คำตอบของระบบอสมการที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น อสมการ. ประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน ครั้งที่สอง การทำซ้ำและการรวมวัสดุที่ครอบคลุม

สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับไอคอนความไม่เท่าเทียมกัน? ความไม่เท่าเทียมกันกับไอคอน มากกว่า (> ), หรือ น้อย (< ) ถูกเรียก เข้มงวด.ด้วยไอคอน มากกว่าหรือเท่ากับ (≥ ), น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤ ) ถูกเรียก ไม่เข้มงวดไอคอน ไม่เท่ากัน (≠ ) โดดเด่น แต่คุณยังต้องแก้ตัวอย่างด้วยไอคอนนี้ตลอดเวลา แล้วเราจะตัดสินใจ)

ตัวไอคอนเองไม่ได้มีอิทธิพลต่อกระบวนการแก้ไขปัญหามากนัก แต่เมื่อสิ้นสุดการตัดสินใจเมื่อเลือกคำตอบสุดท้ายความหมายของไอคอนก็ปรากฏขึ้น เต็มกำลัง- นี่คือสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างในตัวอย่าง มีเรื่องตลกอยู่บ้าง...

ความไม่เท่าเทียมกันเช่นเดียวกับความเท่าเทียมกันมีอยู่จริง ซื่อสัตย์และไม่ซื่อสัตย์ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ไม่มีลูกเล่น สมมุติว่า 5 > 2 คืออสมการที่แท้จริง 5 < 2 - ไม่ถูกต้อง

การเตรียมการนี้ใช้ได้กับความไม่เท่าเทียมกัน ชนิดใดก็ได้และเรียบง่ายจนถึงขั้นสยองขวัญ) คุณเพียงแค่ต้องดำเนินการเบื้องต้นสองครั้ง (เพียงสอง!) อย่างถูกต้อง การกระทำเหล่านี้ทุกคนคุ้นเคย แต่โดยลักษณะเฉพาะ ข้อผิดพลาดในการกระทำเหล่านี้เป็นข้อผิดพลาดหลักในการแก้ไขความไม่เท่าเทียม ใช่... ดังนั้นการกระทำเหล่านี้จึงต้องทำซ้ำ การดำเนินการเหล่านี้เรียกว่าดังนี้:

การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันของความไม่เท่าเทียมกัน

การแปลงอสมการที่เหมือนกันนั้นคล้ายคลึงกับการแปลงสมการที่เหมือนกันมาก จริงๆแล้วนี่คือปัญหาหลัก ความแตกต่างอยู่เหนือหัวของคุณและ... อยู่นี่ไง) ดังนั้น ฉันจะเน้นความแตกต่างเหล่านี้เป็นพิเศษ ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกที่เหมือนกัน:

1. จำนวนหรือนิพจน์เดียวกันสามารถบวก (ลบ) ทั้งสองข้างของอสมการได้ ใดๆ. สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

ในทางปฏิบัติกฎนี้ใช้เป็นการถ่ายโอนคำศัพท์จากด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันไปทางขวา (และในทางกลับกัน) โดยมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย ด้วยการเปลี่ยนสัญลักษณ์ของคำว่าไม่เท่าเทียมกัน! กฎหนึ่งต่อหนึ่งเหมือนกับกฎของสมการ แต่การแปลงอสมการที่เหมือนกันต่อไปนี้แตกต่างอย่างมากจากการแปลงในสมการ ดังนั้นฉันจึงเน้นด้วยสีแดง:

2. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้เชิงบวกตัวเลข. สำหรับอย่างใดอย่างหนึ่งเชิงบวก จะไม่เปลี่ยนแปลง

3. อสมการทั้งสองด้านสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้เชิงลบตัวเลข. สำหรับอย่างใดอย่างหนึ่งเชิงลบตัวเลข. สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันจากสิ่งนี้จะเปลี่ยนตรงกันข้าม

คุณจำได้ว่า (ฉันหวังว่า...) ว่าสมการนี้สามารถคูณหรือหารด้วยอะไรก็ได้ และสำหรับจำนวนใดๆ และสำหรับนิพจน์ที่มี X ถ้าเพียงแต่มันไม่เป็นศูนย์ สิ่งนี้ทำให้เขาสมการไม่ร้อนไม่หนาว) ก็ไม่เปลี่ยนแปลง แต่อสมการจะไวต่อการคูณ/หารมากกว่า

ตัวอย่างที่ชัดเจนสำหรับความจำที่ยาวนาน ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ทำให้เกิดข้อสงสัย:

5 > 2

คูณทั้งสองข้างด้วย +3, เราได้รับ:

15 > 6

มีข้อโต้แย้งอะไรบ้าง? ไม่มีการโต้แย้งใดๆ ทั้งสิ้น) และถ้าเราคูณทั้งสองข้างของอสมการเดิมด้วย -3, เราได้รับ:

15 > -6

และนี่คือการโกหกโดยสิ้นเชิง) การโกหกที่สมบูรณ์! หลอกลวงประชาชน! แต่ทันทีที่คุณเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการเป็นเครื่องหมายตรงข้าม ทุกอย่างก็จะเข้าที่:

15 < -6

ฉันไม่ได้แค่สบถเกี่ยวกับการโกหกและการหลอกลวงเท่านั้น) "ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายเท่ากับ..."- นี้ บ้านข้อผิดพลาดในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน กฎเล็กๆ น้อยๆ และเรียบง่ายนี้ทำร้ายผู้คนมากมาย! ซึ่งพวกเขาลืมไป...) ฉันก็เลยสาบาน บางทีฉันอาจจะจำได้...)

คนที่ใส่ใจเป็นพิเศษจะสังเกตเห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันไม่สามารถคูณด้วยนิพจน์ที่มี X ได้ เคารพผู้ที่เอาใจใส่!) ทำไมจะไม่ล่ะ? คำตอบนั้นง่าย เราไม่รู้เครื่องหมายของนิพจน์นี้ด้วย X อาจเป็นได้ทั้งบวก ลบ... ดังนั้นเราจึงไม่รู้ว่าจะต้องใส่เครื่องหมายอสมการใดหลังจากการคูณ ฉันควรเปลี่ยนหรือไม่? ไม่ทราบ แน่นอนว่าข้อจำกัดนี้ (การห้ามการคูณ/หารอสมการด้วยนิพจน์ที่มี x) สามารถหลีกเลี่ยงได้ หากคุณต้องการมันจริงๆ แต่นี่เป็นหัวข้อสำหรับบทเรียนอื่น

นั่นคือการแปลงอสมการที่เหมือนกันทั้งหมด ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าพวกเขาทำงานเพื่อ ใดๆความไม่เท่าเทียมกัน ตอนนี้คุณสามารถไปยังประเภทเฉพาะได้แล้ว

อสมการเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

อสมการเชิงเส้นคืออสมการโดยที่ x อยู่ในกำลัง 1 และไม่มีการหารด้วย x พิมพ์:

x+3 > 5x-5

ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวได้รับการแก้ไขอย่างไร? พวกมันแก้ไขได้ง่ายมาก! กล่าวคือ: ด้วยความช่วยเหลือของเรา เราจึงลดความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่น่าสับสนที่สุด ตรงไปที่คำตอบนั่นคือวิธีแก้ปัญหา ฉันจะเน้นประเด็นหลักของการตัดสินใจ เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลา)

มาแก้อสมการนี้กัน:

x+3 > 5x-5

เราแก้ด้วยวิธีเดียวกับ สมการเชิงเส้น- มีความแตกต่างเพียงอย่างเดียว:

เราเฝ้าสังเกตสัญญาณความไม่เท่าเทียมอย่างระมัดระวัง!

ขั้นตอนแรกเป็นเรื่องธรรมดาที่สุด ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา... นี่เป็นการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งแรก เรียบง่ายและไร้ปัญหา) อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของเงื่อนไขที่ถ่ายโอน

สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่:

x-5x > -5-3

นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน

สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่:

4x > -8

ยังคงต้องใช้การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งล่าสุด: หารทั้งสองข้างด้วย -4

แบ่งตาม เชิงลบตัวเลข.

เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม:

เอ็กซ์ < 2

นี่คือคำตอบ

นี่คือวิธีแก้ไขอสมการเชิงเส้นทั้งหมด

ความสนใจ! จุดที่ 2 วาดเป็นสีขาวเช่น ไม่ได้ทาสี ข้างในว่างเปล่า. ซึ่งหมายความว่าเธอไม่รวมอยู่ในคำตอบ! ฉันวาดภาพเธอให้มีสุขภาพแข็งแรงโดยตั้งใจ จุดดังกล่าว (ว่างเปล่า ไม่ดีต่อสุขภาพ!)) ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า จุดเจาะ

สามารถทำเครื่องหมายตัวเลขที่เหลือบนแกนได้ แต่ไม่จำเป็น จำนวนที่ไม่เกี่ยวข้องที่ไม่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันของเราอาจทำให้เกิดความสับสน ใช่... คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าตัวเลขนั้นเพิ่มขึ้นตามทิศทางของลูกศร เช่น หมายเลข 3, 4, 5 ฯลฯ เป็น ไปทางขวาเป็นสอง และตัวเลขคือ 1, 0, -1 ฯลฯ - ไปทางซ้าย

ความไม่เท่าเทียมกันx < 2 - เข้มงวด. X น้อยกว่าสองอย่างเคร่งครัด หากมีข้อสงสัย การตรวจสอบก็ทำได้ง่าย เราแทนที่จำนวนที่น่าสงสัยเป็นอสมการแล้วคิดว่า: “สองน้อยกว่าสองเหรอ ไม่สิ!” ถูกต้องแล้ว ความไม่เท่าเทียมกัน 2 < 2 ไม่ถูกต้อง.การตอบแทนสองครั้งนั้นไม่เหมาะสม

หนึ่งโอเคไหม? แน่นอน. น้อยกว่า... และศูนย์ก็ดี และ -17 และ 0.34... ใช่ ตัวเลขทั้งหมดที่น้อยกว่าสองถือว่าดี! และแม้แต่ 1.9999.... อย่างน้อยก็น้อยแต่น้อย!

ลองทำเครื่องหมายตัวเลขทั้งหมดนี้บนแกนตัวเลขกัน ยังไง? มีตัวเลือกอยู่ที่นี่ ตัวเลือกที่หนึ่ง - การแรเงา เราเลื่อนเมาส์ไปเหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และดูว่าพื้นที่ของ x ทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไข x เป็นสีเทา < 2 - แค่นั้นแหละ.

ลองดูตัวเลือกที่สองโดยใช้ตัวอย่างที่สอง:

เอ็กซ์ ≥ -0,5

วาดแกนและทำเครื่องหมายตัวเลข -0.5 แบบนี้:

สังเกตเห็นความแตกต่างไหม?) ใช่ สังเกตได้ยาก... จุดนี้เป็นสีดำ! ทาสีทับแล้ว ซึ่งหมายความว่า -0.5 รวมอยู่ในคำตอบแล้วอย่างไรก็ตาม การยืนยันอาจทำให้ใครบางคนสับสน มาทดแทนกัน:

-0,5 ≥ -0,5

ยังไงล่ะ? -0.5 ไม่เกิน -0.5! และมีไอคอนเพิ่มเติม...

ไม่เป็นไร. ในความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด ทุกอย่างที่เหมาะกับไอคอนนั้นเหมาะสม และ เท่ากับดีและ มากกว่าดี. ดังนั้น จึงรวม -0.5 ไว้ในการตอบสนองด้วย

ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมาย -0.5 บนแกน แต่ยังคงทำเครื่องหมายตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่า -0.5 คราวนี้ฉันทำเครื่องหมายพื้นที่ของค่า x ที่เหมาะสม โค้งคำนับ(จากคำว่า ส่วนโค้ง) แทนที่จะแรเงา เราวางเคอร์เซอร์ไว้เหนือภาพวาดแล้วเห็นคันธนูนี้

ไม่มีความแตกต่างเป็นพิเศษระหว่างการแรเงาและแขน ทำตามที่อาจารย์บอก หากไม่มีอาจารย์ให้วาดโค้ง มากขึ้น งานที่ยากลำบากการแรเงาไม่ชัดเจน คุณสามารถสับสนได้

นี่คือวิธีการวาดอสมการเชิงเส้นบนแกน ให้เราไปยังคุณลักษณะถัดไปของความไม่เท่าเทียมกัน

การเขียนคำตอบสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน

สมการนั้นดี) เราพบ x และจดคำตอบไว้ เช่น: x=3 การเขียนคำตอบในเรื่องอสมการมีสองรูปแบบ สิ่งหนึ่งอยู่ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันขั้นสุดท้าย เหมาะสำหรับกรณีง่ายๆ ตัวอย่างเช่น:

เอ็กซ์< 2.

นี่คือคำตอบที่สมบูรณ์

บางครั้งคุณจำเป็นต้องเขียนสิ่งเดียวกันแต่ในรูปแบบที่แตกต่างกันตามช่วงตัวเลข จากนั้นการบันทึกก็เริ่มดูเป็นวิทยาศาสตร์มาก):

x ∈ (-∞; 2)

ใต้ไอคอน ∈ คำนี้ถูกซ่อนอยู่ "เป็นของ"

รายการอ่านดังนี้: x อยู่ในช่วงจากลบอนันต์ถึงสอง ไม่รวม. ค่อนข้างสมเหตุสมผล X สามารถเป็นตัวเลขใดๆ จากจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมดตั้งแต่ลบอนันต์ไปจนถึงสอง ไม่สามารถมี X สองเท่าได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่คำนี้บอกเรา "ไม่รวม".

และคำตอบนั้นชัดเจนตรงไหน "ไม่รวม"- ข้อเท็จจริงนี้ถูกบันทึกไว้ในคำตอบ กลมวงเล็บปีกกาทันทีหลังจากทั้งสอง หากรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน วงเล็บก็จะเป็น สี่เหลี่ยม.นี่:]. ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้วงเล็บดังกล่าว

มาเขียนคำตอบกัน: x ≥ -0,5 เป็นระยะ:

x ∈ [-0.5; +)

อ่าน: x อยู่ในช่วงตั้งแต่ลบ 0.5 รวมทั้ง,เพื่อบวกอนันต์

อินฟินิตี้ไม่สามารถเปิดได้ ไม่ใช่ตัวเลขแต่เป็นสัญลักษณ์ ดังนั้นในสัญลักษณ์ดังกล่าว อนันต์จึงอยู่ติดกับวงเล็บเสมอ

การบันทึกรูปแบบนี้เหมาะสำหรับคำตอบที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยช่องว่างหลายช่อง แต่ - เพียงเพื่อคำตอบสุดท้าย ในผลลัพธ์ระดับกลาง ซึ่งคาดว่าจะมีวิธีแก้ไขเพิ่มเติม ควรใช้รูปแบบปกติในรูปแบบของอสมการอย่างง่าย เราจะจัดการกับเรื่องนี้ในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

งานยอดนิยมที่มีความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการเชิงเส้นนั้นเรียบง่าย ดังนั้นงานจึงมักจะยากขึ้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคิด สิ่งนี้ถ้าคุณไม่คุ้นเคยก็ไม่น่าพอใจนัก) แต่มันก็มีประโยชน์ ฉันจะแสดงตัวอย่างงานดังกล่าว ไม่ใช่สำหรับคุณที่จะเรียนรู้มันไม่จำเป็น และเพื่อไม่ให้ต้องกลัวเมื่อเจอตัวอย่างดังกล่าว แค่คิดสักนิด - ง่ายๆ เลย!)

1. ค้นหาผลเฉลยสองข้อของอสมการ 3x - 3< 0

หากยังไม่ชัดเจนว่าต้องทำอย่างไร ให้จำกฎหลักของคณิตศาสตร์ไว้:

หากคุณไม่รู้ว่าคุณต้องการอะไร ให้ทำเท่าที่ทำได้!)

เอ็กซ์ < 1

แล้วอะไรล่ะ? ไม่มีอะไรพิเศษ พวกเขากำลังถามอะไรเรา? เราถูกขอให้ค้นหาตัวเลขเฉพาะสองตัวที่เป็นคำตอบของอสมการ เหล่านั้น. พอดีคำตอบ. สอง ใดๆตัวเลข อันที่จริงนี่น่าสับสน) 0 และ 0.5 สองสามอันก็เหมาะสม คู่ -3 และ -8 คู่นี้มีจำนวนไม่สิ้นสุด! คำตอบไหนถูก!

ฉันตอบ: ทุกอย่าง! คู่ตัวเลขใดๆ ซึ่งแต่ละจำนวนมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง จะเป็นคำตอบที่ถูกต้องเขียนสิ่งที่คุณต้องการ เดินหน้าต่อไป

2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

4x - 3 ≠ 0

งานในรูปแบบนี้มีน้อย แต่เนื่องจากอสมการเสริม เช่น เมื่อค้นหา ODZ หรือเมื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน สิ่งเหล่านี้จะเกิดขึ้นตลอดเวลา อสมการเชิงเส้นดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเชิงเส้นธรรมดา เฉพาะทุกที่ยกเว้นเครื่องหมาย "=" ( เท่ากับ) ใส่เครื่องหมาย " ≠ " (ไม่เท่ากัน- นี่คือวิธีที่คุณใช้หาคำตอบโดยมีเครื่องหมายอสมการ:

เอ็กซ์ ≠ 0,75

มากขึ้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนควรทำสิ่งที่แตกต่างออกไปจะดีกว่า สร้างความไม่เท่าเทียมกันจากความเท่าเทียมกัน แบบนี้:

4x - 3 = 0

ใจเย็น ๆ แก้ไขตามที่สอนและรับคำตอบ:

x = 0.75

สิ่งสำคัญคือในตอนท้ายสุดเมื่อเขียนคำตอบสุดท้ายอย่าลืมว่าเราพบ x ซึ่งให้ ความเท่าเทียมกันและเราต้องการ- ความไม่เท่าเทียมกันดังนั้นเราจึงไม่ต้องการ X นี้จริงๆ) และเราต้องเขียนมันลงไปด้วยสัญลักษณ์ที่ถูกต้อง:

เอ็กซ์ ≠ 0,75

วิธีการนี้ส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดน้อยลง ผู้แก้สมการอัตโนมัติ และสำหรับผู้ที่แก้สมการไม่ได้ ความจริงแล้วอสมการก็ไม่มีประโยชน์...) อีกตัวอย่างหนึ่งของงานที่ได้รับความนิยม:

3. ค้นหาคำตอบของจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดของอสมการ:

3(x - 1) < 5x + 9

ก่อนอื่นเราก็แค่แก้อสมการ เราเปิดวงเล็บ เคลื่อนย้าย นำอันที่คล้ายกัน... เราได้รับ:

เอ็กซ์ > - 6

มันไม่ได้ผลอย่างนั้นเหรอ!? ตามป้ายมั้ย!? และเบื้องหลังสัญลักษณ์ของสมาชิก และเบื้องหลังสัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียม...

ลองคิดดูอีกครั้ง เราจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขเฉพาะที่ตรงกับทั้งคำตอบและเงื่อนไข "จำนวนเต็มที่น้อยที่สุด"หากมันไม่เกิดขึ้นกับคุณทันที คุณสามารถใช้ตัวเลขใดก็ได้แล้วคิดออก สองส่วนลบหกเหรอ? แน่นอน! มีจำนวนน้อยกว่าที่เหมาะสมหรือไม่? แน่นอน. ตัวอย่างเช่น ศูนย์มีค่ามากกว่า -6 และแม้แต่น้อย? เราต้องการสิ่งที่เล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้! ลบสามมากกว่าลบหก! จับรูปแบบได้แล้วหยุดดูตัวเลขแบบโง่ๆ ได้เลยใช่ไหม?)

ลองนำตัวเลขเข้าใกล้ -6 กัน ตัวอย่างเช่น -5 คำตอบเป็นจริงแล้ว -5 > - 6. เป็นไปได้ไหมที่จะหาจำนวนอื่นที่น้อยกว่า -5 แต่มากกว่า -6? ตัวอย่างเช่น คุณสามารถ -5.5... หยุด! เราได้รับการบอกเล่า ทั้งหมดสารละลาย! ไม่ม้วน -5.5! แล้วลบ 6 ล่ะ? เอ่อเอ่อ! อสมการเข้มงวด ลบ 6 ไม่ต่ำกว่าลบ 6 เลย!

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ -5

หวังว่าจะมีการเลือกค่าจาก วิธีแก้ปัญหาทั่วไปทุกอย่างชัดเจน อีกตัวอย่างหนึ่ง:

4. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

7 < 3x+1 < 13

ว้าว! สำนวนนี้เรียกว่า ความไม่เท่าเทียมกันสามเท่าพูดอย่างเคร่งครัด นี่คือรูปแบบย่อของระบบความไม่เท่าเทียมกัน แต่ความไม่เท่าเทียมกันสามประการดังกล่าวยังคงต้องได้รับการแก้ไขในบางงาน... สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้ระบบใดๆ ตามการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน

เราต้องลดรูป นำอสมการนี้มาสู่ X ล้วนๆ แต่... จะโอนไปไหนล่ะ?! นี่คือจุดที่ถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่าการเคลื่อนไปทางซ้ายและขวาคือ แบบสั้นการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก

ก แบบฟอร์มเต็มฟังดูเหมือน: คุณสามารถเพิ่ม/ลบจำนวนหรือนิพจน์ใดๆ ลงทั้งสองข้างของสมการได้ (อสมการ)

มีสามส่วนที่นี่ ดังนั้นเราจะใช้การแปลงที่เหมือนกันกับทั้งสามส่วน!

ลองกำจัดอันที่อยู่ตรงกลางของอสมการออกไป. ลองลบอันหนึ่งออกจากส่วนตรงกลางทั้งหมด เพื่อให้อสมการไม่เปลี่ยนแปลง เราก็ลบหนึ่งออกจากสองส่วนที่เหลือ แบบนี้:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

ดีกว่าใช่ไหม?) สิ่งที่เหลืออยู่คือการแบ่งทั้งสามส่วนออกเป็นสามส่วน:

2 < เอ็กซ์ < 4

แค่นั้นแหละ. นี่คือคำตอบ X สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่สอง (ไม่รวม) ถึงสี่ (ไม่รวม) คำตอบนี้เขียนเป็นระยะๆ เช่นกัน รายการดังกล่าวจะอยู่ในรูปอสมการกำลังสอง ที่นั่นเป็นสิ่งที่พบได้บ่อยที่สุด

เมื่อสิ้นสุดบทเรียน ฉันจะทำซ้ำสิ่งที่สำคัญที่สุด ความสำเร็จในการแก้อสมการเชิงเส้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแปลงและลดความซับซ้อนของสมการเชิงเส้น หากในขณะเดียวกัน สังเกตสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันจะไม่มีปัญหาใดๆ นั่นคือสิ่งที่ฉันต้องการสำหรับคุณ ไม่มีปัญหา.)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ตัวอย่างเช่น อสมการคือนิพจน์ \(x>5\)

ประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน:

ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นตัวเลข หรือ จะเรียกว่าอสมการ ตัวเลข- จริงๆ แล้วมันเป็นแค่การเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวเท่านั้น ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวจะแบ่งออกเป็น ซื่อสัตย์และ ไม่ซื่อสัตย์.

ตัวอย่างเช่น:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก \(17+3=20\) และ \(20\) น้อยกว่า \(115\) (และไม่เกินหรือเท่ากับ) .

ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร เราก็จะได้ ความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปร- ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ตามเนื้อหา:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				แปรผันเฉพาะยกกำลังแรกเท่านั้น
\(3x^2-x+5>0\)				มีตัวแปรอยู่ในยกกำลังที่สอง (กำลังสอง) แต่ไม่มีกำลังที่สูงกว่า (ที่สาม สี่ ฯลฯ)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... และอื่น ๆ

วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคืออะไร?

หากคุณแทนที่ตัวเลขแทนตัวแปรให้เป็นอสมการ มันจะเปลี่ยนเป็นตัวเลข

หากค่าที่กำหนดสำหรับ x เปลี่ยนอสมการดั้งเดิมให้เป็นค่าตัวเลขจริง ก็จะเรียกว่าค่านั้น การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน- ถ้าไม่เช่นนั้น ค่านี้ก็จะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา และเป็นเช่นนั้น แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน– คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด (หรือแสดงว่าไม่มีเลย)

ตัวอย่างเช่น,ถ้าเราแทนที่ตัวเลข \(7\) ลงในความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น \(x+6>10\) เราจะได้อสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง: \(13>10\) และถ้าเราแทน \(2\) จะเกิดอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง \(8>10\) นั่นคือ \(7\) เป็นวิธีแก้ปัญหาของอสมการเดิม แต่ \(2\) ไม่ใช่

อย่างไรก็ตาม อสมการ \(x+6>10\) มีวิธีแก้ปัญหาอื่น อันที่จริง เราจะได้ค่าอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องเมื่อแทน \(5\) และ \(12\) และ \(138\)... แล้วเราจะหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้อย่างไร สำหรับสิ่งนี้ พวกเขาใช้ สำหรับกรณีของเรา เรามี:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

นั่นคือจำนวนใด ๆ ที่มากกว่าสี่จะเหมาะกับเรา ตอนนี้คุณต้องเขียนคำตอบ คำตอบของอสมการมักจะเขียนเป็นตัวเลข โดยทำเครื่องหมายเพิ่มเติมบนแกนตัวเลขด้วยการแรเงา สำหรับกรณีของเรา เรามี:

คำตอบ: \(x\in(4;+\infty)\)

สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไปเมื่อใด?

มีกับดักใหญ่ประการหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันที่นักเรียน “ชอบ” จริงๆ ที่จะตกเข้าไป:

เมื่อคูณ (หรือหาร) อสมการด้วยจำนวนลบ จะกลับรายการ ("มากกว่า" ด้วย "น้อยกว่า" "มากกว่าหรือเท่ากับ" ด้วย "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" เป็นต้น)

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? เพื่อทำความเข้าใจสิ่งนี้ เรามาดูการแปลงของอสมการเชิงตัวเลข \(3>1\) กัน ถูกต้องแล้ว สามย่อมยิ่งใหญ่กว่าหนึ่งแน่นอน ขั้นแรก ลองคูณด้วยจำนวนบวกใดๆ ตัวอย่างเช่น 2:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

ดังที่เราเห็น หลังจากการคูณแล้ว อสมการยังคงเป็นจริง และไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกเท่าใด เราก็จะได้อสมการที่ถูกต้องเสมอ ทีนี้ลองคูณด้วย จำนวนลบตัวอย่างเช่น ลบสาม:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

ผลลัพธ์คืออสมการที่ไม่ถูกต้อง เพราะลบเก้าน้อยกว่าลบสาม! นั่นคือ เพื่อให้อสมการเป็นจริง (ดังนั้น การแปลงการคูณด้วยลบจึงถือเป็น "กฎหมาย") คุณต้องกลับเครื่องหมายการเปรียบเทียบ ดังนี้: \(−9<− 3\).
ด้วยการหารก็จะได้ผลเช่นเดียวกัน คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเอง

กฎที่เขียนไว้ข้างต้นใช้กับความไม่เท่าเทียมกันทุกประเภท ไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น

ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(2(x+1)-1<7+8x\)
สารละลาย:

\(2x+2-1<7+8x\)	ลองย้าย \(8x\) ไปทางซ้าย และ \(2\) และ \(-1\) ไปทางขวา อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	ลองหารอสมการทั้งสองข้างด้วย \(-6\) อย่าลืมเปลี่ยนจาก “น้อย” เป็น “มาก”
	เรามาทำเครื่องหมายช่วงเวลาตัวเลขบนแกนกัน ความไม่เท่าเทียมกันดังนั้นเราจึง "ทิ่ม" ค่า \(-1\) ออกมาเองและไม่ได้ถือเป็นคำตอบ
	ลองเขียนคำตอบเป็นช่วง

คำตอบ: \(x\in(-1;\infty)\)

ความไม่เท่าเทียมกันและความพิการ

อสมการก็เหมือนกับสมการที่สามารถมีข้อจำกัดได้ นั่นคือค่าของ x ดังนั้นค่าเหล่านั้นที่ไม่สามารถยอมรับได้ตาม DZ ควรแยกออกจากช่วงของโซลูชัน

ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(\sqrt(x+1)<3\)

สารละลาย: เห็นได้ชัดว่าเพื่อให้ทางด้านซ้ายมีค่าน้อยกว่า \(3\) นิพจน์รากจะต้องน้อยกว่า \(9\) (ท้ายที่สุด จาก \(9\) เพียง \(3\)) เราได้รับ:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

ทั้งหมด? ค่า x ที่น้อยกว่า \(8\) ใดจะเหมาะกับเรา เลขที่! เพราะหากเรานำค่า \(-5\) ที่ดูเหมือนจะตรงกับข้อกำหนดมาใช้ มันจะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาของอสมการเดิม เนื่องจากจะทำให้เราต้องคำนวณรากของจำนวนลบ

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

ดังนั้นเราจึงต้องคำนึงถึงข้อจำกัดของค่า X ด้วย - ไม่สามารถเป็นจำนวนลบใต้รูตได้ ดังนั้นเราจึงมีข้อกำหนดที่สองสำหรับ x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

และเพื่อให้ x เป็นคำตอบสุดท้าย มันจะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งสองพร้อมกัน: มันจะต้องน้อยกว่า \(8\) (เป็นคำตอบ) และมากกว่า \(-1\) (เป็นที่ยอมรับในหลักการ) เมื่อเขียนลงบนเส้นจำนวน เราก็จะได้คำตอบสุดท้าย:

คำตอบ: \(\ซ้าย[-1;8\ขวา)\)

ในบรรดาอสมการลอการิทึมที่หลากหลายทั้งหมด จะมีการศึกษาอสมการฐานตัวแปรแยกกัน พวกเขาได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรพิเศษซึ่งด้วยเหตุผลบางประการไม่ค่อยมีการสอนในโรงเรียน:

ล็อก k (x) f (x) ∨ ล็อก k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

แทนที่จะใส่เครื่องหมาย "∨" คุณสามารถใส่เครื่องหมายอสมการได้: ไม่มากก็น้อย สิ่งสำคัญคือในความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองสัญญาณจะเหมือนกัน

วิธีนี้เราจะกำจัดลอการิทึมและลดปัญหาให้เป็นอสมการเชิงตรรกยะ อย่างหลังนั้นแก้ได้ง่ายกว่ามาก แต่เมื่อละทิ้งลอการิทึม รากเพิ่มเติมอาจปรากฏขึ้น หากต้องการตัดออก ก็เพียงพอที่จะค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ หากคุณลืม ODZ ของลอการิทึม ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ทำซ้ำ - ดู "ลอการิทึมคืออะไร"

ทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้จะต้องเขียนและแก้ไขแยกกัน:

ฉ(x) > 0; ก.(x) > 0; เค(x) > 0; เค(x) ≠ 1.

ความไม่เท่าเทียมกันทั้งสี่นี้ประกอบขึ้นเป็นระบบและต้องได้รับการตอบสนองไปพร้อมๆ กัน เมื่อพบช่วงของค่าที่ยอมรับได้ สิ่งที่เหลืออยู่คือตัดกันด้วยวิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล - และคำตอบก็พร้อมแล้ว

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ขั้นแรก เรามาเขียน ODZ ของลอการิทึมกัน:

อสมการสองอันแรกจะเป็นไปตามนั้นโดยอัตโนมัติ แต่อันสุดท้ายจะต้องถูกเขียนออกมา เนื่องจากกำลังสองของตัวเลขเป็นศูนย์ ถ้าหากตัวเลขนั้นเองเป็นศูนย์ เราก็จะได้:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมเป็นตัวเลขทั้งหมดยกเว้นศูนย์: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞) ตอนนี้เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหลัก:

เราทำการเปลี่ยนแปลงจากอสมการลอการิทึมไปเป็นจำนวนตรรกยะ อสมการเดิมมีเครื่องหมาย “น้อยกว่า” ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นจะต้องมีเครื่องหมาย “น้อยกว่า” ด้วย เรามี:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

ค่าศูนย์ของนิพจน์นี้คือ: x = 3; x = −3; x = 0 นอกจากนี้ x = 0 ยังเป็นรากของการคูณที่สอง ซึ่งหมายความว่าเมื่อผ่านไป เครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง เรามี:

เราได้ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) ชุดนี้มีอยู่ใน ODZ ของลอการิทึมอย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่านี่คือคำตอบ

การแปลงอสมการลอการิทึม

บ่อยครั้งความไม่เท่าเทียมกันเริ่มแรกแตกต่างจากที่กล่าวมาข้างต้น สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้กฎมาตรฐานสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม" กล่าวคือ:

1. จำนวนใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมด้วยฐานที่กำหนดได้
2. ผลรวมและผลต่างของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันสามารถแทนที่ได้ด้วยลอการิทึมตัวเดียว

ฉันอยากจะเตือนคุณแยกกันเกี่ยวกับช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เนื่องจากอาจมีลอการิทึมหลายตัวในอสมการดั้งเดิม จึงจำเป็นต้องค้นหา VA ของลอการิทึมแต่ละตัว ดังนั้นโครงร่างทั่วไปสำหรับการแก้ไขอสมการลอการิทึมจึงเป็นดังนี้:

1. ค้นหา VA ของแต่ละลอการิทึมที่อยู่ในอสมการ
2. ลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นค่ามาตรฐานโดยใช้สูตรสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม
3. แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นโดยใช้รูปแบบที่ให้ไว้ข้างต้น

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

เรามาค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ (DO) ของลอการิทึมแรกกัน:

เราแก้โดยใช้วิธีช่วงเวลา ค้นหาศูนย์ของตัวเศษ:

3x - 2 = 0;
x = 2/3

จากนั้น - ศูนย์ของตัวส่วน:

x - 1 = 0;
x = 1

เราทำเครื่องหมายศูนย์และเครื่องหมายบนลูกศรพิกัด:

เราได้ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) ลอการิทึมที่สองจะมี VA เท่ากัน ไม่เชื่อก็ตรวจสอบได้ ตอนนี้เราแปลงลอการิทึมที่สองเพื่อให้ฐานเป็นสอง:

อย่างที่คุณเห็น ทั้งสามที่ฐานและด้านหน้าลอการิทึมลดลง เราได้ลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน มาเพิ่มกัน:

บันทึก 2 (x − 1) 2< 2;
บันทึก 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

เราได้รับอสมการลอการิทึมมาตรฐาน เรากำจัดลอการิทึมโดยใช้สูตร เนื่องจากอสมการเดิมมีเครื่องหมาย "น้อยกว่า" ผลลัพธ์ของนิพจน์เหตุผลจึงต้องน้อยกว่าศูนย์ด้วย เรามี:

(ฉ (x) - ก. (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3)

เรามีสองชุด:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. คำตอบของผู้สมัคร: x ∈ (−1; 3)

ยังคงต้องตัดกันชุดเหล่านี้ - เราได้รับคำตอบที่แท้จริง:

เราสนใจจุดตัดกันของเซต ดังนั้นเราจึงเลือกช่วงเวลาที่แรเงาบนลูกศรทั้งสอง เราได้ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - ทุกจุดถูกแทง

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: พิจารณาแก้ไขอสมการที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. คำชี้แจงหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ครั้งที่สอง การทำซ้ำและการรวมวัสดุที่ครอบคลุม

1. ตอบคำถามเรื่องการบ้าน (วิเคราะห์ปัญหาที่ยังไม่แก้ไข)

2. การตรวจสอบการดูดซึมของวัสดุ (ทดสอบ)

III. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

การแก้ไขอสมการที่ซับซ้อนด้วยโมดูลหรือพารามิเตอร์ในนั้น

ลองแก้อสมการ |x – 1| กัน < 3.

ขั้นแรก มาแก้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ในเชิงวิเคราะห์โดยพิจารณาสองกรณี:

ก) ถ้า x – 1 > 0 เช่น x > 1 แล้ว |x – 1| = x – 1 และอสมการดูเหมือน x – 1< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1 ในกรณีนี้เราได้รับคำตอบที่ 1< х < 4 или х [ 1; 4).

ข) ถ้า x – 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

เราพบการรวมกันของโซลูชันที่ได้รับ

เนื่องจากการเขียนคำตอบในปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์มีความสำคัญมาก (คำตอบถูกเขียนโดยเรียงลำดับจากน้อยไปมากของพารามิเตอร์) เราจึงให้คำตอบทั้งหมด:

เมื่อก< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1 x (-; และ + 1]

ตอนนี้เรามาดูอสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวกัน ตามกฎแล้ว ปัญหาดังกล่าวจะลดลงเหลือเพียงการแสดงชุดของจุดซึ่งพิกัดเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันบนระนาบพิกัด

บน ประสานงานเครื่องบินให้เราพรรณนาเซตของจุดที่พิกัดเป็นไปตามอสมการ y-2 > x-3

ลองเขียนอสมการนี้ในรูปแบบ y > x-1 ก่อนอื่น เรามาพลอตฟังก์ชันเชิงเส้น y = x-1 (เส้นตรง) เส้นนี้แบ่งจุดทั้งหมดของระนาบพิกัดออกเป็นจุดที่อยู่บนเส้นนี้และจุดที่อยู่ใต้เส้นนี้ ลองตรวจสอบว่าจุดใดที่ตรงกับอสมการนี้

จากพื้นที่แรก มาดูจุดควบคุม A (0; 0) ซึ่งเป็นที่มาของพิกัดกัน มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าค่าอสมการ y > -1 ยังคงอยู่ จากพื้นที่ที่สอง เราเลือก เช่น จุดควบคุม B (1; -1) สำหรับจุดนั้น อสมการ y > x-1 จะไม่คงอยู่ ด้วยเหตุนี้ ความไม่เท่าเทียมกันนี้จึงเป็นไปตามจุดที่อยู่เหนือและบนเส้นตรง y = x-1 (เช่น จุดที่คล้ายกับจุด A) จุดเหล่านี้เป็นสีเทา

สำหรับค่าของพารามิเตอร์ a สมการ ax 2 + x – 1 = 0 ไม่มีคำตอบสำหรับค่าใด

เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าของสมการขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a จึงจำเป็นต้องพิจารณาสองกรณี

ก) ถ้า 0 แล้วสมการ ax 2 + x – 1 = 0 จะเป็นกำลังสอง สมการดังกล่าวไม่มีคำตอบหากแยกแยะ D ได้< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) ถ้า a = 0 สมการ ax 2 + x – 1 = 0 จะเป็นเส้นตรงและมีรูปแบบ x – 1 = 0 แน่นอนว่าสมการนี้มีคำตอบเฉพาะ x = 1

ดังนั้นสำหรับ (-; -) สมการที่กำหนดไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ลองแก้อสมการ |x – 1| กัน + x 2 + 2 x + 1< 0.

ให้เราเขียนอสมการในรูปแบบ |x – 1| + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 และ 2 > 0 สำหรับค่าทั้งหมดของ a แล้วจึงผลรวม

|a| + a 2 > 0 สำหรับ a ทั้งหมด ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน |a| + ก 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

อสมการประเภทเดียวกันนี้มีอยู่ในตัวแปรสองตัว

บนระนาบพิกัด เราพรรณนาชุดของจุดซึ่งพิกัดเป็นไปตามอสมการ y-1< х 2 .

ให้เราเขียนอสมการในรูปแบบ y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

IV. งานมอบหมายในชั้นเรียนและที่บ้าน

1. แก้อสมการเชิงวิเคราะห์:

2. สำหรับค่าทั้งหมดของ a ให้แก้สมการอสมการ:

3. ค่าของพารามิเตอร์ a ใดที่สมการ

a) 3x 2 – 2x + a = 0 ไม่มีราก;
b) 2x 2 – 3x + 5a = 0 มีรากที่แตกต่างกันสองอัน
c) 3akh 2 – 4х + 1 = 0 มีรากที่แตกต่างกันสองอัน
d) ax 2 – 3x + 2 = 0 มีอย่างน้อยหนึ่งราก

4. แก้ไขอสมการในเชิงวิเคราะห์ (และถ้าเป็นไปได้เป็นกราฟิก):

ในบทความเราจะพิจารณา การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน- เราจะบอกคุณอย่างชัดเจนเกี่ยวกับ จะสร้างวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไรพร้อมตัวอย่างที่ชัดเจน!

ก่อนที่เราจะดูการแก้ไขอสมการโดยใช้ตัวอย่าง เรามาทำความเข้าใจแนวคิดพื้นฐานกันก่อน

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกัน

ความไม่เท่าเทียมกันคือนิพจน์ที่ฟังก์ชันต่างๆ เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายความสัมพันธ์ >, อสมการสามารถเป็นได้ทั้งตัวเลขและตัวอักษร
อสมการที่มีสองเครื่องหมายของอัตราส่วนเรียกว่าสองเท่าโดยมีสาม - สามเท่าเป็นต้น ตัวอย่างเช่น:
ก(x) > ข(x)
ก(x) ก(x) ข(x)
ก(x) ข(x)
ก(x) อสมการที่มีเครื่องหมาย > หรือ หรือ - ไม่เข้มงวด
การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคือค่าใดๆ ของตัวแปรที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง
"แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน" หมายความว่า เราต้องค้นหาเซตของคำตอบของมันให้หมด ซึ่งมีหลากหลาย วิธีการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน- สำหรับ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันพวกเขาใช้เส้นจำนวนซึ่งเป็นอนันต์ ตัวอย่างเช่น, การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน x > 3 คือช่วงเวลาจาก 3 ถึง + และตัวเลข 3 จะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลานี้ ดังนั้นจุดบนเส้นจึงแสดงด้วยวงกลมว่าง เนื่องจาก ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด
+
คำตอบจะเป็น: x (3; +)
ค่า x=3 ไม่รวมอยู่ในชุดวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นวงเล็บจึงเป็นทรงกลม เครื่องหมายอนันต์จะถูกเน้นด้วยวงเล็บเสมอ เครื่องหมายหมายถึง "เป็นของ"
ลองดูวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้ตัวอย่างอื่นที่มีเครื่องหมาย:
x2
-+
ค่า x=2 รวมอยู่ในชุดคำตอบ ดังนั้นวงเล็บจึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและจุดบนเส้นถูกระบุด้วยวงกลมเต็ม
คำตอบจะเป็น: x)