วงกลมบนระนาบพิกัด พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดบนระนาบ สมการของวงกลม วงกลมที่ถูกแทนที่

หากคุณวางวงกลมหมายเลขหน่วยบนระนาบพิกัด คุณจะสามารถค้นหาพิกัดของจุดต่างๆ ได้ วงกลมตัวเลขอยู่ในตำแหน่งเพื่อให้ศูนย์กลางตรงกับจุดกำเนิดของระนาบ นั่นคือจุด O (0; 0)

โดยปกติแล้วบนวงกลมหมายเลขหน่วยจะมีการทำเครื่องหมายจุดที่ตรงกับที่มาของวงกลม

• ไตรมาส - 0 หรือ 2π, π/2, π, (2π)/3,
• ตรงกลาง - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• หนึ่งในสามของควอเตอร์ - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6

บนระนาบพิกัด โดยที่ตำแหน่งด้านบนของวงกลมหน่วยอยู่บนนั้น คุณจะพบพิกัดที่สอดคล้องกับจุดเหล่านี้ของวงกลม

พิกัดปลายควอเตอร์หาง่ายมาก ที่จุดที่ 0 ของวงกลม พิกัด x คือ 1 และพิกัด y คือ 0 เราสามารถเขียนแทนได้ว่า A (0) = A (1; 0)

จุดสิ้นสุดของไตรมาสแรกจะอยู่บนแกน y บวก ดังนั้น B (π/2) = B (0; 1)

จุดสิ้นสุดของควอเตอร์ที่สองอยู่บนครึ่งแกนลบ: C (π) = C (-1; 0)

สิ้นสุดควอเตอร์ที่สาม: D ((2π)/3) = D (0; -1)

แต่จะหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของไตรมาสได้อย่างไร? เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือส่วนจากจุดศูนย์กลางของวงกลม (หรือจุดกำเนิด) ไปยังจุดกึ่งกลางของวงกลมในสี่ส่วน นี่คือรัศมีของวงกลม เนื่องจากวงกลมมีหน่วยเป็นด้าน ด้านตรงข้ามมุมฉากจึงเท่ากับ 1 จากนั้น ให้วาดเส้นตั้งฉากจากจุดบนวงกลมไปยังแกนใดๆ ให้มันเป็นไปทางแกน x ผลลัพธ์ที่ได้คือสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งความยาวของขาเป็นพิกัด x และ y ของจุดบนวงกลม

วงกลมหนึ่งในสี่คือ90° และครึ่งในสี่คือ45° เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากถูกลากไปที่จุดกึ่งกลางของจตุภาค มุมระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาที่ยื่นออกมาจากจุดกำเนิดคือ 45° แต่ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ คือ 180° ดังนั้น มุมระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาอีกข้างจึงยังคงอยู่ที่ 45° ผลลัพธ์ที่ได้คือสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้สมการ x 2 + y 2 = 1 2 เนื่องจาก x = y และ 1 2 = 1 สมการจึงลดรูปลงเหลือ x 2 + x 2 = 1 เมื่อแก้โจทย์แล้ว เราจะได้ x = √½ = 1/√2 = √2/2

ดังนั้น พิกัดของจุด M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2)

ในพิกัดของจุดกึ่งกลางของไตรมาสอื่น ๆ เฉพาะสัญญาณเท่านั้นที่จะเปลี่ยนไปและโมดูลของค่าจะยังคงเหมือนเดิมเนื่องจากสามเหลี่ยมมุมฉากจะพลิกกลับเท่านั้น เราได้รับ:
ม 2 ((3π)/4) = ม 2 (-√2/2; √2/2)
ม 3 ((5π)/4) = ม 3 (-√2/2; -√2/2)
ม 4 ((7π)/4) = ม 4 (√2/2; -√2/2)

เมื่อกำหนดพิกัดของส่วนที่สามของไตรมาสของวงกลม จะมีการสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้วย หากเราหาจุด π/6 แล้ววาดตั้งฉากกับแกน x มุมระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาที่วางอยู่บนแกน x จะเป็น 30 องศา เป็นที่ทราบกันว่าขาที่วางตรงข้ามกับมุม 30 องศา เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าเราพบพิกัด y แล้ว ซึ่งเท่ากับ ½

เมื่อทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากและขาข้างหนึ่ง โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะพบขาอีกข้างหนึ่ง:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

ดังนั้น T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½)

สำหรับจุดหนึ่งในสามของควอเตอร์แรก (π/3) ควรวาดตั้งฉากกับแกนกับแกน y จากนั้นมุมที่จุดกำเนิดก็จะเป็น 30 องศาเช่นกัน โดยพิกัด x จะเท่ากับ ½ และ y ตามลำดับ √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2)

สำหรับจุดอื่นๆ ของควอเตอร์ที่ 3 เครื่องหมายและลำดับของค่าพิกัดจะเปลี่ยนไป ทุกจุดที่อยู่ใกล้กับแกน x จะมีค่าพิกัดโมดูลัส x เท่ากับ √3/2 จุดเหล่านั้นที่อยู่ใกล้กับแกน y จะมีค่าโมดูลัส y เท่ากับ √3/2
ต 3 ((2π)/3) = ต 3 (-½; √3/2)
ต 4 ((5π)/6) = ต 4 (-√3/2; ½)
ต 5 ((7π)/6) = ต 5 (-√3/2; -½)
ต 6 ((4π)/3) = ต 6 (-½; -√3/2)
ต 7 ((5π)/3) = ต 7 (½; -√3/2)
ต 8 ((11π)/6) = ต 8 (√3/2; -½)

คำจำกัดความ 1. แกนจำนวน ( เส้นจำนวน เส้นพิกัด) Ox คือเส้นตรงที่เลือกจุด O ต้นกำเนิด (ที่มาของพิกัด)(รูปที่ 1) ทิศทาง

โอ → x

ระบุไว้เป็น ทิศทางเชิงบวกและส่วนนั้นจะถูกทำเครื่องหมายไว้ตามความยาวของส่วนนั้น หน่วยความยาว.

คำจำกัดความ 2 ส่วนที่มีความยาวถือเป็นหน่วยความยาวเรียกว่ามาตราส่วน

แต่ละจุดบนแกนจำนวนมีพิกัดที่เป็นจำนวนจริง พิกัดของจุด O เป็นศูนย์ พิกัดของจุดใดก็ได้ A ที่วางอยู่บนรังสี Ox เท่ากับความยาวของส่วน OA

พิกัดของจุดใดก็ได้ A ของแกนตัวเลขที่ไม่ได้อยู่บนรังสี Ox นั้นเป็นค่าลบและในค่าสัมบูรณ์จะเท่ากับความยาวของส่วน OA คำจำกัดความ 3ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy บนระนาบ โทรหากันสองคนตั้งฉาก แกนตัวเลข Ox และ Oy ด้วยขนาดเดียวกัน และจุดอ้างอิงทั่วไป ทวนเข็มนาฬิกา(รูปที่ 2)

บันทึก. เรียกว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy ดังแสดงในรูปที่ 2 ระบบพิกัดที่ถูกต้องไม่เหมือน ระบบพิกัดด้านซ้ายโดยการหมุนลำแสง Ox ที่มุม 90° กับลำแสง Oy จะดำเนินการในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ในคู่มือนี้เรา เราพิจารณาเฉพาะระบบพิกัดทางขวาเท่านั้นโดยไม่ระบุเจาะจงไว้

หากเราแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy บนระนาบ แต่ละจุดของระนาบจะได้รับ สองพิกัด – แอบซิสซาขนาดเดียวกัน บวชซึ่งคำนวณได้ดังนี้ ให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน ให้เราปล่อยเส้นตั้งฉากจากจุด A เอเอ 1 และ เอเอ 2 ถึงเส้นตรง Ox และ Oy ตามลำดับ (รูปที่ 3)

คำจำกัดความที่ 4 พิกัดของจุด A คือพิกัดของจุด ก 1 บนแกนตัวเลข Ox พิกัดของจุด A คือพิกัดของจุด ก 2 บนแกนตัวเลข Oy

การกำหนด พิกัด (abscissa และ ordinate) ของจุด A ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy (รูปที่ 4) มักจะแสดงแทน ก(x;ย) หรือ ก = (x; ย).

บันทึก. จุด O เรียกว่า ต้นทาง, มีพิกัด โอ(0 ; 0) .

คำจำกัดความที่ 5 ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy แกนตัวเลข Ox เรียกว่าแกน abscissa และแกนตัวเลข Oy เรียกว่าแกนกำหนด (รูปที่ 5)

คำนิยาม 6 ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมแต่ละระบบจะแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน (ควอแดรนท์) โดยหมายเลขจะแสดงในรูปที่ 5

คำนิยาม 7 ระนาบซึ่งกำหนดระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมไว้นั้นเรียกว่า ประสานงานเครื่องบิน.

บันทึก. แกนแอบซิสซาถูกระบุบนระนาบพิกัดโดยสมการ ย= 0 แกนพิกัดถูกกำหนดไว้บนระนาบพิกัดโดยสมการ x = 0.

คำชี้แจง 1. ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดประสานงานเครื่องบิน

ก 1 (x 1 ;ย 1) ขนาดเดียวกัน ก 2 (x 2 ;ย 2)

คำนวณ ตามสูตร

การพิสูจน์ . พิจารณารูปที่ 6

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์เป็นเทคนิคที่สม่ำเสมอในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จุดและเส้นที่กำหนดและที่ต้องการทั้งหมดจะถูกกำหนดให้กับระบบพิกัดเดียว

ในระบบพิกัด แต่ละจุดสามารถกำหนดลักษณะด้วยพิกัดของมัน และแต่ละเส้น - โดยสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ซึ่งเป็นกราฟของเส้นนี้ ดังนั้นปัญหาเรขาคณิตจึงลดลงเหลือเพียงพีชคณิตซึ่งวิธีการคำนวณทั้งหมดได้รับการพัฒนาอย่างดี

วงกลมคือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่มีคุณสมบัติเฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่ง (แต่ละจุดบนวงกลมมีระยะห่างเท่ากันจากจุดหนึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลาง) สมการของวงกลมจะต้องสะท้อนถึงคุณสมบัตินี้และเป็นไปตามเงื่อนไขนี้

การตีความทางเรขาคณิตของสมการของวงกลมคือเส้นของวงกลม

หากคุณวางวงกลมในระบบพิกัด จุดทั้งหมดบนวงกลมจะเป็นไปตามเงื่อนไขเดียว - ระยะห่างจากจุดเหล่านั้นถึงศูนย์กลางของวงกลมจะต้องเท่ากันและเท่ากับวงกลม

วงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด ก และรัศมี ร วางไว้ในระนาบพิกัด

ถ้าพิกัดตรงกลาง (ก;ข) และพิกัดของจุดใดๆ บนวงกลม (x;y) แล้วสมการของวงกลมจะมีรูปแบบดังนี้

ถ้ากำลังสองของรัศมีของวงกลมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดใดๆ บนวงกลมและจุดศูนย์กลาง สมการนี้ก็คือสมการของวงกลมในระบบพิกัดระนาบ

หากศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิด กำลังสองของรัศมีของวงกลมจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดของจุดใดๆ บนวงกลม ในกรณีนี้ สมการของวงกลมจะอยู่ในรูปแบบ:

ดังนั้น รูปทรงเรขาคณิตใดๆ ที่เป็นตำแหน่งของจุดจะถูกกำหนดโดยสมการที่เชื่อมพิกัดของจุดต่างๆ ในทางกลับกันสมการที่เกี่ยวข้องกับพิกัด เอ็กซ์ ขนาดเดียวกัน ที่ ให้กำหนดเส้นตรงเป็นตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดบนระนาบซึ่งมีพิกัดเป็นไปตามสมการนี้

ตัวอย่างการแก้ปัญหาสมการของวงกลม

งาน. เขียนสมการสำหรับวงกลมที่กำหนด

เขียนสมการของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (2;-3) และรัศมี 4

สารละลาย.
ให้เรามาดูสูตรสมการของวงกลม:
ร 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

ลองแทนค่าลงในสูตร
รัศมีวงกลม R = 4
พิกัดจุดศูนย์กลางวงกลม (ตามเงื่อนไข)
ก = 2
ข = -3

เราได้รับ:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
หรือ
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

งาน. จุดอยู่ในสมการของวงกลมหรือไม่?

ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นของหรือไม่ เอ(2;3)สมการของวงกลม (x - 2) 2 +(ใช่+3) 2 = 16 .

สารละลาย.
หากจุดหนึ่งเป็นของวงกลม พิกัดของจุดนั้นจะเป็นไปตามสมการของวงกลม
เพื่อตรวจสอบว่าจุดที่มีพิกัดที่กำหนดเป็นของวงกลมหรือไม่ เราจะแทนที่พิกัดของจุดนั้นลงในสมการของวงกลมที่กำหนด

ในสมการ ( x - 2) 2 + (ย + 3) 2 = 16
ให้เราแทนพิกัดของจุด A(2;3) ตามเงื่อนไขนั่นคือ
x = 2
ย=3

เรามาตรวจสอบความจริงของผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันกัน
(x - 2) 2 + (ย + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 ความเท่าเทียมกันเป็นเท็จ

ดังนั้นจุดที่กำหนดให้ ไม่ได้เป็นของให้สมการของวงกลม