่วนใหญ่วิธีนี้ใช้ไม่ได้ผล ;
2. ในทางสัมพันธ์กัน: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$ ไม่มีตัวเลือกที่นี่: ยืนอยู่ใกล้ ๆเมทริกซ์สามารถคูณได้โดยไม่ต้องกังวลว่าเมทริกซ์สองตัวนี้จะอยู่ทางซ้ายและขวาอย่างไร
3. แบบกระจาย: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ และ $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (เนื่องจากการไม่สับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์ จึงจำเป็นต้องระบุการกระจายทางขวาและซ้ายแยกกัน

และตอนนี้ - ทุกอย่างเหมือนเดิม แต่มีรายละเอียดมากขึ้น

การคูณเมทริกซ์มีหลายวิธีคล้ายกับการคูณจำนวนแบบคลาสสิก แต่มีความแตกต่าง ที่สำคัญที่สุดก็คือ โดยทั่วไปแล้ว การคูณเมทริกซ์คือการไม่สลับสับเปลี่ยน.

ลองดูเมทริกซ์จากปัญหาที่ 1 อีกครั้ง เรารู้ผลคูณโดยตรงของมันแล้ว:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

แต่ถ้าเราสลับเมทริกซ์ เราจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(เมทริกซ์) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(เมทริกซ์) )\ขวา]\]

ปรากฎว่า $A\cdot B\ne B\cdot A$ นอกจากนี้ การดำเนินการคูณถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์ที่สอดคล้องกันเท่านั้น $A=\left[ m\times n \right]$ และ $B=\left[ n\times k \right]$ แต่ก็ไม่มีใครรับประกันได้ว่า จะยังคงสอดคล้องกันหากมีการสลับ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $\left[ 2\times 3 \right]$ และ $\left[ 3\times 5 \right]$ ค่อนข้างสอดคล้องกันในลำดับที่ระบุ แต่เป็นเมทริกซ์เดียวกัน $\left[ 3\times 5 \right] $ และ $\left[ 2\times 3 \right]$ ที่เขียนในลำดับย้อนกลับไม่สอดคล้องกันอีกต่อไป เศร้า. :(

ท่ามกลางเมทริกซ์จตุรัส ขนาดที่กำหนด$n$ จะมีสิ่งที่ให้ผลลัพธ์เหมือนกันเสมอทั้งเมื่อคูณโดยตรงและย้อนกลับ จะอธิบายเมทริกซ์ดังกล่าวทั้งหมดได้อย่างไร (และมีจำนวนเท่าใดโดยทั่วไป) เป็นหัวข้อสำหรับ บทเรียนแยกต่างหาก- เราจะไม่พูดถึงเรื่องนั้นในวันนี้ :)

อย่างไรก็ตาม การคูณเมทริกซ์มีความเชื่อมโยง:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

ดังนั้น เมื่อคุณต้องการคูณเมทริกซ์หลายตัวในคราวเดียว คุณไม่จำเป็นต้องทำทันทีเลย ค่อนข้างเป็นไปได้ที่เมทริกซ์ที่อยู่ติดกันบางตัวเมื่อคูณแล้วจะให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ศูนย์ ดังในปัญหาที่ 2 ที่กล่าวถึงข้างต้น

ในปัญหาจริง บ่อยครั้งเราต้องคูณเมทริกซ์กำลังสองที่มีขนาด $\left[ n\times n \right]$ เซตของเมทริกซ์ดังกล่าวทั้งหมดเขียนแทนด้วย $((M)^(n))$ (นั่นคือ รายการ $A=\left[ n\times n \right]$ และ \ หมายถึงสิ่งเดียวกัน) และมันจะ จำเป็นต้องมีเมทริกซ์ $E$ ซึ่งเรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์

คำนิยาม. เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีขนาด $n$ คือเมทริกซ์ $E$ โดยที่สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ $A=\left[ n\times n \right]$ จะมีความเท่าเทียมกัน:

เมทริกซ์ดังกล่าวจะมีลักษณะเหมือนเดิมเสมอ โดยมีเมทริกซ์อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก และมีเลขศูนย์อยู่ในเซลล์อื่นๆ ทั้งหมด

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณต้องการคูณเมทริกซ์หนึ่งด้วยผลรวมของเมทริกซ์สองตัว คุณสามารถคูณเมทริกซ์ด้วย "อีกสองตัว" แต่ละตัวแล้วบวกผลลัพธ์ได้ ในทางปฏิบัติ เรามักจะต้องทำการดำเนินการตรงกันข้าม: เราสังเกตเห็นเมทริกซ์เดียวกัน นำมันออกจากวงเล็บ ทำการบวก และทำให้ชีวิตของเราง่ายขึ้น :)

หมายเหตุ: เพื่ออธิบายการกระจายตัว เราต้องเขียนสูตรสองสูตร: โดยที่ผลรวมอยู่ในตัวประกอบที่สอง และโดยที่ผลรวมอยู่ในปัจจัยแรก สิ่งนี้เกิดขึ้นอย่างแน่นอนเนื่องจากการคูณเมทริกซ์ไม่สลับสับเปลี่ยน (และโดยทั่วไปแล้ว ในพีชคณิตแบบไม่สลับสับเปลี่ยน มีหลายเรื่องสนุก ๆ มากมายที่นึกไม่ออกเมื่อทำงานกับตัวเลขธรรมดา) และตัวอย่างเช่น หากคุณจำเป็นต้องเขียนคุณสมบัตินี้ในข้อสอบ ก็อย่าลืมเขียนทั้งสองสูตร ไม่เช่นนั้นครูอาจจะโกรธเล็กน้อย

โอเค, ทั้งหมดนี้เป็นเพียงเทพนิยายเกี่ยวกับเมทริกซ์จตุรัส แล้วของสี่เหลี่ยมล่ะ?

กรณีของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม

แต่ไม่มีอะไร - ทุกอย่างเหมือนกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ภารกิจที่ 3 ทำการคูณ:

\[\left[ \begin(เมทริกซ์) \begin(เมทริกซ์) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(เมทริกซ์) & \begin(เมทริกซ์) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(เมทริกซ์) \ \\end(เมทริกซ์) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

สารละลาย. เรามีเมทริกซ์สองตัว: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ และ $B=\left[ 2\times 2 \right]$ ลองเขียนตัวเลขที่ระบุขนาดเป็นแถว:

อย่างที่คุณเห็นตัวเลขสองตัวตรงกลางตรงกัน ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์มีความสม่ำเสมอและสามารถคูณได้ ยิ่งไปกว่านั้น ที่เอาต์พุต เราจะได้เมทริกซ์ $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(เมทริกซ์) \begin(เมทริกซ์) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(เมทริกซ์) & \begin(เมทริกซ์) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(เมทริกซ์) \\\end(เมทริกซ์) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(อาร์เรย์) \right] \end(จัดแนว)\]

ทุกอย่างชัดเจน: เมทริกซ์สุดท้ายมี 3 แถวและ 2 คอลัมน์ ค่อนข้าง $=\left[ 3\times 2 \right]$

คำตอบ: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(เมทริกซ์) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(เมทริกซ์) \\\end(array) \right]$

ตอนนี้เรามาดูสิ่งที่ดีที่สุดอย่างหนึ่งกัน งานฝึกอบรมสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มทำงานกับเมทริกซ์ ในนั้นคุณไม่เพียงต้องคูณสองเม็ด แต่ก่อนอื่นต้องพิจารณาว่า: การคูณดังกล่าวอนุญาตให้ทำได้หรือไม่

ปัญหาที่ 4. ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์ที่เป็นไปได้แบบคู่:

- $B=\left[ \begin(เมทริกซ์) \begin(เมทริกซ์) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(เมทริกซ์) & \begin(เมทริกซ์) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(เมทริกซ์) \\\end(เมทริกซ์) \right]$; $C=\left[ \begin(เมทริกซ์)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right]$

สารละลาย. ขั้นแรก ให้เขียนขนาดของเมทริกซ์:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

เราพบว่าเมทริกซ์ $A$ สามารถกระทบยอดกับเมทริกซ์ $B$ เท่านั้น เนื่องจากจำนวนคอลัมน์ของ $A$ คือ 4 และมีเพียง $B$ เท่านั้นที่มีจำนวนแถวนี้ ดังนั้นเราจึงสามารถค้นหาผลิตภัณฑ์ได้:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ ซ้าย[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

ฉันแนะนำให้ผู้อ่านทำตามขั้นตอนกลางอย่างอิสระ ฉันจะทราบเพียงว่าควรกำหนดขนาดของเมทริกซ์ผลลัพธ์ล่วงหน้าจะดีกว่าก่อนที่จะคำนวณ:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราเพียงแต่ลบค่าสัมประสิทธิ์ "การผ่าน" ที่รับรองความสอดคล้องของเมทริกซ์ออก

มีทางเลือกอะไรอีกบ้าง? แน่นอนว่า เราสามารถหา $B\cdot A$ ได้ เนื่องจาก $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$ ดังนั้นคู่อันดับ $\ left(B ;A \right)$ มีความสอดคล้องกัน และมิติของผลิตภัณฑ์จะเป็น:

\\cdot \left[ 2\คูณ 4 \right]=\left[ 4\คูณ 4 \right]\]

กล่าวโดยสรุป ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ $\left[ 4\times 4 \right]$ ซึ่งสามารถคำนวณสัมประสิทธิ์ได้อย่างง่ายดาย:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ ซ้าย[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

แน่นอนว่าคุณสามารถเห็นด้วยกับ $C\cdot A$ และ $B\cdot C$ ได้ - ก็แค่นั้นแหละ ดังนั้นเราจึงเพียงเขียนผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์:

มันง่าย.:)

คำตอบ: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(อาร์เรย์) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

โดยทั่วไป ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ทำภารกิจนี้ด้วยตัวเอง และอีกหนึ่งงานที่คล้ายกันซึ่งก็คือ การบ้าน- ความคิดที่ดูเหมือนเรียบง่ายเหล่านี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนขั้นตอนสำคัญๆ ทั้งหมดของการคูณเมทริกซ์ได้

แต่เรื่องราวไม่ได้จบเพียงแค่นั้น มาดูกรณีพิเศษของการคูณกันดีกว่า :)

เวกเตอร์แถวและเวกเตอร์คอลัมน์

การดำเนินการเมทริกซ์ที่พบบ่อยที่สุดอย่างหนึ่งคือการคูณด้วยเมทริกซ์ที่มีหนึ่งแถวหรือหนึ่งคอลัมน์

คำนิยาม. เวกเตอร์คอลัมน์คือเมทริกซ์ขนาด $\left[ m\times 1 \right]$ กล่าวคือ ประกอบด้วยหลายแถวและมีคอลัมน์เดียวเท่านั้น

เวกเตอร์แถวคือเมทริกซ์ขนาด $\left[ 1\times n \right]$ กล่าวคือ ประกอบด้วยหนึ่งแถวและหลายคอลัมน์

จริงๆแล้วเราได้พบเจอวัตถุเหล่านี้แล้ว ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์สามมิติธรรมดาจากสามมิติ $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ ไม่มีอะไรมากไปกว่าเวกเตอร์แถว จากมุมมองทางทฤษฎี แถวและคอลัมน์แทบไม่มีความแตกต่างกัน คุณจะต้องระมัดระวังเมื่อประสานกับเมทริกซ์ตัวคูณที่อยู่รอบๆ

ภารกิจที่ 5. ทำการคูณ:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

สารละลาย. เราได้ผลลัพธ์ของเมทริกซ์ที่ตรงกัน: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$ มาหาชิ้นนี้กัน:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(อาร์เรย์) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

คำตอบ: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

ภารกิจที่ 6. ทำการคูณ:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

สารละลาย. ทุกอย่างสอดคล้องกันอีกครั้ง: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$ เรานับผลิตภัณฑ์:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(อาร์เรย์) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(อาร์เรย์) \right]\]

คำตอบ: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$

อย่างที่คุณเห็น เมื่อเราคูณเวกเตอร์แถวและเวกเตอร์คอลัมน์ด้วยเมทริกซ์จตุรัส ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นแถวหรือคอลัมน์ที่มีขนาดเท่ากันเสมอ ความจริงข้อนี้มีประโยชน์หลายอย่าง ตั้งแต่การแก้สมการเชิงเส้นไปจนถึงการแปลงพิกัดทุกประเภท (ซึ่งสุดท้ายก็มาถึงระบบสมการด้วย แต่อย่าพูดถึงเรื่องเศร้าเลย)

ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนที่นี่ เรามาดูส่วนสุดท้ายของบทเรียนของวันนี้กันดีกว่า

การยกกำลังเมทริกซ์

ในบรรดาการดำเนินการคูณทั้งหมด การยกกำลังสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ นั่นคือเมื่อเราคูณวัตถุเดียวกันด้วยตัวมันเองหลายๆ ครั้ง เมทริกซ์ก็ไม่มีข้อยกเว้น พวกมันยังสามารถยกกำลังต่างๆ ได้

งานดังกล่าวได้รับการตกลงกันเสมอ:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

และถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับองศาปกติทุกประการ:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)) \\ \end(จัดแนว)\]

เมื่อมองแวบแรกทุกอย่างก็เรียบง่าย มาดูกันว่าในทางปฏิบัติมีลักษณะอย่างไร:

ภารกิจที่ 7. เพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นกำลังที่ระบุ:

$((\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(3))$

สารละลาย. เอาล่ะ เรามาสร้างกันดีกว่า ก่อนอื่นมายกกำลังสอง:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(2))=\left[ \begin(เมทริกซ์) ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right]\cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(3))=((\left[ \begin (เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( เมทริกซ์) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(อาร์เรย์) \right] \end(align)\]

แค่นั้นแหละ. :)

คำตอบ: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$

ปัญหาที่ 8. ยกเมทริกซ์ขึ้นเป็นกำลังที่ระบุ:

\[((\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(10))\]

สารละลาย. แค่อย่าร้องไห้ในตอนนี้เกี่ยวกับความจริงที่ว่า “ปริญญามันใหญ่เกินไป” “โลกนี้ไม่ยุติธรรม” และ “ครูสูญเสียชายฝั่งไปหมดแล้ว” จริงๆ แล้วเป็นเรื่องง่าย:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(10))=((\left[ \begin (เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ สิ้นสุด(เมทริกซ์) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right]\cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right]\cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right]\cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right]= \\ & =\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right] \end(align)\ ]

โปรดสังเกตว่าในบรรทัดที่สอง เราใช้ความสัมพันธ์ของการคูณ จริงๆ แล้วเราใช้มันในงานที่แล้ว แต่มันก็เป็นนัยตรงนั้น

คำตอบ: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในการเพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นกำลัง ตัวอย่างสุดท้ายสามารถสรุปได้:

\[((\left[ \begin(เมทริกซ์) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

ความจริงข้อนี้พิสูจน์ได้ง่ายผ่านการอุปนัยทางคณิตศาสตร์หรือการคูณโดยตรง อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถจับรูปแบบดังกล่าวได้เสมอไปเมื่อเพิ่มพลัง ดังนั้นควรระวัง: บ่อยครั้งการคูณเมทริกซ์หลาย ๆ ตัวแบบ "สุ่ม" กลายเป็นเรื่องง่ายและเร็วกว่าการมองหารูปแบบบางประเภท

โดยทั่วไปอย่ามองหาความหมายที่สูงกว่าเมื่อไม่มีเลย โดยสรุป ลองพิจารณาการยกกำลังของเมทริกซ์ที่ใหญ่กว่า - มากถึง $\left[ 3\times 3 \right]$

ปัญหาที่ 9. เพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นกำลังที่ระบุ:

\[((\left[ \begin(เมทริกซ์) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(3))\]

สารละลาย. อย่ามองหารูปแบบ เราทำงานล่วงหน้า:

\[((\left[ \begin(เมทริกซ์) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(3))=(( \left[ \begin(เมทริกซ์) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (เมทริกซ์)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right]\]

ก่อนอื่น เรามายกกำลังสองเมทริกซ์นี้กัน:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(เมทริกซ์) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right])^( 2))=\left[ \begin(เมทริกซ์) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right]\cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

ตอนนี้เรามายกกำลังสามกันเถอะ:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(เมทริกซ์) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(เมทริกซ์) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(เมทริกซ์) \right]= \\ & =\left[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(อาร์เรย์) \right] \end(align)\]

นั่นคือทั้งหมดที่ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

คำตอบ: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$

อย่างที่คุณเห็นปริมาณการคำนวณมีขนาดใหญ่ขึ้น แต่ความหมายไม่เปลี่ยนแปลงเลย :)

นี่เป็นการสรุปบทเรียน คราวหน้าเราจะพิจารณาการดำเนินการผกผัน: เราจะมองหาปัจจัยดั้งเดิมโดยใช้ผลิตภัณฑ์ที่มีอยู่

อย่างที่คุณอาจเดาได้แล้วเราจะพูดถึง เมทริกซ์ผกผันและวิธีการหามัน

ชั้นปีที่ 1 สูงขึ้น คณิตศาสตร์ กำลังศึกษาอยู่ เมทริกซ์และการดำเนินการขั้นพื้นฐานกับพวกเขา ที่นี่เราจัดระบบการดำเนินการพื้นฐานที่สามารถทำได้ด้วยเมทริกซ์ จะเริ่มทำความคุ้นเคยกับเมทริกซ์ได้ที่ไหน? แน่นอนว่าจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - คำจำกัดความ แนวคิดพื้นฐาน และการดำเนินการที่เรียบง่าย เรารับรองกับคุณว่าทุกคนที่อุทิศเวลาให้พวกเขาอย่างน้อยจะเข้าใจเมทริกซ์!

คำจำกัดความของเมทริกซ์

เมทริกซ์เป็นตารางธาตุรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้วถ้า. ในภาษาง่ายๆ– ตารางตัวเลข

โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์จะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ด้วยอักษรละติน- ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ ก , เมทริกซ์ บี และอื่น ๆ เมทริกซ์สามารถมีขนาดแตกต่างกัน: สี่เหลี่ยม, สี่เหลี่ยมจัตุรัส และยังมีเมทริกซ์แบบแถวและคอลัมน์ที่เรียกว่าเวกเตอร์อีกด้วย ขนาดของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยจำนวนแถวและคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น ลองเขียนเมทริกซ์ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ม บน n , ที่ไหน ม – จำนวนบรรทัด และ n – จำนวนคอลัมน์

รายการไหน ฉัน=เจ (a11, a22, .. ) สร้างเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์และเรียกว่าเส้นทแยงมุม

คุณสามารถทำอะไรกับเมทริกซ์? เพิ่ม/ลบ, คูณด้วยตัวเลข, ทวีคูณกันเอง, ย้าย- ทีนี้เกี่ยวกับการดำเนินการพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับเมทริกซ์ตามลำดับ

การดำเนินการบวกและการลบเมทริกซ์

ให้เราเตือนคุณทันทีว่าคุณสามารถเพิ่มได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน การบวก (หรือการลบ) เมทริกซ์นั้นง่ายมาก - คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง - ลองยกตัวอย่าง ลองบวกเมทริกซ์ A และ B ขนาด 2 คูณ 2 กัน

การลบทำได้โดยการเปรียบเทียบ เฉพาะกับเครื่องหมายตรงกันข้ามเท่านั้น

เมทริกซ์ใดๆ สามารถคูณด้วยจำนวนใดก็ได้ เพื่อทำสิ่งนี้, คุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบด้วยจำนวนนี้ ตัวอย่างเช่น ลองคูณเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรกด้วยเลข 5:

การดำเนินการคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ทั้งหมดไม่สามารถคูณเข้าด้วยกันได้ ตัวอย่างเช่น เรามีเมทริกซ์สองตัว - A และ B ซึ่งสามารถคูณกันได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B ในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ที่อยู่ในแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องใน เส้นที่ iตัวประกอบแรกและคอลัมน์ j-th ของตัวที่สอง- เพื่อทำความเข้าใจอัลกอริธึมนี้ ลองเขียนวิธีคูณเมทริกซ์จตุรัสสองตัว:

และตัวอย่างที่มีจำนวนจริง ลองคูณเมทริกซ์:

การดำเนินการย้ายเมทริกซ์

การขนย้ายเมทริกซ์คือการดำเนินการที่มีการสลับแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ลองย้ายเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรก:

ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์

ปัจจัยกำหนดหรือปัจจัยกำหนดเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐาน พีชคณิตเชิงเส้น- กาลครั้งหนึ่งมีคนมาด้วย สมการเชิงเส้นและเบื้องหลังพวกเขา เราต้องหาดีเทอร์มิแนนต์ขึ้นมา ท้ายที่สุดแล้ว มันก็ขึ้นอยู่กับคุณแล้วว่าจะจัดการกับเรื่องทั้งหมดนี้ ดังนั้น แรงผลักดันครั้งสุดท้าย!

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขของเมทริกซ์จตุรัส ซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ
ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสที่ง่ายที่สุด คุณต้องคำนวณความแตกต่างระหว่างผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรอง

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่หนึ่ง ซึ่งประกอบไปด้วยองค์ประกอบหนึ่ง มีค่าเท่ากับองค์ประกอบนี้

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเมทริกซ์เป็นสามคูณสาม? นี่เป็นเรื่องยากกว่า แต่คุณสามารถรับมือได้

สำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักกับผลคูณขององค์ประกอบที่วางอยู่บนรูปสามเหลี่ยมที่มีหน้าขนานกับเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งผลคูณของ องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่วางอยู่บนสามเหลี่ยมที่มีหน้าของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิขนานกันจะถูกลบออก

โชคดีที่ในทางปฏิบัติ แทบไม่มีความจำเป็นที่จะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่

ที่นี่เราดูการดำเนินการพื้นฐานของเมทริกซ์ แน่นอนใน ชีวิตจริงคุณอาจไม่เคยพบเห็นแม้แต่คำใบ้ ระบบเมทริกซ์สมการหรือในทางกลับกัน ต้องเผชิญกับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อคุณต้องใช้สมองอย่างมาก ในกรณีเช่นนี้มีบริการนักศึกษาระดับมืออาชีพ ขอความช่วยเหลือได้รับคุณภาพและ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดเพลิดเพลินไปกับความสำเร็จทางวิชาการและเวลาว่างของคุณ

นี่เป็นหนึ่งในการดำเนินการเมทริกซ์ที่พบบ่อยที่สุด เมทริกซ์ที่ได้หลังจากการคูณเรียกว่าผลคูณของเมทริกซ์

ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ เช้า × nถึงเมทริกซ์ บีเอ็น × เคจะมีเมทริกซ์ ซม × เคดังนั้นองค์ประกอบเมทริกซ์ ค, ตั้งอยู่ที่ ฉัน-บรรทัดที่ และ เจคอลัมน์ที่ - นั่นคือองค์ประกอบ ซีจเท่ากับผลรวมผลคูณขององค์ประกอบ ฉันแถวที่หนึ่งของเมทริกซ์ กไปยังองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน เจคอลัมน์เมทริกซ์ที่ บี.

กระบวนการ การคูณเมทริกซ์เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกเท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง

ตัวอย่าง:
เป็นไปได้ไหมที่จะคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์?

ม =nซึ่งหมายความว่าสามารถคูณข้อมูลเมทริกซ์ได้

หากเมทริกซ์ถูกสลับกัน การคูณจะไม่สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยเมทริกซ์ดังกล่าวอีกต่อไป

ม≠ nดังนั้นการคูณจึงไม่สามารถทำได้:

บ่อยครั้งที่คุณสามารถหางานโดยใช้กลอุบายเมื่อนักเรียนถูกถาม คูณเมทริกซ์ซึ่งการคูณนั้นเป็นไปไม่ได้อย่างเห็นได้ชัด

โปรดทราบว่าบางครั้งคุณสามารถคูณเมทริกซ์ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งก็ได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ และอาจเป็นการคูณ มนและการคูณ น.เอ็ม.

นี่ไม่ใช่การกระทำที่ยากมาก การคูณเมทริกซ์เป็นที่เข้าใจได้ดีขึ้น ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง, เพราะ คำจำกัดความเพียงอย่างเดียวอาจทำให้เกิดความสับสนได้

เริ่มจากตัวอย่างที่ง่ายที่สุด:

จะต้องคูณด้วย ก่อนอื่น เราจะให้สูตรสำหรับกรณีนี้:

-ที่นี่มีรูปแบบชัดเจน.

คูณด้วย .

สูตรสำหรับกรณีนี้คือ: .

การคูณเมทริกซ์และผลลัพธ์:

จึงทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์เป็นศูนย์

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า "กฎการจัดเรียงตำแหน่งของข้อกำหนดใหม่" ใช้ไม่ได้ผล เนื่องจากเกือบทุกครั้ง มน≠ น.เอ็ม.- ดังนั้นการผลิต การดำเนินการคูณเมทริกซ์ไม่ควรเปลี่ยนไม่ว่าในกรณีใด

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างการคูณเมทริกซ์ลำดับที่สาม:

คูณ บน .

สูตรนี้คล้ายกับสูตรก่อนหน้ามาก:

โซลูชันเมทริกซ์: .

นี่เป็นการคูณเมทริกซ์แบบเดียวกัน โดยจะใช้เฉพาะจำนวนเฉพาะแทนเมทริกซ์ตัวที่สอง อย่างที่คุณอาจเดาได้ การคูณแบบนี้ทำได้ง่ายกว่ามาก

ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข:

ทุกอย่างชัดเจนที่นี่ - เพื่อที่จะ คูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์จะต้องคูณตามลำดับด้วยตัวเลขที่ระบุ ในกรณีนี้ - โดย 3

อีกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์:

- การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนเศษส่วน

ก่อนอื่น เราจะแสดงให้คุณเห็นว่าอะไรไม่ควรทำ:

เมื่อคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนเศษส่วน คุณไม่จำเป็นต้องป้อนเศษส่วนลงในเมทริกซ์ เนื่องจากจะทำให้ยากขึ้นตั้งแต่แรกเท่านั้น การดำเนินการเพิ่มเติมด้วยเมทริกซ์ ประการที่สอง ทำให้ครูตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้ยาก

และยิ่งกว่านั้น ไม่จำเป็นต้องแบ่งแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วย -7:

.

สิ่งที่ควรทำในกรณีนี้คือการเพิ่มเครื่องหมายลบให้กับเมทริกซ์:

.

หากคุณมีตัวอย่างที่องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์หารด้วย 7 ลงตัวโดยไม่มีเศษ คุณก็สามารถหาร (และควร!)

ในตัวอย่างนี้ เป็นไปได้และจำเป็นต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ด้วย ½ เนื่องจาก แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์หารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ

หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษาไม่มีแนวคิดเรื่อง "การหาร" แทนที่จะพูดว่า “นี่หารด้วยสิ่งนั้น” คุณสามารถพูดว่า “นี่คูณด้วยเศษส่วน” ได้เสมอ นั่นคือการหารเป็นกรณีพิเศษของการคูณ