ในสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ปริมาณจะคงที่ สมการของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก พื้นฐานของทฤษฎีแมกซ์เวลล์สำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

เราดูหลายอย่างทางร่างกายอย่างสมบูรณ์ ระบบต่างๆและตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการการเคลื่อนที่ลดลงให้อยู่ในรูปเดียวกัน

ความแตกต่างระหว่างระบบทางกายภาพปรากฏเฉพาะใน คำจำกัดความที่แตกต่างกันปริมาณ และในด้านต่างๆ ความรู้สึกทางกายภาพตัวแปร x: นี่อาจเป็นพิกัด มุม ประจุ กระแส ฯลฯ โปรดทราบว่าในกรณีนี้ จากโครงสร้างสมการ (1.18) ต่อไปนี้ ปริมาณจะมีมิติของเวลาผกผันเสมอ

สมการ (1.18) อธิบายสิ่งที่เรียกว่า การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก.

สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก (1.18) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง (เนื่องจากมีอนุพันธ์อันดับสองของตัวแปร x). ความเป็นเส้นตรงของสมการหมายความว่าอย่างนั้น

ถ้าฟังก์ชั่นบางอย่าง เอ็กซ์(ที)คือคำตอบของสมการนี้ แล้วก็ฟังก์ชัน ซีเอ็กซ์(ที)จะเป็นทางออกของเขาด้วย ( ค– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ);

ถ้าฟังก์ชั่น x 1(ท)และ x 2(ท)คือคำตอบของสมการนี้ แล้วจึงผลรวม x 1 (เสื้อ) + x 2 (เสื้อ)จะเป็นคำตอบของสมการเดียวกันด้วย

ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ยังได้รับการพิสูจน์แล้ว โดยสมการอันดับสองมีคำตอบที่เป็นอิสระสองข้อ สารละลายอื่นๆ ทั้งหมดตามคุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงสามารถรับได้ ชุดค่าผสมเชิงเส้น- ง่ายต่อการตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์โดยตรงว่าฟังก์ชันอิสระและเป็นไปตามสมการ (1.18) วิธี, วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการนี้ดูเหมือนว่า:

ที่ไหน ค 1ค 2- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ วิธีนี้สามารถนำเสนอในรูปแบบอื่นได้ มาใส่ค่ากัน

และกำหนดมุมตามความสัมพันธ์:

จากนั้นคำตอบทั่วไป (1.19) เขียนเป็น

ตามสูตรตรีโกณมิติ นิพจน์ในวงเล็บจะเท่ากับ

ในที่สุดเราก็มาถึง คำตอบทั่วไปของสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกในรูปแบบ:

ค่าที่ไม่เป็นลบ กเรียกว่า แอมพลิจูดการสั่นสะเทือน, - ระยะเริ่มต้นของการสั่น. อาร์กิวเมนต์โคไซน์ทั้งหมด - การรวมกัน - เรียกว่า เฟสการสั่น.

นิพจน์ (1.19) และ (1.23) เทียบเท่ากันโดยสมบูรณ์ ดังนั้นเราจึงสามารถใช้นิพจน์ใดก็ได้ โดยพิจารณาจากความเรียบง่าย ทั้งสองวิธีแก้ไขคือ ฟังก์ชันเป็นระยะเวลา. อันที่จริงไซน์และโคไซน์นั้นมีคาบเป็นคาบ . ดังนั้น สถานะต่างๆ ของระบบที่มีการสั่นแบบฮาร์มอนิกจะเกิดขึ้นซ้ำหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง เสื้อ*ซึ่งในระหว่างนั้นเฟสการสั่นจะได้รับการเพิ่มขึ้นซึ่งเป็นผลคูณของ :

มันเป็นไปตามนั้น

อย่างน้อยครั้งนี้

เรียกว่า ระยะเวลาของการสั่น (รูปที่ 1.8) และ - ของเขา วงกลม (วงจร) ความถี่.

ข้าว. 1.8.

พวกเขายังใช้ ความถี่ ความผันผวน

ดังนั้น ความถี่วงกลมจึงเท่ากับจำนวนการแกว่งต่อ วินาที

ดังนั้นหากระบบในขณะนั้น ทีโดดเด่นด้วยค่าของตัวแปร x(เสื้อ)จากนั้นตัวแปรจะมีค่าเท่ากันหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง (รูปที่ 1.9) กล่าวคือ

ความหมายเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นซ้ำตามธรรมชาติเมื่อเวลาผ่านไป 2ต, ซีทีฯลฯ

ข้าว. 1.9. ระยะเวลาการสั่น

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปประกอบด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจสองตัว ( ค 1, ค 2หรือ ก, ก) ค่าที่ต้องถูกกำหนดโดยสอง เงื่อนไขเริ่มต้น. โดยปกติ (แต่ไม่จำเป็น) บทบาทของพวกเขาจะเล่นตามค่าเริ่มต้นของตัวแปร x(0)และอนุพันธ์ของมัน

ลองยกตัวอย่าง ให้คำตอบ (1.19) ของสมการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสปริง ค่าของค่าคงที่ตามอำเภอใจขึ้นอยู่กับวิธีที่เรานำลูกตุ้มออกจากสมดุล เช่น เราดึงสปริงไปไกลๆ และปล่อยบอลโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น ในกรณีนี้

การทดแทน เสื้อ = 0ใน (1.19) เราจะหาค่าของค่าคงที่ ค 2

วิธีแก้ปัญหาจึงมีลักษณะดังนี้:

เราค้นหาความเร็วของโหลดโดยการแยกส่วนตามเวลา

เข้ามาทดแทนที่นี่. ที = 0 จงหาค่าคงที่ ค 1:

ในที่สุด

เมื่อเปรียบเทียบกับ (1.23) เราจะพบว่า คือแอมพลิจูดของการแกว่ง และเฟสเริ่มต้นคือศูนย์:

ให้เราทำให้ลูกตุ้มสมดุลในอีกทางหนึ่ง ลองตีโหลดเพื่อให้ได้ความเร็วเริ่มต้น แต่ในทางปฏิบัติแล้วจะไม่เคลื่อนที่ระหว่างการกระแทก จากนั้นเราก็มีเงื่อนไขเริ่มต้นอื่นๆ:

โซลูชันของเราดูเหมือน

ความเร็วของการโหลดจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย:

มาแทนที่ที่นี่:

การสั่น เหล่านี้เป็นกระบวนการที่ระบบซึ่งมีคาบเวลามากหรือน้อยผ่านตำแหน่งสมดุลซ้ำแล้วซ้ำเล่า

การจำแนกประเภทการสั่น:

ก) โดยธรรมชาติ (ทางกล, แม่เหล็กไฟฟ้า, ความผันผวนของความเข้มข้น, อุณหภูมิ ฯลฯ );

ข) ตามแบบฟอร์ม (แบบง่าย = ฮาร์มอนิก; ซับซ้อน คือผลรวมของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกอย่างง่าย)

วี) ตามระดับความถี่ = เป็นระยะ (ลักษณะระบบเกิดซ้ำหลังจากระยะเวลาที่กำหนดอย่างเคร่งครัด (ช่วงเวลา)) และแบบไม่ต่อเนื่อง

ช) สัมพันธ์กับเวลา (unamped = แอมพลิจูดคงที่; Damped = แอมพลิจูดลดลง);

ช) เกี่ยวกับพลังงาน – ฟรี (การป้อนพลังงานเข้าสู่ระบบเพียงครั้งเดียวจากภายนอก = ผลกระทบภายนอกเพียงครั้งเดียว) บังคับ (ป้อนพลังงานเข้าระบบหลายครั้ง (เป็นระยะ) จากภายนอก = อิทธิพลภายนอกเป็นระยะ) การสั่นด้วยตนเอง (การสั่นแบบไม่หน่วงที่เกิดขึ้นเนื่องจากความสามารถของระบบในการควบคุมการจัดหาพลังงานจากแหล่งคงที่)

เงื่อนไขในการเกิดความผันผวน

ก) การมีอยู่ของระบบออสซิลลาทอรี (ลูกตุ้มแขวน ลูกตุ้มสปริง วงจรออสซิลเลเตอร์ ฯลฯ)

b) การมีอยู่ของแหล่งพลังงานภายนอกที่สามารถนำระบบออกจากสมดุลได้อย่างน้อยหนึ่งครั้ง

c) ลักษณะที่ปรากฏในระบบของแรงคืนสภาพกึ่งยืดหยุ่น (เช่น แรงเป็นสัดส่วนกับการกระจัด)

d) การมีอยู่ของความเฉื่อย (องค์ประกอบเฉื่อย) ในระบบ

เพื่อเป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เรียกว่า ร่างเล็กๆ แขวนอยู่บนเส้นด้ายบางๆ ที่ยืดออกไม่ได้ ซึ่งมีมวลน้อยมากเมื่อเทียบกับมวลของร่างกาย. ในตำแหน่งสมดุล เมื่อลูกตุ้มแขวนลูกดิ่ง แรงโน้มถ่วงจะสมดุลด้วยแรงดึงของเกลียว
- เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลไปมุมหนึ่ง α องค์ประกอบวงสัมผัสของแรงโน้มถ่วงปรากฏขึ้น เอฟ=- มก ซินา. เครื่องหมายลบในสูตรนี้หมายความว่าส่วนประกอบในแนวสัมผัสมีทิศทางตรงกันข้ามกับการโก่งตัวของลูกตุ้ม เธอคือพลังที่กลับมา ที่มุมเล็ก α (ประมาณ 15-20 o) แรงนี้เป็นสัดส่วนกับการกระจัดของลูกตุ้มเช่น เป็นแบบกึ่งยืดหยุ่น และการแกว่งของลูกตุ้มเป็นแบบฮาร์โมนิค

เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบน มันจะลอยขึ้นสู่ความสูงระดับหนึ่ง เช่น เขาได้รับพลังงานศักย์สำรองจำนวนหนึ่ง ( อี เหงื่อ = มก- เมื่อลูกตุ้มเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์จะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ ในขณะที่ลูกตุ้มผ่านตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์จะเป็นศูนย์และพลังงานจลน์จะสูงสุด เนื่องจากมีมวล ม(มวลคือปริมาณทางกายภาพที่กำหนดคุณสมบัติเฉื่อยและแรงโน้มถ่วงของสสาร) ลูกตุ้มจะผ่านตำแหน่งสมดุลและเบี่ยงเบนไปในทิศทางตรงกันข้าม หากไม่มีแรงเสียดทานในระบบ การแกว่งของลูกตุ้มจะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด

สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกมีรูปแบบ:

x(t) = x ม เพราะ(ω 0 ที+φ 0 ),

ที่ไหน เอ็กซ์– การเคลื่อนตัวของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล

x ม (ก) – แอมพลิจูดของการแกว่ง นั่นคือ โมดูลัสของการกระจัดสูงสุด

ω 0 – ความถี่ของการสั่นแบบไซคลิก (หรือแบบวงกลม)

ที- เวลา.

ปริมาณที่อยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์ φ = ω 0 เสื้อ + φ 0 เรียกว่า เฟสการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก เฟสจะกำหนดออฟเซ็ตเข้า ในขณะนี้เวลา ที. เฟสจะแสดงเป็นหน่วยเชิงมุม (เรเดียน)

ที่ ที= 0 φ = φ 0 นั่นเป็นเหตุผล φ 0 เรียกว่า ระยะเริ่มแรก

ช่วงเวลาที่เรียกว่าระบบออสซิลเลเตอร์บางสถานะซ้ำ ระยะเวลาของการสั่นต.

เรียกว่าปริมาณทางกายภาพที่ผกผันกับคาบการสั่น ความถี่การสั่น:
- ความถี่การสั่น ν แสดงจำนวนการสั่นที่เกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา หน่วยความถี่ – เฮิรตซ์ (Hz) –หนึ่งการสั่นสะเทือนต่อวินาที

ความถี่การสั่น ν เกี่ยวข้องกับความถี่ไซคลิก ω และช่วงการสั่น ตอัตราส่วน:
.

นั่นคือ ความถี่วงกลมคือจำนวนการสั่นที่สมบูรณ์ที่เกิดขึ้นในหน่วยเวลา 2π

ในเชิงกราฟิก การสั่นของฮาร์มอนิกสามารถแสดงเป็นการพึ่งพาได้ เอ็กซ์จาก ที และวิธีการแผนภาพเวกเตอร์

วิธีไดอะแกรมเวกเตอร์ช่วยให้คุณนำเสนอพารามิเตอร์ทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกได้อย่างชัดเจน แท้จริงแล้วถ้าเป็นเวกเตอร์แอมพลิจูด ก ตั้งอยู่ในมุมหนึ่ง φ ไปที่แกน เอ็กซ์จากนั้นจึงฉายภาพลงบนแกน เอ็กซ์จะเท่ากับ: x = เอคอส(φ ) - มุม φ และมีระยะเริ่มต้น ถ้าเป็นเวกเตอร์ กนำมาหมุนเวียนด้วย ความเร็วเชิงมุมω 0 เท่ากับความถี่วงกลมของการแกว่ง จากนั้นเส้นโครงของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะเคลื่อนที่ไปตามแกน เอ็กซ์และรับค่าตั้งแต่ -กถึง +กและพิกัดของการฉายภาพนี้จะเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาตามกฎหมาย: x(ที) = กเพราะ(ω 0 ที+ φ) - เวลาที่เวกเตอร์แอมพลิจูดใช้ในการหมุนรอบเต็มหนึ่งครั้งจะเท่ากับคาบ ตการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก จำนวนการปฏิวัติเวกเตอร์ต่อวินาทีเท่ากับความถี่การสั่น ν .

การแกว่งของฮาร์มอนิกคือการแกว่งที่ปริมาณทางกายภาพเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎฮาร์มอนิก (ไซน์, โคไซน์) สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกสามารถเขียนได้ดังนี้:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
หรือ
X(t) = A∙บาป(ω t+φ )

X - ส่วนเบี่ยงเบนจากตำแหน่งสมดุล ณ เวลา t
เอ - แอมพลิจูดการสั่นสะเทือนมิติ A เกิดขึ้นพร้อมกับมิติ X
ω - ความถี่ไซคลิก, rad/s (เรเดียนต่อวินาที)
φ - เฟสเริ่มต้น rad
เสื้อ - เวลาส
T - ระยะเวลาการสั่น, s
f - ความถี่การสั่น, Hz (เฮิรตซ์)
π เป็นค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 3.14, 2π=6.28

คาบการสั่น ความถี่เป็นเฮิรตซ์ และความถี่ไซคลิกมีความสัมพันธ์กันตามความสัมพันธ์
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
เพื่อจดจำความสัมพันธ์เหล่านี้ คุณต้องเข้าใจสิ่งต่อไปนี้
พารามิเตอร์แต่ละตัว ω, f, T จะกำหนดพารามิเตอร์อื่นๆ โดยไม่ซ้ำกัน เพื่ออธิบายการแกว่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้พารามิเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเหล่านี้

ช่วง T คือเวลาของการสั่นหนึ่งครั้ง ซึ่งสะดวกต่อการใช้พล็อตกราฟการสั่น
ความถี่วงจร ω - ใช้ในการเขียนสมการการแกว่ง ช่วยให้สามารถคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้
ความถี่ f คือจำนวนการสั่นต่อหน่วยเวลาที่ใช้ทุกที่ ในหน่วยเฮิรตซ์ เราวัดความถี่ในการปรับเครื่องรับวิทยุ รวมถึงช่วงการทำงานด้วย โทรศัพท์มือถือ- ความถี่ของการสั่นสะเทือนของสายเมื่อจูนเครื่องดนตรีวัดเป็นเฮิรตซ์

นิพจน์ (ωt+φ) เรียกว่าเฟสการสั่น และค่า φ เรียกว่าเฟสเริ่มต้น เนื่องจากจะเท่ากับเฟสการสั่น ณ เวลา t=0

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์อธิบายอัตราส่วนของด้านใน สามเหลี่ยมมุมฉาก- ดังนั้นหลายคนจึงไม่เข้าใจว่าฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกอย่างไร ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นโดยเวกเตอร์ที่หมุนอย่างสม่ำเสมอ เส้นโครงของเวกเตอร์ที่หมุนอย่างสม่ำเสมอจะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิก
ภาพด้านล่างแสดงตัวอย่างการสั่นฮาร์มอนิกสามครั้ง ความถี่เท่ากัน แต่ต่างกันที่เฟสและแอมพลิจูด

สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก

สมการของการสั่นของฮาร์มอนิกทำให้เกิดการพึ่งพาพิกัดของร่างกายตรงเวลา

กราฟโคไซน์ในช่วงเริ่มต้นมีค่าสูงสุด และกราฟไซน์มีค่าเป็นศูนย์ในช่วงเริ่มต้น หากเราเริ่มศึกษาการสั่นจากตำแหน่งสมดุล การสั่นจะเกิดไซนัสอยด์ซ้ำ หากเราเริ่มพิจารณาการสั่นจากตำแหน่งส่วนเบี่ยงเบนสูงสุด การสั่นจะถูกอธิบายด้วยโคไซน์ หรือการสั่นดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรไซน์ที่มีเฟสเริ่มต้น

การเปลี่ยนแปลงความเร็วและความเร่งระหว่างการสั่นฮาร์มอนิก

ไม่เพียงแต่พิกัดของร่างกายจะเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์เท่านั้น แต่ปริมาณเช่นแรง ความเร็ว และความเร่งก็เปลี่ยนแปลงไปในทำนองเดียวกัน แรงและความเร่งจะสูงสุดเมื่อวัตถุที่สั่นอยู่ในตำแหน่งสุดขีดซึ่งมีการกระจัดสูงสุด และเป็นศูนย์เมื่อวัตถุผ่านตำแหน่งสมดุล ในทางตรงกันข้าม ความเร็วในตำแหน่งสุดขั้วจะเป็นศูนย์ และเมื่อร่างกายผ่านตำแหน่งสมดุล ก็จะถึงค่าสูงสุด

ถ้าการสั่นอธิบายตามกฎของโคไซน์

หากอธิบายการสั่นตามกฎไซน์

ค่าความเร็วและความเร่งสูงสุด

เมื่อวิเคราะห์สมการการพึ่งพา v(t) และ a(t) เราสามารถเดาได้ว่าความเร็วและความเร่งจะใช้ค่าสูงสุดในกรณีที่ปัจจัยตรีโกณมิติเท่ากับ 1 หรือ -1 กำหนดโดยสูตร

« ฟิสิกส์ - ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11"

ความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา

ความเร็วชั่วขณะของจุดหนึ่งเป็นอนุพันธ์ของพิกัดของจุดเทียบกับเวลา
ความเร่งของจุดคืออนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา หรืออนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา
ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มจึงสามารถเขียนได้ดังนี้

โดยที่ x" เป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา

สำหรับการแกว่งอิสระให้ใช้พิกัด เอ็กซ์เปลี่ยนแปลงตามเวลาเพื่อให้อนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพิกัดนั้นเองและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

จากคณิตศาสตร์: อนุพันธ์อันดับสองของไซน์และโคไซน์โดยการโต้แย้งนั้นเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันของมันเอง โดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม และไม่มีฟังก์ชันอื่นใดที่มีคุณสมบัตินี้
นั่นเป็นเหตุผล:
พิกัดของร่างกายที่ทำการออสซิลเลชั่นอิสระเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์

การเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ปริมาณทางกายภาพขึ้นอยู่กับเวลาที่เกิดขึ้นตามกฎของไซน์หรือโคไซน์เรียกว่า การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก.

แอมพลิจูดของการสั่น

แอมพลิจูดการสั่นแบบฮาร์มอนิกคือโมดูลัสของการกระจัดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล

แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยสภาวะเริ่มต้น หรืออย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโดยพลังงานที่ส่งให้กับร่างกาย

กราฟพิกัดของร่างกายเทียบกับเวลาเป็นคลื่นโคไซน์

x = x ม cos ω 0 เสื้อ

จากนั้นสมการการเคลื่อนที่ที่อธิบายการแกว่งอิสระของลูกตุ้ม:

คาบและความถี่ของการสั่นฮาร์มอนิก

เมื่อสั่น การเคลื่อนไหวของร่างกายจะเกิดซ้ำเป็นระยะๆ
เรียกว่าช่วงเวลา T ซึ่งระบบจะทำการสั่นครบหนึ่งรอบ ระยะเวลาของการสั่น.

ความถี่การสั่นคือจำนวนการสั่นต่อหน่วยเวลา
หากการสั่นหนึ่งครั้งเกิดขึ้นในเวลา T แล้วจำนวนการสั่นต่อวินาที

ใน ระบบสากลหน่วย (SI) หน่วยความถี่ เรียกว่า เฮิรตซ์(Hz) เพื่อเป็นเกียรติแก่ นักฟิสิกส์ชาวเยอรมันกรัม เฮิรตซ์.

จำนวนการแกว่งใน 2π s เท่ากับ:

ปริมาณ ω 0 คือความถี่ไซคลิก (หรือวงกลม) ของการแกว่ง
หลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่งเท่ากับช่วงระยะเวลาหนึ่ง การสั่นจะเกิดขึ้นซ้ำ

ความถี่ การสั่นสะเทือนฟรีเรียกว่า ความถี่ธรรมชาติระบบสั่น
บ่อยครั้ง เรียกสั้น ๆ ว่าความถี่ไซคลิกเรียกง่ายๆ ว่าความถี่

การขึ้นอยู่กับความถี่และระยะเวลาของการแกว่งอิสระกับคุณสมบัติของระบบ

1.สำหรับลูกตุ้มสปริง

ความถี่ธรรมชาติของการสั่นของลูกตุ้มสปริงเท่ากับ:

ยิ่งความแข็งของสปริง k ยิ่งมาก ยิ่งมีมาก และยิ่งน้อย มวลตัว m ก็จะยิ่งมากขึ้น
สปริงที่แข็งช่วยให้ร่างกายเร่งความเร็วได้มากขึ้น เปลี่ยนความเร็วของร่างกายได้เร็วขึ้น และยิ่งร่างกายมีขนาดใหญ่เท่าไร ความเร็วก็จะยิ่งช้าลงภายใต้อิทธิพลของแรง

ระยะเวลาการสั่นเท่ากับ:

คาบการสั่นของลูกตุ้มสปริงไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง

2.สำหรับลูกตุ้มด้าย

ความถี่ธรรมชาติของการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มุมเบี่ยงเบนเล็กน้อยของเกลียวจากแนวตั้งขึ้นอยู่กับความยาวของลูกตุ้มและความเร่งของแรงโน้มถ่วง:

คาบของการแกว่งเหล่านี้มีค่าเท่ากับ

ระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มเกลียวที่มุมโก่งเล็ก ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง

คาบการสั่นจะเพิ่มขึ้นตามความยาวของลูกตุ้มที่เพิ่มขึ้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม

ยิ่ง g น้อยลง ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มก็จะนานขึ้น ดังนั้น นาฬิกาลูกตุ้มจะเดินช้าลงเท่านั้น ดังนั้นนาฬิกาที่มีลูกตุ้มอยู่ในรูปของน้ำหนักบนไม้เรียวจะตกไปเกือบ 3 วินาทีต่อวันหากยกจากห้องใต้ดินขึ้นไปชั้นบนสุดของมหาวิทยาลัยมอสโก (สูง 200 ม.) และนี่เป็นเพียงเพราะความเร่งของการตกอย่างอิสระที่ลดลงตามความสูง