การหาสูตรลอการิทึมยาวอินทิกรัล ลอการิทึมคืออะไร? การแก้ลอการิทึม ตัวอย่าง. คุณสมบัติของลอการิทึม เงื่อนไขการใช้ซีรีย์ Taylor

ตารางแอนติเดริเวทีฟ

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัดช่วยให้สามารถค้นหาแอนติเดริเวทีฟได้โดยใช้ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันที่ทราบ ดังนั้นการใช้ความเท่าเทียมกันและ เป็นไปได้จากตารางอนุพันธ์ของตัวหลัก ฟังก์ชั่นเบื้องต้นทำตารางแอนติเดริเวทีฟ

ให้เราเตือนคุณ ตารางอนุพันธ์ลองเขียนมันเป็นดิฟเฟอเรนเชียลดู

ตัวอย่างเช่น ลองหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ฟังก์ชั่นพลังงาน.

การใช้ตารางส่วนต่าง ดังนั้น จากคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด ที่เรามี . นั่นเป็นเหตุผล หรือในโพสต์อื่น

ลองหาเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันยกกำลังสำหรับ p = -1 เรามี - เราอ้างถึงตารางส่วนต่างสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ , เพราะฉะนั้น, - นั่นเป็นเหตุผล .

ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจหลักการ

ตารางแอนติเดริเวทีฟ (อินทิกรัลไม่ จำกัด )

สูตรจากคอลัมน์ด้านซ้ายของตารางเรียกว่าแอนติเดริเวทีฟพื้นฐาน สูตรในคอลัมน์ทางขวาไม่ใช่สูตรพื้นฐาน แต่มักใช้เมื่อค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัด สามารถตรวจสอบได้โดยการสร้างความแตกต่าง

บูรณาการโดยตรง

การรวมโดยตรงขึ้นอยู่กับการใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด , , กฎการรวม และตารางแอนติเดริเวทีฟ

โดยปกติแล้วปริพันธ์จะต้องได้รับการแปลงเล็กน้อยก่อนจึงจะสามารถใช้ตารางปริพันธ์พื้นฐานและคุณสมบัติของปริพันธ์ได้

ตัวอย่าง.

ค้นหาอินทิกรัล .

สารละลาย.

ค่าสัมประสิทธิ์ 3 สามารถนำออกมาจากใต้เครื่องหมายอินทิกรัลตามคุณสมบัติ:

มาแปลงฟังก์ชันปริพันธ์กัน (โดยใช้สูตรตรีโกณมิติ):

เนื่องจากอินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของอินทิกรัลแล้ว

ถึงเวลาที่จะหันไปดูตารางแอนติเดริเวทีฟ:

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

ค้นหาเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

สารละลาย.

เราอ้างถึงตารางแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง: - นั่นคือ .

หากเราใช้กฎการรวมตัว แล้วเราก็มี:

ดังนั้นตารางของแอนติเดริเวทีฟ พร้อมด้วยคุณสมบัติและกฎของการอินทิเกรต ทำให้สามารถค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนมากได้ อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถแปลงฟังก์ชันปริพันธ์เพื่อใช้ตารางแอนติเดริเวทีฟได้เสมอไป

ตัวอย่างเช่น ในตารางของแอนติเดริเวทีฟ ไม่มีอินทิกรัลของฟังก์ชันลอการิทึม, อาร์กไซน์, อาร์กโคไซน์, อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์, ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ใช้วิธีการพิเศษในการค้นหา แต่จะมีข้อมูลเพิ่มเติมในส่วนถัดไป:

ลอการิทึมคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ลอการิทึมคืออะไร? วิธีการแก้ลอการิทึม? คำถามเหล่านี้ทำให้บัณฑิตหลายคนสับสน ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะสมการที่มีลอการิทึม

นี่ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ดี. ตอนนี้ในเวลาเพียง 10 - 20 นาที คุณ:

1. คุณจะเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.

2. เรียนรู้การแก้ปัญหาทั้งชั้นเรียน สมการเลขชี้กำลัง- แม้ว่าคุณจะไม่ได้ยินอะไรเกี่ยวกับพวกเขาก็ตาม

3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย

ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณเพียงแค่ต้องรู้ตารางสูตรคูณและวิธีบวกเลขยกกำลังเท่านั้น...

ฉันรู้สึกเหมือนคุณมีข้อสงสัย... เอาล่ะ ทำเครื่องหมายเวลาไว้! ไปกันเลย!

ขั้นแรก ให้แก้สมการนี้ในหัวของคุณ:

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ตารางแอนติเดริเวทีฟ ("ปริพันธ์") ตารางปริพันธ์ แบบตาราง ไม่ อินทิกรัลที่แน่นอน- (ปริพันธ์และปริพันธ์ที่ง่ายที่สุดพร้อมพารามิเตอร์) สูตรสำหรับการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ตารางแอนติเดริเวทีฟ ("ปริพันธ์")
อินทิกรัลไม่จำกัดตาราง	อินทิกรัลไม่จำกัดตาราง
(ปริพันธ์และปริพันธ์ที่ง่ายที่สุดพร้อมพารามิเตอร์)
	อินทิกรัลของฟังก์ชันกำลัง
อินทิกรัลที่ลดจนเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันยกกำลัง หาก x ขับเคลื่อนใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล	อินทิกรัลของเอ็กซ์โพเนนเชียล โดยที่ a เป็นจำนวนคงที่
อินทิกรัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน	อินทิกรัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
	อินทิกรัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อินทิกรัลเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติ	ปริพันธ์: "ลอการิทึมแบบยาว"
อินทิกรัลเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติ
ปริพันธ์: "ลอการิทึมสูง"	อินทิกรัลโดยที่ x ในตัวเศษอยู่ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล (ค่าคงที่ใต้เครื่องหมายสามารถบวกหรือลบได้) ท้ายที่สุดจะคล้ายกับอินทิกรัลเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติ
อินทิกรัลโคไซน์	อินทิกรัลไซน์
อินทิกรัลเท่ากับแทนเจนต์
อินทิกรัลเท่ากับโคแทนเจนต์	อินทิกรัลเท่ากับทั้งอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์
อินทิกรัลเท่ากับทั้งอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์	อินทิกรัลเท่ากับเซแคนต์
อินทิกรัลเท่ากับอาร์คเซแคนต์	อินทิกรัลเท่ากับอาร์คโคซีแคนต์
อินทิกรัลเท่ากับอาร์คเซแคนต์	อินทิกรัลเท่ากับอาร์คเซแคนต์
อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกไซน์	อินทิกรัลเท่ากับโคไซน์ไฮเปอร์โบลิก
อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกไซน์ โดยที่ sinhx คือไฮเปอร์โบลิกไซน์ในเวอร์ชันภาษาอังกฤษ	อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ โดยที่ sinhx คือไฮเปอร์โบลิกไซน์ในเวอร์ชันภาษาอังกฤษ
อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์	อินทิกรัลเท่ากับโคแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก
อินทิกรัลเท่ากับซีแคนต์ไฮเปอร์โบลิก	อินทิกรัลเท่ากับโคซีแคนต์ไฮเปอร์โบลิก

สูตรสำหรับการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ กฎการรวม

สูตรสำหรับการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ
การรวมผลิตภัณฑ์ (ฟังก์ชัน) ด้วยค่าคงที่:
การรวมผลรวมของฟังก์ชัน:
อินทิกรัลไม่ จำกัด :
สูตรบูรณาการตามส่วนต่างๆ อินทิกรัลที่แน่นอน:
สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ อินทิกรัลที่แน่นอน:	โดยที่ F(a),F(b) คือค่าของแอนติเดริเวทีฟที่จุด b และ a ตามลำดับ

ตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์แบบตาราง อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ อนุพันธ์ของผลหาร อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ถ้า x เป็นตัวแปรอิสระ ดังนั้น:

ตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์แบบตาราง "อนุพันธ์ของตาราง" - ​​ใช่ แต่น่าเสียดายที่นี่คือวิธีการค้นหาบนอินเทอร์เน็ต
	อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง
	อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน	อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม	อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
	อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของไซน์	อนุพันธ์ของโคไซน์
อนุพันธ์ของโคซีแคนต์	อนุพันธ์ของซีแคนต์
อนุพันธ์ของอาร์คไซน์	อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
อนุพันธ์ของอาร์คไซน์	อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
อนุพันธ์แทนเจนต์	อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของอาร์คเซแคนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคซีแคนต์
อนุพันธ์ของอาร์คเซแคนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคซีแคนต์
อนุพันธ์ ไซน์ไฮเปอร์โบลิก อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกไซน์ในฉบับภาษาอังกฤษ	อนุพันธ์ของโคไซน์ไฮเปอร์โบลิก อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ในฉบับภาษาอังกฤษ
อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์	อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของซีแคนต์ไฮเปอร์โบลิก	อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคซีแคนต์

กฎของความแตกต่าง อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ อนุพันธ์ของผลหาร
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ (ฟังก์ชัน) โดยค่าคงที่:
อนุพันธ์ของผลรวม (ฟังก์ชัน):
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ (ฟังก์ชัน):
อนุพันธ์ของผลหาร (ของฟังก์ชัน):

คุณสมบัติของลอการิทึม สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึม ทศนิยม (lg) และลอการิทึมธรรมชาติ (ln)

พื้นฐาน เอกลักษณ์ลอการิทึม
ลองแสดงว่าฟังก์ชันใดๆ ของรูปแบบ a b สามารถสร้างเลขชี้กำลังได้อย่างไร เนื่องจากฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ e x เรียกว่าเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูป a b สามารถแสดงเป็นกำลังของสิบได้

ลอการิทึมธรรมชาติ ln (ลอการิทึมถึงฐาน e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

เทย์เลอร์ซีรีส์. การขยายฟังก์ชันชุดเทย์เลอร์

ปรากฎว่าส่วนใหญ่ ได้พบเจอในทางปฏิบัติฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงด้วยความแม่นยำใดๆ ในบริเวณใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่งในรูปแบบของอนุกรมกำลังที่ประกอบด้วยกำลังของตัวแปรในลำดับที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น ใกล้กับจุด x=1:

เมื่อใช้ซีรีย์ที่เรียกว่า แถวของเทย์เลอร์ฟังก์ชันผสมที่มีฟังก์ชันพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันพีชคณิตล้วนๆ ได้ เมื่อใช้ซีรีส์ คุณจะสามารถสร้างความแตกต่างและบูรณาการได้อย่างรวดเร็ว

ซีรีส์ Taylor ในบริเวณใกล้จุด a มีรูปแบบดังนี้:

1) โดยที่ f(x) คือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของลำดับทั้งหมดที่ x = a R n - เทอมที่เหลือในชุด Taylor ถูกกำหนดโดยนิพจน์

2)

ค่าสัมประสิทธิ์ k-th (ที่ x k) ของอนุกรมถูกกำหนดโดยสูตร

3) กรณีพิเศษของซีรีส์ Taylor คือซีรีส์ Maclaurin (=McLaren) (การขยายตัวเกิดขึ้นรอบจุด a=0)

ที่ = 0

สมาชิกของซีรีส์ถูกกำหนดโดยสูตร

เงื่อนไขการใช้ซีรีย์ Taylor

1. เพื่อให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกขยายเป็นอนุกรม Taylor ในช่วงเวลา (-R;R) จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่เทอมที่เหลือในสูตร Taylor (Maclaurin (=McLaren)) สำหรับสิ่งนี้ ฟังก์ชั่นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อ k →∞ในช่วงเวลาที่ระบุ (-R;R)

2. จำเป็นต้องมีอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่เรากำลังจะสร้างอนุกรม Taylor

คุณสมบัติของซีรีย์เทย์เลอร์

ถ้า f เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ อนุกรมเทย์เลอร์ของมัน ณ จุดใดๆ ในโดเมนของนิยามของ f จะบรรจบกับ f ในย่านใกล้เคียงของ a

มีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ไม่สิ้นสุดซึ่งอนุกรมเทย์เลอร์มาบรรจบกัน แต่ในขณะเดียวกันก็แตกต่างจากฟังก์ชันในย่านใกล้เคียงใดๆ ของ a ตัวอย่างเช่น:

ซีรีย์ Taylor ใช้ในการประมาณ (ประมาณ - วิธีการทางวิทยาศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยการแทนที่วัตถุบางอย่างด้วยวัตถุอื่น ในความหมายหนึ่งหรืออีกนัยหนึ่งที่ใกล้เคียงกับวัตถุดั้งเดิม แต่ง่ายกว่า) ฟังก์ชันด้วยพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำให้เป็นเส้นตรง ((จาก linearis - เชิงเส้น) หนึ่งในวิธีการแสดงโดยประมาณของระบบไม่เชิงเส้นแบบปิดซึ่งการศึกษาระบบไม่เชิงเส้นจะถูกแทนที่ด้วยการวิเคราะห์ระบบเชิงเส้นในบางแง่ที่เทียบเท่ากับแบบเดิม .) สมการเกิดขึ้นโดยขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์และตัดพจน์ทั้งหมดที่อยู่เหนือลำดับแรกออก

ดังนั้น ฟังก์ชันเกือบทุกฟังก์ชันจึงสามารถแสดงเป็นพหุนามได้ด้วยความแม่นยำที่กำหนด

ตัวอย่างการขยายฟังก์ชันกำลังทั่วไปบางส่วนในชุด Maclaurin (=McLaren, Taylor ใกล้จุดที่ 0) และ Taylor ใกล้จุดที่ 1 เทอมแรกของการขยายฟังก์ชันหลักในชุด Taylor และ McLaren

ตัวอย่างการขยายฟังก์ชันกำลังทั่วไปบางส่วนในชุด Maclaurin (=McLaren, Taylor ในบริเวณใกล้กับจุด 0)

ตัวอย่างการขยายซีรีส์ Taylor ทั่วไปบางส่วนในบริเวณใกล้เคียงจุดที่ 1