สมการทั่วไปของระนาบในอวกาศ สมการพาราเมตริกของเส้นบนระนาบ: คำอธิบาย ตัวอย่าง การแก้ปัญหา การพิสูจน์ หรือเรื่องไร้สาระบางอย่าง

หัวข้อย่อยประการหนึ่งของหัวข้อ “สมการของเส้นบนระนาบ” คือประเด็นของการเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม บทความด้านล่างกล่าวถึงหลักการเขียนสมการดังกล่าวโดยอาศัยข้อมูลที่ทราบบางประการ เราจะแสดงวิธีเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกไปเป็นสมการประเภทอื่น มาดูการแก้ปัญหาทั่วไปกัน

เส้นเฉพาะสามารถกำหนดได้โดยการระบุจุดที่เป็นของเส้นนี้และเวกเตอร์ทิศทางของเส้น

สมมติว่าเราได้รับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y และยังให้เส้นตรง a ซึ่งระบุจุด M 1 ที่วางอยู่บนนั้น (x 1, y 1) และเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่กำหนด ก → = (ก x , ก) . เรามาอธิบายเส้นตรงที่กำหนด a โดยใช้สมการกันดีกว่า

เราใช้จุดใดก็ได้ M (x, y) และรับเวกเตอร์ ม 1 ม → ; มาคำนวณพิกัดจากพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . มาอธิบายสิ่งที่เราได้รับ: เส้นตรงถูกกำหนดโดยเซตของจุด M (x, y) ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และมีเวกเตอร์ทิศทาง ก → = (ก x , ก) . ชุดนี้กำหนดเส้นตรงเฉพาะเมื่อเวกเตอร์ M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) และ a → = (a x, a y) อยู่ในแนวเดียวกัน

มีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ ซึ่งในกรณีนี้สำหรับเวกเตอร์ M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) และ a → = (a x, a y) สามารถเขียนเป็นสมการได้:

M 1 M → = แล · a → โดยที่ λ คือจำนวนจริงบางจำนวน

คำจำกัดความ 1

สมการ M 1 M → = แล · a → เรียกว่าสมการเวกเตอร์-พาราเมตริกของเส้นตรง

ในรูปแบบพิกัดดูเหมือนว่า:

M 1 M → = แลม → ⇔ x - x 1 = แลม a x y - y 1 = แลม y ⇔ x = x 1 + a x แลม y = y 1 + a y แลม

สมการของระบบผลลัพธ์ x = x 1 + a x · lam y = y 1 + a y · lam เรียกว่าสมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม สาระสำคัญของชื่อมีดังนี้: พิกัดของจุดทั้งหมดบนเส้นตรงสามารถกำหนดได้โดยสมการพาราเมตริกบนระนาบของรูปแบบ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · λ โดยการแจกแจงจำนวนจริงทั้งหมด ค่าของพารามิเตอร์ แล

จากที่กล่าวไว้ข้างต้น สมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบ x = x 1 + a x · lam y = y 1 + a y · lam กำหนดเส้นตรงซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และมีเวกเตอร์นำทาง ก → = (ก x , ก) . ดังนั้น หากให้พิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรงและพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของมัน ก็เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นที่กำหนดได้ทันที

ตัวอย่างที่ 1

จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมหากได้รับจุด M 1 (2, 3) ที่เป็นของมันและเวกเตอร์ทิศทางของมัน ก → = (3 , 1) .

สารละลาย

จากข้อมูลเริ่มต้น เราได้: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1 สมการพาราเมตริกจะมีลักษณะดังนี้:

x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + ก y · แลมบ์ ⇔ x = 2 + 3 · แลม y = 3 + 1 · แลมบ์ ⇔ x = 2 + 3 · แลมบ์ = 3 + แลม

ให้เราอธิบายให้ชัดเจน:

คำตอบ: x = 2 + 3 แลมบ์ y = 3 + แลมบ์

ควรสังเกต: ถ้าเวกเตอร์ a → = (a x , a y) ทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a และจุด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) อยู่ในเส้นนี้ จากนั้นสามารถกำหนดได้โดยการระบุสมการพาราเมตริกของรูปแบบ: x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + a y · แลมบ์ เช่นเดียวกับตัวเลือกนี้: x = x 2 + a x · แลม y = y 2 + a y · แลม

ตัวอย่างเช่น เราจะได้เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a → = (2, - 1) รวมถึงจุด M 1 (1, - 2) และ M 2 (3, - 3) ที่เป็นของบรรทัดนี้ จากนั้นเส้นตรงจะถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก: x = 1 + 2 · แลมซี = - 2 - แลมบ์ หรือ x = 3 + 2 · แลมบ์ y = - 3 - แลมบ์

คุณควรใส่ใจกับข้อเท็จจริงต่อไปนี้ด้วย: ถ้า ก → = (ก x , ก) คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a แล้วเวกเตอร์ใดๆ จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของมัน μ · a → = (μ · a x , μ · a y) โดยที่ μ ϵ R , μ ≠ 0

ดังนั้น เส้นตรง a บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามารถกำหนดได้โดยสมการพาราเมตริก: x = x 1 + μ · a x · แลม y = y 1 + μ · a y · λ สำหรับค่าใดๆ ของ μ นอกเหนือจากศูนย์

สมมติว่าเส้นตรง a กำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = 3 + 2 · แลม y = - 2 - 5 · แลม แล้ว ก → = (2 , - 5) - เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้ และเวกเตอร์ใดๆ μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 จะกลายเป็นเวกเตอร์นำทางสำหรับเส้นตรงที่กำหนด เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณาเวกเตอร์เฉพาะ - 2 · a → = (- 4, 10) ซึ่งสอดคล้องกับค่า μ = - 2 ในกรณีนี้ เส้นตรงที่กำหนดสามารถกำหนดได้ด้วยสมการพาราเมตริก x = 3 - 4 · แลม y = - 2 + 10 · แลม

การเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกของเส้นบนระนาบไปเป็นสมการอื่นของเส้นตรงที่กำหนดและย้อนกลับ

ในการแก้ปัญหาบางอย่าง การใช้สมการพาราเมตริกไม่ใช่ตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแปลสมการพาราเมตริกของเส้นตรงให้เป็นสมการของเส้นตรงประเภทอื่น ลองดูวิธีการทำเช่นนี้

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงในรูปแบบ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · lam จะสอดคล้องกับสมการบัญญัติของเส้นตรงบนระนาบ x - x 1 a x = y - y 1 a y .

ให้เราแก้สมการพาราเมตริกแต่ละสมการด้วยความเคารพต่อพารามิเตอร์ แลมด้านขวามือของผลลัพธ์ที่เท่ากัน และรับสมการบัญญัติของเส้นตรงที่กำหนด:

x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + ก y · แลมบ์ ⇔ แลม = x - x 1 ก x แลม = y - y 1 ก y ⇔ x - x 1 ก x = y - y 1 ก

ในกรณีนี้ ไม่ควรสับสนหาก x หรือ y เท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

จำเป็นต้องเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกของเส้นตรง x = 3 y = - 2 - 4 · lam ไปเป็นสมการบัญญัติ

สารละลาย

ให้เราเขียนสมการพาราเมตริกที่ให้มาในรูปแบบต่อไปนี้: x = 3 + 0 · แลม y = - 2 - 4 · แลมบ์

ให้เราแสดงพารามิเตอร์ λ ในแต่ละสมการ: x = 3 + 0 แลม y = - 2 - 4 แลมบ์ ⇔ แลม = x - 3 0 แลมบ์ = y + 2 - 4

ให้เราถือเอาด้านขวาของระบบสมการและรับสมการทางบัญญัติที่ต้องการของเส้นตรงบนระนาบ:

x - 3 0 = y + 2 - 4

คำตอบ: x - 3 0 = y + 2 - 4

ในกรณีที่จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นในรูปแบบ A x + B y + C = 0 และให้สมการพาราเมตริกของเส้นบนระนาบจำเป็นต้องทำการเปลี่ยนไปใช้รูปแบบบัญญัติก่อน สมการแล้วจึงสมการทั่วไปของเส้นตรง มาเขียนลำดับการกระทำทั้งหมด:

x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + ก y · แลมบ์ ⇔ แลมบ์ดา = x - x 1 ก x แลม = y - y 1 ก y ⇔ x - x 1 ก x = y - y 1 ก ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงหากให้สมการพาราเมตริกที่กำหนด: x = - 1 + 2 · แลม y = - 3 · แลม

สารละลาย

ขั้นแรก เรามาเปลี่ยนมาใช้สมการ Canonical กันก่อน:

x = - 1 + 2 แลมบ์ด y = - 3 แลมบ์ ⇔ แลมบ์ = x + 1 2 แลมบ์ = ย - 3 ⇔ x + 1 2 = ย - 3

สัดส่วนที่ได้จะเหมือนกับความเท่าเทียมกัน - 3 · (x + 1) = 2 · y ลองเปิดวงเล็บแล้วหาสมการทั่วไปของเส้นตรง: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0

คำตอบ: 3 x + 2 y + 3 = 0

ตามตรรกะของการกระทำข้างต้น เพื่อให้ได้สมการเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม สมการเส้นตรงในส่วนต่างๆ หรือสมการปกติของเส้น จำเป็นต้องได้สมการทั่วไปของเส้นตรง จากนั้น ดำเนินการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมจากมัน

ตอนนี้ให้พิจารณาการกระทำย้อนกลับ: การเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงด้วยรูปแบบที่กำหนดที่แตกต่างกันของสมการของเส้นนี้

การเปลี่ยนแปลงที่ง่ายที่สุด: จากสมการมาตรฐานไปเป็นสมการพาราเมตริก ให้สมการบัญญัติในรูปแบบ: x ​​- x 1 a x = y - y 1 ay ให้เรานำความสัมพันธ์แต่ละอย่างของความเท่าเทียมกันนี้มาให้เท่ากับพารามิเตอร์ แล:

x - x 1 a x = y - y 1 ay = แลมบ์ดา ⇔ แลม = x - x 1 a x แลม = y - y 1 ay

ให้เราแก้สมการผลลัพธ์สำหรับตัวแปร x และ y:

x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + ก ย · แลม

ตัวอย่างที่ 4

จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นหากทราบสมการมาตรฐานของเส้นบนระนาบ: x - 2 5 = y - 2 2

สารละลาย

ให้เราถือเอาส่วนของสมการที่รู้จักกับพารามิเตอร์ แลมบ์ดา: x - 2 5 = y - 2 2 = แลมบ์ จากความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นเราได้สมการพาราเมตริกของเส้น: x - 2 5 = y - 2 2 = แลมบ์ดา ⇔ แลมบ์ดา = x - 2 5 แลม = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · แลมบ์ y = 2 + 2 · แล

คำตอบ: x = 2 + 5 แลมบ์ y = 2 + 2 แลมบ์

เมื่อจำเป็นต้องเปลี่ยนมาใช้สมการพาราเมตริกจากสมการทั่วไปของเส้นที่กำหนด สมการของเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม หรือสมการของเส้นในส่วนต่างๆ จำเป็นต้องนำสมการดั้งเดิมมาสู่รูปแบบบัญญัติ หนึ่ง จากนั้นจึงเปลี่ยนไปใช้สมการพาราเมตริก

ตัวอย่างที่ 5

จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงด้วยสมการทั่วไปที่ทราบของเส้นนี้: 4 x - 3 y - 3 = 0

สารละลาย

ให้เราแปลงสมการทั่วไปที่กำหนดให้เป็นสมการรูปแบบบัญญัติ:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

ให้เราถือเอาทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันกับพารามิเตอร์ γ และรับสมการพาราเมตริกที่ต้องการของเส้นตรง:

x 3 = y + 1 3 4 = แลมบ์ดา ⇔ x 3 = แลมบ์ + 1 3 4 = แลมบ์ ⇔ x = 3 แลมบ์ y = - 1 3 + 4 แลมบ์

คำตอบ: x = 3 แลมบ์ y = - 1 3 + 4 แลมบ์

ตัวอย่างและปัญหาสมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบ

ลองพิจารณาประเภทปัญหาที่พบบ่อยที่สุดโดยใช้สมการพาราเมตริกของเส้นบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

1. ในปัญหาประเภทแรก พิกัดของจุดต่างๆ จะได้รับ ไม่ว่าจะอยู่ในเส้นที่อธิบายโดยสมการพาราเมตริกหรือไม่ก็ตาม

วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงต่อไปนี้: ตัวเลข (x, y) ซึ่งกำหนดจากสมการพาราเมตริก x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · λ สำหรับค่าจริงบางค่า แล คือพิกัด ของจุดที่เป็นของเส้นตรงที่อธิบายสมการพาราเมตริกเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องกำหนดพิกัดของจุดที่อยู่บนเส้นที่ระบุโดยสมการพาราเมตริก x = 2 - 1 6 · แลม y = - 1 + 2 · แลมสำหรับ แล = 3

สารละลาย

ให้เราแทนค่าที่ทราบ lam = 3 ลงในสมการพาราเมตริกที่กำหนดและคำนวณพิกัดที่ต้องการ: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

คำตอบ: 1 1 2 , 5

งานต่อไปนี้ก็เป็นไปได้เช่นกัน: ให้กำหนดจุด M 0 (x 0 , y 0) บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและคุณต้องตรวจสอบว่าจุดนี้เป็นของเส้นที่อธิบายโดยสมการพาราเมตริก x = x หรือไม่ 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + ก ย · แลมบ์

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว จำเป็นต้องแทนที่พิกัดของจุดที่กำหนดลงในสมการพาราเมตริกที่รู้จักของเส้นตรง หากพิจารณาว่าค่าของพารามิเตอร์ แลมบ์ดา = แลมบ์ 0 เป็นไปได้ซึ่งสมการพาราเมตริกทั้งสองเป็นจริง ดังนั้นจุดที่กำหนดจะเป็นของเส้นตรงที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 7

ให้คะแนน M 0 (4, - 2) และ N 0 (- 2, 1) มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าพวกมันอยู่ในเส้นที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริกหรือไม่ x = 2 · แลม y = - 1 - 1 2 · แลม

สารละลาย

ลองแทนพิกัดของจุด M 0 (4, - 2) ลงในสมการพาราเมตริกที่กำหนด:

4 = 2 แลมบ์ดา - 2 = - 1 - 1 2 แลมบ์ดา ⇔ แลมบ์ = 2 แลมบ์ = 2 ⇔ แลมบ์ดา = 2

เราสรุปได้ว่าจุด M 0 เป็นของเส้นที่กำหนดเพราะว่า สอดคล้องกับค่า แล = 2

2 = 2 แลมบ์ดา 1 = - 1 - 1 2 แลมบ์ดา ⇔ แลมบ์ = - 1 แลมบ์ = - 4

เห็นได้ชัดว่าไม่มีพารามิเตอร์ดังกล่าว lam ที่จุด N 0 จะสอดคล้องกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งเส้นตรงที่กำหนดไม่ผ่านจุด N 0 (- 2, 1)

คำตอบ:จุด M 0 เป็นของบรรทัดที่กำหนด จุด N 0 ไม่ได้อยู่ในบรรทัดที่กำหนด

1. ในปัญหาประเภทที่สอง จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปัญหาดังกล่าว (ด้วยพิกัดที่ทราบของจุดของเส้นและเวกเตอร์ทิศทาง) ได้รับการพิจารณาข้างต้น ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่เราต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์นำทางก่อน แล้วจึงเขียนสมการพาราเมตริกลงไป

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดจุด M 1 1 2 , 2 3 . จำเป็นต้องสร้างสมการพาราเมตริกของเส้นที่ผ่านจุดนี้และขนานกับเส้นตรง x 2 = y - 3 - 1

สารละลาย

ตามเงื่อนไขของปัญหา เส้นตรงซึ่งเป็นสมการที่เราต้องก้าวไปข้างหน้านั้นขนานกับเส้นตรง x 2 = y - 3 - 1 จากนั้น เนื่องจากเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด จึงเป็นไปได้ที่จะใช้เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง x 2 = y - 3 - 1 ซึ่งเราเขียนในรูปแบบ: a → = (2, - 1) . ตอนนี้ทราบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดแล้วเพื่อเขียนสมการพาราเมตริกที่ต้องการ:

x = x 1 + a x · แลมบ์ดา = y 1 + กย · แลมบ์ดา ⇔ x = 1 2 + 2 · แลมบ์ = 2 3 + (- 1) · แลมบ์ ⇔ x = 1 2 + x · แลมบ์ y = 2 3 - แล

คำตอบ: x = 1 2 + x · แลมบ์ y = 2 3 - แลมบ์ .

ตัวอย่างที่ 9

ให้จุด M 1 (0, - 7) จำเป็นต้องเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นที่ผ่านจุดนี้ซึ่งตั้งฉากกับเส้น 3 x – 2 y – 5 = 0

สารละลาย

เนื่องจากเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่ต้องรวบรวมสมการ จึงเป็นไปได้ที่จะหาเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง 3 x – 2 y – 5 = 0 พิกัดคือ (3, - 2) ให้เราเขียนสมการพาราเมตริกที่ต้องการของเส้นตรง:

x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + ก y · แลมบ์ดา ⇔ x = 0 + 3 · แลมบ์ = - 7 + (- 2) · แลมบ์ ⇔ x = 3 · แลมบ์ y = - 7 - 2 · แลม

คำตอบ: x = 3 แลมบ์ y = - 7 - 2 แลมบ์

1. ในปัญหาประเภทที่สาม จำเป็นต้องเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกของเส้นที่กำหนดไปเป็นสมการประเภทอื่นที่กำหนด เราได้กล่าวถึงวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างที่คล้ายกันข้างต้นแล้ว เราจะให้อีกวิธีหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 10

กำหนดเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ซึ่งกำหนดโดยสมการพาราเมตริก x = 1 - 3 4 · แลม y = - 1 + แล จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้

สารละลาย

เพื่อกำหนดพิกัดที่ต้องการของเวกเตอร์ปกติ เราจะทำการเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกไปเป็นสมการทั่วไป:

x = 1 - 3 4 แลมบ์ดา y = - 1 + แลมบ์ ⇔ แลมบ์ = x - 1 - 3 4 แลมบ์ = ย + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = ย + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x และ y ให้พิกัดที่ต้องการของเวกเตอร์ปกติ ดังนั้น เวกเตอร์ปกติของเส้นตรง x = 1 - 3 4 · แลม y = - 1 + แลม มีพิกัด 1, 3 4

คำตอบ: 1 , 3 4 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

– สมการทั่วไปของระนาบในอวกาศ

เวกเตอร์ระนาบปกติ

เวกเตอร์ปกติของระนาบคือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทุกตัวที่อยู่ในระนาบ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่งด้วยเวกเตอร์ตั้งฉากที่กำหนด

– สมการของระนาบที่ผ่านจุด M0 ด้วยเวกเตอร์ตั้งฉากที่กำหนด

เวกเตอร์ทิศทางเครื่องบิน

เราเรียกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวที่ขนานกับระนาบว่าเวกเตอร์ทิศทางของระนาบ

สมการระนาบพาราเมตริก

– สมการพาราเมตริกของระนาบในรูปแบบเวกเตอร์

– สมการพาราเมตริกของระนาบในพิกัด

สมการของระนาบผ่านจุดที่กำหนดและเวกเตอร์สองทิศทาง

–จุดคงที่

- แค่จุดเดียว ฮ่าๆ

-coplanar ซึ่งหมายความว่าผลคูณของพวกมันคือ 0

สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด

– สมการของระนาบผ่านจุดสามจุด

สมการของระนาบในส่วนต่างๆ

– สมการของระนาบในส่วนต่างๆ

การพิสูจน์

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าระนาบของเราผ่าน A,B,C และเวกเตอร์ตั้งฉาก

ลองแทนพิกัดของจุดและเวกเตอร์ n ลงในสมการของระนาบด้วยเวกเตอร์ปกติ

ลองหารทุกอย่างด้วยแล้วได้

สิ่งต่างๆ ดังกล่าว

สมการระนาบปกติ

– มุมระหว่างวัวกับเวกเตอร์ปกติกับระนาบที่เล็ดลอดออกมาจาก O

– มุมระหว่าง oy กับเวกเตอร์ปกติกับระนาบที่เล็ดลอดออกมาจาก O

– มุมระหว่างออนซ์กับเวกเตอร์ปกติกับระนาบที่เล็ดลอดออกมาจาก O

– ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงเครื่องบิน

หลักฐานหรือเรื่องไร้สาระแบบนั้น

ป้ายอยู่ตรงข้ามกับ D.

ในทำนองเดียวกันสำหรับโคไซน์ที่เหลือ จบ.

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

จุด S เครื่องบิน

– ระยะเชิงทิศทางจากจุด S ถึงระนาบ

ถ้า แล้ว S และ O นอนอยู่บนด้านตรงข้ามของระนาบ

ถ้า แล้ว S และ O นอนตะแคงข้างเดียวกัน

คูณด้วย n

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นในอวกาศ

มุมระหว่างระนาบ

เมื่อตัดกัน มุมไดฮีดรัลแนวตั้งสองคู่จะเกิดขึ้น มุมที่เล็กที่สุดเรียกว่ามุมระหว่างระนาบ

เส้นตรงในอวกาศ

เส้นตรงในช่องว่างสามารถระบุได้เป็น

จุดตัดของเครื่องบินสองลำ:

สมการพาราเมตริกของเส้นตรง

– สมการพาราเมตริกของเส้นตรงในรูปแบบเวกเตอร์

– สมการพาราเมตริกของเส้นตรงในพิกัด

สมการ Canonical

– สมการบัญญัติของเส้นตรง

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

– สมการมาตรฐานของเส้นตรงในรูปแบบเวกเตอร์

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นในอวกาศ

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงและระนาบในอวกาศ

มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

ระยะทางจากจุดถึงเส้นในอวกาศ

a คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงของเรา

– จุดใดๆ ที่เป็นของเส้นที่กำหนด

– จุดที่เรามองหาระยะทาง

ระยะห่างระหว่างเส้นตัดขวางสองเส้น

ระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น

M1 – จุดที่อยู่ในบรรทัดแรก

M2 – จุดที่อยู่ในบรรทัดที่สอง

ส่วนโค้งและพื้นผิวของลำดับที่สอง

วงรีคือเซตของจุดบนระนาบ ผลรวมของระยะทางจากจุดที่กำหนดถึงสองจุด (จุดโฟกัส) จะเป็นค่าคงที่

สมการวงรี Canonical

แทนที่ด้วย

แบ่งตาม

คุณสมบัติของวงรี

จุดตัดกับแกนพิกัด

ญาติสมมาตร

1. ต้นกำเนิด

วงรีคือเส้นโค้งที่วางอยู่ในส่วนที่จำกัดของระนาบ

วงรีสามารถหาได้จากวงกลมโดยการยืดหรือบีบอัด

สมการพาราเมตริกของวงรี:

– อาจารย์ใหญ่

ไฮเปอร์โบลา

ไฮเปอร์โบลาคือเซตของจุดบนระนาบซึ่งโมดูลัสของผลต่างในระยะทางถึงจุดที่กำหนด 2 จุด (จุดโฟกัส) จะเป็นค่าคงที่ (2a)

เราทำแบบเดียวกับวงรีที่เราได้รับ

แทนที่ด้วย

แบ่งตาม

คุณสมบัติของไฮเปอร์โบลา

;

– อาจารย์ใหญ่

เส้นกำกับ

เส้นกำกับคือเส้นตรงที่เส้นโค้งเข้าใกล้โดยไม่มีขีดจำกัด และเคลื่อนออกไปสู่ระยะอนันต์

พาราโบลา

คุณสมบัติของพาราเวิร์ค

ความสัมพันธ์ระหว่างวงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งเหล่านี้มีคำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิต: ทั้งหมดนี้ได้รับจากสมการระดับที่สอง ในระบบพิกัดใดๆ สมการของเส้นโค้งเหล่านี้จะมีรูปแบบ: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0 โดยที่ a, b, c, d, e, f เป็นตัวเลข

การแปลงระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม

การถ่ายโอนระบบพิกัดแบบขนาน

–O’ ในระบบพิกัดแบบเก่า

– พิกัดของจุดในระบบพิกัดแบบเก่า

– พิกัดของจุดในระบบพิกัดใหม่

พิกัดของจุดในระบบพิกัดใหม่

การหมุนในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม

–ระบบพิกัดใหม่

การเปลี่ยนเมทริกซ์จากพื้นฐานเก่าไปเป็นเมทริกซ์ใหม่

– (ใต้คอลัมน์แรก ฉัน’ ภายใต้วินาที – เจ’ ) เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากพื้นฐาน ฉัน,เจไปที่ฐาน ฉัน’ ,เจ’

กรณีทั่วไป

1 ตัวเลือก

1. การหมุนระบบพิกัด

ตัวเลือกที่ 2

1. การหมุนระบบพิกัด

   การแปลต้นกำเนิดแบบขนาน

สมการทั่วไปของเส้นลำดับที่สองและการลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน

– รูปแบบทั่วไปของสมการเส้นโค้งลำดับที่สอง

การจำแนกประเภทของเส้นโค้งลำดับที่สอง

ทรงรี

ส่วนทรงรี

– วงรี

– วงรี

ทรงรีแห่งการปฏิวัติ

ทรงรีของการปฏิวัติเป็นแบบทรงกลมหรือแบบขยาย ขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราหมุนไปรอบๆ

ไฮเปอร์โบลอยด์แถบเดียว

ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์แถบเดียว

– ไฮเปอร์โบลากับแกนจริง

– ไฮเปอร์โบลาที่มีแกนจริง x

ผลลัพธ์ที่ได้คือวงรีสำหรับ h ใดๆ สิ่งต่างๆ ดังกล่าว

ไฮเปอร์โบลอยด์แถบเดียวแห่งการปฏิวัติ

ไฮเปอร์โบลาของการปฏิวัติแผ่นเดียวสามารถหาได้โดยการหมุนไฮเปอร์โบลารอบแกนจินตภาพของมัน

ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น

ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น

- อติพจน์กับการกระทำ แกนซ์

– ไฮเปอร์โบลากับแกนออนจริง

กรวย

– เส้นตัดกันคู่หนึ่ง

– เส้นตัดกันคู่หนึ่ง

พาราโบลอยด์รูปไข่

- พาราโบลา

– พาราโบลา

การหมุน

ถ้า แล้วพาราโบลาทรงรีคือพื้นผิวของการปฏิวัติที่เกิดจากการหมุนของพาราโบลารอบแกนสมมาตร

พาราโบลาไฮเปอร์โบลิก

พาราโบลา

– พาราโบลา

h>0 ไฮเปอร์โบลาที่มีแกนจริงขนานกับ x

ชม.<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

โดยทรงกระบอก เราหมายถึงพื้นผิวที่ได้เมื่อเส้นตรงเคลื่อนที่ในอวกาศโดยไม่เปลี่ยนทิศทาง ถ้าเส้นตรงเคลื่อนที่สัมพันธ์กับออนซ์ สมการของทรงกระบอกก็คือสมการของหน้าตัดด้วยระนาบ xoy

กระบอกรี

กระบอกไฮเปอร์โบลิก

ทรงกระบอกพาราโบลา

เครื่องกำเนิดเส้นตรงของพื้นผิวอันดับสอง

เส้นตรงที่อยู่บนพื้นผิวทั้งหมดเรียกว่าเครื่องกำเนิดเส้นตรงของพื้นผิว

พื้นผิวของการปฏิวัติ

โคตรเลวเลย

แสดง

แสดงลองเรียกกฎเกณฑ์ที่แต่ละองค์ประกอบของเซต A เชื่อมโยงกับองค์ประกอบของเซต B อย่างน้อยหนึ่งรายการ หากแต่ละองค์ประกอบถูกกำหนดองค์ประกอบเดียวของเซต B การแมปจะถูกเรียก ไม่คลุมเครือ, มิฉะนั้น ไม่ชัดเจน.

การเปลี่ยนแปลงของชุดคือการแมปชุดหนึ่งต่อหนึ่งไปยังชุดนั้นเอง

การฉีด

การฉีดหรือการทำแผนที่แบบตัวต่อตัวของเซต A กับเซต B

(องค์ประกอบที่แตกต่างกันของ a สอดคล้องกับองค์ประกอบที่แตกต่างกันของ B) เช่น y=x^2

การผ่าตัด

เส้นตัดหรือการทำแผนที่เซต A กับเซต B

สำหรับ B ทุกตัวจะมี A อย่างน้อยหนึ่งตัว (เช่น ไซน์)

แต่ละองค์ประกอบของเซต B สอดคล้องกับองค์ประกอบของเซต A เพียงตัวเดียวเท่านั้น (เช่น y=x)

ทุกสมการดีกรีแรกสัมพันธ์กับพิกัด x, y, z

ขวาน + โดย + Cz +D = 0 (3.1)

กำหนดระนาบ และในทางกลับกัน ระนาบใดๆ สามารถแทนได้ด้วยสมการ (3.1) ซึ่งเรียกว่า สมการระนาบ.

เวกเตอร์ n(A,B,C) ตั้งฉากกับระนาบเรียกว่า เวกเตอร์ปกติเครื่องบิน. ในสมการ (3.1) ค่าสัมประสิทธิ์ A, B, C จะไม่เท่ากับ 0 ในเวลาเดียวกัน

กรณีพิเศษของสมการ (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ระนาบผ่านจุดกำเนิด

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ระนาบขนานกับแกนออนซ์

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ระนาบเคลื่อนผ่านแกน Oz

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ระนาบขนานกับระนาบ Oyz

สมการของระนาบพิกัด: x = 0, y = 0, z = 0

เส้นตรงในช่องว่างสามารถระบุได้:

1) เป็นเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบคือ ระบบสมการ:

A 1 x + B 1 ปี + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 ปี + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) โดยสองจุดของมัน M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) จากนั้นเส้นตรงที่ผ่านพวกมันจะได้รับจากสมการ:

3) จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ที่เป็นของมันและเวกเตอร์ ก(m, n, p) ขนานกับมัน จากนั้นเส้นตรงจะถูกกำหนดโดยสมการ:

สมการ (3.4) เรียกว่า สมการมาตรฐานของเส้นตรง.

เวกเตอร์ กเรียกว่า เวกเตอร์ทิศทางตรง.

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงเราได้รับโดยการเทียบความสัมพันธ์แต่ละความสัมพันธ์ (3.4) กับพารามิเตอร์ t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + p เสื้อ (3.5)

ระบบการแก้ (3.2) เป็นระบบสมการเชิงเส้นสำหรับไม่ทราบค่า xและ ยเราก็มาถึงสมการของเส้นตรงแล้ว การคาดการณ์หรือเพื่อ โดยให้สมการเส้นตรง :

x = mz + a, y = nz + b (3.6)

จากสมการ (3.6) เราสามารถไปที่สมการ Canonical เพื่อค้นหา zจากแต่ละสมการและการเท่ากันของค่าผลลัพธ์:

จากสมการทั่วไป (3.2) คุณสามารถไปที่สมการมาตรฐานได้ด้วยวิธีอื่น หากคุณพบจุดใดๆ บนเส้นนี้และเวกเตอร์ทิศทางของมัน n= [n 1 , n 2 ] ที่ไหน n 1 (ก 1, บี 1, ค 1) และ n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนด ถ้าตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่ง มหรือ รในสมการ (3.4) กลายเป็นศูนย์ดังนั้นตัวเศษของเศษส่วนที่เกี่ยวข้องจะต้องตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์นั่นคือ ระบบ

เทียบเท่ากับระบบ เส้นตรงดังกล่าวตั้งฉากกับแกนวัว

ระบบเทียบเท่ากับระบบ x = x 1, y = y 1; เส้นตรงขนานกับแกนออนซ์

ตัวอย่างที่ 1.15- เขียนสมการของระนาบ โดยรู้ว่าจุด A(1,-1,3) ทำหน้าที่เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดกำเนิดมายังระนาบนี้

สารละลาย.ตามเงื่อนไขของปัญหาเวกเตอร์ โอเอ(1,-1,3) เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ จากนั้นสมการของมันสามารถเขียนได้เป็น
x-y+3z+D=0 เมื่อแทนพิกัดของจุด A(1,-1,3) ที่เป็นของระนาบ เราจะพบว่า D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11 ดังนั้น x-y+3z-11=0

ตัวอย่างที่ 1.16- เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านแกนออนซ์และสร้างมุม 60 องศา โดยระนาบ 2x+y-z-7=0

สารละลาย.ระนาบที่ผ่านแกนออซได้มาจากสมการ Ax+By=0 โดยที่ A และ B จะไม่หายไปพร้อมกัน อย่าให้บี
เท่ากับ 0, A/Bx+y=0 การใช้สูตรโคไซน์สำหรับมุมระหว่างระนาบสองระนาบ

การแก้สมการกำลังสอง 3m 2 + 8m - 3 = 0 เราจะพบรากของมัน
m 1 = 1/3, m 2 = -3 จากที่เราได้ระนาบสองอัน 1/3x+y = 0 และ -3x+y = 0

ตัวอย่างที่ 1.17เขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรง:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0

สารละลาย.สมการมาตรฐานของเส้นตรงมีรูปแบบ:

ที่ไหน ม, เอ็น, พี- พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง x 1 , y 1 , z 1- พิกัดของจุดใด ๆ ที่เป็นของเส้น เส้นตรงหมายถึงเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ ในการค้นหาจุดที่เป็นของเส้นตรง พิกัดตัวใดตัวหนึ่งจะถูกกำหนดตายตัว (วิธีที่ง่ายที่สุดคือการตั้งค่า เช่น x=0) และระบบผลลัพธ์จะถูกแก้ไขเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัว ดังนั้น ให้ x=0 แล้ว y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0 โดยที่ y=-1, z=1 เราพบพิกัดของจุด M(x 1, y 1, z 1) ที่เป็นของเส้นนี้: M (0,-1,1) เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงหาได้ง่าย โดยรู้เวกเตอร์ปกติของระนาบดั้งเดิม n 1 (5,1,1) และ n 2 (2,3,-2) แล้ว

สมการมาตรฐานของเส้นตรงมีรูปแบบ: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

จนถึงขณะนี้ เราได้พิจารณาสมการของพื้นผิวในอวกาศที่มีแกนพิกัด X, Y, Z ในรูปแบบที่ชัดเจนหรือในรูปแบบโดยนัย

คุณสามารถเขียนสมการของพื้นผิวในรูปแบบพาราเมตริก โดยแสดงพิกัดของจุดเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ตัวแปรอิสระสองตัวและ

เราจะถือว่าฟังก์ชันเหล่านี้เป็นค่าเดียว ต่อเนื่องกัน และมีอนุพันธ์ต่อเนื่องจนถึงลำดับที่สองในช่วงของพารามิเตอร์ที่กำหนด

หากเราแทนที่นิพจน์พิกัดเหล่านี้ผ่าน u และ v ลงในด้านซ้ายของสมการ (37) แล้วเราควรได้รับเอกลักษณ์เทียบกับ u และ V การแยกความแตกต่างเอกลักษณ์นี้ด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ u และ v เราจะได้

เมื่อพิจารณาสมการเหล่านี้เป็นสมการเอกพันธ์สองสมการด้วยความเคารพและการประยุกต์ใช้บทแทรกพีชคณิตที่กล่าวถึงใน เราได้รับ

โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์สัดส่วนที่แน่นอน

เราเชื่อว่าตัวประกอบ k และผลต่างทางด้านขวามือของสูตรสุดท้ายอย่างน้อยหนึ่งค่านั้นไม่เป็นศูนย์

เพื่อความกระชับ ให้เราแสดงความแตกต่างสามประการที่เขียนดังนี้:

ดังที่ทราบกันดีว่าสมการของระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิวของเรา ณ จุดใดจุดหนึ่ง (x, y, z) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

หรือแทนปริมาณตามสัดส่วน เราสามารถเขียนสมการของระนาบแทนเจนต์ใหม่ได้ดังนี้

เป็นที่รู้กันว่าค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้เป็นสัดส่วนกับทิศทางโคไซน์ของเส้นปกติกับพื้นผิว

ตำแหน่งของจุดตัวแปร M บนพื้นผิวนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยค่าของพารามิเตอร์ u และ v และพารามิเตอร์เหล่านี้มักเรียกว่าพิกัดของจุดพื้นผิวหรือพารามิเตอร์พิกัด

เมื่อให้พารามิเตอร์ u และ v ค่าคงที่ เราจะได้เส้นพิกัดสองกลุ่มบนพื้นผิว ซึ่งเราจะเรียกว่าเส้นพิกัดของพื้นผิว: เส้นพิกัดที่มีเพียง v เท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง และเส้นพิกัดตามที่คุณเปลี่ยนเท่านั้น เส้นพิกัดทั้งสองตระกูลนี้จัดให้มีตารางพิกัดบนพื้นผิว

ตัวอย่างเช่น พิจารณาทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมี R สมการพาราเมตริกของทรงกลมดังกล่าวสามารถเขียนได้เป็น

เส้นพิกัดในกรณีนี้ เห็นได้ชัดว่าเป็นเส้นขนานและเส้นเมอริเดียนของทรงกลมของเรา

จากแกนพิกัด เราสามารถกำหนดลักษณะของพื้นผิวด้วยเวกเตอร์รัศมีที่แปรผันได้จากจุดคงที่ O ไปยังจุดแปรผัน M ของพื้นผิวของเรา อนุพันธ์บางส่วนของเวกเตอร์รัศมีนี้เมื่อเทียบกับพารามิเตอร์จะให้เวกเตอร์ที่กำกับตามแนวแทนเจนต์กับเส้นพิกัดอย่างชัดเจน ส่วนประกอบของเวกเตอร์เหล่านี้ตามแนวแกน

จะตามนั้นและจากนี้เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ในสมการของระนาบแทนเจนต์ (39) เป็นส่วนประกอบของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับแทนเจนต์นั่นคือเวกเตอร์ที่มีทิศทางตามแนวปกติ ของพื้นผิว เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของความยาวของเวกเตอร์นี้แสดงด้วยผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ด้วยตัวมันเอง กล่าวคือ พูดง่ายๆ คือ กำลังสองของเวกเตอร์ 1 นี้) ต่อไปนี้ เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับพื้นผิวจะมีบทบาทสำคัญ ซึ่งเราสามารถเขียนในรูปแบบได้อย่างชัดเจน

โดยการเปลี่ยนลำดับของปัจจัยในผลคูณเวกเตอร์ที่เขียน เราจะได้ทิศทางตรงกันข้ามสำหรับเวกเตอร์ (40) ต่อไปนี้เราจะกำหนดลำดับของปัจจัยในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง กล่าวคือ เราจะกำหนดทิศทางของเส้นปกติกับพื้นผิวในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง

ลองหาจุด M บนพื้นผิวแล้ววาดเส้นโค้ง (L) ที่วางอยู่บนพื้นผิวผ่านจุดนี้ โดยทั่วไปแล้ว เส้นโค้งนี้ไม่ใช่เส้นพิกัด และทั้ง Well และ v จะเปลี่ยนไปตามเส้นนั้น ทิศทางของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้จะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ ถ้าเราสมมุติว่าตาม (L) ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด พารามิเตอร์ v เป็นฟังก์ชันของการมีอนุพันธ์ จากนี้ เห็นได้ชัดว่าทิศทางของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่วาดบนพื้นผิวที่จุด M ของเส้นโค้งนี้มีลักษณะเฉพาะโดยสมบูรณ์ด้วยค่า ณ จุดนี้ เมื่อกำหนดระนาบแทนเจนต์และหาสมการ (39) เราถือว่าฟังก์ชัน (38) ที่จุดที่พิจารณาและบริเวณใกล้เคียงมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องกัน และค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ (39) อย่างน้อยหนึ่งค่าไม่เป็นศูนย์ที่จุดนั้น อยู่ระหว่างการพิจารณา

สมการเวกเตอร์และพาราเมตริกของระนาบให้ r 0 และ r เป็นเวกเตอร์รัศมีของจุด M 0 และ M ตามลำดับ จากนั้น M 0 M = r - r 0 และเงื่อนไข (5.1) ว่าจุด M อยู่ในระนาบที่ผ่านจุด M 0 ในแนวตั้งฉาก เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ n (รูปที่ 5.2, a) สามารถเขียนได้โดยใช้ ผลิตภัณฑ์ดอทเป็นอัตราส่วน

n(r - r 0) = 0, (5.4)

ซึ่งเรียกว่า สมการเวกเตอร์ของระนาบ

ระนาบคงที่ในอวกาศสอดคล้องกับเซตของเวกเตอร์ที่ขนานกับมัน เช่น ช่องว่างวี 2. มาเลือกกันที่สเปซนี้เลย พื้นฐานจ 1, จ 2 เช่น เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์คู่ขนานกับระนาบที่กำลังพิจารณา และจุด M 0 บนระนาบ หากจุด M เป็นของระนาบแสดงว่าเวกเตอร์ M 0 M ขนานกับมัน (รูปที่ 5.2, b) เช่น มันเป็นของพื้นที่ที่ระบุ V 2 . ซึ่งหมายความว่ามี การขยายตัวของเวกเตอร์ M 0 M เป็นพื้นฐานจ 1, จ 2 เช่น มีตัวเลข t 1 และ t 2 ซึ่ง M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 เมื่อเขียนด้านซ้ายของสมการนี้ผ่านเวกเตอร์รัศมี r 0 และ r ของจุด M 0 และ M ตามลำดับเราจะได้ สมการระนาบพาราเมตริกเวกเตอร์

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 ∈ R. (5.5)

เพื่อย้ายจากความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ใน (5.5) ไปสู่ความเท่าเทียมกัน พิกัด, แสดงโดย (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) พิกัดของจุด M 0, M และผ่าน (e 1x; e 1y; e 1z), (e 2x; e 2y; e 2z) พิกัดของเวกเตอร์ e 1, e 2 เราได้รับพิกัดของเวกเตอร์ r และ r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 ด้วยชื่อเดียวกัน สมการระนาบพาราเมตริก

เครื่องบินที่แล่นผ่านสามจุดสมมติว่าจุดสามจุด M 1, M 2 และ M 3 ไม่ได้อยู่บนเส้นเดียวกัน จากนั้นจะมีระนาบเฉพาะ π ซึ่งมีจุดเหล่านี้อยู่ ขอให้เราค้นหาสมการของระนาบนี้โดยกำหนดเกณฑ์สำหรับจุด M ที่ต้องการให้อยู่ในระนาบที่กำหนด π จากนั้นเราเขียนเกณฑ์นี้ผ่านพิกัดของจุดต่างๆ เกณฑ์ที่ระบุคือคำอธิบายของระนาบ π ที่เป็นเซตของจุด M ซึ่งเวกเตอร์ M 1 M 2, M 1 M 3 และ M 1 M เครื่องบินร่วม- เกณฑ์สำหรับ coplanarity ของเวกเตอร์สามตัวคือความเท่ากันกับศูนย์ ผลิตภัณฑ์ผสม(ดู 3.2) ผลิตภัณฑ์ผสมคำนวณโดยใช้ ปัจจัยกำหนดลำดับที่สามซึ่งมีแถวเป็นพิกัดของเวกเตอร์ใน พื้นฐาน orthonormal- ดังนั้น ถ้า (x i; yx i; Zx i) เป็นพิกัดของจุด Mx i, i = 1, 2, 3 และ (x; y; z) เป็นพิกัดของจุด M ดังนั้น M 1 M = (x-x 1 ; ป-ป 1 ; ม 1 ม 2 = (x 2 -x 1 ; ป 2 ​​-y 1 ; z 2 -z 1 ), ม 1 M 3 = (x 3 -x 1 ; ป 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) และเงื่อนไขสำหรับผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์จะมีรูปแบบ

เมื่อคำนวณดีเทอร์มิแนนต์แล้ว เราก็จะได้ เชิงเส้นสัมพันธ์กับ x, y, z สมการซึ่งก็คือ สมการทั่วไปของระนาบที่ต้องการ- ตัวอย่างเช่น ถ้า ขยายดีเทอร์มิแนนต์ตามบรรทัดที่ 1แล้วเราก็ได้

ความเท่าเทียมกันนี้ หลังจากคำนวณดีเทอร์มิแนนต์และเปิดวงเล็บแล้ว จะถูกแปลงเป็นสมการทั่วไปของระนาบ

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสมการสุดท้ายตรงกับพิกัด ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ม 1 ม 2 × ม 1 ม 3 . ผลคูณเวกเตอร์นี้ ซึ่งเป็นผลคูณของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวที่ขนานกับระนาบ π ให้เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ตั้งฉากกับ π กล่าวคือ ของเธอ เวกเตอร์ปกติ- ดังนั้นลักษณะของพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไปของระนาบจึงค่อนข้างเป็นธรรมชาติ

พิจารณากรณีพิเศษต่อไปนี้ของเครื่องบินที่แล่นผ่านจุดสามจุด จุด M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0 อย่านอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและกำหนดระนาบที่ตัดออก ส่วนบนแกนพิกัดที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์ (รูปที่ 5.3) ในที่นี้ “ความยาวเซกเมนต์” หมายถึงค่าของพิกัดที่ไม่เป็นศูนย์ของเวกเตอร์รัศมีของจุด M i, i = 1,2,3

เนื่องจาก M 1 M 2 = (-a; b;0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z) จากนั้นสมการ (5.7) จะอยู่ในรูปแบบ

เมื่อคำนวณดีเทอร์มิแนนต์แล้ว เราจะพบ bc(x - a) + acy + abz = 0 หารสมการผลลัพธ์ด้วย abc แล้วย้ายเทอมอิสระไปทางด้านขวา

x/a + y/b + z/c = 1

สมการนี้เรียกว่า สมการของระนาบในส่วนต่างๆ.

ตัวอย่างที่ 5.2เรามาค้นหาสมการทั่วไปของระนาบที่ผ่านจุดที่มีพิกัด (1; 1; 2) และตัดส่วนที่มีความยาวเท่ากันออกจากแกนพิกัด

สมการของระนาบเป็นส่วนๆ โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องตัดส่วนที่มีความยาวเท่ากันออกจากแกนพิกัด เช่น ≠ 0 จะมีรูปแบบ x/a + y/b + z/c = 1 สมการนี้จะต้องเป็นไปตามสมการนี้โดย พิกัด (1; 1; 2) จุดที่ทราบบนระนาบ ได้แก่ ความเท่าเทียมกัน 4/a = 1 ยังคงอยู่ ดังนั้น a = 4 และสมการที่ต้องการคือ x + y + z - 4 = 0

สมการระนาบปกติลองพิจารณาระนาบ π ในอวกาศกัน เราซ่อมให้เธอ หน่วยปกติ เวกเตอร์ n กำกับจาก ต้นทาง"ไปทางระนาบ" และแสดงด้วย p ระยะห่างจากจุดกำเนิด O ของระบบพิกัดถึงระนาบ π (รูปที่ 5.4) ถ้าระนาบผ่านจุดกำเนิดของระบบพิกัด แล้ว p = 0 และทิศทางที่เป็นไปได้สองทิศทางสามารถเลือกเป็นทิศทางสำหรับเวกเตอร์ปกติ n ได้

หากจุด M อยู่ในระนาบ π นี่จะเท่ากับข้อเท็จจริงนั้น การฉายภาพเวกเตอร์แบบออร์โธกราฟิกโอม ไปสู่ทิศทางเวกเตอร์ n เท่ากับ p นั่นคือ เงื่อนไข nOM = pr n OM = p เป็นที่พอใจ เนื่องจาก ความยาวเวกเตอร์ n เท่ากับหนึ่ง

ให้เราแสดงพิกัดของจุด M ด้วย (x; y; z) และให้ n = (cosα; cosβ; cosγ) (จำได้ว่าสำหรับเวกเตอร์หน่วย n ของมัน โคไซน์ทิศทาง cosα, cosβ, cosγ ก็เป็นพิกัดของมันเช่นกัน) เราได้รับการเขียนผลคูณสเกลาร์ในความเท่าเทียมกัน nOM = p ในรูปแบบพิกัด สมการระนาบปกติ

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - พี = 0

เช่นเดียวกับกรณีของเส้นบนระนาบ สมการทั่วไปของระนาบในอวกาศสามารถเปลี่ยนเป็นสมการปกติได้โดยการหารด้วยตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐาน

สำหรับสมการระนาบ Ax + By + Cz + D = 0 ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานคือตัวเลข ±√(A 2 + B 2 + C 2) ซึ่งเครื่องหมายที่เลือกตรงข้ามกับเครื่องหมาย D ในค่าสัมบูรณ์ ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานคือความยาวของระนาบเวกเตอร์ปกติ (A; B ; C) และเครื่องหมายสอดคล้องกับทิศทางที่ต้องการของเวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน หากเครื่องบินผ่านจุดกำเนิดของระบบพิกัดเช่น D = 0 ดังนั้นคุณสามารถเลือกเครื่องหมายของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานในทางใดก็ได้