การแก้อินทิกรัลเป็นเรื่องง่าย แต่สำหรับบางคนเท่านั้น บทความนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้ที่จะเข้าใจอินทิกรัล แต่ไม่รู้อะไรเลยหรือแทบไม่รู้เลยเกี่ยวกับอินทิกรัลเหล่านั้นเลย อินทิกรัล... ทำไมจึงจำเป็น? จะคำนวณได้อย่างไร? อินทิกรัลที่แน่นอนและอินทิกรัลไม่แน่นอนคืออะไร?

หากการใช้งานเพียงอย่างเดียวที่คุณรู้จักเกี่ยวกับอินทิกรัลคือการใช้เข็มควักที่มีรูปร่างเหมือนไอคอนอินทิกรัลเพื่อนำสิ่งที่มีประโยชน์ออกจากจุดที่เข้าถึงยาก ยินดีต้อนรับ! ค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดและอินทิกรัลอื่นๆ และทำไมคุณถึงทำไม่ได้ถ้าไม่มีมันในวิชาคณิตศาสตร์

เราศึกษาแนวคิด « บูรณาการ »

การบูรณาการเป็นที่รู้จักในอียิปต์โบราณ ไม่เข้าแน่นอน รูปแบบที่ทันสมัยแต่ยังคง ตั้งแต่นั้นมา นักคณิตศาสตร์ได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อนี้หลายเล่ม โดดเด่นเป็นพิเศษ นิวตัน และ ไลบ์นิซ แต่สาระสำคัญของสิ่งต่าง ๆ ไม่เปลี่ยนแปลง

จะเข้าใจอินทิกรัลตั้งแต่เริ่มต้นได้อย่างไร? ไม่มีทาง! เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจะต้องมีความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับพื้นฐานต่างๆ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- เรามีข้อมูลเกี่ยวกับ ที่จำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจอินทิกรัลในบล็อกของเราแล้ว

อินทิกรัลไม่ จำกัด

ให้เรามีฟังก์ชั่นบางอย่าง ฉ(x) .

ฟังก์ชันอินทิกรัลไม่จำกัด ฉ(x) ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฉ(x) ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชัน ฉ(x) .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อินทิกรัลคืออนุพันธ์แบบย้อนกลับหรือแอนติเดริเวทีฟ โดยวิธีการอ่านเกี่ยวกับวิธีการในบทความของเรา

แอนติเดริเวทีฟมีอยู่สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด นอกจากนี้ เครื่องหมายคงที่มักถูกเติมเข้าไปในแอนติเดริเวทีฟ เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่แตกต่างกันด้วยความบังเอิญคงที่ กระบวนการค้นหาอินทิกรัลเรียกว่าอินทิกรัล

ตัวอย่างง่ายๆ:

เพื่อไม่ให้คำนวณแอนติเดริเวทีฟอย่างต่อเนื่อง ฟังก์ชั่นเบื้องต้นสะดวกในการสรุปเป็นตารางและใช้ค่าสำเร็จรูป

ตารางปริพันธ์ที่สมบูรณ์สำหรับนักเรียน

อินทิกรัลที่แน่นอน

เมื่อต้องรับมือกับแนวคิดเรื่องอินทิกรัล เรากำลังเผชิญกับปริมาณที่น้อยมาก อินทิกรัลจะช่วยคำนวณพื้นที่ของรูป, มวลของวัตถุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน, ระยะทางที่เดินทาง การเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอเส้นทางและอีกมากมาย ควรจำไว้ว่าอินทิกรัลคือผลรวมอนันต์ ปริมาณมากเงื่อนไขที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น ลองจินตนาการถึงกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง

จะหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร? การใช้อินทิกรัล! ให้เราแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่ถูกจำกัดด้วยแกนพิกัดและกราฟของฟังก์ชัน ออกเป็นส่วนเล็กๆ ด้วยวิธีนี้ตัวเลขจะถูกแบ่งออกเป็นคอลัมน์บาง ๆ ผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์จะเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่จำไว้ว่าการคำนวณดังกล่าวจะให้ผลลัพธ์โดยประมาณ อย่างไรก็ตาม ยิ่งส่วนที่เล็กลงและแคบลง การคำนวณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น หากเราลดขนาดลงจนความยาวมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่างๆ จะมีแนวโน้มเท่ากับพื้นที่ของรูป นี่คืออินทิกรัลจำกัดเขต ซึ่งเขียนได้ดังนี้:

จุด a และ b เรียกว่าขีดจำกัดของการอินทิเกรต

« บูรณาการ »

อนึ่ง! สำหรับผู้อ่านของเราตอนนี้มีส่วนลด 10% สำหรับ

กฎการคำนวณอินทิกรัลสำหรับหุ่นจำลอง

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

จะแก้อินทิกรัลไม่ จำกัด ได้อย่างไร? เราจะมาดูคุณสมบัติกัน อินทิกรัลที่แน่นอนซึ่งจะเป็นประโยชน์ในการแก้ตัวอย่าง

• อนุพันธ์ของอินทิกรัลเท่ากับปริพันธ์:

• ค่าคงที่สามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายอินทิกรัลได้:

• อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล สิ่งนี้ก็เป็นจริงสำหรับความแตกต่างเช่นกัน:

คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต

• ความเป็นเส้นตรง:

• สัญญาณของการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญหากมีการสลับขีดจำกัดของการรวม:

• ที่ ใดๆคะแนน ก, ขและ กับ:

เราพบแล้วว่าอินทิกรัลจำกัดเขตคือขีดจำกัดของผลรวม แต่จะได้รับค่าเฉพาะเมื่อแก้ไขตัวอย่างได้อย่างไร? นี่คือสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

ตัวอย่างของการแก้อินทิกรัล

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาอินทิกรัลไม่ จำกัด และตัวอย่างพร้อมคำตอบ เราขอแนะนำให้คุณค้นหาความซับซ้อนของวิธีแก้ปัญหาด้วยตนเอง และหากมีสิ่งใดไม่ชัดเจน ให้ถามคำถามในความคิดเห็น

หากต้องการเสริมกำลังวัสดุ ให้ดูวิดีโอเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาปริพันธ์ในทางปฏิบัติ อย่าสิ้นหวังหากไม่ได้ให้อินทิกรัลในทันที ติดต่อบริการระดับมืออาชีพสำหรับนักศึกษา แล้วอินทิกรัลสามหรือโค้งใดๆ บนพื้นผิวปิดจะอยู่ในอำนาจของคุณ

เครื่องคิดเลขนี้ช่วยให้คุณแก้โจทย์อินทิกรัลที่แน่นอนทางออนไลน์ได้ โดยพื้นฐานแล้ว การคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนคือการหาตัวเลขที่เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในการแก้ปัญหา จำเป็นต้องระบุขอบเขตของการอินทิเกรตและฟังก์ชันที่จะอินทิเกรต หลังจากการอินทิเกรต ระบบจะค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด คำนวณค่าของมันที่จุดบนขอบเขตของอินทิเกรต ค้นหาความแตกต่างซึ่งจะเป็นคำตอบของอินทิกรัลที่แน่นอน ในการแก้อินทิกรัลไม่ จำกัด คุณต้องใช้สิ่งที่คล้ายกัน เครื่องคิดเลขออนไลน์ซึ่งอยู่บนเว็บไซต์ของเราใต้ลิงค์ - แก้อินทิกรัลไม่ จำกัด

เราอนุญาต คำนวณอินทิกรัลแน่นอนออนไลน์อย่างรวดเร็วและเชื่อถือได้ คุณจะได้รับการตัดสินใจที่ถูกต้องเสมอ นอกจากนี้ สำหรับอินทิกรัลแบบตาราง คำตอบจะถูกนำเสนอในรูปแบบคลาสสิก กล่าวคือ แสดงผ่านค่าคงที่ที่รู้จัก เช่น ตัวเลข "pi" "เลขชี้กำลัง" เป็นต้น การคำนวณทั้งหมดนั้นฟรีและไม่จำเป็นต้องลงทะเบียน ด้วยการแก้อินทิกรัลที่แน่นอนกับเรา คุณจะรอดพ้นจากการใช้แรงงานเข้มข้นและ การคำนวณที่ซับซ้อนหรือโดยการแก้อินทิกรัลด้วยตัวเอง - คุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่คุณได้รับได้

ในแต่ละบทจะมีปัญหาให้แก้ไขอย่างอิสระ ซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้

แนวคิดของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตและสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

โดยอินทิกรัลจำกัดจำนวน จาก ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง ฉ(x) ในส่วนสุดท้าย [ ก, ข] (โดยที่ ) คือการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟบางส่วนในส่วนนี้ (โดยทั่วไป ความเข้าใจจะง่ายขึ้นอย่างเห็นได้ชัดหากคุณพูดหัวข้ออินทิกรัลไม่จำกัดซ้ำ) ในกรณีนี้จะใช้สัญกรณ์

ดังที่เห็นได้ในกราฟด้านล่าง (การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟระบุด้วย ) อินทิกรัลจำกัดเขตอาจเป็นค่าบวกหรือก็ได้ จำนวนลบ (คำนวณเป็นผลต่างระหว่างค่าของแอนติเดริเวทีฟในขีดจำกัดบนกับค่าของมันในขีดจำกัดล่าง เช่น เอฟ(ข) - เอฟ(ก)).

ตัวเลข กและ ขเรียกว่าขีดจำกัดล่างและบนของการรวมตามลำดับ และเซ็กเมนต์ [ ก, ข] – ส่วนของการรวม

ดังนั้นหาก เอฟ(x) – ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) จากนั้นตามคำจำกัดความ

(38)

เรียกว่าความเท่าเทียมกัน (38) สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ - ความแตกต่าง เอฟ(ข) – เอฟ(ก) เขียนโดยย่อดังนี้:

ดังนั้น เราจะเขียนสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซดังนี้

(39)

ขอให้เราพิสูจน์ว่าอินทิกรัลจำกัดเขตไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าจะใช้แอนติเดริเวทีฟของอินทิกรัลตัวใดเมื่อคำนวณ อนุญาต เอฟ(x) และ ฉ( เอ็กซ์) เป็นแอนติเดริเวทีฟตามอำเภอใจของปริพันธ์ เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเดียวกัน จึงต่างกันด้วยเทอมคงที่: Ф( เอ็กซ์) = เอฟ(x) + ค- นั่นเป็นเหตุผล

สิ่งนี้กำหนดว่าในส่วน [ ก, ข] การเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน ฉ(x) จับคู่.

ดังนั้น ในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดความ จำเป็นต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟของปริพันธ์ เช่น ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา อินทิกรัลไม่ จำกัด- คงที่ กับ ไม่รวมอยู่ในการคำนวณครั้งต่อไป จากนั้นจึงใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ: ค่าของขีดจำกัดบนจะถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ ข , เพิ่มเติม - ค่าของขีดจำกัดล่าง ก และคำนวณความแตกต่างแล้ว ฉ(ข) - ฉ(ก) . จำนวนผลลัพธ์จะเป็นอินทิกรัลจำกัดจำนวน.

ที่ ก = ขตามคำจำกัดความที่ยอมรับ

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย. ก่อนอื่น เรามาค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัด:

การใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซกับแอนติเดริเวทีฟ

(ที่ กับ= 0) เราได้

อย่างไรก็ตาม เมื่อคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่ค้นหาแอนติเดริเวทีฟแยกจากกัน แต่ให้เขียนอินทิกรัลในรูปแบบ (39) ทันที

ตัวอย่างที่ 2คำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวน

สารละลาย. โดยใช้สูตร

หาอินทิกรัลจำกัดจำนวนด้วยตัวเองแล้วดูผลเฉลย

คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต

ทฤษฎีบท 2ค่าของอินทิกรัลจำกัดไม่ขึ้นอยู่กับการกำหนดตัวแปรอินทิกรัล, เช่น.

(40)

อนุญาต เอฟ(x) – แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x- สำหรับ ฉ(ที) แอนติเดริเวทีฟเป็นฟังก์ชันเดียวกัน เอฟ(ที) ซึ่งตัวแปรอิสระถูกกำหนดให้แตกต่างออกไปเท่านั้น เพราะฉะนั้น,

จากสูตร (39) ความเสมอภาคสุดท้ายหมายถึงความเท่าเทียมกันของปริพันธ์

ทฤษฎีบท 3ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลจำกัดเขตได้, เช่น.

(41)

ทฤษฎีบท 4อินทิกรัลจำกัดขอบเขตของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันจำนวนจำกัด เท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของปริพันธ์จำกัดเฉพาะของฟังก์ชันเหล่านี้, เช่น.

(42)

ทฤษฎีบท 5ถ้าส่วนของอินทิกรัลถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ แล้วอินทิกรัลกำหนดเขตเหนือทั้งเซ็กเมนต์จะเท่ากับผลรวมของอินทิกรัลจำกัดเหนือส่วนต่างๆ ของมัน, เช่น. ถ้า

(43)

ทฤษฎีบท 6เมื่อจัดเรียงขีดจำกัดของการอินทิเกรตใหม่ ค่าสัมบูรณ์ของอินทิกรัลจำกัดเขตจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเท่านั้น, เช่น.

(44)

ทฤษฎีบท 7(ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย) อินทิกรัลที่แน่นอน เท่ากับสินค้าความยาวของส่วนของปริพันธ์กับค่าปริพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งภายในนั้น, เช่น.

(45)

ทฤษฎีบท 8ถ้าขีดจำกัดบนของอินทิเกรตมากกว่าขีดจำกัดล่างและปริพันธ์ไม่เป็นลบ (บวก) ดังนั้นอินทิกรัลจำกัดเขตก็ไม่เป็นลบ (บวก) เช่นกัน กล่าวคือ ถ้า

ทฤษฎีบท 9หากขีดจำกัดบนของอินทิเกรตมากกว่าขีดจำกัดล่างและฟังก์ชันต่อเนื่อง แสดงว่าอสมการนั้น

สามารถบูรณาการได้ทีละเทอม, เช่น.

(46)

คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้การคำนวณอินทิกรัลโดยตรงง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 5คำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวน

การใช้ทฤษฎีบท 4 และ 3 และเมื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟ - อินทิกรัลของตาราง (7) และ (6) เราได้รับ

อินทิกรัลจำกัดขอบเขตบนของตัวแปร

อนุญาต ฉ(x) – ต่อเนื่องในส่วน [ ก, ข] และ เอฟ(x) คือสารต้านอนุพันธ์ของมัน พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต

(47)

และผ่าน ทีตัวแปรอินทิเกรตถูกกำหนดไว้เพื่อไม่ให้สับสนกับขอบเขตบน เมื่อมีการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์อินทิกรัลที่แน่นอน (47) ก็เปลี่ยนแปลงเช่นกัน เช่น มันเป็นฟังก์ชันของขีดจำกัดบนของการบูรณาการ เอ็กซ์ซึ่งเราแสดงโดย เอฟ(เอ็กซ์), เช่น.

(48)

ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชันนี้ เอฟ(เอ็กซ์) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) = ฉ(ที- แท้จริงแล้วทำให้แตกต่าง เอฟ(เอ็กซ์) เราได้รับ

เพราะ เอฟ(x) – แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) อ เอฟ(ก) เป็นค่าคงที่

การทำงาน เอฟ(เอ็กซ์) – หนึ่งในจำนวนแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์สำหรับ ฉ(x) คืออันที่ x = กไปที่ศูนย์ ข้อความนี้จะได้รับหากเราใส่อย่างเท่าเทียมกัน (48) x = กและใช้ทฤษฎีบทที่ 1 ของย่อหน้าก่อนหน้า

การคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยวิธีอินทิกรัลแยกส่วน และวิธีการเปลี่ยนตัวแปร

ที่ไหน ตามคำนิยาม เอฟ(x) – แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x- หากเราเปลี่ยนตัวแปรในปริพันธ์

จากนั้นตามสูตร (16) เราก็เขียนได้

ในการแสดงออกนี้

ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟสำหรับ

อันที่จริง อนุพันธ์ของมันตาม กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนมีค่าเท่ากัน

ให้ α และ β เป็นค่าของตัวแปร ทีซึ่งฟังก์ชันนั้น

รับค่าตามนั้น กและ ข, เช่น.

แต่ตามสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ ความแตกต่าง เอฟ(ข) – เอฟ(ก) มี

>> >> >> วิธีการบูรณาการ

วิธีการบูรณาการขั้นพื้นฐาน

คำจำกัดความของอินทิกรัล แน่นอนและไม่แน่นอน ตารางอินทิกรัล สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ การอินทิกรัลแยกส่วน ตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัล

อินทิกรัลไม่ จำกัด

ให้ u = f(x) และ v = g(x) เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องกัน จากนั้นตามงาน

d(uv))= udv + vdu หรือ udv = d(uv) - vdu

สำหรับนิพจน์ d(uv) แอนติเดริเวทีฟจะเป็น uv อย่างชัดเจน ดังนั้นสูตรจึงถือว่า:

∫ udv = ยูวี - ∫ vdu (8.4.)

สูตรนี้แสดงถึงกฎ บูรณาการโดยส่วนต่างๆ- โดยนำไปสู่การรวมนิพจน์ udv=uv"dx ไปสู่การรวมนิพจน์ vdu=vu"dx

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการค้นหา ∫xcosx dx ให้เราใส่ u = x, dv = cosxdx ดังนั้น du=dx, v=sinx แล้ว

∫xcosxdx = ∫x d(บาป x) = x บาป x - ∫บาป x dx = x บาป x + cosx + C

กฎการรวมทีละส่วนมีขอบเขตที่จำกัดมากกว่าการแทนที่ตัวแปร แต่มีอินทิกรัลทั้งคลาส เช่น ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax และอื่นๆ ซึ่งคำนวณอย่างแม่นยำโดยใช้อินทิเกรตตามส่วนต่างๆ

อินทิกรัลที่แน่นอน

วิธีการบูรณาการแนวคิดของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตมีดังต่อไปนี้ ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง ให้เราแบ่งส่วน [a,b] ออกเป็นส่วน n ด้วยจุด a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x ผม =x ผม - x ผม-1 ผลรวมของรูปแบบ f(ξ i)Δ x i เรียกว่าผลรวมอินทิกรัล และลิมิตของมันที่ แล = สูงสุดΔx i → 0 ถ้ามีอยู่และมีจำกัด เรียกว่าผลรวม อินทิกรัลที่แน่นอนฟังก์ชัน f(x) จาก a ถึง b และแสดงแทน:

F(ξ ผม)Δx ผม (8.5)

ฟังก์ชัน f(x) ในกรณีนี้เรียกว่า บูรณาการได้ในช่วงเวลา, เรียกตัวเลข a และ b ขีดจำกัดล่างและบนของอินทิกรัล.

วิธีการบูรณาการมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

คุณสมบัติสุดท้ายเรียกว่า ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย.

ให้ f(x) ต่อเนื่องกันบน แล้วในส่วนนี้จะมีอินทิกรัลไม่ จำกัด

∫f(x)dx = F(x) + C

และเกิดขึ้น สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซการเชื่อมอินทิกรัลจำกัดกับอินทิกรัลไม่จำกัด:

ฉ(ข) - ฉ(ก) (8.6)

การตีความทางเรขาคณิต: หมายถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y=f(x), เส้นตรง x = a และ x = b และส่วนของแกน Ox

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม

ปริพันธ์ที่มีขีดจำกัดอนันต์และปริพันธ์ของฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (ไม่มีขอบเขต) เรียกว่าไม่เหมาะสม อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมของชนิดที่หนึ่ง -สิ่งเหล่านี้คือปริพันธ์ในช่วงเวลาอนันต์ ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

(8.7)

หากขีดจำกัดนี้มีอยู่และมีจำกัด จะเรียกว่าอินทิกรัลเกินมาบรรจบกันของ f(x) ในช่วง [a,+ ∞) และฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าอินทิกรัลอินทิเกรตในช่วงเวลาอนันต์ [a,+ ∞ ). มิฉะนั้นจะกล่าวได้ว่าอินทิกรัลไม่มีอยู่จริงหรือแยกออกจากกัน

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมในช่วงเวลา (-∞,b] และ (-∞, + ∞) ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน:

ให้เรานิยามแนวคิดของอินทิกรัลของฟังก์ชันไร้ขอบเขต ถ้า f(x) มีความต่อเนื่องสำหรับค่า x ทั้งหมดของกลุ่มยกเว้นจุด c ซึ่ง f(x) มีความไม่ต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุด อินทิกรัลไม่เหมาะสมของชนิดที่สองฉ(x) ตั้งแต่ a ถึง bจำนวนเงินนี้เรียกว่า:

หากขีดจำกัดเหล่านี้มีอยู่และมีจำกัด การกำหนด:

ตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัล

ตัวอย่าง 3.30.คำนวณ ∫dx/(x+2)

สารละลาย. ให้เราแสดงว่า t = x+2 แล้ว dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +ซี

ตัวอย่าง 3.31- หา ∫ tgxdx

วิธีแก้: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx กำหนดให้ t=cosx แล้ว ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C

ตัวอย่าง3.32 - หา ∫dx/sinx

ตัวอย่าง3.33. หา .

สารละลาย. -

.

ตัวอย่าง3.34 - หา ∫arctgxdx

สารละลาย. มาบูรณาการกันทีละส่วน ให้เราแสดงว่า u=arctgx, dv=dx จากนั้น du = dx/(x 2 +1), v=x โดยที่ ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; เพราะ
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C

ตัวอย่าง3.35 - คำนวณ ∫lnxdx

สารละลาย.เมื่อใช้สูตรอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ เราได้รับ:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x จากนั้น ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C

ตัวอย่าง3.36 - คำนวณ ∫e x sinxdx

สารละลาย. ลองใช้สูตรอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ กัน ให้เราแสดงว่า u = e x, dv = sinxdx แล้ว du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx
∫e x cosxdx ก็อินทิเกรตตามส่วนต่างๆ เช่นกัน: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx เรามี:

ตัวอย่าง 3.37. ∫ อี x cosxdx = อี x sinx - ∫ อี x sinxdx เราได้ความสัมพันธ์ ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx โดยที่ 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C

วิธีแก้: เนื่องจาก dx/x = dlnx แล้ว J= ∫cos(lnx)d(lnx) เมื่อแทนที่ lnx ถึง t เราจะได้อินทิกรัลของตาราง J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C

ตัวอย่าง 3.38 - คำนวณ J = .

สารละลาย. เมื่อพิจารณาว่า = d(lnx) เราจะแทน lnx = t แล้ว เจ = .

ตัวอย่าง 3.39 - คำนวณ J = .

สารละลาย. เรามี: - นั่นเป็นเหตุผล =

ในปัญหาที่ใช้ส่วนใหญ่ ไม่แนะนำให้คำนวณค่าที่แน่นอนของอินทิกรัลจำกัดเขต ยิ่งกว่านั้น ก็ไม่สามารถทำได้เสมอไป บ่อยครั้งก็เพียงพอแล้วที่เราจะทราบค่าของอินทิกรัลจำนวนหนึ่งด้วยความแม่นยำระดับหนึ่ง เช่น ด้วยความแม่นยำหนึ่งในพัน

ในการค้นหาค่าประมาณของอินทิกรัลจำกัดจำนวนที่มีความแม่นยำที่ต้องการ จะใช้การอินทิกรัลเชิงตัวเลข เช่น วิธีซิมป์สัน (วิธีพาราโบลา) วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู หรือวิธีสี่เหลี่ยม อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี ก็เป็นไปได้ที่จะประเมินอินทิกรัลจำกัดเขตได้อย่างแม่นยำ

ในบทความนี้ เราจะเน้นที่การใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซในการคำนวณค่าที่แน่นอนของอินทิกรัลจำกัดเขต และให้คำตอบโดยละเอียดสำหรับตัวอย่างทั่วไป นอกจากนี้เรายังจะใช้ตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจวิธีการแทนที่ตัวแปรในอินทิกรัลจำกัดเขต และวิธีค้นหาค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตเมื่อทำการอินทิกรัลด้วยส่วนต่างๆ

การนำทางหน้า

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง และ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้ แล้ว:

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ เรียกว่า สูตรพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล.

เพื่อพิสูจน์สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนที่แปรผันได้

ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา ดังนั้น อินทิกรัลของรูปแบบจะเป็นฟังก์ชันของขีดจำกัดบนสำหรับอาร์กิวเมนต์ ลองแสดงถึงฟังก์ชันนี้กัน และฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและความเท่าเทียมกันเป็นจริง .

ที่จริงแล้ว ขอให้เราเขียนการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ และใช้คุณสมบัติที่ห้าของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตและผลที่ตามมาจากคุณสมบัติที่สิบ:

ที่ไหน .

ให้เราเขียนความเท่าเทียมกันนี้ใหม่ในรูปแบบ - ถ้าเราจำและไปถึงขีดจำกัดที่ เราจะได้ นั่นคือ นี่คือหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x) บนเซกเมนต์ ดังนั้น เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด F(x) สามารถเขียนได้เป็น โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ลองคำนวณ F(a) โดยใช้คุณสมบัติแรกของอินทิกรัลจำกัดเขต: , เพราะฉะนั้น, . ลองใช้ผลลัพธ์นี้เมื่อคำนวณ F(b) : นั่นคือ - ความเท่าเทียมกันนี้ให้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซที่พิสูจน์ได้

การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันมักจะแสดงเป็น - เมื่อใช้สัญลักษณ์นี้ สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซจึงอยู่ในรูปแบบ .

ในการใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ ก็เพียงพอแล้วที่เราจะทราบค่าแอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่ง y=F(x) ของปริพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) บนเซกเมนต์และคำนวณการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟบนเซกเมนต์นี้ . บทความนี้กล่าวถึงวิธีการหลักในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เราจะยกตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซเพื่อให้กระจ่างขึ้น

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

สารละลาย.

ประการแรก เราสังเกตว่าอินทิแกรนด์มีความต่อเนื่องในช่วงเวลา ดังนั้นจึงสามารถอินทิเกรตกับมันได้ (เราได้พูดถึงฟังก์ชันอินทิเกรตแล้วในหัวข้อฟังก์ชันซึ่งมีอินทิกรัลจำกัดจำนวน)

ลองดูตัวอย่างเพื่อความชัดเจน

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของอินทิกรัลจำกัดเขต .

สารละลาย.

ฟังก์ชันอินทิแกรนด์จะต่อเนื่องกันในช่วงเวลาของการอินทิเกรต ดังนั้นจึงมีอินทิกรัลจำกัดจำนวนอยู่

มาแสดงกันเถอะ - สำหรับ x=9 เรามี และสำหรับ x=18 เรามี นั่นคือ . เราแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับลงในสูตร :

จากตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด เห็นได้ชัดว่าหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือฟังก์ชัน ดังนั้นตามสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซที่เรามี

สามารถทำได้โดยไม่มีสูตร .

หากเราหาอินทิกรัลไม่จำกัดโดยใช้การเปลี่ยนแปลงวิธีตัวแปร แล้วเราจะมาพบกับผลลัพธ์ .

ดังนั้น เมื่อใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจึงคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต:

อย่างที่คุณเห็นผลลัพธ์ก็เหมือนกัน

บูรณาการตามส่วนต่างๆ เมื่อคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต

การทำงาน สามารถบูรณาการได้ในช่วงเวลาหนึ่งเนื่องจากความต่อเนื่องของมัน

อนุญาต คุณ(x) = x และ , แล้ว , ก - ตามสูตรครับ เราได้รับ

ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น

การหาเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน บูรณาการทีละส่วนและใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ: